Chapitre 2 Cinétique des gaz parfaits

La théorie cinétique des gaz parfaits s’appuie sur le modèle moléculaire de la

présentation des gaz. Cela permet d se faire une représentation microscopique de
quantités physiques et permet de déduire u mouvement moyen les quantités
macroscopiques qui seront utiles pour caractériser les échanges de chaleur.
Cette théorie microscopique permet de donner la signification physique
fondamentale de la Température et de la Pression.

Le modèle du gaz parfait est défini à partir de trois hypothèses:

➢la structure des molécules
➢ l’ interaction entre les molécules
➢L’équilibre
Les molécules d’un gaz parfait sont assimilées à des sphères dures dont le
diamètre est négligeable devant la distance moyenne qui les sépares. Les
interactions entre molécules sont uniquement de très courte portée, on suppose
que les collisions sont élastiques.
Les vitesses d’agitations se répartissent dans toutes les directions d’une façon
équivalente, de sorte que la valeur moyenne du vecteur vitesse d’une particule sur
un grand nombre de collision soit nulle. On dit que le gaz se trouve dans un état
d’équilibre statistique.
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 Chapitre 2 Cinétique des gaz parfaits
1/. La Pression
Soit une enceinte remplie d’un gaz constitué de particules en mouvement. Les
parois sont soumises aux chocs des particules. Chaque choc est un transfert de
quantité de mouvement.
La pression est fondamentale pour un gaz. La force par unité de surface est la
pression:
𝐹
𝑃= 𝑃𝑎 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 (𝑀𝐿−1 𝑇 −2 )
𝑆
D’autres unités sont utilisées telles que le bar, l’atmosphère ou le mm de mercure,
avec : 1 bar = 105 Pa  1atm = 760 mm Hg
Compression du gaz: on déplace le piston en exerçant une force F sur une distance
(-dx), le travail effectué par un opérateur est:
𝛿𝑊 = 𝐹 −𝑑𝑥 = −𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑆𝑑𝑥 = −𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑉
Il y a un signe (-): on fournit du travail au gaz
Si la transformation est lente, la pression du gaz s’équilibre avec la pression
extérieure et donc: 𝛿𝑊 = −𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑉 = −𝑃𝑑𝑉
La transformation est réversible, le système passe d’un état à l’autre par une
succession d’états d’équilibre.
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 Chapitre 2 Cinétique des gaz parfaits
Considérons N molécules d’un gaz parfait enfermées dans un cube de côté L. On
suppose que les molécules n’ont pas d’interaction entre elles autre que les chocs.
Soit une particule se déplaçant vers la paroi à la vitesse 𝒗𝒙 , elle est à la distance L de
la paroi à l’instant initial. Sa quantité de mouvement avant le choc est (𝒎𝒗𝒙 ), elle
heurte la paroi où elle rebondit. Sa quantité mouvement est (−𝒎𝒗𝒙 ).
La variation de quantité de mouvement lors du choc
de la particule contre la paroi est égale à:
∆𝒑𝒙 = ( − 𝒎𝒗𝒙 ) − (𝒎𝒗𝒙 ) = −𝟐𝒎𝒗𝒙
La quantité de mouvement transférée à la paroi
perpendiculaire à x est: ∆𝒑𝒙 = 𝟐𝒎𝒗𝒙
L’intervalle de temps entre deux collisions de la molécule
2L
sur la face perpendiculaire à x est : ∆𝑡 =
𝑣𝑥
Le transfert de quantité de mouvement par unité de temps à la face sera pour
chaque molécule:
∆𝒑𝒙 𝟐𝒎𝒗𝒙 𝒎𝒗𝒙 𝟐
= L = L =𝐅
∆𝒕 𝟐
𝒗𝒙
F est la force exercée par la molécule sur cette face. On peut déduire la pression P
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2 𝑁
𝐹𝑥 1 𝑚𝑣𝑥,𝑖 𝑚 𝑁𝑚 2
P = 2 = 2෍ = 3 𝑁 𝑣𝑥2 𝑚𝑜𝑦 = 𝑣𝑥
𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝑉
𝑖=1
Où 𝐯𝐱𝟐 est la moyenne du carré des composantes selon x des vitesses des molécules
Les molécules ayant des vitesses distribuées de manière isotrope dans l’espace:
𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 = 3 𝑣𝑥2 = 𝑣 2
D’où la pression en fonction de la vitesse moyenne est de la forme:
1 𝑁𝑚 𝟏
𝑷= 𝑣 2 = 𝒏𝒎 𝒗𝟐 (n est le nombre de particules par unité de volume)
3 V 𝟑

Cette équation illustre l’esprit de la théorie cinétique des gaz : elle relie une
grandeur macroscopique la pression, à une grandeur microscopique la vitesse
moyenne quadratique.

L’énergie cinétique moyenne de toutes les particules présentes dans l’enceinte de

volume V est:
1 2
3
𝐸 = 𝑁 𝑚 𝑣 = 𝑃𝑉
2 2
𝟐
En introduisant la densité 𝝆, on aura: 𝑷 = 𝝆 𝒗𝟐
𝟑
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❑ Loi de distribution des vecteurs vitesse de Boltzmann : elle donne la probabilité
qu’une molécule du gaz parfait soit animée du vecteur vitesse 𝑣Ԧ à 𝑑 3 𝑣Ԧ près.
3
𝑚 𝑚𝑣 2 3
2
𝑝𝑣 = 𝑑 3 𝑣Ԧ 𝑒𝑥𝑝 − 𝑑 𝑣Ԧ
2𝜋𝐾𝐵 𝑇 𝐾𝐵 𝑇
❑ Loi de distribution des valeurs des vitesses de Maxwell-Boltzmann : elle
donne la probabilité qu’une molécule du gaz parfait soit animée d’une vitesse
𝑣 à 𝑑𝑣 𝑝𝑟è𝑠.
3
2 𝑚 2 𝑚𝑣 2
𝑝𝑣 𝑑𝑣 = 𝑣 2 𝑒𝑥𝑝 − 𝑑𝑣
𝜋 𝐾𝐵 𝑇 𝐾𝐵 𝑇

➢ Vitesse la plus probable : C’est la vitesse pour laquelle la densité de probabilité

𝑑𝑝𝑣 𝑚𝑣 3 2𝑘𝐵 𝑇
est maximale: = 0 ⇒ 2𝑣 − = 0 , 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑣𝑝 =
𝑑𝑣 𝑘𝐵 𝑇 𝑚
∝ 8𝐾𝐵 𝑇
➢ Vitesse moyenne : 𝑣 = ‫׬‬0 𝑣𝑝𝑣 𝑑𝑣 , 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑣 =
𝜋𝑚
3𝐾𝐵 𝑇
➢ Vitesse quadratique moyenne : 𝑣𝑞 = 𝑣2 =
𝑚
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 Chapitre 2 Cinétique des gaz parfaits
2/. La Température
On introduit l’état thermique que l’on caractérise par la variable Température. La
température T est la variable d’état d’un système qui traduit le degré d’agitation
thermique des particules microscopiques qui le constituent. L’unité de la
température est le Kelvin (K)

Un gaz est plus au moins agité selon que sa vitesse quadratique est plus ou moins
grande. La vitesse peut donc caractériser le degré d’agitation du gaz. Les expériences
montrent que, plus le gaz est agité, plus sa température est grande. La température
est liée à la vitesse quadratique de la particule c’est-à-dire à son énergie cinétique.
Définition: La température cinétique T d’un gaz parfait monoatomique est une
mesure de son énergie cinétique microscopique.
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 Chapitre 2 Cinétique des gaz parfaits
Il a été établi expérimentalement que la pression P, le volume V et la
température absolue T et le nombre de moles n d’un gaz parfait sont reliées
par l’équation d’état (loi d’Avogadro-Ampère):
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑔𝑎𝑧 𝑝𝑎𝑟𝑓𝑎𝑖𝑡𝑠, 𝑅 = 8,314 𝑆𝐼
La constante des gaz parfait est : 𝑅 = 𝑁𝐴 𝐾𝐵
Où 𝑁𝐴 est le nombre d’Avogadro et 𝐾𝐵 est la constante de Boltzmann,
𝐾𝐵 = 1,3810−23 𝐽𝑘 −1
Si on utilise le nombre de particule du gaz N, donné par le rapport: 𝑁 = 𝑛𝑁𝐴
Le calcul de la pression est:
𝑁 1
𝑃𝑉 = 𝑅𝑇 = 𝑁𝐾𝐵 𝑇 = 𝑁𝑚 𝑣 2
𝑁𝐴 3
Une relation entre la vitesse quadratique et la température:
2
3𝐾𝐵 𝑇 3𝑅𝑇
𝑣 = =
𝑚 𝑀
𝟏 𝟑
L’énergie cinétique moyenne: 𝑬𝒄𝒊𝒏 = 𝒎 𝒗𝟐 = 𝐾𝐵 𝑻
𝟐 𝟐
A une température donnée toutes les molécules d’un gaz parfait, quelque soit leur
masse, ont la même énergie cinétique moyenne de translation.
En conséquence, mesurer la température T d’un gaz, c’est également mesurer
l’énergie cinétique moyenne de translation de ses molécules.
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 Chapitre 2 Modèle cinétique du gaz parfait
3/. Libre parcours moyen 𝝀
c’est la distance moyenne parcourue par une particule (un atome, une molécule, un
photon) se déplaçant entre deux collisions successifs modifiant sa direction, son
énergie ou d’autres propriétés.
Critère de collision: Soit une particule A de diamètre d se déplaçant en ligne droite
entre deux chocs. Pour que le choc aura lieu, il faut que le centre de chaque particule
soit contenu dans un cylindre de rayon d. Chaque particule se caractérisera par une
surface de choc appelée section efficace de collision σ.
Le nombre total de chocs est :
𝑁 𝑁
∆𝑁𝑐ℎ𝑜𝑐 = 𝑛𝑝 𝑉𝑏𝑎𝑙𝑎𝑦é = 𝜎𝑙 = 𝜎 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 ∆𝑡
𝑉 𝑉
On définit la fréquence des collisions Z par :
∆Nchoc 𝑁 𝑘𝐵 𝑇
Z= = 𝜋𝑑 2 4
∆t 𝑉 𝜋𝑚

Cylindre de collision

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𝐯
Le libre parcours moyen 𝝀 est : 𝝀 =
𝐙
V 𝑣 𝑉 2 𝟏
𝜆= = ⟺ 𝝀=
N 𝜎 𝑣𝑟 𝜎𝑁 2 𝝅𝒅𝟐 𝒏𝒑 𝟐
Cas d’un gaz parfait isolé et en équilibre thermodynamique, la densité particulaire
s’exprime en fonction de la pression et de la température:
𝑃 𝑲 𝑻
𝑛𝑝 = d’où : 𝝀 = 𝟐𝑩
𝐾𝐵 𝑇 𝝅𝒅 𝑷 𝟐

Applications:
➢ Calculer le libre parcours moyen des molécules d'oxygène dan un volume où règne
une très faible pression P= 10 Pas et une température T=290 K . On considère que le
diamètre des molécules vaut 3Å
Réponse: 𝜆 = 0,001 m
➢ Evaluer le libre parcours moyen pour une molécule d’Hydrogène de diamètre
1,45Å dans les conditions suivantes:
➢ T= 273 K et P= 105 Pas; Rép: 𝜆 = 1,4 10−7 m
➢ T= 273 K et P= 10−5 Pas; Rép: 𝜆 = 1,4 Km
➢ T= 1000 K et P= 105 Pas; Rép: 𝜆 = 5,2 10−7 m
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4/. Conductivité Thermique:
Nous supposons maintenant que nous avons établi un déséquilibre de température
dans le gaz, nous allons monter que c’est grâce aux chocs entre les molécules que la
température s’égalise. Nous allons faire des bilans sur des tranches d’épaisseur dx.
L’énergie moyenne transportée par unité de temps et par unité de surface à travers
1
le plan x de gauche à droite est: 𝐸 = 𝑛𝑣𝑘𝐵 𝑇(𝑥 − 𝜆)
6
L’énergie moyenne transportée par unité de temps et par unité de surface à travers
1
le plan x de droite à gauche est: 𝐸 = 𝑛𝑣𝑘𝐵 𝑇(𝑥 + 𝜆)
6
Le flux d’énergie est:
1 1 1 𝜕𝑇(𝑥)
q = 𝑛𝑣𝑘𝐵 𝑇 𝑥 − 𝜆 − 𝑛𝑣𝑘𝐵 𝑇 𝑥 + 𝜆 = −𝜆 𝑛𝑣𝑘𝐵
6 6 3 𝜕𝑥

𝜕𝑇 𝑥
Le flux est proportionnel au gradient de la température, soit: 𝑞 = −𝑘
𝜕𝑥
1
avec k la conductivité thermique, on aura : 𝑘 = 𝑛𝜆𝑘𝐵 𝑣
3
8𝐾𝐵 𝑇
La vitesse moyenne est proportionnelle à la racine de la température: 𝑣 =
𝜋𝑚
La conductivité thermique k varie pour un gaz avec la racine de la température
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5/. Gaz parfait
1. A température constante et pour une masse déterminée de gaz, le
produit PV est constant. Loi de Boyle & Mariotte (1663)
2. A pression constante, le volume d’un gaz parfait est proportionnel à la
température absolue. Loi de Gay-Lussac (1802)
3. A volume constant, la pression d’un gaz parfait est proportionnelle à la
température absolue . Loi de Charles.
4. Des volumes égaux de gaz parfaits, à la même pression et à la même
température, contiennent le même nombre de moles. Loi d’Avogadro
5. La pression totale d’un mélange idéal de deux gaz parfaits est la somme
des pressions partielles: c’est la somme des pressions qu’aurait chaque gaz
s’il occupait seul le volume total. Loi de Dalton.
6. L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de sa température. Loi de
Joule.
Limite du modèle du gaz parfait: Le modèle du gaz parfait est excellent tant
que la pression du fluide est suffisamment faible pour que l’on puisse négliger
les forces d’interactions moléculaires.

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6/. Gaz réel
L’équation d’état est différente de celle d’un gaz parfait à cause des interactions
entre les molécules. Plusieurs équations phénoménologiques ont été proposées et
qui sont souvent valables dans un domaine restrient de température ou de pression.
La prise en compte de deux termes correctifs (terme correctif de volume et terme
correctif de pression), donne l’équation d’état des gaz réels proposée par Van-der
𝐚
waals : 𝐏 + 𝐧𝟐 𝟐 𝐕 − 𝐧𝐛 = 𝐧𝐑𝐓
𝐕
où a et b sont deux constantes qui traduisent respectivement le comportement des
forces intermoléculaires à longue et courte portée.

7/. Liquide
L’équation d’état reliant le volume, la température et la pression d’un liquide est
de la forme suivante: 𝐕 = 𝐕𝟎 𝟏 + 𝛂 𝐓 − 𝐓𝟎 − 𝛋(𝐏 − 𝐏𝟎 )
Avec 𝑇0 = 0°𝐶, 𝑃0 = 105 𝑃𝑎𝑠 1𝑏𝑎𝑟 𝑒𝑡 𝐕𝟎 est le volume du liquide à T= 𝑇0 et P= 𝑃0
𝛂 est un coefficient qui représente la variation relative de volume résultant d’une
variation de température à pression constante ( coefficient de dilation volumique).
𝛋 mesure l’aptitude du liquide à être comprimé par une variation de pression à
température constante ( coefficient de compressibilité isotherme).
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8/. Coefficients Thermo élastiques
On établit l’équation d’état f(V,T, P), d’un matériau fluide ou solide à partir des
coefficients thermo élastiques suivants:
➢ Coefficient de dilatation isobare :
1 𝜕V
αP = (𝐾 −1 )
V 𝜕T P
➢ Coefficient de variation de pression isochore:
1 𝜕𝑃
𝛽𝑉 = (𝐾 −1 )
𝑃 𝜕𝑇 𝑉
➢ Coefficient de compressibilité isotherme :
1 𝜕𝑉
𝜒𝑇 = − (𝑃𝑎−1 )
𝑉 𝜕𝑃 𝑇

On à la relation aux dérivées partielles suivante:

𝛛𝐕 𝝏𝑻 𝝏𝑷
=−𝟏 ⟺ 𝛃𝛘𝐓 𝐏 = 𝛂
𝛛𝐓 𝐏 𝝏𝑷 𝑽 𝝏𝑽 𝑻
1 1 1
Dans le cas d’un gaz parfait, on trouve: αv = 𝛽𝑉 = 𝜒𝑇 =
T 𝑇 𝑃

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Applications: Détermination d’une équation d’état à partir des coefficients thermodynamique

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