Chapitre 7  Généralités

Filtration en profondeur  Objectif de la filtration

Réduire la teneur en matières en suspension encore présentes à

l’issue de la décantation ou initialement présentes en faible
concentration (turbidité < 6 NTU).

La filtration en profondeur, dans des conditions normales d'opération

en terme de turbidité de l’eau entrante (< 6 NTU) et de vitesses de
filtration (comprises entre 5 et 12 m/h), permet d’obtenir des
turbidités allant de 0,2 à 0,5 NTU (limite qualité sortie station eau
potable = 1 NTU, 2 au robinet) . La taille des particules échappant à la
filtration est de l’ordre de 5 μm.

1 2
M1 SIE – Traitements physicochimiques

 Les filtres
 Domaine d’emploi
 Filtres ouverts à l’air libre

Piscines : seul traitement avant désinfection Exemple

Filtre Aquazur V®

Eau potable : après coagulation-floculation -décantation

Vitesse de filtration
Vidéo 1a Vidéo 1b 4 à 20 m/h

Eaux résiduaires :
Urbaines : Affinage eau traitée (cas particulier)
Industrielles : après coagulation-floculation – précipitation - décantation Vidéo 1

Vidéo 2

3 4
  Nombre : 55 à 90 par m2 suivant la
vitesse de lavage souhaitée.
 Qair ≈ 1 m3.h-1 par buselure
 Largeur des fentes : 0,5 to 1,0 mm (à
adapter à la nature des matériaux
utilisés)

https://www.oasen.nl/Lists/Downloads/Filtratie%20ontwerp%20en%20inrichting_eng.pdf
5 6

De nombreux autres dispositifs existent pour l’apport d’eau et pour les

dispositifs de collecte des eaux filtrées et d’apport d’eau/d’air de lavage.

Vidéo

Source : awi

7 8
  Filtres fonctionnant sous pression

Filtration Lavage

Vidéo 1
Boues Boues
Filtrat Filtrat

Eau Eau Eau Eau

brute brute filtrée filtrée

L’eau ne pouvant augmenter de niveau, la mise sous pression est dans ce cas
indispensable pour vaincre les pertes de charge (assurer l’écoulement de l’eau
Vidéo 2 au travers du filtre).
Vidéo 3 9 10
http://www.aquatext.com/images/systemph/sandfilters1.htm

 Matériaux filtrants  Taille effective et Coefficient d’uniformité

 Nature des matériaux Ces paramètres sont déterminés à partir d’une analyse granulométrique.

Date 21/09/2020
Référence
Prise d'essai 100 g

N° Tamis AFNOR Mailles (mm) Poids retenu (g) Tamisat (g) Tamisats (%)
37 4 0 98,62 100,00%
graviers sable anthracite 36
35
3,15
2,5
0
0
98,62
98,62
100,00%
100,00%
34 2 0 98,62 100,00%
Matériaux particuliers 33 1,6 4,98 93,64 94,95%
32 1,25 30,71 62,93 63,81%
31 1 45,57 17,36 17,60%
30 0,8 16,77 0,59 0,60%
29 0,63 0,59 0,00 0,00%
28 0,5 0 0,00 0,00%
27 0,4 0 0,00 0,00%
26 0,315 0 0,00 0,00%
Total = 98,62
Perte % = 1,38%

11 12
 • La taille effective D10 doit être choisie en fonction de la mise en
œuvre. La tolérance admise par rapport à la valeur nominale annoncée
Courbe granulométrique
par le producteur est de ± 5 %.
100%

90%

80%
Application D10 (mm)
70%
Eaux de piscine 0,55
Tamisats (%)

60%
Filtres bicouche anthracite-sable 0,75
50%
Eau destinée à la consommation humaine 0,95
40%

30%
Traitement tertiaire des ERU 1,35
D ’après P. Corsin, G. Mauguin et N. Villain. Le sable de filtration,
20% L’eau, l’industrie, les Nuisances, N° 278.

10%

0%
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 • Le coefficient d’uniformité CU doit être inférieur à 1,5. Plus la valeur
D10 D60 Ouverture des mailles (mm)
de CU se rapproche de 1, meilleure est l’homogénéité obtenue pour le
D 1,23 lit filtrant, ce qui permet de réduire les pertes de charge et d’obtenir
Taille effective CU
D 0,91
1,35
une rétention en profondeur des matières en suspension.
taille de la maille du tamis laissant
13 14
passer 10 % de la masse de l’échantillon

• La masse de grains passant par le tamis de maille égale à 66% de celui de  Porosité
la taille effective ne doit pas dépasser 1%, et celle ne passant pas par le
tamis de maille égale à 180% de celui de la taille effective ne doit pas Vides
V
dépasser 5%. ε = vides fraction de lit occupé par des vides
Courbe granulométrique
V Lit VLit
100%
≥ 95% Vsable
90%
1− ε = fraction de lit occupé par le matériau
80% VLit
70%
Tamisats (%)

60%
Mesure :
50%

40%
• Ajout d’un volume d’eau V0 donné dans une éprouvette
30%
• Ajout d’un volume de matériau
20%
VSurn
10% 180%.D10 = 1,64 mm • Lecture VSurn et VLit
VLit
≤ 1% 0%

V0 − VSurn
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
D10 = 0,91 mm
ε=
Ouverture des mailles (mm)

66%.D10 = 0,6 mm 15 VLit

16
 Masses volumiques vraie et apparente
Vides  Problème 1
M M
ρ vraie = sable ρ app = sable
Vsable V Lit
VLit Vous ajoutez de l’eau dans une éprouvette de 250 mL jusqu’à atteindre la
graduation 100 mL.
 La masse volumique apparente se mesure Vous ajoutez ensuite 220 g de sable sec.

 La masse volumique vraie se calcule à partir de la masse volumique

apparente et de la porosité : Après avoir tapoté l’éprouvette pour obtenir Eau surnageante
un lit de sable de surface horizontale, le
M sable volume total est de 182 mL et le volume de
ρ vraie =
Vsable V Lit lit de sable de 140 mL. Lit de sable
 ρ vraie = ρ app
M sable Vsable
ρ app = 1
VLit  ρ vraie = ρ app
V
1 − ε = sable 1− ε
VLit A partir de ces résultats, établir les masses volumiques vraie et apparente
du sable, ainsi que sa porosité.
Pour le sable : ρvraie ≈ 2,6 à 2,7 kg.L-1
17 18

 Mécanismes de capture
 Mécanismes de filtration
Ils sont essentiellement de deux natures :
Trois mécanismes principaux interviennent successivement :
capture, fixation et détachement.  Tamisage mécanique

Leur importance dépend des caractéristiques des particules à Rétention des particules plus grosses que la taille
des « pores » du filtre.
retenir et du matériau filtrant mis en œuvre.
Se produit pour les particules dont le diamètre est
supérieur à 0,15 x diamètre des particules.

Pour les matériaux classiquement utilisé en filtration rapide, cela correspond

aux particules de diamètre supérieur à 80 µ.

18 20
 Rétention dans les espaces intergranulaires
 Mécanismes de fixation

La fixation des particules est due le plus souvent à des forces

Rétention dans des zones de intermoléculaires d’attraction type Van der Waals entre les
moindre courant et lors de molécules des particules et celles à la surface du matériau filtrant
contacts particule/matériau qui (physisorption). Elle est favorisée par une faible vitesse
permettre sa capture. d’écoulement.

C’est un mécanisme très important Des réactions avec l’établissement de liaisons covalentes peuvent
dans la filtration en profondeur. également avoir lieu à la surface de l’adsorbant conduisant à une
fixation irréversible du composé.

21 22

 Maturation des filtres - Percée

 Mécanismes de détachement
Juste après le lavage d’un filtre, on observe en général un pic de
turbidité dans l’effluent. C’est la phase de maturation du filtre : la
Au cours de la filtration, du fait des mécanismes précédents, l’espace capture des premières particules est nécessaire à un abattement
entre les parois du matériau se réduit par suite de l’accumulation de important des suivantes.
particules.
maturation
filtration percée
Il y a alors augmentation de la vitesse d’écoulement intergranulaire.

turbidité
Les dépôts déjà retenus peuvent alors se détacher partiellement et être tp temps
entraînés plus avant dans le matériau filtrant (progression du « front de
Au cours de cette phase, d’une durée allant de 10 min à deux heures,
filtration ») ou même dans le filtrat (« crevaison »).
l’eau est impropre à la potabilisation et doit être rejetée, ou renvoyée
en tête de station.
Après cette phase, la turbidité reste à une valeur très faible (< 0,1 NTU)
jusqu'à ce que la capacité du filtre à capter les matières soit dépassée,
23
conduisant à la percée du filtre (temps tp). 24
  Filtration lente
 Vitesse de filtration 0,2 m. h-1 ≤ U ≤ 2 m.h-1
http://slayden.com/falls-city-slow-sand-filter/

La vitesse de filtration est définie comme le rapport du débit d’alimentation

à la section du filtre. La faible vitesse de filtration permet le développement de bactéries au
sein du matériau et donc une dégradation de la matière organique.
Sa valeur détermine la possibilité de développer ou non un film bactérien
sur le matériau filtrant.
Les étapes préalables de coagulation-floculation-décantation ne sont pas
nécessaires puisque les bactéries assurent l’élimination de la MO, des
On distingue ainsi deux procédés : matières colloïdales et le filtre assure l’élimination des MES.

 la filtration lente
 la filtration rapide La filtration lente nécessite toutefois une
occupation au sol importante (procédé
limité à 1000 habitants), et n’est efficace que
pour les eaux peu chargées en MO et MES.
25
26
http://www.elaguapotable.com

En filtration rapide le choix de la vitesse de filtration est important car il

 Filtration rapide détermine :

4 m. h-1 ≤ U ≤ 20 m.h-1  la surface au sol occupée,

 la perte de charge,
 la distribution des solides collectés au sein du lit,
La vitesse de filtration n’autorise qu’un très faible (voire aucun)  la qualité de l’effluent,
développement de bactéries au sein du matériau et donc aucune  le temps avant percée.
dégradation de la matière organique.
Pour la filtration de flocs d’hydroxydes métalliques, ou de flocs bactériens
C’est le procédé le plus utilisé car son mal floculés, des temps de filtration raisonnables sans altération de la
occupation au sol est très inférieure à celle qualité de l’eau filtrée peuvent être obtenus pour des vitesses allant
d’un filtre lent. Une élimination préalable de la jusqu’à 12,5 m.h-1.
matière organique et de la plupart des MES est
cependant nécessaire en amont (coagulation- L’ajout d’adjuvants (polymères), permet d’atteindre des vitesses allant
floculation-décantation ou décantation simple jusqu’à 25 m.h-1.
lorsque les particules floculent naturellement).
27 28
  Nombre de filtres
La dimension maximale d’un filtre est déterminée par les difficultés
Le nombre de filtres à mettre en œuvre dépend : engendrées par la nécessaire équipartition des eaux de lavage et le coût
o Du débit à traiter économique induit. En pratique, la surface de filtration d’un filtre unitaire
ne dépasse pas 100 m2.
o Des dimensions maximales d’un filtre
o De considérations économiques

Un faible nombre de filtres permet de réduire les coûts des accessoires.  Problème 2
Un trop faible nombre de filtres peut toutefois conduire à de fortes Calculer le nombre et la surface des filtres nécessaires à la filtration de
variations de la vitesse de filtration lorsque l’un des filtres est en période 230 000 m3.j-1 avec une vitesse de 15 m.h-1.
lavage. Avec seulement deux filtres, la vitesse est ainsi doublée lorsque
l’un des deux est mis hors service pour lavage , ce qui peut conduire à On rappelle que la surface de filtration d’un filtre unitaire ne doit pas
une détérioration de la qualité de l’eau. dépasser 100 m2.

La plupart des stations ont pour cette raison un minimum de quatre Solution
filtres en fonctionnement.
29 30

 Modes de fonctionnement des filtres Avantages/inconvénients du

dispositif à charge variable
 Filtres à vitesse constante
Avantages
Charge variable Canal Charge constante
Canal d’alimentation • Pas de régulation mécanique coûteuse,
d’alimentation
• Le moment où un filtre nécessite d’être lavé est visible par l’exploitant,
Niveau max.
• Lorsqu’un filtre est mis hors service pour lavage, le niveau de l’eau dans les
Niveau max. autres filtres va progressivement augmenter conduisant à une augmentation
Niveau min. graduelle de la vitesse de filtration,
• Lorsque le filtre lavé est remis en opération, la diminution de la vitesse de
Niveau min. filtration dans les autres filtres est également graduelle.

Inconvénients
 Batterie de filtres alimentés par un même canal largement dimensionné pour que • Possible destruction des flocs du fait de la chute d’eau importante à la remise en
les pertes de charge y soient négligeables, et que par suite le niveau de l’eau y route d’un filtre lavé,
soit sensiblement constant.
• Perturbation de la surface du lit : hauteur d’eau minimale préconisée au dessus du
 Débit d’alimentation Q identique pour tous les filtres via des déversoirs lit filtrant : 1,8 m. Plaque déflectrice requise.
32
31
 Avantages/inconvénients du
 Filtres à vitesse variable – Charge constante
dispositif à charge constante Canal commun
d’alimentation

Niveau 3C Niveau 3F
Niveau 2F Charge disponible

Charge disponible
Niveau 2C
Avantage Niveau 1C Niveau 1F
Apport d’eau
de lavage

Orifice d’alimentation
• Pas de risque de rupture de flocs. La vanne de régulation est ouverte au fur submergé

et à mesure du colmatage du filtre permettant au niveau de l’eau de rester

constant de même que le débit traversier. Orifice d’évacuation
des eaux de lavage

• Intérêt particulier : temps de contact au dessus du filtre peut être utile

pour la précipitation du fer et du manganèse.

L’admission de l’eau est réalisée par un même canal sous le niveau de l’eau dans
Inconvénient le filtre : les niveaux d’eau sont les mêmes dans l’ensemble de la batterie de
filtre. Les vitesses de filtration diffèrent en revanche suivant l’état de colmatage
Dispositif couteux. Risque de pannes. des filtres.

33 34

 Pertes de charge
Au fur et à mesure du colmatage des filtres, le niveau de l’eau
augmente sur l’ensemble des filtres.
 Filtre homogène (CU ≈ 1) alimenté en eau propre
Après lavage, la vanne en sortie de filtre est partiellement fermée pour
éviter que le filtre lavé ait une vitesse de filtration beaucoup plus  Loi de Darcy
élevée que les autres. ν
∆H = U .Z
gB
Q
Avantages du dispositif
B : perméabilité de la couche (m2)
• Peu de risque de rupture des flocs par suite d’une chute excessive. ∆Η
• Une vitesse peu élevée sur les filtres les plus colmatés : moins de risque ν : viscosité cinématique du liquide (Pa.s)
d’entraînement de MES dans l’effluent comparé aux dispositifs à vitesse
constante. Z Sable
ν=
.
T : température (°C)
, ,

Inconvénient U : vitesse en fût vide (m.s-1)

L’état de colmatage de chaque filtre n’est pas visible : programmation Q débit
horaire des différents lavages. U= ( m.s −1 )
section du filtre
35 36
 ν
∆H = U .Z Ergun
 Modélisation de la perméabilité gB

∆H
= 150ν
(1− ε )
2
U 1− ε U
+ 1,75 3
2

Objectif : établir la relation entre B et les paramètres du matériau filtrant.

Z ε 3 gd sphère
2
ε gd sphère
Intérêt : prédire la perte de charge d’un milieu filtrant à un débit donné à partir des
caractéristiques des matériaux.
Terme du aux frottements sur les parois Terme du aux turbulences
et le sable (régime laminaire) (régime turbulent)
2
ε3  Vp 
Carman-Kozeny B=   Modèle historique
kc (1 − ε ) A 
2
 p dsphère : diamètre des sphères qui conduisent à la même surface spécifique
Ap : surface des grains constitutifs du lit (m2) (Ap/Vp) que celle des particules.
Vp : volume des grains (m3) 6
d sphère =
Ap/Vp : surface spécifique des grains (m2.m-3) Ap
Vp
kc : constante de Carman-Kozeny (≈ 5)

Pour des grains sphériques de diamètre d :

Valable pour tous les régimes d’écoulement, et toute forme de particules.
Ap = πd2
Ap/Vp = 6/d B=
ε 3
d2 ∆H
= 180ν
(1 − ε ) U
2
Problème : Ap/Vp difficile à mesurer
180(1 − ε )
2
Vp = πd3/6 Z ε 3 gd 2 38
37

Ergun, revisitée par Trussel et Chang

Domaines d’application de l’équation d’Ergun
∆H
= κ vν
(1 − ε )2 U + κ 1 − ε U 2
∆H (1 − ε ) ν U + κ 1 − ε U 2
2

Z ε 3 gd 2
L
ε 3 gd = κV
ε3 gd 2 ε 3 gd
L
Z

Valable pour des particules de sable ou d’anthracite (non sphériques), en prenant pour
d la valeur de la taille effective du matériau et les valeurs suivantes d’ε, de κV et κL : Le modèle d’Ergun permet de calculer la perte de charge observée au début de
la filtration (filtre propre).

Source : Trussell, R. R., and Chang, M. (1999) ‘‘Review of Flow through Porous Media Il peut également permettre le calcul de la vitesse de filtration obtenue en
as Applied to Head Loss in Water Filters,’’ J . Environ. Eng., 125, 11, 998–1006.
début de filtration (filtre propre) lorsque le filtre est conçu pour fonctionner à
charge constante.

En l’absence d’études pilotes, l’emploi des valeurs moyennes est préconisé.

39 40
 Problème 3
2) En déduire la hauteur d’eau présente en début de filtration au
dessus du filtre représenté à la figure ci-contre.
1) Calculer la perte de charge (en mCE) d’un lit de sable propre d’1 m de
hauteur, de taille effective 0,8 mm alimenté avec une charge superficielle On négligera les pertes de charge liées au plancher et à la conduite.
égale à 20 m3.m-2.h-1.
Canal
On rappelle :
∆H
= κV
(1 − ε ) ν U + κ 1 − ε U 2
2
d’alimentation
ε3 gd 2 ε 3 gd
L
Z Niveau max.

Niveau min. 0,1 m

Z =1 m

On donne : Viscosité cinématique de l’eau : 1,4 .10-6 m2.s-1 Solution

Solution
41 42

 Problème 4 Canal
0,1 m
 Cas d’un filtre hétérogène
d’alimentation
1m

Une charge d’1 m est maintenue au dessus Les perméabilités des différentes couches
d’un filtre à sable d’1 m de profondeur. 1m d’épaisseur ∆Z ne sont pas nécessairement
égales.
Le sable a une taille effective de 0,4 mm.
La perte de charge sur l’ensemble du filtre
Calculer la vitesse de filtration (m3.m-2.h-1) en début de filtration pour une doit être calculée comme la somme des
température de l’eau de 20°C. pertes de charge de chacune des couches de
perméabilité donnée :
Viscosité dynamique de l’eau à 20°C: 10-3 Pa/s
On donne :
Masse volumique de l’eau à 20°C: 998 kg.m-3 ∆H =  ∆H ∆Z Z : hauteur totale du milieu filtrant (m)
Z

∆H (1 − ε ) ν U + κ 1 − ε U 2
2 ν
On rappelle : = κV avec : ∆H ∆Z = U .∆Z
ε3 gd 2 ε 3 gd gB∆Z
L
Z
∆Η∆Z : perte de charge de la couche ∆Z (m2)
Solution
Β∆Z : perméabilité de la couche ∆Z (m2) 44
43
  Problème 5  Cas de la filtration d’une eau chargée
Pertes de charge
Q[MES]0 du plancher
On considère un filtre bicouche constitué d’une couche d’1 m de sable de
taille effective 0,8 mm et d’1 m d’anthracite de taille effective 1,5 mm.  Evolution de la perte de charge 1
∆HL,t + ∆Hp
Calculer la perte de charge en début de filtration, pour une charge ∆H L ,t = ∆H L , 0 + k HLσ t (1) 2
superficielle égale à 20 m3.m-2.h-1. Z
V
Constantes plancher

On rappelle :
∆H
= κV
(1 − ε ) ν U + κ 1 − ε U
2 2
Q[MES]ef
∆Z ε3 gd 2 ε 3 gd
L
∆HL,0 : perte de charge du lit propre (σ = 0), m
σt : dépôt spécifique au temps t (masse de matière piégée par unité de volume
du lit au temps t ), kg MES.m-3
alimentation

Q ([MES ]0 − [MES ]ef )t U ([MES ]0 − [MES ]ef ) (2)

σt = = t
V Z effluent
On donne : Viscosité cinématique de l’eau : 1,4 .10-6 m2/s.
Solution kHL : constante cinétique de perte de charge, m4.kg-1.
45 46

Par substitution de (2) dans (1) :

Perte de charge lit ∆HL,t Cas des filtres à vitesse et charge constantes ∆H = ∆H L ,t + ∆H p + ∆H v
constantes
U ([MES ]0 − [MES ]e )
∆H L ,t = ∆H L ,0 + k HL t ∆H
Z ∆HL,0 a ∆Hv,min
a
Temps ∆Hv,0 ∆Hp
Pour les filtres à vitesse constante a = constante ∆H ∆Hp
a ∆HL,max
Après un temps de filtration tHL, la perte de charge atteint la valeur maximale
∆HL,0 tHL Temps
(∆Hmax, fig ci-dessous) acceptable par le filtre, imposant un lavage du filtre.
∆HL,t
∆H (m) ∆Hp
Q[MES]0
∆Hp
Niveau max. ∆Hv
∆Hp
∆Hmax Niveau t=0 ∆HL,max ∆Hmax
Niveau min. ∆H0 a La valeur minimale de ∆Hv (∆Hv,min) impose la valeur maximale de la perte de charge
∆HL,0 acceptable par le filtre (charge disponible) :
Pertes de charge tHL Temps
du plancher : ∆H L ,max = ∆H − ∆H p − ∆H v ,min
∆Hp ∆H max = ∆H L ,max + ∆H p
Lorsque la vanne est totalement ouverte (∆Hv = ∆Hv,min : temps tHL), le filtre doit être
Q[MES] Perte de charge maximale acceptable dans le lit lavé. 48
47
 Cette capacité peut être obtenue expérimentalement en mesurant, jusqu’à la
 Capacité du filtre percée, l’évolution de la teneur en MES en sortie d’une colonne contenant une
couche Z de matériau et alimentée à un débit Q donné (U donnée) :
Tant que la valeur de la charge maximale n’est pas atteinte, la valeur du
dépôt spécifique augmente. U ([MES ]0 − [MES ]ef )
σp = tp
maturation Z
filtration percée
Si la conception du filtre le Termes connus ou mesurés
permet, ce dépôt peut conduire à

turbidité
la percée du filtre.
Une fois connue, par expérimentations pilotes ou par expérience, cette capacité
tp temps permet le calcul du temps de percée tp correspondant à une autre épaisseur de lit :

Le dépôt spécifique correspondant à la percée est appelé capacité du filtre :

Z
tp = σp
U ([MES ]0 − [MES ]ef )
U ([MES ]0 − [MES ]ef )
σp = tp : capacité du filtre (kg MES.m-3)
Z
Un filtre bien conçu est celui pour lequel tHL est légèrement inférieur ou
C’est la masse maximale de dépôt que chaque m3 de matériau peut égal à tP.
accumuler avant percée.
49 50
Le lavage est ainsi lancé avant que le filtre ne perce.

 Impact de la taille effective du matériau sur la perte de charge Effet sur la perte de charge
et la capacité du filtre
U ([MES ]0 − [MES ]e )
∆H L ,max = ∆H L , 0 + k HL t HL
Effet sur la capacité Z
La capacité d’un matériau à retenir les particules augmente avec la Loi de type puissance décroissante
diminution de la taille effective, suivant une loi puissance ∆H L , 0
= κV
(1 − ε )2ν U 1− ε U 2
+κL 3
décroissante : Z ε 3 2
gD10 ε gD10 k HL = b2 D10− m2 Constantes
D’autant plus forte que la D10 est faible. La perte de charge augmente d’autant
σ p = b1 D10− m1 b1, m1 : Constantes plus rapidement que la D10 est faible.

En diminuant la taille effective, on peut ainsi augmenter le temps de Une taille effective faible, nécessaire à l’obtention d’une capacité élevée,
percée tp : conduit à une forte perte de charge initiale et un temps tHL plus court.

U ([MES ]0 − [MES ]ef ) tp =

σ pZ
σp = tp
U ([MES ]0 − [MES ]ef ) La taille effective idéale est celle qui permet d’obtenir tHL légèrement
Z inférieure à tp. La détermination de cette taille effective idéale sur la base
augmente avec σp d’expériences pilotes est présentée au problème 6.
51 52
 Établir :
 Détermination de la taille effective et de la charge nécessaires  La relation entre la capacité du filtre et la taille effective du
à l’obtention d’un temps de filtration donné (problème 6) matériau, Solution
 La relation entre la constante cinétique de pertes de charge
Quatre filtres pilotes présentant une hauteur de 1,8 m d’anthracite
et la taille effective,
(ρp = 1700 kg.m-3), de différentes tailles effectives (C.U. << 1,4) ont
été alimentés à une vitesse de filtration de 15 m.h-1 avec une eau  La taille effective nécessaire à une durée de filtration de 48h, Solution
contenant 2,2 mg.L-1 MES, jusqu’à crevaison.
 La perte de charge obtenue après 48 heures de filtration Solution

Les résultats obtenus sont donnés au tableau suivant.  L’écart nécessaire entre niveau min et niveau max, pour que le filtre perce
au moment où l’eau atteint le niveau max (tp = tHL). Solution
Q[MES]0
Niveau max.
On admettra : ∆Hp ≈ 0,1 m
D10 Niveau min.
On rappelle :
∆H l ,t = ∆H l , 0 + k HLσ t
hp
53 σ p = b1 D10− m 1
k HL = b2 D10− m2
54
Q[MES]

 Optimisation
L’optimisation consiste à trouver, pour une vitesse de filtration U, une  Calculs sur
hauteur de lit Z et une charge disponible ∆HL,max choisies, la taille tableur
effective conduisant à un temps de filtration tel que : tp = tHL

U [MES ]0
 Principe σp = tp
tp =
b1Z
U [MES ]0 D10m1
Z
σ p ≈ b1.D − m1
10

U ([MES ]0 − [MES ]e )
∆H L ,max = ∆H L , 0 + k HL t HL
Z
Temps

∆H L ,0
= κV
(1 − ε )2ν U 1− ε U 2
+κL 3 tHL
Z ε3 gD102 ε gD10

k HL = b2 D10− m2 tp

t HL =
(∆H L , max − ∆H L , 0 )Z
D10m2
Taille effective D10 (mm)
b2U ([MES ]0 − [MES ]e )
55 56
Fichier Excel
  Interprétation

Pour une charge disponible de 2,5m le

dimensionnement idéal est obtenu pour
une taille effective de 0,87 mm. Le temps
de filtration est alors de 47,5 heures.

Avec cette taille effective de 0,87 mm l’augmentation de la charge disponible à une valeur
de 3 m n’apporte rien car il faudra de toute façon arrêter la filtration avant la percée,
57 c’est-à-dire un peu avant 47,5 heures. 58

 Interprétation Le coût d’investissement est pratiquement proportionnel à la surface du

(suite) filtre. L’épaisseur du lit et la charge disponible jouent peu.

Pour une charge disponible de 3 m le Sur le plan de l’investissement on

dimensionnement idéal est obtenu pour privilégiera ainsi un fonctionnement
une taille effective de 0,77 mm. Le temps avec les vitesses de filtration les plus
de filtration est alors de 52,5 heures, soit élevées possibles de manière à réduire
5 heures de plus que dans le cas au maximum la surface des filtres.
précédent.
Un optimum économique est à trouver
entre coût d’investissement et de
fonctionnement, en prenant en compte
Sur le plan du fonctionnement on
les coûts induits par le lavage.
privilégiera les conditions permettant
d’obtenir les fréquences de lavage les
plus faibles (temps de filtration les
plus longs).

59 60
Effets des autres paramètres Des relations empiriques ont été développées par certains bureaux d’études
pour apprécier les valeurs de tp et tHL en fonction des caractéristiques de
( ∆H L ,max − ∆H L , 0 ) Z ∆H L ,0 (1 − ε )2ν 1− ε U 2 construction et de fonctionnement.
t HL = D10m2 = κV
U
+κL 3
b2U ([MES ]0 − [MES ]e ) Z ε3 gD102 ε gD10
Pour une eau coagulée avec un sel métallique, suez-environnement
b1Z propose par exemple :
tp = https://www.suezwaterhandbook.fr/eau-et-generalites/processus-elementaires-du-
U [MES ]0 D10m1 genie-physico-chimique-en-traitement-de-l-eau/filtration/filtration-sur-lit-granulaire

tp = a · v–0,95 · K0,75 · D10–0,45 · Z0,95 · U–1,85

Effet de l’augmentation du
paramètre
tHL = b · v–0,75 · K–0,7 · D101,5 · P0,9· U–0,65
Paramètre
tp tHL avec :
Taille effective Diminue Augmente D10 : taille effective du matériau (D10),
Profondeur du lit Augmente Diminue Z : hauteur de couche,
P : gain de perte de charge disponible (∆HL,max),
Vitesse de filtration Diminue Diminue
U : vitesse de filtration,
Concentration initiale en particules Diminue Diminue K : coefficient de cohésion du floc retenu (mesuré),
Cohésion du floc Augmente Diminue v : volume de matières en suspension floculées de l’eau à filtrer
Porosité Diminue Augmente (après 24 h de sédimentation).
Les coefficients a, b et K sont expérimentaux.
Nombreuses combinaisons possibles. 61 https://www.suezwaterhandbook.fr/eau-et-generalites/analyses-et-traitabilite-des-eaux/examen-
62
des-eaux-de-consommation-et-fabrication/essais-de-traitabilite

 Chiffres usuels pour le dimensionnement

En réalisant le ratio des deux temps :
 Profondeur, taille effective et vitesse
tp a K 1, 45 Z 0,95
= 0 , 2 1, 95 0 , 9 1, 2
t HL b v D10 P U

La taille effective du matériau filtrant et la cohésion du floc apparaissent

comme les paramètres essentiels de la variation de tp/tHL lors de la
filtration d’une eau coagulée par sels métalliques.

Les dimensionnements actuels sont réalisés de sorte que tp ≈tHL.

63 64
  Autres valeurs suggérées pour la profondeur et la taille  Nombre de filtres
effective à utiliser
 Q < 8000 m3.j-1 : minimum deux filtres
 Q > 8000 m3.j-1 : minimum quatre filtres
• N = 0,0195.Q0.5
• N : nombre de filtres
• Q : débit de pointe (m3.j-1)

 Filtres en nombre pair, constitué chacun de deux cellules alimentées

par un même canal (figure ci-dessous).

 Géométrie B

Cellules de filtration avec un

rapport L/B = 2/1 à 4/1

B <= 6 m pour goulottes

préfabriquées

65 Filtre 66

ANNEXE - Modèle de Carman Kozeny

Sous l’hypothèse réalisée (réseau de capillaires), la formule des pertes de charges
Un milieu poreux d’épaisseur ∆Z, de section S, donc de volume ∆V = S.∆Z dans les conduites peut être appliquée.
peut être assimilé à un faisceau de N capillaires identiques, indépendants, de
longueur Lc, de diamètre équivalent dc (= 4Rh : section non circulaire). D : diamètre équivalent
L U 2 avec D = 4R
∆H = λ h Rh : rayon hydraulique
D 2g
L : longueur de conduite
∆Z Lc section mouillée
Rh = D : diamètre équivalent
périmètre mouillé
U : vitesse dans la conduite

Pour que le modèle soit représentatif du milieu poreux, il faut : λ : coefficient de pertes de charge

une égalité des volumes des vides (= volume d’eau interne) : La perte de charge dans le lit est alors égale à celle d’un capillaire de longueur Lc
πd p2 et de diamètre apparent dc, où l’eau circule à une vitesse Uc, soit :
εSZ = N .Z p
4
une égalité des surfaces mouillées : Nπd c Lc = A p Lc U c2
Rayon hydraulique
∆H = λ avec dc = 4. Rh,c d’un capillaire
d c 2g
Ap : surface mouillée des particules 67 68
Le problème est alors de relier les différents termes de l’équation à des Nous allons donc utiliser une autre expression de Rh :
paramètres mesurables : U, vitesse en fût vide, ε : porosité du lit, Z : profondeur
du lit. Pour un capillaire de longueur Lc :

Lc
1) Expression de dc
Le volume d’eau interne est : section mouillée .Lc
Pour une conduite non circulaire (cas des capillaires) : dc = 4. Rh
La surface mouillée est : périmètre mouillé.Lc
section mouillée
Rh ,c =
périmètre mouillé Le rayon hydraulique dans le capillaire peut donc également s’exprimer par :
Pour un lit de sable, même modélisé par un ensemble de capillaires, cette
Volume d' eau interne d' un capillaire
définition de Rh n’est pas utilisable car on ne connait ni les sections, ni les Rh =
périmètres mouillés des capillaires. Surface mouillée du capillaire

Volume d' eau interne dans le lit

N Volume d' eau interne dans le lit
= =
Ap Ap
N
69 70
Égalité des volumes de vide et des surfaces mouillées

Pour le lit de sable : Par substitution de Rh dans l’expression de la perte de charge dans le lit
filtrant, on obtient :
Volume d' eau interne Volume d' eau interne Ve
ε= = = Lc U c2 λ 1 − ε  A p  U c2

Volume lit Volume d' eau interne + Volume des particules Ve + V p ∆H = λ = Lc
4 Rh 2 g 4 ε V  2g
ε  p 
Ve = Vp
1− ε
2) Expression de Lc
Le rayon hydraulique s’exprime dans ces conditions par :
La longueur des capillaires Lc est plus longue que la hauteur du lit filtrant Ζ.
Pour en tenir compte Carman-Kozeny ont introduit un nouveau facteur
Volume d' eau interne Ve ε Vp correctif, noté T, appelé tortuosité :
Rh = = =
Surface mouillée Ap 1 − ε Ap
Longueur des pores du modèle L
avec : T= =
c
Z Lc
Hauteur du milieu filtrant Z
Ap : surface mouillée des particules
Vp : volume des particules
71 72
3) Expression de Uc On en tire finalement l’expression des pertes de charge sur le lit :
Le débit de l’eau au dessus du lit filtrant étant égal à celui au travers du
milieu poreux, on a : λ 1 − ε  A p  U c2 λ 3 1 − ε  A p

U 2
∆H = Lc = T Z 
4 ε V  2g 4 ε 3  V p  2g
 p  
πd c2
NU c = U .S S : section du filtre (m2)
4 64 16ν A
En régime laminaire : λ= = (1 − ε ) p 1/B
Re UT Vp
Débit au sein Débit au dessus
des pores 2 2
du filtre ∆H
= 2T 2ν
(1 − ε ) 2
 Ap  U
  = kc
(1 − ε )2  Ap  ν U
S πd 2 Z ε3 V  g ε 3  V p  g
 p
On en tire : U c = U . ou, puisque ε SZ = N c .Lc
πd c2 4 avec kc = Cte de Carman-Kozeny
N Pour des particules sphériques de diamètre d :
4 L T
(égalité des volumes de vides) : U c = U . c = U . πd 3
εZ ε Vp = N Vp d
 =
6
Ap 6 ∆H
= 180ν
(1 − ε ) U 2

Ap = Nπd 2
Z ε 3 gd 2
73 kc = 5 (Carman,1937) Formule de Carman-Kozeny 74