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INSTITUT SUPERIEUR DE TECHNOLOGIE
Concours d’entrée 2nd CYCLE – Mai 2005

EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Nombre de pages : 3 SUJET A RENDRE A LA FIN de

Durée : 3 heures l'EPREUVE
Calculatrices et documents : calculatrices autorisées
COMMENCEZ par inscrire vos noms et prénoms, le centre de passage de l’examen et le numéro
de votre place sur chaque copie que vous rendrez.
Les surveillants ont pour consigne d’exclure du concours tout candidat qui tente de vouloir
copier sur un de ses voisins, d’accéder à des documents quels qu’ils soient, ou d’écrire avant le
signal de départ ou après le signal de fin de l’épreuve
EXERCICE I : 12 Points
(I)
2 0 4
 
Soit la matrice A =  3 − 4 12  canoniquement associée à un endomorphisme de R3.
1 − 2 5 
 
B0 = (e1, e2, e3) est la base canonique de R3.
1) (i) Déterminer le polynôme caractéristique de A.
(ii) Déterminer les valeurs propres de A que l’on notera λ1, λ2 et λ3 dans l’ordre croissant.
(iii) Montrer que v1 = -4e1+3 e2+2e3, v2 =-4e1 +e3 et v3 =2e1 + e2 sont des vecteurs propres
associés à A.
(iv) Justifier que B = (v1, v2, v3) est une base de R3.
2) Soit D la matrice diagonale semblable à A dans la nouvelle base B et P la matrice de passage de

l’ancienne base B0 à la nouvelle base B.
Donner l’expression des matrices P et D.
(II)
1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante :
3p+4
.
( p + 1 )( p − 1 )( p − 2 )
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CONCOURS IST 2ND CYCLE EPREUVE DE MATHEMATIQUES MAI 2005
2) Soit l’équation (ED) : x’’ (t)-3x’(t)+2x(t)=e-t avec x(0)=0 et x’(0)=3 où x est une fonction du temps,
x’’ et x’ sont les dérivées de x.
On note X(p) la transformée de Laplace de x(t).
(i) Soit a un nombre réel. Ecrire la transformée de Laplace de eat.
(ii) Exprimer en fonction de X(p) et de p, les transformées de Laplace de x’(t) et de x’’(t).
(iii) Ecrire (ED) à l’aide de p et de X(p).
(iv) En déduire l’expression de X(p) en fonction de p.
(v) En déduire x(t) la solution de (ED).
EXERCICE II : 06 Points
(I)
Soit la fonction f définie sur [0, +∞[ par : f(t)=0.5(t+1)e-t.
x
1) On note : F(x)= ∫ f(t)dt .
0
Vérifier que : F(x)=1-(0.5x+1)e-x, puis calculer Lim F (x) .

x → +∞
2) La durée de vie d’un automate programmable Industriel (en abrégé : A.P.I.) est une variable
aléatoire, notée T, dont la densité de probabilité f est définie sur l’intervalle [0, +∞[ par :
f(t)=0.5(t+1)e-t, l’unité de temps étant l’année.
x
P(T < x)=∫ f(t)dt est donc la probabilité que l’API soit hors service avant x années d’utilisation.
0
(i) calculer la probabilité pour que l’A.P.I. soit hors service avant x années d’utilisation.
(ii) Calculer la probabilité pour que l’A.P.I. soit encore en état de fonctionnement après deux
années d’utilisation.
(II)
1) Résoudre l’équation Z5=1. Les solutions seront données sous forme trigonométrique.
2) (i) Démontrer que la somme des solutions est nulle.
(ii) En déduire que cos 2π +cos 4π = −1 .

5 5 2
(iii) Exprimer cos 4 π en fonction cos 2π .
5 5
(iv) Calculer cos 2π et cos 4π .
5 5
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CONCOURS IST 2ND CYCLE EPREUVE DE MATHEMATIQUES MAI 2005
PROBLEME : 12 Points
On considère le signal définit par la fonction f de période 2π telle que : pour tout t∈[-π , π],
t −t
f(t)= e e .
+
4
1) Vérifier que f est paire.
2) (i) Montrer que les coefficients bn du développement en série de Fourier de la fonction f sont nuls.
(ii) Calculer a0.
3) On se propose de calculer pour tout entier naturel non nul,les coefficients an du développement en
série de Fourier de la fonction f.
(i) On définit la fonction g(t) = et-e-t. Calculer g’(t) et g’’(t).

π −t
I n=∫ (e +e )cosnt dt .
t
(ii) Calculer à l’aide de (i) et d’une double intégration par parties,
0
(iii) En déduire la valeur de an pour tout entier naturel non nul.
4) Ecrire le développement en série de Fourier du signal f
(−1)
n
5) (i) Justifier la convergence des séries numériques de termes général : et 1 .

2 2
n +1 n +1
(−1)
n
+∞ +∞
(ii) Calculer les sommes : ∑ 2 et ∑ 1 .
2
n +1
n =0 n =0
n +1
2 4 4
6) Soit la fonction g définie sur [0, π ] par : g (t ) = 1 − + cos 2t + cos 4t .
2 π 3π 15π
(i) Démontrer que : g est paire et g est périodique et admet pour période π.
(ii)
3π 5
(
On étudie les variations de g sur l’intervalle . Montrer que g'(t)=− 8 sin 2t 1+ 4 cos2t . )
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Nombre de pages : 3 SUJET A RENDRE A LA FIN de

1) (i) Déterminer le polynôme caractéristique de A.

2) Soit D la matrice diagonale semblable à A dans la nouvelle base B et P la matrice de passage de

(i) Soit a un nombre réel. Ecrire la transformée de Laplace de eat.

(ii) Exprimer en fonction de X(p) et de p, les transformées de Laplace de x’(t) et de x’’(t).

(iii) Ecrire (ED) à l’aide de p et de X(p).

(iv) En déduire l’expression de X(p) en fonction de p.

(v) En déduire x(t) la solution de (ED).

Soit la fonction f définie sur [0, +∞[ par : f(t)=0.5(t+1)e-t.

Vérifier que : F(x)=1-(0.5x+1)e-x, puis calculer Lim F (x) .

2) (i) Démontrer que la somme des solutions est nulle.

(ii) En déduire que cos 2π +cos 4π = −1 .

1) Vérifier que f est paire.

(i) On définit la fonction g(t) = et-e-t. Calculer g’(t) et g’’(t).

4) Ecrire le développement en série de Fourier du signal f

5) (i) Justifier la convergence des séries numériques de termes général : et 1 .

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