Etude Detaillee Des Marees
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Les marées
Des observations minutieuses ont, depuis l’antiquité, mis en évidence un lien entre les marées
océaniques et les positions apparentes, pour un observateur terrestre, de la Lune et du Soleil.
Ces constatations empiriques ont reçu une explication grâce aux travaux de Newton (1643-
1727) puis de Laplace (1759-1827) qui pourraient approuver la définition suivante, fournie par
le Service hydrographique et océanographique de la marine (SHOM).
La marée est la variation du niveau de la mer due à l’action gravitationnelle de la Lune et
du Soleil, astres dont les mouvements peuvent être calculés avec précision sur des périodes de
plusieurs centaines, voire de plusieurs milliers d’années. L’un des buts principaux de l’étude
des marées est la recherche des relations existant entre le mouvement des astres et la réponse
des océans à l’action de ces forces gravitationnelles afin d’établir des formules de prédiction.
Dans ce document, on décrit tout d’abord les principaux rythmes régissant les marées océa-
niques avant de les interpréter par l’analyse des champs gravitationnels lunaires et solaires
s’exerçant à la surface de la Terre.
1
PC* – Cours de physique Les marées
Figure 1 – Marégramme obtenu dans le port de Brest pour les journées du premier et du
deux janvier 2001 (données SHOM). L’origine des hauteurs est le zéro des cartes de marine,
correspondant au niveau des plus basses mers.
DQ NL PQ PL DQ
morte morte
eau vive eau eau vive eau
age
2
PC* – Cours de physique Les marées
800
700
600
hauteur de la mer en cm
500
400
300
200
100
0
1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1 10/1 11/1 12/1
date
Figure 3 – Marégramme du port de Brest l’année 2001. L’équinoxe de printemps (20 mars), le
solstice d’été (21 juin), l’équinoxe d’automne (22 septembre) et le solstice d’hivers (21 décembre)
sont signalés par les traits verticaux.
Nous venons de décrire les principales composantes périodiques des marées, mais il en existe
des centaines d’autres, de moindre importance, que l’on peut d’une part relier à des mouvements
astronomiques et d’autre part déduire des marégramme par analyse spectrale. La figure 4
présente par exemple le spectre obtenu au Havre. On y observe la prépondérance du rythme
semi-diurne représenté par un ensemble de raies de fréquences voisines de deux cycles par jours.
On note encore la présence plus discrète du rythme diurne, mais aussi d’autres composantes
spectrales de moindre importance. Les rythmes mensuels et annuels, de fréquence très inférieure
à 1 cycle par jour, sont ici peu visibles.
II Le différentiel gravitationnel
Ce paragraphe constitue le cœur du document et regroupe les connaissances prévues par le
programme officiel des classes de PC/PC*. Accordez-lui toute votre attention.
Selon la loi de la gravitation universelle de Newton, des interactions attractives s’exercent
entre la Terre, le Soleil et la Lune. En traitant ces astres comme des points matériels qui
occuperaient leurs centres respectifs, on explique ainsi leurs mouvements relatifs régis par les lois
de Kepler. Pour comprendre le phénomène des marées, c’est-à-dire la déformation de l’enveloppe
liquide de la Terre, décrire la Terre comme un point matériel ne suffit plus ; il est au contraire
essentiel de prendre en compte son étendue spatiale et de remarquer que le champ de gravité
produit par la Lune ou le Soleil diffère d’un point à l’autre. Le mécanisme moteur des marées
étant le même pour ces deux corps célestes, nous considérons dans la suite un unique astre
attracteur A de masse mA dont le centre se trouve à la distance D de celui T de la Terre (figure
5). Nous reviendrons ultérieurement aux effets combinés de la Lune et du Soleil.
3
PC* – Cours de physique Les marées
Figure 4 – Spectre de la marée au Havre. Les fréquences en abscisse sont exprimées en cycle
par jour (cpj). D’après [2]
M G~(M
)
T
~ )
G(T
A
~ F~ ′(M)
m~a(M) = mG(M) + F~ ′ (M) d’où ~a(M) = G(M)
~ + .
m
Dans cette expression, F~ ′ représente toutes les autres forces s’exerçant sur M : gravité terrestre,
forces de contact avec d’autres points de la Terre, forces de pression, etc. Si nous en faisons
momentanément abstraction, nous voyons que le champ de gravitation G(M) ~ peut être assimilé
4
PC* – Cours de physique Les marées
à une accélération imprimée par l’astre A à la matière qui l’entoure. Ce champ n’est pas uniforme
dans l’espace : il décroît en 1/AM 2 avec la distance AM et sa direction, orientée de M vers A,
se modifie elle aussi lorsqu’on passe d’un point M à un autre. Ainsi les différents points M de
la Terre, soumis à des champs gravitationnels distincts, ont-ils tendance à se déplacer dans des
directions et avec des vitesses distinctes, comme si la Terre se trouvait écartelée. Si F~ ′ (M) était
nulle, ils se sépareraient les uns des autres et notre planète se disloquerait. Sur une planète
parfaitement rigide au contraire, les forces de cohésion représentées par F~ ′ s’ajusteraient de
manière à maintenir la forme sphérique. Notre planète, présentant par sa gravité propre une
certaine cohésion mais possédant aussi des océans fluides, se trouve entre ces deux extrémités :
le différentiel de gravité la déforme légèrement.
Répétons-le : c’est parce que la Lune et le Soleil attirent plus intensément certains points de
la Terre et moins intensément d’autres points que les marées existent. Si tous étaient soumis au
même champ, ils se déplaceraient de manière identique en suivant le centre de masse de notre
planète et les marées n’existeraient pas.
La cause des marées réside dans la non-uniformité des champ de gravité lunaire et
solaire à la surface de la Terre. Il s’agit d’un effet gravitationnel différentiel.
Le référentiel RG n’est donc pas galiléen. Les lois de la dynamique appliquées à un point
matériel M y font intervenir, en plus des forces comptabilisées dans RC , la force d’inertie
d’entraînement 1
F~ie = −m~a(T ) = −mG(T
~ ) .
Au total, M est donc soumis à F~ ′ (M) qui, rappelons-le, regroupe les force ayant une cause
~
terrestre, à la force gravitationnelle mG(M) que l’astre A exerce sur lui et enfin à F~ie . Ainsi la
résultante des forces qu’il subit s’exprime par
~ = F~ ′ + mG(M)
R ~ + F~ie (1)
= F~ ′ + mG(M)
~ ~ )
− mG(T (2)
h i
= F~ ′ + m G(M)
~ ~ )
− G(T (3)
Le différentiel de gravitation entre les points M et T apparaît ici naturellement. Le point maté-
riel M est soumis d’une part au champ de gravitation G~ calculé là où il se trouve, d’autre part à
la force d’inertie associée à l’accélération du centre du référentiel géocentrique, proportionnelle
~ ). On définit la force de marée F~m (M) et le champ de marée C
à −G(T ~ m (M) par
5
PC* – Cours de physique Les marées
L’expression de C~ traduit clairement l’idée fondamentale : les marées sont dues à un différentiel
de gravitation exercée par l’astre A.
Pour étudier le mouvement des masses océaniques, on ne travaille généralement pas dans le
référentiel géocentrique RG mais plutôt dans le référentiel terrestre RT où les continents, les
fonds marins, les côtes et la plupart des observateurs humains sont immobiles. Dans ce second
changement de référentiel RG → RT , de nouvelles forces d’inertie interviennent comme nous
l’avons vu en cours. La force d’inertie d’entraînement associée à la rotation sidérale de la Terre
est prise en compte dans le champ de pesanteur ~g . La force de Coriolis F~ic = −2m ω ~ ∧ ~v joue
un rôle important dans la formation des courants de marées, mais nous n’analyserons pas son
rôle dans la suite du document. Dans ces conditions, le choix de raisonner dans le référentiel
géocentrique ou le référentiel terrestre ne sera plus qu’une affaire de point de vue cinéma-
tique. Soulignons une nouvelle fois que c’est bien dans le passage du référentiel de Copernic au
référentiel géocentrique que l’on fait apparaître le champ de marée.
~ = MT
MA ~ + T~A = −r u~r + D u~z = −r u~r + D(cos θu~r − sin θ~uθ )
~ 2 = r 2 + D 2 − 2rD u~r .u~z = r 2 + D 2 − 2rD cos θ
MA2 = MA (5)
6
PC* – Cours de physique Les marées
~
Après développement, on obtient C(M) = Cr ~ur + Cθ ~uθ avec
3 GmA r
Cr = C0 (3 cos2 θ − 1) Cθ = − C0 sin(2θ) C0 = (7)
2 D3
Le préfacteur C0 dépend de l’astre considéré au travers de sa masse mA et de sa distance à la
Terre D.
Ce calcul un peu délicat s’avère beaucoup plus simple dans le cas où T , M et A sont
alignés, c’est à dire si θ = 0 ou θ = π. Dans ce cas en effet les deux champs sont colinéaires et
u~r = ±uM ~ A = ±u~z de sorte que C~ ne présente pas de composante selon ~uθ .
☛ Faites un nouveau schéma représentant ces situations particulières et, par développement
limité, retrouvez l’expression de Cr .
x
M G~(M
)
r
T
~ )
G(T
A
7
PC* – Cours de physique Les marées
r cos θ 3 2r
2 !
GmA r r2
Φ(r, θ) ≃ − 1 − cos θ + − cos θ (11)
D D D 2D 2 8 D
GmA r 2
Φ(r, θ) ≃ 1 − 3 cos2
θ (12)
2D 3
Nous avons abandonné le terme constant indépendant du point M, ce qui reflète notre liberté
de fixer arbitrairement l’origine des potentiels. Le champ de marée s’en déduit aisément en
calculant le gradient en coordonnées cylindriques
∂Φ 1 ∂Φ
Cr = − Cθ = − .
∂r r ∂θ
☛ Vérifier que l’on retrouve ainsi les expressions (7).
~ sur la base
Pour certains usages, il peut être commode de disposer des projections de C
(u~x , u~z ). Le passage d’une base à l’autre s’effectue selon les relations
☛ Retrouver à partir d’un schéma les relations (13) puis les expressions (14).
θ → π − θ Cr → Cr Cθ → −Cθ Cx → Cx Cz → −Cz
— La composante
√ verticale Cr est maximale pour θ = 0 et θ = π. Elle s’annule pour
cos θ = 1/ 3 soit θ = 55◦ . De 0◦ jusqu’à 55◦ , puis de 125◦ jusqu’à 180◦, elle est positive
donc le champ point vers l’extérieur de la Terre. Entre 55◦ et 125◦ au contraire, elle est
négative et le champ pointe vers l’intérieur de la Terre.
— La composante horizontale Cθ est nulle en θ = 0◦ , 90◦ , 180◦ . Elle est maximale pour
θ = 45◦ , négative de 0 à 90◦ puis positive de 90 à 180◦ , ce qui signifie que le champ
pointe toujours vers l’équateur et jamais vers les pôles.
Ces remarques permettent de représenter à la main le champ de marée si l’on souhaite s’af-
franchir de l’outil informatique. Dans ce cas, une approche géométrique appelée construction
de Proctor permet de réaliser un travail soigné (figure 8). Soit B le projeté orthogonal de M
sur (T A) et P le point tel que T~P = 3T~B. Un calcul élémentaire montre que champ de marée
en M est proportionnel 3 à MP ~ .
☛ Utilisez la méthode de Proctor pour reproduire grossièrement la figure 7.
2. On rappelle que (1 + u)−1/2 ≃ 1 − u/2 + 3u2 /8
3. Le facteur de proportionnalité vaut Gm
r3
A
A
8
PC* – Cours de physique Les marées
150° 30°
165° 15°
T z
180° 0°
195° 345°
210° 330°
225° 315°
240° 300°
255° 270° 285°
T B P vers A
9
PC* – Cours de physique Les marées
IV Marée hydrostatique
Sous l’effet du champ de marée étudié dans la partie III, les océans se mettent en mouvement
d’une manière difficilement calculable. En effet, la Lune et le Soleil occupent une position A
(figure 6) variable, créant des champs de marée eux-mêmes variables, poussant les flots tantôt
dans un sens, tantôt dans l’autre, modifiant ainsi le champ des vitesses ~v (M, t) dans le fluide,
dont la détermination dépend aussi, au travers de l’équation de Navier-Stokes, de l’inertie des
masses d’eau, de la forme des bassins océaniques, des côtes et baies qui le bordent, etc ...
Négligeant pudiquement ces complications, on adopte parfois, afin de se former une image
grossière du phénomène de marée, un modèle hydrostatique. On suppose la Terre entièrement
recouverte d’un océan dont on admet qu’il prend à chaque instant la position d’équilibre imposée
par les actions conjuguées du champ de pesanteur ~g et du champ de marée C. ~ Dans ce cadre,
la forme de la surface terrestre s’identifie à une équipotentielle 4 . Soit h la hauteur atteinte
par la surface de l’eau et r = RT + h le rayon associé. Comme h demeure très petite le rayon
terrestre RT , on peut supposer ~g uniforme et dérivant du potentiel Φg = gh. D’autre part,
dans l’expression (12) du potentiel de marée, l’approximation r = RT + h ≃ RT est licite. Le
potentiel total s’écrit alors
Soit K0 la valeur constante prise par Φtot à la surface des océans. La condition Φtot (M) = K0
conduit à
K0 Φ(RT , θ)
h= − (15)
g g
C0 RT
= h0 − (1 − 3 cos2 θ) (16)
2g
La constante h0 dépend de l’altitude de référence choisie et ne présente pas d’intérêt ; nous la
choisissons nulle. Les variations de h fournissent alors une représentation ce celles de −Φ(RT , θ) :
l’eau s’accumule dans les zones où le potentiel de marée est le plus faible et y atteint une cote
plus élevée. L’astre occupant toujours la position de la figure 6, la Terre prend schématiquement
la forme d’un ellipsoïde (figure 9) allongé dans la direction de A.
☛ Utiliser un ordinateur ou une calculatrice pour reproduire la figure (9). Sous Python, utili-
ser le module matplotlib.pyplot et passer en coordonnées polaires par ax = plt.subplot(111,
polar=True). Puis tracer par ax.plot(tableau_valeurs_theta,tableau_valeurs_r).
Recherchons les valeurs extrémales de r.
— Le terme en cos2 θ est maximal pour θ = 0 et θ = π conduisant à hmax = C0gRT .
— Il est minimal pour θ = π/2 et θ = 3π/2 conduisant à hmin = − C02gRT .
— Entre ces deux valeurs, la dénivellation vaut
3C0 RT
H = hmax − hmin = .
2g
Pour des raisons que nous expliquerons plus loin, ces valeurs s’identifient respectivement à la
pleine mer, à la basse mer et au marnage. En considérant tour à tour la Lune et le Soleil, nous
obtenons respectivement
HLune = 54 cm HSoleil = 25 cm .
Ces valeurs s’avèrent très inférieures à celles observées dans la réalité, couramment de l’ordre
de plusieurs mètres. Le modèle hydrostatique, passant sous silence la dynamique des océans,
4. propriété démontrée dans un autre chapitre
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PC* – Cours de physique Les marées
150° 30°
165° 15°
180° 0°
195° 345°
210° 330°
225° 315°
240° 300°
255° 270° 285°
Figure 9 – Forme de la Terre dans le cadre de la théorie hydrostatique des marées. L’astre
attracteur se trouve dans la direction θ = 0.
se révèle donc insuffisant. La figure 9 permet tout de même de se forger une idée du potentiel
de marée à un instant donné. C’est sur ce genre de représentation que nous appuierons dans
les parties suivantes, en renonçant à élucider la manière dont les valeurs du potentiel de marée
déterminent celles de la hauteur d’eau.
11
PC* – Cours de physique Les marées
N N
S S
12
PC* – Cours de physique Les marées
En reportant dans l’expression (12) du potentiel de marée et en utilisant cos2 θ = (1+cos 2θ)/2,
on obtient après calcul un potentiel de marée de la forme
3Gma r 2 1 1
Φ= − sin 2λ sin 2δ0 cos H(t) − cos 2
λ cos2
δ0 cos(2H(t)) − 3(sin 2
λ − )(sin 2
δ0 − ) .
4D 3 3 3
(17)
Les détails de cette expression ne présentent pas ici d’intérêt. Mais il convient de remarquer
la présence du terme en cos H(t) de pulsation ΩT traduisant le rythme diurne 5 et celui en
cos 2H(t) de pulsation double correspondant au rythme semi-diurne. Comme signalé plus haut,
le rythme diurne disparaît quant δ0 = 0, c’est à dire quand la lune se trouve dans le plan de
l’équateur.
DQ
Soleil NL T PL
PQ
Figure 12 – Les phases de la Lune
Pour voir le lien avec l’amplitude des marées, reportons-nous à la figure (13) tracée dans le
référentiel terrestre. La Lune et le Soleil se trouvent dans les directions repérées par ~uzLune et
~uzSoleil . Chaque astre crée un potentiel de marée dont l’influence est représentée par un ellipsoïde
allongé dans l’une de ces directions. Lors de la nouvelle et de la pleine lune, les effets solaires
et lunaires se cumulent, conduisant à des marées de vives eaux. Lors du premier et du dernier
quartier au contraire, le grand axe de l’un des deux ellipsoïdes se confond avec le petit axe de
l’autre. Les variations des deux potentiels se font en opposition et on tendance à se neutraliser,
d’où une marée de mortes eaux. La compensation ne peut cependant pas être totale puisque le
potentiel solaire présente une amplitude deux fois moindre que le potentiel lunaire.
13
PC* – Cours de physique Les marées
NL DQ
ou un dictionnaire à l’article sur les saisons pour préciser la situation. Pour l’application aux
marées, il suffit de savoir que les équinoxes ont lieu lorsque le Soleil se trouve dans le plan de
l’équateur (déclinaison nulle) alors que les solstices se produisent lorsqu’il s’en éloigne le plus
possible (déclinaison maximale).
Pour un astre donné, l’amplitude du terme semi-diurne de la relation (17) est proportionnelle
à cos2 δ0 . Elle est maximale si δ0 = 0 (astre dans le plan de l’équateur) et décroît lorsque δ0
augmente. Le Soleil produit donc un effet maximal lors des équinoxes. À ces dates, les vives
eaux, résultant de la coopération de la marée lunaire et de la marée solaire, présenteront donc
une amplitude particulièrement élevée. En mortes eaux, la réduction de l’influence de la Lune
par le Soleil sera très efficace, et l’amplitude particulièrement basse. Au solstice au contraire,
l’influence du Soleil devient minimale et ses interférences avec les marées lunaires moins visibles :
l’écart entre VE et les ME est réduit. Ces propriétés se vérifient sur la figure 14.
☛ Vous devez être en mesure d’expliquer l’origine des rythmes semi-diurne, diurne, mensuel
et saisonnier en vous appuyant sur vos propres schémas.
14
PC* – Cours de physique Les marées
Figure 14 – Déclinaison solaire (partie haute) et variations sur trois années des coefficients de
marée en vives eaux (VE) et mortes eaux (ME). Le coefficient de marée est un nombre sans
dimension proportionnel au marnage dans un port donnée. Près des équinoxes, la différence
entre les VE et le ME est accentuée. Près des solstices elle est amoindrie. D’après [3].
— Les marées sont de très faible amplitude dans les mers fermées (Méditerranée par
exemple).
La théorie ondulatoire des marées, développée en 1776 par Laplace, répond à ces insuf-
fisances. Elle fut utilisée en France jusqu’en 1992 pour prédire les coefficients de marée. Des
méthodes plus modernes introduites par Darwin (1883) puis Doodson (1905) lui ont succédé
en en conservant l’esprit que nous allons exposer brièvement.
Le potentiel de marée créé par la Lune et le Soleil résulte de la superposition de termes
périodiques et peut donc s’écrire comme une somme de sinusoïdes. La relation (17) est un
premier pas dans cette direction. Sous l’action des forces de marée, les océans effectuent des
oscillations forcées que l’on peut aussi décrire comme des sommes de sinusoïdes appelées ondes
de marées.
h(M, t) = hi (M) cos(qi t + φi (M)) (18)
X
On classe ces ondes selon l’astre qui les crée et la valeur de leur période (ondes diurnes, semi-
diurnes ou de longue période). Par exemple, l’onde lunaire semi-diurne prépondérante en France
est notée M2 , a pour période 0,517 jours et pour fréquence 1,93 cpj (cycles par jour). L’onde
solaire principale, de période 24,066 heures, est noté P1 . L’observation sur de longues durées du
marégramme dans un port M donné permet de connaître la phase φi (M) et l’amplitude hi (M)
de chaque onde. C’est dans ce but qu’a été tracé le spectre de la figure (4). La phase φ(M)
associé aux ondes semi-diurnes décrit la propagation de l’onde de marée dans la Manche signalée
plus haut. L’âge de la marée résulte lui aussi d’un effet de déphasage. Dans cette présentation,
la conjugaison des effets de la Lune et du Soleil s’interprètent comme des interférences d’ondes.
15
PC* – Cours de physique Les marées
Sur les ports de la côte atlantique française, les termes semi-diurnes sont prédominants
dans la somme (18) ce qui donne le rythme familier de deux marées hautes et de deux marées
basses par jour. Mais il n’est va pas partout de même. Dans les ports où les termes diurnes
et semi-diurnes sont comparables, les marnages du matin diffèrent fortement de ceux du soir.
Sur d’autres côtes encore, les termes diurnes dominent nettement et on n’observe qu’une seule
marée par jour. Observer à ce sujet les marégrammes de la figure 15
Figure 15 – Exemples de marégrammes sur une durée de 7 jours pour les ports de Pointe-à-
Pitre (Guadeloupe) et de Cam-Ranh (Vietnam) fournis par le site de prédiction du SHOM.
16
PC* – Cours de physique Les marées
fait partie des meilleurs spécialistes européens de ce sujet. À titre culturel, vous pouvez aussi
savoir qu’on appelle limite de Roche la distance minimale en dessous de laquelle un satellite
perd sa cohésion à cause des effets de marée provoqués par l’astre autour duquel il gravite.
17
PC* – Cours de physique Les marées
Références
[1] Site internet du Service Hydrographique et Océanographique de la Marine
[2] B. Simon, La marée, Éd. Institut océanographique (2007)
La bible sur le sujet, de niveau souvent trop élevé pour les élèves.
[3] O. Guérin, Tout savoir sur les marées, Éd. Ouets-France (2004) Ouvrage de lecture aisée,
avec un minimum de développements mathématiques.
[4] B. Lautrup, Physics of continuous matter, Institute of Physics Publishing
18