CHAP II TRACTION SIMPLE

&
COMPRESSION SIMPLE
I/ Définitions.

Un solide est sollicité :

En traction simple lorsqu'il est soumis à deux forces directement F F
opposées situées sur la ligne moyenne et qui tendent à l'allonger.

En compression simple lorsqu'il est soumis à deux forces directement F F

opposées situées sur la ligne moyenne et qui tendent à le raccourcir

II/ Essai de traction

On soumet une éprouvette cylindrique de dimensions normalisées à un essai de traction. On

enregistre les déformations en fonction de la force N ( N augmentant progressivement jusqu’à
obtenir la rupture de l’éprouvette).

1/ Etude du graphe : N
B
Nr
N : effort de traction C

ΔL : allongement de l'éprouvette. Ne
A
L : longueur de l'éprouvette.

2/ Etude de la Zone élastique OA.

Acier doux

Les allongements sont proportionnels aux

efforts de traction. O ΔL
N = k ΔL
Ne Elastique Plastique
Limite élastique : fe = avec S section de
S
l'éprouvette.

Les fournisseurs d'acier garantissent cette valeur ; exemple : FeE 500 ⇒fe = 500 MPa

L’allongement de l’éprouvette ΔL est proportionnel à sa longueur initiale Lo

ΔL ΔL : allongement de l’éprouvette
⇒ définit un allongement relatif ε =
Lo Lo : longueur initiale

•Contraintes.
Pour faire apparaître les contraintes dans l’éprouvette il faut couper celle-ci (à une abscisse x)

Par application du principe de Bernouilli ( Δx et donc ε constant pour toutes les fibres)
et de la Loi de Hooke σ = k ΔL ou σ = kε

1
CHAP II
⇒ σ : identique pour toutes les fibres ⇒ σ est uniformément répartie sur la section S
y
y

(S) (S)

O x
⇒ N O x

σ = NS
x Δx x
z

3/ Diagramme contrainte-déformation:

ΔL N σ
Puisque ε = et σ = : on peut B
Lo S fr
C
tracer le diagramme de l’essai en fe
fonction de σ et ε (diagramme
A

homothétique au précédent)

Acier doux

O ε

Elastique Plastique

• Loi de Hooke .
On peut remarquer que dans la zone élastique les contraintes sont bien proportionnelles aux
déformations :

σ
⇒ tanα =
ε
σ = ε.tanα si on pose E = tanα

⇒ σ = ε.E

E : module de Young ou module d'élasticité longitudinal

E : est une constante pour un matériau donné ; par exemple : E = 2 105 MPa pour
l'acier

2
CHAP II

4/ Zone plastique AC.

N
B
Lorsque l'on atteint cette zone on constate un Nr
C
allongement appréciable de l’éprouvette sans Ne
A
que l’effort augmente beaucoup.
En déchargeant l'éprouvette on constate qu'il
reste un allongement permanent de
l'éprouvette Δe (déformation rémanente). Acier FeE500

ΔL
Résistance à la rupture Rr : O
Nr Δe
Rr = Plastique
So

4/ Calculs pratiques :
.
Compte tenu des hypothès de la RDM ( Bernoulli ) la contrainte dans les matériaux devra
toujours être inférieure à contrainte admissible fixée réglementairement, notée σ (contrainte
normale admissible)

Exemple : σ = fe = 240 MPa ( pour un un acier FeE 240 suivant le CM 66)

σ = fsu = 500/1.15 (pour un acier FeE 500 suivant le BAEL 93 à l’ELU)
σ = σ bc = 0.6 fc28 (pour le béton comprimée, suivant le BAEL 93 à
l’ELS)

a / Vérification d’une section

Données :
N : Effort de traction ou de compression, en N.
S : Aire de la section sollicitée, en m².
σ : Contrainte admissible du matériaux.

N
On doit vérifier que la contrainte normale σ = ≤σ
S

b / Détermination d’une section

Données :
N : Effort de traction ou de compression, en N.
σ : Contrainte admissible du matériaux.

On veut déterminer la section nécessaire et suffisante de façon à ce l’élément « résiste » :

Donc faire en sorte que : σ ≤ σ ⇒ σ = N ≤ σ ⇒ S ≥ N
S σ

3
CHAP II

c / Calcul d’allongement ou de raccourcissement:

Données :
N : Effort de traction ou de compression, en N.
S : Aire de la section sollicitée, en m².
Lo: Longueur initiale de l’élément.
E : Module d'élasticité longitudinal

σ = ε.E
1/ σ = N
ΔL S
ε=
Lo 2/ ε =σ Ou ΔL = N.Lo
E E .S
σ= N
3/ ΔL =ε.Lo
S

d / Remarque :

Les formules précédentes sont valables pour les pièces tendues et les pièces comprimées,
dites courtes ( pour les pièces comprimées « longues », le calcul sera mené au
flambement).

5/ Exercice:

1/ Soit un tirant métallique de longueur Lo = 5m en acier FeE 240 soumis à un effort de

traction de 200 KN.
E = 2.1 105 MPa

a/ Déterminer les dimensions néssaires et suffisantes de sa section :

- Cas d’une section carrée (arrondir au mm supérieur)
- Cas d’une section circulaire (arrondir au mm supérieur)

b/ Déterminer les dimensions néssaires et suffisantes de sa section de façon à limiter

son allongement à 5mm:
- Cas d’une section carrée (arrondir au mm supérieur)
- Cas d’une section circulaire (arrondir au mm supérieur)

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CHAP II
-
TRACTION SIMPLE (EXO)
EXO 1:
DONNEES :
Pc = 1200 N
E = 2.1 105 MPa

QUESTIONS

1/ Déterminer les efforts dans EB

2/ En déduire l'allongement de EB, si son diamètre est

de 6 mm

EXO 2
DONNEES :
Pc = 1000 N
σ = 160 MPa
E = 2.1 105 MPa

QUESTIONS

1/ Déterminer le diamètre de BC (arrondir au diamètre

paire supérieur.

2/ En déduire son allongement.

EXO 3
DONNEES :
P = 50 N
σ = 160 MPa
E = 2.1 105 MPa

QUESTIONS

1/ Déterminer le diamètre de BC
et de AB (arrondir au mm
supérieur).
2/ En déduire leur allongement.

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CHAP II

6/ Coefficient de Poisson : υ
Δr
Il existe un rapport constant entre la déformation transversale et l'allongement
r
ΔL
longitudinal .
L
Δr ΔL
=-υ (Δr Ì quand ΔL Ê)
r L

υ = coefficient de poisson (caractéristique du matériau)

Problème : déterminer la variation relative de volume en fonction de la variation relative de

longueur

V = π.r² L
dV = 2. π. r . dr . l + π. r ². dl

dV 2. dr dl
= +
V r l

dV Δl
= (1 − 2 ν)
V l

dV dl
= (1 − 2ν)
V l

Valeur de υ

Cas limite = 0.5 ⇒ dV = 0 ( caoutchouc)

Cas général : compris entre 0.25 et 0.3.