Matriz cadrada

En matemáticas, unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas e columnas. Chamamos matriz n-por-n a unha matriz cadrada de orde ${\displaystyle n}$. Pódense sumar e multiplicar dúas matrices cadradas calquera da mesma orde.

As matrices cadradas utilízanse a miúdo para representar transformacións lineares simples, como a rotación. Por exemplo, se ${\displaystyle R}$ é unha matriz cadrada que representa unha rotación (matriz de rotación) e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ é un vector columna que describe a posición dun punto no espazo, o produto ${\displaystyle R\mathbf {v} }$ produce outro vector columna que describe a posición dese punto despois desa rotación. Se ${\displaystyle \mathbf {v} }$ é un vector fila, a mesma transformación pódese obter usando ${\displaystyle \mathbf {v} R^{\mathsf {T}}}$, onde ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$ é a transposta de ${\displaystyle R}$.

As entradas ${\displaystyle a_{ii}}$ ( i = 1, ..., n ) forman a diagonal principal dunha matriz cadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 da imaxe contén os elementos a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

A diagonal dunha matriz cadrada desde a esquina superior dereita ata a esquina inferior esquerda chámase antidiagonal ou contradiagonal.

Nome	Exemplo con n = 3
Matriz diagonal	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Matriz triangular inferior	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Matriz triangular superior	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Matriz identidade	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

O termo matriz identidade refírese á propiedade da multiplicación matricial que$${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A}$$para calquera matriz ${\displaystyle A}$ de dimensións ${\displaystyle m\times n}$.

Unha matriz cadrada ${\displaystyle A}$ chámase invertible ou non singular se^[1].^[2] existe unha matriz ${\displaystyle B}$ tal que $${\displaystyle AB=BA=I_{n}}$$Se ${\displaystyle B}$ existe, é única e chámase matriz inversa de ${\displaystyle A}$, denotado ${\displaystyle A^{-1}}$.

Unha matriz cadrada ${\displaystyle A}$ que é igual á súa transposición, é dicir, ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$, é unha matriz simétrica. Se en cambio ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$, entón ${\displaystyle A}$ chámase matriz antisimétrica.

Para unha matriz cadrada complexa ${\displaystyle A}$, moitas veces o análogo axeitado da transposición é a transposta conxugada ${\displaystyle A^{*}}$, definido como a transposición do conxugado complexo de ${\displaystyle A}$. Unha matriz cadrada complexa ${\displaystyle A}$ que satisfai ${\displaystyle A^{*}=A}$ chámase matriz hermitiana. Se temos ${\displaystyle A^{*}=-A}$, entón ${\displaystyle A}$ chámase matriz antisimétrica hermitiana.

Segundo o teorema espectral, as matrices reais simétricas (ou complexas hermitianas) teñen unha base propia ortogonal (ou unitaria); é dicir, cada vector é expresable como unha combinación linear de vectores propios (eigenvectores). En ambos os casos, todos os valores propios (eigenvalores) son reais.

Unha matriz ortogonal é unha matriz cadrada onde a súa transposta é igual á súa inversa:$${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$$que implica$${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$$onde I é a matriz identidade.

Unha matriz ortogonal A é necesariamente invertible (con inverso A⁻¹ = A^T), unitaria (A⁻¹ = A*) e normal (A*A = AA*). O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou -1. O grupo ortogonal especial ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ consta das matrices n × n ortogonais co determinante +1.

O análogo complexo dunha matriz ortogonal é unha matriz unitaria.

Unha matriz cadrada real ou complexa ${\displaystyle A}$ chámase normal se ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$. Se unha matriz cadrada real é simétrica, antisimétrica ou ortogonal, entón é normal. Se unha matriz cadrada complexa é hermitiana, hermitiana antisimétrica ou unitaria, entón é normal.

A traza, tr( A ) dunha matriz cadrada A é a suma das súas entradas diagonais. Aínda que a multiplicación de matrices non é conmutativa, a traza do produto de dúas matrices si é conmutativa:$${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$$Ademais, a traza dunha matriz é igual ao da súa transposición, é dicir,$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$$

O determinante ${\displaystyle |A|}$ ou ${\displaystyle \det(A)}$ dunha matriz cadrada ${\displaystyle A}$ é un número que contén certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. O seu valor absoluto é igual á área (en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) ou volume (en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) da imaxe do cadrado (ou cubo) da unidade, mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante das matrices 2×2 vén dado por$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$O determinante das matrices 3×3 implica 6 termos (regra de Sarrus). A fórmula de Leibniz xeneraliza estas dúas fórmulas a todas as dimensións.^[3]

O determinante dun produto de matrices cadradas é igual ao produto dos seus determinantes, temos: $${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$Finalmente, a expansión de Laplace expresa o determinante en termos de menores, é dicir, determinantes de matrices máis pequenas. Os determinantes pódense usar para resolver sistemas lineares usando a regra de Cramer, onde a división dos determinantes de dúas matrices cadradas relacionadas equivale ao valor de cada unha das variables do sistema.

Un número λ e un vector distinto de cero ${\displaystyle \mathbf {v} }$ que satisfai$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$chámanse eigenvalores e eigenvectores de ${\displaystyle A}$, respectivamente. ^[4] O número λ é un eigenvalor dunha matriz n×n A se e só se A − λI_n non é invertible, o que é equivalente a $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$$

• Brown, William C. (1991). Matrices and vector spaces. New York, NY: Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-8419-5. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Mirsky, Leonid (1990). An Introduction to Linear Algebra. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7. 

• Matriz (matemáticas)