Oudaha Rabab-Lakhrif Hind Ait Ali Imad Tp4
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TP4 : MODELISATION NON LINEAIRE
I. But :
On considère une source de radiation et on compte le nombre de coups par unité de temps à
l’aide d’un compteur. On constate que la vitesse d’émission (nombre de coups par unité de
temps) décroît de manière à peu près linéaire avec le temps. On va essayer de modéliser ce
phénomène quantitativement selon la loi linéaire :
𝑌 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑡 . Sachant que la variable y, ici, est le nombre de comptage C. Pratiquement on
détermine le nombre de coups 𝐶𝑖 détectés pendant un intervalle de temps 𝑡𝑖 et on choisit
tous les 𝑡𝑖 égaux et contigus. Les fluctuations dans les mesures de 𝐶𝑖 sont purement
statistiques. On peut donc utiliser la distribution de Poisson pour représenter la dispersion des
valeurs observées pour une même mesure donc : σ² = 𝐶𝑖
On rappelle que : V(y) = σ² * 𝑃 −1 où P est la matrice pondération. Donc ici les éléments de la
matrice diagonale des poids seront : 𝑃𝑖 = 1/𝐶𝑖 .
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3. Calculer la variance σ² ainsi que la variance sur l’estimation des valeurs a et b en
fonction de ti et Ci :
Code utilisé :
Ci=[106;80;98;75;74;73;49;38;37;22]
T=[0;15;30;45;60;75;90;105;120;135]
A=[ones(10,1),T]
% calcul la matrice C
p=Ci.^(-1)
P=diag(p)
C=A'*P*A
Beta=inv(C)*A'*P*Ci
eps=Ci-A*Beta
Pi=sqrt(P)*eps
s=sqrt((Pi'*Pi)/8)
VBeta=s^2.*inv(C)
V=sqrt(diag(VBeta))
%Calcule de R²
Cichapo=A*Beta
Cim= mean(Ci);
R2=SSD/SST
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Beta = 104.4620 a
-0.5940 b
-0.2639 0.0030
V = 5.3555 σa
0.0547 σb
R2 = 0.9560
Code utilisé :
T =[0 ;15 ;30 ;45 ;60 ;75 ;90 ;105 ;120 ;135];
A=[ones(10,1),T]
y=log(Ci)
wi=y.^2
W=sum(wi)/10
Pi=wi/W
P=diag(Pi)
C=A'*P*A
Beta=inv(C)*A'*P*y
eps=y-A*Beta
Pi=sqrt(P)*eps
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s=sqrt((Pi'*Pi)/8)
VBeta=s^2.*inv(C)
%Calcule de R²
Ychapo=A*Beta
ymoy= mean(y);
R2=SSD/SST
1.2905 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1.1395 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1.2475 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1.1062 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1.0993 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1.0924 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.8988 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.7852 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0.7737 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5670
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8. Calculer l’estimation de a et b par les moindres carrés ainsi que leurs incertitudes.
Beta = 4.7461
-0.0096
V= 0.0994
0.0014
R2 = 0.7618
10. Comparer ce coefficient R2 par rapport à celui calculé selon une loi linéaire.
D’après les résultats obtenus on a trouvé que le coefficient R2 du modèle linéaire est plus
grand que le coefficient du modèle non linéaire.
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La courbe non linéaire est en bleu et linéaire en rouge.
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