Exposé MDF

Ministere De L'enseignement Supérieur
Et De La Recherche Scientifique
Université Djillali Liabes De Sidi Bel Abbes
Faculté Des Sciences Et Technologie
Département De Génie Mécanique
Spécialité Énergétique
1er année Master
Module : Mécanique des fluides approfondie
Ecoulement de stokes (autour

d'une sphere)
Présenté Par :
- Kebbab Anes Abdellah
- Heneien-djeloul-sayah kada ilies
- Haffad Sara
Année Universitaire : 2021-2022

1/ Introduction :
La condition à la limite habituelle sur une paroi pour un fluide visqueux est la
condition de non glissement, mais une condition aux limites de glissement doit être
utilisée pour des liquides proches de surfaces hydrophobes et de surfaces poreuses
ou dans un gaz à petite échelle (la longueur de glissement étant alors le libre
parcours moyen). Diverses applications sont en vue, par exemple des procédés de
séparation par ultrafiltration, fractionnement flux-force, de nouvelles techniques de
mesure de vitesse à des échelles très petites au voisinage de surfaces. On
s’intéresse dans cet article au calcul de la force et du couple pour le problème d’une
particule sphérique en translation et rotation dans un écoulement de cisaillement au
voisinage d’une paroi plane sur laquelle s’applique une condition de glissement.
2/ Schéma de écoulement de stokes (autour d'une

sphère) :
3/ Equations et développement limité :
On considère un fluide visqueux newtonien incompressible dans un domaine
semi-infini limité par une paroi plane. Soit (ox, oy, oz) un repère orthonormé lié
à la paroi où z = 0 et soient ex, ey, ez les vecteurs unitaires de ce repère. Une
sphère de rayon a dont le centre est situé à une distance ℓ de la paroi est en
mouvement avec une vitesse de translation U ex et une
vitesse de rotation Ω ey dans un écoulement de cisaillement. La condition pour
la vitesse de l’écoulement perturbé u sur la sphère est la condition de non-
glissement alors qu’une condition de glissement est imposée sur la paroi :
u=b ( ∂ ux
∂z
∂u
e x+ y e y
∂z ) (1)
Où b est la longueur de glissement. La vitesse de l’écoulement non perturbé

satisfait la condition de glissement, u∞ = k(z + b)ex où k est une constante
(taux de cisaillement).
Le nombre de Reynolds basé sur le rayon de la particule est petit. Par linéarité des
équations de Stokes, le problème d’une sphère en rotation et en translation dans un
écoulement de cisaillement se décompose en :(i) sphère en translation avec la
vitesse U ex parallèle à la paroi ; (ii) sphère en rotation avec la vitesse Ω ey parallèle
à la paroi ; (iii) sphère fixée dans un écoulement de cisaillement k(z + b)ex. Pour
chaque problème d’écoulement, par linéarité, la force et le couple sont
proportionnels aux vitesses. En utilisant les mêmes notations que dans [1] :
t
F x =−6 πaµ U f xx
t t 2
C y =8 π a µ k c yx
t
(2a)
r 2
F x =−6 π a µ Ω f xy
r r 3
C y =−8 π a µ Ωc yy
r
(2b)
c
F x =−6 πa l µ k f xx
c c 3
C y =4 π a µ k c yx
r
(2c)
Où f et c sont les coefficients de frottement. Les indices de translation, rotation
et cisaillement sont respectivement ()t, ()r, ()c. Le premier indice est la
composante de la force et du couple et le second indice est la direction de
l’écoulement non perturbé. Lorsque ℓ tend vers l’infini, les coefficients des
t r
frottements C yx et f xy tendent vers 0 et les autres coefficients de frottement tendent
vers l’unité, d’après les formules de Faxen (cf par exemple [4]). Nous utilisons ici
une méthode de résolution des équations de Stokes basée sur la technique des
coordonnées bisphériques.
Le passage des coordonnées cylindriques (ρ, z, φ) (avec x = ρ cos φ et y = ρ sin
φ) aux coordonnées bisphériques (ξ, η, φ) s’écrit :
c sin η c sin h ξ
ρ= z= c = (ℓ2 − a2)1/2. (3)
cosh ξ−cos η cosh ξ−cos η
Avec 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ η ≤ π et 0 ≤ ξ ≤ α. Ici, ξ = α et ξ = 0 représentent

respectivement la surface de la sphère et le plan. La solution générale des équations
de Stokes en coordonnées bisphériques s’écrit
1 1
u ρ=
2
{ ρ Q1 +U 0 +U 2 } cos φ u z=
2
{ z Q1+ 2U 1 } cos φ (4a)
1
uφ = {U −U 0 } sin φ
2 2
p = µQ1 cos φ (4b)
Ou :
U 1=c ( cosh ξ−β ) 1/2sin η ∑ An sinh ⁡( γ n ξ ) P n (β)

'
M
(5a)
n≥ 1
Q1=c M −1 ( cosh ξ−β )1/2sin η ∑ [B¿¿ n cosh ( γ n ξ ) +C n sinh ⁡(γ n ξ)]P n ( β )¿ (5b)
'
n≥ 1
U 0 =c ( cosh ξ−β )1/2∑ [ D ¿ ¿ n cosh ⁡(γ n ξ)+ En sinh ⁡(γ n ξ)] Pn ( β )¿

M
n ≥0
(5c)
U 2=c ( cosh ξ− β ) 1/2sin η ∑ [ F ¿ ¿ n cosh ⁡(γ n ξ)+G n sinh ⁡(γ n ξ)]P } rsub {n} (β) ¿ ¿ ¿
2
M
n ≥2
(5d)
Où β = cos η, γn = n + 1/2, Pn(β) sont les polynômes de Legendre d’ordre n

et le prime (′) indique la dérivée par rapport à β. L’entier M prend les valeurs
M = 0 pour la translation et M = 1 pour la rotation et le cisaillement.
Pour chaque problème, les coefficients sans dimension An, . . . Gn sont obtenus à
∂u x ∂ u y ∂u z
partir des conditions aux limites et de l’équation de continuité + + =0 . Il
∂x ∂y ∂z
est important de noter qu’en dérivant cette dernière équation et en utilisant(1), on
obtient alors une autre relation sur le plan :
2
∂u z ∂ uz
=b 2
∂z ∂d
Cette relation nous permet d’obtenir une solution plus simple pour la translation et la
rotation. En effet, on peut alors exprimer les solutions de chaque problème en
fonction de seulement quatre séries de coefficients : An, Cn, En et Gn. Nous
traitons par la même technique le problème de cisaillement. Nous utilisons dans
les équations (7)-(9) un indice i (figurant à droite de toutes les relations) qui
vaut, 1 pour la translation, 2 pour la rotation et 3 pour le cisaillement. Les quatre
équations auxquelles satisfont les quatre séries de coefficients s’écrivent alors :
( n−1 )−¿ ¿ (7)

q−¿
n q +¿
n λ λ λ ( n−2 ) −2 λn+ λ +2 cˆtanh (
−2 n−1−2 A n−1 +2 n+3−2 An +1+ C n−1− Cn +1− G n−1−
2 ( 2n−1 ) 2 ( 2 n+ 3 ) 4 cˆ 4 cˆ 2cˆ 2cˆ
(8)
n( n−1)¿ ¿ (9)
Avec l’équation de continuité :
5 1 1 1 1 1 1
C n− ( n−1 ) C n−1+ ( n+ 2 ) C n+1− E n−1+ E n− En+ 1+ ( n−2 ) ( n−1 ) Gn−1−( n−1 )( n+ 2 ) Gn + ( n+2 ) ( n+3 ) Gn
2 2 2 2 2 2 2
(10)
δ représente ici le symbole de Kronecker. On définit aussi les quantités sans
dimension λ =b/a, cˆ = c/a,q ±n tanh(γnα) coth α ± 1 et
[ ]
−γ n−1 α −γ n−1 α
1 e e
ζ n= − (11)
2√2 γ n−1 γ n+1
1 2 √2 e−γ n α 2 q−¿
n 2 √2 γ n e−γ n α 3 4 √ 2 γ n e− γ n α 2λ
K n= ; k n=β n − ; K n= + ¿
cosh ⁡( γ n α) sinh ⁡( γ n−1 α ) cosh ( γ n α ) cosh ( γ n α ) cˆ cosh ( γ n α )
(12)
4/ Conclusion :
Nous avons obtenu des expressions analytiques pour la force et le couple qui
s’exercent sur une sphère en translation et rotation dans un écoulement de
cisaillement au voisinage d’une paroi plane sur laquelle s’applique une condition
de glissement. Nous avons utilisé pour ce faire la méthode des coordonnées
bisphériques. La solution débouche sur un système matriciel infini qui permet de
déterminer des séries de coefficients inconnus. Nous avons établi une technique
numérique (écrite en langage FORTRAN) qui permet d’obtenir un nombre assez
important de ces coefficients.
Pour les trois problèmes de cisaillement avec sphère fixée, de sphère en rotation
et translation au voisinage d’une paroi plane, nous obtenons une précision de
10−7 pour la force et le couple, même pour de très petites distances particule-
paroi de l’ordre de 10−3. Les vitesses de translation et de rotation d’une sphère
libre dans un écoulement de cisaillement sont obtenues avec une précision de
−7
10 .Ces résultats pourront s’appliquer par exemple à la dispersion de particules
près d’une paroi sur laquelle s’applique une condition de glissement.

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Ecoulement de stokes (autour

Année Universitaire : 2021-2022

2/ Schéma de écoulement de stokes (autour d'une

Où b est la longueur de glissement. La vitesse de l’écoulement non perturbé

Avec 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ η ≤ π et 0 ≤ ξ ≤ α. Ici, ξ = α et ξ = 0 représentent

U 1=c ( cosh ξ−β ) 1/2sin η ∑ An sinh ⁡( γ n ξ ) P n (β)

U 0 =c ( cosh ξ−β )1/2∑ [ D ¿ ¿ n cosh ⁡(γ n ξ)+ En sinh ⁡(γ n ξ)] Pn ( β )¿

Où β = cos η, γn = n + 1/2, Pn(β) sont les polynômes de Legendre d’ordre n

( n−1 )−¿ ¿ (7)

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