L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

SOMMAIRE

CHAPITRE 0: LES BASES

CHAPITRE 1: CINÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE
Mécanique du solide
CHAPITRE 2: STATIQUE
indéformable CHAPITRE 3: CINÉTIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE

CHAPITRE 4: DYNAMIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE

CHAPITRE 6: THÉORÈMES ÉNERGÉTIQUES

1 2

BIBLIOGRAPHIE
Notes de cours Mécanique des solides L2 UPMC - 2006 – YB INTRODUCTION: LES BASES
Sciences industrielles pour l’ingénieur 1ère année MPSI-PCSI-PTSI –
chpt 1 à chpt 6
Qu’es ce que la mécanique du solide indéformable ?
IUT Béthune – Génie Civil Année Spéciale– RDM
L’étude des liens entre les forces et les mouvements

VOLUME HORAIRE TOTAL : 24 heures des solides

Un solide indéformable est un ensemble de points

MODE D’ÉVALUATION : devoir sur table
deux à deux équidistants au cours du temps.
3 4

1
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

I- SENS TRIGONOMÉTRIQUE

OBJECTIFS Définition
Orienter l’espace. On appelle sens trigonométrique, ou sens direct, ou sens positif, le sens
de rotation qui laisse l’axe de rotation concerné sur la gauche lorsque
Savoir définir un angle.
l’on tourne autour.
Imaginer des mouvements.
Sens positif Sens négatif
Acquérir les outils mathématiques pour les calculs vectoriels en
mécanique.

5 6

II- BASE VECTORIELLE DIRECTE III- OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS

Définition
III-1 Produit scalaire : A ⋅B = A ⋅ B ⋅ cos( A ; B ) ☺
On appelle référentiel d’espace, l’ensemble constitué d’un point et de
trois vecteurs de base et on le note (O, x, y, z ).
III-2 Produit vectoriel : A ∧ B = A ⋅ B ⋅ sin( A ; B ) ☺
Pour une base vectorielle orthonormée directe ( x, y, z ), les vecteurs sont Application du produit vectoriel
unitaires et le sens positif se définit très simplement par permutation Une des applications du produit vectoriel est la construction de trièdres
circulaire : directs.
– autour de x , le sens positif est défini en allant de y vers z;
Soit ( x, y, z ) une base orthonormée directe, on a les trois égalités
– autour de y , le sens positif est défini en allant de z vers x ;
immédiates: z = x∧y y = z∧x x = y∧z
– autour de z , le sens positif est défini en allant de x vers y ;
z x y Pour un vecteur quelconque n orthogonal à des vecteurs unitaires m
+ + + p
et p : n = m ∧ p
+
y 7 m∧p 8
x y z z x n m

2
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

III- OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS IV- DÉFINIR UN ANGLE

IV-1 Définition: Un angle est défini entre deux vecteurs.
III-3 Produit mixte : (A, B, C) = (A ⋅ B) ∧ C
La seule activité à savoir mener est ainsi de définir un angle entre deux
(A, B, C) = (B, C, A) = (C, B, A) : invariance par permutation circulaire bases vectorielles ayant un vecteur commun. Ce vecteur commun est
bien évidemment le vecteur orthogonal au plan contenant l’angle à
définir.

III-4 Double produit mixte : A ∧ (B ∧ C) = ( A ⋅ C).B − (A ⋅ B) ⋅ C y y1

Supposons pour la suite de cette section 2
que l’on ait à définir l’angle α entre une α
base vectorielle ( x1, y1, z1 ) et
x2
une base ( x2, y2, z2 ),
α
les vecteurs z1 et z2 restant égaux x1
9 à chaque instant. z1 = z2 10

IV- DÉFINIR UN ANGLE IV- DÉFINIR UN ANGLE

IV-2 les angles d’Euler - Définition IV-2 les angles d’Euler - Construction : Il s’agit de procéder à trois
rotations successives, que l’on peut comprendre aisément en les
Les angles d’Euler sont utilisés pour décrire les mouvements présentant dans un ordre différent
quelconques possibles entre solides, à chaque solide un repère pouvant
être attaché. la première, appelée précession, autour d’un des trois vecteurs de la
première base, peu importe lequel ;
Soient les repères (o, x , y , z ) et (o, x , y , z ) attachés à deux solides en
1 1 1 2 2 2
la troisième, appelée rotation propre, autour d’un des vecteurs de la
mouvement l’un par rapport à l’autre. Soit (o, u, v, w ), une base
deuxième base ;
intermédiaire
enfin la deuxième, appelée nutation, autour d’un des deux vecteurs
v y1 z2 z1 y2 w
orthogonaux aux deux vecteurs précédemment choisis. Ce vecteur est
ψ θ ϕ
appelé vecteur nodal.
y1 z2 z1 y2 w
u v
w x2
☺
ψ θ ϕ ψ θ ϕ
x1 v u u w x2
z1 u
Les angles ψ, θ, ϕ sont les angles d’Euler
☺ z2
11
z1 ψ x1 θ v z2 ϕ 12 u
u

3
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

V- TORSEURS V- TORSEURS - OPÉRATIONS SUR LES TORSEURS

V-1 Définition : V-2 Somme de deux torseurs :
Un torseur est un champ de vecteurs équiprojectif : La somme de 2 torseurs est un torseur défini comme suit :

{ ru ( P ) + { ru ( P ) = { ur ( P )
∀A ∈ ε, ∀B ∈ ε, u (A) ⋅ AB = u ( B) ⋅ AB
1 2
⇒ Ǝ un vecteur que l’on note r qui permet de changer facilement de 1 2

points sur le champ de vecteur :

Avec: u ( P ) = u 1 ( P) + u 2 ( P ) et r = r1 + r 2
u (A) = u (B) + r ∧ BA : formule de changement de point
r est appelé vecteur résultante du torseur. V-3 Comoment :
u (P) est appelé vecteur moment au point P du torseur

r et u ( P) sont appelés éléments de réduction du torseur au point P

Soient T1 = { ur (P)
1

1
et T2 = { ur (P)
2

On appelle comoment des deux torseurs T1 et T2 :

Représentation : T= { u(P)
r
OU T= P
{u r
13
T1 ⊗ T2 = r1 ⋅ u 2 (P) + r 2 ⋅ u1 (P)
14

V- TORSEUR - TORSEURS PARTICULIERS VI- DÉRIVATION VECTORIELLE

V-4 Torseur nul : On appelle formule de dérivation vectorielle la formule de changement
Ses éléments de réduction sont les vecteurs nuls et on le note simplement de bases d’observation. Elle s’exprime par :  du  =  du  + Ω (i / k ) ∧ u
 dt  k  dt  i
O: T =O
Où i et k sont des bases
V-5 Torseur couple :
Ω (i / k ) : est appelé vecteur rotation de la base vectorielle i par rapport
Un torseur couple est un champ de vecteurs uniforme non nul. Sa à la base vectorielle k.
résultante est le vecteur nul : T=
0
{C y1
z2 y2

o2
V-6 Torseur glisseur :
Un torseur glisseur est un champ de vecteurs non nul à automoment nul. x2

{0
o1 x1
r
Le moment est nul en tout point de l’axe central :
T=
15 16
z1

4
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

VI- DÉRIVATION VECTORIELLE

Définition : On appelle vecteur rotation de la base i par rapport à la base

k le vecteur noté Ω (i / k ) ,porté par la direction commune aux deux
bases et de valeur algébrique la dérivée scalaire de l’angle défini entre les
deux bases.
yi yk
Chapitre 1:
•
ψ Ω ( i / k ) = ψ ik z k Cinématique du solide indéformable
xi
ψ
xk
zk = zi

Lorsque les bases vectorielles n’ont pas de vecteurs communs, on

s’attache à enchaîner des rotations élémentaires:
Ω ( i / k ) = Ω ( i / j) + Ω ( j / k ) 17 18

OBJECTIFS Définitions :
Raisonner dans un espace à six degrés de liberté, parfois restreint à La cinématique est l’étude des mouvements indépendamment de leurs
trois degrés de liberté ; causes.
Imaginer des mouvements ; On appelle mouvement le déplacement relatif de deux objets au cours
Composer des mouvements ; du temps.
Identifier un mouvement par une étude cinématique On appelle trajectoire du point P dans son mouvement par rapport à R
l’ensemble des points coïncidants de l’espace d’observation.

19 20

5
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

I- VECTEURS POSITION, VITESSE ET ACCÉLÉRATION II- LE CHAMP DES VECTEURS VITESSES : TORSEUR
CINÉMATIQUE
Définitions :
Définition : On appelle champ des vecteurs vitesses l’application qui à
On appelle vecteur position du point P dans R tout vecteur IP construit
chaque point P de l’espace associe le vecteur vitesse correspondant au
à partir d’un point I fixe dans le repère d’étude R
mouvement considéré : V ( P , 2 / 1)
On appelle vecteur vitesse du point P dans le mouvement 2/1 le

vecteur dérivé par rapport au temps d’un vecteur position de ce point P Le champ des vecteurs vitesses du mouvement d’un solide
 d IP 
dans la base d’observation : V ( P , 2 / 1) =   indéformable (S) par rapport à un repère est un champ de vecteurs
 dt  1
I étant un point fixe dans la base 1 équiprojectif.

On appelle vecteur accélération du point P dans le mouvement 2/1 le ⇒ ∀ A ,P ε (S), Ǝ un vecteur r tel que: V ( P , 2 / 1) = V ( A , 2 / 1) + r ∧ AP

vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur vitesse de ce point P dans Donc on peut définir un torseur : le torseur cinématique V

le même mouvement :
 d V ( P , 2 / 1) 
γ ( P , 2 / 1) =   = 
 d 2 IP 
2 
{ V( P,2/1) }= { p
Ω( 2 / 1)
V ( P, 2 / 1)
☺
 dt  1  dt  1
21 22

III- COMPOSITION DES MOUVEMENTS III- COMPOSITION DES MOUVEMENTS

III-1 Définitions : III-3 Composition des vecteurs vitesses

On appelle composition des mouvements l’activité qui consiste à les On reprend un solide S en mouvement par rapport à R et par rapport à R1
enchaîner. : V (M ∈ S / R ) = V ( M ∈ S / R 1 ) + V (M ∈ R 1 / R ) ☺
Soient i, j et k trois objets en mouvements relatifs. Le mouvement i/k est V (M ∈ S / R ) = V a : vitesse absolue
le résultat de la composition des mouvements i/j et j/k.  dO M 
V (M ∈ S / R 1 ) = V r =  1  :vitesse relative
 dt  R 1

V (M ∈ R 1 / R ) = V e = V (O1 ∈ R 1 / R ) + Ω( R 1 / R ) ∧ O1M : vitesse

III-2 Composition des vecteurs vitesses
d’entraînement
On appelle composition des vecteurs vitesses la relation entre les
vecteurs vitesses calculés en un point concernant trois mouvements qui III-4 Composition des vecteurs rotations
se composent : V ( C , i / k ) = V ( C , i / j) + V ( C , j / k )
Ω ( i / k ) = Ω ( i / j) + Ω ( j / k ) ou Ω (S / R ) = Ω(S / R 1 ) + Ω (R 1 / R )
23 24

6
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

III- COMPOSITION DES MOUVEMENTS III- COMPOSITION DES MOUVEMENTS

III-5 Composition des torseurs cinématiques III-7 Composition des vecteurs accélérations
On appelle composition des torseurs cinématiques la relation torsorielle On reprend un solide S en mouvement par rapport à R et par rapport à R1
entre trois mouvements qui se composent : :
γ ( M ∈ S / R ) = γ ( M ∈ S / R 1 ) + γ ( M ∈ R 1 / R ) + 2 ⋅ Ω( R 1 / R ) ∧ V( M ∈ S / R 1 )
V ( i / k ) = V ( i / j) + V ( j / k )
γ(M ∈ S / R ) = γ a
: vecteur accélération absolue

III-6 Composition des vecteurs accélérations

 d 2 O1M  : vecteur accélération relative
γ(M ∈ S / R 1 ) = γ r =  
On appelle composition des vecteurs accélérations la relation entre les 2
 dt  R 1

[ ]
vecteurs accélérations calculée en un point concernant trois mouvements d2 OO  dΩ(R1 / R) 
γ(M∈ R1 / R) = γe =  2 1  +   ∧ O1M + Ω(R1 / R) ∧ Ω(R1 / R) ∧ O1M
qui se composent :  dt  R  dt  R
: vecteur accélération d’entraînement
γ ( P , 3 / 1) = γ ( P , 3 / 2 ) + γ ( P , 2 / 1) + 2 ⋅ Ω ( 2 / 1) ∧ V ( P , 3 / 2 )

25 γ c = 2 ⋅ Ω(R 1 / R ) ∧ V ( M ∈ S / R 1 ) : vecteur accélération de Coriolis 26

IV- MOUVEMENTS PARTICULIERS IV- MOUVEMENTS PARTICULIERS

IV-1 Mouvement de rotation
En mécanique du solide indéformable, un mouvement de rotation est un IV-3 Mouvement plan
mouvement pour lequel il existe un point de vecteur vitesse nul : Un mouvement i/k est appelé mouvement plan si et seulement si un plan

{ V(2/1) }= { p
Ω(2 /1)
0
de i reste à chaque instant confondu avec un plan de k : 3 degrés de
liberté
{ V(2/1)}= {
•
α2 / 1 z1

IV-2 Mouvement de translation

p Vx ⋅x1+Vy⋅y1

En mécanique du solide indéformable, un mouvement de translation est

un mouvement pour lequel le vecteur rotation est le vecteur nul :

{ V(2/1)}= { p
0
V(P,2/1)
27 28

7
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

V- LES LIAISONS V- LES LIAISONS

V-1 Définitions :

En mécanique, une liaison est un modèle de comportement

V-2 Liaisons usuelles :
cinématique.
On appelle liaison usuelle un modèle de comportement cinématique
Une liaison s’attache à définir les possibilités de mouvements entre deux possible que l’on peut nommer sans aucune référence technologique
ensembles indéformables. On ne saurait trop insister en répétant qu’un ☺
mouvement possible n’est pas forcément un mouvement constaté.

On appelle degré de liberté un des mouvements indépendants autorisés

par une liaison.

29 30

VI- CINÉMATIQUE DU CONTACT PONCTUEL VI- CINÉMATIQUE DU CONTACT PONCTUEL

VI-1 Définition Le torseur cinématique caractérisant les mouvements possibles i/k est :
Deux objets en contact le sont au moins au niveau d’un point, ou au { V(i/k) }= { p
Ω(i / k)
V(P,i / k) avec V(P,i / k)⋅n=0
niveau d’une surface suffisamment petite pour l’assimiler à un seul point. En application du double produit vectoriel, on décompose le vecteur
rotation suivant la normale et sur le plan tangent :
Ω (i / k ) = ( Ω (i / k ) ⋅ n ) ⋅ n + n ∧ ( Ω (i / k ) ∧ n )
Soient deux solides i et k en contact en un point P et soit n le vecteur pivotement roulement
De même, on décompose le vecteur vitesse du point de contact suivant la
normal au contact.
normale et sur le plan tangent :
Le torseur cinématique caractérisant les mouvements possibles i/k est :
V (P, i / k ) = (V (P, i / k ) ⋅ n ) ⋅ n + n ∧ (V (P, i / k ) ∧ n )

{ V(i/k) }= {
p
Ω(i / k)
V(P,i / k) avec V(P,i / k)⋅n=0
pénétratio n glissement

Le contact ponctuel est caractérisé par une vitesse de pénétration nulle et

31 la composante dans le plan tangent est appelé vitesse de glissement.32

8
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

VI- CINÉMATIQUE DU CONTACT PONCTUEL

VI-2 Contact particulier : Roulement sans glissement
On appelle roulement sans glissement le phénomène au point de contact
P entre deux solides 1 et 2 en mouvement relatif caractérisé par une
vitesse de glissement nulle.
Autrement dit un solide (2) roule sur une surface (1) sans glisser, si la Chapitre 2:
vitesse du point de contact P, considéré comme point du solide, est nulle Statique du solide indéformable
dans le référentiel considéré.
V ( P , 2 / 1) = 0
y2
y1

x2 Donner le torseur cinématique

C 2 ( roue )
en tout point P du sol avec
A P
x1 quoi coïncide la roue
33 34
1( sol )

I- DÉFINITIONS

OBJECTIFS
Une action mécanique est un concept construit par dualité avec la
Imaginer des mouvements dans un espace à six degrés de liberté, cinématique, pour simuler et expliquer déformations et mouvements,
parfois restreint à trois degrés de liberté ; pour dimensionner les composants.
Distinguer un mouvement possible d'un mouvement réel ;
Appréhender un ensemble de modèles de comportement
Un système isolé, est un système matériel que l’on rend distinct de son
environnement.

35 36

9
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

I- DÉFINITIONS II- ACTIONS MÉCANIQUES

Il existe 2 types d’actions mécaniques: les forces et les moments

Un effort (ou action) extérieur appliqué à un système matériel isolé, II-1 Les forces

toutes les actions mécaniques agissant sur ce système, dont l’origine est à Ce sont des actions due à une cause extérieure au système étudié. Elles

l’extérieur du système. Ces actions sont : soit des actions mécaniques de ont tendance à provoquer des mouvements de translation (déplacement

contact ; soit des actions à distances (gravité). ou déformation)

Selon la géométrie, il y a 3 types de forces:

Les efforts intérieurs sont les efforts que s’exercent mutuellement les
Forces linéiques - forces surfaciques - forces volumiques
différentes parties du système.
☺
Par ailleurs, les forces peuvent être regrouper en 2 catégories:
Forces de contact et forces à distance
37 ☺ 38

II- ACTIONS MÉCANIQUES III- MODÉLISATION DES ACTIONS MÉCANIQUES

Il existe 2 types d’actions mécaniques: les forces et les moments III-1 Approche locale
II-2 Les moments Elle permet d'étudier l'action en un point . Il faut donc pouvoir modéliser
Ce sont des forces qui ont tendance à engendrer des mouvements de l’action en chaque point du système à étudier.
Sens positif
rotations Ce qui revient à modéliser la répartition uniforme ou non uniforme de
Le moment est un vecteur tournant l’action sur le système. Il faut faire intervenir les densités.☺

II-2-1 Le moment d’une force F par rapport à un point

Élément
Nature du
M / O (F) = ± F × d Avec d le bras de levier ☺ domaine
géométrique Nom Force élémentaire
différentiel d F (1 → 2 )
II-2-2 Couple de forces Point 1 Force F [N] dF
C’est le moment de 2 forces identiques, de sens opposés et de droites Ligne dl Force linéique q [N.m-1] q ⋅ d l
d’action colinéaires. Le moment d’un couple dépend uniquement de lq Surface dS Force surfacique q [Pa] q ⋅ dS
distance a entre les droites d’action: M = F×a ☺ 39
volume dv Force volumique q [N.m-3] q ⋅dV
40

10
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

III- MODÉLISATION DES ACTIONS MÉCANIQUES IV- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE

III-2 Approche globale IV-1 Définition:
Il faut savoir en premier lieu déterminer l’approche locale avant de On dira qu’un solide S ou un ensemble de solides Si est en équilibre par
parvenir à l’approche globale. rapport à un repère R si le vecteur position de chaque point (du ou des
Ainsi il est possible de répercuter l'étude au niveau global en considérant solides) est indépendant du temps.
une somme ou concentration des actions.
Par conséquent les actions sont modélisées à travers un torseur F ou IV-2 Énoncé:
torseur des actions mécaniques Il existe un repère galiléen tel que pour tout sous système s de l’ensemble
de solides Si étudié le torseur des actions extérieures appliqué à ce sous

{ F(ext→S) }= { F=∫ df(ext→M)

∀ M∈ S
☺ système est nul.
A M(A)=∫ AM∧df(ext→M)
{ F (ext → s) }= O ☺
41 42

V- RÉSOLUTION DE PROBLÈME DE STATIQUE V- RÉSOLUTION DE PROBLÈME DE STATIQUE

Le but est de déterminer l’intensité des inconnues de liaisons des V-2 Déterminer la nature de la structure (isostatique?)
structures isostatiques. Pour y arriver: Une fois les liaisons identifiées, il faut déterminer le nombre
d'inconnues (i): elles représentent l'ensemble des efforts ou actions
V-1 Modéliser et dessiner la structure isolée bloquées

Isoler le système d’étude de manière à amener le moins d’inconnus Déterminer le nombre d'équations (e) : il est obtenu en écrivant le PFS

possible suivant la base dans laquelle se passe l'étude (3 équations dans le plan ;
6 équations dans l’espace)
Remplacer le système par des barres ou courbes non pesantes

Représenter les actions extérieures

e = i : le système est isostatique (seul ce cas peut être résolu par la
Représenter les appuis ou liaisons et les efforts de cohésion
☺ statique)
43 44
e ˂ i : le système est hyperstatique ; e ˃ i : le système est hypostatique

11
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

V- RÉSOLUTION DE PROBLÈME DE STATIQUE

V-3 Résolution du PFS

V-4 Dessiner la structure avec les actions (et leurs intensités)

☺
Chapitre 3: Cinétique

45 46

I- TORSEUR CINÉTIQUE
I-1 Torseur cinétique : approche générale

L’objectif est d’aller vers l’écriture du Principe fondamental de la

{ C(A,S/R) } = A { σp(S(S// R)
R )=
=
∀M∈S
∫ V(M / R )dm
∫ AM∧V( M / R )dm
}☺
∀M∈S
dynamique pour des systèmes de solides. Dans un premier temps il nous
faut passer par les quantités de mouvement. NB : Le point A de calcul de ce moment est un point quelconque, pas
nécessairement appartenant au solide S

I-2 Torseur cinétique : autre expression

Connaissant la vitesse du centre de gravité G du solide, le torseur
cinétique en un point quelconque peut également s’écrire:

47
{ C(A,S/R) } = A { M∫ AM
V( G / R )
S

∧V( M / R )dm
} ☺ 48
∀M∈S

12
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

II- MOMENT CINÉTIQUE D’UN SOLIDE III- MOMENT D’INERTIE D’UN SOLIDE
III-2 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un plan
Par définition, le moment d’inertie est : σ(S / R ) = ∫ AM ∧ V ( M , S / R ) ⋅ dm Soit un système matériel S. Son moment d’inertie par rapport à un plan P
∀M∈S 2
est donné par : IP = ∫∀M∈S HM dm

⇔ σ (S / R ) = ∫ AM ∧ (V (A , S / R ) + Ω(S / R ) ∧ AM ) ⋅ dm HM représente la distance entre le point M et le plan

∀M∈S ☺
Dans un repère cartésien ( o, x , y, z ), le moment d’un solide par rapport à
⇔ σ (S / R ) = ∫ AM ∧ V (A , S / R ) ⋅ dm + AM ∧ ∫ Ω (S / R ) ∧ AM ) ⋅ dm
∀M∈S ∀M∈S un plan s’écrit :
(∆ )
I yoz = ∫ yz ⋅ dm ;
P
M
σ(S / R) = Ms ⋅ AG∧ V(A,S / R) + ∫ AM∧ (Ω(S / R) ∧ AM) ⋅ dm
∀M∈S
I xoz = ∫ xz ⋅ dm ;

I xoy = ∫ xy ⋅ dm
49 50

IV- OPÉRATEUR D’INERTIE III- MOMENT D’INERTIE D’UN SOLIDE

IV-1 Définition III-1 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe

Le moment d’inertie d’un système par rapport à un axe quelconque ∆ de Soit un système matériel S . Son moment d’inertie par rapport à une
2
dm = ∫∀M∈S (OM ∧ u )
2
I∆ = ∫∀M∈S HM
vecteur unitaire u est donc donné par :
☺
droite est donné par : dm
☺
2
HM dm = ∫∀M∈S (OM ∧ u ) dm = u ⋅ ∫
2
I∆ = ∫∀M∈S (( OM ∧ u ) ∧ OM ) dm Où le point H correspond à la projection orthogonale de M sur la droite ∆
∀M∈S

On peut écrire : I∆(o,u) = u ⋅ (JO)B(u) et u un vecteur unitaire de la droite ∆.

Où ( J O ) B est appelé opérateur d’inertie ou la matrice d’inertie de S par

rapport au point O dans la base B. Dans un repère cartésien (o, x, y, z), le moment d’un solide par rapport à
(J O ) B (u ) est dit matrice d’inertie appliqué (ou multiplié) au vecteur u un axe s’écrit : I ox = ∫ ( y 2 + z 2 ) ⋅ dm ; (∆ )
z
H
L’opérateur d’inertie est défini comme suit : M
 I ox − I xoy − I xoz  I oy = ∫ ( x + z ) ⋅ dm ;
2 2
 
( J o ) ( x ,y ,z) =  − I xoy I oy − I yoz  u
  0
 − I xoz − I yoz I oz 
I oz = ∫ ( x 2 + y 2 ) ⋅ dm y
51 52
matrice d’inertie par rapport au point O dans la base (x , y, z ) x

13
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

IV- OPÉRATEUR D’INERTIE IV- OPÉRATEUR D’INERTIE

IV-2 Axes principaux d’inertie IV-2 Axes principaux d’inertie

Théorèmes : Théorèmes :
Si le système possède un plan de symétrie matérielle alors tout axe Si un système admet un axe de symétrie (O, z) de révolution pour sa
perpendiculaire à ce plan est axe principal d’inertie. distribution de masse, alors tout trièdre orthogonal incluant cet axe de
révolution est principal d’inertie. Le système est dit cylindrique et sa
Si le système possède un axe de symétrie matérielle alors cet axe est un matrice d’inertie est de la forme : I 0 0
 
( J o ) ( x , y, z ) =  0 I 0 
axe principal d’inertie.  0 0 I' 
 

Un système est dit sphérique si sa matrice d’inertie est de la forme :

Si par exemple les axes (o, x), (o, y) et (o, z) sont des axes principaux
 I 0 0
 
d’inertie alors : I yz = I xy = I xz = 0 ( J o ) ( x , y, z ) =  0 I 0 
53 54
0 0 I 
 

IV- OPÉRATEUR D’INERTIE V- ÉNERGIE CINÉTIQUE D’UN SOLIDE

V-1 Définition
L’énergie cinétique T d’un système matériel S en mouvement par rapport
• Prendre des exemples comme les barres…. 1
à R est donnée par : T (S / R ) = ∫∀M∈S V ( M / R )dm
2

2
Voir document « matrice d’inertie ce 2 ⋅ T (S / R ) =
Or : ∫∀M∈S [( V (A ∈ S / R ) + MA ∧ Ω(S / R )) ⋅ V (M / R )]dm ⇔
qu’il…html »
2 ⋅ T (S / R ) = ∫∀M∈S ( V ( A ∈ S / R ) ⋅ V ( M / R ))dm + ∫∀P∈S [MA ∧ Ω (S / R )) ⋅ V ( M / R )]dm ⇔

2 ⋅ T (S / R ) = V ( A ∈ S / R ) ⋅ ∫ (V ( M / R ))dm + Ω(S / R )) ⋅ ∫ ( AM ∧ V ( M / R ))dm ⇔

∀M∈S ∀P∈S

2 ⋅ T (S / R ) = V ( A ∈ S / R ) ⋅ p (S / R ) + Ω (S / R ) ⋅ σ (S / R )

V-2 Enoncé : L’énergie cinétique d’un solide est le comoment du torseur

cinématique et du torseur cinétique (pris au même point).
55 2 .T ( S / R ) = { V (M , S / R ) }⊗ { C (M , S / R ) } 56

14
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

V- ÉNERGIE CINÉTIQUE D’UN SOLIDE VI - COMPLÉMENTS

VI-1 Théorème d’Huyghens
V-3 Mouvement plan sur plan : relation avec le moment ou la matrice
Soit un système S de masse m de centre d’inertie G. Soit I∆. Considérons
d’inertie
un axe ∆G parallèle à ∆ et passant par G. Soit d la distance entre ces deux
Mouvement plan Ω (S / R ) = α ⋅ n
☺ axes.
I ∆ = I ∆G + m ⋅ d 2
Pour des points particuliers, l'expression de l’énergie cinétique et du
moment cinétique pourrait se simplifier: VI-2 Théorèmes De Koenig
Les théorèmes de Koenig permettent de déterminer le moment cinétique
1- Cas d’un point A fixe dans le repère R: et l’énergie cinétique dans le référentiel R galiléen en fonction des
σ( A , S / R ) = J A (S / R ) ⋅ Ω (S / R ) et 2.T (S / R ) = Ω (S / R ) ⋅ J A (S / R )Ω (S / R )
☺ grandeurs dans R* (le référentiel du centre de masse). ☺
2- Cas du point A confondu avec G: Les grandeurs calculées dans le repère R* sont des grandeurs
σ( G , S / R ) = J G (S / R ) ⋅ Ω (S / R ) et barycentriques. 2 ème théorème
☺ 1er théorème 1
Ec = VG 2 +E G *
2.T(S / R ) = Ms (V(G, S / R )) 2 + Ω(S / R) ⋅ J G (S / R )Ω57(S / R ) σO = OG ∧ Ms V(G, S / R) + σ *G 2 58

I- TORSEUR DYNAMIQUE

I-1 Torseur dynamique : approche générale

On définit le torseur dynamique d’un système matériel en mouvement
par rapport à un repère R par :

Chapitre 4: Dynamique { D(A,S/R)} = A{ δ ∫(SΓ(/MR)/=R)dm

∀M∈S

A AM∧Γ(M/ R)dm
∫
} ☺
∀M∈S

I-2 Torseur dynamique : autre expression

Le torseur cinétique en un point quelconque s’écrit:

59
{ D(A,S/R) } = A { M∫ AM
Γ( G / R )
S

∧Γ(M / R )dm
} 60
∀M∈S

15
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

II- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE II- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE

II-2 Principe fondamental de la dynamique en repère non galiléen
Soit R un repère quelconque et Rg un repère galiléen
II-1 Principe fondamental de la dynamique en repère galiléen
On sait que : Γ(P, S / R g ) = Γ(P, S / R) + Γ(P, R / R g ) + 2 ⋅ Ω(R / R g ) ∧ V(P, S / R)
Il existe au moins un référentiel galiléen Rg tel que pour tout sous
ensemble matériel e d’un ensemble E le torseur des actions extérieures à
On peut donc fabriquer les torseurs dynamiques d’entraînement et de
e est égal au torseur dynamique de e par rapport au repère R et ceci à tout
Coriolis à partir des accélérations d’entraînement et de Coriolis pour
instant t.
écrire : { D(S / R) }= { F (e → e) }− { D e (R } {D
/ Rg) − ic ( R }
/R g )
{ D(e / R ) }= { F (e → e) } ∀e ∈ E
g
☺
Où { D e (P,R/R g ) } =  ∫ ∀M∈S Γ ( M , R / R g )⋅dm 

 ∫∀M∈S PM∧Γ( M,R / R g )⋅dm 

{ Dic(P,R/Rg) } =  ∫ ∀M∈S (2⋅Ω(R / Rg )∧V(M,S / R))⋅dm 


61  ∫∀M∈S PM∧(2⋅Ω(R / Rg )∧V(M,S/ R))⋅dm  62

III- THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE III- THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE

III-1 Définition Quelques exemples: « support meca chapt 9 pp 16 à 19 »

On appelle moment cinétique d’un point matériel A par rapport à un
référentiel R, en un point O, le moment de sa quantité de mouvement:
σ O = OA ∧ P = OA ∧ m v ( A / R ) Moment cinétique barycentrique ou théorème de KOENIG (voir même
support pp 4 et pp 10)
III-2 Théorème du moment cinétique
Énoncé: La dérivée du moment cinétique d’un point M par rapport au
temps en un point O fixe d’un référentiel galiléen est égale à la
somme des moment des forces par rapport à O appliquées en M.
 
 dσ o  = ∑ M o ,ext  dσ∆ 
  = ∑Mo,ext ⋅ u = M∆,ext
 dt  ☺  dt 
 
63 64

16
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

I- PUISSANCE DES ACTIONS MÉCANIQUES

I-1 Puissance des actions mécaniques exercées sur un solide

la puissance des actions mécaniques exercées sur un solide indéformable
en mouvement par rapport à un repère R est le comoment du torseur
cinématique et du torseur des actions mécaniques

Chapitre 5: Théorèmes énergétiques {

P (S → S / R ) = {V(S / R )} ⊗ F (S → S) }

I-2 Puissance des actions mutuelles entre deux solides

la somme de la puissance des actions développées par S2 sur S1 et de S1
sur S2 qui définit la puissance des actions entre ces deux solides est
indépendante du repère choisi pour la calculer et vaut :
65 P(S1 ↔ S2 ) = {V(S 2 / S1 )} ⊗ {F (S1 → S 2 )} 66

I- PUISSANCE DES ACTIONS MÉCANIQUES II- LE TRAVAIL

I-3 Liaison parfaite II-1 Travail d’une action mécanique extérieure à un système matériel

Deux solides 1 et 2 ont une liaison parfaite, d’un point de vue Le travail élémentaire, entre les dates t1 et t2, de l’action mécanique du

énergétique, si, quel que soit le mouvement autorisé par la liaison, la système matériel S sur le système matériel E, dans le mouvement de E

puissance des actions mutuelles entre les solides 1 et 2 est nulle : par rapport au repère R, est : δW( t ) = P(t ) ⋅ dt
En général, le travail, entre les dates t1 et t2 dépend de la façon dont la
P(S1 ↔ S 2 ) = 0
puissance varie entre ces deux dates. Il existe certaines actions
mécaniques particulières (pesanteur, ressort,…) pour lesquelles le travail
ne dépend que de l’état initial et de l’état final

II-2 Travail des actions mutuelles entre deux systèmes matériels

Comme la puissance des actions mutuelles, le travail des actions
67 68
mutuelles est indépendant du repère.

17
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

II- L’ÉNERGIE POTENTIELLE II- L’ÉNERGIE POTENTIELLE

II-1 Energie potentielle associée à une action mécanique extérieure II-2 Energie potentielle associée des actions mutuelles
On peut associer une énergie potentielle à l’action mécanique du système Comme la puissance des actions mutuelles, l’énergie potentielle associée
matériel S sur le système matériel E, dans le mouvement de E par rapport à des actions mutuelles est indépendant du repère
au repère R, s’il existe une fonction scalaire Ep(S →E / R), telle que :
δW(t ) = P(t ) ⋅ dt = −dE p (S → E / R ) Exemple: énergie potentielle d’un ressort de traction-torsion
On montre qu’il existe une énergie potentielle associée aux actions
Exemple: énergie potentielle de la pesanteur mutuelles entre les deux solides 1 et 2 par l’intermédiaire du ressort r :
On a: P(t ) = ∫ f ⋅ V(M / R ) ⋅ dm Donc avec la force de pesanteur: 1 1
E p (1 → r → 2) = k(l − l° ) 2 + C(θ − θ 0 ) 2
2 2
P(t ) = ∫ g z ⋅ V(M / R ) ⋅ dm = g z ∫ V(M / R ) ⋅ dm = mgz ⋅ V(G / R )
⇒ P( t ) ⋅ dt = mgz ⋅ dOG ⇔ δW = −mg ⋅ dz G
W = −mg ⋅ (z f − z i ) = −∆E p 69 70

III- THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE III- THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE

III-1 Théorème de l’énergie cinétique pour un solide III-2 Théorème de l’énergie cinétique pour un ensemble de solides

La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un

solide S dans son mouvement par rapport à un repère galiléen Rg est ensemble E de solides Si dans son mouvement par rapport au repère

égale à la puissance développée par les actions mécaniques extérieures à galiléen Rg est égale à la somme de la puissance galiléenne des actions

S dans son mouvement par rapport au repère galiléen Rg : extérieures exercées sur lui et de la puissance des inter efforts (efforts de
liaison ou actions mutuelles) entre solides.
d
T(S / R g ) = P(S → S / R g )
dt d
T(E / R g ) = P(E → E / R g ) + P(Si ↔ S j )
dt
71 72

18
L1 GC-GM ENSIF 2018 - Dr ZOMA Fati

IV- THÉORÈME DE L’ÉNERGIE MÉCANIQUE V- INTÉGRALE PREMIÈRE DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE

Supposons dans cette partie que certains des efforts extérieurs et/ou
intérieurs dérivent d’un potentiel Ep et que les autres n’en dérivent pas. Par suite, il existe une intégrale première du mouvement, appelée
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit: intégrale première de l’énergie cinétique :
d d d
T = − E Pext + Pext
'
− E Pint + Pint
'
dt dt dt
T(E / R g ) + E P (E / R g ) = cte
Et l’énergie mécanique correspond à : T + E Pext + E Pint = E m

Lorsque les efforts dérivent d’un potentiel, les puissances sont nulles
(cas de liaisons parfaites ou force de pesanteur, …). On dit qu’il y a
conservation de l’énergie mécanique :
d d
T = − EP 73 74
dt dt

19