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Université Batna 2 Année Universitaire

Tronc commun sciences et technologie 2022/2023

Corrigé TD 2 P1 ingénieur (Cinématique du point


matériel)

Exercice 1/

𝑟 (𝑡 ) = 𝑒 𝑡
{ (t en s, r en mètre et θ en rad)
𝜃 (𝑡 ) = 𝑡
1. (𝑒⃗𝑟 , 𝑒⃗𝜃 ) en fonction de (𝑖⃗, 𝑗⃗).
𝑒⃗𝜃 𝑗⃗
Par projection on obtient : 𝜃 𝑒⃗𝑟

𝑒⃗⃗ = cos 𝜃 𝑖⃗ + sin 𝜃𝑗⃗


{ 𝑟 𝜃
𝑒⃗⃗𝜃 = − sin 𝜃𝑖⃗ + cos 𝜃 𝑗⃗ 𝑖⃗

2. Le vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗


𝑂𝑀 en coordonnées polaires.

En coordonnées polaires : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗


𝑂𝑀 = 𝑟𝑒⃗𝑟 = 𝑒 𝑡 𝑒⃗𝑟

⃗⃗ et son module :
3. Le vecteur vitesse 𝑉
• Le vecteur vitesse 𝑉 ⃗⃗ :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀 𝑟̇ = 𝑒𝑡
⃗⃗ =
𝑉 ̇
= 𝑟̇ 𝑒⃗ 𝑟 + 𝑟𝑒⃗ 𝑟 ⟹ { ̇ 𝑒𝑡 𝜃̇ = 1 ⃗⃗ = 𝑒 𝑡 (𝑒⃗ + 𝑒⃗ 𝜃 )
⟹ 𝑉
𝑑𝑡 𝑒⃗ 𝑟 = 𝜃̇ 𝑒⃗ 𝜃 𝑟

2 2
• Le Module : ‖⃗⃗⃗
𝑉‖ = 𝑒𝑡 √1 + 1 = 𝑒𝑡 √2
4. Le vecteur accélération 𝑎⃗ et son module
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
• Le vecteur accélération 𝑎⃗ : ⃗⃗ = 𝑑𝑂𝑀 = (𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 )𝑒⃗ + (2𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟𝜃̈ )𝑒⃗ 𝜃
𝑉
𝑑𝑡 𝑟

𝑟̈ = 𝑒 𝑡
⟹ { ̇ et 𝜃̈ = 0 ⟹ 𝑎⃗ = (𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 )𝑒⃗ 𝑟 + 2𝑒 𝑡 𝑒⃗ 𝜃 = 2𝑒𝑡 𝑒⃗𝜃
𝑒⃗𝜃 = −𝜃̇𝑒⃗𝑟

2
⃗⃗‖ = √(2𝑒𝑡 ) = 2𝑒𝑡
• Le Module :‖𝑎

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en coordonnées cartésiennes.


5. Déduire le vecteur position 𝑂𝑀
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 𝑒 𝑡 cos 𝑡
On a: { ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ = 𝑒 𝑡 ( cos 𝑡 𝑖⃗ + sin 𝑡 𝑗⃗ )
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 𝑒 𝑡 sin 𝑡
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Exercice 2/
Solution/

⃗⃗
𝑟⃗ = 3 cos 2𝑡 𝑖⃗ + 3 sin 2𝑡 𝑗⃗ + (8𝑡 − 4)𝑘
Le vecteur vitesse est un vecteur tangent à la courbe (la trajectoire).

Le vecteur unitaire qui est tangent à la courbe est un vecteur porté


par le vecteur vitesse. Notons que le vecteur unitaire en question +
est le vecteur tangentiel 𝑒⃗𝑡 , donc :
𝑒⃗𝑡
𝑣⃗ M
𝑒⃗𝑡 =
𝑣 𝑒⃗𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑟⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑣⃗ = = ⃗⃗
⇒ 𝑣⃗ = −6 sin 2𝑡 𝑖⃗ + 6 cos 2𝑡 𝑗⃗ + 8𝑘
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎⃗𝑁

𝑣 = √(−6 sin 2𝑡)2 + (6 cos 2𝑡)2 + (+8)2 = √36(sin2 2𝑡 + cos 2 2𝑡) + 64


= 10 (𝑚⁄𝑠)
−6 sin 2𝑡 𝑖⃗ + 6 cos 2𝑡 𝑗⃗ + 8𝑘⃗⃗
𝑒⃗𝑡 = ⇒ 𝑒⃗𝑡
10
⃗⃗
= −0,6 sin 2𝑡 𝑖⃗ + 0,6 cos 2𝑡 𝑗⃗ + 0,8𝑘

Exercice 3/ Solution :
𝑡2 𝑡 1
𝑟= 𝑟̇ = 𝑟̈ =
4 2
{ 𝜋 { 𝜋 { 2
𝜃= 𝑡 𝜃̇ = 𝜃̈ = 0
4 4

1/ exprimons les vecteurs position, vitesse et accélération en coordonnées polaires


𝑡2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑟𝑒⃗⃗⃗⃗𝑟 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑒
⃗⃗⃗⃗
4 𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀 𝑡 𝜋
𝑣⃗(𝑡) = = 𝑟̇ 𝑒⃗𝑟 + 𝑟𝜃̇𝑒⃗𝜃 ⇒ 𝑣⃗(𝑡) = 𝑒⃗𝑟 + 𝑡 2 𝑒⃗𝜃
𝑑𝑡 2 16
𝑑𝑣⃗ 1 𝜋2 2 𝜋
𝑎⃗ = ̇ 2 ̈ ̇
= (𝑟̈ − 𝑟𝜃 )𝑒⃗𝑟 + (𝑟𝜃 + 2𝑟̇ 𝜃)𝑒⃗𝜃 ⇒ 𝑎⃗ = ( − 𝑡 ) 𝑒⃗𝑟 + 𝑡𝑒⃗𝜃
𝑑𝑡 2 64 4

2/ calculons le module du vecteur vitesse et accélération à t=6s.

𝑡 2 𝜋 2

𝑣 (𝑡 ) = ( ) + ( 𝑡 2 )
2 16
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6 2 𝜋 2

𝑣(𝑡 = 6𝑠) = ( ) + ( (6) 2 ) ⇒ 𝑣(𝑡 = 6𝑠) = 7,68 (𝑚⁄𝑠)
2 16
2
1 𝜋2 𝜋 2
𝑎(𝑡) = √( − 𝑡 2 ) + ( 𝑡)
2 64 4
2 2
1 𝜋2 𝜋
𝑎(𝑡 = 6𝑠) = √( − (6)2 ) + ( (6)) ⇒ 𝑎(𝑡 = 6𝑠) = 6,91 (𝑚⁄𝑠 2 )
2 64 4

3/ Les coordonnées cartésiennes du point M sont :


𝑡2 𝜋
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑥 = cos 𝑡
4 4
On a : { ⇒ {
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 𝑡2 𝜋
𝑦 = sin 𝑡
4 4

4/ Déduisons l’expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes.


𝑑𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀 𝑣𝑥 =
𝑣⃗(𝑡) = { 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑦
𝑣𝑦 =
𝑑𝑡
2
𝑑𝑥 𝑑 𝑡 𝜋 𝑡 𝜋 𝜋 𝜋
𝑣𝑥 = = ( cos 𝑡) = cos 𝑡 − 𝑡 2 sin 𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡 4 4 2 4 16 4
𝑑𝑦 𝑑 𝑡 2 𝜋 𝑡 𝜋 𝜋 𝜋
𝑣𝑦 = = ( sin 𝑡) = sin 𝑡 + 𝑡 2 cos 𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡 4 4 2 4 16 4
𝑡 𝜋 𝜋 𝜋 𝑡 𝜋 𝜋 𝜋
𝑣⃗(𝑡) = ( cos 𝑡 − 𝑡 2 sin 𝑡) 𝑖⃗ + ( sin 𝑡 + 𝑡 2 cos 𝑡) 𝑗⃗
2 4 16 4 2 4 16 4

Exercice 4/
Solution
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠( 3𝑡 + 2) → (1)
{
𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 (3𝑡 + 2) → (2)
1) Donnons l’équation de la trajectoire, quelle est sa nature ?
(1)2 + (2)2 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑐𝑜𝑠 2 (3𝑡 + 2) + 4𝑠𝑖𝑛2 (3𝑡 + 2)
⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ⏟ [𝑐𝑜𝑠 2 ( 3𝑡 + 2) + 𝑠𝑖𝑛2 (3𝑡 + 2)]
=1
2 2
⇒𝑥 + 𝑦 = 4
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C’est l’équation d’un cercle de centre 𝑐(0,0) et de rayon 𝑅 = 2 𝑚


2) Exprimons le vecteur vitesse 𝑣⃗ et son module.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑐𝑜𝑠(3𝑡 + 2)𝑖⃗ + 2𝑠𝑖𝑛 (3𝑡 + 2)𝑗⃗
On a : 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀 𝑑 𝑑
𝑣⃗ = = [2𝑐𝑜𝑠(3𝑡 + 2)]𝑖⃗ + [2𝑠𝑖𝑛 (3𝑡 + 2)]𝑗⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
= −6𝑠𝑖𝑛( 3𝑡 + 2)𝑖⃗ + 6𝑐𝑜𝑠 (3𝑡 + 2)𝑗⃗
𝑣⃗ = 6[−𝑠𝑖𝑛( 3𝑡 + 2)𝑖⃗ + 𝑐𝑜𝑠 (3𝑡 + 2)𝑗⃗]
Son module 𝑣
[𝑠𝑖𝑛2 ( 3𝑡 + 2) + 𝑐𝑜𝑠 2 ( 3𝑡 + 2)]
‖𝑣⃗‖ = 𝑣 = |6|√⏟
=1
𝑣 = 6 (𝑚⁄𝑠)

Vecteur accélération 𝑎⃗ :

𝑑𝑣⃗ 𝑑 𝑑
𝑎⃗ = = [−6𝑠𝑖𝑛( 3𝑡 + 2)]𝑖⃗ + [6𝑐𝑜𝑠 (3𝑡 + 2)]𝑗⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑎⃗ = −18𝑐𝑜𝑠(3𝑡 + 2)𝑖⃗ − 18sin (3𝑡 + 2)𝑗⃗
𝑎⃗ = −18[𝑐𝑜𝑠(3𝑡 + 2)𝑖⃗ + sin (3𝑡 + 2)𝑗⃗]
Son module 𝑎 :
[𝑠𝑖𝑛2 ( 3𝑡 + 2) + 𝑐𝑜𝑠 2 ( 3𝑡 + 2)]
‖𝑎⃗‖ = 𝑎 = |−18|√⏟
=1
2)
𝑎 = 18 (𝑚⁄𝑠
3) les coordonnées polaires du point M :
On sait que

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2
{ 𝑦
tan 𝜃 =
𝑥

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = 2 𝑚 𝑟 =2𝑚
{ 2𝑠𝑖𝑛 (3𝑡 + 2) ⇒{ 𝜃 = 3𝑡 + 2
tan 𝜃 =
2𝑐𝑜𝑠 (3𝑡 + 2)
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4) le vecteur position, vitesse et accélération en coordonnées polaires :


𝑟=2 𝑟̇ = 0 𝑟̈ = 0
{ { ̇ { ̈
𝜃 = 3𝑡 + 2 𝜃=3 𝜃=0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑒⃗⃗⃗⃗𝑟 ⇒ 𝑂𝑀
𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑒⃗⃗⃗⃗𝑟

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑣⃗(𝑡) = = 𝑟̇ 𝑒⃗𝑟 + 𝑟𝜃̇𝑒⃗𝜃 ⇒ 𝑣⃗(𝑡) = 6 𝑒⃗𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑣⃗
𝑎⃗ = = (𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 )𝑒⃗𝑟 + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇)𝑒⃗𝜃 ⇒ 𝑎⃗ = −18 𝑒⃗𝑟
𝑑𝑡
Exercice 5/
Solution :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑖⃗ + 𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑗⃗
1. Déterminons la nature de la trajectoire de M :
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑥 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡
{𝑦 = sin 𝑡 ⇒ { 2
𝑦 = sin2 𝑡
⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + sin2 𝑡 = 1

La trajectoire est un cercle de rayon R = 1 m et de centre (0,0)


2. Exprimons le vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et déterminons son module :
Le vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
d𝑂𝑀
𝑣⃗ = = − sin 𝑡 𝑖⃗ + cos 𝑡 𝑗⃗
𝑑𝑡
Le module de la vitesse est :
‖𝑣⃗‖ = √(− sin 𝑡)2 + (cos 𝑡)2 = √𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 ⇒ ‖𝑣⃗‖ = 1 𝑚/𝑠

3. la nature du mouvement et la vitesse angulaire ω :


La vitesse est constante donc le mouvement est circulaire uniforme.
La vitesse angulaire ω est constante :
𝑣
𝜔= = 1 𝑟𝑎𝑑 / 𝑠
𝑅
4. Exprimons le vecteur accélération en coordonnées cartésiennes et déterminons son module.
Le vecteur accélération en coordonnées cartésiennes :
d𝑣⃗
𝑎⃗ = = − cos 𝑡 𝑖⃗ − sin 𝑡 𝑗⃗
𝑑𝑡
Le module de l’accélération est :
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‖𝑎⃗‖ = √(− cos 𝑡)2 + (−sin 𝑡)2 = √𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 ⇒ ‖𝑎⃗‖ = 1 𝑚/𝑠 2

Que représente cette accélération dans le repère de Frenet et pourquoi ?


L’expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet est donnée par :𝑎⃗ = 𝑎 𝑇 𝑒⃗𝑡 + 𝑎𝑁 𝑒⃗𝑛
𝑑𝑣
L’accélération tangentielle est nulle 𝑎 𝑇 = = 0 𝑚/𝑠 2 (car 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 ou MCU)
𝑑𝑡
Donc, cette accélération représente l’accélération normale 𝑎𝑁 .
5. Déterminons l’angle α que fait l’accélération avec la vitesse :
Par le produit scalaire :
𝑎⃗. 𝑣⃗ = ‖𝑎⃗‖. ‖𝑣⃗‖ cos (𝑎
⏟⃗, 𝑣⃗)
{ 𝛼 ⇒ ‖𝑎⃗‖. ‖𝑣⃗‖ cos ⏟
(𝑎⃗, 𝑣⃗)
𝑎⃗. 𝑣⃗ = (− sin 𝑡). (− cos 𝑡) + (cos 𝑡)(− sin 𝑡) = 0 𝛼
Comme ‖𝑎⃗‖ ≠ 0 𝑒𝑡 ‖𝑣⃗‖ ≠ 0, alors : cos 𝛼 = 0 ⇒ 𝛼 = 𝜋⁄2
Par le produit vectoriel :
𝑖⃗ 𝑗⃗ ⃗⃗
𝑘
𝑎⃗ ∧ 𝑣⃗ = | − sin 𝑡 cos 𝑡 0|
− cos 𝑡 − sin 𝑡 0
= (cos 𝑡 × 0 − (− sin 𝑡) × 0)𝑖⃗ − ((− sin 𝑡) × 0 − (− cos 𝑡) × 0)𝑗⃗
+ ((− sin 𝑡) × (− sin 𝑡) − (− cos 𝑡) × cos 𝑡)𝑘⃗⃗
= (sin2 𝑡 + cos 2 𝑡)𝑘⃗⃗ = 𝑘⃗⃗ ⇒ ‖𝑎
⃗⃗ ∧ 𝑣
⃗⃗‖ = 1
D’autre part :
‖𝑎⃗ ∧ 𝑣⃗‖ = ‖𝑎⃗‖. ‖𝑣⃗‖ sin(𝑎⃗, 𝑣⃗) = sin(𝑎⃗, 𝑣⃗) ⇒ 𝛼 = 𝜋⁄2

6. Exprimons le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées polaires :


En coordonnées polaires

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 𝑚 = 𝑅
{ 𝑦
tan 𝜃 = = tan 𝑡 ⇒ 𝜃 = 𝑡
𝑥
Vecteur position : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑅𝑒⃗𝑟 = 𝑒⃗𝑟
Vecteur vitesse :
𝑣⃗ = 𝑟𝜃̇𝑒⃗𝜃 ⇒ 𝑣⃗ = 𝑒⃗𝜃 / 𝜃̇ = 1 et 𝜃̈ = 0
Vecteur accélération :
𝑎⃗ = −𝑅𝜃̇ 2 𝑒⃗𝑟 = −𝑒⃗𝑟
Ou par vecteurs :
𝑣⃗ = − sin 𝑡 𝑖⃗ + cos 𝑡 𝑗⃗ = 𝑒⃗𝜃
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𝑎⃗ = − cos 𝑡 𝑖⃗ − sin 𝑡 𝑗⃗ = −(cos 𝑡 𝑖⃗ + sin 𝑡 𝑗⃗) = −𝑒⃗𝑟


Exercice 6/
Solution :
Le mouvement d’un point matériel M se déplace dans le plan (xOy) est décrit par le vecteur
position :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 cos 2𝑡 𝑖⃗ + 3 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝑗⃗
𝑂𝑀

1/L’équation de la trajectoire de M :

x = 3 𝑐𝑜𝑠 2t 𝑥 2 = 32 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑡
{ ⇒{
y = 3 𝑠𝑖𝑛 2t) 𝑦 2 = 32 𝑠𝑖𝑛2 2𝑡

Donc l’équation de la trajectoire 𝑥 2 + 𝑦 2 = 32 est une équation d’un cercle de rayon R = 3 m


et de centre O(0, 3).
2/Le vecteur vitesse :

𝑑𝑥
𝑣𝑥 = = −6 𝑠𝑖𝑛 2𝑡
𝑑𝑡
{ 𝑑𝑦 ⇒ 𝑣⃗ = 6 (−𝑠𝑖𝑛 2t 𝑖⃗ + 𝑐𝑜𝑠 2t 𝑗⃗)
𝑣𝑦 = = 6 𝑐𝑜𝑠 2𝑡
𝑑𝑡

Son module est : 𝑣 = 6 𝑚/𝑠 donc le mouvement est circulaire uniforme.

3/ Le vecteur d’accélération :
𝑑𝑣𝑥
𝑎𝑥 = = −12 𝑐𝑜𝑠 2𝑡
𝑑𝑡
{ 𝑑𝑣𝑦 ⇒ 𝑎⃗ = −12(𝑐𝑜𝑠 2t 𝑖⃗ + 𝑠𝑖𝑛 2t 𝑗⃗)
𝑎𝑦 = = −12 𝑠𝑖𝑛 2𝑡
𝑑𝑡

Son module est : 𝑎 = 12 𝑚/𝑠 2 .

𝑣 6
4/ la vitesse angulaire ω : ω = 𝜃̇ = = = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑅 3
𝑑𝜃
La position angulaire 𝜃(𝑡) : ω = 𝜃̇ = ⇒ 𝑑𝜃 = ω 𝑑𝑡 ⇒ 𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝜃0
𝑑𝑡

à 𝑡 = 0, 𝜃0 = 0 ⇒ 𝜃(𝑡) = 2𝑡 rad

5/ Le vecteur position, vitesse et accélération en coordonnées polaires :

𝑦
𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = 3 𝑚 et 𝑡𝑎𝑛𝜃 = → 𝜃(𝑡) = 2𝑡 rad
𝑥
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⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑟𝑒⃗⃗⃗⃗𝑟 = 𝑅𝑒⃗⃗⃗⃗𝑟 = 3𝑒⃗⃗⃗⃗𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑣⃗ = 𝑒𝑟 + 𝑟𝜃̇⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑟̇ ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝜃 = 𝑅𝜃̇⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜃 = 𝑅𝜔𝑒⃗⃗⃗⃗⃗
𝜃 = 6𝑒⃗⃗⃗⃗⃗
𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝑣⃗ 𝑑𝜃̇⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜃
{𝑎⃗ = = 𝑅 = 𝑅𝜃̈⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜃 + 𝑅𝜃̇ 2 ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟 = −𝑅𝜔2 ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟 = −12𝑒⃗⃗⃗⃗𝑟
𝑑𝑡 𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑒 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑
Tels que :
𝑟
= 𝜃̇⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜃 , 𝜃
= −𝜃̇⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟 et 𝜃̇ = 𝜔 = 2 ⇒ 𝜃̈ = 0
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑠

6/ Le vecteur vitesse est perpendiculaire au vecteur accélération 𝑣⃗⏊ 𝑎⃗ si le produit scalaire

𝑣⃗. 𝑎⃗ = 0
𝑣⃗. 𝑎⃗ = 6 (−𝑠𝑖𝑛2t 𝑖⃗ + cos2t 𝑗⃗). (−12 (𝑐𝑜𝑠2t 𝑖⃗ + 𝑠𝑖𝑛2t 𝑗⃗))

= −72 (−𝑠𝑖𝑛2t 𝑐𝑜𝑠2t + 𝑐𝑜𝑠2t 𝑠𝑖𝑛2t) = 0 ⇒ 𝑣⃗. 𝑎⃗ = 0


𝑣⃗. 𝑎⃗ = 𝑣 𝑎 cos (𝑣⃗. 𝑎⃗) ⇒ 𝑐𝑜𝑠(𝑣⃗. 𝑎⃗) = 0 ⇒ 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(𝑣⃗. 𝑎⃗) = 90 ⇒ 𝑣⃗⏊ 𝑎⃗

Ou bien : en coordonnée polaires : 𝑣⃗. 𝑎⃗ = (𝑅𝜃̇ ⃗⃗⃗⃗⃗).


𝑒𝜃 (−𝑅𝜃̇ 2 ⃗⃗⃗⃗)
𝑒𝑟 = 0

Exercice 7/
Solution/
⃗⃗ = 2𝑖⃗ + 2𝑡𝑗⃗ , A t = 0s ⇒ M (0, 3)
𝑉
1 Le module de la vitesse :
m
⃗⃗ ‖ = √vx2 + v𝑦2 = √4 + 4𝑡 2 = 2√1 + 𝑡 2
‖𝑉
s

2 Le vecteur accélération 𝑎⃗ et son module :


⃗⃗
𝑑𝑉 𝑑 m
𝑎⃗ = = (2𝑖⃗ + 2𝑡𝑗⃗) = 2𝑗⃗ ⇒ ‖𝑎⃗‖ = 2 2
𝑑𝑡 𝑑𝑡 s
3 Déterminons le vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀 𝑥 = ∫ v𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥
⃗⃗ =
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑉
⇒ 𝑂𝑀 ⃗⃗ 𝑑𝑡 ⇒ { ⇒ {
𝑑𝑡
𝑦 = ∫ v𝑦 𝑑𝑦 𝑦 = ∫ 2𝑡 𝑑𝑦
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𝑥 = 2𝑡 + 𝐶1
⇒ {
𝑦 = 𝑡 2 + 𝐶2
A t = 0s ⇒ M (0, 3)
0 = 2(0) + 𝐶1 𝐶 =0 𝑥 = 2𝑡
⇒ { ⇒ { 1 ⇒ {
3 = (0)2 + 𝐶2 𝐶2 = 3 𝑦 = 𝑡2 + 3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ = 2𝑡𝑖⃗ + (𝑡 2 + 3)𝑗⃗
4 L’équation de la trajectoire :
On a :
𝑥
𝑥 = 2𝑡 ⇒ 𝑡 = 1 2
{ 2 ⇒𝑦= 𝑥 + 3 (m)
2
𝑦 = 𝑡 +3 4

5 Les composantes tangentielle et normale du vecteur accélération et le rayon de courbure de


courbure pour t=1s.
• L’accélération tangentielle pour t=1s :
𝑑𝑉 𝑑 8𝑡 4𝑡 2𝑡 m
𝑎𝑇 = = (√4 + 4𝑡 2 ) = ⇒ 𝑎𝑇 = =
𝑑𝑡 𝑑𝑡 2√4 + 4𝑡 2 2√1 + 𝑡 2 √1 + 𝑡 2 s 2

2 m
à t = 1s ⇒ 𝑎 𝑇 =
√2 s 2
• L’accélération normale pour t=1s :
4𝑡 2 4 + 4𝑡 2 − 4𝑡 2
2
𝑎 = 𝑎2𝑇
+ ⇒ 2
𝑎𝑁 2
𝑎𝑁
=𝑎 − 2
=4− 𝑎2𝑇 =
1 + 𝑡2 1 + 𝑡2
2
4 2 m 2 m
𝑎𝑁 = ⇒ 𝑎𝑁 = , à t = 1s ⇒ 𝑎𝑁 =
1 + 𝑡2 √1 + 𝑡 2 s 2 √2 s 2
• Le rayon de courbure de courbure pour t=1s.
𝑉2 𝑉2 4(1 + 𝑡 2 ) 3
𝑎𝑁 = ⇒ 𝑅= = = 2(1 + 𝑡 2 )√1 + 𝑡 2 = 2(1 + 𝑡 2 )2
𝑅 𝑎𝑁 2
√1 + 𝑡 2
3 3
𝑅 = 2(1 + 𝑡 2 )2 , à t = 1s ⇒ 𝑅 = 2(1 + 12 )2 = 5.656 m

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