EXAMEN[Correction]

Semestre : 1 ⊠ 2 □
Session : Principale ⊠ Rttrapage □

Module : Mathématiques de base 3(MB3) Enseignants : Equipe MB3 de l’UP Math

Classes : 2ème Année Durée : 1h30 Date : 12/01/2024 Heure : 11h

Documents autorisés : OUI □ NON ⊠ Calculatrice autorisée : OUI □ NON ⊠

Internet autorisée : OUI □ NON ⊠ Nombre de pages : 6

Exercice 1 :(7 points)

 
0 1 2
Soit A =  1 2 −1.
−1 1 3
1. (1 pts) Montrer que le polynôme caractéristique de A est χA (λ) = −(λ − 1)(λ − 2)2 .

−λ 1 2
χA (λ) = det(A − λI3 ) = 1 2 − λ −1 L3 ← L3 + L2
−1 1 3−λ
−λ 1 2
= 1 2 − λ −1 C3 ← C3 + C1
0 3−λ 2−λ

−λ 1 2−λ
= 1 2−λ 0 L1 ← L1 − L3
0 3−λ 2−λ

−λ −2 + λ 0
−λ −2 + λ
= 1 2−λ 0 = (2 − λ)
1 2−λ
0 3−λ 2−λ

= (2 − λ)(−λ(2 − λ) − (−2 + λ)) = (1 − λ)(2 − λ)2 = −(λ − 1)(λ − 2)2

2. (0.5 pts) Donner les valeurs propres de A ainsi que leurs ordres de multiplicité.
Sp(A) = {1, 2} avec m1 = 1 et m2 = 2.
   
3 1
3. (1 pts) Vérifier que les sous-espaces propres de A sont E1 = V ect{ −1 } et E2 = V ect{ 0 }.
  
2 1
    
 x 
E1 = X =  y  tel que A.X = X
z
 

       
x x 0 1 2 x x
A. y
  =  y  ⇐⇒  1 2 −1   y = y 
z z −1 1 3 z z
 
 y + 2z = x  −x + y + 2z = 0 (1)
⇐⇒ x + 2y − z = y ⇐⇒ x+y−z = 0 (2)
−x + y + 3z = z −x + y + 2z = 0 (3)
 


3
 (1) + (2) ⇐⇒ 2x − 3z = 0 ⇐⇒ x = z

2
−1
 (3) ⇐⇒ 2y + z = 0 ⇐⇒ y = z

2
3
  
 2 z  1
         
x 3 3
 
   

E1 = X =  y  tel que A.X = X =  −1  = z  −1  = V ect{ −1 }
 
z  2
z 2 2 2
  
  

 
z
 
   
 x 
E2 = X =  y  tel que A.X = 2X
z
 

        
x x 0 1 2 x x
A.  y  = 2  y  ⇔  1 2 −1  y  = 2 y 
z z −1 1 3 z z
 
 y + 2z = 2x  −2x + y + 2z = 0 
x = z
⇔ x + 2y − z = 2y ⇔ x−z = 0 ⇔
y = 0
−x + y + 3z = 2z −x + y + z = 0
 

 
       
 x   x 1  1
E2 = X =  y  tel que A.X = 2X =  0  =x 0
  = V ect{ 0 }

z x 1 1
   

4. (1 pts) La matrice A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ? Justifier votre réponse.

Le polynôme caractèristique de a est scindé et dim(E1 ) = 1 = m1 et dim(E2 ) = 1 ̸= m2 , alors A
n’est pas diagonalisable par contre trigonalisable.
5. (a) (1 pts) Déterminer une matrice P ∈ M3 (R) inversible telle que A = P.T.P −1 où
 
1 0 0
T = 0 2 1 .
0 0 2
A est trigonalisable, alors, A est semblable à une matrice triangulaire. On cherche P inversible
telle que A = P T P −1 , P = (V1 V2 V3 ) avec
 
 A.V1 = V1  V1 ∈ E1
A.V2 = 2.V2 ⇔ V2 ∈ E2
A.V3 = V2 + 2.V3 A.V3 = V2 + 2.V3
 
   
3 1
On prend V1 =  −1  et V2 =  0  et on cherhce V3
2 1
      
0 1 2 x 1 x
A.V3 = V2 + 2.V3 ⇔  1 2 −1   y  =  0  + 2. y 

−1 1 3 z 1 z
  
 y + 2z = 2x + 1  1
x = z
⇔ x + 2y − z = 2y ⇔ ⇔ V3 =  1 
y = 1
−x + y + 3z = 2x + 1 1


Alors on a  
3 1 1
P = −1 0 1
2 1 1

(b) (1 pts) Calculer T n , pour tout n ∈ N.

     
1 0 0 1 0 0 0 0 0
T = 0 2 1 = 0 2
   0 + 0 0 1 = D + N
0 0 2 0 0 2 0 0 0
   
0 0 0 0 0 0
2
On a N.D = D.N = 0 0 2 et N = 0
   0 0, on applique la formule du Binôme,
0 0 0 0 0 0
n
X
n n
T = (D + N ) = Cnk N k Dn−k = Cn0 Dn + Cn1 Dn−1 N = Dn + nDn−1 N
k=0
     
1 0 0 1 0 0 0 0 0
Dn = 0 2n 0  , Dn−1 = 0 2n−1 0  et Dn−1 N = 0 0 2n−1 , on obtient alors
0 0 2n 0 0 2n−1 0 0 0
 
1 0 0
T n = Dn + nDn−1 N = 0 2n n2n−1 
0 0 2n

6. On considère trois suites réelles (xn )n∈N , (yn )n∈N et (zn )n∈N définies par :
   
xn x0
n
Xn = A X0 où Xn = yn et X0 = y0 
  
zn z0

On pose Yn = P −1 Xn pour tout n ∈ N.

(a) (0.5 pts) Montrer que, pour tout n ∈ N, Yn = T n Y0 .

Yn = P −1 Xn = P −1 An X0 = P −1 P T n P −1 X0 = T n P −1 X0 = T n Y0
  
1
(b) (0.5 pts) Calculer Yn pour tout n ∈ N avec Y0 = 0.

2
     
1 0 0 1 1
Yn = T n Y0 = 0 2n n2n−1  . 0 = n2n−1 
0 0 2n 2 2n+1

(c) (0.5 pts) En déduire Xn , pour tout n ∈ N.

3 + n2n−1 + 2n+1
     
3 1 1 1
Yn P −1 .Xn ⇔ Xn = P.Yn = −1 0 1 . n2n−1  =  −1 + 2n+1 
2 1 1 2n+1 2 + n2n−1 + 2n+1

Exercice 2 :(7 points)

Soient m ∈ R, x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 et bm une forme bilinéaire sur R3 × R3 définie par :

bm (x, y) = mx1 y1 + x2 y2 + 2x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 − x1 y3 − x3 y1

1. (a) (1 pts) Vérifier que bm est symétrique et donner sa forme quadratique associée qm .
On vérifie que bm (y, x) = bm (x, y) pour tout x, y ∈ R3 d’où la symmétrie de bm .
La forme forme quadratique qm associée à bm est donnée par

qm (x) = bm (x, x) = mx21 + x22 + 2x23 + 2x1 x2 − 2x1 x3 .

(b) (0.5 pts) Écrire la matrice Am de bm dans la base canonique de R3 .

La matrice Am de bm dans la base canonique de R3 est donnée par
 
m 1 −1
T =  1 1 0 .
−1 0 2

2. (0.5 pts) Pour quelles valeurs de m, la forme bm est non-dégénérée ?

3
bm est non-dégénérée ⇔ la matrice Am est inversible ⇔ det(Am ) ̸= 0 ⇔ 2m − 3 ̸= 0 ⇔ m ̸= .
2
3. (1 pts) Soit u = (1, 0, 0), calculer q−1 (u), b−1 est-elle un produit scalaire ?
En calculant q−1 (u), on obtient q−1 (u) = −1 or q−1 (u) = b−1 (u, u) < 0, b−1 n’est pas alors
positive, on en déduit ainsi que b−1 n’est pas un produit scalaire.
On suppose dans la suite que m = 2.
4. (1.5 pts) En effectuant la décomposition de Gauss de la forme quadratique q2 , montrer que

1
q2 (x) = 2l1 (x)2 + l2 (x)2 + l3 (x)2 .
2
avec l1 , l2 et l3 , sont des formes linéaires indépendantes à déterminer.
 On a

qm (x) = mx21 + x22 + 2x23 + 2x1 x2 − 2x1 x3

= 2(x21 + x1 x2 − x1 x3 ) + x22 + 2x23
(x2 − x3 )
= 2(x21 + 2x1 ) + x22 + 2x23
2
(x2 − x3 ) 2 (x2 − x3 ) 2
= 2(x1 + ) − 2( ) + x22 + 2x23
2 2
(x2 − x3 ) 2 1 2
= 2(x1 + ) − (x2 − 2x2 x3 + x23 ) + x22 + 2x23
2 2
1 1
= 2l1 (x)2 − x22 + x2 x3 − x23 + x22 + 2x23
2 2
1 3
= 2l1 (x)2 + x22 + x2 x3 + x23
2 2
1 3
= 2l1 (x)2 + (x22 + 2x2 x3 ) + x23
2 2
1
= 2l1 (x)2 + l2 (x)2 + l3 (x)2
2
x2 − x3
avec l1 (x) = x1 + , l2 (x) = x2 + x3 et l3 (x) = x3 .
2

5. (1 pts) Donner la signature et le rang de q2 .

sgn(q2 ) = (3, 0) et rg(q2 ) = 3.
6. (1 pts) Déduire que b2 est un produit scalaire sur R3 .
On a montré que sgn(q2 ) = (3, 0) avec 3 = dim R3 , on en déduit ainsi que b2 est non-dégeneré
positive ce qui implique que b2 est définie positive et comme c’est une forme bilinéaire symétrique,
b2 est alors un produit scalaire sur R3 .
1
7. (0.5 pts) Soient u2 = (1, 0, 0) et v2 = (− , 1, 0), étudier l’orthogonalité de u2 et v2 par rapport
2
au produit scalaire b2 .
En calculant b2 (u2 , v2 ), on obtient b2 (u2 , v2 ) = 0, on en déduit ainsi que les deux vecteurs u2 et
v2 sont orthogonaux.

Exercice 3 :(6 points)

On considère la fonction f définie sur R2 par

f (x, y) = x2 + 2y 2 − 18x − 24y + 2xy + 120.

1. (1 pts) Calculer les dérivées partielles premières de f .

∂f
(x, y) = 2x − 18 + 2y



∂x
∂f

 (x, y) = 4y − 24 + 2x
∂y

2. (1 pts) Montrer que f admet un seul point critique A = (a, b) que l’on précisera.

∂f
(x, y) = 0

  
2x − 18 + 2y = 0 x−9+y = 0(1)

∂x ⇔ ⇔
∂f 4y − 24 + 2x = 0 2y − 12 + x = 0(2)

 (x, y) = 0
∂y


(1) − (2) ⇔ y = 3 et on obtient x = 6, le point critique de f est A(6, 3).

3. (a) (1 pts) Trouver la matrice Hessienne de f et montrer qu’elle est définie positive en tout point
(x, y) ∈ R2 .  2
∂ 2f

∂ f
 ∂x2 (x, y) ∂x∂y (x, y)
 
2 2
Hf (x, y) =  2

= 2 4

∂ f ∂ 2f
(x, y) (x, y)
∂y∂x ∂y 2
On a det(Hf (x, y)) = 4 > 0 et T ra(Hf (x, y)) = 6 > 0 alors Hf (x, y) est définie positive.
(b) (1 pts) En déduire que f admet un minimum local en A et donner sa valeur.
La matrice HEssienne de f est définie positive, alors, f est strictement convexe, alors le point
critique de f est un minimum local et on a f (9, 3) = 30
4. On cherche maintenant à optimiser f sous la contrainte x + 2y = 10.
(a) (1 pts) Trouver le point critique de f sous la contrainte x + 2y = 10.

L(x, y, λ) = f (x, y) − λ(x + 2y − 10)

∂L
 

 (x, y, λ) = 0  2x − 18 + 2y − λ = 0(1)
∂x

 


 ∂L 

(x, y, λ) = 0 ⇔ 4y − 24 + 2x − 2λ = 0(2)

 ∂y 

 ∂L (x, y, λ)

 

= 0 −x − 2y + 10 = 0(3)
 
∂λ

(2) − (1) ⇔ 2y − λ − 6 = 0 ⇔ 2y = λ + 6
(3) ⇔ −x − λ − 6 + 10 = 0 ⇔ x = 4 − λ
(1) ⇔ λ = −2 ⇔ x = 6 ⇔ y = 2
On obtient alors, (6, 2) est le point critique de f sous la contrainte x + 2y = 10.
(b) (1 pts) En Déduire que f admet un minimum local sous la contrainte x + 2y = 10.
On commence par vérifier si le point critique est qualifié.
∂g ∂g
On note g(x, y) = x + 2y, (x, y) = 1 ̸= 0 et (x, y) = 2 ̸= 0 , alors (6, 2) est qualifié.
x y
 2
∂ L ∂ 2L ∂ 2L

 ∂x2 (x, y, λ) ∂x∂y (x, y, λ) ∂x∂λ (x, y, λ)  
 2
 ∂ L 2 2
 2 2 −1
∂ L ∂ L 
HL (x, y, λ) = 
 ∂y∂x (x, y, λ) ∂y 2 (x, y, λ) ∂y∂λ (x, y, λ) =
 2 4 −2

 ∂ 2L
 −1 −2 0
∂ 2L ∂ 2L 
(x, y, λ) (x, y, λ) (x, y, λ)
∂λ∂x ∂λ∂y ∂λ2

Pour tout (x, y) ∈ R2 , on a det(HL ) = −4 < 0, alors (9, 3) est un minimum local sous la
contrainte de f sous la contrainte x + 2y = 10.