Variables aléatoires réelles discrètes

I Généralités sur les variables aléatoires discrètes

1 Définition, propriétés

Définition 1
Soit Ω un ensemble. On appelle variable aléatoire réelle (VAR) toute application X définie sur Ω
et à valeurs dans R.

Définition 2
Soit X une variable aléatoire définie sur Ω.
— Si X(Ω) est un ensemble dénombrable, on dit que X est une variable aléatoire réelle discrète.
— Si X(Ω) est un ensemble fini, on dit que X est une variable aléatoire réelle finie.

Vocabulaire :
X(Ω) est l’ensemble des valeurs prises par X.
Remarque :
Dans la définition rien n’impose que Ω soit un ensemble dénombrable mais en pratique il le sera
toujours...
Exemple 1:
Un joueur lance deux fois de suite un dé cubique équilibré et note les deux nombres obtenus sous la
forme d’un couple : par exemple si le joueur obtient 2 puis 5, on note son résultat sous la forme (2, 5).
L’univers de notre expérience est Ω = [[1; 6]] × [[1; 6]].
On définit la variable aléatoire réelle discrète X qui, à chaque couple, associe la somme des deux nombres
obtenus. Ici, on a X(Ω) = {2, 3, . . . , 12}. Donc X est une variable aléatoire réelle finie.
Exemple 2:
On effectue une succession de lancers indépendants d’un dé cubique équilibré jusqu’à obtenir 6 pour la
première fois. Soit X le nombre de lancers effectués.
Tel que l’énoncé est posé, on ne sait pas trop comment décrire l’univers de notre expérience mais on
peut tout de même donner très clairement X(Ω).
On a ici X(Ω) = N∗ (tout comme pour l’expérience (2) décrite au chapitre précédent, on ne prend pas
en compte le fait de ne jamais obtenir 6) et donc X est une variable aléatoire réelle discrète infinie.

Définition 3
Soit X une variable aléatoire réelle discrète définie sur Ω.
Pour toute partie J de R, l’ensemble {ω ∈ Ω/X(ω) ∈ J} est un événement que l’on notera [X ∈ J] ou
(X ∈ J).

Cas particuliers :
— Lorsque J = {a}, afin d’alléger les notations, l’événement [X ∈ {a}] = {ω ∈ Ω/X(ω) = a} sera
noté [X = a].
— Lorsque J =] − ∞; a], on note [X 6 a].
— Lorsque J = [a; b[ on note [a 6 X < b].

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 Exemple 3:
— Revenons au premier exemple où un joueur lance deux fois de suite un dé et X est la somme des
deux chiffres obtenus. On a
[X = 2] = {(1, 1)};
[X = 4] = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)};
[X 6 5] = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}.

— Dans le deuxième exemple, on a [X = 4] = S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ S4 , où Sk désigne l’événement ≪ obtenir

6 au k ième lancer ≫.
Dans toute la suite de ce chapitre, (Ω, P ) est un espace probabilisé et X une variable aléatoire réelle
discrète définie sur cet espace.
On notera dorénavant X(Ω) = {xi /i ∈ I} les valeurs prises par X, où I est une partie (finie ou non)
de N ou Z.

2 Loi d’une VAR discrète

Définition 4
On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire réelle discrète X (ou distribution de X)
l’ensemble des couples (xi , pi ) où :

xi ∈ X(Ω) et pi = P ([X = xi ]).

On note parfois PX l’application définie sur X(Ω) par PX (xi ) = P ([X = xi ]).

Pour simplifier les notations, on notera P ([X = xi ]) = P (X = xi ).

Conseils méthodologiques :
Lorsque vous devez répondre à la question ≪ déterminer la loi de X ≫, il faut commencer par donner
clairement X(Ω). Puis pour chaque élément xi de cet ensemble X(Ω) il faut donner P (X = xi ).
Lorsque X(Ω) est fini et ne contient ≪ pas trop ≫ d’éléments, on peut présenter les résultats sous forme
de tableau avec dans la première ligne les valeurs de xi et dans la deuxième ligne P (X = xi ).

Exemple 4:
On reprend le deuxième exemple de ce chapitre : on lance un dé cubique équilibré jusqu’à obtenir 6
pour la première fois et X désigne le nombre de lancers effectués. On souhaite donner la loi de X.
Nous avons vu que X(Ω) = N∗ . Il faut maintenant calculer P (X = xi ) pour chaque élément xi ∈ X(Ω).
Il est impossible de donner une par une ces probabilités car il y en a une infinité à calculer.
On va donc donner une formule pour calculer P (X = n) pour n quelconque dans N∗ .
On commence pour cela par expliciter l’événement [X = n]. Afin de faciliter les explications, on note
Sk l’événement ≪ obtenir 6 au k ième lancer ≫.
On peut alors écrire [X = n] = S1 ∩ . . . ∩ Sn−1 ∩ Sn et comme les événements Sk sont mutuellement
indépendants, on a :
 n−1


5 1
P (X = n) = P S1 × . . . × P Sn−1 × P (Sn ) = × .
6 6
 n−1
5 1
En conclusion, X(Ω) = N et pour tout n ∈ N , P (X = n) =
∗ ∗
× .
6 6

Propriété 1
La famille d’événements ([X = xi ])i∈I est un système complet d’événements.
X
En particulier on a P (X = xi ) = 1.
i∈I

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 Remarques :
— Cette propriété permet de vérifier la cohérence de vos résultats lorsque vous donnez la loi de X.
— Comme ([X = xi ])i∈I est un système complet d’événements, on peut appliquer la formule des
probabilité totale pour n’importe quel événement A :
X X
P (A) = P (X = xi )P[X=xi ] (A) = P ([X = xi ] ∩ A).
i∈I i∈I

Exemple 5:
Reprenons l’exemple précédent et vérifions la cohérence de notre résultat.
+∞ +∞  n−1
X X 5 1 1 1
On a P (X = n) = × = × = 1.
n=1 n=1
6 6 6 1 − 65
Notre loi est bien cohérente.
Théorème 1 : Caractérisation de la loi d’une variable aléatoire réelle discrète
Soit {(xi , pi )/i ∈ I} une partie de R2 , où I = N, Z ou une de leurs parties. Si pour tout i ∈ I, pi > 0
X
et si pi = 1, alors il existe un espace probabilisé (Ω, P ) et une VAR discrète X définie sur Ω tels
i∈I
que {(xi , pi )/i ∈ I} est la loi de X.

Conseils méthodologiques : Ce théorème permet, lorsqu’on vous donne des valeurs pour pi et xi ,
de déterminer si ces valeurs sont la loi d’une variable aléatoire réelle discrète.
Exemple 6:
Pour une variable aléatoire réelle X telle que X(Ω) = Z \ {0; −1}, on pose :
1
∀n ∈ Z \ {0; −1}, P (X = n) =
2n(n + 1)

Vérifions que ceci définit bien une loi de probabilité pour X.

— Pour tout n ∈ Z \ {0; −1}, n et n + 1 sont de même signe donc on a bien P (X = n) > 0.
X
— Il faut maintenant montrer que P (X = n) est convergente et vaut 1.
n∈X(Ω)
+∞
X +∞
X
On va calculer séparément P (X = n) et P (X = −n).
n=1 n=2
N N  
X 1 X 1 1 1 1
On a = − = − , par télescopage.
n=1
2n(n + 1) n=1
2n 2(n + 1) 2 2(N + 1)
+∞
X X 1
Donc P (X = n) est convergente et P (X = n) = .
n>1 n=1
2
N N  
X 1 X 1 1 1 1
De même = − + = − , par télescopage.
n=2
2(−n)(−n + 1) n=2 2n 2(n − 1) 2 2N
+∞
X X 1
Donc P (X = −n) est convergente et P (X = −n) = .
n>2 n=2
2
X
En conclusion P (X = n) est convergente et vaut 1.
n∈X(Ω)
On a bien une loi de probabilité pour X.

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 3 Fonction de répartition

Définition 5
On appelle fonction de répartition de X l’application FX : R 7→ R définie par :

FX (x) = P (X 6 x).

Propriété 2
La fonction de répartition d’une VAR discrète est une fonction en escalier.

Voyons cela sur un exemple :

Exemple 7:
On considère toujours notre exemple de lancers successifs d’un dé cubique équilibré jusqu’à obtenir 6
et X la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers nécessaires.
Calculons plusieurs valeurs de FX : FX (−2), FX (2, 1), FX (2, 99).
— Par définition, FX (−2) = P (X 6 −2) = 0 car l’événement [X 6 −2] est impossible.
On peut même étendre cette remarque en écrivant que FX (α) = 0 pour tout α < 1 car lorsque
α < 1, l’événement [X 6 α] est impossible.
— De plus, FX (2, 1) = P (X 6 2, 1) = P ([X = 1] ∪ [X = 2]). Comme les événements [X = 1] et
1 5 11
[X = 2] sont incompatibles, FX (2, 1) = + = .
6 36 36
11
Et on remarque alors que l’on a aussi FX (2, 99) = P ([X = 1] ∪ [X = 2]) = .
36
On peut, en fait, étendre ce résultat en écrivant que, pour β ∈ [2; 3[,
11
FX (β) = P ([X = 1] ∪ [X = 2]) = .
36
— Et on peut encore étendre cela en écrivant que, pour tout γ ∈ [k; k + 1[ (k ∈ N∗ ),
FX (γ) = P ([X = 1] ∪ . . . ∪ [X = k]).

0
 si x < 1
k
En résumé, FX (x) = X .
 P (X = k) si k 6 x < k + 1

i=1
On voit bien sur cet exemple que la fonction FX est une fonction en escalier.
Propriété 3
Soit FX la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle discrète X. Alors FX vérifie les propriétés
suivantes :
1. ∀x ∈ R, FX (x) ∈ [0; 1]
2. FX est croissante.

Démonstration :
1. Provient de la définition d’une probabilité.
2. Soit x 6 y. Alors on a [X 6 x] ⊂ [X 6 y] et donc P (X 6 x) 6 P (X 6 y),
c’est-à-dire FX (x) 6 FX (y).
✷

Remarque :
Une autre propriété intéressante, mais hors-programme, de la fonction de répartition est que
lim FX (x) = 0 et lim FX (x) = 1.
x→−∞ x→+∞

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 Théorème 2 : Loi d’une VAR discrète à partir de sa fonction de répartition
On rappelle que X(Ω) = {xi /i ∈ I}. Si les xi sont rangés par ordre croissant, alors pour tout i ∈ I tel
que i − 1 ∈ I (on a donc xi−1 < xi ) on a :

P (X = xi ) = FX (xi ) − FX (xi−1 ).

Démonstration :
Il faut remarquer que [X 6 xi ] = [X = xi ] ∪ [X 6 xi−1 ]. De plus les événements [X = xi ]
et [X 6 xi−1 ] sont incompatibles donc :

P (X 6 xi ) = P (X = xi ) + P (X 6 xi−1 ) ⇐⇒ P (X = xi ) = F (xi ) − F (xi−1 )

Exemple 8:
Un sac contient 4 boules numérotés de 1 à 4. On tire deux boules avec remise. On note X1 le numéro
de la première boule, X2 le numéro de la seconde boule, et Y le plus grand des deux numéros obtenus.
Déterminons la loi de Y .
On remarque tout d’abord que Y prend les valeurs 1, 2, 3 ou 4, donc Y (Ω) = {1, 2, 3, 4}.
De plus, on remarque qu’il est plus facile de calculer P (Y 6 k) que P (Y = k). Par exemple

[Y = 3] = ([X1 = 1] ∩ [X2 = 3]) ∪ ([X1 = 2] ∩ [X2 = 3]) ∪ ([X1 = 3] ∩ [X2 = 3])∪

([X1 = 3] ∩ [X2 = 2]) ∪ ([X1 = 3] ∩ [X2 = 1])
[Y 6 3] = [X1 6 3] ∩ [X2 6 3]

Notons F la fonction de répartition de la VAR Y.

Nous allons donc calculer F (1), F (2), F (3) et F (4) puis en déduire la loi de Y grâce à la propriété
précédente.
— F (1) = P (Y 6 1) = P ([X1 = 1] ∩ [X2 = 1]). Les tirages se font avec remise donc ils sont
indépendants et ainsi les événements [X1 = 1] et [X2 = 1] sont indépendants.
1
On a donc F (1) = P (X1 = 1) × P (X2 = 1) = .
16
— Grâce au même argument d’indépendance,
2 2 1
F (2) = P (Y 6 2) = P ([X1 6 2] ∩ [X2 6 2]) = P (X1 6 2) × P (X2 6 2) = × = .
4 4 4
3 3 9
— De même, F (3) = × =
4 4 16
— Et enfin, l’événement [Y 6 4] est certain donc F (4) = 1.
On peut maintenant en déduire la loi de la variable Y :
1 3
P (Y = 1) = F (1) = P (Y = 2) = P (Y 6 2) − P (Y 6 1) =
16 16
5 7
P (Y = 3) = P (Y 6 3) − P (Y 6 2) = P (Y = 4) = P (Y 6 4) − P (Y 6 3) =
16 16

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 4 Fonction d’une variable aléatoire

Définition 6
Soient X une VAR discrète sur un espace probabilisé (Ω, P ) et g une fonction définie sur X(Ω) à valeurs
dans R. On note g(X) l’application de Ω dans R définie pour tout ω ∈ Ω par

g(X)(ω) = g(X(ω)).

Propriété 4
Soient X une VAR discrète sur un espace probabilisé (Ω, P ) et g une fonction définie sur X(Ω) à valeurs
dans R. Alors Y = g(X) est une VAR discrète définie sur Ω et telle que :

Y (Ω) = {g(xi )/i ∈ I}

X
∀y ∈ Y (Ω), P (Y = y) = P (X = xi )
i/g(xi )=y

Exemple 9:
Soit X une VAR dont la loi est définie par :

valeur de X -1 1 2

1 1 1
probabilité
4 2 4
Déterminons la loi de Y = 2X + 1 et Z = X 2 .
— Y (Ω) = {−1; 3; 5} et
1
P (Y = −1) = P (X = −1) =
4
1
P (Y = 3) = P (X = 1) =
2
1
P (Y = 5) = P (X = 2) =
4
— Z(Ω) = {1; 4} et
3
P (Z = 1) = P ([X = 1] ∪ [X = −1]) = P (X = 1) + P (X = −1) =
4
1
P (Z = 4) = P (X = 2) =
4

5 Moments d’une VAR discrète

a Espérance
Définition 7
On dit que X admetP une espérance, ou que l’espérance de X existe, lorsque X(Ω) est fini ou
lorsque la série xi P (X = xi ) est absolument convergente.
X
On appelle alors espérance de X, le réel E(X) = xi P (X = xi ).
i∈I

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 Remarques :
— E(X) est une moyenne pondérée des valeurs prises par X.
X
— On note parfois : E(X) = xP (X = x).
x∈X(Ω)
— Lorsque X est une VAR discrète finie, X admet forcément une espérance.
— Si pour tout i ∈ I, a 6 xi 6 b alors a 6 E(X) 6 b (ceci permet de vérifier la cohérence de votre
résultat).
— En particulier si pour tout i, xi > 0 alors E(X) > 0.
Exemple 10:
Reprenons une nouvelle fois le deuxième exemple de notre cours : X désigne le nombre de lancers d’un
dé cubique afin d’obtenir pour la première fois 6.  n−1
1 5
La loi de X est : X(Ω) = N et ∀n ∈ N , P (X = n) =
∗ ∗
.
6 6
X 1  5 n−1
À l’aide du critère de d’Alembert on montre facilement que la série n est absolument
n∈N ∗
6 6
convergente. Ainsi, X admet bien une espérance.
De plus, on a
+∞  n−1 +∞  n−1
X 1 5 1X 5
E(X) = n = n .
n=1
6 6 6 n=1
6
+∞
X 1
Or, on sait que pour tout x ∈] − 1; 1[, xn = . D’après le théorème de dérivation terme à terme
n=0
1−x
+∞
X 1
d’une série entière, on a donc nxn−1 = pour tout x ∈] − 1; 1[.
n=1
(1 − x)2
5 1 1
Comme ∈] − 1; 1[, on a E(X) = ×
2 = 6.
6 6 1 − 56
Ce résultat signifie qu’en moyenne, on obtient un 6 pour la première fois au sixième lancer (on peut
remarquer que ce résultat serait le même pour obtenir 1, 2,. . . ).
Le théorème suivant est extrêmement important :
Théorème 3 : Théorème de transfert
Soit g une fonction définie sur X(Ω) et à valeurs dans R.
Alors la variable aléatoire réelle g(X) admet une espérance si, et seulement si, la série
X
g(x)P (X = x) est absolument convergente et dans ce cas, on a :
x∈X(Ω)

X
E(g(X)) = g(x)P (X = x).
x∈X(Ω)

Exemple 11:
Poursuivons l’exemple précédent et déterminons E(X 2 ).
Une nouvelle fois, le critère de d’Alembert permet rapidement de montrer la convergence absolue de la
X 1  5 n−1
série n2 .
n∈N ∗
6 6
Ainsi, X 2 admet une espérance, et on a :
+∞  n−1 +∞  n−1
5
21 1X 2 5
X
2
E(X ) = n = n .
n=1
6 6 6 n=1
6

Cours TSI2 Page 7 VAR discrètes

 X
En utilisant une nouvelle fois le théorème de dérivation terme à terme sur la série nxn−1 on obtient
n>1
que
+∞ +∞ +∞
X 2 X 2 X
n(n − 1)xn−2 = ⇔ n2 n−2
x = + nxn−2
n=2
(1 − x)3 n=2
(1 − x) 3
n=2
+∞ +∞
X 2x X
⇔ n2 xn−1 = + nxn−1
n=1
(1 − x)3 n=1
+∞
X 2x 1 1+x
⇔ n2 xn−1 = 3
+ 2
= .
n=1
(1 − x) (1 − x) (1 − x)3
1 1 + 65
2
On peut donc en déduire que E(X ) = ×
3 = 66.
6 1 − 56

Corollaire 1
Si X admet une espérance alors pour tout (a, b) ∈ R2 , aX + b admet une espérance et

E(aX + b) = aE(X) + b.

Remarque :
Cette propriété s’appelle la linéarité de l’espérance.

b Variance et écart type

Propriété 5
Si E(X 2 ) existe alors E(X) existe.

Attention la réciproque à cette propriété est fausse.

Exemple 12:
1
On considère la VAR X dont la loi est donnée par X(Ω) = N∗ et pour tout n ∈ N∗ P (X = n) =
λn3
+∞
X 1
avec λ = 3
.
k=1
k
1 P
On a nP (X = n) = donc |nP (X = n)| converge et E(X) existe.
λn2
1
De plus n2 P (X = n) =
P 2
donc |n P (X = n)| diverge et E(X 2 ) n’existe pas.
λn
Définition 8
Soit X une VAR discrète telle que X 2 admet une espérance. On appelle variance de X le réel :

V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 Formule de Kœnig-Huygens.

p
De plus, lorsque V (X) existe, on appelle écart-type de X le réel σ(X) = V (X).

Remarques :
— Si X n’admet pas d’espérance, X ne peut pas admettre de variance.
— l existe une autre définition de la variance (au programme de TSI 1) : V (X) = E ((X − E(X))2 ).
Les deux définitions sont évidemment égales.
La variance est donc la moyenne du carré de la distance entre les valeurs de X et la moyenne de
X. Ainsi, la variance est une mesure de dispersion de X par rapport à E(X).

Cours TSI2 Page 8 VAR discrètes

 Exemple 13:
Reprenons encore notre lancer de dé jusqu’à obtenir 6 pour la première fois. Nous avons vu dans la
partie précédente que X 2 admet une espérance. Donc V (X) existe et

V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 66 − 36 = 30.

Propriété 6
Si X est une VAR discrète admettant une variance alors pour tout (a, b) ∈ R2 , aX + b admet une
variance et
V (aX + b) = a2 V (X).

Théorème 4 : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit X une variable aléatoire réelle discrète telle que X 2 admet une espérance. Alors :

V (X)
∀ε > 0, P (|X − E(X)| > ε) 6 .
ε2

Démonstration :
Comme X 2 admet une espérance, X admet une variance et une espérance.
On pose X(Ω) = {xi , i ∈ I} et pi = P (X = xi ).
Il est plus facile, pour cette démonstration, d’utiliser la définition de la variance vue en
TSI 1.
On sait que V (X) = E ((X − E(X))2 ). Donc d’après le théorème de transfert :

X
V (X) = E (X − E(X))2 = (xi − E(X))2 pi
i∈I

Et de plus :
X
P (|X − E(X)| > ε) = pj où J = {j ∈ I/|xj − E(X)| > ε}
j∈J

On peut donc écrire :

X X
V (X) = (xj − E(X))2 pj + (xi − E(X))2 pi
j∈J i∈J
/
X
> (xj − E(X))2 pj
j∈J
X
> ε2 pj
j∈J

> ε2 P (|X − E(X)| > ε)

V (X)
⇔ P (|X − E(X)| > ε) 6
ε2

Cours TSI2 Page 9 VAR discrètes

 Remarques :
— Nous verrons en exercice un exemple d’application.
— On utilise souvent cette inégalité avec l’événement contraire. On obtient alors :

V (X)
P (|X − E(X)| < ε) > 1 − .
ε2
— Cette propriété exprime le fait que la probabilité que X prenne des valeurs situées à une distance
V (X)
supérieure à ε de sa moyenne, est majorée par . On retrouve ici le fait que la variance est une
ε2
mesure de dispersion.

II Lois discrètes usuelles

1 Lois discrètes finies

a Loi de Bernoulli (ou indicatrice d’événement)

Mise en place :
On considère une expérience aléatoire e et A un événement lié à cette expérience tel que P (A) = p. On
définit alors la variable aléatoire X en posant X = 1 si A est réalisé et X = 0 sinon.
X est une VAR qui prend les valeurs 0 et 1 avec la probabilité P (X = 0) = 1 − p et P (X = 1) = p.

Définition 9
Soit p ∈ [0; 1]. On dit qu’une VAR X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si :

X(Ω) = {0; 1}
P (X = 0) = 1 − p et P (X = 1) = p.
On note X ֒→ B(p).

Propriété 7
Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors

E(X) = p et V (X) = p(1 − p).

b Loi binomiale (ou des tirages avec remise)

Mise en place :
On considère une expérience e et on considère un événement A lié à e tel que P (A) = p. On suppose
que l’on effectue n fois l’expérience e dans les mêmes conditions (les expériences sont indépendantes) et
on considère X le nombre de fois où A est réalisé au cours de ces n expériences identiques.
X prend donc les valeurs 0, 1, ..., n.
Soit k ∈ [[0; n]]. On cherche à calculer P(X = k) c’est-à-dire la probabilité que A soit réalisé k fois
n
exactement. Parmi les n expériences, il y a façon de placer les k fois où A est réalisé. Chacun de ces
  k
n
événement est réalisé avec la probabilité pk (1 − p)n−k .
k  
n k
On a donc : P (X = k) = p (1 − p)n−k .
k

Cours TSI2 Page 10 VAR discrètes

 Définition 10
Soit p ∈ [0; 1] et n ∈ N. On dit que la VAR X suit la loi binomiale de paramètres n et p si :

X(Ω) = {0, 1, . . . , n} = [[0; n]]

 
n k
∀k ∈ [[0; n]] P (X = k) = p (1 − p)n−k .
k
On note X ֒→ B(n, p).

Un VAR qui suit une loi binomiale est une VAR qui ≪ compte le nombre de réalisation d’un événement
A de probabilité p au cours de n expériences identiques. ≫
Exemple 14:
On procède à n lancers d’un dé équilibré dont les 6 faces sont numérotées de 1 à 6. On note X la
variable aléatoire égale au nombre de fois où l’on obtient un numéro inférieur à 2. Quelle est la loi de X ?
1
On note A l’événement ≪ obtenir un nombre inférieur à 2 ≫. On a ici P (A) = .
3
X compte le nombre de réalisation de l’événement A au cours de n expériences identiques (donc
1
indépendantes...). X suit donc la loi binomiale de paramètres n et . On a donc :
3
   k  n−k
n 1 2
X(Ω) = [[0; n]] et ∀k ∈ [[0; n]], P (X = k) = ×
k 3 3

Conseils méthodologiques :
Pour justifier qu’une variable aléatoire donnée suit une binomiale, plusieurs ≪ mots-clés ≫ sont
nécessaires :
— une succession de n expériences ;
— les expériences doivent être identiques et indépendantes ;
— X doit désigner le nombre de fois où un événement A de probabilité p est réalisé.
Si ces trois points sont vérifiés, vous pouvez affirmer sans calculs que X suit la loi binomiale de
paramètres n et p.

Propriété 8
Soit X une VAR qui suit la loi B(n, p). Alors on a :

E(X) = np et V (X) = np(1 − p).

c Loi uniforme
Définition 11
Soit n ∈ N∗ . On dit que X suit la loi uniforme sur [[1; n]] si :

X(Ω) = [[1; n]]

1
∀k ∈ [[1; n]], P (X = k) = .
n

Remarque :
Lorsque X suit une loi uniforme, tous les événements [X = k] sont équiprobables. On peut ainsi étendre
cette notion de loi uniforme sur n’importe quel ensemble fini.

Cours TSI2 Page 11 VAR discrètes

 Propriété 9
Soit X une VAR qui suit la loi uniforme sur [[1; n]]. Alors :

n+1 n2 − 1
E(X) = et V (X) = .
2 12

Démonstration :
n n
X X 1 1 n(n + 1) n+1
— E(X) = kP (X = k) = k×
= × =
k=1 k=1
n n 2 2
2 2
— On sait que V (X) = E(X ) − E(X) .
n n
X
2
X 1 1 n(n + 1)(2n + 1)
2
Or E(X ) = k P (X = k) = k2 × = × =
k=1 k=1
n n 6
(n + 1)(2n + 1)
6
(n + 1)(2n + 1) (n + 1)2 n2 − 1
Donc V (X) = − = .
6 4 12
✷

2 Lois discrètes infinies

a Loi géométrique (ou loi d’attente d’un premier succès dans un processus sans
mémoire)
Mise en place :
On considère une expérience aléatoire e et un événement A lié à e tel que P (A) = p. On répète
l’expérience e dans des conditions identiques (les expériences sont indépendantes) et on appelle X le
nombre d’épreuves effectuées jusqu’à ce que A soit réalisé pour la première fois.
On note Ai l’événement ≪ A est réalisé a cours de la ieme expérience ≫.
Soit R l’événement ≪ A ne réalise jamais ≫. On peut montrer que P (R) = 0.
On peut donc considérer que X prend ses valeurs dans N∗ .
De plus pour tout k ∈ N∗ ,

P (X = k) = P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ak−1 ∩ An ) = (1 − p)k−1 p

Définition 12
Soit p ∈]0; 1[. On dit qu’une VAR X suit la loi géométrique de paramètre p si :

X(Ω) = N∗

∀k ∈ N∗ , P (X = k) = (1 − p)k−1 p.
On note X ֒→ G (p).

Exemple 15:
L’exemple que nous suivons depuis le début de ce chapitre est un exemple de loi géométrique.
En effet, X désignait le rang d’apparition pour la première fois de l’événement ≪ obtenir un 6 ≫(qui
1
est de probabilité ) au cours d’une succession illimitée d’expériences identiques et indépendantes.
6
1
Sans aucun calcul vous pouvez maintenant affirmer que X suit la loi géométrique de paramètre .
6

Cours TSI2 Page 12 VAR discrètes

 Exemple 16:
Une urne contient 3 jetons blancs et 2 noirs. On effectue dans cette urne des tirages successifs avec
remise de chaque jeton après tirage et on note X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir pour la
première fois un jeton blanc. Quelle est la loi de X ?
3
On note B l’événement ≪ obtenir un jeton blanc ≫. On a ici P (B) = .
5
X correspond au rang de la première fois où l’événement B est réalisé au cours d’une succession illimité
3
d’expériences identiques (donc indépendantes...). X suit donc la loi géométrique de paramètre et on a :
5
 k−1
∗ ∗ 2 3
X(Ω) = N et ∀k ∈ N , P (X = k) = ×
5 5

Conseils méthodologiques :
Pour justifier qu’une variable aléatoire donnée suit une loi géométrique, plusieurs ≪ mots-clés ≫ sont
nécessaires :
— une succession illimitée d’expériences ;
— les expériences doivent être identiques et indépendantes ;
— X doit désigner le rang d’apparition pour la première fois d’un événement A de probabilité p.
Si ces trois points sont vérifiés, vous pouvez affirmer sans calculs que X suit la loi géométrique de
paramètre p.

Propriété 10
Soit X une VAR qui suit la loi géométrique G (p). Alors X admet une espérance et une variance, et :
1 1−p
E(X) = et V (X) = .
p p2

Démonstration :
— Sous réserve de convergence absolue de la série utilisée, on sait que
+∞
X +∞
X +∞
X
E(X) = nP (X = n) = n(1 − p)n−1 p = p n(1 − p)n−1
n=1 n=1 n=1

A l’aide du critère de D’Alembert on montre facilement que cette série est absolument convergente
car (1 − p) ∈]0; 1[. X admet bien une espérance.
+∞
1 X
On sait que pour tout x ∈] − 1; 1[, = xn .
1 − x n=0
+∞
1 X
D’après le théorème de dérivation terme à terme des séries entières, on a donc 2
= nxn−1 .
(1 − x) n=1
1 1
On en déduit donc que E(X) = p × = .
(1 − (1 − p))2 p
2
— Calculons tout d’abord E(X ) (en montrant en même temps son existence). Sous réserve de conver-
gence absolue de la série utilisée, on sait que
+∞
X +∞
X +∞
X
2 2 2 n−1
E(X ) = n P (X = n) = n (1 − p) p = p n2 (1 − p)n−1
n=1 n=1 n=1

A l’aide du critère de D’Alembert on montre facilement que cette série est absolument convergente
car (1 − p) ∈]0; 1[. X 2 admet bien une espérance, ce qui signifie que X admet une variance.

Cours TSI2 Page 13 VAR discrètes

 En dérivant de nouveau terme à terme la dernière série entière évoquée, on obtient :
+∞ +∞ +∞
X
n−2 2 X
2 n−2 2 X
n(n − 1)x = ⇔ nx = + nxn−2
n=1
(1 − x)3 n=1 (1 − x)3 n=1
+∞
X 2x 1 x+1
⇔ n2 xn−1 = 3
+ 2
=
n=1
(1 − x) (1 − x) (1 − x)3

2−p
On a donc E(X 2 ) = p .
p3
2−p 1 p − p2 1−p
On en déduit ainsi que V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 = p 3
− 2
= 3
= .
p p p p2
✷

b Loi de Poisson
Définition 13
Soit λ > 0. On dit qu’une VAR X suit une loi de Poisson de paramètre λ si :

e−λ λn
X(Ω) = N et ∀n ∈ N, P (X = n) = .
n!
On note X ֒→ P(λ).

On ne dispose pas ici d’une situation concrète simple pour illustrer la loi de Poisson. Une variable
aléatoire qui suit une loi de Poisson sera toujours introduite sous la forme ≪ soit X une VAR qui suit une
loi de Poisson. ≫
Propriété 11
Soit X une VAR qui suit la loi P(λ). Alors X admet une espérance et une variance, et on a :

E(X) = λ et V (X) = λ.

Démonstration :
— Sous réserve de convergence absolue de la série utilisée, on sait que
+∞ +∞ +∞ +∞
X X λn X λn X λn−1
E(X) = nP (X = n) = ne−λ = e−λ = e−λ λ .
n=0 n=0
n! n=1
(n − 1)! n=1
(n − 1)!

On reconnait le développement en série entière de la fonction exponentielle donc la série est abso-
lument convergente. Ainsi E(X) existe et

E(X) = e−λ λeλ = λ

— Sous réserve de convergence absolue de la série utilisée, on sait que

+∞ +∞
2
X
2
X λn
E(X ) = n P (X = n) = n2 e−λ
n=0 n=0
n!
+∞ n +∞
−λ
X λ −λ
X λn
=e n =e (n − 1 + 1)
n=1
(n − 1)! n=1
(n − 1)!
+∞ +∞
!
−λ
X λn X λn
=e + .
n=2
(n − 2)! n=1
(n − 1)!

Cours TSI2 Page 14 VAR discrètes

 On reconnait le développement en série entière de la fonction exponentielle donc la série est abso-
lument convergente. Ainsi E(X 2 ) existe, ce qui signifie que X admet une variance et

E(X 2 ) = e−λ λ2 eλ + λeλ = λ2 + λ

On obtient donc bien V (X) = λ.

3 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Théorème 5
Soit λ un réel strictement positif et (Xn )n∈N une suite de VAR discrètes telles que Xn suit la loi
binomiale de paramètre (n, pn ).
λk
Si lim npn = λ alors pour tout k ∈ N, on a : lim P (Xn = k) = e−λ
n→+∞ n→+∞ k!
On dit que la suite (Xn )n∈N converge en loi vers une VAR qui suit la loi de Poisson. (vocabulaire
hors-programme)

En pratique :
On considère que lorsque n > 50, p 6 0, 1 et np 6 15, on peut approcher la loi B(n, p) par la loi
P(np). On dit que la loi de Poisson est la loi des événements rares (elle approche le tirage de n boules
avec remise dans une urne contenant des boules blanche en proportion égale à p qui est faible).

Exemple 17:
Soit X une variable aléatoire suivant
 la loi binomiale B(100; 0, 05). Nous allons calculer P (X = 2).
100
— Calcul exact : P (X = 2) = (0, 05)2(0, 95)98 ≈ 0, 0812
2
— Calcul approché : on approche la loi B(100; 0, 05) par la loi P(5)

52 −5
P (X = 2) ≈ e ≈ 0, 0843
2!

Remarque :
Dans l’exemple ci-dessus, aucun problème pour faire le calcul exact. Mais si on augmente encore la
valeur de n et de k (pour le calcul de P (X = k)), le calcul des coefficients binomiaux devient très lourd et
c’est pourquoi la loi de Poisson est parfois plus facile à manipuler.

Cours TSI2 Page 15 VAR discrètes