Chap1 Nombres Réels 2de-1

2nde CHAP 1 : Nombres réels
Définition : Un nombre réel est un nombre qu’on peut comparer à tout autre et qui peut être approché aussi
précisément que l’on veut par des fractions, notamment par des nombres décimaux. L’ensemble des nombres
réels se note .R
Exemple : π = 3,1415926535... (ce nombre mesure la demi-circonférence d’un cercle de rayon 1)
Phrase mnémotechnique : « Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages »
314 315
On a par exemple : 3,14 < π < 3,15 , c’est à dire <π< (précision 10−2 ).
100 100
Remarque : R représente l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
Exemple :
C O D
√
−3,5 0 1 2
1 Intervalles et inégalités
Rappel (Symboles d’inégalités)

Soient a et b deux réels :
• a < b (respectivement a > b) se lit a strictement inférieur à b (respectivement a strictement supérieur à
b). Le point d’abscisse a est « à gauche » (respectivement « à droite ») du point d’abscisse b sur la droite
réelle.
• a 6 b se lit a inférieur ou égal à b. Le point d’abscisse a est « à gauche » du point d’abscisse b ou les deux
points sont confondus.
Définition : Soit a et b deux nombres réels, a < b. L’intervalle [a; b] est l’ensemble des nombres réels x
vérifiant a 6 x 6 b, c’est à dire supérieurs ou égaux à a et inférieurs ou égaux à b.
1
Exemple : L’intervalle représenté ci-dessous est [ ; 5,6]. Tous les points "en rouge" ont une abscisse x telle
3
1
que 6 x 6 5,6.
3
1 5,6
3
Définition : Soit a et b deux nombres, a < b.

— L’intervalle ]a; b[ est l’ensemble des nombres réels x vérifiant a < x < b.
— L’intervalle [a; b[ est l’ensemble des nombres réels x vérifiant a 6 x < b. Cet intervalle est dit fermé en
a et ouvert en b. a appartient à cet intervalle et b non. crochet du côté de l’intervalle ou non.
1
— L’intervalle ]a; b] est l’ensemble des nombres réels x vérifiant a < x 6 b.
Exemple : 3 cas à tracer.

Définition : L’amplitude d’un intervalle [a; b] est le nombre positif b − a. C’est sa longueur.
Définition : Soit c un nombre réel.
— L’intervalle ] − ∞; c] est l’ensemble des nombres réels x vérifiant x 6 c, c’est à dire inférieurs ou égaux
au nombre c.
— L’intervalle ] − ∞; c[ est l’ensemble des nombres réels x vérifiant x < c, c’est à dire strictement inférieurs
au nombre c.
— L’intervalle [c; +∞[ est l’ensemble des nombres réels x vérifiant x > c, c’est à dire supérieurs ou égaux
au nombre c.
— L’intervalle ]c; +∞[ est l’ensemble des nombres réels x vérifiant x > c, c’est à dire strictement supérieurs
au nombre c.
Exemple : 4 cas à tracer.

Remarque : −∞ et +∞ sont des symboles et non des nombres réels, ils sont toujours "exclus" des intervalles.
Définition : Soient I et J deux intervalles.
— L’intersection de I et J , notée I ∩ J (se lit "I inter J") est l’ensemble des réels appartenant à I et à
J, c’est à dire communs à I et J. Cet ensemble est un intervalle qui peut être vide ∅ ou réduit à un seul
réel.
— La réunion de I et J, notée I ∪ J (se lit "I union J") est l’ensemble des réels appartenant à I ou à J.
Cet ensemble n’est pas nécessairement un intervalle (par exemple ]1; 2[∪]4; 5]).
Exemples :
• [−4; 3]∩]1; 5] =]1; 3]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
• ] − 3; 2[∪[1; 3,5] =] − 3; 3,5]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
• [−5; 2] ∩ [3; 5] = ∅
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2 valeur absolue
Définition : Soit x un réel et M un point d’abscisse x. La valeur absolue de x, notée |x|, est sa distance à
zéro : |x| = OM .
Règle : "On enlève le signe". Pour un réel négatif, on prend donc l’opposé.
Propriété
• Soit un nombre réel x. Si x > 0 alors |x| = x. Si x < 0 alors |x| = −x.
• Pour tout réel x, |x| > 0 et |x| = | − x|.
En effet une distance est toujours positive ! La distance à zéro d’un réel et celle de son opposé sont égales.
Conséquence : |b − a| est la distance entre les réels a et b. On a bien sûr |b − a| = |a − b| (d’après la propriété
précédente). |b − a| = AB où A et B sont les deux points de la droite réelle d’abscisses a et b.
Exemples : avec 2 nombres négatifs, avec 2 nombres positifs, avec un négatif et un positif. Juste visuel.
2
Propriété (utilité de la valeur absolue pour noter les intervalles bornés)
Soit c et r deux réels, r > 0
L’intervalle [c − r; c + r] est l’ensemble des réels x tels que |x − c| 6 r
c−r c c+r
0 2 x 5 8
Vocabulaire : cet intervalle est dit centré sur c.

2+8
Exemple : L’intervalle [2; 8] (d’amplitude 6) est centré sur c = = 5. Un réel x est dans cet intervalle si
2
|x − 5| 6 3. voir la figure ci-dessus
3 Nombres décimaux
Définition : Les nombres 0; 1; 2; ... forment l’ensemble des entiers naturels. On le note . N
Définition : L’ensemble des entiers relatifs est formé des entiers naturels et de leurs opposés. On le note . Z
Z
Exemple : −3 ∈ mais −3 ∈ / N (le symbole ∈ signifie « appartient à »)
N Z
Remarque : Les entiers naturels sont donc les entiers positifs : = + .
a
Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec a un entier relatif et p un entier
10p
naturel.
On note Dl’ensemble des nombres décimaux.
Exemples :
3 3 75
• est un nombre décimal. En effet = 0,75 = .
4 4 100
3
• −0,3 est un décimal. En effet −0,3 = − . il y a plusieurs écritures possibles (une infinité)...
10
• 25 est un décimal ! Tout entier est un décimal...
Remarque : En base 10, on peut donc écrire un nombre décimal avec un nombre fini de chiffres après
la virgule : « en base 10, un nombre décimal est un un nombre à virgule qui s’arrête ».
1
• est un nombre non décimal (lorsqu’on effectue la division, elle ne "s’arrête jamais" 0,333333... )
3
1
Démonstration que n’est pas décimal : (à connaitre)
3
1
On raisonne par "l’absurde", en supposant le contraire c’est à dire que est décimal.
3
1 a 10p
Dans ce cas il existe un entier a et un entier naturel p tels que = p . Donc a = .
3 10 3
Or la somme des chiffres de 10p est 1. Donc 10p n’est pas divisible par 3 (critère de divisibilité par 3).
1
Donc a n’est pas entier. On arrive à une contradiction. L’hypothèse de départ est fausse : n’est pas décimal.
3
Exemple : Donner un encadrement d’un nombre réel par deux nombres décimaux avec une amplitude donnée.

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Rappel (Symboles d’inégalités)

Définition : Soit a et b deux nombres, a < b.

Exemple : 3 cas à tracer.

Exemple : 4 cas à tracer.

• ] − 3; 2[∪[1; 3,5] =] − 3; 3,5]

Vocabulaire : cet intervalle est dit centré sur c.

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