CPES Culture scientifique 2015-2016

PRESENTATION
But : donner notions sur différents domaines scientifiques.

≠ cours de bio. Travail surtout à partir de documents (articles, vidéos, …)

Orientations autour du thème de l’infini, avec trois orientations : l’infiniment petit,

l’infiniment grand et l’infiniment complexe.

Préambule :

Quand on parle d’infiniment, qu’il soit petit ou grand, on peut se situer dans l’espace ou
dans le temps.
Dans l’espace, l’infiniment petit concerne les particules élémentaires de la matière,
l’infiniment grand, le cosmos et l’univers.
Dans le domaine temporel, nous aborderons l’infiniment petit, avec la naissance de
l’univers et le big bang.
Enfin l’infiniment complexe sera abordé avec des sujets sur le cerveau, mais aussi sur la
vie, sa définition, sa fin, sur l’évolution de l’homme (et peut-être d’autres sujets en lien
avec l’actualité si le temps le permet).

l’infini

Même si l’infini concerne autant la philosophie, l’art que les sciences de la matière et de
l’univers, il est une notion mathématique qui n’est pas si simple à définir et dont certains
mettent en doute l’existence. Aristote (IVème siècle avant JC) déjà était confronté au
dilemme de savoir si l’infini est une dimension effective ou s’il réside uniquement dans
notre esprit.

Les premières approches mathématiques sur le sujet datent du VIème siècle avant
J.C. La découverte de l’irrationalité de √2, que les pythagoriciens ont tenté de cacher,
en est le point de départ. La racine carrée de 2 n’est ni un nombre entier, ni le rapport
de 2 nombres entiers alors que c’est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. Les
savants grecs découvrent ainsi une longueur inexprimable, √2, qu’ils qualifient
d’irrationnelle et dont nous savons aujourd’hui que son écriture comporte un nombre
infini de décimales.
De même le nombre Pi qui fascine les mathématiciens depuis près de 4000 ans. En ce
moment même de gigantesques ordinateurs calculent les décimales les plus éloignées et
tentent de battre les records (1013 actuellement soit 10 mille milliards) qui se succèdent
sans connaître de limite.

Cette découverte des irrationnels a débouché sur la première crise des mathématiques.

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Au Vème siècle avant J.C., le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) fut le premier grand
mathématicien à mettre en évidence les paradoxes de l’infini. Ceux-ci intriguèrent les
mathématiciens de tous les siècles. Le second paradoxe de Zénon a pour titre Achille et
la tortue (cf doc).

Achille doit d’abord parcourir la moitié de la longueur (1/2) puis la moitié de la longueur restante
(1/4) et ainsi de suite en poursuivant le processus de division à l’infini. La longueur totale sera ainsi
égale à 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ...
A priori la somme d’un nombre infini de longueurs est une longueur infinie.
En effectuant les premiers termes de cette série de nombres, on s’aperçoit que plus on ajoute de
termes, plus on se rapproche de 1. Voilà une somme infinie de longueurs dont le résultat est fini et
égal à 1 !

C’est au IVème siècle avant J.C., que Aristote (-384 ; -322) expose les problèmes de
Zénon et élabore la distinction entre les notions d’infini actuel (en acte, qui peut être
atteint) et infini potentiel qui n’est pas réalisable. Il considère que l’on peut envisager
par commodité des notions impliquant l’infini mais sans leur donner d’existence réelle.
Selon Aristote, l’infini serait donc potentiel et non actuel. Chez Aristote, le mot infini
était associé à l’expression de l’imperfection.

En mathématiques, on désigne par infini potentiel un infini qui est le résultat d’un processus. Par
exemple si on dit qu’un segment de la droite est indéfiniment divisible, cela veut dire que si à chaque
étape on prend la première moitié du segment précédent, ce processus ne s’arrête pas. L'infini
actuel : Donnons a contrario des exemples d’infini actuel. Quand on parle aujourd’hui de l’ensemble
des entiers, on a un objet mathématique constitué d’une infinité d’entiers que l’on considère comme
existants. C’est un infini actuel. De même lorsqu’on s’autorise à penser un segment comme
l’ensemble de ses points, on utilise un infini actuel. Le continu est-il indéfiniment divisible ? L’infini est-
il acceptable en mathématiques? Quel usage peut-on en faire ? Les réponses adoptées par le
philosophe Aristote détermineront les mathématiques jusqu’à la fin du dix-neuvième siècle : • le
continu est indéfiniment divisible, • seul l’infini potentiel est acceptable, • l’infini actuel est rejeté.
Classiquement, on peut dire qu’un point appartient à une droite, mais il est impossible de dire que la
droite est constituée de points. Ceci sert de garde-fou après les querelles provoquées par l’usage de
l’infini.

Par la suite, jusqu’au 17è - 18è siècle, les scientifiques, mais surtout les philosophes et
les théologiens refuseront l’idée de l’infini (c’est l’attribut de Dieu).

C’est à partir du XIIIème siècle que les savants d’Occident prennent le relais et
exposent puis développent les théories du passé sur l’infini. On peut citer
- l’anglais Robert Grosseteste (1158 ; 1253) qui affirme bien avant Cantor qu’un
nombre infini peut être plus grand qu’un autre,
- le français Pierre de Fermat (1601 ; 1655) qui donna son nom des plus grandes
énigmes qui agita le monde des mathématiciens pendant 4 siècles : comment
montrer que xn+yn=zn n'a pas de solutions entières non triviales pour n≥3. De
nombreux travaux sur ce problème permirent des avancées considérables en
mathématiques. Mais il fallut attendre 1996, et le mathématicien anglais Andrew

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Wiles, pour trouver une réponse définitive. Fermat avait raison, Il n'y pas de
solutions à cette fameuse équation. Ce qui fut longtemps appelée la conjecture de
Fermat, ou le dernier théorème de Fermat, s'appelle désormais théorème de
Fermat-Wiles.
- le français Blaise Pascal (1623 ; 1662) participe aussi à l’essor du calcul
infinitésimal et donne une approche plus théologique de l’infini.
En 1665, l’anglais John Wallis (1616 ; 1703) introduit pour la première fois (dans son
ouvrage "Arithmetica Infinitorum") le symbole ∞ pour désigner l'infini. Il est hérité des
romains qui l’utilisaient pour désigner "1000".
Au XVIIème siècle Isaac Newton (1642 ; 1727) et Gottfried Wilhelm von
Leibniz (1646; 1716) généralisent et propagent le calcul infinitésimal qui devient une
branche indépendante des mathématiques.

Mais c’est au XIXème siècle avec le russe Georg Cantor qui révolutionne véritablement
la notion d’infini en mathématiques. Il propose plusieurs infinis qu’il distingue et essaie
de comparer. Ces infinis sont équivalents et le paradoxe qu’ils présentent explique
pourquoi de nombreux savants réfutaient l’infini en acte (doc).
On peut illustrer cette idée par le paradoxe de l’hôtel infini, proposé par David
Hilbert (1862 ; 1943) dans les années 20 (doc).

Texte Science et vie Junior

On voit que la définition de l’infini semble difficile à définir en mathématiques.

Alors que la notion d’infini est au centre des mathématiques, le physicien cherche à
l’éliminer de ses théories.
On peut citer, à ce propos, Christian Magnan, astrophysicien du Collège de France:
« L'infini est une notion mathématique qui n'a pas d'équivalent dans le monde physique. Soutenir
que notre Univers serait « infini » est absurde car cela ne signifie rien en réalité. Toute théorie
physique implique des nombres, en tant que tels forcément répartis sur un intervalle fini. Par
conséquent un univers infini, situé hors du domaine de la mesure, s'exclut ipso facto du cadre de
la physique. »
Les physiciens n’ont pas cessé d’éliminer l’infini de leurs théories, car il ne peut pas se
réaliser dans la nature. A l’inverse, l’infini et une notion incontournable pour les
mathématiciens.

Mais même si l’infini n’existe pas en physique, les nombres que les physiciens manipulent
ont des ordres de grandeurs si différents qu’il est difficile de les exprimer par des
nombres décimaux. La différence de proportions entre deux domaines concernés par la
physique, l’univers astronomique, infiniment grand, et les particules élémentaires de
l’atome, infiniment petites, est tellement importante qu’il est difficile de trouver une
mesure commune aux deux.

De plus le cerveau appréhende mal les grands (ou le petits) nombres. Par exemple :

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- un milliard de secondes représente 31 ans 8 mois 15 jours 17 heures 46 minutes

et 40 secondes
- Le nombre d’étoiles visibles à l’œil nu depuis la Terre est de 8768 (et seule la
moitié est visible d’un point) alors que les étoiles paraissent si nombreuses qu’il
semble impossible de les compter.

Les scientifiques ont donc adopté une notation qui donne le numéro d’ordre du premier
chiffre d’un nombre: les puissances de 10 ou notation scientifique sous forme a.10n ou
a est un chiffre entre 1 et 9. Par convention les unités ont pour rang 0, les dizaines le
rang 1, et ainsi de suite. À droite de la virgule, pour les puissances inférieures à l'unité,
on utilise des rangs « négatifs » que l'on affecte du signe « - ». Les dixièmes auront
pour rang -1, les centièmes -2, etc. Cette notation permet de déterminer facilement
l’ordre de grandeur d’une valeur numérique. Du noyau atomique aux galaxies les plus
lointaines, les longueurs s’échelonnent sur 41 ordres de grandeurs, de 10-15 à 1023 m.

Doc les puissances de 10

On peut manipuler les puissances de 10 et arriver à des exposants à 3, 6, ou 9 chiffres

et plus en mathématiques. Dans les années 40, un mathématicien américain, Edward
Kasner invente le nombre Googol. Ce mot ne serait pas inventé par Kasner mais il l’aurait
repris de son neveu âgé à l’époque de 9 ans. Le Googol est un 1 suivi de 100 zéros. Ce
nombre (son nom) a ensuite inspiré les concepteurs d’un célèbre moteur de recherche.
Kasner a ensuite inventé le googolplex égal à 10 googol. Là encore, c’est un nombre
tellement grand qu’il est impossible de l’imaginer : si on alignait les 0 tous les demi-
centimètres, la longueur du googolplex serait amplement supérieurs au rayon de l’univers
observable, soit 47 milliards d’années-lumière.

En physique, l’un des plus grands nombres ayant une réalité est le nombre d’atomes dans
l’univers, qui est de l’ordre de 10 80, soit avec un exposant de deux chiffres seulement.
On est très loin de l’infini…

Si l’infini a été rejeté très longtemps, il en est de même pour le zéro auquel on peut
l’associer. On peut parler de dualité entre le zéro et l’infini et ces deux notions sont
souvent associées, que ce soit en philosophie, en théologie, en mathématiques : la dualité
avec l’infini apparait évidente : si x tend vers 0, alors 1/x tend vers l’infini ! Pour
l’analyste, le zéro et l’infini sont une seule et même chose.

Face à l’infini, le zéro peut paraitre ridicule. C’est le plus petit des nombres entiers,
Pourtant, si la classification des infinis, notamment grâce aux travaux de Cantor, a
permis la naissance de la théorie des ensembles moderne et fondé les bases de
l’arithmétique, c’est bien l’invention du zéro (presque comme celle de la roue), qui est

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considérée comme un pas de géant dans l’histoire des mathématiques et de la pensée

humaine.

Comme il y a des infinis, il y a des zéros :

- Le plus simple d’entre eux, le zéro comme absence de quantité, est loin d’être
une ´évidence. C’est la présence, c’est la chose, qui est évidente. Dire il y a une
pierre sur le chemin est facile. Mais énoncer qu’il n’y a pas suppose l´élaboration
de l’idée de pierre, l’évocation de sa possibilité de présence, et, enfin, la
constatation que cette possibilité n’est pas réalisée.
- Mais il y a un autre zéro encore plus performant, lié au précédent, c’est le zéro
de la numération de position, celui qui est à la fois chiffre et nombre, et qui
permet les calculs. C’est précisément ce zéro qui, permet de designer une infinité
de nombres avec un nombre fini de chiffres.

Contrairement à ce qui peut paraître aujourd'hui, le zéro n'est pas un concept

facile. Son invention est tardive et lente. Le zéro n'existait pas dans les notations
anciennes (sumériennes, assyriennes, grecques, romaines,...) bien que des savants comme
Archimède possédaient certainement une méthode de notation qui leur permettait
d'effectuer des calculs compliqués. Sinon, aucun symbole pour 0; chez les Sumériens un
simple espacement.

Il est difficile d’imaginer avoir peur d’un chiffre. Pourtant, le zéro était
inexorablement lié au vide et au rien, dont tout le monde avait peur. Rappelons que
l'année 0 n'existe pas dans notre calendrier: c'est l'année -1 qui précédait l'an 1 !

L'usage du zéro ne commence à s'imposer qu'avec le développement du commerce.

Le zéro arrive par l'Est (Inde). Le mot indien désignant le zéro était śūnya, qui signifie
"vide" ou "espace". Il se retrouve ensuite chez les arabes. Avec le retour du commerce
intensif, consécutif aux Croisades, les Européens généralisent, au XIIe siècle, l'usage
du zéro. Il faut attendre le début du XXe siècle pour que le zéro se voie attribuer le
statut de nombre. Il a, en tant que tel quelques particularités :

- c’est le seul nombre égal à son opposé,

- il est à la fois positif et négatif
- neutre dans l’addition
- absorbant dans la multiplication.

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« Deux choses sont infinies : l’univers et la bêtise humaine ; mais en ce qui concerne
l’univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue. »
Albert EINSTEIN