Rapport 02

Rapport 02 : Modélisation d’une poutre
isostatique en contraintes planes
Réalisé par : GUEDDAOUI MOUSSA / SALLEH MOHAMED

Demandé par : E. EL ALAMI
Contexte :
Ce rapport s'inscrit dans le cadre de l'analyse des contraintes dans une

poutre isostatique, avec pour objectif d'utiliser le logiciel ROBOT pour
résoudre numériquement le problème via la méthode des éléments finis.
Nous nous concentrons sur la modélisation de la poutre en contraintes
planes, en commençant par une représentation de l'ensemble de la
poutre, puis en appliquant les conditions de symétrie pour ne modéliser
que la moitié de celle-ci. La deuxième partie de notre étude consiste à
modéliser une poutre encastrée afin d'explorer la relation entre sa
longueur et sa hauteur, ainsi que pour définir les limites de la théorie des
poutres dans ce contexte.
Travail Attendu :
 Modélisation de la poutre isostatique en contraintes planes à

l'aide du logiciel ROBOT.
 Évaluation précise des contraintes σxx, σyy et τxy sur
l'ensemble de la poutre soumise à des charges symétriques,
suivie d'une comparaison rigoureuse avec les calculs théoriques
de la Résistance des Matériaux (RDM).
 Analyse détaillée des déplacements au centre de la poutre et
étude de l'évolution des écarts en fonction du maillage adopté,
complétée par la construction d'une courbe de convergence
pour une évaluation précise.
 Exploration approfondie de l'influence des singularités dues à la
présence de trous dans la poutre, en variant leur taille et leur
position.
 Analyse spécifique de la moitié de la poutre en exploitant les
conditions de symétrie du problème.
 Étude critique des limites de la théorie des poutres en analysant
le rapport L/h d'une poutre encastrée, avec une attention
particulière portée à la variation de ce rapport et à ses
implications sur la distribution des contraintes.
Application :
I. Analyse de la poutre entière en contraintes planes :
1. Relever la carte des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑡 𝜏𝑥𝑦 sur la poutre.
Après le dessin de notre poutre, pour visualiser les isocontraintes : on
accède au bureau --> résultats --> cartographies, puis on coche l'axe
voulu :
Figure 1 : carte des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 Figure 2 : carte des iso-contraintes 𝜎𝑦𝑦
Figure 3 : carte des iso-contraintes 𝜏𝑥𝑦
2. Comparer les résultats obtenus par rapport au calcul théorique de la

RDM, et donner l’écart de comparaison. 𝐸𝑐𝑎𝑟𝑡 = ( 𝑉𝑐𝑎𝑙 − 𝑉𝑇ℎ ) / 𝑉𝑇ℎ
Pour calculer la valeur théorique , on calcule avec la relation suivante :
σ = (M y ) ÷ I
où :
M : Moment de flexion maximum (valeur absolue)
y : Distance de l'axe neutre à l'extrémité la plus éloignée de la section.
I : Moment d'inertie par rapport à l'axe neutre.
- Calcule de Moment :
Donc le Moment de flexion maximum a pour valeur : M =355 KN m
- Calcule de Moment d'inertie et les contraintes :
Donc les valeurs théorique :
𝜎𝑥𝑥=44.37 MPA / 𝜎𝑦𝑦 = 7,398Mpa 𝑒𝑡 𝜏𝑥𝑦=4,16Mpa
- Les écarts de comparaison :
- On conclure que les résultats obtenus par le logiciel sont généralement

en accord satisfaisant avec les prédictions théoriques de la RDM.
3. Calculer le déplacement au milieu de la poutre, et le comparer avec le
déplacement théorique obtenu par RDM et donner l’écart de la
comparaison.
Figure 4 : Le déplacement au milieu de la poutre
- Le déplacement théorique :
Alors, pour calculer le déplacement au milieu, je veux appliquer le théorème de
CASTIGLIANO, et puisque nous n'aurons pas une force au milieu, nous allons
ajouter une force fictive
- L’écart de comparaison :
- Avec un écart de 0,57 entre la flèche calculée par le logiciel et celle

prédite par la méthode de la Résistance des Matériaux, il semble y avoir
une correspondance raisonnable entre les deux méthodes, bien que des
ajustements mineurs puissent être nécessaires pour une concordance
optimale.
4. Étudier l’évolution des écarts de comparaison en fonction du maillage.

FO9MA SGHAR MAILLAGE FO9MA TZADT PRECISION
Tableau puis calcul les ecarts
5. Tracer la courbe de convergence

En abscisse maillage en fonction des ecarts en Y
II. Analyse de l’influence de la présence de trous dans une

poutre :
1. Relever les cartographies des iso-contraintes :
Alors, pour faire un trou : Dessinez le trou dans la poutre ----- Options de
génération de maillage EF ---- Générer le maillage local --- analyse –
calculer
- 1er position
- 2ème position :
- 3ème position :
1. Etudier l’influence de la position des trous sur les valeurs des contraintes
(prendre au moins 3 positions du trous) 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑡 𝜏𝑥𝑦
Les contraintes varient légèrement en fonction de la position des trous,
mais elles présentent des différences significatives par rapport aux
valeurs de contrainte de la poutre sans trous. Cette variation démontre
l'impact notable de la disposition des trous sur la distribution des
contraintes dans la poutre.
III. Analyse de la moitié de la poutre :

1. Quel est l’intérêt d’analyser que la moitié de la poutre ?
L'analyse de seulement la moitié de la poutre dans un problème de symétrie offre plusieurs
avantages :
- Optimisation des ressources : En se concentrant sur une seule moitié de la structure, on
économise non seulement du temps et des efforts lors des calculs, mais également des
matériaux et des coûts de fabrication, ce qui peut être crucial dans des projets à budget
limité.
- Gain en temps et en efficacité : En réduisant la complexité du système, les calculs
deviennent plus rapides et moins sujets aux erreurs, permettant ainsi une analyse plus
efficace et une prise de décision plus rapide.
- Fiabilité des résultats : Dans de nombreux cas, la symétrie de la structure garantit que les
résultats obtenus en analysant une seule moitié sont représentatifs de l'ensemble, offrant
ainsi une fiabilité comparable à celle d'une analyse de la structure complète.
- Facilité de conception et de communication : En se concentrant sur une seule moitié, il est
souvent plus facile de visualiser et de comprendre le comportement de la structure, ce qui
facilite la communication des résultats avec les parties prenantes du projet.
2. Quelles sont les conditions aux limites appropriées ?

Pour garantir des résultats cohérents entre l'analyse de la moitié de la poutre et
celle de la poutre entière, il est crucial de choisir une condition aux limites qui
maintient la même distribution des contraintes, la descente des charges et les
déplacements au niveau de la moitié. Ainsi, nous devrions envisager une
condition d'appui qui reproduit fidèlement ces aspects sans introduire de
différences significatives dans les calculs. Cela peut impliquer une combinaison
d'appuis fixes, d'articulations ou de rouleaux, selon les exigences de symétrie et
les caractéristiques de chargement de la structure
- Découpez la poutre ou concevez de nouveau une poutre ayant une
longueur égale à la moitié de la première. Ensuite, ajoutez un
appui à l'extrémité avec les caractéristiques suivantes :
Figure 14 :Les caractéristiques de l'appui ajouté
à l'extrémité de la moitié de la poutre
3. Relever la carte des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑡 𝜏𝑥𝑦.
4. Calculer le déplacement au milieu de la poutre.

Figure 18 : Le déplacement de la moitié de la poutre
Les valeurs ne sont pas les mêmes que pour la poutre entière, mais il
reste une solution qui donne une valeur proche : Pour obtenir le même
résultat, il faut ajouter une autre condition ou placer un autre appui
5. Comparer les résultats obtenus par rapport au calcul théorique de la

RDM, et donner les écarts de comparaison.
IV. Analyse du rapport 𝐿/ℎ d’une poutre encastrée :

Modèle de contraintes planes :
1. Tracer les cartes des contraintes 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑡 𝜏𝑥𝑦.

Les figures ci-dessous illustrent les isocontraintes pour des rapports L/H allant
de 1 à 10. Nous avons conservé la même hauteur H de 1,2 mètre et nous avons
varié la longueur avec les valeurs suivantes : L = 1,2 ; L = 2,4 ; L = 3,6 ; L = 4,8 ; L
= 6 ; L = 7,2 ; L = 8,4 ; L = 9,6 ; L = 10,8 ; et L = 12.
Figure 19 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 1 )


2. Commenter la répartition des contraintes en fonction du rapport 𝐿/ℎ .
3. Comparer les résultats obtenus par rapport aux résultats théoriques

d’une poutre encastrée.
4. Tracer la courbe du rapport 𝐿 ℎ en fonction de l’écart entre les résultats

numériques et théoriques

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Rapport 02 : Modélisation d’une poutre

isostatique en contraintes planes

Réalisé par : GUEDDAOUI MOUSSA / SALLEH MOHAMED

Ce rapport s'inscrit dans le cadre de l'analyse des contraintes dans une

 Modélisation de la poutre isostatique en contraintes planes à

Figure 3 : carte des iso-contraintes 𝜏𝑥𝑦

2. Comparer les résultats obtenus par rapport au calcul théorique de la

M : Moment de flexion maximum (valeur absolue)

y : Distance de l'axe neutre à l'extrémité la plus éloignée de la section.

I : Moment d'inertie par rapport à l'axe neutre.

- Calcule de Moment d'inertie et les contraintes :

Donc les valeurs théorique :

𝜎𝑥𝑥=44.37 MPA / 𝜎𝑦𝑦 = 7,398Mpa 𝑒𝑡 𝜏𝑥𝑦=4,16Mpa

- Les écarts de comparaison :

- On conclure que les résultats obtenus par le logiciel sont généralement

Figure 4 : Le déplacement au milieu de la poutre

- Avec un écart de 0,57 entre la flèche calculée par le logiciel et celle

4. Étudier l’évolution des écarts de comparaison en fonction du maillage.

Tableau puis calcul les ecarts

5. Tracer la courbe de convergence

II. Analyse de l’influence de la présence de trous dans une

Figure 7 : carte des iso-contraintes 𝜏𝑥𝑦

Figure 13 : carte des iso-contraintes 𝜏𝑥𝑦

III. Analyse de la moitié de la poutre :

2. Quelles sont les conditions aux limites appropriées ?

à l'extrémité de la moitié de la poutre

3. Relever la carte des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑡 𝜏𝑥𝑦.

Figure 17 : carte des iso-contraintes 𝜏𝑥𝑦

4. Calculer le déplacement au milieu de la poutre.

5. Comparer les résultats obtenus par rapport au calcul théorique de la

IV. Analyse du rapport 𝐿/ℎ d’une poutre encastrée :

1. Tracer les cartes des contraintes 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑡 𝜏𝑥𝑦.

Figure 19 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 1 )

Figure 21 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 3 )

Figure 22 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 4 )

Figure 23 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 5 )

Figure 24 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 6 )

Figure 25 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 7 )

Figure 26 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 8 )

Figure 29 : cartes des iso-contraintes 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 ( L / H = 10 )

2. Commenter la répartition des contraintes en fonction du rapport 𝐿/ℎ .

3. Comparer les résultats obtenus par rapport aux résultats théoriques

4. Tracer la courbe du rapport 𝐿 ℎ en fonction de l’écart entre les résultats

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