2 PROBABILITES

2019    2003 2 1010 1029

) ‫ نقط‬4 ( ‫ د ع‬1029 ‫باك‬ ) ‫ نقط‬4 ( ‫ د س‬1022 ‫باك‬

Donner les résultats sous forme de fraction Tous les résultats seront donnés sous forme de fraction
Une urne contient trois boules rouges et cinq boules vertes. Un sac contient 6 boules indiscernables au toucher portant
Les boules‫ بالتوفيق‬sont indiscernables au toucher respectivement les numéros : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6
On tire simultanément au hasard deux boules du sac
On tire successivement et sans remise deux boules de l’urne
On ‫بالتوفيق‬considère les événements suivants :
On considère les événements suivants :
A : «les deux boules tirées portent chacune un numéro pair»
A : «les deux boules tirées sont rouges» B : «les deux boules tirées portent chacune un numéro impair»
B : «la première boule tirée est rouge» C : «l’une deux boules tirées porte le numéro 2»
C : «la deuxième boule tirée est verte» 1
1.a) montrer que p( A) 
1) montrer que p( A) 
6
et p( B) 
21
‫بالتوفــيــق‬ 1.b) calculer p( B)
5
56 56
2) calculer p(C ) 1.c) calculer p(C )
3) calculer p( B  C ) 2) calculer la probabilité conditionnelle pA (C )
3) soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules
4) les événements B et C sont-ils indépendants? Justifier la réponse
tirées portant un numéro pair
) ‫ نقط‬4 ( ‫ د س‬1029 ‫باك‬ 0 1 2
3.a) copier et remplir le tableau ci- xi
Un sac S1 contient deux boules blanches, une boule rouge et trois contre en justifiant les réponses p( X  xi )
boules vertes. Un autre sac S 2 contient deux boules blanches, deux
3.b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable X
boules rouges et une boule verte. Toutes Les boules sont
indiscernables au toucher ‫ د ع‬1022 ‫باك‬
On considère l’expérience suivante : Un sac contient neuf boules indiscernables au toucher portant
on tire une boule du sac S1 puis on tire une boule du sac S 2 respectivement ‫بالتوفيق‬les numéros : 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2
On tire simultanément au hasard deux boules du sac
On considère les événements suivants :
1) montrer que le nombre de cas possibles est 36
A : «les deux boules tirées sont blanches» 2) soit X la variable aléatoire qui correspond à la somme des deux
B : «les deux‫ بالتوفيق‬boules tirées sont de couleurs différentes» nombres portés par les deux boules tirées
1 12
1) montrer que p( A)  2.a) montrer que p( X  2) 
12 36
7 2.a) copier et compléter le xi 0 1 2 3 4
2) montrer que p( B)  ( B l’événement contraire de B ) et en
24 tableau ci-contre en justifiant 12
p( X  xi )
déduire p( B) les réponses 36
3) calculer p( A  B) 2.b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable X
) ‫ نقط‬4 ( ‫ د ع‬1022 ‫باك‬ ‫ د س‬1022 ‫باك‬
Tous les résultats seront donnés sous forme de fraction Un sac contient trois boules blanches portant les nombres 0 ;1 ;2
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : deux boules noires portant les nombres 1 ;2
3 boules rouges, 3 boules blanches et 2 boules vertes toutes les boules sont indiscernables au toucher
On tire simultanément au hasard trois boules du sac On tire au hasard successivement et sans remise deux boules du sac
1) On considère les deux événements suivants :
On considère les événements suivants :
A : «les deux boules tirées portent le nombre 1»
A : «les trois boules tirées sont blanches»
B : «la première boule tirée est blanche»
B «les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux»
C : «il n’y a aucune boule blanche parmi les trois boules tirées» a) montrer que p( A) 
1
10
‫بالتوفــيــق‬
1 1
1.a) montrer que p( A)  b) calculer la probabilité de B et montrer que p( A  B) 
56 20
1.b) calculer ‫ بالتوفيق‬p( B) et p(C ) c) les événements A et B sont-ils indépendants? Justifier la réponse
2) soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules 2) soit X la variable aléatoire qui correspond au produit des deux
nombres portés par les deux boules tirées.
blanches tirées.
2.a) copier et compéter le tableau xi 0 1 2 4
2.a) copier et remplir le tableau ci- xi 0 1 2 3
ci- contre en‫ بالتوفيق‬justifiant les p( X  xi ) 8
contre en justifiant les réponses p( X  xi ) réponses 20
2.b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable 2.b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable
aléatoire X aléatoire X
 ‫ د ع‬1026 ‫باك‬ ‫ د س‬1025 ‫باك‬
Un sac contient 7 boules indiscernables au toucher : Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher :
3 boules rouges, 2 boules blanches et 2 boules vertes 3 boules rouges, 5 boules blanches et 2 boules vertes
On tire simultanément au hasard deux boules du sac On tire simultanément au hasard trois boules du sac
1) On considère les événements suivants : 1) montrer que le nombre de tirages possibles est : 021
A : «les deux boules tirées sont de la même couleur» 1) On considère les événements suivants :
B «parmi les deux boules tirées, il y a une au moins qui est de A : «les deux boules tirées sont de la même couleur»
couleur rouge» B «parmi les deux boules tirées, il y en a une au moins qui est
5 de couleur‫ بالتوفيق‬blanche»
a) montrer ‫بالتوفيق‬que p( A) 
21 11
a) montrer que p( A) 
b) calculer la probabilité de B 120

c) montrer que p( A  B) 
1
7
‫بالتوفــيــق‬ b) calculer la probabilité de B
2) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules
d) est-ce que les événements A et B sont indépendants ?justifier vertes tirées.
2) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules 2.a) copier et remplir le tableau ci- xi 0 1 2
rouges tirées. contre en justifiant les réponses p( X  xi )
2.a) copier et remplir le tableau ci- xi 0 1 2
‫ د ع‬1024 ‫باك‬
contre en justifiant les réponses p( X  xi )
Un sac ‫بالتوفيق‬contient 9 boules indiscernables au toucher :
2.b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable X 3 boules rouges, 2 boules blanches et 4 boules vertes
‫ د س‬1026 ‫باك‬ On tire au hasard successivement et sans remise deux boules du sac
Un sac contient 11 boules indiscernables au toucher : 1) montrer que le nombre de tirages possibles est : 22
4 boules rouges, 3 boules blanches et 4 boules vertes 1) On considère les événements suivants :
On tire simultanément au hasard trois boules du sac A : «tirer une boule blanche en premier»
1) On considère les événements suivants : B « les deux boules tirées sont de la même couleur»
A : «les trois boules tirées sont de la même couleur» a) montrer que p( A) 
2
9
‫بالتوفــيــق‬
B «tirer une seule boule de chaque couleur »
13
C : «les trois boules tirées sont de deux couleurs différentes» b) calculer la probabilité de B et en déduire que p( B) 
18
3
a) montrer ‫بالتوفيق‬que p( A)  ( B l’évènement contraire de B )
55
3) sachant que la première boule tirée est blanche, calculer la
36
b) calculer la probabilité de B et en déduire que p(C )  probabilité pour tirer deux boules de couleurs différentes
55
4) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules
2) soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules
blanches tirées. blanches tirées. remplir le tableau ci- xi 0 1 2

xi 0 1 2 3
contre en justifiant les réponses p( X  xi )
2.a) copier et remplir le tableau ci-
contre en justifiant les réponses p( X  xi ) ‫ د س‬1024 ‫باك‬
2.b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable X Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher :
3 boules rouges, 2 boules blanches et 3 boules vertes
‫ د ع‬1025 ‫باك‬
On tire simultanément au hasard trois boules du sac
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher :
1) montrer que le nombre de tirages possibles est : 56
5 boules rouges et 3 boules vertes
2) On considère les événements suivants :
On tire simultanément au hasard deux boules du sac A : «parmi les boules tirées, il n’existe aucune boule verte»
1) montrer que le nombre de tirages possibles est : 28
B «une boule est verte et les deux autres tirées sont blanches »
2) On considère les événements suivants :
C :«une boule est verte et les deux autres tirées sont rouges »
A : «les deux boules‫ بالتوفيق‬tirées sont de la même couleur» D «les trois boules tirées sont de couleurs différentes deux à deux»
B «les deux boules tirées sont de couleurs différentes» 5
a) montrer ‫بالتوفيق‬que p( A) 
13 28
montrer que p( A)  puis calculer la probabilité de B
28 b) calculer la probabilité des évènements : B , C et D
3.a) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules 3) soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules
10 vertes tirées.
vertes tirées, montrer que p( X  0)  15
28 3.a) montrer que p( X  1) 
28
3.b) copier et remplir le tableau ci- xi 0 1 2 xi 0 1 2 3
3.b) copier et remplir le tableau ci-
contre en justifiant les réponses p( X  xi )
contre en justifiant les réponses p( X  xi ) 15
28
2.b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable X
 ‫ د ع‬1023 ‫باك‬ ‫ د ع‬1022 ‫باك‬
Donner les résultats sous forme de fraction Une urne contient sept boules indiscernables au toucher, quatre
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : boules rouges, trois boules vertes
4 boules rouges, 3 boules blanches et 3 boules vertes On considère l’expérience aléatoire suivante :
On tire simultanément au hasard quatre boules du sac On tire une boule b de l’urne et on marque sa couleur :
1) On considère les événements suivants : - si b est rouge alors on la remet dans l’urne et puis on tire une
A : «les quatre boules tirées sont de la même couleur» deuxième boule
B « une seule boule blanche» - si b est verte alors on ne la remet pas dans l’urne et puis on tire
C : «tirer trois boules même couleur et une d’une autre couleur» une deuxième boule
1 On considère‫ بالتوفيق‬les événements suivants :
a) montrer ‫بالتوفيق‬que p( A) 
210 A : «les deux boules tirées sont de la même couleur»
b) calculer p( B) B « tirage d’une boule rouge dans le deuxième tirage»
23
c) montrer que p(C ) 
19
105
‫بالتوفــيــق‬ 1) montrer que p( A) 
49
(on peut utiliser l’arbre des probabilités)

2) sachant que l’événement C est vérifiée calculer la probabilité de 2) calculer p( B)

tirer une seule boule blanche 3) est-ce que les événements A et B sont indépendants ? justifier
‫ د س‬1023 ‫باك‬ ‫ د س‬1022 ‫باك‬
Tous les résultats seront donnés sous forme de fraction Un sac U1 contient trois boules blanches, et deux boules rouges.
Un sac contient 7 boules indiscernables au toucher : trois boules Un autre sac U 2 contient deux boules blanches et trois boules
numérotées par 5 , deux boules numérotées par 4 et deux boules rouges. Toutes Les boules sont indiscernables au toucher
numérotées par 3 on tire une boule du sac U1 puis on tire une boule du sac U 2
On tire simultanément au hasard deux boules du sac
A : «les deux boules tirées sont de la même couleur»
On considère les événements suivants :
A : «les deux boules tirées portent chacune un numéro impair» B : «la boule tirée de U1 est rouge»
B : «la somme des deux numéros sur les deux boules tirées est 12
1) calculer‫ بالتوفيق‬p( B) et montrer que p( A) 
supérieur ou égal à 9» 25
1.a) déterminer le nombre de tirages possibles 2) sachant que la boule tirée de U1 est rouge qu’elle est la
1.b) calculer ‫ بالتوفيق‬p( A) probabilité que les deux boules tirées soient de la même couleur
3 ‫ د ع‬1020 ‫باك‬
2) montrer que p( B) 
7 Un bureau d’études est constitué de 21 ingénieurs d’informatiques
3) sachant que l’événement B est vérifiée calculer la probabilité de et de génie civil et sont distribués selon le tableau ci-dessous :
tirer deux boules portantes chacune un numéro impair homme femme
4) est-ce que les événements A et B sont indépendants ? justifier Informatique 5 3
Génie civil 8 4
‫ د ع‬1021 ‫باك‬ On a choisit par hasard et simultanément trois personnes de ce
Une urne contient huit boules indiscernables au toucher, dont trois bureau pour participer à une formation professionnelle
boules blanches, quatre boules vertes et une boule rouge 1.a) A : «tous les personnes choisis sont des femmes»
On tire simultanément au hasard trois boules de l’urne 7
montrer ‫بالتوفيق‬que p( A) 
soit X la variable aléatoire qui correspond 228
au nombre de couleurs tirées 1.b) sachant que tous les personnes choisis sont des femmes
1) vérifier que les ‫بالتوفيق‬valeurs prises par X sont 1 , 2 et 3 calculer la probabilité qu’elles soient de même spécialité
5 2) soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de
2) montrer que p( X  1)  spécialités des personnes choisis
56
3) calculer p( X  3) puis p( X  2) 69
a) montrer que p( X  1)  et déduire la loi de probabilité de X
4) calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X 285
b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable X
‫ د س‬1021 ‫باك‬
Un sac contient 12 boules indiscernables au toucher : ‫ د س‬1020 ‫باك‬
5 boules rouges, 4 boules blanches et 3 boules vertes On a un dé de forme cubique non truqué dont les faces portent les
numéros‫ بالتوفيق‬1 , 1 , 1 , 2 , 2 et 3 successivement
On tire simultanément au hasard trois boules du sac
On jette le Dé deux fois successives et on marque dans chaque fois
1) On considère les événements suivants :
le numéro porté par la face de haut. On considère les événements :
A : «les trois boules tirées sont de la même couleur» A : «Avoir deux fois le numéro 3»
B «tirer au moins une boule verte parmi les boules tirées» B «Avoir deux numéros dont le produit est plus petit ou égal à6»
a) montrer ‫بالتوفيق‬que p( A) 
3
44
1. a) montrer que p( A) 
1
36
‫بالتوفــيــق‬
b) calculer p( B) et en déduire p( B) b) montrer que B est l’événement contraire de A et déduire p( B)
2) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules 2) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fois ou
vertes tirées apparait le numéro 3
a) vérifier que les valeurs prises par X sont : 0 , 1 , 2 et 3 a) déterminer les valeurs de X et la loi de la variable X
b) déterminer la loi de probabilité de X b) calculer E ( X ) l’espérance mathématique de la variable X
 ‫ د ع‬1009 ‫باك‬ ‫ د س‬1002 ‫باك محاسبة‬
Un sac contient six boules rouges dont quatre portent le numéro1 Une compagnie a procédé à un choix aléatoire de deux personnes
et deux portent le numéro 2 ; et huit boules vertes dont cinq parmi 6 hommes et 4 femmes pour les embaucher aux deux postes
portent le numéro 1 et trois portent le numéro 2 de directeur et directeur adjoint tel que le premier tirage au sort
pour le poste de directeur et le deuxième tirage au sort pour le
On tire simultanément au hasard deux boules du sac
poste de son adjoint
1) calculer le nombre de tirages possibles 1) montrer que le nombre de cas possibles est : 90
2) On considère les événements suivants : 2) On considère les événements suivants :
A : «les deux boules tirées sont de la même couleur» A : «les deux personnes choisis sont de même sexe»
B «les deux boules tirées portent le même numéro» B « les deux personnes choisis sont de sexes différents»
43 C : «le poste du directeur est pris par une femme »
i) montrer que p( A)  puis calculer ‫بالتوفيق‬la probabilité de B i) calculer p( A) et calculer p( B)
91
ii) sachant que les deux boules tirées sont de la même couleur ii) montrer‫ بالتوفيق‬que p(C )  0,4
quelle est la probabilité qu’elles portent le même numéro ? 3) sachant que le poste du directeur est pris par une femme quelle
3) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules est la probabilité que les deux personnes choisis soient de sexes
différents ?
rouges tirées
déterminer les valeurs de X et la loi de la variable X ‫ د ع‬1006 ‫باك اقتصاد‬
‫ د س‬1009 ‫باك‬ Un sac contient 6 boules indiscernables au toucher :
Une étude sur un dé truqué a donnée les résultats‫ بالتوفيق‬suivants : 3 boules blanches et 3 boules noires
On tire simultanément ‫بالتوفيق‬au hasard quatre boules du sac
numéro de la face 0 2 3 4 5 6
1) calculer la probabilité de chacun des événements :
2 4 6 5 1 2
probabilité de la face A : «les deux boules restantes dans le sac ont la même couleur»
20 20 20 20 20 20
B « les deux boules restantes ont deux couleurs différentes»
1) On jette le Dé deux fois successives et on marque dans chaque 2) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules
fois le numéro porté par la face de haut. blanches restantes dans le sac. déterminer les valeurs de X et la
81 loi de la variable X et calculer E ( X )
i) soit A : «avoir deux numéros impairs» ; montrer que p( A) 
400
ii) soit : B «avoir deux numéros dont la somme est supérieur ou ‫ د ع‬1006 ‫باك محاسبة‬
égal à10 » ; calculer la probabilité de B Un sac contient 6 boules indiscernables au toucher :
iii) sachant que deux numéros sont impairs quelle est la probabilité 3 boules rouges 2 boules vertes et une boule bleu
que leurs somme soit‫ بالتوفيق‬supérieur ou égal à10 ? On tire au hasard successivement et sans remise trois boules du sac
2) soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fois ou 1) calculer la probabilité de chacun des événements :
apparait le numéro 2 A : «parmi les trois boules ‫بالتوفيق‬tirées il n’y a pas a boule bleu
déterminer les valeurs de X et la loi de la variable X B « avoir une seule boule verte parmi les trois boules tirées»
2) est-ce que les événements A et B sont indépendants ? justifier
‫ د ع‬1002 ‫باك‬
Tous les résultats seront donnés sous forme de fraction ‫ د س‬1005 ‫باك اقتصاد‬
Un sac contient‫ بالتوفيق‬10 boules indiscernables au toucher Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher :
numérotées de 1 à 10 respectivement 6 boules blanches et 4 boules noires
On tire successivement et avec remise trois boules du sac On tire simultanément ‫بالتوفيق‬au hasard trois boules du sac
1) calculer le nombre de tirages possibles 1) soit A : «tirer au moins une boule noire»
2) montrer que la probabilité de tirer trois boules numérotées
montrer que p( A) 
5
‫بالتوفــيــق‬
toutes les trois par un nombre pair est
1
8
‫بالتوفــيــق‬ 6
2) on répète l’expérience précédente 5 fois en remettant à chaque
3) en déduire la probabilité de tirer trois boules dont au moins une fois dans le sac les trois boules tirées ; quelle est la probabilité
pour que l’événement A se réalise exactement trois fois ?
porte un nombre impair
4) sachant que les trois numéros des trois boules tirés sont pairs ‫ د ع‬1003 ‫باك اقتصاد‬
calculer la probabilité de tirer trois boules dont la somme des Un sac contient (10) boules indiscernables au toucher : une boule
numéros est 24 . numéroté par 0, trois boules numérotées par 0 , quatre boules
‫ د س‬1002 ‫باك‬ numérotées par 2 et deux boules numérotées par 3
On tire simultanément au hasard trois boules du sac
Un sac contient (10) boules indiscernables au toucher : trois
1) calculer le nombre‫ بالتوفيق‬de tirages possibles
boules numérotées par 0 , trois boules numérotées par 2 trois 2) calculer la probabilité de l’événement A : «parmi les boules
boules numérotées par 3 et une boule porte le numéro 1 tirées deux exactement portent le même numéro»
1) soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules 3) soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules
tirées qui ‫بالتوفيق‬portent le numéro 1 qui portent le numéro 2. déterminer les valeurs de X et la
i) déterminer les valeurs prises par X loi de probabilité de la variable X puis calculer E ( X )
ii) déterminer la loi de probabilité de la variable X
4) on répète l’expérience précédente dix fois en remettant à chaque
2) calculer la probabilité de l’événement: « tirage de trois boules
fois dans le sac les trois boules tirées ; quelle est la probabilité
dont une seule porte le numéro 1 et les deux autres portent
pour que l’événement A se réalise exactement six fois ?
toutes les deux un nombre pair »