TD (1) - Chapitre 4, Cinématique Du Solide

Université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou - tasvauit mulud at mamar n tizi uzu - ‫جامعة مولود معمري تيزي وزو‬
Série (1) de Travaux Dirigés du Chapitre IV : Cinématique du

solide rigide
Exercice 1
On considère un point matériel se déplaçant dans un référentiel (R) (𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗). Les
coordonnées du point M dans le référentiel (R) sont données par :
𝑥(𝑡) = 𝑡 + 1 , 𝑦(𝑡) = 𝑡 2 + 1, 𝑧(𝑡) = 0. (t étant le temps)
1) Donner l’équation de la trajectoire de M dans (R). En déduire sa nature.
⃗⃗ (𝑀) et l’accélération Γ⃗(𝑀) du point M.
2) Calculer la vitesse 𝑉
Exercice 2
Soit le système mécanique composé d’une tige OO2 de longueur L et d’une plaque
rectangulaire de dimension 2a et 2b articulée en O2 avec la tige (voir figure). La plaque tourne
autour de la tige à une vitesse angulaire 𝜑̇ .
(R0) (𝑂, ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦0 ⃗⃗⃗⃗)
𝑧0 étant le repère fixe ;
(R1) (𝑂, ⃗⃗⃗⃗,
𝑥1 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦1 ⃗⃗⃗⃗) 𝑧0 tel que (𝑥
𝑧1 en rotation autour de ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥1 = (𝑦
0 ⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗,
0 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑦1 = 𝜓
(R2) (𝑂, ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥2 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦2 ⃗⃗⃗⃗) 𝑦1 tel que (𝑧⃗⃗⃗⃗,
𝑧2 lié à la tige en rotation autour de ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧2 = (𝑥
1 ⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗,
1 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑥2 = 𝜃
(R3) (𝑂2 , ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥3 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦3 ⃗⃗⃗⃗) 𝑧2 tel que (𝑥
𝑧3 lié à la plaque en rotation autour de ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥3 = (𝑦
2 ⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗,
2 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑦3 = 𝜑
On donne 𝜓̇ = 𝑐𝑠𝑡𝑒, 𝜃̇ = 𝑐𝑠𝑡𝑒, 𝜑̇ = 𝑐𝑠𝑡𝑒 (Voir la figure ci-dessous)
1) Déterminer les matrices de passage de (R1) vers (R2) et de (R3) vers (R2);
2) Déterminer le vecteur rotation instantané de (R3) par rapport à (R0) exprimé dans (R2);
3) ⃗⃗ 0 (𝑂2 ) exprimée dans le repère (R2);
Déterminer par dérivation la vitesse 𝑉
4) Déterminer par la composition des vitesses, la vitesse 𝑉⃗⃗ 0 (𝐴) par rapport (R0) exprimée
dans (R2);
Prof. Farid ASMA 1

5) Déterminer par dérivation et par la composition des accélérations Γ⃗ 0 (𝑂2 ) exprimée

dans le repère (R2).
Exercice 3
Dans certains problèmes (gyroscope, mouvement des satellites ...) les angles d'Euler
classiques sont inadaptés, on emploie alors les angles 𝜓, 𝜃, 𝜙 ainsi définis (Angles d’Euler de
type II):
 le plan (𝐺, ⃗⃗⃗⃗, 𝑧s coupe le plan (𝐺, ⃗⃗⃗⃗⃗,

𝑦s ⃗⃗⃗⃗) 𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑦0 suivant une droite que l’on oriente par ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦1
arbitraire et l'on construit le repère (R1) tel que :
o ⃗⃗⃗⃗
𝑧1 = ⃗⃗⃗⃗
𝑧0
𝑦1 : droite d’intersection des plans (𝐺, ⃗⃗⃗⃗,
o ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧s et (𝐺, ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦s ⃗⃗⃗⃗) 𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗)définie
𝑦0 ci-dessus
o ⃗⃗⃗⃗
𝑥1 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦1 ∧ ⃗⃗⃗⃗
𝑧1
o On repère la rotation de (R1) par rapport à (R0) par l'angle (𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗,
0 ⃗⃗⃗⃗)
𝑥1 = 𝜓
 On construit (R2) (𝐺, ⃗⃗⃗⃗⃗,

𝑥2 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦2 ⃗⃗⃗⃗)
𝑧2 tel que
o ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥2 = ⃗⃗⃗⃗
𝑥s
o ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦2 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦1
o ⃗⃗⃗⃗
𝑧2 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥2 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦2
o On repère la rotation de (R2) par rapport à (R1) par l'angle (𝑥⃗⃗⃗⃗,
1 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑥2 = 𝜃
o On repère la rotation de (Rs) par rapport à (R2) par l'angle (𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗,
2 ⃗⃗⃗⃗)
𝑦s = 𝜙
Prof. Farid ASMA 2

⃗⃗⃗⃗ = (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 , 𝑍𝑖 )𝑅 un vecteur quelconque, écrire les matrices qui permettent de

1) Soit 𝑊 𝑖
passer des composantes de 𝑊 ⃗⃗⃗⃗ dans (Ri) aux composantes de 𝑊

⃗⃗⃗⃗ dans (Rj) pour tous les
couples de repères.
⃗⃗⃗0𝑠 , exprimer ce vecteur dans (Rs)
2) Calculer Ω
Exercice 4
Les performances des avions de combat modernes permettent d'atteindre des niveaux
d'accélération très élevés, qui peuvent conduire à la perte de conscience du pilote.
Pour améliorer la résistance humaine aux fortes accélérations, la centrifugeuse constitue un
moyen d'essai indispensable pour la recherche médicale afin d'étudier l'effet des fortes
accélérations (10 g) sur le corps humain et de développer de nouveaux systèmes (combinaison
anti-g, commande vocale, son 3D...). Elles sont utilisées d'autre part pour l'entraînement des
pilotes afin d'augmenter par des exercices de contraction musculaire et de respiration leur
tolérance aux fortes accélérations.
L’exercice proposé ici s'articule autour d'une présentation du moyen d'essai le plus récent, la
centrifugeuse 101.3 du Centre d'Essais en Vol de Brétigny/Orge (France), une étude
cinématique permet de valider l'utilisation de cette centrifugeuse pour simuler les
accélérations effectivement subies par le pilote dans son avion.
Centrifugeuse Détail de la position du pilote dans la nacelle
C'est l'accélération ressentie au niveau de la tête du pilote qui est le paramètre important
pour l'étude des phénomènes physiologiques. Pour simplifier les lois de commande de la
centrifugeuse, on installe donc le siège pilote dans la nacelle de telle façon que le point I,
centre de la tête du pilote se trouve aligné sur les axes de rotation des deux liaisons pivot bras
/ anneau et anneau / nacelle.
Soient :
(R0) (𝑂, ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦0 ⃗⃗⃗⃗)
𝑧0 le repère lié au bâti (S0)
(R1) (𝑂, ⃗⃗⃗⃗,
𝑥1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑧1 le repère lié au bras (S1) tel que (𝑥
𝑦1 ⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥1 = (𝑦
0 ⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗,
0 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑦1 = 𝜓
(R2) (𝐼, ⃗⃗⃗⃗⃗,

𝑥2 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑧2 le repère lié à (S2) tel que (𝑦
𝑦2 ⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑦2 = (𝑧⃗⃗⃗⃗,
1 ⃗⃗⃗⃗⃗) 1 ⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑅
𝑧2 = 𝜃 avec ‖𝑂𝐼
(R3) (𝐼, ⃗⃗⃗⃗⃗,

𝑥3 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑧3 le repère lié à (S3) tel que (𝑥
𝑦3 ⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥3 = (𝑧⃗⃗⃗⃗,
2 ⃗⃗⃗⃗⃗) 2 ⃗⃗⃗⃗)
𝑧3 = 𝜑
Prof. Farid ASMA 3

Schéma cinématique de la centrifugeuse

1) Déterminer les torseurs cinématiques (torseurs des vitesses) suivants
⃗⃗⃗⃗⃗
Ω10
a. {𝑉10 }0 = { }
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉 0 (𝑂 ∈ 𝑆1 ) 0
⃗⃗⃗⃗⃗
Ω12
b. {𝑉21 }1 = { }
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉 1 (𝐼 ∈ 𝑆2 ) 1
⃗⃗⃗⃗⃗
Ω23
c. {𝑉32 }1 = { }
⃗⃗⃗⃗⃗2 (𝐼 ∈ 𝑆3 )
𝑉 1
⃗⃗⃗⃗⃗
Ω3 0
2) En déduire {𝑉30 }1 = { }
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉 0 (𝐼 ∈ 𝑆3 ) 1
3) Calculer le vecteur accélération ⃗⃗⃗⃗⃗ Γ 0 (𝐼 ∈ 𝑆3 ) exprimé dans (R1)
4) Soit 𝐺⃗ = 𝑔⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
Γ 0 (𝐼 ∈ 𝑆3 ) le vecteur qui représente le nombre de « g » qui s’applique
sur le pilote en I au cours de l’exercice. L’accélération de la pesanteur est telle que:
𝑔⃗ = 𝑔𝑧⃗⃗⃗⃗.
0
Déterminer les trois composantes Gx3, Gy3, Gz3 de G dans la base du repère (R3) lié à la
nacelle.
5) Calculer en fonction de R, g et 𝜓̇ l’inclinaison  de l’anneau pour que l’accélération

latérale Gy3 « ressentie » par le pilote reste nulle.
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On donne 𝜓̇ = 𝑐𝑠𝑡𝑒, 𝜃̇ = 𝑐𝑠𝑡𝑒, 𝜑̇ = 𝑐𝑠𝑡𝑒 (Voir la figure ci-dessous)

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5) Déterminer par dérivation et par la composition des accélérations Γ⃗ 0 (𝑂2 ) exprimée

 le plan (𝐺, ⃗⃗⃗⃗, 𝑧s coupe le plan (𝐺, ⃗⃗⃗⃗⃗,

 On construit (R2) (𝐺, ⃗⃗⃗⃗⃗,

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⃗⃗⃗⃗ = (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 , 𝑍𝑖 )𝑅 un vecteur quelconque, écrire les matrices qui permettent de

passer des composantes de 𝑊 ⃗⃗⃗⃗ dans (Ri) aux composantes de 𝑊

Centrifugeuse Détail de la position du pilote dans la nacelle

(R2) (𝐼, ⃗⃗⃗⃗⃗,

(R3) (𝐼, ⃗⃗⃗⃗⃗,

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Schéma cinématique de la centrifugeuse

5) Calculer en fonction de R, g et 𝜓̇ l’inclinaison  de l’anneau pour que l’accélération

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