TA Maths Leçon 06 Statistiques
TA Maths Leçon 06 Statistiques
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A. SITUATION D’APPRENTISSAGE
Dans le cadre des recherches pour un exposé, des élèves d’une classe de Terminale ont été accrochés
par les informations suivantes :
La prévision météorologique est une science en pleine évolution. Elle a pour objectif de prédire un
ensemble de paramètres comme la pluviométrie, la pression atmosphérique, la température, etc.
Le tableau suivant donne les pluviométries et températures moyennes de septembre 2018 à août 2019
dans une ville.
Sept Oct. Nov. Déc Jan Fév. Mar Avr. Mai Juin Juillet Août
2018 2018 2018 2018 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019
Pluviométrie
13 23 49 49 50 64 79 48 40 10 5 6
(en mm)
Température
23 17 14 10 10 11 13 15 17 23 27 28
(en °C)
Dans l’affiche la température moyenne d’octobre 2019 était de 32 °C. Les élèves veulent connaitre la
pluviométrie du mois d’octobre 2019. Un des élèves affirme que la pluviométrie n’est pas liée à la
température et qu’on ne peut savoir la pluviométrie d’octobre. Ce que réfute certains. Toute la classe
ayant été saisi, décide de chercher à savoir si la pluviométrie est liée à la température et si c’est le cas,
de prévoir la pluviométrie d’octobre 2019.
B. CONTENU DE LA LECON
1. Définition
On considère deux caractères quantitatifs X et Y sur une même population de n individus.
On note : 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,…, 𝑥𝑝 les valeurs(ou les modalités) du caractère X ; 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 ,…, 𝑦𝑞 les
valeurs du caractère Y et 𝑛𝑖𝑗 l’effectif du couple (𝑥𝑖 ,𝑦𝑗 ).
On appelle série statistique double de caractère (X, Y), l’ensemble des triplets (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ,𝑛𝑖𝑗 ).
Exemple
Une étude statistique porte sur une population de 100 ménages. Deux caractères X et Y sont étudiés :
- le caractère X est le nombre d’enfants,
- le caractère Y est le nombre de pièces de l’appartement occupé.
On obtient le tableau suivant qui représente la série statistique de caractère (X, Y).
Page 1 sur 22
Y
1 2 3 4
X
0 6 3 1 0
1 4 11 3 1
2 1 10 16 3
3 0 5 13 5
4 0 1 4 8
5 0 0 1 4
Y Total
1 2 3 4
X
0 6 3 1 0 10
1 4 11 3 1 19
2 1 10 16 3 30
3 0 5 13 5 23
4 0 1 4 8 13
5 0 0 1 4 5
Total 11 30 38 21 100
Considérons le caractère X.
Pour trouver l’effectif de la valeur 0, on additionne tous les 𝑛𝑖𝑗 qui se trouvent sur la ligne de la valeur
0 du caractère X c’est-à-dire : 6 + 3 + 1+ 0 = 10.
Page 2 sur 22
Pour trouver l’effectif de la valeur 3 du caractère X, on additionne tous les 𝑛𝑖𝑗 qui se trouvent sur la
ligne de la valeur 3 du caractère X c’est-à-dire : 0 + 5 + 13 + 5 = 23.
On procède de la même manière pour trouver l’effectif des autres modalités du caractère X. Ainsi à
chaque valeur du caractère X, on a son effectif dans la dernière colonne.
D’où le tableau linéaire associé à X :
𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5
𝑛𝑖 10 19 30 23 13 5
𝑦𝑖 1 2 3 4
11 30 38 21
𝑓𝑖
100 100 100 100
3. Nuage de points
Définition
On considère deux caractères quantitatifs X et Y sur une même population de n individus.
On note 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,…, 𝑥𝑝 les valeurs du caractère X,
𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 ,…, 𝑦𝑞 les valeurs du caractère Y,
On appelle nuage de points associé à la série statistique double de caractère (X, Y), la représentation
dans un repère orthogonal des points de couple de coordonnées (𝑥𝑖 ; 𝑦𝑗 ) d’effectifs non nuls.
Exercice de fixation
Le tableau suivant donne le nombre d’exploitations agricoles d’une région selon leur superficie en
hectares.
Superficie X 2 2 3 4 5 6 7 7,6
Nombre d’exploitations Y 14 26 31 29 44 40 54 50
Page 3 sur 22
Représente le nuage de points associé à cette série.
Solution
Remarque
Dans la suite, les séries doubles considérées seront comme la série de l’exemple précédent ;
c’est-à-dire l’effectif 𝑛𝑖 de chaque couple (𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 ) vaut 1.
4. Point moyen
Définition
On appelle point moyen d’un nuage de 𝑛 points 𝑀𝑖 de coordonnées (𝑥𝑖 ; 𝑦𝑖 ) le point G de coordonnées
(𝑥𝐺 ; 𝑦𝐺 ) telles que :
𝑥 +𝑥 +⋯+𝑥𝑛 𝑦 +𝑦 +⋯+𝑦𝑛
𝑥𝐺 = 𝑋 = 1 2𝑛 ; 𝑦𝐺 = 𝑌 = 1 2𝑛 .
Exercice de fixation
Détermine les coordonnées du point moyen du nuage de points de la série statistique suivante :
Superficie X 2 2 3 4 5 6 7 7,6
Nombre d’exploitations Y 14 26 31 29 44 40 54 50
Solution
C’est le point de coordonnées (X ;Y).
2+2+3+4+5+6+7+7,6 36,6
On a : X = = = 4,575
8 8
14+26+31+29+44+40+54+50 288
et Y = = = 36.
8 8
Page 4 sur 22
Donc G(4,575 ; 36).
Exercice de maison
On considère la série statistique double suivante :
𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 8
𝑦𝑖 160 110 100 72 36 29 20 10 3
II. Ajustement
1. Présentation
Soit un nuage de points associé à une série statistique double représenté dans un repère orthogonal.
Faire un ajustement de ce nuage de points, c’est trouver une courbe qui passe le plus près « possible »
du maximum de points de ce nuage.
Lorsque cette courbe est une droite, on dit que l’ajustement est affine ou linéaire.
a. Droite d’ajustement
Pour déterminer la droite d’ajustement linéaire d’un nuage de points, on peut procéder comme suit :
• On range la série statistique double (X; Y) suivant les valeurs croissantes des 𝑥𝑖 .
• Si le nombre 𝑛 de points du nuage de points est pair, on partage la série statistique en deux séries
statistiques de même effectif :
𝑛
(𝑥1 ; 𝑦1 ), (𝑥2 ; 𝑦2 ), ⋯ , (𝑥𝑝 ; 𝑦𝑝 ) et (𝑥𝑝+1 ; 𝑦𝑝+1 ), (𝑥𝑃+2 ; 𝑦𝑃+2 ), ⋯ , (𝑥𝑛 ; 𝑦𝑛 ), tel que p= .
2
⚫ Si le nombre 𝑛 de points du nuage de points est impair, alors on partage le nuage de points en
𝑛+1 𝑛+1
deux sous-nuages d’effectif 2 et 2 − 1.
• On détermine le point moyen G1 du premier sous-nuage et le point moyen G2 du deuxième sous-
nuage.
• La droite (G1G2) est la droite d’ajustement par la méthode de Mayer.
Remarque :
- La droite (G1G2) passe par le point moyen G du nuage de points.
Exercice de fixation
Partage la série statistique ci-dessous en deux séries et détermine le point moyen de chacune d’elles.
Superficie X 2 2 3 4 5 6 7 7,6
Nombre d’exploitations Y 14 26 31 29 44 40 54 50
Solution
Page 5 sur 22
Les valeurs du caractère X sont rangées dans l’ordre croissant.
L’effectif total de la série est 8.
On va partager la série en deux séries d’effectif 4 chacune.
Série 1
X 2 2 3 4
Y 14 26 31 29
Point moyen G1
2+2+3+4 14+26+31+29
G1 (X1 ;Y1 ) avec X1 = = 2,75 et Y1 = = 25
4 4
Donc : G1 (2,75 ; 25)
Série 2
𝑥𝑖 5 6 7 7,6
𝑦𝑖 44 40 54 50
Point moyen G2
5+6+7+7,6 44+40+54+50
G2 (X2 ;Y2 ), avec X2 = = 6,4 et Y2 = = 47.
4 4
Donc : G2 (6,4 ; 47)
b. Equation
Soit G1(𝑋1 ; 𝑌1 ) et G2(𝑋2 ; 𝑌2 ) les points moyens des sous-nuages.
On détermine une équation de la droite (G1G2) à l’aide d’un vecteur directeur ou du coefficient
directeur.
Exercice de fixation
On considère la série statistique précédente.
Détermine une équation de la droite d’ajustement linéaire du nuage de points par la méthode de Mayer.
Trace cette droite.
Solution
C’est la droite (G1 G2 ) avec G1 (2,75 ; 25) et G2 (6,4 ; 47).
Elle a pour équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏;
Y −𝑌 Y −𝑌
avec 𝑎 = X2 − 𝑋1 𝑜𝑢 𝑎 = X1 − 𝑋2 𝑒𝑡 𝑏 = 𝑌1 − 𝑎 × 𝑋1 𝑜𝑢 𝑏 = 𝑌2 − 𝑎 × 𝑋2 .
2 1 1 2
47−25 440 440 615
𝐷′ où 𝑎 = 6,4−2,75 = et 𝑏 = 25 − × 2,75 =
73 73 73
440 615
Donc (G1 G2 ) : 𝑦 = 𝑥+
73 73
Page 6 sur 22
3. Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés (Série A1 seulement)
a. Covariance
Définition
On appelle covariance de la série statistique double de caractère (X ; Y), le nombre réel noté
Cov(X ; Y) tel que :
1 ∑𝑥 𝑦
Cov(𝑋, 𝑌) = 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − X )(𝑦𝑖 − Y ) ou Cov(𝑋, 𝑌) = 𝑛𝑖 𝑖 − X Y.
Exercice de fixation
Calcule la covariance de la série statistique suivante sachant que G(4,575 ; 36).
Superficie X 2 2 3 4 5 6 7 7,6
Nombre d’exploitations Y 14 26 31 29 44 40 54 50
Solution
∑ 𝑥𝑖 𝑦 𝑖
La covariance de cette série statistique est telle que: Cov(X, Y) = −XY.
𝑛
On a:
2×14+2×26+3×31+4×29+5×44+6×40+7×54+7,6×50
Cov(X, Y) = − 4,575 × 36
8
1503
Cov(X, Y) = 8 − 164,7 .
Donc : Cov(X, Y) = 23,675
Définition
Soit V(X) la variance de la série statistique de caractère X, V(Y) la variance de la série statistique de
caractère Y et Cov(X ; Y) la covariance de la série statistique (X ; Y).
On appelle coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double (X ; Y), le nombre réel noté
Cov(X,Y)
𝑟 tel que : 𝑟 = .
√V(X)√V(Y)
Page 7 sur 22
∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑦𝑖 2 2
Rappel : V(X) = − (X) et V(Y) = − (Y) .
𝑛 𝑛
Exercice de fixation
Calcule le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique suivante.
Superficie X 2 2 3 4 5 6 7 7,6
Nombre d’exploitations Y 14 26 31 29 44 40 54 50
Solution
Cov(X,Y)
Le coefficient de corrélation linéaire 𝑟 de cette série statistique est tel que: 𝑟 =
√V(X)√V(Y)
On a:
∑ 𝑥𝑖 2 2 22 +22 +32 +42 +52 +62 +72 +(7,6)2
• V(X) = − (X) = − 4,5752
𝑛 8
200,76
V(X) = − 4,5752 ≈ 4,16
8
23,675
Donc : 𝑟 = ≈ 0,92
√4,16×157,25
Remarques
• Le coefficient de corrélation linéaire permet de voir la dépendance linéaire des deux caractères X
et Y.
• Le coefficient de corrélation linéaire 𝑟 est un nombre réel de même signe que COV(X, Y) et on
a : −1 ≤ 𝑟 ≤ 1.
• Si │r│ est proche de 1, c’est-à-dire en pratique : 0,87≤ 𝑟 ≤ 1 ou −1 ≤ 𝑟 ≤ −0,87, alors on dit qu’il
y a une bonne corrélation linéaire ou une forte corrélation linéaire entre les deux caractères X et Y.
Exercice de fixation
Interprète le coefficient de corrélation linéaire de l’exercice de fixation précèdent.
Solution
On sait que : 𝑟 = 0,92.
Comme 0,87≤ 𝑟 ≤ 1, il y a une forte corrélation entre la superficie et le nombre d’exploitations
agricoles de cette région.
c. Droites de régressions
Propriété
Soit V(X) la variance de la série statistique de caractère X, V(Y) la variance de la série statistique de
caractère Y et Cov(X, Y) la covariance de X et Y.
On suppose qu’il y a une forte corrélation entre les caractères X et Y .
i. Droite de régression de Y en X.
Cov(X,Y)
La droite (D) d’équation : 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 où 𝑎 = V(X) et 𝑏 = 𝑌 − 𝑎𝑋 est appelée la droite de
régression de Y en X par la méthode des moindres carrés.
Page 8 sur 22
ii. Droite de régression de X en Y.
Cov(X,Y)
La droite (D’) d’équation : 𝑥 = 𝑎′ 𝑦 + 𝑏′ avec : 𝑎′ = V(Y) et 𝑏′ = 𝑋 − 𝑎′ 𝑌 est appelée la droite de
régression de X en Y par la méthode des moindres carrés.
Exercice de fixation
On considère la série statistique suivante :
Superficie X 2 2 3 4 5 6 7 7,6
Nombre d’exploitations Y 14 26 31 29 44 40 54 50
On sait que: Cov(X, Y) = 23,675 ,V(X)=4,6 ; V(Y)= 157,25 et 0,87≤ 𝑟 ≤ 1.
1. Détermine une équation de la droite d’ajustement linéaire de Y en X par la méthode des moindres
carrés ; (On donnera les arrondis d’ordre 2 de 𝑎 et b.).
2.Détermine une équation de la droite d’ajustement linéaire de X en Y par la méthode des moindres
carrés. (On donnera les arrondis d’ordre 2 de 𝑎′et b’)
Solution
Comme 0,87≤ 𝑟 ≤ 1, il y’a une bonne relation entre X et Y.
1.Déterminons la droite d’ajustement linéaire de Y en X par la méthode des moindres carrés.
Cov(X,Y)
C’est la droite (D) d’équation : 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 = V(X) et 𝑏 = Y − 𝑎X
Cov(X,Y) 23,675
𝑎= = = 5,69 et 𝑏 = Y − 𝑎X = 36 – 5,69 ×4,575 = 9,97
V(X) 4,16
Donc (D) : 𝑦 = 5,69𝑥 + 9,97
2. Déterminons la droite d’ajustement linéaire de X en Y par la méthode des moindres carrés.
Cov(X,Y)
C’est la droite (D’) d’équation : 𝑥 = 𝑎′𝑦 + 𝑏′ avec 𝑎′ = V(Y) et 𝑏′ = X − 𝑎Y
Cov(X,Y) 23,675
𝑎′ = = 157,25 = 0,15 et 𝑏′ = X − 𝑎Y = 4,575 – 0,15×36 = –0,825
V(Y)
Donc : (D’) : 𝑥 = 0,15𝑦 −0,83
Remarques
- Les droites (D) et (D’) passent par le point moyen G du nuage de points.
- Si 𝑟 est le coefficient de corrélation linéaire on a :
• 𝑎𝑎′ = 𝑟 2 et |𝑟| = √𝑎𝑎′
• Si 𝑎 > 0 et 𝑎’ > 0, alors 𝑟 = √𝑎𝑎′.
• Si 𝑎 < 0 et 𝑎’ < 0, alors 𝑟 = −√𝑎𝑎′.
1
• Si 𝑟 2 = 1, alors 𝑎 = 𝑎′ et les deux droites sont confondues.
III. Estimation
Exercice de fixation
On considère la série statistique suivante :
Superficie X 2 2 3 4 5 6 7 7,6
Nombre d’exploitations Y 14 26 31 29 44 40 54 50
Soit (D) : 𝑦 = 5,69𝑥 + 9,97, la droite de régression de y en x.
En considérant que la tendance se poursuit ainsi, détermine le nombre d’exploitations agricoles pour
une superficie de 9 h
Page 9 sur 22
Solution
Par la méthode de Mayer
Une superficie de 9 ha correspond à 𝑥 = 9.
En utilisant l’équation de la droite de Mayer, on a : 𝑦 = 6 × 9 + 8,4 = 62,4.
Donc pour une superficie de 9 ha, le nombre d’exploitations est estimé à 63.
C. SITUATION COMPLEXE
Le tableau ci-dessous donne le nombre total d’adhérents au club littéraire d’un lycée au cours de
l’année civile 2020.
Mois Janv Fév Mars Avr Mai Juin Juil Août Sept Oct Nov Déc
Rang 𝑥𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nombre 1100 1160 1220 1370 1620 1550 1600 1500 1790 1940 2060 1980
d’adhérents yi
Une Organisation Non Gouvernementale promet d’octroyer une aide financière considérable au club si
le nombre d’adhérents dépasse les 3000 élèves. L’élève de la Terminale A qui dirige le club désire
connaître la date à laquelle ce don pourra se faire. Il te sollicite pour l’aider.
Détermine la date (mois et année) probable de la réception de ce don.
Solution.
➢ Pour trouver la date, nous allons utiliser les statistiques à deux variables,
➢ Je détermine la droite de régression linéaire,
➢ J’estime la date.
Résolution pour les classes de TA2
• Partageons la série en deux sous séries
Page 10 sur 22
• Je calcule la moyenne de chaque sous série
Pour la série 𝑺𝟏
1+2+3+4+5+6 1100+1160+1220+1370+1620+1550
𝑥1 = = 3,5 ; 𝑦1
= = 1338,33
6 6
Donc 𝐺1 (3,5; 1338,33)
Pour la série 𝑺𝟐
7+8+9+10+11+12 1600+1500+1790+1740+2060+1980
𝑥2 = = 9,5 ; 𝑦 2
= = 1778,33
6 6
Donc 𝐺2 (9,5; 1778,33)
3000−1081,66
𝑦 = 3000 équivaut à 𝑥 = = 26,16
73,33
Le rang cherché est sensiblement égal à 27.
• Je donne la date (mois et année) probable de la réception de ce don.
- La variance de X
∑ 𝑥𝑖 2 2
𝑉(𝑋) = −X
𝑛
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122
𝑉(𝑋) = − 6,52
12
650
V(X) = − (6.5)2 = 11,917
12
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- La variance de Y
∑ 𝑦𝑖 2 2
𝑉(𝑌) = −Y
𝑛2
1100 + 1160 + 12202 + 13702 + 1620 + 15502 + 16002 + 15002 + 17902 + 19402 + 20602 + 19802
2
𝑉(𝑌) =
12
− (1574,167)2
30889500
𝑉(𝑌) = − (1574,167)2 = 96123,256
12
- La covariance de X et Y
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
Cov(𝑋, 𝑌) = −XY
𝑛
1100 + 2320 + 3660 + 5480 + 8100 + 9300 + 11200 + 12000 + 16110 + 19400 + 22660 + 23760
Cov(𝑋, 𝑌) =
12
− 6,5 × 1574,167
135090
COV(X, Y) = − 6,5 × 1574,167 = 1025,4145
12
- Une équation de la droite (D): y = ax + b
1025,4145
𝑎= = 86,046
11,917
𝑏 = 1574,167 − 86,046 × 6,5 = 1014,868
D’où (D): 𝒚 = 86,046𝑥 + 1014,868
D. EXERCICES
1. Exercices de renforcement
Exercice 1
Dans le tableau ci-dessous, on donne la taille moyenne (en cm) des nouveau-nés en fonction du
nombre de l'âge gestationnel (en semaines).
Âge gestationnel
30 31 32 33 34 35 36 37
(semaines)
Taille (cm) 47,5 48,5 49 49,7 50 50,5 50,8 51,2
Âge gestationnel
38 39 40 41 42 43 44 45
(semaines)
Taille (cm) 51,5 51,8 52,2 52,5 52,8 53 53,5 53,7
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En ordonnées : 2 cm par unité (commencer la graduation à 45 cm).
2) On se propose de tracer la droite d'ajustement de ce nuage de points.
a) Calcule les coordonnées des points moyens G1 et G2 ;
b) Trace la droite d'ajustement passant par les points G1 et G2.
3) Détermine une équation de cette droite d'ajustement.
SOLUTION
54
53
G2
52
51
50
G1
49
48
47
46
45
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 x
44
43
42
41
∑ 𝑥𝑖 38 + 39 + 40 + 41 + 42 + 43 + 44 + 45
̅̅̅2 =
𝑋 = = 41,5
𝑛 8
∑ 𝑦𝑖 51,5 + 51,8 + 52,2 + 52,5 + 52,8 + 53 + 53,5 + 53,7
𝑌̅2 = = = 52,625
𝑛 8
Donc: 𝑮𝟏 (𝟑𝟑, 𝟓; 𝟒𝟗, 𝟔𝟓) et 𝑮𝟐 (𝟒𝟏, 𝟓; 𝟓𝟐, 𝟔𝟐𝟓)
Page 13 sur 22
Exercice 2
Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires X (en millions de francs) réalisé au cours des 6 derniers
mois par un site de vente en ligne en fonction du nombre de commandes Y reçues.
Nombre de
6 400 8 350 9 125 9 600 10 050 12 000
commandes (𝑥𝑖 )
Chiffre d'affaires
250 320 335 350 370 400
mensuel (𝑦𝑖 )
Partie A
SOLUTION
Partie A
y
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
Page 14 sur 22
50
2) Je détermine les coordonnées du point moyen.
3.a) Je détermine une équation de la droite d’ajustement linéaire du nuage de points par la
méthode de Mayer
Série 1
𝑥𝑖 6400 8350 9125
𝑦𝑖 250 320 335
S
Série 2
𝑥𝑖 9600 10050 12000
𝑦𝑖 350 370 400
𝑌̅ −𝑌̅ 301,66−373,33
(𝐺1 𝐺2 ): y = ax+b avec a = 𝑋̅1 −𝑋̅2 = 7958,33−10550 = 0 ,028 et b = 𝑌̅2 − 𝑎 ̅𝑋2 = 78
1 2
C’est-à-dire (𝐺1 𝐺2 ): y = 0,028x + 78
y
600
550
500
450
400
COV(X, Y) 77 947,9
𝑟= = = 0,98
√V(X)√V(Y) √2 878 824,824 × √2181,254
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On remarque que : 0,87≤ 𝑟 < 1, ainsi, on peut conclure qu’il y a une forte corrélation entre le nombre
de commandes reçues et le chiffre d’affaires réalisé au cours des 6 derniers mois.
4) Je détermine une équation de la droite d’ajustement linéaire de Yen X par la méthode des
moindres carrés
Puisqu’il y a une forte corrélation entre les commandes reçues et le chiffre d’affaires alors,
Cov(X,Y)
(D) a pour équation : 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 = V(X) et 𝑏 = 𝑌 − 𝑎𝑋.
77947,9
𝑎= = 0,027 et b = 337,5- 0,027 x 9254, 17 = 87,63
2878824,824
2. Exercices d’approfondissement
EXERCICE 1
Un chef d’entreprise reçoit de la part de ses collaborateurs la demande d’obtenir des véhicules de
fonction plus confortables et plus puissants. Il sollicite alors son comptable afin que celui-ci examine la
demande et sa faisabilité.
Le comptable utilise le tableau ci-dessous, donnant le prix de revient kilométrique (PRK) des véhicules
d’une puissance fiscale de 4 à 8 CV et en fait une projection sur les véhicules plus puissants.
Puissance fiscale des
4 5 6 7 8
véhicules (CV)
Prix de revient
0,424 0,471 0,492 0,513 0,555
kilométrique (PRK)
SOLUTION
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1) Je représente le nuage de cette série statistique.
y
0,8
0,6
G
0,4
(D)
0,2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
-0,2
3.a) Je justifie que le point G appartient à la droite d’ajustement (D) de cette série.
On a: (D): 𝑦 = 0.03𝑥 + 0.311
Pour 𝑥 = 6 on a: 𝑦 = 0.03 × 6 + 0.311 = 0.491.
Donc le point G appartient à la droite (D).
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4) Détermine une équation de la droite d'ajustement des points de coordonnées (x, y) du nuage, par la
méthode des moindres carrés. Donne cette équation sous la forme y = Ax + B, avec les valeurs approchées
de A et B (les meilleures possibles) à 3 décimales.
5) Estime y pour une vitesse de 140 km/h.
Estime la consommation aux 100 km pour cette vitesse de 140 km/h, à 0,5 L près comme dans le
tableau initialement donné.
SOLUTION
2) Je complète le tableau
x (en km/h) 80 90 100 110 120
z (en litres/ 100 km) 4 5 6,5 8 10
y = ln(z) 1,386294 1,609438 1,871802 2,079442 2,302585
y
2,3
2,2
2,1
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160x
1,2
1,1
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⚫ Les coordonnées du points moyen G
∑𝑥 500
On a: On a: X = 𝑛 𝑖 = 5 = 100
∑𝑦 9,249561
Y = 𝑛𝑗 = = 1,8499122
5
Donc G(100; 𝟏, 𝟖𝟒𝟗𝟗𝟏𝟐𝟐)
⚫ La variance de X
∑𝑥 2 2
On a: 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑖 − X
802 + 902 + 1002 + 1102 + 1202
𝑉(𝑋) = − 1002
5
51000
V(X) = − (100)2 = 200
5
⚫ La variance de Y
∑𝑦 2 2
On a: 𝑉(𝑌) = 𝑛𝑖 − Y
802 + 902 + 1002 + 1102 + 1202
𝑉(𝑌) = − (1,8499122)2
5
17,641743
= 5
− (1,8499122)2 = 0,106173
⚫ La covariance de X et Y
∑ 𝑥𝑖 𝑦 𝑗
On a: COV(𝑋, 𝑌) = −XY
𝑛
80×1,386294+90×1,609438+100×1,871802+110×2,079442+120×2,302585
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = 5
−100 x 1,8499122
947,98196
𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌) = - 100 ×1,8499122 = 4,605172
5
4. Situation complexe
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Dans le cadre des recherches pour un exposé, des élèves d’une classe de Terminale ont été accrochés
par les informations suivantes :
La prévision météorologique est une science en pleine évolution. Elle a pour objectif de prédire un
ensemble de paramètres comme la pluviométrie, la pression, la température, etc.
Le tableau suivant donne les pluviométries et températures moyennes de septembre 2018 à août 2019
d’une ville.
Sept Oct. Nov. Déc Jan Fév. Mars Avril Mai Juin JuilletAoût
18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19
Pluviométrie
13 23 49 49 50 64 79 48 40 10 5 6
(en mm)
Température
23 17 14 10 10 11 13 15 17 23 27 28
(en °C)
SOLUTION :
Pour répondre à ces questions, je vais utiliser la méthode des moindres carrés appliquée à la statistique
à deux variables.
Soit:
- X la variable représentant la pluviométrie et prenant les valeurs xi (avec i ∈ {1; 2; 3; . . . ; 12}.
- Y la variable représentant la Température et prenant les valeurs yi (avec i ∈ {1; 2; 3; . . . ; 12}.
Sept. Oct. Nov. Déc Jan Fév. Mars Avril Mai Juin Juillet Août
18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 Totaux
xi 13 23 49 49 50 64 79 48 40 10 5 6 436
yi 23 17 14 10 10 11 13 15 17 23 27 28 208
xiyi 299 391 686 490 500 704 1027 720 680 230 135 168 6030
xi2 169 529 2401 2401 2500 4096 6241 2304 1600 100 25 36 22402
yi2 529 289 196 100 100 121 169 225 289 529 729 784 4060
Cov(X, Y)
3) Je calcule :
⚫ La variance de X
∑ 𝑥𝑖2
On a: 𝑉(𝑋) = − 𝑋̅ 2
𝑛
132 + 232 + 492 + 492 + 502 + 642 + 792 + 482 + 402 + 102 + 52 + 62
𝑉(𝑋) = − 36.3332
12
22402
𝑉(𝑋) = − 36.3332 ≈ 546,746 . 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑉(𝑋) = 546,746
12
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⚫ La variance de Y
∑ 𝑦𝑖2
On a: 𝑉(𝑌) = − 𝑌̅ 2
𝑛
232 + 172 + 142 + 102 + 102 + 112 + 132 + 152 + 172 + 232 + 272 + 282
𝑉(𝑌) = − 17.3332
12
4060
𝑉(𝑌) = − 17.3332 ≈ 37,9 . Donc 𝑉(𝑌) = 37,9
12
⚫ La covariance de X et Y
∑𝑥 𝑦 6030
On a: Cov(X, Y) = 𝑛𝑖 𝑖 − 𝑋̅ 𝑌̅ = 12 − 36,333 × 17,333 ≈ −127,26.
Donc Cov(X, Y) = −127,26
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