Parachute
Parachute
Parachute
Auteur(s) / Autrice(s) :
Tangi Morvan
ENS de Lyon
Clément Loup-Forest
ENS de Lyon
Publié par :
Delphine Chareyron
Résumé
Une résolution de problème pour proposer "à main levée" une estimation de la surface d'un parachute.
1. POSITION DU PROBLÈME
Figure 1. Quelle surface de toile de parachute faut-il prévoir pour éviter que le sauteur ne se
casse la jambe à l'atterrissage ?
2. RÉSOLUTION
https://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/parachute.xml - Version du 30/09/22
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2. RÉSOLUTION
Attention - Nous indiquons ici, que l'intérêt de l'exercice repose sur une estimation des
ordres de grandeurs. Nous ne cherchons pas à réaliser une analyse fine de la question.
L'idée est qu'à l'aide des connaissances en physique et des éléments présents sur l'affiche, on
soit capable de déterminer « à main levée » une estimation de la surface du parachute.
Le saut en parachute est un exercice technique qui doit sa réussite au bon dimensionnement du parachute
afin que la personne qui saute ne se blesse pas lors du contact avec le sol.
À la lecture de ce problème, on peut découper la résolution en deux parties. Il faudra réfléchir à la condition
biomécanique de l'os, puis à l'aide de ces contraintes, effectuer un bilan des forces pour déterminer une
taille suffisante de voile de parachute.
Il nous faut maintenant déterminer la condition sur la vitesse finale à partir de laquelle la contrainte sur la
déformation de l'os est dépassée ou non.
Nous faisons l'hypothèse que la totalité de l'énergie correspondant au choc avec le sol est "absorbée" par le
tibia.
On note vf la vitesse de la personne à la fin de la chute, son énergie cinétique juste avant le contact avec le
sol est donnée par :
1
Ef = mv2f
2
L'énergie reçue par l'os à l'impact est donc E f , elle correspond au travail de la force F appliquée sur l'os
pour une compression ΔL .
Ef = F . ΔL
D'où :
Ef
F=
ΔL
La contrainte appliquée sur l'os s'exprime sous la forme du rapport entre la force appliquée sur l'aire de la
section de l'os :
F Ef mv2f
σ= = =
s sΔL 2sΔL
https://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/parachute.xml - Version du 30/09/22
Δ 2 Δ 3/5
D'après la loi de Hooke, la contrainte σ s'écrit comme le produit du module d'Young, noté E, par la
déformation. On a : σ = Eε. Ainsi :
mv2f
Eε =
2sΔL
Finalement, avec ΔL = εL :
2sε2 LE
vf = √
m
Si l'on impose comme condition pour ne pas se blesser que la déformation ε doit être inférieure à εseuil , on
obtient la vitesse seuil vseuil au dessus de laquelle la personne se blesse :
vf < vseuil = √
2sε2seuil LE
m
Pour l'application numérique, nous prendrons : la longueur de l'os L = 0,5 m, sa section s = πr2 avec r
= 4 cm, la masse de la personne m = 80 kg et la déformation seuil εseuil = 0,01. Pour le module d'Young de
l'os, nous pouvons raisonnablement prendre une valeur un peu plus élevée que celle correspondant au bois
(environ 10 GPa) et largement plus faible que celle correspondant au métal (autour de 150 GPa ). Nous
ferons l'application numérique avec E = 20 GPa.
Le calcul mène alors vseuil ≈ 11 m.s-1 donc une vitesse d'impact de l'ordre d'une dizaine de mètre
par seconde.
On aurait aussi pu estimer cette vitesse seuil à l'impact en prenant le cas d'une chute libre.
Par exemple, si l'on saute de 1 mètre, on arrive au sol avec une vitesse : v = √2gh ≈ 4,5 m.s-1. De
cette hauteur, on sait que vraisemblablement il n'y a pas de risque de blessure.
Par contre, à partir de plusieurs mètres, prenons par exemple 4 mètres, on se doute bien que l'on
pourrait se faire mal. On trouve, pour une hauteur de 4 m, une vitesse de chute : v = √2gh ≈ 9 m.s-1.
La valeur seuil trouvée précédemment, de l'ordre d'une dizaine de mètres par seconde semble en effet
raisonnable ; elle correspond à une chute libre d'une hauteur d'un peu plus de 5 m.
Maintenant que nous avons établi la vitesse limite pour arriver au sol sans se blesser, il faut regarder quelle
est la superficie du parachute correspondant à cette vitesse d'impact.
Pour simplifier le modèle, nous allons considérer une toile de parachute demi-sphérique de rayon R.
ρvL
Re =
μ
→ 1 →
f = − ρSref Cx v2
2
Avec Sref l'aire de la surface de référence, définie comme la section transversale maximale du
parachute, Sref = πR2 .
Dans le cas de la demi-sphère, la littérature donne un coefficient de traînée Cx = 1,4.
Écrivons maintenant le théorème de la résultante dynamique au barycentre de l'ensemble {Personne +
Parachute} :
→ → →
MT a = P + f
On considère le régime stationnaire atteint :
1
MT g = ρS C v2
2 ref x
D'où :
2MT g
Sref =
ρ Cx v2
La surface réelle du parachute (assimillée à une demi-sphère), est égale à 2 fois la surface de référence,
d'où : S = 2Sref
Il s'agit maintenant d'obtenir une condition sur la surface du parachute à l'aide de la la vitesse vseuil
précédemment déterminée. On obtient :
4MT g
S > Smin =
ρ Cx v2seuil
Pour l'application numérique, on prend : MT ≈ 90 kg, cela représente une personne de 80 kg, et on estime
que le poids de la toile, transportée généralement en sac à dos, est d'environ 10 kg. On a : g ≈ 10 m.s-2, Cx
= 1,4 et ρ ≈ 1 kg.m-3. Dans la première partie on avait obtenu une vitesse vseuil ≈ 10 m.s-1.
Le calcul mène alors à la valeur de la surface minimale de toile : Smin ≈ 25 m2.
Premièrement, notons que la valeur numérique trouvée pour la surface minimum de toile de l'ordre d'une
dizaine de mètres carrés est cohérente avec les données du site VerticalWind, qui donne une superficie
d'environ 20 à 30 m2 pour les parachutes "écoles" (qui sont des parachutes de grande taille).
Un certain nombre de remarques peuvent être faites sur notre proposition de résolution du problème :
Nous n'avons pas pris en compte que lors de la chute tout le corps se prépare à la réception. Nous
avons appliqué à l'os seul la contrainte de déformation, mais tout le corps tend à amortir l'aterrissage.
Nous avons considéré dans notre étude que la chute était purement verticale. Cependant, elle ne l'est
jamais vraiment. Le parachute a tendance à se déporter et à avoir une composante de vitesse parallèle
au sol non nulle. Cela change le bilan des forces et donc le traitement du problème. La composante
verticale de la vitesse étant très supérieure à la composante horizontale cela justifie notre
approximation.