HYDRAULIQUE

Introduction

L’eau se déplace sous l’action de forces (gravité, pression ,etc,… ).

La notion d’équilibre des forces et la seconde loi de Newton sont la base de l’hydrodynamique.

∑ ⃗F=∑ m×⃗a

Hydrodynamique : étude des processus qui contrôlent le mouvement de l’eau

Les principes valables pour l’hydrodynamique restent valables pour l’immense majorité des fluides.
Les fluides terrestres différent par leur viscosité.

Lorsque les forces visqueuses dominent → écoulement laminaire

sont faibles → écoulement turbulent
I. Définition
I. 1. L’eau fluide

DÉFINITION COMMUNE
Il y a 2 principaux fluides :
- le gaz qui prend la forme et le volume du contenant
- le liquide qui prend la forme mais il conserve son volume
Le solide, lui, conserve sa forme.

DÉFINITION SCIENTIFIQUE
Fluide : substance qui se déforme continûment sous l’effet d’une contrainte de cisaillement
Contrainte : force tangentielle par unité de surface
force
→ contrainte = [N.m – 2 ]
surface

contrainte normale (perpendiculaire) × PRESSION : Pa = N.m – 2

contrainte normale (perpendiculaire) × CONTRAINTE DE CISAILLEMENT

La relation entre le cisaillement appliqué et la déformation est contrôlée par la viscosité.

HYPOTHÈSE DE CONTINUITÉ
On traite le fluide de façon macroscopique en le supposant continu .
On moyenne ses propriétés dans un petit volume, plus grand que l’échelle moléculaire.
I. 2. Densité et masse volumique

MASSE VOLUMIQUE
m
masse volumique : masse par unité de volume ρ=
V
→ ρ est la masse volumique (densité) en kg.m – 3
→ m et V sont respectivement la masse et le volume d’un petit échantillon

La masse volumique dépend de :

• la température
• la présence de corps dissous (sel)
• la pression, quand elle est très forte (sinon l’eau est considérée incompressible)

DENSITÉ
• En français, la densité d’un fluide c’est sa masse volumique divis´ee par 1000
• En anglais, density est la masse volumique

I. 3. Débit
Le débit est la quantité de matière qui traverse une section par unité de temps :

- débit volumique : Qv =UA

- débit massique : Qm= ρ ×Q v

I. 4. Lignes de courant

Ligne de courant : ce sont les lignes en chaque point tangente au vecteur vitesse
I. 5. Cisaillement et viscosité

La relation entre le cisaillement appliqué et la déformation est contrôlée par la viscosité

• viscosité forte : gros cisaillement induit petite déformation
• viscosité faible : gros cisaillement induit grosse déformation

VISCOSITÉS DYNAMIQUE ET CINÉMATIQUE

• μ  : viscosité dynamique en Pa.s
μ
• v= ρ  : viscosité cinématique en m².s – 1
II. Forces et contraintes

FORCES AGISSANT SUR LES FLUIDES

On distingue :
• les forces de volume (body forces) agissant sur l’ensemble du fluide considéré, à
distance et sans contact direct (ex: gravité)
• les forces de surface (surface forces) agissant par contact entre fluides ou avec un
solide
◦ une force normale agit perpendiculairement la surface de contact
◦ une force tangentielle agit parallèlement à la surface de contact

CONTRAINTES
Les forces de surface sont souvent décrites en termes de contraintes
• contrainte = force par unité de surface
• contraintes normales = pression (normal stress)
• contraintes tangentielles (shear stress)

PRESSION
dF
C’est la contrainte normale → P= en Pa = N.m – 2
dS

remarque  : 1 bar = 105 Pa

CONTRAINTES DE CISAILLEMENT
F
C’est une contrainte appliquée sur
A

F u plate
Le fluide newtonien a une proportionnalité entre la contrainte et la déformation =μ ×
A d
du
Nous avons , selon une expression générique, τ = μ ×
dz
→ τ est la contrainte de cisaillement (shear stress) en Pa
→ μ est la viscosité dynamique en Pa.s
du
→ est le gradient de vitesse en ms – 1
dz
III. Statique des fluides

STATIQUE DES FLUIDES

Cas particulier du fluide au repos :
• pas de contrainte de cisaillement
• seule contrainte: la pression
• Répartition des pressions définie par l’équation hydrostatique

ÉQUATION HYDROSTATIQUE
Équilibre des forces agissant sur une petite tranche de fluide au repos
• Les forces de pression horizontales s’équilibrent (sinon mouvement)
• La force de pression vers le haut est égale à pA
• Deux forces vers le bas:
◦ Le poids
◦ La force de pression vers le bas, égale à (p + ∆p)A
Δp
• L’équilibre des forces verticales amène =− ρ ×g
Δz
• Si l’épaisseur de la tranche devient infinitésimale, on obtient :
dp
l’équation de l’hydrostatique : =− ρ × g
dz
• Dans un fluide de densité constante, on arrive à : p = − ρ ×g×z+cste
◦ la pression augmente avec la profondeur
◦ la pression augmente avec la masse volumique
◦ à la surface, la pression est égale à la pression atmosphérique

IV. Hydrodynamique en conduite

IV. 1. Nombre de Reynolds

Lorsque les forces visqueuses dominent, l’écoulement est laminaire.
Lorsque les forces visqueuses sont faibles, l’écoulement est turbulent.
ÉCOULEMENT LAMINAIRE ET ÉCOULEMENT TURBULENT

écoulement laminaire : écoulement lisse, bien organisé et prédictible

écoulement turbulent : écoulement désorganisé, présence de tourbillons, fluctuations

NOMBRE DE REYNOLDS
L’arrivée de la turbulence dépend :
• de la vitesse U
• de la taille D
• de la viscosité ν

U×D
Nous avons donc le nombre de Reynolds Re = ν
• compare les effets inertiels et les effets visqueux
• dans une conduite, Re > 2000 = écoulement turbulent

IV. 2. Équation de continuité

CONSERVATION DE LA MASSE
dM dM
=A−S où est la variation de la masse au cours du temps
dt dt
A les apports
S les sorties
ÉQUATION DE CONTINUITÉ Q = Vitesse × Section = Constante
• conservation de la masse
• pas d’apport ni de fuites
• densité constante
• écoulement stationnaire

IV. 3. Accélération

du
C’est le changement de la vitesse au cours du temps : a=
dt
• accélération locale: changement de la vitesse au cours du temps en un point
• accélération convective: changement de la vitesse dans l’espace au même instant

Utilisation des dérivées partielles :

δu
• variation au cours du temps
δt
δu
• variation dans l’espace :
δx
du δ u δu
• on construit la dérivée particulaire : = +u×
dt δ t δx
δu
• écoulement stationnaire : =0
δt
δu
• écoulement uniforme : =0
δt
PROCESSUS DE TRANSPORT
On peut l’étendre à tout ce qui est transporté par l’écoulement :
dT δ T δT dC δ C δC
= +U× et = +U×
dt δt δx dt δt δx

IV. 4. Équation de Bernouilli

ÉNERGIE D’UN FLUIDE

• Énergie potentielle: Ez = mgz
• Énergie cinétique: Ec = 1 2 mU2
• Énergie de pression: Ep = PV = Pm ρ
• Unité de l’énergie: Joule [J]
1 2 P×m
• Énergie totale : ET = mgz + ×m×U + ρ
2

CHARGE
En hydraulique, on utilise plutôt la charge (ou hauteur de charge) qui est une énergie par unit´e de
poids.
1 2 P
Énergie totale : HT = z + ×U +
2×g ρ ×g

ÉQUATION DE BERNOUILLI
• le long d’une ligne de courant (parallèle à l’écoulement)
• absence de frottement (on suppose le fluide parfait)
• fluide homogène
• fluide incompressible
• écoulement stationnaire
1 2 P
• la charge totale se conserve z+ ×U + =constante
2×g ρ ×g
ÉQUATION DE BERNOUILLI + ÉQUATION DE CONTINUITÉ

IV. Dissipation d’énergie

• section constante = vitesse constante

• altitude constante
• la pression décroît
• il y a une perte de charge dans la conduite
1 2 P
z+ ×U + +HL=constante
2×g ρ ×g
→ HL est la perte de charge

PERDES DE CHARGE
• pertes de charge régulières, dues au frottement sur les parois
• pertes de charge singulières, dues à la présence d’obstacles

PERDES DE CHARGE RÉGULIÈRE

• dans un tube, une conduite ou un canal, l’eau adhère aux parois

• vitesse nulle à la paroi, maximale au centre
• dans l’équation de Bernouilli, on va prendre la vitesse moyenne
Les pertes de charge par frottement dans une conduite sont liées à :
• la vitesse du fluide U
• le diamètre Dh et la longueur L de la conduite
• le coefficient de frottement f
2
L U
• HL =f × ×
Dh 2×g

COEFFICIENT DE FROTTEMENT
• doit être déterminé expérimentalement
• dépend de la rugosité, de la vitesse, du diamètre, etc...
• surface lisse : frottement de surface = adhérence sur la paroi
• surface rugueuse : frottement de forme = perturbations de l’écoulement
64
• écoulement laminaire: f =
Ree
1
• écoulement turbulent, paroi lisse (Prandtl-VonKarman): =2×log (Re × √ f ) − 0.8
f
• écoulement turbulent (Blasius): f = 0.3164 × Re−0.25

PERTES DE CHARGE SINGULIÈRES

2
U
C’est la présence d’accidents dans le réseau hydraulique Δ H=K×
2×g
où K est le coefficient de perte de charge singulière
V. Hydrodynamique à surface libre (pas au cc)

V. 1. Introduction

Écoulements à surface libre  : fleuves, rivières, torrents, estuaires, canaux de navigation

comment le prédire  : débit, vitesse, profondeur, temps de propagation des contaminants, capacité
de transport des sédiments, temps de vidange des réservoirs et des barrages

• Un écoulement à surface libre n’a pas de couvercle !

• La profondeur évolue avec les autres paramètres
• Dans Q = UA, où U et A varient !

V. 2. Énergie spécifique

• Bernouilli le long d’une ligne de courant, sur un fond plat et sans frottement
• référentiel pour fixer les hauteurs
◦ zb est l’élévation du fond
◦ h est la profondeur totale
◦ d est la profondeur de la ligne de courant sous la surface
◦ H est la charge totale
2
U P
• H= + + ( zb +h−d ) avec P= ρ ×g×d
2×g ρ ×g
• pas de frottement = la vitesse est uniforme sur une section
• écoulement horizontal = pression hydrostatique
2
U P
H= + + zb +h
2×g ρ ×g
2
U
• on définit l’énergie spécifique E= +h
2×g
• c’est l’énergie (par unité de poids) relative au fond H=E+ zb
 • simplifications supplémentaires
◦ canal de section rectangulaire
◦ largueur w constante
• débit Q = Uwh reste constant
2 2
Q U qw
• le débit spécifique q w = =Uh est constant et E= +h= +h
w 2×g 2×g×h
2

• pour un débit et une énergie spécifique donnée, on peut connaître h

DIAGRAMME D’ÉNERGIE SPÉCIFIQUE

• pour une énergie spécifique et un débit spécifique donné, on a 3 profondeurs possibles !
• trois profondeurs sont solutions de l’équation
• on élimine la profondeur négative
• A E et qw donnés, l’écoulement a deux régimes possibles
◦ h grand et U petit: régime sous-critique
◦ h petit et U grand: régime super-critique
• régime critique atteint quand E est telle qu’une seule valeur de h est possible

V. 3. Nombre de Froude

ÉCOULEMENT CRITIQUE
• pour tout débit, il existe une profondeur d’énergie spécifique minimale
• ça ne veut pas dire que la profondeur ou la vitesse sont minimales
• E minimale est atteinte quand U = √ gh

U
NOMBRE DE FROUDE Fr =
√ gh
• Fr=1 , écoulement critique
• Fr<1 , écoulement sous-critique
• Fr>1 , écoulement sur-critique
CONTRÔLE DE L’ÉCOULEMENT
• amont du barrage : écoulement profond et lent = sous-critique
• aval du barrage : écoulement peu profond et rapide = sur-critique
• seuils utilisés pour mesurer les débits à partir des hauteurs (cf TD)

V. 4. Canaux à surface libre

Nous avons besoin de représenter la perte de charge par frottement HL

2
L U
• écoulement en conduite: H L =f × ×
D 2×g
2
L U
• Ecoulement `a surface libre: H L =f × ×
4×R h 2×g

• Rayon hydraulique Rh : rapport entre la section et le périmètre mouillé

wh
◦ Canaux rectangulaires R h=
2×h+w
◦ Canaux peu profonds w >> h, Rh ≈ h

U×R h
NOMBRE DE REYNOLDS Re = ν
• seuil critique entre 500 et 1000
• la plupart des rivières sont des écoulements turbulents, même so la vitesse moyenne est
faible !

2
L U
COEFFICIENT DE FROTTEMENT HL =f × ×
4×R h 2×g

√
HL g
• si l’écoulement est uniforme : =S et U= 8× × √ S×R h =C× √ S×R h
L f
→ C le nombre de Chézy
→ C est un coefficient qui caractérise le frottement, il dépend de la rugosité et de la section
→ U est la vitesse moyenne sur la section
1

Rh 6
• C= avec n le coefficient de Manning
n
 2 1
3 2
R h ×S
• U = C× √ S×R h=
n

V. 5. Profil de vitesse
• on a utilisé jusqu’ici la vitesse moyenne à travers la section
• dans la réalité, la vitesse n’est pas uniforme
• Écoulement laminaire: profil parabolique (très rare)

• Écoulement turbulent: profil logarithmique U= √ g×R h ×S× 2, 5×ln

[ ( kz )+8 ,5 ]
r

• kr est la rugosité
◦ cas simple : approximativement la taille des grains
◦ lits complexes : doit être déterminé empiriquement

V. 6. Mesure de vitesse

Comment mesurer la vitesse dans une rivières ?

• Vitesse variable dans l’espace et le temps
• dans l’idéal, on mesure avec un profileur de courant
• profileur de courant : instrument coûteux
• en pratique, on a souvent un courantomètre ponctuel
• en utilisant le profil log, on peut montrer que la vitesse moyenne est atteinte autour de
z = 0.4h