Niveau: TRONC COMMUN - Cours: Les Axiomes de L'espace
Niveau: TRONC COMMUN - Cours: Les Axiomes de L'espace
Niveau: TRONC COMMUN - Cours: Les Axiomes de L'espace
Benmoussa Med
Axiome 1 :
Par deux points distincts A et B de l’espace E passe une et
une seule droite notée AB
Axiome 2
Par trois points non alignés de l’espace E passe un plan et un
seul noté ABC .
Axiome 3 :
SI A et B sont deux points distincts d’un plan P de l’espace
E alors la droite AB est incluse dans le plan P .( c.à.d.
AB P
Axiome 4 :
P et P' deux plans distincts de l’espace E .
Si un point A est commun aux deux plans alors les deux plans se
coupent suivant une droite passant par le point A .
Toutes les propriétés de la géométrie plane reste valables à chaque plan P de l’espace E .
Un plan P est déterminé soit par :
-1-
Pro. Benmoussa Med
D et D' sont sécantes au point D et D' sont parallèles D et D' sont non
I c.à.d. D' D I On écrit : D' // D coplanaires D' D
D et D' sont
D et D' deux droites coplanaires D et D' sont
er
Sont deux droites coplanaires *1 cas confondues deux droites non coplanaires
2ième cas strictement parallèles
D P D D P D P I
IIV
V.. Positions relatives de deux plans P et P' de l’espace :
-2-
Pro. Benmoussa Med
b. Exemple :
c. Propriétés :
1. D’un point O de l’espace passe une et une seule droite parallèle a une droite D donnée de l’espace
2. Soient D et D' et trois droites de l’espace E .
Si D et D' sont parallèles et une droite est parallèle à l’une des deux droites alors est
parallèle à l’autre droite . ou encore : Si D / / D' et / / D alors / / D' .
Si une droite est parallèle à chacune des droites D et D' alors D et D' sont parallèles .
ou encore : Si / / D et / / D' alors D / / D' .
-3-
Pro. Benmoussa Med
d. Exemple :
Propriété n° 1 Propriété n° 2
b. Propriété :
Une droite D est parallèle à un plan P si et seulement si : il existe une droite D' incluse dans le
plan P tel que D et D' sont parallèles .
-4-
Pro. Benmoussa Med
b. Exemple :
1er cas 2ième cas
c. Propriétés :
1. D’un point O de l’espace passe un et un seul plan P' parallèle a un plan P donné de l’espace
2. Si deux plans P et P' sont parallèles , tout plan Q parallèle à l’un des deux plans alors le plan
Propriétés 1 et 2 Propriété 3
-5-
Pro. Benmoussa Med
d. Propriétés :
1. Deux plans P et P' sont parallèles , toute droite D coupe l’un des deux plans alors la droite
D coupe l’autre plan .
V
VII.. Orthogonalité dans l’espace :
A. Orthogonalité de deux droites D et D' dans l’espace E :
a. Définition :
b. Propriétés :
Si deux droites D et D' sont orthogonales toute droite parallèle à l’une de ces deux droites
alors est orthogonale à l’autre droite .
Si deux droites D et D' sont parallèles toute droite est orthogonale à l’une des deux droites
alors est orthogonale à l’autre droite .
-6-
Pro. Benmoussa Med
Une droite D est orthogonale à un plan de l’espace si et seulement si la droite D est orthogonale
à toute droite du plan P .
On note : D P on lit D est orthogonale au plan P .
b. Propriétés :
c. Exemple :
Définition Propriété 1 Propriété 2 Propriété 3
d. Remarque :
-7-
Pro. Benmoussa Med
Deux plans P et P' de l’espace E sont orthogonaux si et seulement si l’un des deux plans
contient une droite D orthogonale à l’autre plan . on note : P P' .
b. Propriétés :
1. Si deux plans P et P' de l’espace E sont orthogonaux à une même droite alors les plans sont
parallèles .
2. Si deux plans P et P' de l’espace E sont parallèles :
si un plan Q est orthogonal à l’un des deux plans alors Q est orthogonal à l’autre .
si une droite D est orthogonale à l’un des deux plans alors D est orthogonale à l’autre .
3. tout plan Q orthogonal à deux plans sécants P et P' suivant une droite D alors D Q
c. Exemple :
Définition Propriété 1 Propriété 2 Propriété 3
V
VIIII.. les surfaces et les volumes de certains solides :
-8-
Pro. Benmoussa Med
Remarque :
-9-