TP obligatoire N°1 : Asymptote oblique

3
On considère une fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f ( x)  x  1  .
x2  1
On note Cf sa courbe représentative.
Soit k un nombre un entier naturel.

On appelle M et P les points d’abscisse k

placés respectivement sur la courbe Cf et sur
la droite (d) d’équation 𝑦 = 𝑥 + 1.

1. Reproduire la figure ci-dessus avec le logiciel GeoGebra.

Appeler le professeur

2. À l'aide du fichier GeoGebra, faire varier les valeurs de k et donner une

conjecture sur la distance MP lorsque k devient très grand.
Appeler le professeur

3. a) Déterminer le plus petit entier k tel que MP < 0,1.

b) Déterminer le plus petit entier k tel que MP < 0,01.

Appeler le professeur
4. Exprimer la distance MP en fonction de k.
Appeler le professeur
5. Soit r un nombre réel strictement positif.
On considère ci-contre un
algorithme qui doit permettre de
déterminer le plus petit entier
naturel n tel que pour tout k ≥ n,
la distance MP < r.
a) Compléter les pointillés de l’algorithme.
b) Qu’affiche le programme si r = 0,0001 ?
c) Qu’affiche le programme si r = 0,00001 ?
Appeler le professeur
Production écrite demandée
Réponses aux questions 2, 3, 4 et 5.
 Corrigé du TP obligatoire N°1 : Asymptote oblique
1. Voir la vidéo.mp
2. Lorsque k devient très grand, la distance MP devient très petit.
3. a) Pour MP< 0,1 le plus petit entier est k = 6
b) Pour MP< 0,01 le plus petit entier est k = 18.
4. Distance MP en fonction k est :
3 3 3
MP  f (k )   k  1  k  1  2   k  1  2  2
k 1 k 1 k 1
5. L’algorithme
Rédaction de l’algorithme :

Exécution de l’algorithme :
 On saisit 𝑟 =0,0001 l’algorithme affiche 174.
 On saisit 𝑟 =0,00001 l’algorithme affiche 548.
 TP obligatoire n° 2 : Aire maximale
On considère le triangle ABC de côté [AB] mesurant 8 cm et de périmètre 20 cm.

Le but du TP est de déterminer la longueur du côté [BC] pour laquelle l'aire du triangle ABC
est maximale.
I. Conjecture avec le logiciel GeoGebra

1. Créer un curseur a variant de 2 à 10 avec un pas de 0,01.

2. À l'aide du logiciel GeoGebra construire le triangle ABC avec les contraintes de l'énoncé.
3. Varier la valeur du curseur k et conjecturer une réponse au problème.
Appeler le professeur

II. Recherche de l’expression d’une fonction.

On note BC= 𝑥 et f (x) l’aire du triangle ABC.

1. Justifier que l’ensemble des valeurs possibles de la variable x est [2 ; 10].

2. En utilisant la formule de Héron, Aire  s  s  a  s  b  s  c  o𝑢 s est égal au demi-

périmètre du triangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c.

Monter que l'aire f (x) du triangle ABC vaut f ( x)  20 x 2  240 x  400.

Appeler le professeur

III. Étude de la fonction f(x)

1. Déterminer le maximum de la fonction f et donner la valeur de x pour laquelle ce maximum
est atteint.
2. En déduire la réponse du problème.

Production écrite demandée :

• Réponses aux questions 1 et 2 de la partie II
• Réponses aux questions 1 et 2 de la partie III
 Corrigé : TP obligatoire n° 2 : Aire maximale
I. Conjecture avec le logiciel GeoGebra

Reproduction de la figure sur GeoGebra

1.  Créer le curseur a qui représentera la longueur BC variant de 2 à 10 avec un pas de 0,1.
2.
 Créer le segment [AB] de longueur 8 cm.
 Construire un cercle de centre B et de
rayon a.
 Construire un cercle de centre A et de
rayon 12-a.
 Le point C est l’intersection de ces 2
cercles.
 Construire le polygone ABC.
 Activer graphique 2 et placer un point M ayant pour abscisse BC le curseur a et pour
ordonnée l’aire du polygone ABC. On saisit M= (𝒂 , 𝐩𝐨𝐥𝐲𝟏) dans graphique 2.
Animer le curseur a et afficher la trace du point M.
3. Il semble que la longueur du côté [BC] est de 6 cm pour laquelle l'aire du triangle ABC est
maximale.

II. Recherche de l’expression d’une fonction.

1. Le triangle ABC de côté [AB] mesurant 8 cm et de périmètre 20 cm.
On pose BC  a.
P  AB  AC  BC et AB  8
20  8  AC  a alors AC  12  a.
D’après les inégalités triangulaires, on a :

 AB  AC  BC 8  12  a  a 2a  20
    
 AB  BC  AC 8  a  12  a  2a  4
a  10
 donc, 2  a  10.
 a  2
2. En utilisant la formule de Héron, Aire  s  s  a  s  b  s  c  avec
P 20
a  AB  8 , b  BC  x , c  AC  12  x et s le démi-périmetre s    10.
2 2
Aire  10 10  810  x 10  (12  x)   20 10  x  x  2   20 x 2  240 x  400

On modélise l’aire du triangle ABC par la fonction f définie sur 2; 10 par :

f ( x)  20 x 2  240 x  400
III. Étude de la fonction f(x)
1. Dressons le tableau de variations de f sur 2; 10 .
La fonction f est sous la forme 𝑢 avec u  20 x2  240 x  400 et u '  40 x  240
40 x  240 20 x  120
 
' u'
Formule u  donc, f '( x)  
2 u 2 20 x 2  240 x  400 20 x 2  240 x  400

20 x2  240 x  400  0

Alors 𝑓’(𝑥) a le même signe que −20𝑥 + 120 sur 2 ; 10 .

Tableau de variations de la fonction f

2. La fonction f admet un maximum égal à 8 5 ≈ 17,89 atteint pour 𝑥 = 6.

On conclut que la longueur du côté [BC] est de 6 cm pour laquelle l'aire du triangle ABC est
maximale.
 TP obligatoire n°3 : Suites récurrentes
 
On considère la suite récurrente un de premier terme u1  3 et telle que, pour tout entier
1
naturel n non nul, un 1  .
2  un
1
On note  wn  la suite définie pour tout entier n, par wn  .
1  un

Partie A : Conjectures à l’aide d’Excel

L'image ci-contre donne les onze premiers termes de la

 
suite un obtenue à l'aide du tableur.

1. Quelle formule saisie dans la cellule B3 puis recopiée

 
vers le bas permet d'afficher les termes de la suite un ?

2. Reproduire la feuille de calcul ci-contre.

Appeler le professeur
3. Conjecture 1 : Comportement de la suite  un 
Conjecturer à l’aide du fichier Excel, la limite de la suite  un  .
Appeler le professeur

4. L’image ci-dessus donne les onze premiers termes de la suite  wn  dans la colonne C.
a) Conjecturer la nature de la suite  wn  à l’aide du fichier Excel ?
b) Exprimer wn en fonction 𝑛.
Appeler le professeur

5. Conjecture 2 : La forme explicite de la suite  un 

Conjecturer une expression de un en fonction 𝑛.

Appeler le professeur

Partie B : Démonstrations
Démontrer les conjectures 1 et 2.

Production écrite demandée

 Réponses aux questions 1, 3 , 4 et 5 de la partie A
 Réponses de la partie B
 Corrigé de TP obligatoire n°3 : Suites récurrentes
Partie A
1. =1/(2-B2)
2. Reproduction du fichier
3. Conjecture 1 : La suite  un  semble convergée vers 1.
1
4. a)  wn  semble une suite arithmétique de raison r  1 et de 1re terme w1  
2
1 2n  3
wn  w1  (n  1)r    (n  1) 
b) 2 2
5. Conjecture 2 : On remarque que le dénominateur de un est égal au numérateur de wn et son
numérateur est égal à son dénominateur soustrait 2
2n  3  2 2 n  5
un  
2n  3 2n  3

Partie B : Démonstrations

Démonstration de conjecture 2 :

1 1 1 2  un
wn  alors wn 1   
1  un 1  un 1 1  1 1  un
2  un
2  un 1 1  un
wn 1  wn    1
1  un 1  un 1  un
wn 1  wn  1
1
 wn  est une suite arithmétique de raison r  1 et w1  
2

1 2n  3
wn  w1  (n  1)r    (n  1) 
2 2
1
wn 
1  un
1 1 2 2n  3  2 2n  5
un  1   1  1  
wn 2n  3 2n  3 2n  3 2n  3
2

Démonstration de conjecture 1 : lim un  1.

n
 TP obligatoire n°4 : Optimisation

Le graphique ci-dessus représente une parabole Ω d’équation y = −2(𝑥 2 − 16).

La parabole Ω coupe l’axe des abscisses aux points A et D.
Le point M est un point mobile du segment [AO].
Le point B est un point de la parabole de même abscisse que le point M.
La parallèle à l’axe des abscisses passant par le point B coupe la parabole en C.

Le but de ce TP est de déterminer la position du point M telle que l’aire du trapèze ABCD soit
maximale.

Partie A : Conjecture à l'aide d'un logiciel GeoGebra

1. Construire le graphique en respectant les contraintes de l'énoncé.

Appeler le professeur

2. Conjecturer les valeurs approchées au dixième près l’aire du trapèze ABCD et de l'abscisse
du point M correspondant.
Appeler le professeur

Partie B : Démonstration

On note OM= 𝑥 et 𝑓(𝑥) l’aire du trapèze ABCD.

1. Exprimer la distance BC en fonction de x.

Appeler le professeur

2. Montrer que l’aire du trapèze ABCD est f ( x)  2 x  8 x²  32 x  128.

3

3. Démontrer la conjecture établie à la question 2. de la partie A.

Production écrite demandée :

Réponse à la question 2. de la partie A
Réponses aux questions 1, 2 et 3 de la partie B.
 Corrigé du TP obligatoire n°4 : Optimisation
Partie A : Conjecture à l'aide d'un logiciel GeoGebra
1. Reproduction de la figure sur GeoGebra
 Tracer la parabole d’équation y = −2(𝑥 2 − 16).
 Créer les points A et D intersection de la parabole et l’axe des abscisses et le point O.
 Créer le segment [AO].
 Créer un point M mobile du segment [AO].
 Créer un point B de la parabole de même abscisse que le point M.
 Créer le point C.
 Construire le polygone ABCD.
 Vérifier que l’aire du trapèze ABCD dépend de la position de point M.

2. Il semble que l’aire maximale du trapèze ABCD est environ 151,70 pour l’abscisse de M
correspond à environ 1,33.

Partie B : Démonstration
1. BC  2OM  2 x.

2. AD  8 et BM  2( x²  16)
L’aire du trapèze ABCD est donnée par la formule suivante :

f ( x) 
 AD  BC   BM  8  2 x    2( x²  16) 
2 2
Donc f ( x)  8  2 x   x²  16   2 x  8 x²  32 x  128.
3

3. On étudie les variations de la fonction f ( x)  2 x  8 x²  32 x  128.

3

f '( x)  6 x 2  16 x  32.

Tableau de variations de la fonction f qui représente l’aire du trapèze ABCD

4096
Donc l’aire maximale du trapèze ABCD est  151,70 pour l’abscisse de M
27
4
correspond à   1,33.
3
 TP obligatoire N°5 : Tangentes à deux courbes
On considère les fonctions f et g définies sur R par :
e x1  e x1 e x1  e x1
f ( x)  et g ( x) 
2 2
On note Cf la courbe représentative de f et Cg la courbe représentative de g.
Pour tout réel 𝑎, on note :
 A le point de C f d’abscisse 𝑎 et TA la tangente à C f au point A,
 B le point de C g d’abscisse 𝑎 et TB la tangente à C g au point B,
 M 𝑥M ; 𝑦M le point d’intersection des tangentes TA et TB.
On souhaite étudier le lieu géométrique du point M lorsque 𝑎 varie dans R.
Partie A
1. À l’aide d’un logiciel GeoGebra, construire les courbes C f et C g ainsi que les
tangentes TA et TB.
2. Construire le point M.
Appeler l’examinateur pour valider la figure, ou en cas de difficultés.

3. En observant la situation obtenue avec plusieurs valeurs de 𝑎, dire quelle relation

semble exister entre les réels 𝑎 et 𝑥M .
Appeler l’examinateur pour valider la conjecture.

4. Tracer le lieu géométrique du point M. Ce point semble appartenir à la courbe

représentative d’une fonction connue, quelle est cette fonction ?
Appeler l’examinateur pour valider la conjecture.

Partie B

Démontrer cette conjecture émise dans la partie à la question 4.

Production écrite attendue :

 Réponses aux questions 3 et 4 de la partie A.
 Réponse d’une question de la partie B.
 Corrigé de TP obligatoire N°5 : Tangentes à deux courbes
Partie A
1. Construction de la figure
 Tracer les courbes C f et C g
 Créer un curseur 𝑎 qui prend ses valeurs de -5 à 5 par pas de 0.01.
 Placer les points A et B : Pour cela on saisit : A= (𝑎, 𝑓 𝑎 ) et B= (𝑎, g 𝑎 )
 Tracer les tangentes TA et TB :
Pour cela on saisit : tangente= [𝐴, 𝑓] puis tangente= [𝐵, g]
2. Pour placer le point M
On choisit l’icône intersection, puis on sélectionne les tangentes TA et TB
3. Il semble que 𝑥M = 𝑎 + 1.
4. Le lieu géométrique du point M appartient à la courbe de la fonction exponentielle e𝑥 .

Partie B
Une équation de la tangente TA
y  f '(a )( x  a )  f (a )
e1a  e1a e1a  e1a
f '(a)  et f (a) 
2 2
1 a 1 a 1 a 1 a
e e e e
y  x  a 
2 2
Une équation de la tangente TB
y  g '(a )( x  a)  g (a)
e1 a  e1a e1 a  e1a
g'(a)  et g(a) 
2 2
e1 a  e1a e1 a  e1a
y  x  a 
2 2
Soit M (xM ; yM) le point d'intersection des tangentes TA et TB.

e1 a  e1a e1a  e1a e1a  e1a e1a  e1a

 x  a    x  a 
2 2 2 2
1 a 1 a 1 a 1a 1 a 1a
e e e e e e e  e1a
1 a
 x  a    x  a  0
2 2 2 2
 e1 a  e1a e1 a  e1a  e1 a  e1a e1a  e1a
 x  a     0
 2 2  2 2
 x  a   e1a   e1a  0
 x  a   1, soit x  a  1, donc, M  a  1 ; y 
e1 a  e1a e1 a  e1a
yM  a 1 a   e1 a
2 2
   
Donc M a  1 ; e1 a = x ; e x appartient à la courbe de la fonction exponentielle e x .
La conjecture est validée.
 TP obligatoire n°6 : Simulation de lancers de dés
Une expérience consiste à réaliser deux lancers.
On lance d'abord deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note k la différence des nombres obtenus sur les faces supérieures.
Le nombre k est un entier positif ou nul.
Si le nombre k :
 est inférieure ou égale à 2, on lance ensuite un dé tétraédrique équilibré dont les faces sont
numérotées de 1 à 4.
 est égale à 3 ou 4, on lance ensuite une pièce de monnaie équilibrée dont les faces sont
numérotées 1 et 2.
 est égale à 5, on lance un dé cubiques équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On cherche la probabilité d'obtenir le nombre 2 au second lancer.

Partie A : Simulation sur Excel
Cette expérience est simulée 50 000fois sur Excel comme le montre la copie d’écran ci-dessous.

La formule saisie dans la cellule

A2 puis tirée vers le bas est
=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)

La formule saisie dans la cellule

D2 puis tirée vers le bas est
=SI(C2<=2;ALEA.ENTRE.BOR
NES(1;4);0)

1. À partir de la copie d’écran ci-contre

a) Déterminer les formules saisies dans les cellules B2, C2, E2 et F2.
b) Interpréter le résultat affiché dans la cellule G2.
Appeler le professeur
2. À partir du fichier Excel
a) Conjecturer la probabilité d’obtenir le nombre 2 au second lancer. Appeler le professeur
b) Conjecturer la probabilité d’obtenir le nombre 5 au premier lancer et le nombre 2 au second
lancer.
c) Conjecturer la probabilité d’obtenir le nombre 5 au premier lancer sachant qu’au second
lancer, la face obtenue porte le numéro 2. Appeler le professeur

Partie B : Démonstration
1. Construire un arbre pondéré correspondant à cette expérience.
2. Déterminer la probabilité d’obtenir le nombre 2 au second lancer.
3. Déterminer la probabilité d’obtenir le nombre 5 au premier lancer et le nombre 2 au second
lancer.
4. Déterminer la probabilité d’obtenir le nombre 5 au premier lancer sachant qu’au second
lancer, la face obtenue porte le numéro 2.
 Corrigé de TP obligatoire n°6 : Simulation de lancers de dés
1. À partir de la copie d’écran ci-contre
a. La formule à saisir dans la cellule B2 est =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)
La formule à saisir dans la cellule C2 est =MAX(A2;B2)-MIN(A2;B2)
La formule à saisir dans la cellule E2 est =SI(OU(C2=3;C2=4);ALEA.ENTRE.BORNES(1;2);0)
La formule à saisir dans la cellule F2 est =SI(C2=5;ALEA.ENTRE.BORNES(1;6);0)
b. La cellule H2 contient le résultat de la second lancer.

2. Simulation sur Excel

On simule cette expérience sur Excel, 50 000 fois.
Tableau croisé dynamique

15756
a) La probabilité d’obtenir le nombre 2 au second lancer est p   0,31512.
50000
b) La probabilité d’obtenir le nombre 5 au premier lancer et le nombre 2 au second lancer est
464
p  0,00928.
50000
c) La probabilité d’obtenir le nombre 5 au premier lancer sachant qu’au second lancer, la face
obtenue porte le numéro 2 est
464
p  0,0294.
15756

Démonstration
1. Arbre de probabilité
A : "obtenir un nombre inférieure ou égale à 2,
au premier lancer";
B : "obtenir 3 ou 4 au premier lancer";
C : "obtenir 5 au premier lancer";
D : "obtenir 2 au second lancer".
2. La probabilité d’obtenir le nombre 2 au
second lancer est
24 1 10 1 2 1 17
p(D)         0,3148
36 4 36 2 36 6 54