PR Rajae AZRAK - AN - MATHS1.SI (2) - Copie

Analyse Mathématique I
Module : Méthodes quantitatives I.

Elément : Analyse mathématique I.
Semestre I.
Pr. R. AZRAK 1
ANALYSE
MATHÉMATIQUE I
Pr. R. AZRAK 2
1ère Partie
Chapitre 1: Quelques outils d’Analyse nécessaire
Chapitre 2: Généralités sur les fonctions d’une variable réelle
Chapitre 3: Limite et Continuité d’une fonction d’une variable réelle
Chapitre 4: Dérivabilité d’une fonction d’une variable réelle
Chapitre 5: Développements limités
Chapitre 6: Calcul intégral
2ème Partie
Chapitre 7: Fonctions de plusieurs variables réelles

Chapitre 8: Fonctions de deux variables réelles
Chapitre 9: Optimisation
Pr. R. AZRAK 3
PLAN DU COURS
Première partie
Fonctions d’une variable réelle
Chapitre 1: Quelques outils d’Analyse nécessaire

Chapitre 2: Généralités sur les fonctions d’une variable réelle
Chapitre 3: Limite et Continuité d’une fonction d’une variable réelle
Chapitre 4: Dérivabilité d’une fonction d’une variable réelle
Chapitre 5: Développements limités
Chapitre 6: Calcul intégral
Pr. R. AZRAK 4
Quelques outils d’Analyse
nécessaire
Chapitre 1
Pr. R. AZRAK 5
Quelques outils d’Analyse nécessaire
Tableau des lettres grecques
Beaucoup de lettres seront utilisées, que ce soit pour les énoncés de
définition ou de résultats comme pour les preuves. A toutes fins utiles, nous
vous les rappelons dans leur forme majuscule, minuscule et dans leur
prononciation.
Pr. R. AZRAK 6
Intervalle fermé et borné (segment)

Intervalle fermé
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. On appelle intervalle fermé et borné
(appelé aussi segment) de tout ensemble de la forme
𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ , 𝑎 ≤ 𝑏
Intervalle ouvert
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. On appelle intervalle ouvert
d’extrémité a et b tout sous-ensemble de de la forme
]a, b[= 𝑥 ∈ , 𝑎 < 𝑏
De même
𝑎, +∞ = {x ∈ , 𝑎 < 𝑥}
−∞, 𝑏 = {x ∈ , 𝑥 < 𝑏}
Un cas particulier d’intervalle ouvert est l’ensemble tout entier:

= −∞, +∞ .
Pr. R. AZRAK 7
Intervalle semi-ouvert et borné
Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. On appelle intervalle semi-ouvert et

borné de tout ensemble de la forme
𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ , 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 ,
𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ , 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 .
Soient a et b deux réels. Par convention on appelle intervalle fermé et non
borné tout ensemble de la forme ⋅
𝑎, +∞ = {x ∈ , 𝑎 ≤ 𝑥}
−∞, 𝑏 = {x ∈ , 𝑥 ≤ 𝑏}.
Notation
On note les intervalles particuliers suivants:
+ = 0, +∞ , − = −∞, 0
∗ = 0, +∞ , ∗ = −∞, 0
+ −
La notation * désignant privé de 0.
Pr. R. AZRAK 8
9
Intervalles bornés
Pr. R. AZRAK 9
10
Intervalles non bornés
Pr. R. AZRAK 10
Remarques
• Un singleton {a} est considéré comme l’intervalle [a, a] et donc

c’est un cas particulier d’intervalle fermé.
• L’ensemble vide ∅ est considéré comme l’intervalle ]a, a[ donc

c’est un cas particulier d’intervalle ouvert. Comme c’est le
complémentaire de , on considère alors comme un
intervalle fermé.
• C’est la raison pour laquelle et ∅ sont considérés comme des

ensembles à la fois ouverts et fermés de .
Pr. R. AZRAK 11
Voisinage d’un point
Définition
Soit x0∈ . Un voisinage de x0 est une partie de contenant un intervalle
ouvert qui contient x0 .
On note V(x0 ): L'ensemble des voisinages de x0 .
Tout voisinage V de x0 contient un voisinage de la forme :

]x0 - 𝜀, x0 + 𝜀 [ , avec 𝜀 > 0.
Un tel voisinage est dit centré en x0 et on a :

]x0 - 𝜀, x0 + 𝜀 [ = {x ∈ ℝ ∕x0 - 𝜀 < x < x0 + 𝜀}.
Voisinage de + ∞
On appelle voisinage de + ∞ (respectivement de -∞), tout intervalle de la forme
]x0 ,+ ∞[ (respectivement de la forme ]- ∞, x0 [) où x0∈ .
Pr. R. AZRAK 12
Voisinage à droite et à gauche
Définition
Soit x0∈ , on appelle voisinage à droite de x0 (respectivement à gauche
de x0 ), tout intervalle semi-ouvert [x0 , x1[ avec x1 > x0 , ou l'intervalle
[x0,+∞[ (respectivement tout intervalle semi-ouvert ]x1, x0] avec x1 < x0 ,
ou l’intervalle −∞, x0 ).
Pr. R. AZRAK 13
Propriétés de ℝ
Règles de calcul
Pr. R. AZRAK 14
Pr. R. AZRAK 15
Attention: on ne soustrait pas des inégalités membre à membre !

C’est-à-dire que pour a, b c, d réels
si a ≤ b et c ≤ d on n'a pas a – c ≤ b – d !
Il faut d'abord passer par l'opposé pour la deuxième inégalité, puis

additionner membre à membre.
De même, on ne divise pas les inégalités membres à membre!

C’est à dire que pour tous a, b, c et d réels, avec c et d non nuls,
𝑎 𝑏
si a < b et c < d on n'a pas ≤ !
𝑐 𝑑
Il faut d'abord passer par l’inverse dans la deuxième inégalité, puis

multiplier (ça ne changera pas l’ordre si tous les membres sont
positifs….sinon il faut faire attention).
Pr. R. AZRAK 16
Remarques
L’opposé de a noté − a n’est pas nécessairement négatif !
L’opposé de a = −5 par exemple est −a =5 !
C’est une erreur que l’on rencontre souvent.
On rappelle encore une fois que l’on ne peut pas diviser par 0 !
Ainsi, lorsque l’on écrira un dénominateur, il faudra toujours
s’assurer que ce dernier est non nul.
Pour déterminer le signe d’une expression, il vaut mieux essayer
de factoriser l’expression quand c’est possible. Il est en effet
toujours plus facile de déterminer le signe d’un produit (par
tableau de signes) que le signe d’une somme.
Pr. R. AZRAK 17
Valeur absolue
Rappelons quelques propriétés des valeurs absolues que vous êtes

censés maîtriser depuis le lycée. Commençons par en donner la
définition.
Attention !!! Il ne faut surtout pas dire
Cette formule n’est vraie que si a > 0, ce qui n’est pas

forcément le cas tout le temps !!
Pr. R. AZRAK 18
Propriétés
Pr. R. AZRAK 19
Les identités remarquables
Ce sont des relations simples, vérifiées quels que soient les

nombres réels considérés, et qui sont souvent utilisées dans les
calculs et les démonstrations
• (a + b)(a − b) = a2 − b2
• (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
• (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
Pr. R. AZRAK 20
Puissance d’un nombre réel
Pr. R. AZRAK 21
Symbole de Sommation
Somme simple
Le symbole Σ (sigma) s’utilise pour désigner de manière générale la somme
de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice
que l'on fait varier de façon à englober tous les termes qui doivent être
considérés dans la somme.
Par exemple, la somme des n premiers entiers peut être représentée de la
façon suivante:
Pr. R. AZRAK 22
Lorsqu’on utilise le symbole de sommation, il est utile de

retenir les règles suivantes:
Pr. R. AZRAK 23
4
Pr. R. AZRAK 24
Combinaison
Définition
Une combinaison sans répétition (ou combinaison) des éléments choisis
parmi n, est une disposition non ordonnée de ces p éléments où chacun figure
au plus une fois.
Proposition
Le nombre de combinaison qu’on peut faire avec p éléments choisis parmi n
est égal à
Pr. R. AZRAK 25
Combinaison sans Remise

Définition
Pr. R. AZRAK 26
7

Combinaison avec Remises
Le nombre de combinaison de p objet parmi n avec remise est:
Propriétés des Combinaisons: La symétrie
Pr. R. AZRAK 27
On déduit des relations précédentes, la propriété de symétrie à savoir :
Il revient au même de donner la combinaison des p objets choisis ou bien

celles des (n-p) qui ne le sont pas.
Combinaison composée ou Formule de Pascal
Pr. R. AZRAK 28
Formule du binôme de Newton
A l’aide du symbole de la sommation, la formule précédente prend la

forme suivante:
Pr. R. AZRAK 29
Produit cartésien de deux Ensembles
Etant donné deux ensembles A et B décrits respectivement par l’élément a

et l’élément b, on appelle couple (a, b) ou doublet un objet tel que :
a est la première coordonnée et b la deuxième coordonnée du couple (a, b).
Ainsi, (0, 1) (1, 0).
Les couples (a, b) décrivent un nouvel ensemble appelé produit cartésien
de A et B et se note et se lit «A croix B » :
= a, b) / a et b .
Pr. R. AZRAK 30
Fonction Exponentielle
Pr. R. AZRAK 31
Pr. R. AZRAK 32
Fonction Logarithme népérien

Définition
Pr. R. AZRAK 33
Pr. R. AZRAK 34
Il sera utile quelques fois de connaître les logarithme de base 10 (en

général pour des applications en physique, chimie ou biologie), et donc
plus généralement les logarithmes de base a où a est un réel strictement
positif.
Logarithme de base a
Remarque
Le logarithme népérien ln est le logarithme de base e, c’est celui que l’on
utilisera le plus souvent, et c’est celui qui est le plus simple, que l’on
croise le plus naturellement.
Pr. R. AZRAK 35
Puissance et comparaison
Pr. R. AZRAK 36
Proposition
Comparons les fonctions ln x et 𝒆𝒙 :
Proposition:
Pr. R. AZRAK 37
Trigonométrie
La trigonométrie étudie les liens qui existent entre les longueurs des côtés
d’un triangle rectangle et les mesures de ses deux angles aigus.
Vocabulaire
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. On sait que
la somme des angles d’un triangle est égale à 180◦.
Par conséquent, en plus d’un angle droit, chaque triangle rectangle possède
deux angles aigus dont la somme des mesures est égale à 90◦. Ce sont des
angles complémentaires. La figure suivante va nous permettre de définir le
côté adjacent et le côté opposé à un angle aigu dans un triangle rectangle.
Pr. R. AZRAK 38
Définitions
Dans un triangle rectangle, le sinus, le cosinus et la tangente sont définis
pour chacun des deux angles aigus. Il s’agit à chaque fois d’un rapport de
longueurs qui ne dépend pas de la taille du triangle mais de la mesure de
l’angle considéré.
Définition du Sinus
Pr. R. AZRAK 39
Représentation de la fonction sinus
Pr. R. AZRAK 40
Définition du cosinus
Pr. R. AZRAK 41
Représentation de la fonction cosinus
Pr. R. AZRAK 42
Pr. R. AZRAK 43
Pr. R. AZRAK 44
Fonction cotangente
Représentation de la fonction cotangente
Pr. R. AZRAK 45
6
Première Partie
FONCTION RÉELLE
D'UNE VARIABLE RÉELLE
Chapitre 2
Pr. R. AZRAK 46
Fonction réelle d’une Variable Réelle
Définition
Soient A et B deux parties de ℝ.
On dit que f est une fonction de A vers B si tout nombre réel x de A a
pour image par f au plus un (i.e. un ou zéro) nombre réel de B.
f ainsi définie est une fonction de la variable réelle x.
Notation
Ensemble de définition
L'ensemble de définition de f , est la partie de A dont les éléments ont une
image dans B.
Pr. R. AZRAK 47
En pratique
Comment déterminer l’ensemble de définition

d’une fonction ?
Il faut retenir :
lorsque f est une fonction rationnelle, le dénominateur doit toujours être
différent de 0 (On ne peut pas diviser par 0).
une expression sous radical doit toujours être positive ou nulle.
On ne peut pas calculer le logarithme d’un nombre
négatif.
ATTENTION !!!!
Les fonctions étudiées sont toujours définies sur des intervalles ou des
réunions d'intervalles.
Pr. R. AZRAK 48
Exemples
1)
2)
3)
4)
Pr. R. AZRAK 49
Vous avez bien compris ?
Déterminer les domaines de définition des fonctions

suivantes :
Réponses:
Pr. R. AZRAK 50
Il sera très utile parfois de regarder si notre fonction (et donc son graphe)
est symétrique soit par rapport à l’origine 0 soit par rapport à l’axe des
ordonnées (c’est à dire la droite d’équation x = 0). En effet, cela nous
permettra de n’étudier la fonction que sur une partie de son domaine,
l’autre partie se déduisant par symétrie. C’est extrêmement pratique
notamment quand on utilisera des valeurs absolues. Pour cela nous devons
définir la parité d’une fonction.
Pr. R. AZRAK 51
Parité
Si f (− x) = f (x) alors la fonction f est paire
Si f (− x) = − f (x) alors la fonction f est impaire
Exemples
Les fonctions suivantes sont des fonctions paires
Les fonctions suivantes sont des fonctions impaires
Pr. R. AZRAK 52
Courbe représentative de f
DEFINITION
La courbe représentative de f (noté Cf ) est l’ensemble des couples (x; f (x))
pour x appartenant au domaine de définition.
PROPRIÉTÉ
• Si la fonction f est paire, alors Cf est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées (droite d’équation y = 0).
• Si la fonction f est impaire, Cf est symétrique par rapport à l’origine (le
point de coordonnées (0; 0))
Pr. R. AZRAK 53
Fonction périodique
Soit f définie sur une partie D de ℝ. On dit que f est périodique s’il existe
un nombre réel non nul T tel que, pour tout x de D, x + T de D
f (x + T) = f (x).
Ce nombre T est la période de f, s’il est le plus petit réel positif qui vérifie
cette relation.
Pr. R. AZRAK 54
Pr. R. AZRAK 55
Egalité de deux fonctions

Deux fonctions f et g sont égales si et seulement si:
elles ont le même ensemble de définition:
pour tout x de cet ensemble de définition, f(x) = g(x).
Fonction composée
Déjà, une fonction composée, c’est quoi ?
Et bien ce sont tout simplement 2 fonctions qui sont regroupées ensemble !
Le domaine de g ∘ f est la partie du domaine de f telle que f (x) appartienne

au domaine de g.
Pr. R. AZRAK 56
Attention
En général, la composition des fonctions n’est pas une opération
commutative (c’est-à-dire qu’en général : 𝑔 ∘ 𝑓 ≠ 𝑓 ∘ 𝑔) d'où la
nécessité de faire attention à l'ordre des calculs.
Exemple 1
Pr. R. AZRAK 57
Exemple 2
Pr. R. AZRAK 58
Fonction
croissante – décroissante
Fonction croissante
Fonction décroissante
Pr. R. AZRAK 59
Fonction monotone
Définition
On dit qu’une fonction est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Si une fonction est strictement croissante ou strictement décroissante, on dit
qu’elle est strictement monotone.
Exemple
Pr. R. AZRAK 60
Concavité et convexité
Définition
On dit qu’une fonction f est concave sur un intervalle I si :
Définition
On dit qu’une fonction f est convexe sur un intervalle I si :
Remarque
• Lorsqu’on peut écrire les définitions précédentes avec des inégalités
strictes, on dira que f est strictement concave ou strictement convexe.
• Ne pas confondre ensemble convexe et fonction convexe
Pr. R. AZRAK 61
Fonction d’une Variable Réelle
Extremum
Extremum absolu (ou global) d’une fonction
Définition
On dit que f admet au point x0 maximum (respectivement un minimum)
absolu ou global si :
V x€ D, f (x) ≤ f(x0 ) (respectivement f(x) ≥ f(x0 )).
Pr. R. AZRAK 62
Limites d’une fonction
d’une seule variable
Chapitre 3.
Pr. R. AZRAK 63
Limites d’une fonction d’une seule variable
Jusqu’à présent la notion de limite que vous aviez vue au lycée

était assez “intuitive”. Pour une application f définie sur un
intervalle I il s’agissait de voir, pour un x dans I vers quoi tendait la
valeur f(x) quand x “tendait” vers une valeur a de I. Cette limite
quand elle existait était notée par un réel l ou autre chose selon les
circonstance.
Nous allons essayer de mettre sous forme mathématique cette
intuition. Mais auparavant nous allons bien définir vers quoi tend x
pour avoir la limite. Quand on cherche la limite d’une fonction f
quand x tend vers a il faut que x appartienne bien sûr au domaine
de définition de f sinon chercher vers quoi peut tendre f(x) n’a
aucun sens étant donné que f(x) n’est pas défini.
Pr. R. AZRAK 64
Limite finie
Exemple
Pr. R. AZRAK 65
Vous avez compris?
Calculer les limites suivantes:
Réponses:
".
.
Pr. R. AZRAK 66
Limite infinie
Exemple
,
Pr. R. AZRAK 67
Exemples
Calculer les limites suivantes:
Réponses:
Limite vaut 0.
Pr. R. AZRAK 68
Limite à gauche - Limite à droite

Définition
Définition
Pr. R. AZRAK 69
On distingue 3 cas :
Premier cas
Pr. R. AZRAK 70
2ème cas
Pr. R. AZRAK 71
3ème cas
Pr. R. AZRAK 72
Limites des fonctions de référence
Pr. R. AZRAK 73
Les Limites remarquables

Fonction Exponentielle
Pr. R. AZRAK 74
Fonction Logarithme
Pr. R. AZRAK 75
Opérations sur les limites
Pr. R. AZRAK 76
Opérations sur les limites Somme
Pr. R. AZRAK 77
Opérations sur les limites Produit
Pr. R. AZRAK 78
Opérations sur les limites Inverse
Pr. R. AZRAK 79
Opérations sur les limites Quotient
Pr. R. AZRAK 80
Exemple 1
Pr. R. AZRAK 81
82
Exemple 2
Pr. R. AZRAK 82
Limite d’une fonction polynôme
Définition
On appelle fonction polynôme toute fonction définie sur dont
l’expression
algébrique est de la forme:
f (x)= a + a x +,..., + a x n .
0 1 n
a , a ,..., a des réels.
0 1 n
a x n est le terme de plus haut degré
n
Où n est un entier naturel et est appelé le degré de f.
Théorème
La limite d’une fonction polynôme lorsque x tend vers est égale
à la limite de son terme de plus haut degré.
Pr. R. AZRAK 83
Pr. R. AZRAK 84
Limite en l’infini d’une fonction rationnelle

Définition
On appelle fonction rationnelle tout quotient de deux fonctions polynômes.
Théorème
La limite d’une fonction rationnelle en + infini ou en – l’infini est égale à la
limite
du rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Démonstration
Pr. R. AZRAK 85
Pr. R. AZRAK 86
Exemples
On adapte la méthode précédente, puisque dans une fraction rationnelle, le
numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes. Au
numérateur, on factorise par la puissance la plus grande et de même au
dénominateur, puis, on simplifie les deux puissances factorisées.
Pr. R. AZRAK 87
Par la suite, on peut éviter cette factorisation en utilisant le théorème

suivant :
Théorème
Toute fonction rationnelle non nulle admet en l’infini la même limite que
le quotient du terme de plus haut degré de son numérateur par le terme de
plus haut degré de son dénominateur.
Pr. R. AZRAK 88
Exemples
Pr. R. AZRAK 89
Les cas classiques d’indétermination
Pr. R. AZRAK 90
LEVER UNE FORME INDÉTERMINÉE
MÉTHODE 1 : FACTORISER LE TERME DE PLUS HAUT DEGRÉ
Pr. R. AZRAK 91
Exemple 1
Pr. R. AZRAK 92
Exemple 2
Pr. R. AZRAK 93
0
Indéterminations de type
0
Pr. R. AZRAK 94
Exemple
Pr. R. AZRAK 95
MÉTHODE 2
MULTIPLIER PAR L' EXPRESSION CONJUGUÉE
Exemples
Pr. R. AZRAK 96
Pr. R. AZRAK 97
2)
Pr. R. AZRAK 98
99
3)
Pr. R. AZRAK 99
Pr. R. AZRAK 100

Pr. R. AZRAK 101

Détermination des asymptotes

Premier cas
Exemples
Pr. R. AZRAK 102

Deuxième cas : xlim f ( x)
f ( x)
lim 0, alors la courbe C f ,admet une branche paraboliquede direction (OX)
x x
f ( x)
lim , alors la courbe C f ,admet une branche paraboliquede direction (OY)
x x
f ( x)
lim a, a , alors on passe au calcule de lim f ( x) ax
x x x
Si xlim f ( x) ax b, alors la droite d'équation y = ax+b est uneasymptote

Si xlim f ( x) ax , alors la courbe Cf , admet une branche parabolique
dedirection la droite y = ax
Pr. R. AZRAK 103

Exemple
Pr. R. AZRAK 104

105
Fonctions équivalentes
Définition
f ( x)
lim 1
x x0 g ( x)
Pr. R. AZRAK 105

Exemple
Attention
Une fonction n’est jamais équivalente à 0, sauf si elle est identiquement

nulle au voisinage du point x .
0
Pr. R. AZRAK 106

Pr. R. AZRAK 107

Proposition
Exemple
Pr. R. AZRAK 108

Continuité d’une Fonction
D’une seule variable
Pr. R. AZRAK 109

Continuité d’une Fonction d’une seule variable
Jusqu’à présent nous ne nous sommes pas posés de questions à

propos de la continuité de fonctions. Intuitivement, une fonction
continue, est à nos yeux une fonction dont le graphe est en un “seul
morceau”, ”sans coupure”.
Voyons dans ce chapitre comment formaliser mathématiquement la
notion de continuité. Un peu comme nous l’avons fait pour définir la
notion de limite de fonctions.
Pr. R. AZRAK 110

Continuité en un point
Définition
Pr. R. AZRAK 111

Intuitivement, une fonction est continue si et seulement si on peut la

représenter graphiquement en un seul trait, sans avoir à lever le crayon
de sa feuille.
lim f(x) f(a)

x a
x a
Remarque
Contrairement, à ce qui se passait pour la notion de limite, on impose à la
fonction d’être définie au point
x0.
Pr. R. AZRAK 112

Exemples de fonctions continues
x 0
.
Pr. R. AZRAK 113
Fonction discontinue
Cas de discontinuité
Exemple
Pr. R. AZRAK 114

Exemples de Représentation des Fonctions non

continues en un point
En remplaçant la limite par une limite unilatérale dans la

définition de la continuité, on définit la notion de
continuité unilatérale.
Pr. R. AZRAK 115

Fonction continue à droite et à gauche
Pr. R. AZRAK 116

Pr. R. AZRAK 117

Pr. R. AZRAK 118

Pr. R. AZRAK 119

Pr. R. AZRAK 120

Propriétés des fonctions continues
Pr. R. AZRAK 121

Corollaire
Pr. R. AZRAK 122

Attention!!!
Il serait faux de croire que l’image par une fonction f de
l’intervalle [a, b] soit l’intervalle [f(a), f(b)] (voir la figure
ci-dessous):
Pr. R. AZRAK 123

Prolongement par continuité
Définition
Pr. R. AZRAK 124

Exemple
La fonction définie par :

x2 2x 3
f(x)
x 1
n’est pas définie en x = 1.
Elle n’est donc pas continue en x = 1.
lim f(x) 4
x 1
x 1
Cependant, On peut donc définir le prolongement par

continuité de f en 1:
x2 2x 3
g(x) f(x) si x 1
x 1
g(1) 4
Pr. R. AZRAK 125

Exemple
Pr. R. AZRAK 126

Continuité sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

• Lorsque I est un intervalle ouvert et lorsque f est continue en tout point
de I, on dit que f est continue sur I.
• Lorsque I = [ a, b], où a <b, on dit que f est continue sur I f est continue
]a, b[, continue à droite en a et continue à gauche en b.
De même pour les autres intervalles mixtes.
Pr. R. AZRAK 127

Théorème des valeurs intermédiaires
Autrement dit, toute valeur intermédiaires aux images de deux points

d’un intervalle où f est continue est-elle-même une image et admet un
antécédent intermédiaire à ces deux points.
Corollaire
Pr. R. AZRAK 128

Dérivabilité d’une fonction
réelle d’une seule variable
Chapitre 4.
Pr. R. AZRAK 129

Dérivabilité
Ce chapitre se trouve dans la suite logique des chapitres

précédents. Ainsi, après avoir défini les fonctions, étudié leurs
limites et leur continuité, nous intéressons à un aspect
important de la théorie de l’analyse : les dérivées.
La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse.

Elle permet d’étudier les variations d’une fonction, de construire
des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes
d’optimisation.
Dans ce chapitre, nous ne considérons que des fonctions

réelles de la variable réelle c'est-à-dire des fonctions de ℝ dans
ℝ . Par ailleurs, les intervalles considérés sont des intervalles
de longueur non nulle (c’est-à-dire non vides et non réduits à
un point).
Pr. R. AZRAK 130

Dérivabilité: Dérivabilité en un point
Définition
Pr. R. AZRAK 131

Pr. R. AZRAK 132

Pr. R. AZRAK 133

Pr. R. AZRAK 134

Lorsque la fonction f est dérivable sur un intervalle I, on note f ′ , la

fonction dérivée qui à tout x de I associe son nombre dérivée f ′ (x).
Pr. R. AZRAK 135

Dérivabilité: :Equation de la tangente
en un point de la courbe y = f(x)
Autre chose à noter : si on te demande de donner l’équation

d’une tangente en a, il faut donc connaître f ‘(a) et f(a) pour
remplacer dans la formule.
Il est alors conseillé de calculer d’abord f ‘, puis f ‘(a) .
Pr. R. AZRAK 136

Dérivabilité : Dérivabilité à gauche et à droite
Pr. R. AZRAK 137

Dérivabilité: Lien entre continue et dérivable
Exemple
f est-elle dérivable en 0 ?
Il s'ensuit que n'existe pas dans
f est donc dérivable à gauche et à droite en 0 mais n'est pas dérivable

en 0, car la limite à gauche est différente de la limite à droite.
Pr. R. AZRAK 138

Remarque
L’existence d’un nombre dérivé en a à droite (respectivement à gauche)
équivaut à l’existence d’une demi-tangente en A (a, f(a)) à droite
(respectivement à gauche).
Corollaire
Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle
de leur domaine de définition.
A ne pas mélanger les deux !!!
Beaucoup d'étudiants disent "la fonction est continue
donc elle est dérivable"
C'EST FAUX !! C'est l'inverse : elle est dérivable donc
elle est continue.
Ainsi une fonction peut être continue en un point sans
être dérivable en ce point.
Pr. R. AZRAK 139

Proposition
Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.
f est dérivable en x0 => f est continue en x,
Démonstration. Supposons f dérivable eu x0, alors la limite
existe et finie, en multipliant par la fonction (𝑥 − 𝑥0 ) qui tend vers 0. on en

déduit que
Mais n’y est absolument pas dérivable en x = 0 :
Pr. R. AZRAK 140

ATTENTION !
la réciproque est FAUSSE !!!
Par exemple, la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥 est continue en 0,
mais n'est pas dérivable en ce point:
𝑓𝑑′ 0 = 1 𝑒𝑡𝑓𝑔′ 0 = −1.
Remarque
La réciproque de ce théorème est fausse. Pour s'en rendre compte, on peut
s'appuyer sur une représentation graphique. Si une (onction est continue
sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Si la
fonction est dérivable. Sa représentation graphique admet une tangente
en chacun de ses points.
La fonction dont la représentation est ci-contre, est
bien continue en a, car la courbe est en un seul
morceau. Par contre, la fonction n'est pas dérivable en
a. car la représentation admet au point A deux demi-
tangentes. On dit que la courbe admet un point
anguleux.
Pr. R. AZRAK 141

Dérivabilité: Règles de dérivation
Pour le calcul de la dérivée en un point: revenir à la définition.

Pour le calcul de la dérivée sur un intervalle ouvert : utiliser
les dérivées de fonctions connues et les règles de calcul des
dérivées.
Pr. R. AZRAK 142

Conséquences :
• une fonction polynôme est dérivable sur R, et sa dérivée est un
polynôme.
• une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est dérivable
sur son ensemble de définition, et sa dérivée est une fonction rationnelle.
ATTENTION !! Il ne faut surtout pas dire que (u × v)’ = u’ × v’.

En gros il ne faut pas dériver bêtement chaque terme, il faut
bien appliquer la formule !!
Pour les quotients c’est exactement la même chose, on
applique la formule.
Pr. R. AZRAK 143

Exemple on applique la formule
La raison principale c'est : à quoi ça sert de développer ??

En effet, rien ne va se simplifier... au numérateur en revanche, on va
avoir des termes qui vont se simplifier :
Pr. R. AZRAK 144

Dérivabilité: Dérivée des fonctions puissance
Pr. R. AZRAK 145

Dérivabilité: Dérivée des fonctions puissance
Si vous devez dériver une fonction avec un exposant

dépendant de x il faut absolument repasser à la forme
exponentielle.
Par exemple si 𝑓 𝑥 = 2𝑥
alors on réécrit d'abord 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛2 pour pouvoir calculer
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑙𝑛2. 𝑒 𝑥𝑙𝑛2 = 2𝑥 𝑙𝑛2
Remarque
Une fois qu’on connait les formules, il n’y a aucun souci !!
Evidemment un peu d’entraînement avec des exercices sur les
dérivées de produits et de quotients ne feront pas de mal.
Pr. R. AZRAK 146

Dérivabilité: Dérivée des fonctions trigonométriques
La dérivée des fondions trigonométriques est donnée par le

tableau suivant :
Pr. R. AZRAK 147

Dérivabilité: Dérivée d’une fonction composée
Si la fonction f est dérivable en 𝑥0 et si la fonction 𝑔 est dérivable en 𝑦0
(où 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 )), alors la fonction composée 𝑔 ∘ 𝑓 est dérivable en 𝑥0 et
est définie par :
′
𝑔∘𝑓 𝑥0 = 𝑔′ 𝑓 𝑥0 𝑓′(𝑥0 )
Exemple
Pr. R. AZRAK 148

Dérivabilité: Dérivée d’une fonction composée
Pr. R. AZRAK 149

Dérivabilité: Composées particulières à retenir
Dérivée d’une fonction réciproque
Pr. R. AZRAK 150

Dérivabilité: Dérivabilité sur un intervalle
Fonction dérivée et classe C1
Pour montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle I

S’il n’y a pas de "point à problème", on justifie la dérivabilité en utilisant les
opérations sur les fonctions dérivables.
S’il y a un "point à problème" :
• on justifie la dérivabilité en dehors du point à problème à l’aide des
opérations usuelles
• on justifie la dérivabilité au point à problème avec la définition, en
calculant la limite du taux d’accroissement.
A retenir : Toutes les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de
définition SAUF √ · ET | · |, non dérivables en 0.
Pr. R. AZRAK 151

Dérivabilité: Dérivabilité sur un intervalle
Pr. R. AZRAK 152

Dérivabilité: Dérivées d’ordre n
Définitions
Pr. R. AZRAK 153

Dérivabilité: Dérivées d’ordre n
Pr. R. AZRAK 154

Dérivabilité: Formule de leibnitz
Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions n-fois dérivables sur un intervalle I, alors le

produit des deux fonctions 𝑓 et 𝑔 est n-fois dérivables sur I et on a :
Pr. R. AZRAK 155

Dérivabilité: Formule de Leibnitz
Exemple 1
Pr. R. AZRAK 156

Dérivabilité: Formule de Leibnitz
Exemple 2
Pr. R. AZRAK 157

Dérivabilité: Différentielle en un point
Autrement dit: Pour une fonction d’une seule variable f (disons de ℝ dans
ℝ) que l’on suppose dérivable, on appelle différentielle de f et on note
𝑑𝑓(𝑥) par :
𝑑𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥, qui au point 𝑎, on a 𝑑𝑓𝑎 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑎 𝑑𝑥
Pr. R. AZRAK 158

Exemple
𝑓 𝑥 = 1/𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = −1/𝑥 2
Au point 𝑥0 = 1 𝑑𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 1 𝑑𝑥 = −𝑑𝑥
Remarques
La différentielle d’une fonction en un point a exprime l’idée que cette
fonction est localement proche d’une fonction affine. Il y a donc
équivalence avec la dérivabilité en a.
Le calcul de la différentielle d’une fonction, pour une valeur quelconque
de x, se déduit immédiatement de la fonction dérivée.
Propriétés des différentielles
Pr. R. AZRAK 159

Dérivabilité: Elasticité
Pr. R. AZRAK 160

Dérivabilité: Elasticité
Exemple
Propriétés
Pr. R. AZRAK 161

Dérivabilité: Théorème de Rolle
si on trace une courbe dérivable entre deux points du plan, avec même
ordonnée au départ et à l’arrivée, alors il y a toujours un point où la
tangente est horizontale.
Théorème
Exemple
Pr. R. AZRAK 162

Dérivabilité: Règle de l’Hôpital
Exemples
ex 1 ex
lim lim 1
x 0 x x 0 1
1
ln x
lim lim x 0
x 0 x x 0 1
Pr. R. AZRAK 163

Pr. R. AZRAK 164

Pr. R. AZRAK 165

Dérivabilité: Plan d’étude d’une fonction
Les étapes de l’étude d’une fonction f :

1. détermination de son ensemble de définition Df ,
2. symétrie afin de réduire le domaine d’étude,
3. Limite – Continuité
4. Dérivabilité
5. sens de variation,
6. comportement à l’infini
7. recherche des asymptotes,
8. tableau de variation,
9. courbe représentative.
Pr. R. AZRAK 166

Dérivation: Sens de variations d’une fonction
L’étude des variations d’une fonction dérivable à

consiste à étudier le signe de la dérivée.
On va utiliser les dérivées pour examiner les notions de:

Monotonie,
Extremum
Concavité ou Convexité,
Point d’inflexion.
Pr. R. AZRAK 167

Dérivabilité: Monotonie
Théorème
Exemple
Pr. R. AZRAK 168

Dérivabilité: Extremum
La condition nécessaire (CN)

Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈I. Si f est
dérivable en x0 et si f présente un extremum local en x0, alors f ′(x0 ) = 0.
C’est la condition nécessaire (CN). Un point vérifiant la condition nécessaire
s'appelle point stationnaire.
Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I. Si
f ′ s′annule en x0 en changeant de signe alors f admet un extremum local en
x0 .
Exemple
𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 15𝑥² + 36𝑥 + 7
Ainsi. f' s'annule aux point 2 ou 3 tout en changeant de signe. Donc, 2 et 3

sont des extremum locaux de f .D'après le tableau de variation, on peut
même affirmer que 2 est un maximum local et que 3 est un minimum local.
Pr. R. AZRAK 169

Dérivabilité: Extremum
La condition suffisante (CS)

Théorème
• Si f est une fonction dont la dérivée seconde f (x) est continue dans un
intervalle I avec f ′ (x0 )= 0 et f (x0) ≠ 0, alors f admet un extremum au
point x0. En plus:
• si f (x0) > 0, alors l’extremum est un minimum (CS).
• si f (x0) < 0, alors l’extremum est un maximum (CS).
Exemple
Pr. R. AZRAK 170

Dérivabilité: Concavité - Convexité
Théorème
Soit f une fonction de classe C 1 sur un intervalle I. Alors :
• f est convexe sur I, si et seulement si, f ′ est croissante sur I.
• f est concave sur I, si et seulement si, f ′ est décroissante sur I.
Proposition
Soit f une fonction de classe C 2 sur un intervalle I. Alors :
• f est convexe sur I, si et seulement si, pour tout x ∈ I, f ′′(x) > 0.
• f est concave sur I, si et seulement si, pour tout x ∈ I, f ′′(x) < 0.
Pr. R. AZRAK 171

Dérivabilité: Point d’inflexion
Définition
Soit 𝑓 une fonction et Cf sa courbe représentative. Un point d'inflexion de la courbe
Cf est un point où la courbe Cf traverse sa tangente en ce point. C'est aussi le point
où la convexité change de sens.
Théorème
Soit 𝑓 une fonction de classe C² sur un intervalle ouvert I, et soit 𝑥0 ∈ 𝐼. Le point
𝑀0 (𝑥0 , 𝑓 𝑥0 ) est un point d'inflexion de la courbe Cf si et seulement si, f’’
s’annule et change de signe en 𝑥0 .
Exemple : Soit f la fonction définie sur par 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 6𝑥². On peut montrer
que f admet deux points d'inflexion qui sont 1 et -1.
Pr. R. AZRAK 172

Dérivabilité: Les asymptotes
Pr. R. AZRAK 173

Dérivabilité: Les asymptotes
Pr. R. AZRAK 174

Dérivabilité: Exemple d’étude d’une fonction
Pr. R. AZRAK 175

Pr. R. AZRAK 176

Exercice d’entraînement
𝑥
−2
Soit f la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 .
a) Etudier les limites de f à l'infini.
b) Calculer la dérivée de la fonction f.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
d) Tracer la courbe représentative de la fonction f.
Pr. R. AZRAK 177

Pr. R. AZRAK 178

Dérivabilité: Polynômes de Taylor
L’idée est de remplacer une fonction f que l’on ne sait pas calculer (ou
difficilement) par un polynôme, qui est facilement calculable. on approche
une fonction par un polynôme de degré n, est que le reste soit négligeable
devant
Pr. R. AZRAK 179

Notation o
Pr. R. AZRAK 180

Le résultat de base, le seul que vous ayez vraiment besoin de retenir,
dit que sous les hypothèses de la définition 1, le reste de
Taylor 𝑅𝑛 𝑥 est négligeable devant x𝑛 au voisinage de 0, donc la
fonction admet un développement limité, dont la partie polynomiale
est son polynôme de Taylor d’ordre n.
Théorème
Soient I un intervalle ouvert contenant 0, et n un entier. Soit f une fonction
dérivable n − 1 fois sur I, et dont la dérivée nième en 0 existe. Soit Rn son
reste de Taylor d’ordre n en 0 :
n n
Autre notation: o ( x )=x ε(x)
Pr. R. AZRAK 181

Exemples
1. Effectuer un développement de Taylor de la fonction:

f(x) = ex, en x=0, à l’ordre 3.
2 3
x x x 3
e 1 x o(x )
2! 3!
2. Effectuer un développement de Taylor de la fonction
f(x) = ln(1+x), en x = 0, à l’ordre 2.
x2
ln(1 x) x o(x 2 )
2
Pr. R. AZRAK 182

Développements limités
Les développements limités sont l’outil principal d’approximation
locale des fonctions. L’objectif de ce chapitre est de vous apprendre à
les calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler
des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison
des fonctions et la dérivation.
Chapitre 5
Pr. R. AZRAK 183

Pour n’importe quelle fonction, nous allons trouver le

polynôme de degré n qui approche le mieux la fonction. Les
résultats ne sont valables que pour x autour d’une valeur fixée
(ce sera souvent autour de 0). Ce polynôme sera calculé à
partir des dérivées successives au point considéré.
Par exemple, prenons la formule de Taylor-Young au
voisinage de a: Soit f une fonction de classe 𝐶 𝑛 sur
l’intervalle I et a ∈ I. Alors ∀x ∈ I:
Pr. R. AZRAK 184

Définitions usuelles
Pr. R. AZRAK 185

Nous nous ramènerons toujours à des développements

limités au voisinage de 0, grâce à la proposition 1
Proposition 1.
Soit I un intervalle ouvert de , a un point de I et n un entier. Soit f une
fonction définie sur I. Soit g la fonction qui à h associe g(h) = f (a + h). La
fonction f admet un développement limité d’ordre n en a, si et seulement si g
admet un développement limité d'ordre n en 0.
Proposition 2.
Soient I un intervalle ouvert contenant 0, et n un entier. Soit f une fonction
définie sur I. Supposons qu'il existe deux polynômes 𝑃𝑛 et 𝑄𝑛 de degré n tels
que au voisinage de 0 :
On simplifie les écritures, on écrit des développements limités en 0.
Pr. R. AZRAK 186

Exemple
Chercher un
Pr. R. AZRAK 187

Développements Limités usuels
On va établir les développements limités en 0 des fonctions usuelles. Pour

cela, on utilise la formule de Taylor-Young avec a = 0 (formule de Mac-
Laurin), ce qui donne pour une fonction f de classe Cx :
Pr. R. AZRAK 188

Pr. R. AZRAK 189

Remarques
Le premier terme du développement limité est un équivalent de la
fonction. On reconnaît ainsi sans difficulté les équivalents usuels en 0 de
ln(1 + x), exp(x) − 1, . . ..
Pour trouver les développements limités au voisinage de 0 de ln (1 – x) et

1
de , il suffit de remplacer x par – x dans les parties régulières de
1+x
1
développement de ln (1+x) et de .
1−x
Si f est la dérivée de g, la partie régulière du développement d’ordre n de

f est la dérivée de la partie régulière du développement d’ordre n + 1 de g.
1
Par exemple, la fonction g(x) = ln (1+x) et f (x) = .
1+x
Tronquer un polynôme à l’ordre n signifie que l’on conserve seulement

les monômes de degré inférieur ou égal à n.
Pr. R. AZRAK 190

D'une façon générale, une fonction f(x), quand x 0 est équivalente au

premier terme non nul de son éventuel développement limité au voisinage
de 0.
Pr. R. AZRAK 191

Exemple
Pr. R. AZRAK 192

Opérations algébriques
Proposition 1.
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de .
Si f et g admettent chacune un DL„(0) alors :
• f + g admet un DLn (0), et la partie régulière de celui-ci est la somme des
parties régulières des DLn (0) de f et g.
• f g admet un DLn (0), et la partie régulière de celui-ci est le produit des
parties régulières des DL„(0) de f et g, en supprimant les termes de degré
>n.
Pr. R. AZRAK 193

Exemples
3.
4.
Pr. R. AZRAK 194

195
Proposition 2. Composée
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de . Si f et g
admettent chacune un DLn(0), et si lim f (x) = 0 alors gof admet un
DLn(0), obtenu en composant les parties régulières des DLn(0) de g et f.
Pr. R. AZRAK 195

Quotient
Remarques
Exemple
Pr. R. AZRAK 196

1
Calculer le développement limité suivant au point 0 : à l’ordre 4
1+𝑥+𝑥²
Ici 𝑓 𝑥 = 1 et 𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 et on pose la division suivant les puissances
croissantes en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à 4 :
Pr. R. AZRAK 197

Pr. R. AZRAK 198
Autre méthode
La partie régulière du développement limité d’ordre n de f(x)/g(x) s’obtient
en divisant suivant les puissances croissantes la partie régulière du
développement limité de f(x) par celle de g(x) jusqu’`a l’ordre n.
Exemple:
Trouver le développement limité d'ordre 2 au voisinage de x = 0, de la fonction
suivante :
On divise les parties régulières suivant les puissances croissantes, on

obtient :
Pr. R. AZRAK 199

Pr. R. AZRAK 200

primitive ou d’une dérivée
Intégration d’un DL: Théorème
Exemple
Soit les fonctions f et g données par
𝑓(𝑥) = 1/(𝑥 + 1)
𝑔(𝑥) = ln(𝑥 +1)
Chercher le DL au voisinage de 0 de la fonction g à partir de celui de la
fonction f.
Le DL au V(0) de f est donnée par: 1 − 𝑥 + 𝑥² −…
Toute primitive F de f admet un DL d’ordre n+1 au V(0) donnée par:
𝐹(𝑥) = ln(𝑥 + 1) = 𝑥 – 𝑥²/2 + …
Pr. R. AZRAK 201

202
Proposition
Si
f est dérivable dans un voisinage de 0,
f admet un DL d’ordre n au voisinage de 0, et
f ’ admet un DL d’ordre (n-1) au voisinage de 0
Alors
La partie régulière du DL de f ’ est égale à la dérivée de la partie régulière
du DL de f.
Exemple
Soient deux fonctions f et g définies par :
f(x) =1/(1 - x) et g(x) = 1/(1-x)²
Chercher le DL à l’ordre 3 au V(0) de g.
Il est clair que:
f ’(x) = g(x)
On sait que: (fonction usuelle)
f (x) = 1+ x+ x²+…
D’où: g(x) = f ’(x) = 1+ 2x + 3x².
Pr. R. AZRAK 202

Écrire un DL à l'ordre 5 de log(1 + x²).
On peut obtenir le DL(0) à l’ordre n-1 de x → 1/ (1−x)² on remarque qu’il
Pr. R. AZRAK 203

au voisinage d’un point ou de l’infini
Exemples
Pr. R. AZRAK 204

2)
3)
Pr. R. AZRAK 205

Remarques
Si une fonction f admet un développement limité au V(0) d’ordre n, elle

admet un développement limité au V(0) d’ordre p n.
Pr. R. AZRAK 206

Application des D.L
Recherche des limites pour enlever l’indétermination

Recherche des fonctions équivalentes
Position d’une courbe par rapport à sa tangente
Pr. R. AZRAK 207

Application des DL
Recherche des limites (pour enlever l’indétermination)
Les développements limités peuvent être utiles pour le traitement des formes
indéterminées.
Application des DL
Pr. R. AZRAK 208

Application des DL
Pr. R. AZRAK 209

Pr. R. AZRAK 210

Application des DL
Recherche des fonctions équivalentes
Au Voisinage de 0, toute fonction est équivalente au premier terme de son

développement limité. Tous les autres termes du développement limité sont
négligeables.
Pr. R. AZRAK 211

Etude au voisinage d’un point Application des DL
Pr. R. AZRAK 212

Exemple Application des DL
Comme on le voit, le terme de degré 2 est nul, on n'obtient donc pas de

renseignement sur la position. on cherche le premier terme non nul de degré
supérieur à 1 :
Pr. R. AZRAK 213

Application des DL
Il en résulte que la différence d'ordonnées, pour des points d'abscisse x, situés
respectivement sur le graphe et sur la tangente, est x3 + x3ε(x). Cette différence
change donc de signe selon le signe de x. On en conclut que le graphe traverse la
tangente au point de tangence.
Exemple
1. On détermine la tangente
Pr. R. AZRAK 214

Application des DL
2. On détermine les points d’inflexions
Pr. R. AZRAK 215

Application des DL
Etude au Voisinage de l’infini ( )
Pr. R. AZRAK 216

Application des DL
Pr. R. AZRAK 217

Application des DL
Pr. R. AZRAK 218

Développement limité généralisé au voisinage de 0 à l’ordre r
C’est l’extension de la notion de développement limité aux fonctions qui n’admettent
pas de limite finie au point étudié.
Pr. R. AZRAK 219

Exemple
Pr. R. AZRAK 220

Développement limité généralisé au voisinage d’un point x0∈ℝ
On suppose que lim f(x) = ±∞, la fonction f admet un développement limité
généralisé d'ordre r au voisinage de x0 si et seulement si: :
Exemple
Pr. R. AZRAK 221

Pr. R. AZRAK 222

Développement limité généralisé au voisinage de l’infini
On suppose que lim f(x) = ±∞, la fonction f admet un développement limité

généralisé d'ordre r au voisinage de l’infini si et seulement si:
Exemple
Pr. R. AZRAK 223

Suite de l’exemple
Pr. R. AZRAK 224

Application des développements limités généralisés
Etude des asymptotes
Pr. R. AZRAK 225

Exemple
Pr. R. AZRAK 226

Pr. R. AZRAK 227

Les intégrales simples
Chapitre 6
Pr. R. AZRAK 228

Primitives
Définition
Soit f : I une fonction définie sur un intervalle I quelconque. On dit que
F:I est une primitive de f sur I si F est une fonction dérivable sur I
vérifiant F’ (x) = f (x) pour tout x € I.
Notations
On notera une primitive de f par ‫ 𝑡𝑑 𝑡 𝑓 ׬‬ou ‫ 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 ׬‬ou ‫( 𝑢𝑑 )𝑢(𝑓 ׬‬les
lettres t, x, u,... sont des lettres dites muettes, c'est-à-dire interchangeables).
On peut même noter une primitive simplement par ‫𝑓 ׬‬.
Propriété
Si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont les
fonctions F + C ( où C est une fonction constante sur I ; C = constante).
Théorème
Si F et G sont respectivement des primitives de f et g sur I, alors
• F + G est une primitive de f + g
• ∀λ ∈ ℝ, λF est une primitive de λf.
Pr. R. AZRAK 229

Primitives
Exemples
Théorème
Si f est continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I.
Pr. R. AZRAK 230

Primitives usuelles
Pr. R. AZRAK 231

Primitives
Trouver une primitive est donc l’opération inverse de calculer la

fonction dérivée.
Pr. R. AZRAK 232

Intégrales
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]. L'intégrale de a à b de f
est la surface algébrique délimitée par les trois droites d'équation x = a, x = b,
y = 0 et la courbe de f (Cf ).
𝑏
Notation : ‫𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑎׬‬
Exemple
Pr. R. AZRAK 233

Relation primitive-intégrale
Théorème
Pr. R. AZRAK 234

Exemples
Pr. R. AZRAK 235

Propriétés de l’intégrale
Les trois principales propriétés de l’intégrale sont :
la relation de Chasles,
la positivité
la linéarité.
Relation de Chasles
On définit:
Pr. R. AZRAK 236

Positivité de l’intégrale
Proposition
En particulier l’intégrale d’une fonction positive est positive :
Pr. R. AZRAK 237

238
Linéarité de l’intégrale
Proposition
Pr. R. AZRAK 238

Propriétés des intégrales
Pr. R. AZRAK 239

Deux techniques
qui permettent des calculer des
intégrales et des primitives :
Méthode d’intégration par parties
Méthode de changement de variable.
Pr. R. AZRAK 240

Méthode d'intégration par parties

Si f et g sont deux fonctions de classe ci sur [a, b] , alors
Exemple
Pr. R. AZRAK 241

Exercices d’entraînement
Pr. R. AZRAK 242

Méthode de changement de variable

Théorème
Pr. R. AZRAK 243

Exemple
Remarque
Pr. R. AZRAK 244

Pr. R. AZRAK 245

Intégration des fonctions rationnelles

𝐴(𝑥)
Calcul de l’intégrale de la forme ‫׬‬ 𝑑𝑥 où A et B sont deux polynômes
𝐵(𝑥)
réels.
Définition
𝐴 𝑥
On appelle fonction ou fraction rationnelle le rapport de deux
𝐵 𝑥
polynômes entiers, fonctions d’une même variable:
La partie entière
Pr. R. AZRAK 246

247
Pr. R. AZRAK 247

Décomposition en éléments simple de première espèce

1) 1èr cas : B(x) à des facteurs du premier degré tous distincts :
Pr. R. AZRAK 248

.
Problème: Détermination des Ci avec i=1,…n
Il y a deux méthodes : la méthode d’identification et la méthode de

multiplication.
a) Méthode d’identification
On réduit au même dénominateur le second membre et en égalant les
coefficients des puissances identiques de x, on obtient un ensemble
d’équations qui nous permettent de trouver les constantes, 𝑪𝒊 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒊 =
𝟏, … 𝒏.
Exemples
Pr. R. AZRAK 249

Pr. R. AZRAK 250

Pr. R. AZRAK 251

Remarque
Cette méthode n’est pas très efficace car elle demande la
résolution d’un nombre d’équations correspondant au
nombre de coefficients à déterminer. On peut réduire
grandement le travail et les risques d'erreurs en éliminant,
par une multiplication judicieuse, tous les coefficients sauf
un, ce qui permet de calculer directement ce
dernier indépendamment des autres.
Pr. R. AZRAK 252

b) Méthode de multiplication
On détermine ci en multipliant de part et d'autre par (x – ai) et on pose x = aj.
De même pour les autres ci.
A la fin on intègre terme à terme pour obtenir l'intégrale cherchée.
Exemples
7x - 5
3 2
dx
x x - 6x
Q( x) x3 x 2 - 6 x x( x - 2)( x 3)
7x - 5 c1 c2 c3
, c1 , c2 , c3 ?
x3 x 2 - 6 x x x- 2 x 3
• On multiplie les deux membres par x:
7x - 5 c2 x c3 x
c1
( x - 2)( x 3) x- 2 x 3
Pr. R. AZRAK 253

On pose x = 0, on obtient c1 =5/6
• On multiplie par (x-2) de part et d’autre:
7x - 5 c1 ( x - 2) c3 ( x - 2)
c2
x( x 3) x x 3
On pose x =2, on obtient c2 =9/10
• De on multiplie par (x+3) de part et d’autre et on pose x = -3, on trouve c3 = −26/15.

Après avoir trouvé les constantes, on intègre terme à terme.
Pr. R. AZRAK 254

Pr. R. AZRAK 255

3)
Pr. R. AZRAK 256

Pr. R. AZRAK 257

Pr. R. AZRAK 258

Pr. R. AZRAK 259

2) 2ème cas : Si le dénominateur se décompose en facteurs de

premier degré répétés
𝐵 𝑥 = 𝑥−𝑎 𝑛
Pr. R. AZRAK 260

Pour cela, on applique la méthode de multiplication pour trouver 𝑐𝑛
𝑅 𝑥 = 𝑐1 𝑥 − 𝑎 𝑛−1 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 𝑛−2 + ⋯ + 𝑐𝑛
Pour 𝑥 = 𝑎, 𝑅 𝑎 = 𝑐𝑛 .
Pour les autres ci on utilise la méthode d'identification.
Et on est ainsi ramené à l'intégration de chacun de ces fractions élémentaires.
Exemple
R(x) possède donc 2 pôles réels : -1 est un pôle simple (d'ordre 1), et -2 est un
pôle multiple (d'ordre 2).
Pr. R. AZRAK 261

On en déduit la forme de la décomposition en éléments simples de R(x)
a, b et c sont des constantes réelles à déterminer.

La partie entière E(x), est un polynôme de premier degré s'obtient par
division euclidienne de P(x) par Q(x) :
Calcul de a : on multiplie par x+1 puis on donne à x la valeur qui annule x + l.

Calcul de c: En posant x = -2 on trouve c= -22.
Calcul de b: on ne peut pas simplement multiplier par x+2 puis donner à x la
valeur -2. Mais connaissant les valeurs de a et de c, il suffit de donner à x une
valeur particulière (qui ne soit pas un pôle de R(x)) pour déterminer b en
fonction de a et de c. En prenant x=0, on obtient b =14, sachant que a = 4 et c
= -22.
Pr. R. AZRAK 262

Pr. R. AZRAK 263

Exercice
x3 +1 = (a + d)x3 + (-3a + c - 2d) x 2 + (3a + b - c d) x - a
Pr. R. AZRAK 264

Décomposition en éléments simple de deuxième espèce
On se retrouve devant deux cas selon que la décomposition donne naissance
à des facteurs distincts ou non tous distincts.
1) 1èr cas : B(x) se décompose en facteurs de second degré distincts
Pr. R. AZRAK 265

Pr. R. AZRAK 266

Décomposer en éléments simples :
Le fait que 𝑥 2 + 2𝑥 + 4 ne soit pas factorisable dans car le discriminant

est négatif, nous cherchons donc des scalaires A , B et C tels que
Pr. R. AZRAK 267

• En posant x = 2, on trouve A =7
Pr. R. AZRAK 268

3)
Pr. R. AZRAK 269

Pr. R. AZRAK 270

Pr. R. AZRAK 271

Décomposer en éléments simples sur ℝ[𝑋] la fraction suivante :
1
Indication : Noter que 𝐹 est paire 𝐹(𝑋) = 𝐹(−𝑋). F(x) =
𝑥 2 +1 2 −𝑥²
Pr. R. AZRAK 272

Décomposer en éléments simples sur ℝ les fractions rationnelles suivantes :

−𝑥 2 +2𝑥+1
F(x)=
(𝑥−1)²(𝑥 2 +1)
Pr. R. AZRAK 273

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle : 6𝑥³+3𝑥²−5
F(x) =
𝑥 4 −1
Pr. R. AZRAK 274

2ème cas : B(x) se décompose en facteurs de second degré répétés
Pr. R. AZRAK 275

Exemple
Pr. R. AZRAK 276

Deuxième partie
Fonctions de plusieurs variables réelles
Chapitre 7: Fonctions de plusieurs variables réelles
Chapitre 8: Fonctions de deux variables réelles
Chapitre 9: Optimisation
Pr. R. AZRAK 277

278
FONCTIONS
DE PLUSIEURS VARIABLES
Chapitre 7.
Pr. R. AZRAK 278

279
PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DE ℝ𝒏
Notation
Un point de ℝ𝑛 est un vecteur caractérisé par ses coordonnées
(x1,..., xn). On écrit : x = (x1,..., xn).
• Norme sur ℝ𝑛
Une norme de ℝ𝑛 est une application N : ℝ𝑛 → ℝ+ vérifiant :
- N(x) = 0 ⇔ x = 0
- ( x Rn) ( l R) N(l .x ) = | l| .N (x)
- ( x Rn) ( y Rn) N(x + y) ≤ N(x) + N(y)
Pr. R. AZRAK 279

Remarque
La norme euclidienne dans ℝ𝑛 provient du produit scalaire de
deux vecteurs x et y :
x = (x1,...,xn) y = (y1,...,yn)
n n
x y xi yi x x x i2 x x x
i 1 i 1
Pr. R. AZRAK 280

281
Définition
Une fonction numérique de n variables est une application d’une partie
D de ℝ𝑛 à valeurs dans ℝ.
On la note :
f:D→ℝ
(x1,..., xn) → f (x1,..., xn)
Le domaine de définition de f est l’ensemble des points
(x1, ...,xn) tels que y = f (x1, ...,xn) existe dans ℝ. On le note D f.
Pr. R. AZRAK 281

Si n = 2, on est dans le cas de la fonction à deux variables, on utilise la

notation du vecteur x par (x, y),
Si n = 3, on utilise la notation du vecteur x par (x, y, z)
Exemple
Soit f une fonction de deux variable définie par :
1
f(x, y)
4 x2 y2
• (x, y) Df ⇔ {4 – x² – y² > 0}
• (x, y) Df ⇔ {x² + y² < 4}.
Pr. R. AZRAK 282

Dans chaque cas, déterminez le domaine de définition des fonctions
suivantes:
Pr. R. AZRAK 283

284
Limite d’une fonction de plusieurs variables
Soit f une fonction de n variables définie sur D ⊂ Rn. On dit que f (x) tend
vers l quand x Rn tend vers a Rn
si et seulement si :
( 𝜀 > 0) ( 𝜂 >0) tel que pour tout x D vérifiant ||x - a|| < 𝜂 on ait
|f (x) - l| < 𝜀 .
On écrit : lim f(x) l

x a
Si la fonction f possède une limite pour x tendant vers a, alors cette limite
est unique.
Pr. R. AZRAK 284

285
Continuité d’une fonction de n variables en un point a
Une fonction de n variables définie sur D ⊂ Rn est continue en a D si et

seulement si :
lim f(x) f(a)
x a
Remarque
Une fonction de plusieurs variables peut être continue par rapport à
chacune des variables sans être continue au sens précédent (par rapport
à l’ensemble des variables).
Pr. R. AZRAK 285

286
Dérivées partielles successives
Soit f une fonction de n variables admettant une dérivée partielle par

rapport à xi pour tout x = (x1,…,xn).
Lorsque la fonction
f
(x1,...,x n ) (x1,...,x n )
xi
admet elle même une dérivée partielle par rapport à xj, on appelle cette
dernière une dérivée partielle seconde (ou d’ordre 2) et on la note :
2
f f
(x1 ,..., x n ) (x1 ,..., x n )
xi x j xj xi
Pr. R. AZRAK 286

287
Fonctions de deux variables
Chapitre 8
Pr. R. AZRAK 287

Fonction de deux variables réelles
Définition
Pr. R. AZRAK 288

Exemples
Pr. R. AZRAK 289

290
Déterminer les domaines de définition des fonctions définies par les

expressions suivantes :
Pr. R. AZRAK 290

Réponses
Pr. R. AZRAK 291

Limite d’une fonction de deux variables
Soit f : 𝐷 — > ℝ une fonction réelle de deux variables réelles x et y. On note
par 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) et 𝑀(𝑥. 𝑦) deux points du domaine de définition de f.
On écrit alors :
Exemple
lim ( x y ) lim x lim y 1 2 3
x 1 x 1 y 2
y 2
Pr. R. AZRAK 292

Continuité d’une fonction de deux variables
Pr. R. AZRAK 293

Courbes de niveau
Soit f : D (partie de 2 ) → . Une courbe de niveau de f est le sous-
ensemble de 2 défini par f (x, y) = k où k est un nombre réel.
Notation: On note la courbe de niveau k par:
Ck = {(x, y) 2; f (x, y) = k}.

Exemples
Soit f (x, y) = x2 + y2.
Les courbes de niveau k >0 de f sont des cercles de centre O(0,0) et de
rayon 𝑘 .
Donc les courbes de niveau sont des droites.
Pr. R. AZRAK 294

Dérivées partielles premières
On appelle la dérivée partielle de f par rapport à x au point (𝑥0 , 𝑦0 ) et on
𝛿𝑓
note 𝑓 ′ 𝑥0 , 𝑦0 ou (𝑥0 , 𝑦0 ) la limite suivante lorsqu’elle existe :
𝛿𝑥
f (x, y0 ) f (x 0 , y0 )
lim
x x0 x- x 0
On appelle la dérivée partielle de f par rapport à y au point (𝑥0 , 𝑦0 ) et on

𝛿𝑓
note 𝑓 ′ 𝑥0 , 𝑦0 ou (𝑥0 , 𝑦0 ) la limite suivante lorsqu’elle existe :
𝛿𝑦
Le calcul des dérivées partielles utilise les règles habituelles du calcul des
𝛿𝑓 𝛿𝑓
dérivées : ainsi, pour considère y comme une constante: pour on
𝛿𝑥 𝛿𝑦
considère x comme une constante.
Pr. R. AZRAK 295

Remarque
𝛿𝑓
• Il faut savoir que est une notation et non un quotient.
𝛿𝑥
• 𝛿𝑓 et 𝛿𝑥 pris séparément, n’ont aucun sens.
Pr. R. AZRAK 296

Pr. R. AZRAK 297

Pr. R. AZRAK 298

Exemples
Calculer toutes les dérivées partielles d’ordre 1 des fonctions données :
Pr. R. AZRAK 299

Exercice
Déterminer les domaines de définition respectifs des fonctions suivantes,
puis déterminer les dérivées partielles d'ordre 1 de ces fonctions.
Réponse
Pr. R. AZRAK 300

301
Pr. R. AZRAK 301

Gradient d’une fonction
Soit la fonction f : R² → R
Le gradient d’une fonction f : R² → R en a R² est le vecteur :
f f
grad f (a) ,
x1 x2
Pr. R. AZRAK 302

Fonctions de deux variables réelles
Différentielles partielles - Différentielles totales
Définition
La différentielle partielle de 𝑓 (𝑥, 𝑦) par rapport à la variable x est le
produit de la dérivée partielle correspondante par l’accroissement de
cette variable. Ce qui s’écrit :
𝛿𝑓
𝑑𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑑𝑥
𝛿𝑥
Définition
On appelle différentielle totale de la fonction 𝑓 au point (𝑥, 𝑦) la quantité :
𝛿𝑓 𝛿𝑓
𝑑𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦
𝛿𝑥 𝛿𝑦
Pr. R. AZRAK 303

Opérations sur les fonctions différentiables
Pr. R. AZRAK 304

Calculer la différentielle totale de la fonction 𝑓 𝑥 = 𝑥³𝑒 𝑦²
Pr. R. AZRAK 305

Dérivées partielles d'ordre supérieur
Pr. R. AZRAK 306

Théorème de Schwartz
Théorème
Soit f : ℝ² → ℝ, Si les dérivées partielles secondes sont continues
dans un ouvert contenant a ℝ² , alors :
2 2
f f
(a) (a)
x y y x
Le théorème de Schwartz s’applique par exemple pour les fonctions

polynômes et les fractions rationnelles.
Pr. R. AZRAK 307

Théorème de Schwartz
Pr. R. AZRAK 308

Calculer les dérivées partielles d’ordre premières et secondes de la fonction:

g ( x, y ) ln x ² 2 y ²
Pr. R. AZRAK 309

Remarque d’ordre pratique
Pour pouvoir appliquer facilement le théorème de Schwartz, il faut être

capable de reconnaître si la fonction étudiée a des dérivées partielles
secondes continues sinon son application nécessite le calcul explicite
des dérivées partielles secondes.
Exemples de fonctions à dérivées partielles secondes continues
• Les fonctions polynômes de plusieurs variables,
• Les fractions rationnelles (en un point n’annulant pas le dénominateur).
Pr. R. AZRAK 310

Fonction homogène
Exemple
Pr. R. AZRAK 311

312
Pr. R. AZRAK 312
Vous avez compris?
𝑥 2 𝑦²
g(x, y) = Ln(x² + xy) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4
2𝑥 + 3𝑦 4
Pr. R. AZRAK 313

Théorème d’Euler
Propriété
Si une fonction homogène de degré admet des dérivées partielles du
premier ordre, alors elles sont des fonctions homogènes de degré -1.
Théorème d’Euler
Une fonction f définie dans une partie D de 2 est homogène de degré r si
et seulement si, en tout point où ses dérivées partielles sont continues, elle
vérifie:
Cette relation s’appelle la relation d’Euler.
Pr. R. AZRAK 314

Pr. R. AZRAK 315

Réponse
2)
Pr. R. AZRAK 316

Matrice Hessienne
Soit f : ℝ2 →ℝ, a ℝ2 , a = (a1,a2). On suppose que f admet des dérivées
partielles. La matrice Hessienne de f, calculée en a, est :
2 2
f f
2
(a1, a 2 ) (a1, a 2 )
x xy
2 2
f f
(a1, a 2 ) (a1, a 2 )
yx y2
Calculer la matrice Hessienne de f en a = (2,1).

f(x, y) 5x 3 2y 3 xy
2
f 2 f
(x, y) 15x y (x, y) 30x
x x2 Matrice Hessienne de f calculée
f 2
f en a = (2,1) est:
(x, y) 6y 2 x (x, y) -12 y
y y2 60 1
2
f
(x, y) 1
2
f
(x, y) 1
1 12
x y y x
Pr. R. AZRAK 317

Développement de Taylor
Soit f : U (ouvert de 2) →
On suppose que f possède des dérivées partielles continues jusqu’à l’ordre
2 sur un ouvert U (f est dite de classe C2 sur U) contenant (x0,y0).
Si h = (h1,h2) R2 est tel que (x0+h1, y0+h2) U, alors on a :
f f
f(x0 h1 , y 0 h 2 ) f(x0 , y 0 ) h1 (x 0 , y 0 ) h 2 (x 0 , y 0 )
x y
2 2 2 2 2
h1 f f h2 f 2
(x 0 , y 0 ) h h
1 2 (x 0 , y 0 ) (x 0 , y 0 ) h ε(h)
2 x2 x y 2 y 2
avec lim ε(h) 0

(h 1 , h 2 ) ( 0,0)
Pr. R. AZRAK 318

Exemple
Écrire le développement de Taylor à l’ordre 2, autour du point (0,0) pour
la fonction définie par :
f(x, y) 1 x 2 e x y
f f
(x, y) 2x e x y
(x, y) ex y
x y
f f
(0,0) 1 (0,0) -1
x y
2 2 2
f x y f f
(x, y) 2 - e (x, y) ex y
(x, y) ex y
x2 y 2
x y
2 2 2
f f f
2
(0,0) 1 2
(0,0) 1 (0,0) 1
x y x y
Pr. R. AZRAK 319

Optimisation
Optimisation libre
Optimisation liée
Chapitre 9
Pr. R. AZRAK 320

Optimisation
Cas d’extremum libre
Pr. R. AZRAK 321

Optimisation
Recherche d’extremum
Attention
Une erreur à éviter et qui est souvent commise par
les débutants en calcul d’optimum, est de penser
qu’une fois trouver les points Critiques (par la
résolution de la condition du premier ordre) le
maximum (ou le minimum) est trouvé. Ceci est faux.
Pr. R. AZRAK 322

Optimisation
Exemple
f (x, y) x 2 x y y 2 2 x 3 y
Conditions du premier ordre
f
2x y 2 0
x
f
x 2y 3 0
y
Ce système a pour solution
x -1 / 3, y -4 / 3
Il y a donc un seul point critique (-1/3, -4/3).
Pr. R. AZRAK 323

Optimisation
Comment trouver un extremum
Pr. R. AZRAK 324

Optimisation
Pr. R. AZRAK 325

Optimisation
Pr. R. AZRAK 326

Optimisation
Pr. R. AZRAK 327

Optimisation
Pr. R. AZRAK 328

Optimisation
Exercice
Réponse
Pr. R. AZRAK 329

Optimisation
Exercice
Déterminer les extremums de la fonction suivante:
Réponse
Donc les points critiques sont (1, 0), (1, 1), (1,-1), (-1, 0), (-1, 1), (-1,-1).
Les dérivées secondes sont :
Pr. R. AZRAK 330

Optimisation
Exercice
Réponse
Comme Δ 2,0 > 0 et 𝛿𝑥𝑥 𝑓 2,0 = 4 > 0. on conclut que le point (0,2)
est un minimum pour f. En revanche, comme Δ(0, −2), on ne peut pas
conclure en utilisant la matrice hessienne.
Pr. R. AZRAK 331

Optimisation
Extremums de fonctions convexes ou concaves
Définition
Soit f une fonction de deux variables définie sur une partie D inclus dans ²
et possédant des dérivées partielles du second ordre. On dit que f est
convexe si:
Proposition: (condition d’existence d’extremum globaux)

Si f est convexe (resp. concave) et admet un point stationnaire P alors P
est un minimum global (resp. maximum global).
Pr. R. AZRAK 332

Optimisation
Exemple
Pr. R. AZRAK 333

Optimisation
Exercice
Pr. R. AZRAK 334

Optimisation
Optimisation sous contrainte - Extremum sous contrainte
On suppose maintenant que les variables x et y sont liées par une contrainte
qui se traduit par une équation de la forme: g(x) = 0
Extremum lié
Le problème consiste à trouver les extremums d’une fonction, sachant
que les variables sont liées par une contrainte.
Dans le cas général, on introduit un nombre réel quelconque 𝜆, appelé
multiplicateur de Lagrange, qui permet de définir une fonction L,
appelée Lagrangien, et définie par:
On est alors ramené au problème de la recherche d’un extremum pour

cette fonction L.
Pr. R. AZRAK 335

Optimisation
Optimisation sous contrainte
En économie, il est fréquent que l’on cherche à maximiser une

fonction sous des contraintes (maximiser un profit ou une utilité compte
tenu de contraintes budgétaires, minimiser une dépense compte tenu
d’un besoin à satisfaire). Mathématiquement, le problème se pose sous
la forme d’une optimisation d’une fonction f à plusieurs variables, sous
la contrainte d’un besoin à satisfaire).
Mathématiquement, le problème se pose sous la forme d’une

optimisation d’une fonction f à plusieurs variables, sous la contrainte
d’une autre fonction g.
Pr. R. AZRAK 336

Optimisation
Méthode du multiplicateur de Lagrange
Condition du premier ordre
Pour appliquer cette méthode, il est conseillé de suivre les étapes:
Pr. R. AZRAK 337

Optimisation
Pr. R. AZRAK 338

Optimisation
Pr. R. AZRAK 339

Optimisation
D’où:
On a un maximum si:
On a un minimum si:
On ne peut pas conclure.
Pr. R. AZRAK 340

Optimisation
Exemple
Pr. R. AZRAK 341

Optimisation
Ce système est un système linéaire de trois équations à trois

inconnues. Il a pour solution x = 6, y = 9 et = - 51.
Pr. R. AZRAK 342

Optimisation
Exercice
Pr. R. AZRAK 343

Optimisation
Pr. R. AZRAK 344

Optimisation
Calcul du déterminant d'une matrice 3x3
La Méthode
On choisit une ligne ou une colonne de la matrice et on multiplie chaque
coefficient de cette ligne (ou colonne) par le déterminant de la matrice
obtenu en rayant la colonne et la ligne de ce coefficient (la matrice
obtenue est une matrice 2 x 2 ) chaque résultat obtenu doit être multiplié
de plus par -1 dans le cas ou sa colonne L et sa ligne C sont telles que L
+ C est impaire. On ajoute ensuite les 3 résultats.
Exemple
On peut procéder par exemple de cette façon:
Pr. R. AZRAK 345

Optimisation
On choisit la première ligne
Ou bien de cette façon, on choisit la deuxième colonne par

exemple
Pr. R. AZRAK 346

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Analyse Mathématique I

Module : Méthodes quantitatives I.

Chapitre 2: Généralités sur les fonctions d’une variable réelle

Chapitre 3: Limite et Continuité d’une fonction d’une variable réelle

Chapitre 4: Dérivabilité d’une fonction d’une variable réelle

Chapitre 5: Développements limités

Chapitre 6: Calcul intégral

Chapitre 7: Fonctions de plusieurs variables réelles

Fonctions d’une variable réelle

Chapitre 1: Quelques outils d’Analyse nécessaire

Intervalle fermé et borné (segment)

Un cas particulier d’intervalle ouvert est l’ensemble tout entier:

Intervalle semi-ouvert et borné

Soient a et b deux réels tels que a ≤ b. On appelle intervalle semi-ouvert et

La notation * désignant privé de 0.

Intervalles non bornés

• Un singleton {a} est considéré comme l’intervalle [a, a] et donc

• L’ensemble vide ∅ est considéré comme l’intervalle ]a, a[ donc

• C’est la raison pour laquelle et ∅ sont considérés comme des

Tout voisinage V de x0 contient un voisinage de la forme :

Un tel voisinage est dit centré en x0 et on a :

Voisinage à droite et à gauche

Attention: on ne soustrait pas des inégalités membre à membre !

Il faut d'abord passer par l'opposé pour la deuxième inégalité, puis

De même, on ne divise pas les inégalités membres à membre!

Il faut d'abord passer par l’inverse dans la deuxième inégalité, puis

Rappelons quelques propriétés des valeurs absolues que vous êtes

Attention !!! Il ne faut surtout pas dire

Cette formule n’est vraie que si a > 0, ce qui n’est pas

Les identités remarquables

Ce sont des relations simples, vérifiées quels que soient les

Puissance d’un nombre réel

Lorsqu’on utilise le symbole de sommation, il est utile de

Combinaison sans Remise

Quelques outils d’Analyse nécessaire

Propriétés des Combinaisons: La symétrie

On déduit des relations précédentes, la propriété de symétrie à savoir :

Il revient au même de donner la combinaison des p objets choisis ou bien

A l’aide du symbole de la sommation, la formule précédente prend la

Produit cartésien de deux Ensembles

Etant donné deux ensembles A et B décrits respectivement par l’élément a

Fonction Logarithme népérien

Il sera utile quelques fois de connaître les logarithme de base 10 (en

Comparons les fonctions ln x et 𝒆𝒙 :

Représentation de la fonction sinus

Représentation de la fonction cosinus

Représentation de la fonction cotangente

Comment déterminer l’ensemble de définition

Vous avez bien compris ?

Déterminer les domaines de définition des fonctions

Les fonctions suivantes sont des fonctions impaires

Egalité de deux fonctions

Le domaine de g ∘ f est la partie du domaine de f telle que f (x) appartienne

On dit qu’une fonction f est concave sur un intervalle I si :

Extremum absolu (ou global) d’une fonction

V x€ D, f (x) ≤ f(x0 ) (respectivement f(x) ≥ f(x0 )).

Jusqu’à présent la notion de limite que vous aviez vue au lycée

Calculer les limites suivantes:

Limite à gauche - Limite à droite