Diagonalisations

I-Valeurs propres et vecteurs propres

1) Définitions

Soit A∈ℳ𝑛 (ℝ) une matrice d’ordre n.

λ est une valeur propre de A s’il existe un vecteur non nul X de ℝ𝑛 telle que AX=λX.

X est appelé vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.

1 2 2
Exemple : A=( ) ; X=( )
3 −4 1
1 2 2 1×2+2×1 4
AX=( )( ) = ( ) = ( ) = 2𝑋
3 −4 1 3×2−4×1 2
Un vecteur propre associé à une valeur propre n’est pas unique. En effet

4 1 2 4 1×4+2×2 8
Y=( ) ; AY=( )( ) = ( ) = ( ) = 2𝑌
2 3 −4 2 3×4−4×2 4
2) Polynôme caractéristique

Soit A∈ℳ𝑛 (ℝ) une matrice d’ordre n.

Soit λ une valeur propre de A ,il existe un vecteur non nul X de ℝ𝑛 telle que AX=λX.

AX=λX⟺AX-λX=0

AX=λX⟺(A-λI)X=0 et comme X≠0, donc det(A-λI)=0

On note PA(λ) =det(A-λI) le polynôme caractéristique de A.

Les racines de PA(λ) sont les valeurs propres de A.

1 2
Exemple : A=( )
3 −4
1−𝜆 2
PA(λ)=det(A-λI)=| |=(1-λ)(-4-λ)-6=λ2+3λ-10=(λ-2)(λ+5)
3 −4 − 𝜆
Les valeurs propres de A sont -5 et 2.
0 1
B=( )
−1 0
−𝜆 1
PB(λ)=det(B-λI)=| |=λ2+1.
−1 −𝜆
B n’a pas de valeur propre.
3 0 8
C=( 3 −1 6 )
−2 0 −5
3−𝜆 0 8
3−𝜆 8
PC(λ)=det(C-λI)=| 3 −1 − 𝜆 6 |=(-1-λ)| |=(-1-λ)(1+λ)2=-(1+λ)3.
−2 −5 − 𝜆
−2 0 −5 − 𝜆
-1 est une valeur propre triple de C .

3) Sous-espace propre

On note E(λ) ={𝑋 ∈ ℝ𝑛 /𝐴𝑋 = 𝜆𝑋}={𝑋 ∈ ℝ𝑛 /𝐴𝑋 − 𝜆𝑋 = 0} = {𝑋 ∈ ℝ𝑛 /(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑋 = 0}

E(λ) est le sous-espace propre de A associé à la valeur propre λ. C’est l’ensemble des vecteurs
propres de A associé à la valeur propre λ.

1 2
Exemple : A=( )
3 −4
Les valeurs propres de A sont -5 et 2.
𝑥 𝑥
E(-5)= {𝑋 (𝑦) ∈ ℝ2 /𝐴𝑋 = −5𝑋} = {𝑋 (𝑦) ∈ ℝ2 /(𝐴 + 5𝐼)𝑋 = 0}

𝑥 6 2 𝑥 0
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(−5) ⇔ ( )( ) = ( )
3 1 𝑦 0
𝑥 6𝑥 + 2𝑦 = 0
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(−5) ⇔ {
3𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(−5) ⇔ {3𝑥 + 𝑦 = 0

𝑥
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(−5) ⇔ {𝑦 = −3𝑥

𝑥 𝑥 1
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(−5) ⇔ 𝑋 = ( ) = 𝑥( )
−3𝑥 −3
1
Le sous-espace propre E(-5)est engendré par le vecteur u =( )et dim E(-5)=1 ;
−3
1
E(-5)=< ( )>.
−3
𝑥 𝑥
E(2)= {𝑋 (𝑦) ∈ ℝ2 /𝐴𝑋 = 2𝑋} = {𝑋 (𝑦) ∈ ℝ2 /(𝐴 − 2𝐼)𝑋 = 0}

𝑥 −1 2 𝑥 0
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(2) ⇔ ( )( ) = ( )
3 −6 𝑦 0
𝑥 −𝑥 + 2𝑦 = 0
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(2) ⇔ {
3𝑥 − 6𝑦 = 0
𝑥
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(2) ⇔ {−𝑥 + 2𝑦 = 0

𝑥
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(2) ⇔ {𝑥 = 2𝑦

𝑥 2𝑦 2
𝑋 (𝑦) ∈ 𝐸(2) ⇔ 𝑋 = ( ) = 𝑦 ( )
𝑦 1
2
Le sous-espace propre E(2)est engendré par le vecteur v =( )et dim E(2)=1 ;
1
 2
E(2)=< ( )>.
1
2- B n’a pas de valeur propre donc B n’a pas de vecteur propre.

3-C admet une seule valeur propre d’ordre de multiplicité 3. Le sous espace propre de C asocié à
𝑥
λ = -1 est E(-1) = {𝑋 = (𝑦) ∈ 𝐼𝑅 3⁄𝐶𝑋 = −𝑋}
𝑧
𝑥
E(-1) = {𝑋 = (𝑦) ∈ 𝐼𝑅 3⁄(𝐶 + 𝐼)𝑋 = 0}
𝑧
𝑥
E(-1) = {𝑋 = (𝑦) ∈ 𝐼𝑅 3⁄(𝐶 + 𝐼)𝑋 = 0}
𝑧
𝑥 4 0 8 𝑥 0
X=(𝑦) ∈ E(-1) ⇔( 3 0 6 ) (𝑦) = (0)
𝑧 −2 0 −4 𝑧 0
𝑥 4𝑥 + 8𝑧 = 0
X=(𝑦) ∈ E(-1) ⇔{ 3𝑥 + 6𝑧 = 0
𝑧 −2𝑥 − 4𝑧 = 0
𝑥
X=(𝑦) ∈ E(-1) ⇔x=-2z
𝑧
𝑥
E(-1) = {𝑋 = (𝑦) ∈ IR3 ∕ x = −2z}
𝑧
𝑥 −2𝑧 0 −2
X=(𝑦) ∈ E(-1) ⇔ X = ( 𝑦 ) = 𝑦 (1) + 𝑧 ( 0 )
𝑧 𝑧 0 1
0 −2
E(-1)={(1) ; ( 0 )} et dimE(-1)=2
0 1

4) Propriétés

Soit A∈ℳ𝑛 (ℝ) une matrice d’ordre n et λ une valeur propre de A.

1- 0 est une valeur propre de A si et seulement si A est non inversible.

2- Si X est un vecteur propre de A associé à λ alors X est un vecteur propre de Ak (k∈ℕ)
associé à la valeur propre λk.
1
3- Si A est inversible, 𝜆 est une valeur propre de A-1.
4- A et tA ont les mêmes valeurs propres.
5- A possède au plus n valeurs propres.
Démonstration
1- A est non inversible ⟺det(A)=0

A est non inversible ⟺0 est une valeur propre de A

2- Par récurrence A(λX)=λAX

Supposons Ak(λX)=λkX, montrons que Ak+1(λX)=λk+1X

Ak+1(λX)=Ak(A(λX))=Ak(λAX)=λAk(AX)=λAk+1(X).
1
3- On a A(X)=λX⟺𝜆A(X)=X

1
A(X)=λX⟺A-1(𝜆AX))=A-1X

1
A(X)=λX⟺𝜆A-1(A(X))=A-1X

1
A(X)=λX⟺𝜆X=A-1X

4- 𝑃𝑡𝐴 (λ)=det(tA-λI)=det(A-λI)=PA(λ).
5- PA(λ) est un polynôme de degré n donc il possède au plus n valeurs propres .

II- Diagonalisation d’une matrice

1) Matrices semblables

Définition A,B∈ℳ𝑛 (ℝ)

A et B sont semblables s’il existe une matrice inversible P∈ℳ𝑛 (ℝ) telle que

A =PBP-1.

On a aussi B=P-1AP.

2)Matrices diagonalisables

Définition A∈ℳ𝑛 (ℝ). A est diagonalisable si A est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire
il existe une matrice diagonale D∈ℳ𝑛 (ℝ) telle que A =PDP-1

Théorème de diagonalisation A∈ℳ𝑛 (ℝ)

A est diagonalisable si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée

1-Toutes les valeurs propres de A sont distinctes.

2-Si une valeur propre est d’ordre de multiplicité k alors le sous-espace propre associé est de
dimension k.

Dans ce cas A s’écrit sous la forme A = PDP-1 avec D matrice diaganale, c’est la matrice des
valeurs propres de A et P la matrice des vecteurs propres de A.

1 2
Exemple A= ( )
3 −4
Les valeurs propres de A sont -5 et 2, elles sont distinctes donc A est diagonalisable.

−5 0 1 2
A= PDP-1 avec D=( ) 𝑒𝑡 P = ( )
0 2 −3 1
 3 0 8
Exemple C=( 3 −1 6 )
−2 0 −5
C admet une valeur propre -1 d’ordre 3 et dimE(-1)=2 donc C n’est pas diagonalisable

2) Puissances d’une matrice

λ1 ⋯ 0
Soit A ∈ℳ𝑛 (ℝ) une matrice diagonalisable, A=PDP-1 avec D=( ⋮ ⋱ ⋮)
0 ⋯ λn

λ1 k ⋯ 0
On a Ak =PDkP-1 avec k∈ℕ et Dk =( ⋮ ⋱ ⋮ )
0 ⋯ λn k

Démonstration A=n,PDP-1

Supposons Ak=PDkP-1

Ak+1=AkA=(PDkP-1)(PDP-1)=PDkIDP-1=PDk+1P-1

1 2 −5 0 1 2
Exemple A=( ) ;D=( ) ;P=( )
3 −4 0 2 −3 1
1 2 (−5)n 0 1 2 −1
An=PDnP-1=( )( ) ( )
−3 1 0 2n −3 1
1 −2
1 2 (−5)n 0
An=PDnP-1=( )( ) (7 7
1)
−3 1 0 2n 3
7 7

1 (−5)n 2n+1 1 −2 n
1 (−5) + 3 × 2
n+1
−2(−5)n + 2n+1
An = ( n ) (3 )= ( )
7 −3(−5)n 2 1 7 −3(−5) + 3 × 2n
n
6(−5)n + 2n

3) Théorème de Cayley-Hamilton

A ∈ℳ𝑛 (ℝ) et PA(λ) son polynôme caractéristique.

PA(A)=0

1 3
Exemple : A =( ) ;PA(λ)= λ2+3λ-10
2 −4
PA(A)=0 ⇔A2+3A-10I=0