Représentation de l’information dans la

machine
• Représentation des nombres négatifs
– Signe / valeur absolue
– Complément à 1
– Complément à 2
• Représentation des nombres réels
– Virgule fixe
– Virgule flottante
 Information

Instructions Données

Caractère Numérique

Entiers

Non signés

Signés

Réels
 1. Représentation des nombres entiers
• Il existe deux types d’entiers :
– les entiers non signés ( positifs )
– et les entiers signés ( positifs ou négatifs )

Problème : Comment indiquer à la machine qu’un nombre

est négatif ou positif ?

• Il existe 3 méthodes pour représenter les nombres
négatifs :
– Signe/ valeur absolue
– Complément à 1( complément restreint )
– Complément à 2 ( complément à vrai )
1.1 Représentation signe / valeur absolue ( S/VA )

• Si on travail sur n bits , alors le bit du poids fort est utilisé pour
indiquer le signe :
 1 : signe négatif
 0 : signe positif
• Les autres bits ( n -1 ) désignent la valeur absolue du nombre.

• Exemple : Si on travail sur 4 bits.

1 001 0 001

Signe Valeur absolue Signe Valeur absolue

1001 est la représentation de - 1 0001 est la représentation de + 1

Sur 3 bits on obtient :
signe VA valeur
• Les valeurs sont comprises
0 00 +0
entre -3 et +3
0 01 +1
0 10 +2
-3 ≤ N ≤ +3
0 11 +3
- ( 4-1 ) ≤ N ≤ + (4 -1 )
-(22 -1) ≤ N ≤ +(22-1 )
1 00 -0 -(2 (3 -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 )
1 01 -1
1 10 -2
1 11 -3

Si on travail sur n bits , l’intervalle des valeurs qu’on

peut représenter en S/VA :
-(2 (n -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 )
 Avantages et inconvénients de la représentation
signe/valeur absolue

• C’est une représentation assez simple .

• On remarque que le zéro possède deux représentations +0 et -0 ce
qui conduit à des difficultés au niveau des opérations arithmétiques.
• Pour les opérations arithmétiques il nous faut deux circuits : l’un
pour l’addition et le deuxième pour la soustraction .
L’idéal est d’utiliser un seul circuit pour faire les deux opérations,
puisque a- b =a + ( - b )
 1.2 Représentation en complément à un
( complément restreint )

• On appel complément à un d’un nombre N un autre nombre

N’ tel que :
N+N’=2n-1
n : est le nombre de bits de la représentation du nombre N .

Exemple :
Soit N=1010 sur 4 bits donc son complément à un de N :
N’= (24 - 1)-N
N’=(16-1 )-(1010)2= (15 ) - (1010)2 = (1111)2 – (1010)2 = 0101

1 0 1 0
+
0 1 0 1
1 1 1 1
Remarque 1 :

• Pour trouver le complément à un d’un nombre, il suffit

d’inverser tous les bits de ce nombre : si le bit est un 0
mettre à sa place un 1 et si c’est un 1 mettre à sa place
un 0 .
• Exemple :

Sur 4 Bits Sur 5 Bits

1 0 1 0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 1 0 1 0 1
Remarque 2

• Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe

( 0 : positif , 1 : négatif ).
• Le complément à un du complément à un d’un nombre est égale au
nombre lui même .
CA1(CA1(N))= N
• Exemple :
Quelle est la valeur décimale représentée par la valeur 101010 en
complément à 1 sur 6 bits ?
• Le bit poids fort indique qu'il s'agit d'un nombre négatif.
• Valeur = - CA1(101010)
= - (010101)2= - ( 21)10
La notation du complément à « 1 »

0000 +0 1000 -7
1001 -6 1 1
0001 +1
1010 -5 5 0101
0010 +2
1011 -4 -2 + 1101
0011 +3
1100 -3 3 1 0010
0100 +4
0101 +5 1101 -2
1
0110 +6 1110 -1
1111 -0 0011
0111 +7
Si on travail sur 3 bits :

Valeur en Valeur en Valeur

CA1 binaire décimal
000 000 +0
001 001 +1
010 010 +2
011 011 +3
100 - 011 -3
101 - 010 -2
110 - 001 -1
111 - 000 -0

•Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe .

•On remarque que dans cette représentation le zéro possède aussi une
double représentation ( +0 et – 0 ) .
 1.3 Complément à 2 ( complément à vrai )

•Si on prend deux nombres entiers a et b sur n bits , on

remarque que la soustraction peut être ramener à une
addition : a – b = a + (-b)
• Pour cela il suffit de trouver une valeur équivalente à -b ?
La valeur CA1(b)+1 s’appelle le complément à deux de b :

- b = CA1(b)+1 = CA2(b)

Et enfin on va obtenir : a - b = a+ CA2(b)  transformer

la soustraction en une addition .
Exemple 1 : représentation du nombre b=-23 sur 8 bits ?

VA( b ) : 00010111
CA1(b) : 11101000
CA2(b) : 11101001

Exemple 2 : représentation du nombre b=-100 sur 8 bits ?

VA(b) : 01100100
CA1(b) : 10011011
CA2(b) : 10011100
Exemple

• Trouver le complément à 2 de : 01000101 sur 8 bits ?

CA2(01000101)= CA1(01000101)+ 1
CA1(01000101)= (10111010)
CA2(01000101)=(10111010)+ 1 = (10111011)

• Remarque 1 :
Pour trouver le compétemment à 2 d’un nombre :
il faut parcourir les bits de ce nombre à partir du poids faible et garder
tous les bits avant le premier 1 et inverser les autres bits qui viennent
après.
0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0
Remarque 2

• Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe

( 0 : positif , 1 : négatif ).
• Le complément à deux du complément à deux d’un nombre est
égale au nombre lui même .
CA2(CA2(N))= N
• Exemple :
Quelle est la valeur décimale représentée par la valeur 101010 en
complément à deux sur 6 bits ?
• Le bit poids fort indique qu'il s'agit d'un nombre négatif.
• Valeur = - CA2(101010)
= - (010101 + 1)
= - (010110)2= - ( 22)
 Si on travail sur 3 bits :

Valeur en Valeur en valeur

CA2 binaire
000 000 +0
001 001 +1
010 010 +2
011 011 +3
100 - 100 -4
101 - 011 -3
110 - 010 -2
111 - 001 -1

•Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe .

•On remarque que le zéro n’a pas une double représentation.
•Sur 3 bits on remarque que les valeurs sont comprises entre -4 et +3

-4 ≤ N ≤ +3
- 4 ≤ N ≤ + (4 -1 )
- 22 ≤ N ≤ +(22-1 )
-2 (3 -1) ≤ N ≤ (2 (3 -1) -1 )

Si on travail sur n bits , l’intervalle des valeurs qu’on peut

représenter en CA2 :
-(2 (n -1)) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 )

La représentation en complément à deux ( complément à vrai )

est la représentation la plus utilisée pour la représentation des
nombres négatifs dans la machine.
Opérations arithmétiques en CA2
Effectuer les opérations suivantes sur 5 Bits , en utilisant la représentation en CA2

0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 +
+ +9
+9 1 1 1 0 0
0 0 1 0 0 -4
+4
+5
+ 13 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1

Le résultat est positif Report

(01101)2= ( 13)10
Le résultat est positif
(00101)2= ( 5)10
 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
-9 + -9 +
1 1 1 0 0 0 1 0 0 1
-4 +9
- 13 +0
1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

Report Report

Le résultat est négatif :

Résultat = - CA2 (10011)= -( 01101) Le résultat est positif

= - 13 (00000)2= ( 0)10
 La retenue et le débordement
• On dit qu’il y a une retenue si une opération arithmétique
génère un report .
• On dit qu’il y a un débordement (Over Flow ) ou
dépassement de capacité: si le résultat de l’opération sur
n bits et faux .
– Le nombre de bits utilisés est insuffisant pour contenir le résultat
– Autrement dit le résultat dépasse l’intervalle des valeurs sur les
n bits utilisés.
Cas de débordement

0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
+9 + +
-9
0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
+8 -8
+ 17 1 0 0 0 1 - 17
0 1 0 1 1

Négatif
Positif

•Nous avons un débordement si la somme de deux nombres positifs

donne un nombre négatif .
•Ou la somme de deux nombres négatifs donne un Nombre positif
•Il y a jamais un débordement si les deux nombres sont de signes
différents.
2. La représentation des nombres réels
• Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie
entière et la partie fractionnelle ( les deux parties sont
séparées par une virgule )
• Problème : comment indiquer à la machine la position de
la virgule ?
• Il existe deux méthodes pour représenter les nombre
réel :
– Virgule fixe : la position de la virgule est fixe
– Virgule flottante : la position de la virgule change
( dynamique )
 2.1 La virgule fixe
• Dans cette représentation la partie entière est représentée sur
n bits et la partie fractionnelle sur p bits , en plus un bit est
utilisé pour le signe.
• Exemple : si n=3 et p=2 on va avoir les valeurs suivantes

Signe P.E P.F valeur

0 000 00 + 0,0 Dans cette représentation les
0 000 01 + 0,25 valeurs sont limitées et nous
0 000 10 + 0,5 n’avons pas une grande précision
0 000 11 + 0,75
0 001 .00 + 1,0
. . . .
. . . .
 2.2 Représentation en virgule flottante
• Chaque nombre réel peut s’écrire de la façon suivante :
N= ± M * b e
– M : mantisse ,
– b : la base ,
– e : l’exposant

• Exemple :
15,6 = 0,156 * 10+2
- ( 110,101)2 = - (0,110101)2 * 2+3
(0,00101)2= ( 0,101)2 * 2-2

Remarque :
on dit que la mantisse est normalisée si le premier chiffre
après la virgule est différent de 0 et le premier chiffre avant
la virgule est égale à 0.
• Dans cette représentation sur n bits :
– La mantisse est sous la forme signe/valeur absolue
• 1 bit pour le signe
• et k bits pour la valeur.
– L’exposant ( positif ou négatif ) est représenté sur p bits .

Signe mantisse Exposant Mantisse normalisée

1 bit p bits k bits

•Pour la représentation de l’exposant on utilise :

• Le complément à deux
 Représentation de l’exposant en complément à deux

• On veut représenter les nombres (0,000001101)2 en virgule flottante

sur une machine ayant le format suivant :

Signe mantisse Exposant en CA2 Mantisse normalisée

1 bit 4 bits 8 bits

(0,000001101)2= 0,1101 * 2-5

Signe mantisse : positif ( 0)

Mantisse normalisé : 0,1101
Exposant = -5  utiliser le complément à deux pour représenter le -5
Sur 4 bits CA2(0101)=1011

0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0
1 bit 4 bits 8 bits
 3. Le codage BCD (Binary Coded Decimal )

• Pour passer du décimal au binaire , il faut Décimal Binaire

effectuer des divisions successives. Il 0 0000
existe une autre méthode simplifiée pour 1 0001
le passage du décimal au binaire.
2 0010
3 0011
• Le principe consiste à faire des
4 0100
éclatement sur 4 bits et de remplacer
chaque chiffre décimal par sa valeur 5 0101
binaire correspondante . 6 0110
7 0111
• Les combinaisons supérieures à 9 sont 8 1000
interdites 9 1001
Exemple

1 2 9 5 6 2

0001 0010 1001 0101 0110 0010

129 = ( 0001 0010 1001)2 562 = (0101 0110 0010)2

 4. Codage des caractères
• Les caractères englobent : les lettres alphabétiques ( A, a, B , B,.. ) ,
les chiffres , et les autres symboles ( > , ; / : …. ) .
• Le codage le plus utilisé est le ASCII (American Standard Code for
Information Interchange)
• Dans ce codage chaque caractère est représenté sur 8 bits .
• Avec 8 bits on peut avoir 28 = 256 combinaisons
• Chaque combinaison représente un caractère
– Exemple :
• Le code 65 (01000001)2correspond au caractère A
• Le code 97 (01100001) correspond au caractère a
• Le code 58 (00111010 )correspond au caractère :
• Actuellement il existe un autre code sur 16 bits , se code s’appel
UNICODE .