Álxebra homolóxica

A álxebra homológica é un campo das matemáticas que estuda a homoloxía nun marco alxébrico xeral. É unha disciplina relativamente nova, cuxos orixes poden remontarse ás investigacións en topoloxía combinatoria (un precursor da topoloxía alxébrica) e en álxebra abstracta (teoría de módulos) de fins do século XIX, lideradas por Henri Poincaré e David Hilbert.

O desenvolvemento da álxebra homolóxica está estreitamente relacionado coa emerxencia da teoría das categorías.

Unha noción importante na álxebra homolóxica é a de secuencia exacta, que pode ser empregada para o cálculo. Unha ferramenta clásica deste campo é o funtor derivado.

A álxebra homolóxica comezou a ser estudada na súa forma máis básica no século XIX como unha rama da topoloxía, mais non foi até a década de 1940 cando se converteu nunha área independente relacionada co estudo de obxectos como os funtores ext e tor, entre outros.^[1]

Os complexos de cadeas son o concepto central da álxebra homolóxica. É unha secuencia ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ de grupos abelianos e homomorfismos de grupos, coa propiedade de que a composición de dúas aplicaciónss consecutivas é cero:

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Os elementos de C_n chámanse n-cadeas e os homomorfismos d_n chámanse diferenciais. Os grupos de cadeas C_n poden dotarse doutras estruturas; poden ser, por exemplo, espazos vectoriais ou módulos sobre un anel R. Se existir esta estrutura extra os diferenciais deben conservala, é dicir deben de ser aplicacións lineares ou homomorfismos de R-módulos.

• Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Homological algebra. Co apéndice de David A. Buchsbaum. Reimpreso do orixinal de 1956. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2
• Alexander Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique. Tôhoku Math. J. (2) 9, 1957, 119–221
• Saunders Mac Lane, Homology. Reimpreso da edición de 1975. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8
• Peter Hilton; Stammbach, U. A course in homological algebra. Segunda edición. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, Nova York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
• Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Methods of homological algebra. Traducido ao inglés da edición en ruso de 1988. Segunda edición. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
• Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homological algebra. Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
• Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, MR1269324, ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259.

• Álxebra
• K-teoría (teoría K)
• Henri Poincaré
• David_Hilbert
• Henri_Cartan
• Samuel Eilenberg
• Armand Borel
• Alain Connes
• Alexander Grothendieck
• Charles Weibel