Distribución xeométrica

A distribución xeométrica é calquera das dúas distribucións de probabilidade discretas seguintes:

• a distribución de probabilidade do número X do ensaio de Bernoulli necesaria para obter un éxito, contido no conxunto { 1, 2, 3,...} ou
• a distribución de probabilidade do número Y = X − 1 de fallos antes do primeiro éxito, contido no conxunto { 0, 1, 2, 3,... }.

1. A distribución xeométrica non ten memoria, é dicir, ${\displaystyle P(X>m+n|X>m)=P(X>n),}$. Isto significa que se intentamos repetir o experimento ata o primeiro éxito, entón, dado que o primeiro éxito aínda non ocorreu, a distribución da variable condicionada do número de ensaios adicionais non depende de cantos fallos se observaron. De feito, a distribución xeométrica é a única distribución discreta sen memoria.
2. Se a probabilidade de éxito en cada ensaio é p, entón a de que sexan necesarios x para obter un éxito é ${\displaystyle P(X=x)=(1-p)^{x-1}p\,}$ para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, a probabilidade de que haxa x fallos antes do primeiro éxito é ${\displaystyle P(Y=x)=(1-p)^{x}p\,}$ para y = 0, 1, 2,... En ambos os casos, a secuencia é unha progresión xeométrica.
3. O valor esperado dunha variable aleatoria X distribuída xeometricamente é ${\displaystyle \ E(X)={\frac {1}{p}}}$ e dado que Y = X-1, ${\displaystyle \ E(Y)={\frac {1-p}{p}}}$.
4. En ambos os casos, a varianza é ${\displaystyle {\mbox{var}}(Y)={\mbox{var}}(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}}$.
5. As funcións xeratrices de X e a de Y son, respectivamente, ${\displaystyle G_{X}(s)={\frac {sp}{1-s(1-p)}}\quad {\textrm {y}}\quad G_{Y}(s)={\frac {p}{1-s(1-p)}},\quad |s|<(1-p)^{-1}}$.
6. De todas estas distribucións contidas en {1, 2, 3,... } cun valor esperado dado μ, a distribución xeométrica X con parámetro p = 1/μ é a de maior entropía.
7. A distribución xeométrica do número y de fallos antes do primeiro éxito é infinitamente divisible, é dicir, para calquera enteiro positivo n, existen variables aleatorias independentes Y ₁,..., Y_n distribuídas identicamente a suma das que teñen a mesma distribución que ten Y. Estas non serán xeométricamente distribuídas agás se n = 1.

A distribución xeométrica é un caso especial da distribución binomial negativa con parámetro k = 1. Máis generalmente, se Y ₁,...,Y_k son variables independentes distribuídas xeometricamente con parámetro p, entón ${\displaystyle Z=\sum _{m=1}^{k}Y_{m}}$ segue unha distribución binomial negativa con parámetros k e p.

Se Y₁,...,Y_r son variables independentes distribuídas xeometricamente (con diferentes parámetros de éxito p_m posibles ), entón o seu mínimo ${\displaystyle W=\min _{m}Y_{m}}$ segue tamén unha distribución xeométrica, con parámetro

${\displaystyle p=1-\prod _{m}(1-p_{m})}$.

• Calculadora Distribución xeométrica