Leçon 104 – Groupes finis. Exemples et applications.

2 Groupes abéliens finis

Cadre : G désigne un groupe fini noté multiplicativement, de neutre 1 et de 2.1 Théorèmes de structure
cardinal (ou d’ordre) |G|.
Prop 2.1 (Structure des groupes cycliques). Soit G = <g> cyclique d’ordre n.
But de la leçon : dans un premier temps, obtenir la classification des petits groupes Alors pour tout d|n, G possède un unique sous-groupe d’ordre d, c’est <g n/d >, il
finis à isomorphismes près ; dans un second temps, faire de la géométrie et notamment est cyclique. Les générateurs de G sont les g k avec pgcd(k,n) = 1, il y en a ϕ(n) par
étudier les groupes d’isométries de certaines figures. définition.
P
Cor 2.2. Pour tout n ≥ 1, n = d|n ϕ(d).
1 Cardinal, ordre, générateur Appl 2.3. Pour q puissance d’un nombre premier, le groupe multiplicatif F∗q est
Déf 1.1. Soit H un sous-groupe de G. On définit l’ensemble fini G/H = {gH, g ∈ G} cyclique.
des classes à gauche modulo H. On note (G : H) son cardinal, on l’appel l’indice de Prop 2.4 (Exposant). Soit G un groupe abélien fini. Soit a = max { ord(g), g ∈ G
H dans G. } appelé exposant de G. Alors pour tout g dans G, l’ordre de g divise a. On a donc
Thm 1.2 (Lagrange). L’ordre de H divise celui de G. Précisément : |G| = |H| (G : a = ppcm(ord(g), g ∈ G).
H).
Thm 2.5 (Structure des groupes abéliens finis). Soit G un groupe abélien fini. Alors
Appl 1.3. Si |H| > |G|/2, alors H = G. il existe des entiers r ≥ 1 et 2 ≤ ar | · · · |a1 tels que : G ' Z/a1 Z × · · · × Z/ar Z.
Déf 1.4. Pour A ⊆ G une partie de G, on note <A> le plus petit sous-groupe de Rmq 2.6. Les entiers 2 ≤ ar | · · · |a1 sont uniquement déterminé par G, ils sont
G contenant A. On dit que A génère G lorsque <A> = G. appelés les facteurs invariants de G. En particulier a1 est l’exposant de G.
Rmq 1.5. Si H est un sous-groupe de G = <A>, alors H = G ⇐⇒ A ⊂ H.
Rmq 2.7. À l’aide du théorème de structure on peut retrouver le fait que F∗q est
Ex 1.6. — pour n ≥ 1, (Z/nZ, +) = < 1 mod n >, cyclique.
— pour n ≥ 2, le groupe symétrique est engendré par les transpositions.
 
Prop 1.7. Soit g ∈ G, il existe un plus petit entier n ≥ 1 tel que g n = 1, appelé ordre 2.2 Étude des (Z/nZ)× , ×
de g. C’est le générateur strictement positif du noyau du morphisme k ∈ Z 7→ g k ∈ G.
×
On a alors <g> = {1, g, g 2 , · · · , g n−1 } ' Z/nZ. Déf 2.8. Pour n ≥ 1 entier, on note (Z/nZ) = {k mod n, pgcd(k, n) = 1} le
Prop 1.8. On a : ord(g) = |<g>| divise |G|, avec égalité si, et seulement si, G = groupe abélien (multiplicatif) des éléments inversibles de l’anneau (Z/nZ, +, ×).
<g>. On dit alors que G est cyclique engendré par g, il est en particulier abélien. C’est aussi l’ensemble des générateurs du groupe (Z/nZ, +). Il est de cardinal ϕ(n).
×
Prop 1.9. ord(g k ) = ord(g) / pgcd(k,ord(g)) divise ord(g). Prop 2.9. Aut (Z/nZ, +) ' (Z/nZ) .
Ex 1.10. — U6 est engendré par eiπ/3 et e5iπ/3 , Thm 2.10 (Chinois). Pour m, n ≥ 1, pgcd(m,n) = 1 ⇐⇒ Z/mnZ ' Z/mZ × Z/nZ
2
— le groupe de Klein (Z/2Z) n’est pas cyclique car ses éléments non triviaux (isomorphisme d’anneaux et donc de groupes additifs).
sont d’ordre 2,
— le groupe S3 = {Id, (12), (13), (23), (123), (132)} est l’unique groupe d’ordre Cor 2.11. Si la décomposition de n en produit de nombres premiers deux à deux
6 non abélien, distincts est n = pα αr
1 · · · pr , alors on a l’isomorphisme de groupes multiplicatifs
1
 à isomorphisme
 près, × α1 × ×
(Z/nZ) ' (Z/p1 Z) × · · · × (Z/pα
     
1 0 0 −1 i 0 0 i r Z) .
r
— soient 1 = , I = , J = et K = IJ = ,
0 1 1 0 0 −i i 0 ×
alors le groupe quaternionique H8 = {±1, ±I, ±J, ±K} ⊂ SL2 (C) possède un Thm 2.12 (Condition de cyclicité). Le groupe (Z/nZ) est cyclique si et seulement
élément d’ordre 2 ( −1) et six d’ordre 4 (faire la table en annexe). si n = 1, 2, 4, pα , 2pα avec p ≥ 3 premier et α ≥ 1.
×
Prop 1.11. Un groupe de cardinal p premier est cyclique, isomorphe à Z/pZ. Prop 2.13. Pour α ≥ 3, (Z/2α Z) ' Z/2Z × Z/2α−2 Z non cyclique.

1
Csq 2.14. À l’aide du théorème chinois on peut déterminer les facteurs invariants Prop 3.15. D(G) est le plus petit sous-groupe H de G pour l’inclusion tel que G/H
×
des groupes abéliens (Z/nZ) . soit abélien. En quotientant par D(G) on est ainsi ramené à un groupe abélien.
×
Ex 2.15. Pour n = 5808 = 24 ×3×112 les facteurs invariants du groupe (Z/5808Z) Ex 3.16. D(H8 ) = {±1} et H8 / D(H8 ) ' (Z/2Z) .
2

sont (2, 2, 2, 220).

Prop 3.17. Pour n ≥ 1, D(Sn ) = An , pour n ≥ 5, D(An ) = An et D(A4 ) = V4 .

3 Sous-groupes distingués et quotients Appl 3.18. S4 / V4 ' S3 .

Pour étudier les groupes non abéliens on a besoin de plus d’outils.

4 Utilisation des actions de groupes
Déf 3.1. Un sous-groupe H de G est dit distingué lorsque pour tout g ∈ G, gHg −1
= H. On note alors H / G. 4.1 Premiers exemples
Rmq 3.2. Le centre Z(G) de G est toujours distingué dans G. En faisant agir G par translation à gauche sur lui-même, on obtient :
Ex 3.3. Z(H8 ) = {±1} / H8 et ∀n ≥ 3, Z(Sn ) = {Id}. Thm 4.1 (Caley). G est isomorphe à un sous-groupe de Sn , où n = |G|.
Prop 3.4. Soit H sous-groupe de G. Alors : G/H est un groupe fessant de la pro- Soit p premier divisant |G|. En faisant agir Z/pZ sur Gp via (k mod p)·(g1 , · · · , gp ) =
jection canonique G −→ G/H un morphisme de groupe si, et seulement si, H / (g1+k mod p , · · · , gp+k mod p ), on obtient via l’équation aux classes :
G.
Thm 4.2 (Cauchy). G possède un élément d’ordre p.
Prop 3.5. Si f : G −→ G’ est un morphisme de groupes et H’ / G’, alors f −1 (H’)
/ G. En particulier Ker(f ) / G. Soit p le plus petit facteur premier de |G|. Pour H sous-groupe de G, en faisant agir
H sur G/H par translation à gauche, on obtient :
Ex 3.6. Le morphisme signature  : Sn −→ {±1} est l’unique morphisme de groupe
(non trivial) de Sn dans C∗ . Son noyau est par définition le groupe alterné An / Sn . Thm 4.3 (Frobenius). Si (G : H) = p alors H / G.
Déf 3.7. Un groupe non trivial G est dit simple lorsque ses seuls sous-groupes Ex 4.4. Un sous-groupe d’indice 2 est distingué. Cela permet de montrer que A4
distingués sont {1} et G. est un groupe d’ordre 12 sans sous-groupe d’ordre 6.
Rmq 3.8. Si G est abélien (non nécessairement fini), alors : G est simple ⇐⇒ G
est cyclique d’ordre premier. 4.2 Action par conjugaison
2
Cex 3.9. On définit V4 = {Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ' (Z/2Z) sous-groupe On fait agir G sur lui-même par conjugaison. Les orbites obtenues sont appelées
de A4 distingué dans A4 (et même dans S4 ). Donc A4 n’est pas simple. classes de conjugaison de G. Leur cardinal divise celui de G. On regarde G = Sn .

Prop 3.10. Pour n ≥ 3 les 3-cycles engendrent An et pour n ≥ 5 ils sont deux à Prop 4.5. Dans Sn , σ(a1 · · · ar )σ −1 = (σ(a1 ) · · · σ(ar )) r-cycle.
deux conjugués dans An .
Prop 4.6. Pour 2 ≤ r ≤ n, les r-cycles forment un classe de conjugaison dans Sn .
Thm 3.11. Pour tout n ≥ 5, An est simple.
Soit σ 6= Id dans Sn fixé. En faisant agir <σ> sur {1, · · · , n}, on obtient :
Cor 3.12. Pour n ≥ 5, {Id}, An et Sn sont les seuls sous-groupes distingués de Sn .
Prop 4.7. Il existe un unique r ≥ 1, des uniques cycles c1 , · · · , cr à supports deux
Déf 3.13. Pour x et y dans G le commutateur associé est [x, y] = xyx−1 y −1 . On à deux disjoints tels que σ = c1 · · · cr . Notons l1 ≤ · · · ≤ lr les longueurs respectives
note D(G) le sous-groupe de G engendré par les commutateurs de G. On le nomme de ces cycles. Alors (l1 , · · · , lr ) est appelé le type de σ.
groupe dérivé de G. Il est distingué dans G.
Prop 4.8. Deux permutations σ et τ sont conjugués dans Sn si, et seulement si,
Rmq 3.14. G est abélien ⇐⇒ D(G) est trivial. elles ont même type.

2
Cor 4.9. Le nombre de classes de conjugaison de Sn est égal au nombre de partitions 5.1 Polygones réguliers
de n.
On suppose ici E = R2 .
Ex 4.10. Classes de conjugaison de S4 : {Id} (4 = 1 + 1 + 1 + 1), {6 transpositions}
(4 = 2 + 1 + 1), {8 3-cycles} (4 = 3 + 1), {3 double-transpositions} (4 = 2 + 2), Prop 5.3. Pour tout n ≥ 3 il existe un polygone régulier à n côtés. C’est l’enveloppe
{6 4-cycles} (4 = 4). convexe de Un dans C ' R2 (d’origine O), on le note Pn . Deux polygones réguliers
à n côtés sont semblables, donc leurs groupes d’isométries sont isomorphes.

4.3 p-groupe Prop 5.4. Soit ρ est la rotation de centre O et d’angle 2π/n. Soit D la droite réelle,
on note σ la réflexion d’axe D. Alors :
Déf 4.11. G est un p-groupe lorsque son ordre est une puissance de p premier : |G| — ρ est d’ordre n, σ est d’ordre 2, σρσ = ρ−1 ,
= pα , α ≥ 1. — Isom+ (Pn ) =< ρ >= {Id, ρ, . . . , ρn−1 },
En utilisant l’équation aux classes pour l’action par conjugaison, on obtient : — Isom(Pn ) =< ρ, σ >= {Id, ρ, . . . , ρn−1 } ∪ {σ, σρ, . . . , σρn−1 }.
On dit que Isom(Pn ) est diédrale d’ordre 2n. On le note Dn .
Prop 4.12. Le centre d’un p-groupe n’est pas trivial.
2 Rmq 5.5. La notation Dn a un sens pour n ≥ 1.
Cor 4.13. Si |G| = p2 , alors G est abélien, donc G ' (Z/pZ) ou Z/p2 Z.
Prop 5.6. Pour tout n ≥ 1, Z(Dn ) est trivial si n est impair et vaut {Id, ρn/2 } si n
Dans la suite |G| = pα m, avec p premier, α ≥ 1 et p non diviseur de m.
est pair. Et D(Dn ) = < ρ2 > (= < ρ > si n est impair).
Déf 4.14. Un p-Sylow de G est un sous-groupe de G d’ordre pα .
Thm 4.15 (Sylow). 1. G possède un p-Sylow, 5.2 Polyèdres convexes
2. tout p-sous-groupe de G est inclus dans un p-Sylow de G, On se place maintenant dans E = R3 .
3. les p-Sylow de G sont deux à deux conjugués,
Déf 5.7. On note T « le » tétraèdre régulier (à similitude près) de E, c’est-à-dire
4. leur nombre k vérifie k ≡ 1 mod p et k|m. l’enveloppe convexe de quatre points équidistants dans l’espace.
Cor 4.16 (du point 3). Soit S un p-Sylow de G, alors : S est l’unique p-Sylow de G
Thm 5.8. En fessant agir Isom(T) sur l’ensemble des sommets de T, on obtient :
si, et seulement, si S / G.
Isom(T) ' S4 , et donc Isom+ (T) ' A4 .
Ex 4.17. Un groupe d’ordre 63 n’est pas simple.
Faire des dessins en annexe pour illustrer le tableau suivant :
Cor 4.18 (du point 1). Pour tout 0 ≤ β ≤ α, il existe dans G un groupe d’ordre
pβ . Avec β = 1, on retrouve le théorème de Cauchy. Isométries de T Permutations de S4
Id Id
Ex 4.19. Exo du jury : déterminer les p-Sylow de S4 .
rotation d’axe sommet-centre de face opposée 3-cycle
rotation d’axe passant par le milieu de 2 arêtes opposées double-transpositions
5 Groupes et géométrie symétrie par rapport à un plan médiateur transposition
composée d’une symétrie et d’une rotation sommet-centre 4-cycle
Dans cette section, E est l’espace affine euclidien R2 ou R3 . P désignera une partie
quelconque de E. Déf 5.9. On choisit un repère dans l’espace affine E = R3 . Soit C « le » cube (à
similitude près) de E, c’est-à-dire l’enveloppe convexe de S = {(±1/2, ±1/2, ±1/2)}
Déf 5.1. Le groupe des isométries de P est le groupe des isométries de E fixant (ensemble à huit éléments).
P : Isom(P) = {ϕ ∈ Isom(E), ϕ(P) = P}. On note aussi Isom+ (P) = Isom+ (E) ∩
Isom(P) et Isom− (P) = Isom(P)\Isom+ (P). Prop 5.10. Isom(C) ' Isom(S)

Prop 5.2. — Pour toute similitude ϕ de E on a : Isom(ϕ(P)) ' Isom(P). On fait agir Isom+ (S) sur l’ensemble des quatre diagonales du cube pour obtenir :
— Si P est fini et si O est un centre de symétrie de P alors ϕ(O) = O pour tout Thm 5.11. Isom+ (S) ' S4 , puis Isom(S) ' S4 × Z/2Z.
ϕ ∈ Isom(P). De plus : Isom(P) ' Isom+ (P) × Z/2Z.

3
Annexe
Ordre Groupes à isomorphisme près
1 {1}
2 Z/2Z
3 Z/3Z
2
4 Z/4Z, (Z/2Z) ' D2
5 Z/5Z
6 Z/6Z , S3 ' D3
7 Z/7Z
3
8 Z/8Z, Z/2Z × Z/4Z, (Z/2Z) , D4 , H8
2
9 Z/9Z, (Z/3Z)

Dessiner U6 sur un cercle avec les ordres des éléments.

Faire une partie de la table de H8 .
Faire des dessins du tétraèdre régulier illustrant le dictionnaire de Isom(T).

Avertissements
C’est le plan que j’ai réalisé le jour J. Il est là pour vous donner des idées. Faites
un plan à votre niveau. Développez d’avantage des parties et rajoutez/supprimez en
d’autres à votre guise.

Développements possibles
— Théorème de structure des groupes abéliens finis,
×
— Condition nécessaire et suffisante sur n ≥ 1 pour que (Z/nZ) soit cyclique,
— Simplicité des An pour n ≥ 5 et sous-groupes distingués des Sn ,
— Les théorèmes de Sylow par les actions de groupes (preuve du Perrin),
— Groupe d’isométries du cube,
— Table de caractères de S4 (si on parle de représentations).

Références
— Nouvelles histoires hédonistes de groupes et de géométrie - Caldero Germoni
(Tome 2, pour le théorème de structure et la partie 5)
— Mathématiques pour l’agrégation - Rombaldi (pour la partie 5 et un peu la
partie 1)
— Oraux X-ENS Algèbre 1 - Francinou Gianella Nicolas (pour Frobenius et pour
faire des exos)
— Cours d’algèbre - Perrin (pour tout le reste)