Théories des circuits électriques

Plan du cours
Introduction
1. Généralités sur les circuits électriques
1.1 Définitions et principes fondamentaux
1.2 Conventions
1.3 Dipôles électriques
1.3.1 Définition
1.3.2 Dipôles actifs
1.3.3 Dipôles passifs linéaires
1.4 Associations de dipôles
1.5 Régimes électriques
1.6 Lois de Kirchhoff en régime continu
2. Théorèmes généraux de l’électricité en régime continu
2.1 Théorème de Millman
2.2 Principe de superposition
2.3 Théorèmes de Thevenin et de Norton
2.4 Equivalent Thevenin – Norton
3. Les circuits électriques en régime sinusoïdal
3.1 Le régime sinusoïdal
3.2 Notion d’impédance
3.3 Modèle complexe d’un circuit en régime sinusoïdal
3.4 Lois et théorèmes de l’électricité en régime sinusoïdal
4. Les circuits électriques en régime transitoire
4.1 Régime variable et régime transitoire
4.2 Mise en équation des régimes transitoires
4.3 Equations différentielles du premier ordre
4.4 Equations différentielles du deuxième ordre
5. Puissance et énergie électriques
5.1 Définitions
5.2 Puissance en régime continu
5.3 Puissance en régime sinusoïdal
6. Quadripôles et énergie électriques
6.1 Définitions et conventions
6.2 Modèles associes aux quadripôles
6.3 Impédances d’entrée et de sortie
6.4 Admittances d’entrée et de sortie
6.5 Matrice de transfert ou matrice de chaine
6.6 Matrice hybride
6.7 Schémas équivalents des quadripôles
6.8 Associations de quadripôles
6.9 Quadripôles en charge
6.10 Quadripôles particuliers
Introduction

Ces notes provisoires de théories de circuits électriques destinées aux étudiants de

L2 LMD rassemblent l’ensemble des éléments essentiels capables de donner un
bagage fondamental aux futurs ingénieurs dans les domaines scientifiques et
technologiques. Ces notes de cours sont structurées en six chapitres qui traitent des
notions fondamentales des circuits électriques en régimes continu, sinusoïdal et
transitoire. Pour autant que ces notes sont rédigées et complétées progressivement,
sa version finale ne pourra être bouclée que plus tard et dès que possible.
Ces notes sont conçues et présentées de manière à aborder les différentes notions de
l’électrotechnique et cela de façon progressive afin de faciliter la compréhension de
ce cours : aux concepts fondamentaux de l’électrotechnique sont ajoutés les concepts
mathématiques nécessaires et relativement simples concernant notamment la
trigonométrie, le calcul différentiel et intégral et les nombres complexes.
Bien que donné dans le cours de l’électronique générale, le chapitre sur la jonction
PN et les diodes à semi-conducteurs qui étaient prévu d’être inséré dans ces notes
provisoires de ce cours ne pourra figurer que dans sa version finale.
Les exercices et problèmes sont contenus dans un recueil d’exercices qui est rédigé
à part et prennent en compte les notions évoquées dans chaque chapitre.
Il est demande aux étudiants et a tout autre lecteur de toujours veiller à respecter les
conventions de signes, de sens des flèches de tension ou de courant et d’utiliser
systématiquement les unités du système international.
1. Généralités sur les circuits électriques

1.1 Définitions et principes fondamentaux

 Un circuit est un ensemble de composants ou dipôles reliés par des fils de
connexion.
 Un nœud est un point de jonction entre trois fils de connexion minimum.
 Une branche est constituée par un ensemble de dipôles montés en série entre
deux nœuds et parcourus par le même courant.
 Une maille est un ensemble de branches formant un contour fermé. Chaque
nœud du contour est traversé une seule fois.
D’une manière générale, tout circuit électrique peut se représenter sous la forme d’un
générateur d’énergie alimentant un récepteur chargé de transformer l’énergie
électrique reçue en une autre forme exploitable, les deux dispositifs étant reliés par
des conducteurs tels que montre à la figure 1.1 ci-dessous

Courant Courant
A A
𝑖
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = e e 𝑖
e tension

Générateur
récepteur De courant parfait récepteur
Générateur
De tensions B
parfaites B

Fig.1.1: Exemple de circuit électrique alimentant un récepteur

Le fonctionnement d’un circuit électrique est décrit par un transfert de charges entre
ces deux éléments (figure 1.1). Il est couramment admis de représenter ce transfert
par un flux d’électrons que l’on modélise par un courant électrique traversant les
conducteurs. Ce courant électrique (exprimé en ampères) représente la quantité de
charges q (en coulombs) traversant une section donnée du conducteur par unité de
temps, soit :
i = dq/dt (1.1)
Les électrons possédant une charge négative, la logique veut que le courant i soit
représenté en sens contraire du flux d’électrons.
Dans un circuit composé d’une seule boucle, le même courant circule à chaque
instant dans tout le circuit.
1.2 Conventions
Le sens du courant est une convention adoptée. Les électrons, qui sont négatifs, sont
attirés par les charges positives, et donc se déplacent du − vers le +. Cependant, de
manière historique, on dit que le courant électrique se déplace du + vers le −.

1.3 Dipôles électriques

1.3.1 Définition
Un dipôle est un élément d'un circuit électrique comportant deux bornes. Il impose
une relation entre la tension u à ses bornes et l'intensité du courant i qui le traverse.
La fonction f liant u à i : u= f (i) imposée par le dipôle est appelée caractéristique
du dipôle. Générateurs et récepteurs simples possèdent en général deux bornes. Ce
sont des dipôles électriques. Les dipôles générateurs sont dits actifs, ceux qui ne font
que consommer de l’énergie sont des dipôles passifs.
1.3.2 Dipôles actifs
On s’intéresse ici aux dipôles générateurs de tension et de courant.
1.3.2.1 Générateur de tension
Générateur de tension idéal/parfait:
C’est un dipôle aux bornes duquel la tension reste constante quelle que soit
l’intensité du courant délivré. Cette tension est appelée force électromotrice (f.é.m.).
La caractéristique u =f (i) est une droite horizontale.

𝑢(𝑡)
𝑖(𝑡)
E

𝑢(𝑡) Fonctionnement Fonctionnement

en récepteur en générateur
𝑖
Fig. 1.2: générateur de tension idéale/parfait

Générateur de tension réel :

C’est un dipôle tel que, lorsque l’intensité du courant qu’il délivre croît la tension à
ces bornes décroît. La chute de tension est proportionnelle à i ce qui est
caractéristique d’une résistance.

𝑖(𝑡)

𝑢(𝑡) ∆𝑢

Fig. 1.3: Exemple d’un générateur de tension réel

La caractéristique d’un générateur de tension réel est une droite ne passant pas par
l’origine de pente négative.

𝑢(𝑡) ∆𝑢 = 𝐸 − 𝑟𝑔 . 𝑖

Fonction en E
récepteurs 𝐸
𝐼𝐶𝐶 =
𝑟𝑔
Fonction en
générateur 𝑖

Fig.1.4 : caractéristique d’un générateur de tension réel

1.3.2.2 Générateur de courant
Générateur de courant idéal ou parfait :
C’est un dipôle débitant un courant constant Io (courant électromoteur c.é.m.)
indépendant de la tension à ses bornes. La caractéristique i= f(u) est une droite
horizontale. Lorsque le dipôle fonctionne comme générateur dans un circuit la
tension est comptée positive et orientée comme le courant.
 𝑖(𝑡)
𝑖(𝑡) 𝐼

FONCTIONNEMENT FONCTIONNEMENT
𝑢(𝑡)
EN RECEPTEUR EN RECEPTEUR

Fig. 1.5 : Caractéristique d’un générateur de courant parfait

Générateur de courant réel :
C’est un dipôle à la sortie duquel il y a une chute de courant lorsque la tension à ses
bornes croît. Cette chute de courant est proportionnelle à u et elle est associée à une
résistance de conductance g telle que ∆𝑖 = −𝑔. 𝑢,
L’intensité délivrée
sera alors égale à : 𝑖 = 𝐼0 − 𝑔. 𝑢 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑔 =
𝐼
𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑢 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟. Le modèle équivalent, est l’association en parallèle
𝑟
d’un générateur de courant idéal et d’une résistance r.
La caractéristique i = f(u) est une droite ne passant pas par l’origine, de pente
négative. Lorsque la tension u = 0, c’est à dire lorsque ses bornes sont court-
circuitées le courant débité par le générateur est égal au c.é.m..
D’autre part lorsque la charge présente une résistance infinie (autrement dit lorsque
le générateur est en circuit ouvert i = 0 alors on relève aux bornes du générateur une
tension r.Io.

Les dipôles actifs les plus fréquemment rencontrés (figure 1.1) sont :
 Le générateur de tension parfait, qui délivre une tension e (en volts) et
l’impose au dipôle récepteur qui présente donc à ses bornes la même tension
e. Le courant qui apparaît alors dans le circuit dépend de e et du récepteur.
Cette tension e est la différence de potentiel VA − VB. La flèche symbolisant
cette différence de potentiel est dirigée vers le potentiel le plus élevé. Comme
les électrons sont attirés par le point correspondant au potentiel le plus élevé
(A), le courant sera orienté, au sortir du générateur, par une flèche dirigée vers
le potentiel le plus élevé.
  Le générateur de courant parfait, qui impose un courant i au dipôle récepteur.
La tension qui apparaît alors aux bornes du dipôle récepteur dépend de i et du
récepteur.

𝐼(𝑡)

𝐼0 𝑔. 𝑢 𝐼0

𝑢(𝑡)
𝐼0
𝑈=
𝑔

Fig. 1.6 : Caractéristique d’un générateur de courant parfait

Pour un circuit alimenté par un générateur de tension, on considère en général que
sa borne B tel que indiqué ci haut constitue la référence de tension pour l’ensemble
du circuit et se trouve donc au potentiel 0 V (on dit aussi à la masse). Sa borne A se
trouve donc au potentiel VA = e. On assimile donc toute différence de potentiel entre
un point X quelconque et cette référence, au potentiel du point X.
Les générateurs sont dits parfaits au sens où la tension délivrée par un générateur de
tension parfait ne dépend pas du reste du circuit. De même, un générateur de courant
parfait délivre un courant qui ne dépend pas du reste du circuit.
Dans la réalité, les générateurs ne sont pas parfaits et on considère qu’un modèle
plus proche de la réalité consiste à associer une résistance en série avec un générateur
de tension parfait, ou une résistance en parallèle avec un générateur de courant
parfait. Ces résistances sont appelées résistances internes des générateurs.
1.3.3 Dipôles passifs linéaires
Un dipôle passif est un dipôle récepteur qui transforme toute l’énergie qu’il reçoit
sous forme de chaleur.

𝑖(𝑡) 𝑖(𝑡)
𝑖(𝑡)

𝑢(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑅 𝑢(𝑡) 𝐶
𝐿

(a) Résistance 𝑑𝑡 (𝑐) 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡é

(b) R : résistance en (𝑏) 𝑢(𝑡) =
𝑑𝑡 1
ohms(Ω) 𝑢(𝑡) = 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡
L : inductance ……en 𝑐
herys (H) C: capacité en Farads (F)

Fig. 1.7: représentation du dipôle passif

1.3.3.1 Le résistor (loi d’Ohm)
Un résistor est un dipôle linéaire passif qui si on lui applique entre ses bornes A et
B une d.d.p. UAB = VA - VB, il sera parcouru par un courant I tel que UAB = I R.
R est appelée la résistance du dipôle. Cette loi entre le courant et la tension dite loi
d’Ohm est empirique et est vérifiée par la plupart des dipôles passifs en régime
continu. R s'exprime en Ohm Ω.

A B

𝑢𝐴𝐵

Fig. 1.8: Représentation d’un dipôle résistif

La caractéristique de transfert est une droite linéaire de pente R :
 𝑢𝐴𝐵

𝑉𝐴𝐵 = 𝑅𝑖

Fig. 1.8: Caractéristique de transfert d’un résistor

L’inverse de la résistance est la conductance, souvent notée G, et s’exprime en
Siemens (abréviation S) : 1 G = 1/ R.
La difficulté avec laquelle les électrons circulent dans le résistor s’accompagne d’un
échauffement : c’est ce qu’on appelle l’effet Joule. Cet échauffement, du point de
vue du circuit électrique, est une perte d’énergie par dissipation thermique. Pour une
résistance R, et un courant i et une tension U, cette puissance Pj perdue dans le
𝑢²
résistor est égale à : 𝑃𝑗 = 𝑅. 𝐼2 = 𝑢. 𝐼 =
𝑅

1.3.3.2 Le condensateur
Il est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant. En régime
continu le condensateur est chargé par la d.d.p. appliquée à ses bornes et il se
comporte comme un interrupteur ouvert : i = 0.

𝑢
𝑖 𝐶

Fig. 1.9: Représentation d’une capacité en Farads (F)

On définit sa capacité C comme le rapport de la charge accumulée sur la tension

appliquée à ses bornes : C = q /u
L’unité de C est le Farad (F). Or le courant est la dérivée de la charge par rapport
au temps : i(t) = dq/dt donc il vient : i(t) = C.du/dt en régime transitoire (charge /
décharge).
1
L’énergie stockée dans le condensateur est 𝐸 = . 𝐶. 𝑢2 avec (u(0) = 0)
2

1.3.3.3 La bobine
Elle est constituée de spires qui lorsqu'elles sont parcourues par un courant continu
se comportent comme un court-circuit.
𝑑𝑖
Parcourue par un courant variable, la tension aux bornes est : 𝑢 = 𝐿.
𝑑𝑡
1
L : inductance en henry (H). L’énergie stockée dans la bobine est 𝐸 = . 𝑙. 𝐼2 avec
2
(i(0)=0)
L'intérêt de ces deux dipôles réside dans les propriétés en régime transitoire ou
permanent sinusoïdal. Ils sont capables alors d'emmagasiner de l'énergie puis de la
restituer ultérieurement. Cependant la puissance moyenne dissipée est toujours
nulle.
1.3.3.4 Association des dipôles
Deux dipôles quelconques sont dits associés en série si une des bornes de l’un est
reliée à une des bornes de l’autre, l’ensemble formant un nouveau dipôle.
Ils sont dits associés en parallèle si les paires de bornes sont connectées deux à deux.
Ces différentes associations sont montrées dans chacun des dipôles ci-dessous.
a. Cas des résistors
Association série
Soit la figure ci-dessous représentant l’association des résistors en série :
 A B C D A D
𝑅1 𝑅2 𝑅3 Réq

𝑈𝐴𝐷 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐷
𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 𝑈𝐵𝐶 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐶 𝑈𝐶𝐷 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐷

𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵

Fig.1.10 : Exemple de l’association série des résistors

Les résistances Ri sont toutes traversées par le même courant I et ont une seule borne
en commun avec un autre dipôle. La tension UAD est égale à la somme des tensions
aux bornes de chacun des dipôles :
𝑉𝐴𝐷 = 𝑉𝐴𝐵 + 𝑉𝐵𝐶 + 𝑉𝐶𝐷 = 𝑅1 . 𝐼 + 𝑅2 . 𝐼 + 𝑅3 . 𝐼 = (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 ). 𝐼 = 𝑅𝑒𝑞 . 𝐼
D’où la résistance équivalente a l’association de ces dipôles : 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
Dans le cas ou N dipôles sont associes en série, la résistance équivalente s’exprime :
𝑅𝑒𝑞 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑅𝑖

Association parallèle
Soit la figure ci-dessous :

𝐼1
𝑅1

𝐴 𝐼2 𝐵 𝐴 𝐵
𝑅2

𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
𝐼3
𝑅3

Fig. 1.11 : Exemple de l’association parallèle des résistors

L’association de dipôles en parallèle se caractérise par le fait que tous les dipôles ont
leurs bornes en commun deux à deux. En conséquence de quoi la tension aux bornes
de chacun des dipôles est identique.
Le courant I qui alimente ces dipôles branchés en parallèle va alors se repartir dans
les dipôles tel que :
𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝐵 1 1 1 1
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = ( + + ) = 𝑉𝐴𝐵 . ( + + ) = 𝑈𝐴𝐵 .
𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑒𝑞

1 1 1 1 1 1
D’où =( + + ) et en général : = ∑𝑁
𝑖=1
𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑒𝑞 𝑅𝑖

b. Cas des condensateurs

Association série
Soit la figure ci-dessous :

𝐶1 𝐶2
𝐶
𝑖

𝑢1 𝑢2 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2

Fig. 1.12: Exemple de l’association série des condensateurs

Les deux condensateurs étant parcourus par le même courant, on a :
𝑖 𝑑𝑈1 𝑖 𝑑𝑈2
= , et =
𝐶1 𝑑𝑡 𝐶2 𝑑𝑡

𝑖 𝑑𝑈 𝑑𝑈1 𝑑𝑈2
De plus, = = +
𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Les deux équations ci-dessus conduisent à :

𝑖 𝑖 𝑖 1 1 1
= + . On obtient finalement pour la capacité équivalente : = +
𝐶 𝐶1 𝐶2 𝐶 𝐶1 𝐶2

Association parallèle
Soit la figure ci-dessous :
 𝑖1 𝐶2

𝑖2 𝐶1 𝐶
𝑖

𝑢
𝑢
Fig. 1.3: Exemple de l’association parallèle des condensateurs
Les deux condensateurs étant en parallèle, ils sont parcourus par deux intensités de
courant passant respectivement par le condensateur 1 et par le condensateur 2. On a
donc :
𝑑𝑈 𝑑𝑈
𝑖1 = 𝐶1 , et 𝑖2 = 𝐶2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑈 𝑑𝑈
Sur la figure, 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 = (𝐶1 + 𝐶2) . = 𝐶.
𝑑𝑡 𝑑𝑡

La capacité équivalente 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2

c. Cas des bobines
Association série
Soit la figure ci-dessous :

𝐿1 𝐿2
𝐿

𝑢1 𝑢2 𝑈

Fig. 1.14: Exemple de l’association série des bobines

Les deux bobines sont parcourues par le même courant et on a :
𝑑𝑖 𝑑𝑖
𝐿1 = 𝑈1 , et 𝐿2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑖 𝑑𝑖
D’après la figure ci-dessus : 𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 = (𝐿1 + 𝐿2 ). = 𝐿.
𝑑𝑡 𝑑𝑡

L’inductance équivalente est donc : 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2

Association parallèle
Soit la figure ci-dessous :
𝐿2

𝐿
𝑖 𝑖
𝐿1
𝑈

𝑈
Fig. 1.15: Exemple de l’association parallèle des bobines
La figure ci-dessus donne :
𝑈 𝑑𝑖1 𝑈 𝑑𝑖2
= , et =
𝐿1 𝑑𝑡 𝐿2 𝑑𝑡

𝑈 𝑑𝑖 𝑑𝑖1 𝑑𝑖2 𝑈 𝑈
D’autre part, = = + = +
𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿1 𝐿2
1 1 1
On a finalement l’inductance équivalente : = +
𝐿 𝐿1 𝐿2

1.5 Régimes électriques

Le régime de fonctionnement d’un circuit électrique dépend de la tension ou du
courant délivré par le générateur qui alimente ce circuit. Il y a trois types de régimes :
 Régime continu : la tension délivrée par le générateur est constante. Les
grandeurs continues sont notées avec des lettres majuscules (E pour une
tension et I pour le courant par exemple)
 Régime variable : la tension délivrée est variable au cours du temps. Les
grandeurs sont désignées par des lettres minuscules (e(t) par exemple)
 Régime sinusoïdal ou harmonique : la tension délivrée est sinusoïdale (𝑒(𝑡) =
𝐸0 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
Les régimes continus et sinusoïdaux font partie des régimes dits permanents ou
établis. Souvent, les régimes variables surviennent lorsqu’un circuit passe d’un état
permanent à un autre. On parle alors de régimes transitoires.
Dans un circuit en régime continu, les tensions et courants dans le circuit sont en
général continus. Dans un circuit en régime sinusoïdal, tensions et courants sont tous
sinusoïdaux, de même fréquence que la source de tension, mais présentant a priori
des déphasages.
En régime continu, un élément inductif (une bobine) n’a aucun effet. Son équation
de fonctionnement :
𝑑𝑖
𝑢(𝑡) = 𝐿.
𝑑𝑡

montre bien que, parcourue par un courant constant quelconque, une bobine
présentera toujours une différence de potentiel nulle à ses bornes.
De même pour un condensateur, l’équation :
1
𝑢 (𝑡 ) = 𝑖 (𝑡)𝑑𝑡
𝐶
Montre que si u(t)=Cte, on a bien :
i(t)=0
Donc, en régime continu, aucun courant ne peut traverser un condensateur. En
revanche, tout condensateur qui se voit imposer une tension U présente une charge
emmagasinée
Q telle que :
𝑄 = 𝐶𝑈
Un condensateur parfait possède en outre la propriété de conserver cette charge
emmagasinée, une fois retirée l’alimentation U. Ceci, bien évidemment, à condition
qu’il soit isolé, c’est-à-dire que ses deux bornes ne soient reliées à aucun autre
circuit.
1.6 Lois de Kirchhoff en régime continu
1.6.1 Loi des nœuds (première loi de Kirchhoff)
La somme des courants se dirigeant vers un nœud est égale à la somme des courants
qui sortent de ce nœud.
Ou encore : la somme algébrique des courants dirigés vers un nœud d’un circuit est
nulle (en comptant positivement les courants dirigés vers le nœud et en comptant
négativement ceux qui en sortent). Cette loi exprime le fait qu’il ne peut pas y avoir
accumulation de charges en un point quelconque d’un conducteur du réseau. Aux
points A et B de la figure ci-dessous, on peut écrire respectivement les équations
suivantes:
 𝐼0 = 𝐼1 + 𝐼2
𝐼2 = 𝐼3 + 𝐼4

𝑅2 𝑅3
𝐼0 𝐴 𝐼2 𝐵 𝐼3

𝐼1 𝐸2 𝐼4 𝐸3

𝐸 𝑅4 𝑅5
𝐸1 𝐸4 𝐸5

𝑀𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 1 𝑀𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 2 𝑀𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 3

Fig. 1.16: Exemple d’application de la Loi des nœuds

1.6.2 Loi des mailles (deuxième loi de Kirchhoff)
La loi des mailles dit que la somme algébrique des différences de potentiel le long
d’une maille, obtenue en parcourant la maille dans un sens donné, est nulle. Les
différences de potentiel orientées dans le même sens que le sens de parcours de la
maille sont comptées positivement. Les différences de potentiel orientées dans le
sens opposé au sens de parcours de la maille sont comptées négativement.
En se référant à la figure ci-dessus, on a :
Au niveau de la maille 1 : 𝐸 − 𝐸1 = 0
Au niveau de la maille 2 : 𝐸1 − 𝐸2 − 𝐸4 = 0
Au niveau de la maille 3 : 𝐸4 − 𝐸3 − 𝐸5 = 0
1.6.3 Loi des nœuds généralisée
Dans un dispositif électrique quelconque, la somme algébrique des courants entrant
dans une surface fermée telle montre dans la figure ci-dessous est nulle : ∑𝑛𝑖=1 𝐼𝑖 = 0
 𝐼3

𝐼𝑖

𝐼2
𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕
=
𝐼𝑛
𝐼1

Fig.1.17: Exemple d’une surface fermée

D’un point de vue pratique, cela signifie que dans un circuit complexe, on peut
définir arbitrairement un contour fermé et appliquer la loi des nœuds aux bornes de
ce contour.
La figure ci-dessous fournit un exemple d’application de cette loi des nœuds
généralisée. On peut ainsi écrire directement :
𝐼0 − 𝐼1 − 𝐼4 − 𝐼3 = 0

𝑅2 𝑅3
𝐼0 𝐴 𝐼2 𝐵 𝐼3

𝐼1 𝐸2 𝐼4 𝐸3

𝐸 𝑅1 𝑅4 𝑅5 𝐸5
𝐸1 𝐸4

𝑀𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 1 𝑀𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 2 𝑀𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 3

Fig. 1.18: Exemple d’application de la loi des nœuds généralisée

2. Théorèmes généraux de l’électricité en régime continu
2.1 Théorème de Millman
Le théorème de Millman est une forme particulière de la loi des nœuds exprimée en
termes de potentiel. Il est ainsi nommé en l'honneur de l'électronicien ukrainien
Jacob Millman.
Ce théorème est ainsi libellé comme suit :
Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un
générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes
des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement
multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des
admittances.
L’admittance est l’inverse de l’impédance (admittance = 1/impédance). Tandis que
l’impédance est la résistance qu’oppose un élément, au passage d’un courant
alternatif
Soit le circuit ci-dessous :

𝑍1 𝑍2 𝑍3 𝑍𝑘 𝑍𝑁

𝑉𝑀
𝐸3 𝐸𝑘
𝐸1 𝐸2 𝐸𝑁

Fig. 2.1: Exemple d’application de la loi de Millman

1
On appelle 𝑌𝑘 l’admittance correspondant à l’inverse de l’impédance 𝑍𝑘 (𝑌𝑘 = )
𝑍𝑘
𝐸𝑘
∑𝑁 ∑𝑁
𝑘=1 𝛼𝑘
𝑘=1 𝛼𝑘 𝐸𝑘 .𝑌𝑘 𝑍𝑘
𝑉𝑀 = ∑𝑁
= 𝑁 1 . Avec 𝛼𝑘 = ±1 selon le sens du courant,
𝑘=1 𝑌𝑘 ∑𝑘=1
𝑍𝑘
Dans le cas particulier d'un réseau électrique composé de résistances :
𝐸𝑘
∑𝑁 ∑𝑁
𝑘=1 𝛼𝑘
𝑘=1 𝛼𝑘 𝐸𝑘 .𝐺𝑘 𝑅𝑘
𝑉𝑀 = ∑𝑁
= 1 , Avec 𝛼𝑘 = ±1 selon le sens du courant.
𝑘=1 𝐺𝑘 ∑𝑁
𝑘=1𝑅
𝑘

Avec G, la conductance.
Ce théorème peut être généralisé s’il ya en parallèle des générateurs des courants
injectant des courants vers le même point M et soit 𝐼𝑔𝑘 ces courants. On a alors :

∑𝑁 𝐸𝑘 𝑃
∑𝑁 ∑𝑃 𝑘=1 𝑅 + ∑𝑘=1 𝐼𝑔𝑘
𝑘=1 𝐸𝑘 . 𝐺𝑘 + 𝑘=1 𝐼𝑔𝑘 𝑘
𝑉𝑀 = =
𝑁
∑𝑘=1 𝐺𝑘 1
∑𝑁
𝑘=1 𝑅
𝑘

Le dénominateur de l’équation ci-dessous reste inchangé malgré la présence de

générateurs de courant
2.2 Principe de superposition
Soit le circuit ci-dessous :

𝑅3
𝐸2, 𝑟2,

𝑅4
𝐸1 ,𝑟1

Fig. 2.2: Illustration du théorème de superstition

Quand un réseau linéaire comporte plusieurs générateurs, l’intensité du courant dans
une branche de ce réseau est égale à la somme (algébrique) des intensités des
courants créés par chacun des générateurs dans cette branche, les autres générateurs
étant remplacés par leur résistance interne.
En d’autres termes, La tension entre deux points d'un circuit électrique linéaire
comportant plusieurs sources d'énergie est égale à la somme des tensions obtenues
entre ces deux points lorsque chaque source agit seule.
Soit le circuit ci-dessous :
 𝑅3
𝑅1 𝑅2
𝑈0

𝐸2
𝐸1

Fig. 2.3: illustration de la méthode d’extinction des sources

La méthode consiste à ne faire agir qu'une seule source à la fois.
Dans un premier temps on prendra 𝐸2 = 0 et on calculera 𝑈01 (source 𝐸1 agissant
seule). Dans un deuxième temps on prendra 𝐸1 = 0 et on calculera 𝑈02 (source 𝐸2
agissant seule).

2 3 a
𝑅2
𝑅1
5Ω 8Ω
𝑉𝑎𝑏 = 3𝑉

+ 𝑉3

10𝑉 12𝑉 + b

Fig. 2.4: Extinction des sources

𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 10 0
𝑅 𝑅2 𝑅3 + + −12 240
𝑉𝑎𝑏 = 1 = 5 8 3 = ≈ −3𝑉
1 + 1 + 1 1+ 1 + 1 19
𝑅1 𝑅2 𝑅3 5 8 3
Le signe négatif signifie que la tension au point a est négative pas rapport à la masse
commune.
 𝑅1 𝑅3

𝑅2 V
𝑅4
𝑉2

𝐸1 𝐸2

𝐸1 + 𝐸2 𝑉1 + 𝑉2
𝑅 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅4 𝑅 𝑅3
𝑉= 1 ≡ 2
1 + 1 1 + 1
𝑅1 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅4 𝑅1 𝑅3

𝑅2 𝑅2
𝑅1 𝑅1

𝑈01 𝑈02
𝐸2 𝐸2
=0 𝐸1 = 0
𝐸1

(a)
(b)

De la figure (a), on a :
𝑅2
𝑈01 = 𝐸1 .
𝑅1 + 𝑅2
De la figure (b), on a :
 𝑅1
𝑈02 = 𝐸2
𝑅1 + 𝑅2
La tension 𝑈0 peut être exprimée : 𝑈0 = 𝑈01 + 𝑈02

2.3 Théorèmes de Thevenin et de Norton

2.3.1 Théorème de Thevenin
Le théorème de Thevenin permet de transformer un circuit de plusieurs mailles de
plusieurs sources de tension et de plusieurs sources de courant en un circuit à une
maille constituée d’une résistance équivalente (𝑅𝑡ℎ résistance de Thevenin), d’une
source de tension équivalente (𝑉𝑡ℎ tension de Thevenin).

A
CIRCUIT
B

𝑅𝑇ℎ I
A
𝑈𝑇ℎ
U
B

Fig. 2.5: Illustration du théorème de Thevenin

Les deux paramètres à calculer sont la tension de Thevenin et la résistance de
Thevenin
Principe de calcul de la tension de Thevenin
Pour calculer la tension de Thevenin d’un circuit, on retire mentalement la résistance
de charge et on calcule la tension aux bornes de la résistance de charge 𝑅𝐿 .
Au laboratoire, dans le cas d’un montage, il suffit de retirer la résistance de charge
𝑅𝐿 et de placer un voltmètre en lieu et place de 𝑅𝐿 . On mesure ainsi la tension de
Thevenin qui correspond à la tension à vide du montage. Dans tous les cas, on doit
veiller à ce que la valeur de 𝑅𝐿 soit tres inferieure a l’impédance d’entrée du
voltmètre (L’impédance d’entrée d’un voltmètre est de l’ordre du MΩ)
Principe de calcul de la résistance de Thevenin
Les étapes suivantes doivent être effectuées dans le calcul de la résistance de
Thevenin. Il s’agira de retirer notamment :
 Les sources de courant et les remplacer par des circuits ouverts ;
 Les sources de tension et les remplacer par des courts-circuits ;
 La résistance de charge 𝑅𝐿
La résistance de Thevenin (𝑅𝑡ℎ ) est la resistance équivalente du circuit donné.
Dans le cas d’un montage au Laboratoire, cette résistance est mesurée à l’aide d’un
ohm-mètre vue par la résistance de charge 𝑅𝐿
2.3.2 Théorème de Norton
Théorème de Norton : il est possible de remplacer un morceau de circuit linéaire
complexe par un dipôle comprenant un générateur de courant idéal et une résistance
en parallèle tel que montre sur la figure ci-dessous :

𝐼𝑁 A
Circuit A
𝑅𝑁
8Complex
e B B
Fig.2.6: Illustration du Théorème de Norton
Le théorème de Norton est le dual du théorème de Thévenin : il permet de trouver le
générateur de courant réel équivalent à une portion de circuit linéaire contenant des
sources et des résistances. Il est ainsi libelle : « Tout circuit linéaire est équivalent à
un générateur réel de courant tel que : 𝐼𝑁 est le courant de court-circuit ».
Pour trouver 𝐼𝑁 , on branche un fil entre A et B tel que montre sur la figure ci-dessous
et on calcule l’intensité du courant dans ce fil : cette intensité est égale à 𝐼𝑁 . Pour
cela, on dispose des lois des nœuds, des mailles, diviseur de tension, diviseur de
courant.
 CircuitCom
plexe

Fig. 2.7: Schéma de calcul du courant de Norton

La résistance de Norton est identique à celle de Thevenin. Pour la trouver, on
remplace la source de tension de Thevenin par une source de courant pure de Norton.
𝑉𝑡ℎ
Cette source de courant délivre un courant I tel que 𝐼 =
𝑅𝑡ℎ

Ce courant I tel que défini ci-dessus est appelé courant de Norton 𝐼𝑁 .

Donc, le théorème de Norton est dérivé du théorème de Thevenin.
2.4 Equivalent Thevenin – Norton
L’équivalence entre Thevenin et Norton résumée dans la figure ci-dessous :

𝑅𝑇ℎ A
A 𝐼𝑁

𝑢 𝑇ℎ 𝑅𝑁
B
B

Fig. 2.8: Equivalence Thevenin – Norton

Vth
De Thevenin a Norton : IN =
Rth

R N = R th
De Norton a Thevenin : Vth = R th . I N

R th = R N
Exemple
On considère le montage du circuit ci-dessous :

2𝑘Ω 1𝑘Ω 1𝑘Ω 500Ω

A

72 𝑉
2𝑘Ω 2𝑘Ω 2𝑘Ω 𝑅𝐿

B
On demande de déterminer l’équivalent de Thevenin aux bornes A et B

Solution

Calculons d’abord la tension de Thevenin.

Le principe veut qu’on retire d’abord la résistance de charge et le circuit devient :

2𝑘Ω 1𝑘Ω 1𝑘Ω 500Ω
A

72 𝑉 2𝑘Ω 2𝑘Ω 2𝑘Ω 𝑉𝑇ℎ

L’impédance du voltmètre est grande devant les 500 Ω. Ainsi le circuit devient

2𝑘Ω 1𝑘Ω 1𝑘Ω 500Ω

A

72 𝑉 2𝑘Ω 2𝑘Ω 2𝑘Ω 𝑉𝑇ℎ

Avant de calculer 𝑉𝑇ℎ , on doit d’abord calculer 𝑈1 et 𝑈2 .

2𝑘Ω 1𝑘Ω 1𝑘Ω 500Ω

A

72 𝑉 2𝑘Ω 𝑈1 2𝑘Ω 𝑈2 2𝑘Ω 𝑉𝑇ℎ

Aucun courant ne traversant pas A et B ; les 2 dernières résistances sont en série (𝑅é𝑞3 =
1 1 −1
3𝑘Ω) et en parallèle avec 2𝑘Ω ⟹ 𝑅é𝑞2 = ( + ) = 1.2 𝑘Ω
2 3

𝑅é𝑞2 est en parallèle avec 1 𝑘Ω et en suite et le tout en parallèle avec 2 𝑘Ω ( une résistance
avant celle de 2 𝑘Ω qui est placée vers la source)
 −1
1 1
𝑅é𝑞1 =( + )
2 1 + 𝑅é𝑞2

1 1 −1
=( + ) = 1.04762 𝑘Ω
2 2.2
Réq1
La tension U1 = x 72
2+Réq1

1.04762
= x 72 = 24.751
2 + 1.04762
Réq2
De même U2 = x U1
1+Réq2

1.2
= x 24.75 = 13.5V
2.2
La tension de Thevenin peut alors être calculée :
2
VTh = U2 x = 9V
1+2
Calcul de résistance de Thevenin
Le principe eut que l’on remplace la source de tension (72V) par un court-circuit et on
retire la résistance de charge 𝑅𝐿 . Le circuit devient :

2𝑘Ω 1𝑘Ω 1𝑘Ω 500Ω

A

72 𝑉 2𝑘Ω 2𝑘Ω 2𝑘Ω

Nous commençons le calcul par les 2 résistances du côté de la source qui a été
court-circuitée (les 2 résistances de 2kΩ sont en parallèle) et en remonte par vers les
bornes A et B en regardant.

La disposition des résistances, série ou parallèle.

La résistance équivalente 𝑅𝑒𝑡ℎ = 𝑅𝑇ℎ = 1.5 𝑘Ω et le circuit équivalent de Thevenin

devient :

𝐴
𝑉𝑇ℎ =9V 𝑅𝑇ℎ =1.5kΩ 𝑅𝐿

𝐵
En ce qui concerne l’équivalent de Norton. Celui-ci peut être déduit comme suit :

𝑅𝑇ℎ = 1.5𝑘Ω A
A 𝐼𝑁
Norton donne
𝑅𝑇ℎ = 1.5𝑘 Ω
𝑉𝑇ℎ = 9𝑣 𝑉𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ B
B
3. Les circuits électriques en régime sinusoïdal
3.1 Le régime sinusoïdal
Le régime sinusoïdal est un cas particulier des régimes variables. Il est
particulièrement important pour deux raisons :
 C’est le régime sous lequel est produite et distribuée l’énergie électrique ;
 Tous les régimes périodiques peuvent être décomposés en somme de régimes
sinusoïdaux. Le théorème de superposition permet d’utiliser les principaux
termes de cette décomposition afin de décomposer l’étude d’un circuit linéaire
alimenté en régime périodique quelconque en somme de circuit alimenté en
régime sinusoïdal.
Un signal sinusoïdal en tension s’écrit sous la forme :
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
Ou :
𝑈𝑚 =amplitude (en V),
𝜔=pulsation (en rad.𝑠 −1 )
𝜑= phase a l’origine (sans unité).
La période T (en s) de ce signal et la fréquence f (en Hz) sont reliées à la pulsation
par :
1 2π
T= =
f ω
Fig. 3.1: Représentation graphique de la fonction sinusoïdale
Ainsi donc, un signal périodique est caractérisé par :
 la période T ;
 la fréquence 𝑓 qui correspond au nombre de périodes par unité de temps
 la pulsation définie par 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋/𝑇
1 𝑇
 la valeur moyenne <𝑢> = ∫0 𝑢(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
 la composante continue (DC=) et composante alternative (AC~). Toute
grandeur périodique a deux composantes : la composante continue, qui est la
valeur moyenne ou « offset », et la composante alternative. La grandeur
périodique pourra être écrite en fonction de ces deux composantes comme
suite :
𝑢(𝑡) =< 𝑢 > +𝑢𝐴𝐶 (𝑡)

Il convient de signaler que :

 la valeur moyenne de la composante alternative d’une grandeur
périodique est nulle : < 𝑢𝐴𝐶 ≥ 0
 la grandeur périodique alternative n’a pas de composante continue : <
𝑢≥0
 la valeur efficace (RMS)
La valeur efficace de la tension par exemple se définie par :
 T
1
Ueff = √< u2 >= √ u2 (t)dt
T 0
La valeur efficace est une grandeur positive. Comme montre ci-dessus, on
définira aussi la valeur efficace en termes des composantes continue et
alternative comme suit :
2 2
Ueff =< u >2 + UAC eff

La valeur efficace d’un courant électrique s’écrit :

Ieff = √< i2 >

Signification physique de la valeur efficace :
Lorsqu’une résistance est parcourue par un courant continu, la puissance électrique
consommée vaut :
U2
P = R. I 2 = (Loi de Joule)
R

La même résistance parcourue par un courant périodique i(t) de valeur efficace

Ieff consomme une puissance moyenne égale a :
P =< R. i2 >= R < i2 >
2 U2eff
=R. Ieff =
R

On remarquera que pour obtenir les mêmes effets thermiques, il faut que 𝐼𝑒𝑓𝑓 soit
égal a\ la valeur du courant en régime continu. Cette assertion est aussi valable pour
les tensions
La puissance électrique est une des caractéristiques d’un signal sinusoïdal. En
présence d’un dipôle, la puissance électrique consommée à l’ instant t (ou puissance
instantanée) est définie par :
p(t) = u(t). i(t)
En régime périodique, ce n’est pas p(t) qu’il est intéressant de connaitre mais la
puissance moyenne dans le temps :
T
1
P =< p >=< ui >= u(t). i(t)dt
T 0
Il faudra noter qu’en général, < ui >≠< u > < i >
3.2 Notion d’impédance
Soit une portion de circuit orienté en convention récepteur. En régime sinusoïdal
forcé, on utilise une grandeur homogène à une résistance (exprimée donc en ohm
(Ω) qui est le rapport de la tension complexe par l’intensité complexe :
u̅
Z̅ =
i̅
Cette grandeur est appelée Impédance complexe de la portion de circuit
On pourra également définir la grandeur inverse, qui sera appelée l’admittance
complexe :
1 i̅
̅
Y= =
Z̅ u̅
Elle sera homogène à une conductance (exprimée en Siemens (S)).
3.2.1 Conducteur Ohmique
En se référant à l’expression de l’impédance ci-dessus, l’impédance pour un
conducteur ohmique vaut :

u̅ Ri̅
Z̅ = = =R
i̅ i̅
3.2.2 Condensateur
En procédant de la même manière que le conducteur ohmique et avec un courant
traversant le condensateur, on a :
u̅ u̅ u̅ 1
Z̅ = = = =
i̅ ̅du
̅̅̅ jCωu̅ jCω
C
dt
A travers l’expression de l’impédance ci-dessus, nous pouvons conclure que celle-
ci nous permet de définir le comportement du condensateur à basses et hautes
fréquences comme suit :
  En basses fréquences (𝜔 → 0), l’impédance du condensateur tend vers
l’infini, celle-ci étant homogène à une résistance, on peut dire que le
condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
 En hautes fréquences (𝜔 → ∞), l’impédance du condensateur tend vers zéro,
on peut dire que le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé.
3.2.3 Bobine
Le même raisonnement que ci-dessus est applique ici mais avec un courant
traversant une bobine. On a :
̅
di
u̅ L dt jLi̅
Z̅ = = = = jLω
i̅ i̅ i̅
L’impédance trouvée permet de définir le comportement de la bobine a basses et
hautes fréquences :
 En basses fréquences (𝜔 → 0), l’impédance de la bobine tend vers zéro, celle-
ci étant homogène à une résistance, on peut dire que la bobine se comporte
comme un interrupteur fermé.
 En hautes fréquences (𝜔 → ∞), l’impédance de la bobine tend vers l’infini,
on peut dire que la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert.
Le tableau ci-dessous résume les valeurs des impédances des dipôles
Tableau 3.1 : Impédances des dipôles
Dipôles 𝑍̅ 𝑌̅
Résistances R R G
Inductances L 𝑗𝐿𝜔 −𝑗/𝐿𝜔
Condensateurs C −𝑗/𝐶𝜔 𝑗𝐶𝜔

3.3 Modèle complexe d’un circuit en régime sinusoïdal

Pour bien comprendre ce modèle, un rappel d’un outil mathématique s’avère
indispensable.
3.3.1 Rappels sur les nombres complexes
La lettre i étant déjà utilisée pour designer l’intensité du courant électrique, en
sciences physiques, on utilise généralement 𝑗 2 = −1
Soit z un nombre complexe, on peut l’écrire sous trois formes équivalentes :
 Forme rectangulaire : 𝑍 = 𝑥 + 𝑗𝑦
 Forme polaire : 𝑍 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜑)
 Forme exponentielle : 𝑍 = 𝑟𝑒 𝑗𝜑
Ou 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 représente le module, et
𝑦
𝑡𝑎𝑛𝜑 = : La phase ou argument
𝑥
En comparant l’expression de la forme rectangulaire à celle de la forme
polaire, on en déduit les expressions suivantes :
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
La représentation d’un nombre complexe peut être schématisée sur le graphique ci-
dessous

Fig. 3.2: représentation graphique d’un nombre complexe

3.3.2 Représentation complexe d’une tension ou d’une intensité périodique
Soit un signal donne par cette forme : 𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
En se référant à la représentation d’un nombre complexe décrite a la section 3.3.1
ci-dessus, on peut écrire que 𝑢(𝑡) = 𝑅𝑒(𝑈𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑) )
En associant à la tension u(t) un nombre complexe 𝑈 appelé amplitude complexe (en
Anglais : phasor), on a 𝑈 = 𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜑 . Donc la tension 𝑢(𝑡) pourra alors s’écrire :
𝑢(𝑡) = 𝑅𝑒(𝑈𝑒 𝑗𝜔𝑡 )
Donc :
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) : Représentation temporelle de u(t)
𝑈 = 𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜑 : Représentation complexe de u(t)

Fig. 3.3: Diagramme de Fresnel

L’amplitude complexe 𝑈𝑚 𝑒 𝑗𝜑 est une grandeur pertinente à déterminer dans un
régime sinusoïdal et contient une amplitude (une norme) et une phase (direction) et
donc se comporte comme un vecteur.
Il a été établi que dans un régime sinusoïdal force, toutes les grandeurs électriques
oscillent à la même pulsation 𝜔 en régime permanent et l’amplitude et la phase sont
toujours propres à chaque grandeur.
On peut donc représenter une amplitude complexe par un vecteur dans un
diagramme dit de Fresnel (figure ci-dessus). Sur ce dernier, l’amplitude complexe
𝑈 est une « photo » à l’instant t = 0 du nombre complexe 𝑈𝑒 𝑗𝜔𝑡 , dont la partie
réelle correspond à u (t). Ainsi, dans le plan complexe, 𝑈𝑒 𝑗𝜔𝑡 à un mouvement de
rotation à la vitesse angulaire ω dans le sens trigonométrique.
Les relations en termes de l’intensité du courant peuvent être obtenues en suivant le
même processus que celui qui a été fait pour la tension ci-dessus
3.4 Lois et théorèmes de l’électricité en régime sinusoïdal
Les lois et théorèmes que nous avons rencontrés au chapitre 2 sont valables en
notation complexe :
3.4.1 Loi des nœuds de Kirchhoff
La somme algébrique des courants dans un nœud égale à
zéro
∑𝑛 𝜀𝑛 𝐼𝑛 = 0 avec {𝜀𝑛 = +1 si 𝐼𝑛 arrive au nœud

{𝜀𝑛 = −1 si 𝐼𝑛 repart du nœud

Dans l’exemple suivant ou les courants entrent et sortent du nœud ;

Fig. 3.4 : représentation de la loi des noeuds

𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 − 𝐼4 = 0

Si la forme du courant est telle que 𝑖1 = 𝐼𝑚1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1 ) …,

𝐼𝑚1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1 ) … − 𝐼𝑚4 cos(𝜔𝑡 + 𝜑4 ) = 0 si et seulement si :
𝑅𝑒(𝐼𝑚1 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑1) … − 𝐼𝑚4 𝑒 𝑗(𝜑𝑡+𝜑4) ) = 0
↔ 𝑅𝑒([𝐼1 … − 𝐼4 ]𝑒 𝑗𝜑𝑡 )=0

𝐼1 … − 𝐼4 = 0

3.4.2 Loi des mailles de Kirchhoff

La somme algébrique des tensions des branches d’une maille égale à zéro
∑𝑛 𝜀𝑛 𝑈𝑛 = 0 avec 𝜀𝑛 = +1 si 𝑈𝑛 oriente dans le sens de la maille

𝜀𝑛 = −1 si 𝑈𝑛 oriente dans le sens contraire de la maille

Dans l’exemple de la figure ci-dessous :

Fig. 3.5 : Représentation de la loi des mailles

On a : −𝑈1 − 𝑈2 − 𝑈4 + 𝑈3 = 0

Pour la démonstration, celle utilisée pour la loi des nœuds s’applique aussi ici
3.4.3 Association d’impédances complexes
a) Association en série d’impédance
Les impédances en série sont en relation avec le pont diviseur de tension.
Soit le schéma de la figure ci-dessous :
Fig. 3.6: Impédances en série

On a 𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 = 𝑍1 𝐼 + 𝑍2 𝐼 = (𝑍1 + 𝑍2 ) 𝐼 = 𝑍𝑒𝑞 𝐼

En généralisant l’expression ci-dessus, on obtient l’expression suivante :

𝑁

𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 + 𝑍2 + ⋯ + 𝑍𝑁 = ∑ 𝑍𝑛
𝑛=1

Le rapport des tensions des impédances dans le cas des impédances en série donne :
𝑈1 𝑍1 𝐼
=
𝑈 (𝑍1 + 𝑍2 )𝐼

Ces expressions permettent de calculer des tensions sans passer par les intensités :
c’est le pont diviseur de tension et on en déduit les expressions suivantes concernant
le pont diviseur des tensions:
Z1
U1 = U
Z1 + Z2
Z2
U2 = U
Z1 + Z2

On peut aussi généraliser dans le cas où on a plusieurs impédances en série :

Zn
Un = U
Z1 + Z2 + ⋯ + Zn

b) Association en parallèle d’impédances

Les impédances en parallèle sont en relation avec le pont diviseur de courant.
Soit le schéma de la figure ci-dessous :
Fig. 3.7: Impédances en parallèle
On a :

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 = 𝑌1 𝑈 + 𝑌2 𝑈 = (𝑌1 + 𝑌2 ) 𝑈 = 𝑌𝑒𝑞 𝑈

En généralisant l’expression ci-dessus, on obtient l’expression suivante :

𝑁

𝑌𝑒𝑞 = 𝑌1 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌𝑁 = ∑ 𝑌𝑛
𝑛=1
𝑁
1 1 1 1 1
= + + ⋯+ =∑
𝑍𝑒𝑞 𝑍1 𝑍2 𝑍𝑁 𝑍𝑛
𝑛=1

On peut aussi écrire :

𝑍1 . 𝑍2
𝑍𝑒𝑞 =
𝑍1 + 𝑍2

Comme dans le cas des impédances en série ci-dessus, on arrive aussi à déterminer
des expressions liées au diviseur de courant pour les impédances en parallèle comme
suit :
𝐼1 𝑌1 𝑈
=
𝐼 (𝑌1 + 𝑌2 )𝑈

Le pont diviseur de courant aura des expresions suivantes de courants respectifs :

𝑌1 𝑍2
𝐼1 = 𝐼= 𝐼
𝑌1 + 𝑌2 𝑍1 + 𝑍2
 𝑌2 𝑍1
𝐼2 = 𝐼= 𝐼
𝑌1 + 𝑌2 𝑍1 + 𝑍2

Il est possible aussi de généraliser le pont diviseur de courant dans le cas où on a

plusieurs impédances en parallèle et on aura :
𝑌𝑛
𝐼𝑛 = 𝐼
𝑌1 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌𝑁
4. Les circuits électriques en régime transitoire
4.1 Régime variable et régime transitoire
Lorsqu’on ferme un circuit pour le mettre en fonction, les courants et les tensions
mettent un certain temps à s’établir. C’est le régime transitoire. Les composants dont
le temps dépend sont le condensateur et l’inductance. Le régime transitoire est très
important pour les raisons entre autres :
 filtrage; lissage du courant et de la tension après redressement; stockage
momentané d’énergie; découplage; déphasage entre la tension et le courant;
temporisateurs, oscillateurs.
 effets indésirables: p.ex, le démarrage ou l’arrêt d’un moteur d’asservissement
doit être le plus bref possible pour une meilleure précision.
 Pour diverses raisons techniques et/ou économiques, il peut être nécessaire de
connaître ce temps ou du moins d’avoir un ordre de grandeur.
4.1.1 Propriétés fondamentales du condensateur
𝑑𝑢
Soit un condensateur dont l’équation fondamentale est 𝑖 = 𝐶. . Ses propriétés
𝑑𝑡
varient selon que l’on est dans tel ou tel régime :
Régime continu établi :
Les grandeurs électriques sont constantes. 𝑢 = 𝑐𝑠𝑡𝑒. De son équation du courant, on
𝑑𝑢
a: = 0, et donc 𝑖 = 0.
𝑑𝑡

En régime continu établi la capacité se comporte comme un circuit ouvert

En régime périodique établi :
Les grandeurs électriques reprennent périodiquement la même valeur. Conséquence:
en régime périodique établi, la valeur moyenne du courant dans une capacité est
nulle
Régime quelconque :
En régime quelconque, il y a lieu de noter :
 La tension aux bornes d’une capacité d’une façon générale ne peut pas subir
de discontinuité: 𝑢(𝑡0+ ) = 𝑢(𝑡0− ), quel que soit 𝑡0
 la capacité s’oppose aux variations de la tension à ses bornes et ce d’autant
plus que:
  la capacité C est grande;
 le courant dans la capacité est faible.
4.1.2 Propriétés fondamentales d’une inductance
𝑑𝑖
Soit une inductance dont l’équation fondamentale est 𝑢 = 𝐿. . Ses propriétés
𝑑𝑡
varient selon que l’on est dans tel ou tel régime :
Régime continu établi :
Les grandeurs électriques sont constantes. 𝑖 = 𝑐𝑠𝑡𝑒. De son équation de la tension,
𝑑𝑖
on a : = 0, et donc 𝑢 = 0.
𝑑𝑡

En régime continu établi l’inductance se comporte comme un court-circuit

En régime périodique établi :
Les grandeurs électriques reprennent périodiquement la même valeur. Conséquence:
en régime périodique établi, la valeur moyenne de la tension aux bornes d’une
inductance est nulle
Régime quelconque :
En régime quelconque, il y a lieu de noter :
 Le courant dans une inductance ne peut pas subir de discontinuité: 𝑖 (𝑡0+ ) =
𝑖(𝑡0− ), quel que soit 𝑡0
 L’inductance s’oppose aux variations du courant qui la traverse, et ce d’autant
plus que:
 L’inductance L est grande;
 La tension aux bornes de l’inductance est plus faible.

4.2 Mise en équation des régimes transitoires

La loi des mailles et la loi des nœuds telles que décrites dans les chapitres précédents
sont applicables aux expressions instantanées des courants et des tensions.
Dans cette section du cours, on se limite à l'étude des circuits ne comportant que des
dipôles linéaires : résistances R, inductances pures L, condensateurs C et
générateurs parfaits. Les équations caractéristiques de ces dipôles sont rappelées ci-
dessous :
Résistance 𝑢 = 𝑅. 𝑖 : (3.1)
𝑑𝑢
Condensateur : 𝑖 = 𝐶. (3.2)
𝑑𝑡
𝑑𝑖
Inductance : 𝑢 = 𝐿. (3.3)
𝑑𝑡

Sources de tension : 𝑢 = 𝐸 quel que soit 𝑖 (3.4)

Ces équations de courant et de tension de dipôles ci-dessus seront bien utilisées dans
les sections 4.3 et 4.4 ci-dessous
4.3 Equations différentielles du premier ordre
4.3.1 Circuit RC
Considérons le schéma de la figure ci-dessous :

Fig. 4.1: Charge d’un condensateur à travers une résistance

L’opération de modification de la charge d’un condensateur à travers une résistance
va passer par trois étapes suivantes :
a) Etat initial (t<0)
L’interrupteur K ouvert impose i = 0, donc la tension 𝑢𝑐 aux bornes du condensateur
𝑈𝑐𝑜 est constante et la tension 𝑢𝑅 aux bornes de la résistance est nulle.
La tension 𝑢𝐾 aux bornes de l'interrupteur vaut donc :
𝑢𝐾 = 𝐸 − 𝑈𝑐0 (3.5)
A t = 0, on ferme l'interrupteur 𝐾 (rien n'oblige à poser comme origine des temps
l'instant de la fermeture de 𝐾, mais c'est plus pratique).
b) Etat a 𝒕 = 𝟎+
C'est l'instant qui suit la fermeture de 𝐾 L'interrupteur étant fermé, on a 𝑢𝐾 = 0. En
appliquant la loi des mailles au schéma de la figure ci-dessus, on a :
𝐸 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐾 + 𝑢𝑐 (3.6)
La tension aux bornes du condensateur ne pouvant varier instantanément, elle vaut
toujours 𝑈𝑐0 . On obtient alors :
𝑢𝑅0+ = 𝐸 − 𝑈𝑐𝑜 (3.7)

On peut calculer le courant traversant la résistance au même temps et on a :

𝐸−𝑈𝑐0
𝑖0 + = (3.8)
𝑅

Le circuit subit une brusque discontinuité de courant qui impose un début de

variation pour la tension 𝑢𝑐 avec un coefficient directeur à l'origine qui vaut :
𝑑𝑢𝑐 𝐸−𝑈𝑐0
( ) = (3.9)
𝑑𝑡 0+ 𝑅𝐶

c) A t quelconque
En combinant les équations (3.1), (3.2) et (3.6). On obtient l’équation de la force
électromotrice E :
𝑑𝑢𝑐
𝐸 = 𝑅. 𝐶 + 𝑢𝐶 (3.10)
𝑑𝑡

Le produit RC, homogène à une durée est appelé constante de temps du circuit.
La solution d’une telle équation différentielle du premier degré est la somme de deux
termes : la solution du régime forcé et la solution du régime libre. Le régime forcé
ou final, dans ce cas, correspond au moment où l’on a atteint le régime continu.
Tandis que le régime libre est régit par l’équation différentielle homogène type égale
à zéro.
Pour bien expliciter la méthode mathématique, utilisons un exemple de résolution et
après on reviendra sur la résolution de l’équation différentielle du circuit RC ci-
dessous.
Rappel mathématique de la résolution de l’équation différentielle de 1er ordre ;
Soit l’équation suivante :
𝑑𝑥
𝜏 +𝑥 =𝐴
𝑑𝑡
a) Régime forcé
Le régime force doit correspondre au moment où l’on atteint le régime continu et la
grandeur x est alors continue, égale a 𝑋𝑡 et sa dérivée est nulle
La solution du régime force est donc :
𝑋𝑡 = 𝐴
Le régime libre est régit par l'équation différentielle :
𝑑𝑥𝑡
𝜏 + 𝑥𝑡 = 0
𝑑𝑡
Pour resoudre cette equation, on commence par separer les variables 𝑥𝑡 et t:
𝜏. 𝑑𝑥𝑡 = −𝑥𝑡 . 𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑡
=−
𝑥𝑡 𝜏
On intègre ensuite les deux membres de cette équation
𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑡 1
=− =− 𝑑𝑡
𝑥𝑡 𝜏 𝜏
𝑡
𝑙𝑛𝑥𝑡 = − + 𝐶𝑡𝑒
𝜏
Si A=B alorsexp(𝐴) = exp(𝐵), donc la solution du régime libre est :
𝑡 𝑡
𝑥𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 (− + 𝑐𝑡𝑒) = 𝐾. 𝑒𝑥𝑝 (− )
𝜏 𝜏
Pour obtenir la solution complète x, on additionne les solutions 𝑥𝑡 et 𝑋𝑡 :
𝑡
𝑥 = 𝐾. 𝑒𝑥𝑝 (− ) + 𝐴
𝜏
K est une constante d'intégration que l'on détermine avec la solution complète et la
condition initiale c'est à dire la valeur 𝑋0+ prise par x à l'instant t = 0+ :
0
𝑋0+ = 𝐾. 𝑒𝑥𝑝 (− ) + 𝐴 = 𝐾 + 𝐴
𝜏
𝐾 = 𝑋 0+ − 𝐴
La solution générale est donc :
𝑡
𝑥 = (𝑋0+ − 𝐴)𝑒𝑥𝑝 (− ) + 𝐴
𝜏
Revenons à l’équation différentielle du circuit RC ci-dessus
En considérant que :
𝑈𝑐0+ = 𝑈𝑐0
𝑈𝑐𝑟 = 𝐸
𝜏 = 𝑅𝐶
On en déduit :
1
𝑢𝐶 = (𝑈𝑐0 − 𝐸 )𝑒𝑥𝑝 (− )+𝐸
𝑅𝐶
Importantes remarques :
 Plus le produit RC est grand plus les variations de 𝑢𝐶 s'effectuerons lentement.
 Si le générateur de tension continue est remplacé par une source de tension
périodique 𝑒(𝑡), de période T et de valeur moyenne𝐸𝑚𝑜𝑦 , la tension qui
s'établira aux bornes du condensateur sera d'autant plus proche de 𝐸𝑚𝑜𝑦 que
τ sera supérieure à T
4.3.2 Circuit inductif RL
Considérons le schéma de la figure ci-dessous :

Fig. 4.2: Circuit inductif RL

Nous procédons de la même manière qu’a la section précédente avec les trois étapes :
a) A l’instant t<0
𝑢𝐾 = 𝐸 et 𝑢𝐿 = 𝑢𝐸 = 𝑖 = 0
b) A l’instant 𝒕 = 𝟎+
Il ne peut pas y avoir de discontinuité pour l'intensité traversant l'inductance L :
𝑢𝑅 = 𝑖 = 0, de plus 𝑢𝐾 = 0 donc on a : 𝑢𝐿 = 𝐸 (brusque discontinuité de la tension
aux bornes de l’inductance)
c) A l’instant t>0, l’application de la loi des mailles donne :
𝑢𝐿 + 𝑢𝑅 = 𝐸
Le développement de l’équation ci-dessus donne :
𝐿 𝑑𝑖 𝐸
. +𝑖 =
𝑅 𝑑𝑡 𝑅
Pour résoudre cette équation différentielle, nous procédons comme dans le
paragraphe précèdent.
La solution de cette équation différentielle est alors :

𝐸 1 𝐸 𝐸 1
𝑖=− 𝑒𝑥𝑝 ( ) + = (1 − 𝑒𝑥𝑝 (− ))
𝑅 𝐿 𝑅 𝑅 𝜏
𝑅
𝐿
Avec 𝜏 = , constante de temps du circuit
𝑅

Avec ce circuit, nous tirons les importantes remarques que voici

 La résistance à prendre en compte est la résistance totale de la maille : à la
résistance du circuit on doit éventuellement ajouter la résistance de la bobine
et la résistance interne du générateur.
 L'ouverture de l'interrupteur lorsque le courant est établi est contraire au
principe qui interdit la mise en série de deux sources de courant imposant des
courants d'intensités différentes. Cette ouverture produit une étincelle de
rupture aux bornes de l'interrupteur.
4.4 Equations différentielles de deuxième ordre
4.4.1 Circuit R-L-C
Soit le circuit de la figure ci-dessous :
Fig. 4.3: Régime transitoire du circuit RLC
L’équation de l’unique maille donne :
𝑢𝐸 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝐶
Cette équation devient après avoir substitué chaque élément par son équation
caractéristique :
𝑑𝑖
𝐿. + 𝑅. 𝑖 + 𝑢𝐶 = 𝑢𝐸
𝑑𝑡
Avec l’équation caractéristique du courant traversant la capacité, l’équation ci-
dessous devient :
𝑑 2 𝑢𝑐 𝑑𝑢𝑐
𝐿𝐶 + 𝑅𝐶 + 𝑢𝐶 = 𝑢𝐸
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
L’expression peut être transformée en équation ci-dessous :
𝑑2 𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑢𝐸
𝐿𝐶 2 + 𝑅𝐶 + 𝑖 = 𝐶
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Comme on peut le constater, l’équation ci-dessus est celle du second ordre d’où
l’appellation du régime transitoire du second ordre
La solution de cette équation différentielle de deuxième ordre suit le même principe
que celui vu précédemment
Solution du régime libre
𝑑𝑢𝐸
On pose 𝑢𝐸 = 0 = 𝐶𝑡𝑒, donc =0
𝑑𝑡

Nous résolvons l’équation différentielle suivante :

 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
𝐿𝐶 2 + 𝑅𝐶 +𝑥 =0
𝑑𝑡 𝑑𝑡
La forme finale de cette équation est :
𝑑2 𝑥 𝑅 𝑑𝑥 1
+ + 𝑥=0
𝑑𝑡 2 𝐿 𝑑𝑡 𝐿𝐶
Avant de passer à la solution générale de cette équation différentielle, il est important
de rappeler les notations usuelles suivantes :
1 1
 𝜔0 : pulsation propre en rad/s telle que = 𝜔02 , ce qui donne : 𝐿𝜔0 =
𝐿𝐶 𝐶𝜔0
𝐿
 𝜏 : temps de relaxation en seconde : 𝜏 =
𝑅
𝐿
 𝑅𝑐 : résistance critique en Ohm : 𝑅𝑐 = 2√
𝐶
𝑅 𝑅
 𝜎 : coefficient d’amortissement sans unité : 𝜎 = =
2𝐿𝜔0 𝑅𝑐
1 𝐿𝜔0 1
 𝑄 : facteur de qualité : 𝑄 = = =
2𝜎 𝑅 𝑅𝐶𝜔0

Ces notations étant définies, l’équation à résoudre devient :

1 𝑑2 𝑥 1 𝑑𝑥
+ +𝑥 =0
𝜔02 𝑑𝑡 2 𝑄𝜔0 𝑑𝑡
Finalement, on obtient :
1 𝑑2 𝑥 2𝜎 𝑑𝑥
+ +𝑥 =0
𝜔02 𝑑𝑡 2 𝜔0 𝑑𝑡
Solution de l’équation
Nous utilisons les notions de mathématiques sur la résolution des équations
différentielles pour trouver la solution générale de l’équation présentement en étude.
L’équation étant différentielle de second ordre, le discriminant de l’équation
caractéristique est égal a :
𝑅 2 4
( ) −
𝐿 𝐿𝐶
Il est nul lorsque la résistance de la maille est égale à la résistance critique Rc.
Il y a lieu de différencier 3 régimes distincts selon la valeur de R, la résistance totale
de la maille :
1) 𝑅 < 𝑅𝑐 (ou 𝜎 > 1)
Les racines sont réelles, et 𝑢𝐶 ne subit aucune oscillation, ce régime est dit
apériodique.
2) 𝑅 > 𝑅𝑐 ou (𝜎 < 1)
Les racines sont complexes, et 𝑢𝐶 subit des oscillations, ce régime est dit
pseudopériodique.
La période de ces oscillations vaut :
2𝜋 2𝜋
𝑇= =
𝜔 𝜔0 √1 − 𝜎 2
Lorsque le facteur de qualité est supérieur à 2, (𝜎 < 0.25), cette pseudo-période est
proche de celle qui correspond au régime oscillant non amorti, soit :

𝑇 = 2𝜋√𝐿𝐶
3) 𝑅 = 𝑅𝑐 (𝜎 = 1), le régime est dit critique
Dans ce cas d’espèce, la tension aux bornes du condensateur ne subit aucun
dépassement et qu’elle s’annule très rapidement
Solution complète
L’hypothèse de base ici est celle où l’on considère que 𝑢𝐸 est égal a une constante
La solution particulière s'obtient, comme pour le premier ordre, en cherchant le
régime final (ou régime établi). On additionne à ce résultat la solution de l'équation
sans second membre, puis on détermine les constantes à l'aide des conditions
initiales.
5. Puissance et énergie électriques
5.1 Définitions
En physique, une puissance représente une quantité d’énergie par unité de temps.
Son unité est le Watt (1 W = 1 J/s). En règle générale, la puissance qui motive les
systèmes de conversion d’énergie est la puissance moyenne des systèmes, on
l’appelle aussi puissance active. Le concept de puissance est un outil indispensable
en électrotechnique, il permet d’ailleurs souvent d’avoir une vision globale des
systèmes et de résoudre facilement certains problèmes par la technique du bilan de
puissances. Outre la définition théorique de la puissance dite active, on retiendra la
formulation pratique qui sera énoncée dans les sections suivantes et faisant
apparaître directement la notion de facteur de puissance.
5.2 Puissance en régime continu
Le régime continu représente le cas le plus simple de calcul de puissance électrique
puisque le facteur de puissance vaut 1. Le seul récepteur passif étant la résistance,
on peut résumer l’expression des puissances en continu aux informations de la figure
ci-dessous :

Fig. 5.1: Puissance reçue par un dipôle

Soit un dipôle D quelconque, traversé par un courant d'intensité i et soumis à la
tension u. Avec la convention dite récepteur (schéma ci-dessus), la puissance reçue
par D s'écrit :
𝑝 = 𝑢. 𝑖
P : puissance reçue en Watts (W)
U : la tension aux bornes du dipôle en Volts (V)
I : l’intensité du courant en Ampères (A)
La puissance est une grandeur algébrique dont le signe dépend de la convention
choisie.
Avec la convention récepteur, le comportement du dipôle est le suivant :
 si p = u.i > 0, alors le dipôle reçoit la puissance (récepteur)
 si p = u.i < 0, alors le dipôle fournit la puissance (générateur).
Puissance dans les résistors linéaires (« résistances »)
Pour une résistance R, la relation entre u et i est 𝑢 = 𝑅. 𝑖.
𝑢2
On a 𝑝 = 𝑢. 𝑖 donc 𝑝 = 𝑅. 𝑖 2 mais aussi 𝑝 =
𝑅

L’énergie électrique
Relation entre puissance et énergie
En régime permanent, si un dipôle D a consommé la puissance constante P pendant
une durée t, alors il a reçu l'énergie W (graphique ci-dessous):
𝑊 = 𝑃. 𝑡
Avec :
W : énergie en Joules (J)
P : puissance en Watts (W)
T : temps en secondes (s)

Fig. 5.2: Représentation graphique de la puissance et de l’énergie

Pour une puissance constante, l'énergie augmente linéairement. L'énergie augmente
avec la puissance mais aussi avec le temps.
Pour les fortes quantités d'énergie, on utilise une autre unité, le Wattheure (W.h):
1 W.h = 3600 J
1 kW.h = 103 W.h = 3,6.106 J.
Expression de l’énergie électrique
En régime permanent, 𝑊 = 𝑃. 𝑡 avec P=U.I donc 𝑊 = 𝑈. 𝐼. 𝑡
Dans le cas général, on définit la quantité d’électricité traversant le dipôle par 𝑄 =
𝐼. 𝑡 avec Q en Coulombs (C)
On en déduit donc :
𝑊 = 𝑄. 𝑈 = 𝑄(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )
De la formule ci-dessous découle la loi suivante : Toute charge électrique Q passant
d’un point A ou le potentiel est 𝑉𝐴 à un point B ou le potentiel est 𝑉𝐵 recoit l’énergie
électrique 𝑊 = 𝑄. 𝑈 = 𝑄(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )
Loi de Joule
Dans le cas d'un résistor linéaire de résistance R, l'énergie reçue et dissipée sous
forme de chaleur 𝑊𝐽 = 𝑈. 𝐼. 𝑡 peut s'écrire en tenant compte de la relation U = RI :
𝑊𝐽 = 𝑅. 𝐼 2 . 𝑡
Avec 𝑊𝐽 WJ en joules (J);
R en ohms (Ω);
I en ampères (A) et
t en secondes (s).
Cette relation traduit la loi de Joule. On dit que l'énergie est dissipée par effet Joule.
Conservation de l’énergie
Principe de conservation de l’énergie
Principe de conservation de l'énergie
L'énergie se trouve sous diverses formes :
 mécanique (moteur, le vent …),
 électrique (turbine génératrice, …),
  chimique (batterie, pile à combustible),
 thermique (résistance chauffante, combustion d'un carburant …),
 rayonnement (soleil, lampe infrarouge …).
L'énergie subit des transformations, par exemple :
 dans un résistor, l'énergie électrique est transformée en énergie thermique,
 dans un moteur, l'énergie électrique est transformée en énergie mécanique.
 dans une batterie, l'énergie chimique se transforme en énergie électrique.
Ainsi donc s’énonce la loi suivante : l’énergie reçue par un système = variation de
son énergie interne + énergie fournie.
L'énergie fournie par un système est composée d'énergie utile et d'énergie perdue.
Transformation de l’énergie dans un résistor
Lorsqu'un résistor reçoit une puissance P = UI constante, sa température augmente
(phase d'échauffement avec augmentation de l'énergie interne), puis se stabilise pour
atteindre une température constante (phase d'équilibre thermique avec énergie
interne constante).
Lorsque la puissance reçue redevient nulle, la température diminue et revient à sa
valeur initiale (diminution de l'énergie interne).
L'évolution de la température est schématisée ci-dessous :

Fig. 5.3: Evolution de la température dans un résistor

Rendement
Bilan des puissances
Un système en équilibre est tel que la puissance absorbée est la somme de la
puissance utile et de la puissance perdue
𝑃𝑎 = 𝑃𝑢 + 𝑃𝑝

𝑃𝑎 : Puissance absorbée
𝑃𝑢 : Puissance utile
𝑃𝑝 : Puissance perdue
Rendement d’un convertisseur
Le rendement d’un système est défini par le rapport :
𝑃𝑢𝑖𝑠𝑠𝑛𝑐𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒 𝑃𝑢
𝛾= = ≤1
𝑃𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑒𝑒 𝑃𝑎
On a aussi :
𝑃𝑢
𝛾=
𝑃𝑢 + 𝑃𝑝

5.3 Puissance en régime sinusoïdal

En régime alternatif sinusoïdal, on s’intéresse toujours à la puissance moyenne
consommée par les récepteurs électriques. On parle, pour la nommer, de puissance
active. Pourtant on distingue plusieurs autres types de puissance électriques, qui
correspondent à des notions liées aux aspects technologiques de la distribution de
l’énergie électrique
On s’intéresse au cas général d’un dipôle sous la tension 𝑢(𝑡) = 𝑈√2. 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 et
parcouru par un courant 𝑖 (𝑡) = 𝐼√2. sin(𝜔𝑡 − 𝜑). On distingue alors les puissances
suivantes :
La puissance instantanée 𝒑(𝒕)
La puissance instantanée est donnée par l’expression suivante :
 𝑝(𝑡) = 𝑢(𝑡). 𝑖(𝑡)
Avec les expressions de courant et de la tension définies ci-dessous, on obtient :

𝑝(𝑡) = 𝑈√2. sin(𝜔𝑡) . 𝐼√2. sin(𝜔𝑡 − 𝜑) = 2𝑈. 𝐼. sin(𝜔𝑡) . sin(𝜔𝑡 − 𝜑)

En trigonométrie, on apprend que :
1
𝑠𝑖𝑛𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = ⌊cos(𝐴 − 𝐵) − sin(𝐴 + 𝐵)⌋,
2

Ou 𝐴 − 𝐵 = (𝜔𝑡) − (𝜔𝑡 + 𝜑) = −𝜑 et
𝐴 + 𝐵 = (𝜔𝑡)
L’expression de la puissance instantanée devient :
𝒑(𝒕) = 𝑼𝑰𝒄𝒐𝒔𝝋 − 𝑼𝑰𝒔𝒊𝒏(𝟐𝝎𝒕 − 𝝋)
La puissance moyenne P
Cette vaut : 𝑷 =< 𝒑(𝒕) ≥ 𝑼𝑰𝒄𝒐𝒔𝝋
Le second terme de p(t) est appelée puissance fluctuante et a une fréquence double
de la fréquence de u et i. elle vaut : 𝐩𝐟 = −𝐔𝐈𝐬𝐢𝐧(𝟐𝛚𝐭 − 𝛗)
On notera ceci :
P>0 : le dipôle reçoit de l’énergie électrique : il est récepteur
P<0 : le dipôle fournit de l’énergie électrique : il est générateur. Il restitue de
l’énergie
Le courant actif Ia et le courant réactif Ir
Considérons un courant i sinusoïdal représenté par le vecteur 𝐼⃗ en deux courants 𝑖𝑎
représenté par ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑎 et 𝑖𝑟 représenté par ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑟 . Ils vérifient 𝐼⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑎 + ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑟

Avec ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑎 en phase avec u et ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑟 en quadrature avec u.

Fig… : Représentation vectorielle des courants

𝑖𝑎 est appelé le courant actif et 𝑖𝑟 est appelé le courant réactif
On peut s’imaginer que le courant i se partage en deux courants 𝑖𝑎 et 𝑖𝑟 pour aller
dans les deux dipôles. Le dipôle traverse par 𝑖𝑎 est un élément résistif car 𝑖𝑎 est en
phase avec u.
De même 𝑖𝑟 est appelé le courant réactif et est en quadrature avec u. le dipole
imaginaire traverse par 𝑖𝑟 est une inductance ou un condensateur
La puissance active P ou puissance moyenne
L’intensité efficace de 𝑖𝑎 vaut 𝐼𝑎 = 𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 donc correspond à la puissance moyenne
𝐏 =< 𝐩(𝐭) ≥ 𝐔𝐈𝐜𝐨𝐬𝛗
Elle correspond a de la chaleur ou de l’énergie mécanique, son unité est le Watt (W)
L’appareil mesurant la puissance active P est le wattmètre
La puissance réactive Q
L’intensité efficace de 𝑖𝑟 le courant réactif vaut 𝐼𝑟 = 𝐼𝑠𝑖𝑛𝜑 donc correspond à une
puissance 𝑄 = 𝑈𝐼𝑠𝑖𝑛𝜑 qu’on appelle comme le courant : puissance réactive.
Elle ne correspond pas à une réalité physique ; elle est utilisée pour facturer des
pertes qui ne sont pas mesurée par P.
Son unité est le volt ampère réactif et son symbole est var en minuscules.
La puissance apparente S
Le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant S = UI ne correspond
qu’à un produit et n’a pas d’autre réalité physique que le produit des mesures de Ueff
et de Ieff . C’est la puissance apparente.
Son unité est le volt ampère et son symbole est VA.
Sa valeur est utilisée dans certains calculs et pour désigner le produit des valeurs
nominales Un et In de générateurs comme le transformateur et l’alternateur où le cos
ϕ, donné par la charge ne peut pas être connu par le fabricant.
Le théorème de Boucherot
La puissance active totale 𝑃𝑡𝑜𝑡 consommée par une installation (ou un circuit ) est
égale à la somme des puissances actives consommées par chaque appareil ( ou par
chaque dipôle du circuit ) : 𝑃𝑡𝑜𝑡 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + ⋯
La puissance réactive totale 𝑄 consommée par une installation (ou un circuit ) est
égale à la somme des puissances réactives consommées par chaque appareil ( ou par
chaque dipôle du circuit ) : 𝑄𝑡𝑜𝑡 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 + ⋯
2 2
Par contre, la puissance apparente vaut alors 𝑆 = √𝑃𝑡𝑜𝑡 + 𝑄𝑡𝑜𝑡
Ce théorème est utilisé en électrotechnique pour déterminer le courant absorbé par
une installation.
Le triangle des puissances
Il est obtenu à partir du triangle des courants actif 𝐼𝑎 = 𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 et réactif 𝐼𝑟 = 𝐼𝑠𝑖𝑛𝜑.
En multipliant chaque vecteur par U on trouve les trois puissances P, Q et S.

Fig… : Triangle des puissances

Puissances consommées par les dipôles élémentaires en régime sinusoïdal
Les tensions et courants sont les valeurs efficaces des tensions aux bornes des
dipôles désignés et des courants qui les traversent .
La résistance R :
Son impédance est donnée par : 𝑍𝑅 = 𝑅
𝑈𝑅2
R consomme 𝑃𝑅 = 𝑅𝐼𝑅2 =
𝑅

𝑄𝑅 = 0 var
R ne consomme pas de puissance réactive. Mais transforme 𝑃𝑅 en chaleur
L’inductance L
Son impédance est 𝑍𝐿 = 𝑗𝐿𝜔

Une inductance L consomme 𝑃𝐿 = 0 W

𝑈𝐿2
𝑄𝐿 = 𝐿𝜔. 𝐼𝐿2 =
𝐿𝜔
Donc L absorbe uniquement de l’énergie réactive
Le condensateur
𝑖
Son impédance est 𝑍𝐶 =
𝑗𝐶𝜔

Un condensateur C consomme 𝑃𝐶 = 0 W
𝐼𝐶2
𝑄𝐶 = −𝐶𝜔. 𝑈𝐶2 =−
𝐶𝜔
C restitue de l’énergie réactive
𝑷
Le facteur de puissance : 𝒌 = ;
𝑺

Le facteur de puissance vaut cos𝜑

Comme un condensateur restitue de l’énergie réactive, on utilise un condensateur
𝑃
pour relever le facteur de puissance 𝑘 = d’une installation. Les societes de
𝑆
distribution d’électricité demandent, pour limiter les pertes dans les lignes de
transport de l’énergie électrique du réseau, que 𝜑 ′ < 0.4 . L’entreprise se voit
facturer en plus des kWh, les kvarh excédants, suivant l’abonnement souscrit.
Considérons le circuit ci-dessous :

Fig… : Schéma du calcul de la capacité du condensateur

Le calcul de la capacité C du condensateur branché en parallèle donne :
𝑃(𝑡𝑎𝑛𝜑 − 𝑡𝑎𝑛𝜑 ′ )
𝐶=
𝑈2𝜔
6. Quadripôles et énergie électriques
Le rôle que joue le quadripôle dans les systèmes énergétiques n’est plus a
démontrer : les quadripôles sont présent dans l’analyse de nombreux systemes
spécialement en électronique, automatique et énergétique
6.1 Définitions et conventions
Un quadripôle est un réseau (composant ou ensemble de composants) à deux entrées
et deux sorties qui permet le transfert d’énergie entre dipôles.
Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature différente
(tension, courant, puissance).
Par convention, on donne le sens positif aux courants qui pénètrent dans le
quadripôle.
6.2 Modèles associes aux quadripôles
Le modèle associe aux quadripôles est tel que représenté ci-dessous

Fig… : Représentation d’un quadripôle

𝐼1 : Courant d’entrée
𝐼2 : Courant de sortie
𝑉1 : Courant d’entrée
𝑉2 : Tension de sortie
D’une manière générale, un quadripôle est défini par deux équations caractéristiques
qui dérivent complètement son fonctionnement.
f (I , I , V , V ) = 0
{ 1 2 1 3
g(I1 , I2 , V1 , V3 ) = 0
Pour l’étude des quadripôles nous supposons les conditions suivantes :
 Les circuits du quadripôle sont linéaires
 Les conditions initiales aux bornes des capacités et des inductances sont nulles
  Les circuits internes du quadripôle ne comportent que des sources
linéairement indépendantes.
L’avantage de la théorie qui va suivre est qu’on va poser les problèmes sous forme
matricielle facile à résoudre numériquement.
La représentation matricielle a pour principal intérêt de simplifier considérablement
les problèmes.
6.3 Impédances d’entrée et de sortie
Pour les quadripôles ne contenant que des dipôles linéaires et des sources
linéairement dépendantes, les quatre grandeurs fondamentales V1 , V2 , I1 , I2 sont liées
par des équations linéaires. Plusieurs représentations matricielles sont possibles et le
choix de l’une d’elle dépend du problème étudié.
Considérons un quadripôle ci-dessous en impédances
Schémas ici…..
On exprime les tensions en fonction des courants. Les éléments de la matrice ont la
dimension d’impédance.
V1 = Z11 I11 + Z12 I2
{
V2 = Z21 I1 + Z22 I2
En notation matricielle, on a :
V Z Z12 I1
[ 1 ] = [ 11 ][ ]
V2 Z21 Z22 I2
V1
Z11 = | I2 = 0 : Impédance d’entrée du quadripôle en laissant la sortie en circuit
V2
ouvert (I2 = 0)
𝑉1
𝑍12 = | 𝐼1 = 0 : Impédance de transfert inverse du quadripôle obtenue avec
𝐼2
l’entrée du quadripôle en circuit ouvert
𝑉2
𝑍21 = | 𝐼2 = 0: Impédance de transfert (direct) du quadripôle obtenue avec la
𝐼1
sortie du quadripôle en circuit ouvert
𝑉2
𝑍22 = | 𝐼1 = 0: Impédance de sortie du quadripôle en laissant l’entrée du
𝐼2
quadripôle en circuit ouvert (𝐼1 = 0)
6.4 Admittances d’entrée et de sortie
Considérons le circuit en admittances de la figure ci-dessous :
Insérer la figure ici
Nous exprimons les courants𝐼1 et 𝐼2 en fonction des tensions 𝑉1 et 𝑉2 . Les éléments
de la matrice sont homogènes à des admittances.
𝐼 = 𝑌11 𝑉1 + 𝑌12 𝑉2
{1
𝐼2 = 𝑌21 𝑉1 + 𝑌22 𝑉2
𝐼 𝑌 𝑌12 𝑉1
[ 1 ] = [ 11 ][ ]
𝐼2 𝑌21 𝑌22 𝑉2
Avec :
𝐼1
𝑌11 = | 𝑉2 = 0: Admittance d’entrée lorsque la sortie du quadripôle en court-
𝑉1
circuit (𝑉2 = 0) :
𝐼1
𝑌12 = | 𝑉1 = 0 : Admittance de transfert inverse lorsque l’entrée du quadripôle est
𝑉2
en court-circuit
𝐼2
𝑌21 = | 𝑉2 = 0 : Admittance de transfert (direct) lorsque la sortie du quadripôle est
𝑉1
en court-circuit ;
𝐼2
𝑌22 = | 𝑉1 = 0 : Admittance de sortie obtenue avec l’entrée du quadripôle court-
𝑉2
circuitée (𝑉1 = 0)
6.5 Matrice de transfert ou matrice de chaine
Considérons le circuit de la figure ci-dessous :
Insérer le circuit ici (I1 et –I2)
On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs d’entrée ou vice versa
V1 = AV2 − BI2
{
I1 = CV2 + DI2
V A B V2
[ 1] = [ ][ ]
I1 C D −I2
Avec :
 V1
A= | I2 = 0 : Rapport de tension avec la sortie du quadripôle en circuit ouvert
V2

V1
B=− | V2 = 0 : Impédance de transfert négative avec la sortie du quadripôle
I2
court-circuitée
I1
C= | V2 = 0 : Admittance de transfert avec la sortie du quadripôle en circuit
V2
ouvert
I
D = − 1| V2 = 0 : Rapport de courant négatif avec la sortie du quadripôle en court-
I2
circuit
On peut aussi avoir :
V = aV1 − bI1
{ 2
I2 = cV1 − dI1
V a b V1
[ 2] = [ ][ ]
I2 c d −I1
V2
a= | I1 = 0 : Gain en tension obtenu avec l’entrée du quadripôle en circuit ouvert
V1

V2
b=− | V1 = 0 : Impédance de transfert négative avec l’entrée du quadripôle
I1
court-circuitée
I2
c= | I1 = 0 : Admittance de transfert avec l’entrée du quadripôle en circuit ouvert
V1

I
d = − 2| V1 = 0 : Gain en courant négatif avec entrée du quadripôle en court-circuit
I1

6.6 Matrice hybride

Considerons le circuit de la figure representee ci-dessous
Inserer la figure ici
Fig… : configuration d’un quadripôle pour la matrice hybride
La représentation de la configuration ci-dessus revêt une importance capitale lors de
l’étude des transistors. En électronique, les tripôles comme le transistor sont
fréquemment transformés en quadripôle en choisissant l’une des bornes comme
référence.
On a les équations suivantes :
V = h11 I1 + h12 V2
{ 1
I2 = h21 I1 + h22 V2
V h h12 I1
[ 1 ] = [ 11 ][ ]
I2 h21 h22 V2
V1
h11 = | V2 = 0 : Impédance d’entrée lorsque la sortie du quadripôle en court-
I1
circuit (V2 = 0)
V1
h12 = | I1 = 0 : Rapport en tension avec l’entrée du quadripôle en circuit ouvert
V2

I
h21 = 2| V2 = 0 : Gain en courant avec la sortie du quadripôle est en court-circuit
I1

I2
h22 = | I1 = 0 : Admittance de sortie avec entrée du quadripôle en court-circuit
V2

On peut aussi avoir :

𝐼 𝑔11 𝑔12 𝑉1
[ 1 ] = [𝑔 𝑔22 ] [ 𝐼2 ]
𝑉2 21

𝐼 = 𝑔11 𝑉1 + 𝑔12 𝐼2
{ 1
𝑉2 = 𝑔21 𝑉1 + 𝑔22 𝐼2
6.7 Schémas équivalents des quadripôles

To fill in here all equivalent circuits

6.8 Associations de quadripôles
Les quadripôles peuvent être associés de diverses manières (en série, en parallèle ou
en cascade). Selon le type d’association nous utilisons à chaque fois la matrice la
plus appropriée
6.8.1 Association en série
Deux quadripôles montés en série peuvent être représentés suivant le schema ci-
dessous :
Inserer le schema des quadripoles en serie ici

Fig… : Schéma de connexion de deux quadripôles en série

Les équations de fonctionnement donnent :
Quadripôle a :
V1a = Z11a I1a + Z12a I2a
V2a = Z21a I1a + Z22a I2a
Quadripôle b :
V1b = Z11b I1b + Z12b I2b
V2b = Z21b I1b + Z22b I2b
Les deux quadripôles étant en série, on a :
I1a = I1b = I1 et I2a = I2b = I2
V1 = V1a + V1b = (Z11a + Z11b )I1 + (Z12a + Z12b )I2
V2 = V2a + V2b = (Z21a + Z21b )I1 + (Z22a + Z22b )I2
Le groupement des matrices donne :
 𝑍 𝑍12 𝑍 + 𝑍11𝑏 𝑍12𝑎 + 𝑍12𝑏
[ 11 ] = [ 11𝑎 ]
𝑍21 𝑍22 𝑍21𝑎 + 𝑍21𝑏 𝑍22𝑎 + 𝑍22𝑏
On voit très bien que :
[𝑍] = [𝑍𝑎 ] + [𝑍𝑏 ]
La matrice impédance du quadripôle série est égal à la somme des matrices
impédances de chacun des quadripôles.
6.8.2 Association en parallèle
Considérons deux quadripôles montés en parallèle comme le montre la figure ci-
dessous :
Inserer l’association des quadripoles en parallele ici

Les deux quadripôles étant en parallèle, on applique les propriétés associees au

courant et a la tension:
V1a = V1b = V1 et V2a = V2b = V2
I1 = I2a + I2b =(Y11a + Y11b )V1 + (Y12a + Y12b )V2
I2 = I1a + I1b = (Y21a + Y21b )V1 + (Y22a + Y22b )V2
Le groupement des matrices d’admittances donne :
Y Y12 Y + Y11b Y12a + Y12b
[ 11 ] = [ 11a ]
Y21 Y22 Y21a + Y21b Y22a + Y22b
Ce qui conduit à :
[Y] = [Ya ] + [Yb ]
La matrice admittance du quadripôle parallèle est égale à la somme des matrices
admittance de chacun des quadripôles.
6.8.3 Association en cascade
Soit le circuit de la figure ci-dessous :
Inserer la configuration cascade ici

On remarque que les deux sorties du premier quadripôle sont reliées aux deux entrées
du second quadripôle. On utilise dans ce cas les matrices de transfert des deux
quadripôles associés.
On a donc :

𝑉 𝐴 𝐵𝑎 𝑉2𝑎
[ 1𝑎 ] = [ 𝑎 ][ ]
𝐼1𝑎 𝐶𝑎 𝐷𝑎 −𝐼2𝑎
V A Bb V2b
[ 1b ] = [ b ][ ]
I1b Cb Db −I2b
En analysant le circuit des quadripôles montes en cascade, on remarque :
V V V V V V
[ 1 ] = [ 1a ] ; [ 2a ] = [ 1b ] ; [ 2b ] = [ 2 ]
I1 I1a −I2a I1b −I2b −I2
On obtient alors :
V A Ba Ab Bb V2
[ 1] = [ a ][ ][ ]
I1 Ca Da Cb Db −I2
En posant :
A B A Ba Ab Bb
[ ]=[ a ][ ]
C D Ca Da Cb Db
On obtient finalement :
[𝑇] = [𝑇𝑎 ][𝑇𝑏 ]
La matrice de transfert du quadripôle équivalent est égale au produit de la première
matrice de transfert du second.
L’algèbre renseigne que le produit matriciel n’est pas commutatif
6.9 Quadripôles en charge
Les quadripôles sont utilisés pour réaliser une fonction particulière ; amplification,
filtrage, etc.
De ce fait, ils sont chargés soit par une impédance, soit par un court-circuit
électrique.
6.9.1 Grandeurs fondamentales
Il est possible pour un quadripôle de définir les grandeurs caractéristiques :
impédances d’entrée et de sortie, les gains en tension, courant et puissance.
a. Impédance d’entrée
𝑉𝐸
C’est l’impédance 𝑍𝐸 = vue a l’entrée lorsque la sortie est chargée par une
𝐼𝐸
impédance. Le circuit ci-dessous montre bien la charge

Inserer le schema du quadripole charge ici

V1 = Z11 I1 + Z12 I2
V2 = Z21 I1 + Z22 I2 = −Z4 I2
Partant de la dernière équation, on peut facilement calculer :
𝑍21 𝐼1 = −(𝑍22 + 𝑍4 )𝐼2
On tire la valeur du courant et de la tension
Z21
I2 = − Z
Z22 + Z4 1
Z12 Z21
V1 = Z11 Z1 − I
Z22 + Z4 1
V1 Z12 Z21
ZE = = Z11 −
I1 Z22 + Z4
b. impédance de sortie
𝑉𝑆
C’est l’impédance 𝑍𝑆 = vue à la sortie lorsque l’entrée est fermée par une
𝐼𝑆
impédance 𝑍𝑔 qui l’impédance du générateur.
Considérons le circuit ci-dessous

Insérer le schéma du quadripôle ferme sur Zg ici

V1 = Z11 I1 + Z12 I2 = −Zg I1

V2 = Z21 I1 + Z22 I2
De la première équation ci-dessus, on tire la valeur du courant d’entree de la manière
suivante :
𝑍12 𝐼2 = −(𝑍𝑔 + 𝑍11 )𝐼1 et donc :
𝑍12
𝐼1 = − 𝐼
𝑍11 + 𝑍𝑔 2
𝑍12 𝑍21
𝑉2 = 𝑍22 𝐼2 − 𝑍
𝑍11 + 𝑍𝑔 2
On obtient finalement la grandeur de l’impédance de sortie égale a :
V2 Z12 Z21
ZS = = Z22 −
I2 Z11 + Zg
c. Gain de tension
C’est le quotient de la tension de sortie par la tension d’entrée.
V2
AV =
V1
V1 = Z11 I1 + Z12 I2
V2 = Z21 I1 + Z22 I2 = −Z4 I2
On tire la valeur du courant de sortie
𝑉2
𝐼2 = −
𝑍4
On trouve aussi la valeur du courant d’entrée
 (Z22 + Z4 )
I1 = − I2
Z21
Z22 + Z4 V2
I1 = −( )(− )
Z21 Z4
La tension d’entrée peut être calculée
Z22 + Z4 V2 V2
V1 = Z11 ( ) ( ) + Z12 (− )
Z21 Z4 Z4
Le développement de l’équation ci-dessus donne finalement
𝑍11 (𝑍22 + 𝑍4 ) 𝑍12 𝑍21
𝑉1 = [ − ]𝑉
𝑍21 𝑍4 𝑍4 𝑍21 2
𝑉2 𝑍4 𝑍21
𝐴𝑉 = =
𝑉1 𝑍11 (𝑍22 + 𝑍4 ) − 𝑍12 𝑍21

6.10 Quadripôles particuliers

6.10.1 Quadripôles passifs
Ils ne comportent pas de générateurs de courant ou de tension. Le théorème de
réciprocité permet d’écrire que :
Z12 = Z21
Y12 = Y21
Il y a lieu de montrer aussi que :
h12 = −h21
6.10.2 Quadripôles symétriques
Un quadripôle est symétrique s’il existe dans la disposition, la nature et les valeurs
des éléments constituant le quadripôle une symétrie entre sortie et entrée. Nous
avons alors :
𝑍11 = 𝑍22
𝑌11 = 𝑌22
𝑇11 = −𝑇22
Note :
Le signe moins dans la dernière équation ci-dessus vient du fait que le courant I2 est
considéré sortant et non entrant).
6.10.3. Quadripôle unidirectionnel
Dans un quadripôle unidirectionnel, l’énergie ne peut être transmise que dans un seul
sens.
Bibliographie
1. SÉGUIN, TARDIF, DESCHENEAU, Physique XXI. Tome B. Électricité et
magnétisme, sciences de l’ingénieur, groupe de boeck
2. Alexander, Sadiku, « Analyse des circuits électriques », science de l’ingénieur,
groupe de boeck, 2012
3. Lê Huy Hoàng, Circuits électriques, Presses de l'U. Laval, 2004
4. Marcel Jufer et Yves Perriard, Électrotechnique : Base de l’électricité, PPUR,
2014, 2e éd
5. John BIRD, « Electrical circuit – Theory and Technology », Fifth edition, 784
pages, December 2013, Routledge, ISBN-13 :978-0415662864