Examen Blanc: Exercice 1: Exercice 1: Exercice 1
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To not forget
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Examen Blanc 1
1. (a) Montrer par récurrence, que (∀n ∈ N), 0 < un < 1 (0.75pt)
(b) Montrer que la suite (un )n∈N est décroissante. (0.5pt)
(c) En déduire que la suite (un )n∈N est convergente. (0.25pt)
un
2. On considère la suite (vn )n∈N définie sur N par vn = .
1 − un
1
(a) Montrer que (vn )n∈N est une suite géométrique de raison q = . (0.75pt)
2
(b) Exprimer vn en fonction de n. (0.5pt)
1
(c) Déduire alors, que pour tout n ∈ N, un = . (0.25pt)
1 + 2n
(d) Déterminer lim un . (0.25pt)
n→+∞
(b) Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation. (0.75pt)
(x + 1)2
f (x) = −1
ex
On désigne par (Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,~i, ~j) tel que
(||~i|| = ||~j|| = 2cm)
f (x) (1pt)
(b) Calculer lim f (x) et lim , et interpréter graphiquement le résultat.
x→−∞ x→−∞ x
2. (a) Montrer que (∀x ∈ R) : f 0 (x) = (1 − x2 ) e−x . (0.5pt)
(b) Dresser le tableau de variation de la fonction f . (0.25pt)
3. Montrer que la droite (D) d’équation y = x est tangente à la courbe (Cf ) au point
d’abscisse 0. (0.25pt)
4. (a) Montrer que (∀x ∈ R) : f (x) − x = (x + 1)e−x g(x) (0.5pt)
(b) En déduire la position relative de la courbe (Cf ) et la droite (D). (0.5pt)
5. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans ]2, 3[ (0.75pt)
Fin