‫الجوهـــىريت الجـــسائريــت الديوقـــراطيـت الشعبيــــت‬

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

‫وزارة التعلـيـــن العـــالي و البحـــث العلوـــي‬

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEURET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

‫جـــاهعـــــت ابي خلـــــــــدوى بتيـــــــارث‬

UNIVERSITE IBN KHALDOUN DE TIARET

‫هعهــــــــد علـــــــــىم البيطــــــــرة‬

INSTITUT DES SCIENCES VETERINAIRES

Polycopie
Elément de statistiques descriptives
et inductives.

Rappel de cours & exercices corrigés.

A l’usage des étudiants

1ére année.

Présenté par : Mr AMIRAT Mokhtar.

Institut des Sciences vétérinaires Tiaret Par : M. AMIRAT

LES STATISTIQUES DESCRIPTIVES

A. Statistiques a une variable

1. Vocabulaire de la statistique

la statistique est une énumération des données (obtenues, mesurées, collectées)

permettant d’analyser et de disposer des méthodes afin d’arriver à un certain but. Donc,
toute étude en bio-statistique peut être décomposée en deux phases au moins : le recueil ou
la collecte des données statistiques, et leur analyse ou leur interprétation selon les
phénomènes liés à la biologie.
Un ensemble d’objets ou de personnes d’une étude statistique est appelé population. Un
élément de cette population est appelé individu.
L’étude statistique porte sur un caractère. Si le caractère est quantitatif, les mesures sont
alors les valeurs d’une variable statistique (ex : un âge, une taille...). Si le caractère est
qualitatif, on est obligé de le quantifier (ex : sexe...).
La variable est dite discrète si elle ne prend que des valeurs isolées (ex : entières). Elle est
continue si elle peut prendre toutes la valeurs d’un intervalle (ex : R).
L’effectif d’une population est le nombre d’individus total de cette population. La fréquence
d’un caractère est le nombre d’individus possédant ce caractère divisé par l’effectif total de
la population.

2. Les variables discrètes

a) Représentation
On représente les variables aléatoires discrètes sous forme d’histogramme ou de
camembert grâce aux différentes fréquences

b) Caractéristiques
(1) La moyenne Nommée X barre
Soit n valeurs distinctes ou non de la variable. Si cette variable prend p valeurs distinctes (p=n),
x1,…,xp , d’effectifs respectifs n1,…np alors la moyenne est donnée par :

𝑛
1
𝒙= 𝑛 𝑖 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1

Jean-Michel BERNABOTTO Cours de statistiques d’IUT

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Institut des Sciences vétérinaires Tiaret Par : M. AMIRAT

(2) La variance La variance sert à évaluer la dispersion d’une distribution autour d’une valeur
centrale, la moyenne.

(3) L'écart-type est une mesure de dispersion par rapport à la moyenne, Elle présente de plus
l'avantage d'avoir une signification probabiliste.

. C’est la racine carrée positive de la variance c’est un paramètre dont l’unité est celle de la
variable

1 1 2
Elle est donnée par la formule : : V=𝑆 2 = 𝑛 𝑥𝑖 2 − 𝑥𝑖
𝑛
2
2 1 2
1
𝑆 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖
𝑛 𝑛

Dans chaque étude statistique il est très important de considérer la nature des données
(observations, caractères, attributs) que l'on va tester. Il est donc primordial de préciser
la nature de chaque caractère. Il existe deux types de caractères, ceux-ci peuvent être soit
quantitatifs soit qualitatifs.

(4) -Le coefficient de variation: C’est le rapport de l’écart type sur la moyenne

arithmétique.
Il est indépendant du choix des limites

C.V = l’écart type / la moyenne

Remarque :
C.V ≥ 0.33 la dispersion est importante
C.V < 0.33 la dispersion est moins importante

1. Caractère quantitatif : C’est un caractère auquel on peut associer un nombre c'est-à-dire,

pour simplifier, que l'on peut "mesurer" (grandeur mesurable).

On distingue deux variables statistiques pour ce caractère quantitatif :

a. Variable discontinue ou discrète : un tel caractère ne prend qu'un nombre fini

de valeurs (valeur entière (N) dénombrable et sans aucune valeur intermédiaire).
Par exemple le nombre d'enfants peut prendre : (0 ; 1 ; 2 ; … ; 10 ; …).

2
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b. Variable continue : un tel caractère peut, théoriquement, prendre toutes les valeurs
d’un intervalle de l’ensemble des nombres réels (R). par exemple la température
peut prendre : (-100°C ; 0°C ; 37,8°C).

2. Caractère qualitatif : Dans ce type de caractère, les modalités ne sont pas quantifiables
(pas mesurable) tel que les couleurs des yeux. Ce sont des qualités qui peuvent être
réalisées dans deux échelles de mesure : échelle ordinale (rangement) et l'échelle nominale.

On appelle effectif de la modalité (𝑥𝑖 ), le nombre (𝑛𝑖 ). Et parfois on peut trouver dans
la littérature le terme fréquence absolue pour l’effectif.

𝑛𝑖
On appelle Fréquence relative de la modalité (𝑥𝑖 ), le nombre (𝑓𝑖 ) tel que 𝑓𝑖 =
𝑛

Parfois on peut rencontrer le terme de fréquence relative pour les fréquences.

𝑖
On appelle Fréquence relative cumulée le nombre (𝑓𝑖 𝑐𝑢𝑚) tel que 𝑓𝑖 𝑐𝑢𝑚 = 𝑛 =1 𝑓𝑛

Source :A.Boukerma , AFEDDAL ,A.BENALLI Faculté de médecine d’Oran laboratoire de bio

statistique

Exemple :

Parmi les variables suivantes, donner la qualité du caractère (qualitatif, quantitatif)

et sa variable statistique (discrète, continue, ordinale ou nominale) :

1- Température ;

2- La race ovine ;

3- Taux de cholestérol ;

4- Nombre d’élèves par salle ;

5- Répartition par catégories-socio-professionnelles ;

6- Nombre de vaches a traité.

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Solution :

1- La température est un caractère mesurable (quantifiable) et elle peut prendre

une valeur de l’ensemble des nombres réels. Donc le caractère est quantitatif
d’une variable statistique continue.

2- La race est une qualité qui identifie de quellle race appartient notre ovin ce qui
implique le caractère qualitatif, et la variable statistique ne peut être que nominale

3- Taux de cholestérol d’abord est une mesure donné par analyse sanguine, alors c’est
un caractère quantitatif,

4- Nombre d’élèves par salle est un dénombrement ce qui implique directement qu’il
s’agit d’une quantité (caractère quantitatif), et la variable statistique est discrète, le fait
que le nombre d’élèves ne peut prendre que des valeurs fixes.

5- La répartition par catégorie Socio-Professionnelles est une qualité que l’on peut
exprimer au rangement des postes (professions) dans la hiérarchie de la société. Donc
il s’agit d’un caractère qualitatif avec une variable statistique ordinale.

6- Nombre de vaches a traité e c’est un caractère quantitatif avec une variable statistique
discontinue.

Résumé :

Types du Forme de variable

caractère statistique
Température Quantitatif Continue
La race ovine Qualitatif Nominale
Taux de cholestérol Quantitatif Continue
Nombre d’élèves par salle Quantitatif Discontinue
Répartition par catégories socio- Qualitatif Ordinale
professionnelles
Nombre de vaches a traité Quantitatif Discontinue

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EXERCICE N°1 :

Soit la quantité de créatine en Mgrs par 100 cm3 d’urine chez 80 vaches.

Quantité Nombre de vache ni

xi

2,5 – 3,5 2

3,5 – 4,5 11

4,5 – 5,5 20

5,5 – 6,5 30

6,5 – 7,5 14

7,5 – 8,5 03

Comment appelle t- on ce type de tableau ?

Donner la nature de ce caractère.

Calculer la moyenne, mode et l’écart type(MI).

Solution :

C’est un tableau statistique.

C’est un caractère quantitatif continu

Soit la quantité de créatine en Mgrs par 100 cm3 d’urine chez 80 vaches.

Quantité Nombre de
Classe Centre vache ni xi. ni
de classe
2,5 – 3,5 3 2 6
3,5 – 4,5 4 11 44
4,5 – 5,5 5 20 100
5,5 – 6,5 6 30 180
6,5 – 7,5 7 14 98
7,5 – 8,5 8 03 24

5
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𝑛
1
𝒙= 𝑛 𝑖 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1

𝒙 = 𝟓, 𝟔𝟓

Le mode A est égale à 6.

2
1 1
𝑆22 = 𝑥𝑖 2 − 𝑥𝑖
𝑛 𝑛

La variance est égale donc à 1.22.

L’écart type est la racine carré de la variance est égale à 1,10.

Exercice N°02 :

L’étude du poids de 50 personnes a donné les résultats suivants (en Kg) présentés
sous forme d’une série statistique ordonnée :

37 43 47 50 52 54 55 55 58 58 61 62 63 63 64 65 66 66 67 68 68 69 69 70 71 72
72 72 73 73 74 74 75 76 76 77 79 79 80 82 82 84 86 87 88 90 92 93 98 98

Dresser un tableau statistique contenant :

1- Les données de cette série regroupées en classes ;

2- Les centres de classes ;
3- Les fréquences absolues ;
4- Les fréquences relatives.
Solution :

Premièrement on doit identifier la nature du caractère étudié. Il s’agit de la mesure du poids

de 50 personnes (ordonnées selon la série statistique) qui a donné des valeurs quantifiables
ce qui implique directement que le caractère est quantitatif continu.

Dans le cas d'un caractère quantitatif continu, l’établissement du tableau de fréquences

implique d’effectuer au préalable une répartition en classes des données. Cela nécessite
de définir le nombre de classes attendu et donc l’amplitude associée à chaque classe.

En règle générale, on choisit des classes de même amplitude. Pour que la distribution
en fréquence ait un sens, il faut que chaque classe comprenne un nombre suffisant
de valeurs (𝑛𝑖 ).

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La formule permettant d’établir le nombre de classes pour un échantillon de taille 𝑛 :

𝑵 = 𝒏 = 𝟓𝟎 = 𝟕, 𝟎𝟕 → 7 classes.

L’amplitude de chaque classe est obtenue de la manière suivante :

𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏 𝟗𝟖 − 𝟑𝟕
𝑨𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆 = = = 𝟖, 𝟕𝟏 que l′ onarrondit à 𝟗 𝐊𝐠 par classe.
𝑵 𝟕

Avec 𝑋𝑚𝑎𝑥 et 𝑋𝑚𝑖𝑛 respectivement la plus grande et la plus petite valeur de X dans la série
statistique.

𝒙𝒊 𝒄𝒄 : centre
𝒙𝒊 : Classes 𝒏𝒊 : fréquence absolue 𝒇𝒊 𝒄𝒖𝒎
de classe
[37 - 46[ 41,5 2 0,04
[46 - 55[ 50,5 4 0,08
[55 - 64[ 59,5 8 0,16
[64 - 73[ 68,5 14 0,28
[73 - 82[ 77,5 11 0,22
[82 - 91[ 86,5 7 0,14
[91 - 100[ 95,5 4 0,08
𝑛 𝑛

𝑛= 𝑛𝑖 = 50 𝑓𝑖 = 1 = 100%
𝑖=1 𝑖=1

Exercice N°02 :

Soit la répartition de 150 grenouilles suivant le nombre de parasites quelles hébergent a

obtenu le tableau suivants :

Nombre parasites par grenouille 0 1 2 3 4 5 6

Nombre de grenouilles correspondantes 11 22 45 40 19 11 02

a/Calculer la moyen

b/ calculer la fréquence relative

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Solution :

a) Pour calculer le nombre moyen de trématodes par grenouille, on applique directement

la formule de la moyenne arithmétique des effectifs.

𝒙𝒊 : Nb de trématode par grenouille 𝒏𝒊 : Nb de grenouille 𝒏𝒊 𝒙𝒊 𝑓𝑖

0 11 0 0,07
1 22 22 0,14
2 45 90 0,30
3 40 120 0,26
4 19 76 0,12
5 11 55 0,07
6 02 12 0,01
𝑛 𝑛

𝑛= 𝑛𝑖 = 150 𝑛𝑖 𝑥𝑖 = 375 1
𝑖=1 𝑖=1

𝒙 = 2,5
𝑛𝑖
Fréquence relative de la modalité (𝑥𝑖 ), le nombre (𝑓𝑖 ) tel que 𝑓𝑖 =
𝑛

Exercice N°03 :

On a mesure la longueur des tiges d’un lot fleurs et on a obtenue les résultats suivants
exprimé par leur valeurs central.

Xi 110 120 130 140 150 160 170 180

ni cumulé 6 12 22 37 54 64 72 74

a / Donner la nature du caractère.

b / Mode, moyenne, la médiane et écart type(MI).

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Solution :

a/ Puisque le caractère est défini par le centre de classe donc c’est un caractère
quantitatif continu

Xi 110 120 130 140 150 160 170 180

ni cumulé 6 12 22 37 54 64 72 74

Classe 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 165-175 175-185

ni 6 6 10 15 17 10 08 02

b/ Le mode A = 150 et la classe modale est de 145 – 155.

𝑛
1
𝒙= 𝑛 𝑖 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1

𝒙 = 143,91

écart type est de 17,91.

B. Repreentation graphiques des series Statistiques

La représentation graphique d'une série statistique est une étape très importante
dans l'analyse d'un problème statistique car elle donne une information sur la
forme de la distribution observée. Cette forme est souvent caractéristique, comme
l'allure en cloche observée pour les histogrammes de poids des nouveau-nés.

Le graphique est un mode d'expression qui permet "visuellement" de saisir et de

mémoriser un certain nombre d’informations. C'est pourquoi, lors de la présentation
des résultats statistiques et complémentairement aux tableaux, on utilise souvent
une représentation graphique .

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a/ caractères quantitatifs discontinus

Pour les caractères quantitatifs discontinus, la représentation graphique est le diagramme

en bâtons où la hauteur des bâtons correspond à l’effectif (𝑛𝑖 ) associé à chaque modalité
du caractère (𝑥𝑖 ).

b/ caractères quantitatifs continus

Pour les caractères quantitatifs continus, la représentation graphique est l’histogramme

où la hauteur du rectangle est proportionnelle à l’effectif (𝑛𝑖 ).

Autrement On portera en abscisses les valeurs des classes des caractères (variables) , et l’on
portera en ordonnées les effectifs correspondants , on dit que l’on représente la « structure
de la population étudiée ».

Principe de construction de l’histogramme.

Pour chaque classe, on élève un rectangle ayant une base proportionnelle à

l’intervalle de classe et une hauteur proportionnelle à l’effectif simple. Dans ce cas,
ce sont les « surfaces » , et non les hauteurs , qui « sont proportionnelles à
l’effectif ».

Dans la pratique, cependant, deux cas peuvent se présenter. Le cas où les classes
sont d’égales amplitudes et le cas ou les amplitudes sont inégales.
Cas 1 : Classes sont d’égales amplitudes.

Le caractère qualitatif peut se représenter soit par des tuyaux d’orgue soit par des secteurs
circulaires (camembert).

Exercice N°01 :

On recense dans 1000 écoles d’une région donnée le nombre d’eleves atteint d’une maladie M. On
trouve les résultats :

Nombre d’élèves
0 1 2 3 4 5
malades
Nombre d’écoles 50 150 350 300 100 50
Représenter graphiquement ces données et donner les conclusions nécessaires.

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Solution :

La variable statistique est discontinue → diagramme en bâtons

350

300
Polygone des fréquences
Nombre d'hôpitaux (fi ou ni)

250

200

150

100

50

0
0 1 2 3 4 5 6
Nombre de malades (xi)

Intitulé : Répartition des malades par école

Exercice N°02 :

Soit le tableau suivant dont la variable statistique est definie par le centre vde classe.

Centre de classe 45 75 105 135 165 195 225 255 285

ni cumulé 01 01 08 18 36 44 47 49 50

Questions :

Nature du caractère.

Déterminer l’amplitude a et les classes.

Calculer Fr

Représentations graphique

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Solution :

On remarque à travers le tableau que l’amplitude k = 30 cg/l. on en déduit le tableau en classes :

Xi Classes 𝐧𝐢 cumulée 𝐧𝐢 : effectif Fr

45 [30 - 60[ 01 01 0.02
75 [60 - 90[ 01 00 0.0
105 [90 - 120[ 08 07 0.14
135 [120 - 150[ 18 10 0.2
165 [150 - 180[ 36 18 0.36
195 [180 - 210[ 44 08 0.16
225 [210 - 240[ 47 03 0.06
255 [240 - 270[ 49 02 0.04
285 [270 - 300[ 50 01 0.02

La variable statistique est continue → Représentation par histogrammes

18

16

14 Polygone des fréquences

12
Effectif (ni)

10

0
30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
xi : dosage (cg/l)

12
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Exercice N°04 :

Le tableau suivant montre les taux de naissance et de mortalité de 1000 personnes.

Année 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950 1955
Tn (‰) 25,0 23,7 21,3 18,9 16,9 17,9 19,5 23,6 24,6
Tm (‰) 13,2 13,0 11,7 11,3 10,9 10,8 10,6 09,6 09,3

Représenter graphiquement ces résultats sur le même graphique. Faire le commentaire.

Source :A.Boukerma , AFEDDAL ,A.BENALLI Faculté de médecine d’Oran laboratoire de bio

statistique

Solution :

Le caractère étudié est qualitatif → Représentation par tuyaux d’orgue

Intitulé : Répartition des taux de naissance et de mortalité par année.

La médiane Me

En théorie des probabilités et en statistiques, la médiane est la valeur qui sépare

la moitié inférieure de la moitié supérieure d'un ensemble. Intuitivement, la
médiane est ainsi le point milieu de l'ensemble. C'est un indicateur de tendance
centrale de la série.

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Institut des Sciences vétérinaires Tiaret Par : M. AMIRAT

La médiane est le point milieu d'un jeu de données, de sorte que 50 % des unités ont
une valeur inférieure ou égale à la médiane et 50 % des unités ont une valeur
supérieure ou égale. Dans un jeu de données de petite taille, il suffit de compter le
nombre de valeurs (n) et de les ordonner en ordre croissant

Pour calculer la médiane : On classe les valeurs de la série statistique dans l'ordre
croissant : Si le nombre de valeurs est impair, la médiane est la valeur du milieu. S'il
est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs du milieu.

Autrement la médiane est la valeur de la variable statistique qui divise la série

statistique en deux parties égales
(50% de l’effectif lui soit inférieur et 50% supérieur)

- Nombre d’observation impair :

7, 9, 13, 45, 70, 101, 115
Me = 45
- Nombre d’observations pair :
2, 5, 9, 10, 12, 14, 20, 22
Me = (10 +12) / 2 = 11
La demi-somm

e de l’intervalle médian

Variable statistique discontinue

la médiane est la valeur de la variable statistique qui occupe le (n / 2)éme rang

(détermination direct)

14
Institut des Sciences vétérinaires Tiaret Par : M. AMIRAT

Exemple : Soit le nombre d’enfant par famille comme l’indique le tableau suivant.

Nombre d’enfants Nombre de familles ni

0 4
1 5
2 10
3 16
4 18
5 14
6 07
7 06
Total 80

n / 2 = 80 / 2 = 40, la valeur de la variable qui occupe le 40éme rang est égale à 4

donc Me = 4 enfants
Interprétation :
Il ya 50% (soit 40 familles) qui ont moins de 4 enfants et 40 plus de 4 enfants
Variable statistique continue
Il y a deux méthodes : direct, méthode d’interpolation linéaire
a) Méthode direct
Les pesées de 50 nouveau-nées

Poids (Kg) Xi Poids (Kg) Xi

2 - 2.5 2
2.5 - 3 4
3 - 3.5 6
3.5 - 4 Classe médiane 30
4 - 4.5 8
Total 50
3,0 – 3,5 alors Me = (3,0 + 3,5) / 2

Donc Me = 3,75 Kg

15
Institut des Sciences vétérinaires Tiaret Par : M. AMIRAT

Interprétation :
Il ya 50% (soit 25) nouveau-née qui ont un poids inferieur à 3,75 Kg et 50% (25) qui on
un poids
supérieur à 3,75 Kg

Source : Bio statistique Département pharmacie Oran Année 2008/2009 Faculté de

médecine Oran
Exercice:

L’étude du périmètre encéphalique de deux échantillons de 36 enfants a fourni les résultats

ci-contre :

PERIMETRE (𝒄𝒎) 𝒏𝒊 ∶ (1er échantillon) 𝒏𝒊 ∶ (2ème échantillon)

40 – 42 01 02
42 – 44 04 03
44 – 46 10 18
46 – 48 12 08
48 – 50 06 04
50 – 52 03 01
a) Calculer les paramètres de tendance centrale.
b) Comparer ces deux distributions en calculant la variance et l’écart-type de chacune.
c) Pouvez-vous en tirer une conclusion ?
Source :A.Boukerma , AFEDDAL ,A.BENALLI Faculté de médecine d’Oran laboratoire
de bio statistique

Solution :

1er échantillon

𝒙𝒊 : 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆𝒔 𝒏𝒊 : 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒇 𝒙𝒊 𝒄𝒄 𝒏𝒊 𝒄𝒖𝒎 𝒏𝒊 𝒙 𝒊 𝒏𝒊 𝒙𝒊 𝟐

40 – 42 01 41 1 41 1681
42 – 44 04 43 5 172 7396
44 – 46 10 45 15 450 20250
46 – 48 12 47 27 564 26508
48 – 50 06 49 33 294 14406
50 – 52 03 51 36 153 7803
36 1674 78044

16
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a) Détermination des paramètres de tendances centrales (indicateurs de position):

 Calcul de la moyenne arithmétique :
𝑛
1 1674
𝑥1 = 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝑐𝑐 = = 46,5 ⇒ 𝒙𝟏 = 𝟒𝟔, 𝟓 𝒄𝒎
𝑛 36
𝑖=1

 Calcul de mode par interpolation linéaire:

𝑑1 12 − 10
𝑀𝑂1 = 𝑏𝑚𝑖𝑛 + × 𝑘 = 46 + × 2 = 46,5 ⇒ 𝑴𝑶𝟏 = 𝟒𝟔, 𝟓 𝒄𝒎
𝑑1 + 𝑑2 12 − 10 + (12 − 6)

 Calcul de la médiane par interpolation :

Il faut tout d’abord déterminer la classe médiane en procédant par la détermination de son
rang.
𝑛 36
𝑅𝑎𝑛𝑔 = 2 = 2 = 18ème rang, la 18ème valeur se situe dans la classe [46 – 48[ qui contient
le nombre des enfants de 16 à 27 d’où avec 𝑏𝑚𝑖𝑛 = 46 cm, 𝑛𝑚𝑒 = 12 enfants et S = 15.
𝑛
( −𝑆) 18−15
𝑀𝑒1 = 𝑏𝑚𝑖𝑛 + 𝑛2 𝐾 = 46 + 12
× 2 = 46,5 ⇒ 𝑴𝒆𝟏 = 𝟒𝟔, 𝟓 𝒄𝒎
𝑚𝑒𝑑

b) Détermination des paramètres de dispersion :

 Calcul de la variance :

1 78044
𝑆12 = 𝑛𝑖 𝑥𝑖 2 − 𝑥 2 = − (46,5)2 = 5,638 ⇒ 𝑺𝟐𝟏 = 𝟓, 𝟔𝟑𝟖 𝒄𝒎𝟐
𝑛 36
 Calcul de l’écart-type :

𝑆1 = 𝑆12 = 5,638 = 2,37  𝑺𝟏 = 𝟐, 𝟑𝟕 𝒄𝒎

2ème échantillon

𝒙𝒊 : 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆𝒔 𝒏𝒊 : 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒇 𝒙𝒊 𝒄𝒄 𝒏𝒊 𝒄𝒖𝒎 𝒏𝒊 𝒙 𝒊 𝒏𝒊 𝒙𝒊 𝟐

40 – 42 02 41 2 82 3362
42 – 44 03 43 5 129 5547
44 – 46 18 45 23 810 36450
46 – 48 08 47 31 376 17672
48 – 50 04 49 35 196 9604
50 – 52 01 51 36 51 2601
36 1644 75236

c) Détermination des paramètres de tendances centrales (indicateurs de position):

 Calcul de la moyenne arithmétique :
𝑛
1 1644
𝑥2 = 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝑐𝑐 = = 46,5 ⇒ 𝒙𝟐 = 𝟒𝟓, 𝟔𝟔 𝒄𝒎
𝑛 36
𝑖=1

17
Institut des Sciences vétérinaires Tiaret Par : M. AMIRAT

 Calcul de mode par interpolation linéaire:

𝑑1 18 − 3
𝑀𝑂2 = 𝑏𝑚𝑖𝑛 + × 𝑘 = 44 + × 2 = 45,2 ⇒ 𝑴𝑶𝟐 = 𝟒𝟓, 𝟐 𝒄𝒎
𝑑1 + 𝑑2 18 − 3 + (18 − 8)

 Calcul de la médiane par interpolation :

Il faut tout d’abord déterminer la classe médiane en procédant par la détermination de son
rang.
𝑛 36
𝑅𝑎𝑛𝑔 = 2 = 2 = 18ème rang, la 18ème valeur se situe dans la classe [44 – 46[ qui contient
le nombre des enfants de 06 à 23 d’où avec 𝑏𝑚𝑖𝑛 = 44 cm, 𝑛𝑚𝑒 = 18 enfants et S = 5.
𝑛
( −𝑆) 18−5
𝑀𝑒2 = 𝑏𝑚𝑖 𝑛 + 𝑛2 𝐾 = 44 + 18
× 2 = 45,44 ⇒ 𝑴𝒆𝟐 = 𝟒𝟓, 𝟒𝟒 𝒄𝒎
𝑚𝑒𝑑

d) Détermination des paramètres de dispersion :

 Calcul de la variance :

1 75236
𝑆22 = 𝑛𝑖 𝑥𝑖 2 − 𝑥 2 = − (45,66)2 = 5,053 ⇒ 𝑺𝟐𝟏 = 𝟓, 𝟎𝟓𝟑 𝒄𝒎𝟐
𝑛 36
 Calcul de l’écart-type :

𝑆2 = 𝑆22 = 5,053 = 2,24 ⇒ 𝑺𝟐 = 𝟐, 𝟐𝟒 𝒄𝒎

Tableau récapitulatif :

1er échantillon 2ème échantillon

𝑥1 = 46,5 𝑥2 = 45,66
Paramètres de
𝑀𝑂1 = 46,5 𝑀𝑂2 = 45,2
tendance centrale
𝑀𝑒1 = 46,5 𝑀𝑒2 = 45,44

𝑆12 = 5,638 𝑆22 = 5,053

Paramètres de
dispersion 𝑆1 = 2,37 𝑆2 = 2,24

Analyse et interprétation
 𝑥1 > 𝑥2 : La moyenne du 1er échantillon est supérieure à celle du 2ème échantillon.
 Le périmètre le plus courant, répandu ou fréquent du 1er échantillon est 46,5 𝑐𝑚,
ainsi, le périmètre le plus courant, répandu ou fréquent du 2 ème échantillon
est 46,5 𝑐𝑚.

18
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 Pour le 1er échantillon, il ya 18 enfants qui ont un périmètre inférieur à 46,5 cm

et 18 enfants ont un périmètre supérieur à 46,5 cm. Par contre l’échantillon N°02,
il ya 18 enfant qui ont un périmètre inférieur à 45,44 𝑐𝑚 et 18 enfants
ont un périmètre supérieur à 45,44 𝑐𝑚.
 𝑆1 > 𝑆2 : la dispersion des mesures autour de la moyenne pour le premier
échantillon est plus importante que la dispersion pour le 2ème échantillon.

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Sujets d’examens

1/Soit la répartition des poids et des tailles de 300garcons de 10ans définie par
leurs centres de classe

POIDS TAILE cm
Kg 120 125 130 135 140 145 150
20 4
22.5 3 7 2
25 2 17 20 7 1
27.5 8 30 28 6
30 1 17 36 19 4
32.5 4 16 22 3 2
35 1 5 10 8
37.5 1 4 5 2
40 2 1 2

a/Donnez la nature du caractère b/ la moyenne et l’écart type (MI) c/ Fr d/

L’étendue de la serie et la classe modale e/ Histogrammes.

2/ On a dénombré chez un individu 1000 leucocytes, et on s’est intéressé à

leur catégorie .

Leucocytes neutrophile éosinophile Basophile Lymphocyte Monocytes

Ni 600 20 10 110 260

a / La nature du caractère .

b / ni cumulé . c / le mode . d /Fr.

20
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3/ Un coureur s’entraîne dans le but de participer a une course de 1 Km , pour

chacune de ses 60 dernières courses d’entraînement, il a noté le temps en
seconde pris définie par le centre de classe .

Xi 262,5 267,5 272,5 277,5 282,5 287,5 292,5

Ni 5 8 8 15 10 10 4

1. La nature du caractère.

2. La moyenne et l’écart type par la méthode indirecte.

3. La médiane.

4. la représentation graphique .

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Analyse combinatoire

1. Définition :
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment
compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement
utiles en théorie des probabilités. Les probabilités dites combinatoires utilisent
constamment les formules de l’analyse combinatoire développées dans ce chapitre.
Un exemple des applications intéressantes de cette dernière est la démonstration du
développement du binôme de Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi
binomiale.
2. Arrangements
2.1. Définition
Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle arrangements de p objets toutes
suites ordonnées de p objets pris parmi les n objets.
𝒑
Le nombre d’arrangements de p objets pris parmi n est noté : 𝑨𝒏
Remarque : On a nécessairement 1 ≤ p ≤ n et n, p ∈ N*
𝒑
Si n < p, alors 𝑨𝒏 = 0
Deux arrangements de p objets sont donc distincts s’ils diffèrent par la nature des
objets qui les composent ou par leur ordre dans la suite.
Exemples :
(1) Une séquence d’ADN est constituée d’un enchaînement de 4 nucléotides *A
(Adénine), C (Cytosine), G (Guanine) et T (Thymine)]. Il existe différents arrangements
possibles de deux nucléotides ou di nucléotides avec p=2 et n=4.
(2) Le nombre de mots de 5 lettres (avec ou sans signification) formés avec les 26
lettres de l’alphabet correspond au nombre d’arrangements possibles avec p=5 et
n=26.

22
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(3) Le tiercé dans l’ordre lors d’une course de 20 chevaux constitue un des
arrangements possibles avec p=3 et n=20.
Dans les exemples précédents, l’ordre des éléments dans la suite est essentiel. Ainsi
pour le deuxième exemple, le mot NICHE est différent du mot CHIEN.
Mais dans les deux premiers exemples, une base ou une lettre de l’alphabet peut se
retrouver plusieurs fois alors que dans le troisième exemple, les trois chevaux à
l’arrivée sont forcément différents. Il faut donc distinguer le nombre d’arrangements
avec répétition et le nombre d’arrangements sans répétition (arrangements au sens
strict).
2.2. Arrangements avec répétitions

Lorsqu'un objet peut être observé plusieurs fois dans un arrangement, le nombre
d’arrangement avec répétition de p objets pris parmi n, est alors :
𝒑
𝑨𝒏 = np avec 1 ≤ p ≤ n
Voici pourquoi :
Pour le premier objet tiré, il existe n manières de ranger l’objet parmi n.
Pour le second objet tiré, il existe également n possibilités d’arrangements car le
premier objet fait de nouveau parti des n objets. On parle de tirage avec remise.
Ainsi pour les p objets tirés, il y aura n x n x n x…..x n (p fois) arrangements possibles,
𝒑
soit 𝑨𝒏 p = n × n × n × .... × n = n p
Exemples :
(1) Concernant l’exemple de la séquence d’ADN, le nombre de dinucléotides
attendus si l’on fait l’hypothèse qu’une base peut être observée plusieurs fois dans la
séquence (ce qui correspond effectivement à la réalité) est donc : 𝑨𝟐𝟒 = 16
dinucléotides possibles
Les 16 dinucléotides identifiables dans une séquence d’ADN sont :
AA AC AG AT CA CC CG CT
GA GC GG GT TA TC TG TT

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2.3. Arrangements sans répétition

Lorsque chaque objet ne peut être observé qu’une seule fois dans un arrangement, le
nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est alors :
𝒑
𝑨𝒏 = n!/(n − p)! avec 1 ≤ p ≤ n

3.Permutations :

La permutation de n objets constitue un cas particulier d’arrangement sans

répétition de p objets pris parmi n lorsque p = n .

a) Permutations sans répétitions :

Etant donné un ensemble E de (n) objets, on appelle permutations de (n) objets distincts
toutes suites ordonnées de (n) objets ou tout arrangement n à n de ces objets. Le nombre
de permutations de (n) objets est noté :
𝒏!
𝑷𝒏 = 𝑨𝒏𝒏 = = 𝒏! = 𝒏 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 … … 𝟏
(𝒏−𝒏)!

b) Permutations avec répétitions :

Dans le cas où il existerait plusieurs répétitions (k) d’un même objet parmi les (n) objets,
le nombre de permutations possibles des (n) objets doit être rapporté aux nombres
de permutations des (k) objets identiques.

𝒏!
Le nombre de permutations de n objets est alors : 𝑷𝒏 =
𝒌!

Exemple :
Considérons le mot « CELLULE ». Le nombre de mots possibles (avec ou sans
signification) que l’on peut écrire en permutant ces 7 lettres est :
P7 = 7!/2!3!
= 420 mots possibles en considérant deux groupes de lettres identiques : L (3 fois) et E (2
fois).

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4. Combinaisons

1. Définition
Si l’on reprend l’exemple de la séquence d’ADN, à la différence des arrangements où
les dinucléotides AC et CA formaient deux arrangements distincts, ces derniers ne
formeront qu’une seule combinaison. Pour les combinaisons, on ne parle plus de
suite ni de série puisque la notion d’ordre des objets n’est plus prise en compte. On
parle alors de tirages avec ou sans remise.
On parle alors de tirages avec ou sans remise.

a) Combinaisons sans remise :

Etant donné un ensemble E de (n) objets, on appelle combinaisons de (p) objets tout
ensemble de (p) objets pris parmi les (n) objets sans remise.

Le nombre de combinaisons de (p) objets pris parmi (n) est noté :

𝒑 𝒏!
𝑪𝒏 = 𝒂𝒗𝒆𝒄 (𝟏 ≤ 𝒑 ≤ 𝒏)
𝒑! 𝒏−𝒑 !

Voici pourquoi :

Pour calculer le nombre de combinaison, on utilise le principe de la division.

𝒑 𝒑 𝒏!
 Il ya 𝑨𝒏 manière de tirer p objet parmi n en les ordonnant soit 𝑨𝒏 =
(𝒏−𝒑)!
 Une fois les p objets tirés, il y a p! manières de les ordonner.
𝒑
𝑨𝒏
 Il ya donc manières de tirer p objets parmi n sans les ordonner.
𝒑!
𝒑
𝒑 𝑨𝒏 𝒏!
𝑪𝒏 = =
𝒑! 𝒑! 𝒏 − 𝒑 !
b) Combinaisons avec remise :
Le nombre de combinaisons de (p) objet parmi (n) avec remise est :

𝒑 (𝒏 + 𝒑 − 𝟏)!
𝑪𝒏+𝒑−𝟏 =
𝒑! 𝒏 − 𝟏 !

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Exemples :

(1) Le tirage au hasard de 5 cartes dans un jeu de 32 (main de poker) est une
combinaison avec p=5 et n=32.

(2) La formation d’une délégation de 5 personnes parmi un groupe de 50 constitue

une combinaison avec p=5 et n=50.
Pour ces deux exemples, les objets tirés sont clairement distincts.

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Exercices

Exercice N°01 :

Un médecin doit au cours d’une étude, visiter 6 villes :

a) S’il se trouve 10 villes dans l’aire géographique à laquelle il s’intéresse, de combien

de manière lui est-il possible de choisir un groupe de 6 villes ?
b) Toujours dans la même hypothèse de 10 villes situées dans cette aire géographique,
mais en admettant, en outre, que l’ordre dans lequel il visitera des 6 villes choisies
présente de l’importance, combien d’itinéraires différents peut-on sélectionner ?
c) En supposant que les 6 villes à visiter aient été choisies mais pas encore l’itinéraire
qui leur est dévolu, de combien de manières peut se dérouler la visite des 6 villes ?

Solution :

a) le médecin doit visiter 6 villes parmi 10 villes, le nombre de possibilités pour choisir
un groupe de 6 villes sans tenir compte de l’ordre (combinaisons) est :
6
10! 3628800
C10 = = = 210
6! 10 − 6 ! 720 × 24

Donc il existe 210 manières pour choisir un groupe de 6 villes parmi 10 villes.

b) Toujours le médecin doit visiter 6 villes parmi 10 villes, le nombre de possibilités pour
choisir un groupe de 6 villes en tenant compte de l’ordre (arrangements) est :

10! 3628800
A610 = = = 151200
(10 − 6)! 24
Donc il existe 151200 itinéraires différents entre les 6 villes visitées parmi 10 villes.

c) Maintenant, le choix des 6 villes a été réalisé. Le médecin doit visiter ces 6 villes.
le nombre de possibilités pour faire sa visite entre les 6 villes sans tenir compte
de l’ordre (permutations) est :
P6 = 6! = 720

Donc il existe 720 manières de définir un itinéraire entre les 6 villes.

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Exercice N°02 :

Soit une population composée de 12 éléments. Combien d’échantillons de 5 éléments

peut-on extraire de cette population, si l’échantillonnage s’effectue sans remise
et si l’on ne tient pas compte de l’ordre de sortie ?

Solution :

On peut extraire 792 échantillons de 5 éléments d’une population composée

de 12 éléments.

Exercice n° 3 :

A partir d’un groupe de 15 athlètes on veut former une équipe de 7 joueurs. Combien
d’équipes peuvent on former ?

Exercice n° 4:

Une classe comprend 25 étudiants dont 15 garçons et 10 filles. Pour des travaux
pratiques on choisit des sous-groupes de 5 étudiants.

a / Combien de sous groupes différents peut on former ?

b / Combien de sous groupes différents contenants 3 garçons et 2 filles seulement

peut on former ?

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Exercice N°05 :

On considère un lot de 35 boules identiques, numérotées de 1 à 35. Quelle est la probabilité

de tirer :

a) Une boule portant un numéro pair ?

b) Une boule portant un numéro impair ?
c) Une boule portant un numéro strictement supérieur à 5 ?

Solution :

L’épreuve (expérience) : « tirer une boule ».

a) L’évènement (a) : « avoir une boule portant un numéro pair ».

b) L’évènement (b) : « avoir une boule portant un numéro impair ».

c) L’évènement (c) : « avoir une boule portant un numéro strictement supérieur à 5 ».

Nb :

Exercice N°06 :

Un vétérinaire doit au cours d’une étude, visiter 6 fermes :

a) S’il trouve 10 fermes dans l’aire géographique à laquelle il s’intéresse, de

combien de manière lui est-il possible de choisir un groupe de 6 fermes ?
b) Toujours dans la même hypothèse de 10 fermes situées dans cette aire
géographique, mais en admettant, que l’ordre dans lequel il visitera les 6
fermes choisies présente de l’importance, combien d’itinéraires différents
peut-on sélectionner ?
c) Déterminez le nombre de possibilités pour faire sa visite entre les 6 fermes
sans tenir compte de l’ordre.

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Exercice N°07 :

Trois garçons et trois filles s’assoient sur un banc.

Calculer les probabilités pour que :

 Les trois filles s’assoient l’une à coté de l’autre.

 L’on ait alternativement un garçon et une fille.

Exercice n°8

L’étude des groupes sanguins montre qu’il existe deux agglutinogènes A et B . ces
derniers peuvent exister séparément (groupe A et groupe B ) ou simultanément
(groupe AB) ou peuvent manquer tous les deux (groupe 0 ). Pour les transfusions
sanguines, on sait que :

 Les sujets du groupe A ne peuvent recevoir que du sang des groupes A et 0

 Les sujets du groupe B ne peuvent recevoir que du sang des groupes B et 0
 Les sujets du groupe AB peuvent recevoir le sang de n’importe quel groupe
 Les sujets du groupe 0 ne peuvent recevoir que du sang des groupes 0
Dans une population, un sujet pris au hasard, a la probabilité : 0,43 d’être du groupe A,
0,12 d’être du groupe B et 0,40 d’être du groupe 0

Exercice N°09 :

Deux postes de médecins sont offerts dans un hôpital, postes qui peuvent indifféremment
être occupés par un homme ou par une femme. 4 femmes et 2 hommes posent leur
candidature et les chances de chacun des 6 postulants sont à priori équivalentes.

a) Quelle est la probabilité pour que les 2 postes soient occupés par 2 femmes ?
b) Quelle est la probabilité pour que les 2 postes soient occupés par 2 hommes ?
c) Quelle est la probabilité pour que les 2 postes soient occupés par 2 personnes
de même sexe ?
d) Quelle est la probabilité pour que les 2 postes soient occupés par 2 personnes
de sexe différent ?

30
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Solution :

Premièrement, il faut connaitre l’épreuve (expérience) : « extraire 2 postes ».

a) L’évènement (A) : « 2 postes soient occupés par 2 femmes ».

nombre de cas favorables Ω C42 × C20 2
P A = = = =
nombre de cas possibles N C62 5
2
La probabilité pour que les 2 postes soient occupés par 2 femmes est : P A =
5

b) L’évènement (B) : « 2 postes soient occupés par 2 hommes ».

nombre de cas favorables Ω C22 × C40 1
P B = = = 2 =
nombre de cas possibles N C6 15
1
La probabilité pour que les 2 postes soient occupés par 2 hommes est : P B =
15

c) L’évènement (C) : « 2 postes soient occupés par 2 personnes de même sexe».

nombre de cas favorables Ω C22 C42 7
P C = = = 2+ 2=
nombre de cas possibles N C6 C6 15

La probabilité pour que les 2 postes soient occupés par 2 hommes ou 2 femmes est :
7
P C =
15

d) L’évènement (D) : « 2 postes soient occupés par 2 personnes de sexe différent».

nombre de cas favorables Ω C21 × C41 8
P D = = = 2 =
nombre de cas possibles N C6 15

La probabilité pour que les 2 postes soient occupés par 1 homme et 1 femme est :
8
P D =
15

On peut déterminer la probabilité de l’événement (D) d’une autre manière, en utilisant

la probabilité de l’événement (C). Puisque P D = P(C).
7
Donc, P C + P C = 1 P C + P D = 1  P D = 1 − P C = 1 − 15

8
=> P D =
15

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Exercice N°10 :

Soit une population composée de 12 éléments. Combien d’échantillons de 5 éléments

peut-on extraire de cette population, si l’échantillonnage s’effectue sans remise
et si l’on ne tient pas compte de l’ordre de sortie ?

Solution :

5
12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8
C12 = = = 792
5! 12 − 5 ! 5×4×3×2
On peut extraire 792 échantillons de 5 éléments d’une population composée
de 12 éléments.

Exercice N°11:

Dans une classe, on souhaite élire un comité. (Un comité est un petit groupe d’élèves auquel
on confiera une mission particulière). On suppose que chaque élève de la classe peut-être
élu.

1. Combien de comité de 3 personnes peut-on élire dans une classe de 31 élèves ?

2. Dans une classe de (n) élèves ; il ya 351 façons d’élire un comité de 2 personnes.
Quel est le nombre n élève de cette classe ?

Solution :

1. Détermination du nombre de comités de 3 personnes dans une classe de 31 élèves :

3
31! 31 × 30 × 29
C31 = = = 4495
3! 31 − 3 ! 3×2
On peut élire 4495 comités composés de 3 personnes dans une classe de 31 élèves.

2. Détermination du nombre n élève :

n!
Cn2 = 351  = 351
2! n − 2 !
n n−1 n−2 !
 = 351
2! n − 2 !

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 n(n − 1) = 702  n2 − n − 702 = 0

𝒏𝟏 = −𝟐𝟔 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑 ′ 𝑎𝑣𝑜𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓

∆= 53  𝑣
𝒏𝟐 = 𝟐𝟔 ≥ 𝟎 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑛 = 𝑛2

Donc la classe est composée de 26 élèves, dont on peut élire 351 comités de 2 personnes.

Exercice N°12 :

Pour les besoins d’un test sur un vaccin V, nous disposons de 10 volontaires, 3 d’entre eux
appartiennent à la même famille. Deux personnes sont tirées au hasard. Quelle est
la probabilité P(F) que ces deux (02) personnes soient de la même famille ?

Solution :

Premièrement, il faut connaitre l’épreuve (expérience) : « tirer 2 personnes ».

L’évènement (F) : « 2 personnes tirées soient de la même famille».

nombre de cas favorables Ω C32 3
P F = = = 2 =
nombre de cas possibles N C10 45
3
La probabilité de tirer 2 personnes de la même famille est : P F =
45

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CALCUL DE PROBABILITE

Les probabilités correspondent à la branche des mathématiques qui cherche à

mesurer le caractère aléatoire de ce qui pourrait survenir. Calculer une probabilité
revient donc à quantifier la possibilité qu'un évènement se produise lors d'une
expérience qui ne découle que du hasard.

Le terme probabilité possède plusieurs sens : venu historiquement du latin

probabilitas, il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une
évaluation du caractère probable d'un événement.

La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1.

La probabilité d’un événement est donc

nombre de cas favorables

P A =
nombre de cas possibles

Evénement : En théorie des probabilités, on appelle événement élémentaire un

ensemble de l'univers constitué d'un seul élément. Par exemple dans un jeu de carte
classique de 52 cartes, tirer le roi de cœur est un événement élémentaire car le
paquet de carte ne contient qu'un seul roi de cœur.

Epreuve : une épreuve est le "tirage" d'un événement élémentaire x de X, qui est le
résultat de l'épreuve. Par exemple, lancer un dé, tirer une boule, mettre en service
un appareil susceptible de tomber en panne sont autant d'épreuves aléatoires.

34
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Exercice N°01

Une urne contient 8 jetons blanc,12noir, 18 jaunes et 23 rouge .On tire un jeton. Quelle est
la probabilité qu’il soit : blanc ? Noir ? Jaune ? Rouge ? Blanc ou noir ? Jaune ou rouge ?
Blanc, noir ou jaune ?

Exercice N°02 :

On extrait au hasard une boule d’une boite contenant 6 boules rouges, 4 boules blanches
et 5 boules bleues.

Déterminer la probabilité d’avoir une boule :

a) noir b) jaune c) orange d) Pas rouge e) Rouge ou blanche.

Solution :

6 boules noir + 4 boules blaches + 5 boules bleues = 15 boules

L’épreuve (expérience) : « extraire une boule ».

a) L’évènement (a) : « avoir une boule noir ».

nombre de cas favorables Ω C61 2
P a = = = 1 =
nombre de cas possibles N C15 5
2
La probabilité d’avoir 1 boule noir est : P a =
5

b) L’évènement (b) : « avoir une boule jaune ».

nombre de cas favorables Ω C41 4
P b = = = 1 =
nombre de cas possibles N C15 15
4
La probabilité d’avoir 1 boule jaune est : P b =
15

c)
d) L’évènement (c) : « avoir une boule orange ».
nombre de cas favorables Ω C51 1
P c = = = 1 =
nombre de cas possibles N C15 3
1
La probabilité d’avoir 1 boule orange est : P c =
3

35
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e) L’évènement (d) : « avoir une boule qui n’est pas noir ».

4 1 3
P d = P b∪c =P b +P c = + =
15 3 5
3
La probabilité d’avoir une boule soit jaune soit orange (pas noir) est : P d =
5

On peut déterminer la probabilité de l’événement (d) d’une autre manière, en utilisant

la probabilité de l’événement (a). Puisque P d = P(a).
2
Donc, P a + P a = 1  P d + P a = 1  P d = 1 − P a = 1 − 5

3
 P d =
5

f) L’évènement (e) : « avoir une boule noir ou jaune) ».

2 4 2
P e = P a∪b = P a +P b = + =
5 15 3
2
La probabilité d’avoir une boule soit noir soit jaune est : P e =
3

On peut déterminer la probabilité de l’événement (e) d’une autre manière, en utilisant

la probabilité de l’événement (c). Puisque P e = P(c).
1
Donc, P c + P c = 1  P e + P c = 1  P e = 1 − P c = 1 − 3

2
 P e =
3

Exercice N°03 :

On considère un lot de 35 boules identiques, numérotées de 1 à 35. Quelle est la probabilité

de tirer :

d) Une boule portant un numéro pair ?

e) Une boule portant un numéro impair ?
f) Une boule portant un numéro strictement supérieur à 5 ?

36
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Solution :

L’épreuve (expérience) : « tirer une boule ».

d) L’évènement (a) : « avoir une boule portant un numéro pair ».

1
nombre de cas favorables Ω C17 17
P a = = = 1 =
nombre de cas possibles N C35 35

e) L’évènement (b) : « avoir une boule portant un numéro impair ».

1
nombre de cas favorables Ω C18 18
P b = = = 1 =
nombre de cas possibles N C35 35

f) L’évènement (c) : « avoir une boule portant un numéro strictement supérieur à 5 ».

1
nombre de cas favorable Ω C30 30
P c = = = 1 =
nombre de cas possible N C35 35

Nb : 𝐏 𝐚 + 𝐏 𝐛 = 𝟏

37
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LOI DE PROBABILITE

En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le

comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard.
L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard.

Les lois de probabilités sont des objets mathématiques qui permettent aux
statisticiens de fabriquer des modèles pour décrire des phénomènes où le hasard
intervient.
Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences.

Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète X est une application dont la valeur est la valeur du
caractère étudié, c’est à dire le résultat d’une épreuve.
Si X prend n valeurs x1,...x−n, on définit :

 m la moyenne ou, E(X) l’espérance de X par :

m=E(X)=∑i=1n xiP(X=xi)
 µ2 le moment d’ordre 2 par :
µ2=E(X2)=∑i=1n xi2P(X=xi))
 var(X) la variance de X par :
var(X)=∑i=1n (xi−m)2P(X=xi)=E(X2)−E(X)2
 σ l’écart type par : σ=√var(X)

Loi uniforme : Une distribution de probabilité suit une loi uniforme lorsque toutes
les valeurs prises par la variable aléatoire sont équiprobables. Si n est le nombre de
valeurs différentes prises par la variable aléatoire,

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La loi de Bernouilli

La variable aléatoire X suit une loi de Bernouilli de probabilité p, si X vaut 1 ou 0 avec

les probabilités respectives p et 1−p.
On a alors :
E(X)=p
E(X2)=p
σ(X)=√p(1−p).

Soit un univers Ω constitué de deux éventualités, S pour succès et E pour échec : Ω =

{E, S}.

La loi de probabilité associée à la variable de Bernoulli X telle que,

𝑃 𝑋=0 =𝑞

𝑃 𝑋=1 =𝑝

𝐸 𝑥 =𝑝
Est appelée loi de Bernoulli notée B(1 ;p) ⇒
𝑉 𝑥 = 𝑝𝑞

La loi binomiale

Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n,p), cela veut dire que X est égale au
nombre de succès obtenus dans une série de n épreuves de Bernouilli de probabilité
p. La variable aléatoire X peut donc prendre n+1 valeurs : 0,1,...,n.
La loi binomiale B(n,p) est la somme de n variables de Bernouilli indépendantes.
On a :
Proba(X=k)=Cnk pk(1-p)n-k, pour 0 ≤ k ≤ n,
E(X)=np,
𝑉 𝒙 = 𝒏𝒑𝒒

La loi de probabilité suivie par la somme de n variables de Bernoulli où la probabilité

associée au succès est p, est la loi binomiale de paramètres n et p notée : B(n,p)
𝐸 𝑥 = 𝑛𝑝
⇒
𝑉 𝑥 = 𝑛𝑝𝑞

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Loi de Poisson :
Lorsque n devient grand, le calcul des probabilités d’une loi binomiale devient très
fastidieux.
𝑆𝑖 𝑛 → ∞ 𝑒𝑡 𝑝 → 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ∶ 𝑋: B(n ; p) → P(λ) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛𝑝 → 𝜆 (cette
approximation est correcte si des conditions sont présentes).

Exercice N°01 :

On fabrique des pièces et on suppose que la probabilité pour qu’une pièce soit
défectueuse est p=0.05 et donc il y a un contrôle de ces pièces.
Soit X la variable aléatoire égale à la valeur du nombre de contrôles effectués pour
trouver une pièce défectueuse. Déterminer la loi de X ainsi que son espérance et son
écart-type.
Ici X suit une loi géométrique de probabilité p=0.05.
E(X)=1/p=20
σ(X)=√1−p/p=19.4935886896

Exercice N°02 :

La variable aléatoire X est définie par :

𝒙𝒊 -2 -1 0 1 2
𝑷(𝒙𝒊 ) a 1/4 b 1/4 c
Déterminer a, b, c, si :

- La distribution de probabilité est symétrique.

- La variance est égale à l’unité.
Solution :

La distribution de probabilité est symétrique => 𝑎 = 𝑐

La variance est égale à l’unité => 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 1

𝒙𝒊 -2 -1 0 1 2
𝑷𝒊 a 1/4 b 1/4 a
1 1
𝒙𝒊 𝑷𝒊 -2a − 0 2a
4 4
1 1
𝒙𝒊 𝟐 𝑷𝒊 4a 0 4a
4 4

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𝐸 𝑥 = 𝑥𝑖 𝑃𝑖 = 𝟎
𝑖=1

5
1
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑥𝑖 2 𝑃𝑖 − [𝐸 𝑥 ]2 = 8𝑎 +
2
𝑖=1

D’après les données (variance égale à l’unité) => 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 1

1
1
𝑎 = 16
<=> 8𝑎 + = 1 2
<=> 1
𝑐 = 16

On sait que :
5
1 3
𝑃𝑖 = 1 => 2a + + 𝑏 = 1 <=> b=
2 8
𝑖=1

1
𝑎 = 16
3
Donc : 𝑏=
8
1
𝑐= 16

Source :A.Boukerma , AFEDDAL ,A.BENALLI Faculté de médecine d’Oran laboratoire de bio

statistique

L’aire hachurée en vert correspond à la probabilité : P(X < -10)

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L’aire hachurée en bleu correspond à la probabilité : P (+10 <X < +15)

Pour toutes les valeurs de x la loi de probabilité prend toute l’aire de la courbe qui est égale à 1.

 On dit qu’une variable aléatoire continue a une densité de probabilités si :

∀𝑥 ∈ℝ 𝑓 𝑥 ≥0

+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
−∞

Calcul de l’espérance mathématique de la variable aléatoire continue :

𝑏
𝐸 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎

Calcul de la variance de la variable aléatoire continue :

𝑏 𝑏
2
𝑉 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝐸(𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝐸(𝑥) 2
𝑎 𝑎

La Fonction de répartition :
𝑥 𝑥
𝐹 𝑥 = −∞
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ou 𝐹 𝑥 = 𝑎
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 (a : la petite valeur de l’ensemble)

La densité de probabilité est une forme de représentation de la loi de probabilité sous forme
d’intégrale.

Exercice N°03 :

On suppose que la probabilité élémentaire pour qu’un nouveau-né soit un garçon est de 0,5.
Cette probabilité est indépendante des individus.

Quelle est la probabilité pour que sur cinq nouveau-nés il y ait :

1. Deux garçons ?
2. Au moins deux garçons ?
3. Au plus deux garçons ?
4. Calculer l’espérance mathématique et la variance de la distribution des garçons.
Solution :

P : Probabilité élémentaire pour qu’un nouveau né soit un garçon.

𝒑 = 𝟐 : Cette probabilité suit une loi binomiale B(n ; p)

𝟏

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𝟏 𝟏
𝒒=𝟏− = (Probabilité de l’évènement contraire).
𝟐 𝟐

𝒏=5

La loi Binomiale : 𝑃 𝑥 = 𝐶𝑛𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥

1. La probabilité d’avoir 2 garçons sur 5 nouveaux nés :

𝑥=2
1 1
𝑃 2 = 𝐶52 (2)2 (2)3 = 0,3125 (à partir du tableau).

2. La probabilité d’avoir au moins deux garçons :

𝑃 𝑥 ≥2 = 1−𝑃 𝑥 < 2

= 1 – [𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 ]
0 5 1 4
1 1 1 1
= 1− 𝐶50 + 𝐶51
2 2 2 2

= 1 − 0,0312 + 0,1562 = 0,8126

3. La probabilité d’avoir au plus deux garçons :

𝑃 𝑥 ≤ 2 = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2 = 0,0312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,5

4. Calcul de l’espérance mathématique et de la variance de la distribution des garçons :

1
𝐸 𝑥 = 𝑛𝑝 = 5 × = 2,5
2
1 1
𝑉 𝑥 = 𝑛𝑝𝑞 = 5 × × = 1,25
2 2

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Exercice N°04 :

Sachant que dans une population renfermant (regroupant) des familles de 8 enfants, la
probabilité d’avoir un enfant aux cheveux bruns est de 4/10.

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable Y ?

2. Quelle est la moyenne, la variance de ce nombre d’enfants aux cheveux bruns ?
3. Quelle est la probabilité pour que dans une famille de 8 enfants, il y ait 1 enfant aux
cheveux bruns ?
4. Même question pour au moins 2 enfants aux cheveux bruns.
Solution :

1. Υ suit une loi binomiale parceque :

4
 𝑃 = 10 Valeur fini (Pas de fonction de densité) (Y : VAD).
 ∃ 2 éventualités indépendantes (Soit 1 cheveux bruns, soit non).
 𝑛 = 8 ≥ 2 est vrai.
 Tirage est avec remise.

Y B(8 ; 0.4)

2. Calcul de la moyenne et la variance :

𝐸 𝑌 = 𝑛𝑝 = 8 × 0,4 = 3,2 ≈ 𝟑 𝒆𝒏𝒇𝒂𝒏𝒕𝒔

En moyenne on trouve 3 enfants aux cheveux bruns.

𝑉 𝑌 = 𝑛𝑝𝑞 = 3,2 × 0,6 = 1,92

S = 1,38

3. La probabilité d’avoir 1 enfant aux cheveux bruns dans une famille de 8 enfants :
1
𝑃 𝑌 = 1 = 𝐶8 𝑝1 𝑞7 = 𝐶81 0,4 1
0,6 7
= 0,0896

4. La probabilité d’avoir au moins 2 enfants aux cheveux bruns dans une famille
de 8 enfants :
𝑃 𝑌 ≥2 =1−𝑃 𝑌 <2

= 1− 𝑃 𝑌 =0 +𝑃 𝑌 =1

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= 1 − 0,0168 + 0,0896

𝑃 𝑌 ≥ 2 = 0,9

Exercice N°05 :

La probabilité pour qu’un individu ait une mauvaise réaction à l’injection d’un certain sérum
est de 0,001.

Déterminer la probabilité pour que sur 2000 individus :

1. 3 individus aient une réaction dangereuse.

2. Plus de 2 individus aient une réaction dangereuse.
A justifier la loi de probabilité utilisée.

Solution :

𝑝 = 0,001

𝑞 = 0,999

𝑛 = 2000

X B(2000 ; 0.001)
1. La probabilité pour que 3 individus aient une réaction dangereuse :
3
𝑃 𝑋 = 3 = 𝐶2000 𝑝3 𝑞1997 = 𝐶2000
3
0,01 3
0,999 1997
= 0,18

On peut calculer la probabilité d’une autre méthode puisque les 3 conditions de la loi
de probabilité présentent :

a. (𝒏) est très grand (𝑛 ≥ 30) ;

b. (𝒑) est très faible (𝑝 < 0,1) ;
c. 𝜆 = 𝑛𝑝 = 2 < 5

𝜆 𝑥 𝑒 −𝜆
On peut procéder par approximation à la loi de poisson et on pose : 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 =
𝑥!

23 𝑒 −2
𝑃 𝑋=3 = = 0,18
3!

2. La probabilité pour que plus de 2 individus aient une réaction dangereuse :

𝑃 𝑋 >2 =1−𝑃 𝑋 ≤2

= 1− 𝑃 𝑋 = 0 +𝑃 𝑋 = 1 +𝑃 𝑋 = 2

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20 𝑒 −2 21 𝑒 −2 21 𝑒 −2
= + +
0! 1! 2!
= 1 − 0,135 + 0,27 + 0,27 = 0,325

Remarque :

X B(2000 ; 0.001) et pas de poisson.

Justification :

1. X est VAD (P=OO1)

2. ∃ 2 éventualités indépendantes
3. 𝑛 = 2000 ≥ 2
4. Le tirage est avec remise

Loi normale
En théorie des probabilités et en statistique, les lois normales sont parmi les lois de
probabilité les plus utilisées pour modéliser des phénomènes naturels issus de
plusieurs événements aléatoires

C'est une loi absolument continue, c'est-à-dire que la mesure est absolument
continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Autrement dit, il existe une densité de
probabilité, souvent notée φ pour la loi normale centrée réduite, telle que : N(dx) =
φ(x) dx. Elle est généralisée par la loi normale multidimensionnelle.

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Loi normale centrée réduite N(0; 1)

C'est une loi absolument continue, c'est-à-dire que la mesure est absolument
continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Autrement dit, il existe une densité de
probabilité, souvent notée φ pour la loi normale centrée réduite, telle que : N(dx) =
φ(x) dx.
On suppose qu'une certaine variable X _ N(0; 1). Pour quelle proportion d'individus
est-ce que X ≤ 1; 56 ?
On cherche P(X ≤ 1; 56) (rappel : on _ecrit aussi F(1, 56)).
On cherche P(X ≤ 1; 56) (rappel : on _ecrit aussi F(1, 56)).
On cherche 1,56 dans la table :
Donc P(X _≤ 1, 56) = 0, 9406.
Soit P(X ≥_ 1; 49) = 1 – 0,:9319 = 0,0681.

Par définition, les variables aléatoires continues prennent des valeurs continues
sur un intervalle donné.

Une variable aléatoire absolument continue X suit une loi normale de paramètres (µ ; σ) si sa
densité de probabilité est donnée par :

1 −
1 𝑥−µ 2
𝑓 𝑥 = 𝑒 2 𝜎
𝜎 2𝜋

47
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∀𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑓 𝑥 ≥ 0
+∞
Tel que : −∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
𝑥2
𝑃 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 = 𝑥1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Pour calculer la probabilité dans le cadre d’une loi Normale X N(µ ; σ), il faut procéder
𝑋−𝜇
par un changement de variable : 𝑡 = et pour cela la variable aléatoire (x) devient (t)
𝜎
qui va suivre une loi Normale Centré Réduite t N(0 ; 1)

Donc la densité devient :

𝑡2
1 𝑡2
𝑓 𝑡 = 𝑒− 2 𝑒𝑡 𝑃 𝑡1 < 𝑡 < 𝑡2 = 𝑡1
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
2𝜋

f(x) f(t)
Loi Normale Loi Normale Centrée Réduite

x t
x1 µ x2 t1 µ t2

X N(µ ; σ) t N(0 ; 1)

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Exercice N°01 :

Une variable aléatoire continue X suit une loi normale d’espérance mathématique égale
à 400 et d’écart type 15,4.

Déterminer la probabilité pour que X soit supérieure à 393.

Solution :

µ = 400

𝜎 = 15,4

X N(400, 15,4)
𝑥−µ 𝑑𝑥
On pose 𝑡 = → 𝑑𝑡 =
𝜎 𝜎

𝑡2
1 −
𝑓 𝑡 = 𝑒 2 Densité de la loi Normale Centrée réduite.
2𝜋

t N(O,1)

𝑥 − µ 393 − µ
𝑃(𝑋 > 393) = 𝑃 >
𝜎 𝜎
−7
=𝑃 𝑡>
15,4

= 𝑃 𝑡 > −0,45
+∞
1 𝑡2
−
= 𝑒 2 𝑑𝑡
2𝜋
−0.45

0 +∞
1 𝑡2 1 𝑡2
− −
= 𝑒 2 𝑑𝑡 + 𝑒 2 𝑑𝑡
2𝜋 2𝜋
−0.45 0

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𝑡2
0.45 1 1 1
= 0
𝑒 − 2 𝑑𝑡 + 2 = 0,1736 + 2 = 0,6736
2𝜋

f(t) f(t)
π(0.45) = 0.1736
P = 0.5

+∞ t = =
t
-0.45 -0.45 0.45

Exercice N°02 :

La taille des élèves d’une école suit une distribution normale avec une moyenne de 150 cm
et un écart type de 20 cm.

1. Quelle est la probabilité d’avoir une taille comprise entre 140 et 170 cm ?
2. Quel est le nombre d’élèves ayant une taille comprise entre 140 et 170 cm ?
(L’effectif total est de 1000 élèves).
Solution :

µ = 150 𝑐𝑚

𝜎 = 20 𝑐𝑚

X N(150, 20)
𝑥−µ 𝑑𝑥
On pose 𝑡 = → 𝑑𝑡 =
𝜎 𝜎

𝑡2
1 −
𝑓 𝑡 = 𝑒 2 Densité de la loi Normale Centrée réduite.
2𝜋

t N(O,1)

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1. La probabilité d’avoir une taille comprise entre 140 et 170 :

𝐶𝑕𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥1 − µ 𝑥2 − µ
𝑃 140 ≤ 𝑋 ≤ 170 𝑃 ≤𝑡≤
𝜎 𝜎
140 − 150 170 − 150
=𝑃 ≤𝑡≤
20 20

= 𝑃 −0.5 ≤ 𝑡 ≤ 1

= 𝜋 0.5 + 𝜋 1

= 0.1915 + 0.3413 = 0.5328

f(t)

π(0.5) = 0.1915
π(1) = 0.3413

t
-0.5 1

2. Le nombre d’élève ayant une taille comprise entre 140 et 170 :

𝑛 = 𝑁 × 𝑃 140 ≤ 𝑋 ≤ 170 = 1000 × 0.5328 = 532.8 ≈ 𝟓𝟑𝟑 é𝒍è𝒗𝒆𝒔

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Sujets d’examen

EXERCICE N°1 :

Soit 1000 billets de loterie, un des billets gagne 500DA, 10billets 100 DA chacun, 50
billets 20DA chacun,100 billets 5 DA chacun, tout les autres ne gagne rien.

Trouvez la probabilité pour le propriétaire d’un seul billet de gagner au moins 20DA.

EXERCICE N°2

a/ Quelle est la probabilité d’obtenir K faces avec une pièce lancée n fois
successivement, ou avec une pièces lancées simultanément.

b/ Calculer P(X=K) avec K= 0,1, 2, 3, 4,5 et n= 5 .

c/ Calculer l’espérance mathématique et l’écart type

EXERCICE N°3

Dans un amphi présentant 120 étudiants dont 46 sont de sexe féminin, Xi est
une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 89 et d’écart type 7,5 .

Calculez :

a/ la probabilité pour que la demande soit inférieure à 92.

b/ la probabilité pour que la demande soit supérieure à 95

c/ la probabilité pour que la demande soit comprise entre 97 et 100

EXERCICE N° 4 :

Sachant que 0.53 des nouveau-nés sont des garçons .La variable aléatoire X est le
nombre de garçons parmi 1000 nouveau-nés .

1° - a / Donner la loi de probabilité .

-b / Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart type .

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2° Calculer la probabilité d’avoir au plus 350 garçons.

3° Calculer la probabilité d’avoir de 350 à 550 garçons .

4° Calculer la probabilité d’avoir au moins 450 garçons .

2° Calculer la probabilité d’avoir au plus 350 garçons.

3° Calculer la probabilité d’avoir de 350 à 550 garçons .

4° Calculer la probabilité d’avoir au moins 450 garçons .

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Références bibliographiques

 Statistique cours et exercices pour les etudiants du tronc commun biomedical

INESSM ALGER / ADMANE.O HOANG-KY / OUAKLI N 1990

 Polycopie des cours de statistique A.Boukerma , AFEDDAL ,A.BENALLI Faculté de

médecine d’Oran laboratoire de bio statistique 2010

 Cours de statistiques d’IUT Jean-Michel BERNABOTTO

 Notion de probabilité HEC MONTREAL centre d’aide en mathématique.

 Cours et exercices de statistique appliquée Abdelaziz BERRAH 1975.

 Polycopie des cours Bio statistique Département pharmacie Oran Année 2008/2009

Faculté de médecine Oran.

 Cours et exercices de statistique E.AZOULAY / D.COHEN 1968

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