Béton Précontraint - Jarachi

Année scolaire 2022-2023
Le Béton Précontraint
3ème année Génie Civil spécialité BTP
Enseigné par M. Jarachi
1
Généralités sur le béton précontraint
Définition: Le béton précontraint est une association de béton

et d’acier dans laquelle le béton est comprimé et l’acier est
tendu avant même l’application des charges extérieures.
• On a le béton précontraint par pré-tension dans lequel les

aciers sont mis en tension avant le coulage du béton
• On a le béton précontraint par post-tension dans lequel les
aciers sont mis en tension après le coulage du béton. Il
nécessite la mise en place de gaines avant le coulage du béton
puis l’injection de coulis de ciment ou de graisse après la mise
en tension des câbles.
2
Quelle est l’utilité du béton précontraint ?
Il permet d’utiliser des aciers à grande résistance >> 500 MPa
Il permet de réaliser des poutres plus économiques que le

béton armé dans le cas où la portée de la poutre est grande.
3
Quelle est l’utilité du béton précontraint ?
Il permet d’utiliser des aciers à grande résistance > 500 MPa
Il permet de réaliser des poutres plus économiques que le

béton armé dans le cas où la portée de la poutre est grande.
4
Principe de pré-tension
5
Précontrainte par près-tension
6
7
Poutrelle précontrainte
8
Prédalle précontrainte
9
Poutres précontraintes par pré-tension
10
Gaines de cables
11
Torons à 7 fils
12
Ancrages des cables
13
Vérin hydraulique
14
Poutre précontrainte par post-tension
15
Caches des ancrages
16
Pont à caisson
17
Intérieur d’un caisson
18
Objectif du cours
Apprendre à dimensionner les poutres précontraintes de
façon à pouvoir assurer leurs stabilité et leur durabilité.
Cela revient à déterminer la hauteur et la largeur de la section

de la poutre, l’excentrement des cables et des armatures ainsi
que leur sections.
Cours et travaux dirigés : 40h contrôle en Semaine 11

Projet encadré : 16h rendu en Semaine 14
Notation : contrôle 60% ; projet 40%
19
Rappels de béton armé
Sens positif des sollicitations
V+
M+ M+
N+ N+
V+
20
Soit une structure soumise à des charges diverses (G, Q, N, V,

S, T..), Il est économique de dimensionner la structure comme
étant soumise à des combinaisons de charges.
Une combinaison de charge fondamentale à l’état limite
ultime:
Une combinaison de charge accidentelle à l’état limite ultime:
Une combinaison de charge à l’état limite de service:
21
Les coefficients de pondération des charges prennent les

valeurs suivantes dans le cas des batiments:
Nature des charges ψ0 ψ1 ψ2
Exploitation
Habitations 0.77 0.75 0.65
Salles de réunion 0.77 0.65 0.25
Archives 0.90 0.90 0.80
Parcs de stationnement 0.90 0.75 0.65
Restaurants 0.77 0.65 0.40
Vent 0.77 0.20 0
Neige
altitude ≤ 500m 0.77 0.15 0
altitude > 500m 0.77 0.30 0.10
Température (variation
0.60 0.50 0
uniforme)
22
Usage du local Q en kN/m²
Hébergement en chambres, salles de jeux et repos des crèches 1,50
Hébergement collectif (dortoirs) 2,50
Salles de restaurants, cafés, cantines de dimension réduites ( places assises<100) 2,50
Bureaux proprement dits 2,50
Salles de réunion avec tables de travail 2,50
Halles diverses (gare, etc...) ou le public se déplace 4,00
Salles d'exposition de moins de 50 m2 2,50
Salles d'exposition de 50 m2 ou plus 3,50
Salles de réunion et lieux de culte avec assistance debout 5,00
Salles, tribunes et gradins des lieux de spectacles et sport avec places debout 6,00
Salles de théâtre, salles de conférences, amphithéâtre, tribunes et autres lieux avec sièges 4,00
Cuisines des collectivités, non compris les charges du gros matériel prises en compte
2,50
indépendamment
Salles de lecture des bibliothèques 4,00
Boutiques et annexes 5,00
Garages et parc de stationnement de voitures légères, à l'exclusion des ateliers d'entretien et
2,50
de réparation
Circulations intérieures des bâtiments. La valeur ne sera pas inférieure à celles des locaux
desservis
Balcons 3,50
Loggias. Prendre comme charge celle des locaux contigus
23
Exercice 1
Soit la poutre suivante :
6m 3m
La poutre est soumise à des charges permanentes et des

charges d’exploitation uniquement
Donner les différentes combinaisons de charges à considérer

aux ELS et aux ELU
24
Exercice 2
7m
La poutre est soumise à des charges permanentes et des

charges d’exploitation de type « archives » et des charges de
neige
La poutre est à une altitude de 250m par rapport à la mer
aux ELS et aux ELU
Soit G=7kN/m ; Q=1,5kN/m; N=2kN/m ; Na=3kN/m
Donner les combinaisons les plus défavorables
25
Introduction de l’effort de précontrainte
Exercice 3
2,8m
Section rectangulaire h=0.28m ; b=0.15m

On s’intéresse à la combinaison de charge G+Q=10kN/m
• Donner les contraintes normales dans la section médiane et
extrémités
• En ajoutant un effort normal P=210kN donner les contraintes
dans la section médiane et extrémités
• En prenant un effort normal P=106kN excentré de 0.05m vers
le bas donner les contraintes dans la section médiane et
extrémités
26
Le BPEL 91 (Béton précontraint aux états limites) est un

règlement semi probabiliste basé sur la notion d’états limites
l’état limite ultime et l’état limite de service.
L’état limite ultime qui correspond à la rupture de l’ouvrage
L’état limite de service qui correspond compromet l’utilisation

de l’ouvrage
27
A chaque ouvrage en béton précontraint correspond une classe
Les classes d’ouvrages en béton précontraint:

• Classe I: il s’agit des ouvrages soumis à une traction simple
(tirants) ou des ouvrages nécessitant une étanchéité parfaite
(réservoir, enceinte nucléaire,…)
• Classe II: il s’agit des ouvrages exposés aux intempéries ou en
atmosphère agressive (pont, toiture, façade, …)
• Classe III: il s’agit des ouvrages protégés des intempéries ou
peu exposés aux intempéries (intérieur de batiment, …)
28
Combinaisons des charges
On retrouve les charges usuelles:

G: charges permanentes
Q: charges d’exploitation
V: charges de vent
N: charges de neige
…
et:
P: l’action de la précontrainte
L’action de la précontrainte est divisée en 3 actions: P1, P2 et
Pm
29
• P1 est la valeur caractéristique maximale.

P1(x,t) = 1.02 Po – 0.80 ∆P(x,t)
• P2 est la valeur caractéristique minimale.
P2(x,t) = 0.98 Po – 1.20 ∆P(x,t)
• Pm est la valeur probable.
Pm(x,t) = Po – ∆P(x,t)
Po représente la tension du coté du vérin
∆P(x,t) représente la perte de précontrainte à l’abscisse x à
l’instant t
Remarque : Pm=(P1+P2)/2
30
Une combinaison de charge rare à l’état limite de service:

P1 ou P2 + G + Q + Ψ0 V + Ψ0 N
Une combinaison de charge fréquente à l’état limite de

service:
P1 ou P2 + G + Ψ1 Q + Ψ2 V + Ψ2 N
Une combinaison de charge quasi permanentes à l’état limite

de service:
P1 ou P2 + G + Ψ2 Q + Ψ2 V + Ψ2 N
31
Combinaison de construction :
P1 ou P2 + Poids de la poutre
Une combinaison de charge fondamentale à l’état limite ultime:

Pm + 1,35G ou G + 1,5Q + 1,3 Ψ0 V + 1,3 Ψ0 N
Une combinaison de charge accidentelle à l’état limite de ultime:

Pm+ FA + G + Ψ1Q1 + Ψ2 V + Ψ2 N
32
Exercice 5
4m
La poutre en béton précontraint est soumise à G, Q, et la

précontrainte
Donner les combinaisons les plus défavorables
33
Comportement des matériaux
On admet que:
A l’état limite de service les matériaux se comportent
élastiquement.
A l’état limite ultime on accepte que les matériaux entrent
dans leur domaine plastique.
1/ Le béton
• Le béton à l’état limite de service:
La traction dans le béton est limitée à σt
La compression dans le béton est limitée à σc
34
Contraintes maximales dans le béton aux ELS
35
En classe III
Limites de traction dans les armatures passives sous
-Combinaisons rares et combinaisons de construction :
2
𝜎𝑠 = 𝑀𝑖𝑛 𝑓𝑒 ; 110 𝑛𝑠. 𝑓𝑡𝑗
ns=1,6 3
-Combinaisons fréquentes: 0,35𝑓𝑒
La surtension dans les aciers de précontrainte ne doit pas
dépasser
- sous combinaisons rares : 0,1fprg en post-tension et
min(0,1fprg ; 150np) en pré-tension (np=1,3torons ou 1fils)
- sous combinaisons fréquentes : 100 MPa
36
La section d’enrobage évoquée dans le tableau est

– L’ensemble de la section de béton si la poutre est en traction simple
– Une épaisseur c de béton autour des armatures précontraintes
Gaine du câble (éventuel) de hourdis
c

c
Section d’enrobage c

c
d=3, 4 ou 5 cm
a
37
La résistance en compression du béton à j jours:
La résistance à la traction du béton à j jours:
Le module d’Young du béton à j jours: 1/3

38
• Le béton à l’état limite ultime:

La résistance en traction du béton est négligée
Le diagramme contrainte déformation du béton est le suivant:
b(MPa)
Diagramme expérimental
Diagramme de calcul
S
fbu
fbu=0,85fc28/1,5
0 1 2 3 3.5 b (‰)
39
Le raccourcissement du béton est limité à 0,2% en

compression simple et à 0,35% en flexion
• Le retrait du béton est donné par
εr étant le retrait final du béton
r(t) la loi d’évolution du retrait du béton dans le temps
Avec et
Et
Les armatures adhérentes sont les armatures présentes dans

le béton lors de la prise
40
Dans l’air:
ρh : hygrométrie ambiante exprimée en %

rm : rayon moyen de la poutre exprimé en cm
t: le nombre de jours du béton
• Le fluage du béton est donné par:
Avec εi et σb la contrainte constante sur le béton

41
on remarque que :
2/ Comportement des aciers de précontrainte:
42
Les valeurs à prendre en compte dans les calculs sont les

valeurs caractéristiques garanties par le fournisseur
fprg : contrainte de rupture garantie
fpeg : limite élastique garantie
Le module d’élasticité est :
σp0 est la tension du coté du vérin

• A l’état limite de service:
Elle est calculée de la manière suivante
43
En pré-tension :
En post-tension et barres non laminées :
En post-tension et barres laminées :
• A l’état limite ultime :

Cas des fils tréfilés ou des torons:
Si Alors
Si Alors
44
Cas des fils trempés et revenus ou des barres:

Si Alors
Si Alors σp= fpeg/γs
γp = γs =1,15
• Relaxation des armatures précontraintes:
C’est la perte de tension dans les aciers avec le temps
vaut: 0,43 pour les aciers à très basse relaxation

0,35 pour les aciers à basse relaxation
0,30 pour les aciers à relaxation normale
45
ρ1000 : valeur de relaxation de l’acier après 1000 heures soumis

à 0,7fprg
σpi : contrainte initiale dans l’acier
• Le comportement des armatures passives est celui vu dans le

cours de béton armé
46
Torons à 7 fils
Non laminés section
Diamètre
Ep=190GPa Fpeg (MPa) Fprg (MPa) nominale
(mm)
(mm²)
6,4 1830 2060 25
6,85 1830 2060 28
7 1830 2060 30
8,6 1830 2060 45
9 1710 1960 50
9,3 1710 1960 52
11 1710 1960 70
11,3 1620 1860 75
12,5 1620 1860 93
12,9 1620 1860 100
15,2 1540 1770 139
15,7 1540 1770 150
18 1540 1770 200
47
Exercice 6
Soit une poutre en béton précontraint à section rectangulaire
h=40cm ; b=20cm ; As=20cm² armatures adhérentes
La poutre est dans un air à hygrométrie 80%
Le béton est soumis à des charges normales G=10kN et Q=3kN
restaurant
Béton B25
• Calculer le retrait du béton à 28 jours
• Calculer le fluage du béton après 10ans de la réalisation de
l’ouvrage
48
Exercice 7
Soit une poutre en béton précontraint à section rectangulaire
h=40cm ; b=20cm
Les cables de précontrainte sont soumis à une traction de
G=100kN et Q=25kN habitations et P1=100kN P2=90kN
Il s’agit de deux torons à 7 fils de diamètre 8,6mm et de
résistance caractéristique 2060 à basse relaxation
ρ1000=4%
• Calculer la tension dans les aciers à l’infini à cause de la
relaxation
49
Effet des cables de précontrainte
• Détermination des sollicitations dues aux cables dans une

section:
o Méthode interne:
Considérons une poutre isostatique précontrainte à l’aide d’un
cable de profil e(x)
Considérons une section:
50
On suppose que α est petit et que les pertes de précontrainte

sont faibles.
Effort normal:
Moment fléchissant:
Effort tranchant:
En partie descendante du cable:
51
Exercice 8 e
Soit la poutre suivante : x
4m
Portée: 20m
Le cable est courbe d’équation:
2
4 𝑙
𝑒 𝑥 = 𝑒𝑚 + 2 𝑒𝑒 − 𝑒𝑚 𝑥 −
𝑙 2
em=-60cm ; ee=0cm
La tension dans le cable est constante dans la poutre et dans le
temps et égale à P=1200kN
On considère les charges extérieures G+Q=21kN/m
Calculer les sollicitations dans la poutre
52
Exercice 9
4m
6m 14m
Le cable est linéaire par parties

De gauche à droite e1=-20cm; e2=-60cm ; e3=-30cm
La tension dans le cable est constante dans la poutre et dans le
temps et égale à 1000kN
On considère les charges extérieures G+Q=20kN/m
Calculer les sollicitations dans la poutre
53
Dispositions constructives
1/ Armatures précontraintes par post-tension

Le rayon de courbure des cables doit étre :
- Supérieur à 100 fois le diamètre intérieur de la gaine si la
gaine est rigide cintrable à la main
- Supérieur à 3m si les gaines sont enroulables ou les tubes en
acier 1 − 𝑒 ′2 3 2
𝑟(𝑡) =
𝑒"
Le nombre de colonnes dans un paquet de gaines est limité à :

- 2 si le diamètre est inférieur ou égal à 5cm
- 1 sinon
54
Le nombre de lignes dans un paquet de gaines est limité à :

- 3 si le diamètre est inférieur ou égal à 5cm
- 2 si le diamètre est compris entre 5cm et 10cm
- 1 si le diamètre est supérieur à 10cm
Espacement des armatures de précontraintes
55
Enrobage des armatures de précontrainte
56
Pour qu’il y ait assez d’espace pour la circulation du coulis de

ciment, le diamètre des gaines doit vérifier l’inéquation
suivante:
Torons nus : D>1.8*Ap^0.5

Torons gainés : D>1.7*Ap^0.5
Ap : section d’acier dans la gaine

D : diamètre de la gaine
57
2/ Armatures précontraintes par pré-tension

Il est interdit de grouper les armatures ou les cables
Enrobage des armatures

c ≥ 2.5 Ø
d
58
d = 1 cm pour les parements coffrés situés dans des locaux

couverts et clos, non exposés aux condensations.
3 cm pour les parements coffrés exposés aux
intempéries, aux condensations ou au contact
d’un liquide.
3 et 4 cm pour les parements non coffrés correspondants
respectivement aux deux définis précédemment.
5 cm pour les ouvrages soumis à une atmosphère
agressive.
59
Exercice 9
4m
Section rectangulaire h=0.8m b=0.4m

La poutre sera coffrée et exposée aux intempéries
La poutre sera précontrainte par post-tension
On dispose de gaines de 5cm de diamètre, cintrables à la main
Excentricité parabolique des cables em=-0.2m ; ee=0m
Po=3,7MN
Réaliser le plan de coffrage
60
Estimation des pertes de précontrainte
• On commence l’étude par estimer les pertes de précontrainte

A la mise en précontrainte : P1 = Ki1.P0 et P2 = Ki2.P0
En exploitation : P1 = Ks1.P0 et P2 = Ks2.P0
Dans les deux cas : Pm = (P1+P2)/2
61
Vérification aux ELS
Hypothèses de calcul:
• Les sections droites restent planes après déformation
• Les matériaux sont dans leur domaine élastique
• Le béton tendu n’est pas négligé
• Il n’y a pas de glissement relatif entre le béton et l’acier sauf

dans le cas de non injection des gaine ou d’injection des
gaines avec de la graisse.
62
Si on a G, G’, Q et P comme charges appliquées alors:
En fibre supérieure : σs = P/B + v/I(Mg + Mg’ + Mq +P.e)
En fibre inférieure : σi = P/B – v’/I(Mg + Mg’ + Mq +P.e)
En doit vérifier qu’en toute abscisse x de la poutre:
t ≤  s ≤ c
et t ≤ i ≤ c
63
Exercice 10:
Vérifier aux ELS la poutre d’un pont en post tension, soumise

uniquement à G, G’, Q et P.
Poids propre de la poutre G=60kN/m
Poids du hourdis et revêtements G’=40kN/m
Q=156kN/m ; Ψ1 = 0,6 ; Ψ2 = 0
Poutre à section rectangulaire b=50cm ; h=120 cm ; L=10m
Po = 6,8 MN
ee=0 m em= -0,44 m
Béton B30
64
Etude d’une structure en béton Précontraint
Etapes de l’étude :
- Choix de la section transversale
- Choix d'un tracé du cable moyen
- Calcul de la force de précontrainte requise aux sections critiques aux
l’ELS
- Vérification au niveau des appuis aux ELS
- Vérification de la résistance à l’ELU
- Dimensionnement des armatures transversales
- Vérification des pertes de précontrainte
- Réalisation des plans de coffrages
- Estimation du cout de la structure
65
Prédimensionnement
Détermination de la hauteur de la poutre :

• Si L<15m : dalle pleine : 1/30 < h/L < 1/25
• Si 15<L<40m : poutre en T: 1/30 < h/L < 1/20
• Si 15<L<40m : poutre en i: 1/20 < h/L < 1/15
• Si 40<L<60m : poutre en caissons identiques: 1/28 < h/L <
1/20
• Si 60<L : poutre en caissons non identiques:
aux appuis 1/20 < h/L < 1/15
en milieu de travée 1/60 < h/L < 1/40
L=portée de la poutre=distance entre les appuis successifs

66
Prédimensionnement
• Le rendement géométrique d’une section :
I
ρ=
B.v.v’
• Détermination de la section
– Rendement d’une section en T : 0,400
– Rendement d’une section en I : 0,500
– Rendement d’une section en caisson : 0,620
67
Prédimensionnement
Exercice 11
Soit la poutre de pont suivante:
Longueur 24m
Précontrainte par pré-tension sans traitement thermique
Prédimensionner la section de béton
71
Dimensionnement aux ELS
• Dimensionnement de la précontrainte
– En fibre supérieure : si 1/B+ev/i>0
𝑣. 𝑀 𝑣. 𝑀
𝜎𝑡 − 𝜎𝑐 −
𝐼 < 𝑃0 < 𝐼
1 𝑒. 𝑣 1 𝑒. 𝑣
𝐾 + 𝐾 +
𝐵 𝐼 𝐵 𝐼
– En fibre Inférieure : si 1/B-ev’/i>0
𝑣′. 𝑀 𝑣′. 𝑀
𝜎𝑡 + 𝜎𝑐 +
𝐼 < 𝑃0 < 𝐼
1 𝑒. 𝑣′ 1 𝑒. 𝑣′
𝐾 − 𝐾 −
𝐵 𝐼 𝐵 𝐼
68
Exercice 12
La poutre suivante sera précontrainte par post tension
Longueur : 15m
G hors poids propre = 5kN/m
Q = 10 KN/m ψ1=0.6 ψ2=0.2
Gaines Øg = 50 mm
Ouvrage de Classe II et environnement peu agressif
Mise en précontrainte à 14 jours
69
100cm
Caractéristiques de la section:
20
B = 0.44 m²
v = 0.3 m
v' = 0.7 m 100
I = 4.1 10-2 m4
Béton B35
30
Dimensionner la précontrainte en section médiane et vérifier sur

appuis
70
Armatures longitudinales minimales
Armatures de peau :
• Si la plus grande dimension transversale de la poutre est
supérieure à 40cm on placera des armatures de peau. Ce sont
des armatures longitudinales.
• Leurs section sera A>3cm²/m et A>B/1000
Armatures dans les zones tendues :
• Dans les zones tendues à l’ELS ayant une hauteur supérieure à
5cm la section minimale d’armatures longitudinales est:
Bt NBt ftj
en post-tension : As = + .
1000 fe σBt
Bt NBt ftj
en prétension : As = 1000 + [ σ – Ap] . σ
s Bt 72
Bt : aire du béton tendu

NBt : résultante des efforts de traction
σBt : valeur absolue de la contrainte maximale de traction
fe : limite élastique de l'acier passif utilisé
ftj : contrainte caractéristique de traction du béton
σs : min(fe ; 250 ηp)
ηp : coefficient de fissuration des armatures
Ap : section des armatures prétendues dont la distance 'x' au
parement en traction est telle que :
x ≤ max (5 cm ; 2/3 de la hauteur du béton tendu)
73
Section Diamètre (mm)

(mm²) 10 12 14 16 18 20
2 157 226 308 402 509 628
4 314 452 616 804 1018 1257
6 471 679 924 1206 1527 1885
8 628 905 1232 1608 2036 2513
nombre
10 785 1131 1539 2011 2545 3142

12 942 1357 1847 2413 3054 3770
14 1100 1583 2155 2815 3563 4398
16 1257 1810 2463 3217 4072 5027
18 1414 2036 2771 3619 4580 5655
20 1571 2262 3079 4021 5089 6283
74
Exercice 13
Déterminer les armatures longitudinales minimales de la poutre
suivante en post tension. On utilisera des aciers HA FeE500,
Fc28=30MPa , fissuration peu prejudiciable
On s’intéressera aux combinaisons d’exploitation100cm
du tableau
suivant
20
Sigma i (MPa) Sigma s (MPa)
19,6 -1,10
100
-2,68 9,40
10,1 1,20
12,5 0,232
5cm
6,95 -0,720 30
75
Etat limite ultime de résistance
• Hypothèses de calcul
Les sections droites restent planes après déformation
Il n’y a pas de glissement relatif entre le béton et les armatures
sauf dans le cas où les gaines ne sont pas remplies avec un coulis
de ciment
Le béton tendu est négligé
- raccourcissement ultime du béton en flexion : bult = 3.5 ‰
- raccourcissement ultime du béton en compression simple: bult = 2 ‰
- allongement ultime des aciers passifs : sult = 10 ‰,
- allongement ultime des aciers de précontrainte au-delà de la phase de
décompression du béton : ''pult = 10 ‰
76
b
yu
hp z
hs G
p p "p 'p pm

s s
A la décompression
Etat limite ultime
Sous charges
permanentes seules
77
εp : déformation totale de l'acier de précontrainte qui était déjà

tendu avant application de la sollicitation ultime
εp = εpm + 'εp + ''εp
εpm : allongement préalable de l'acier de précontrainte sous
l’action de la précontrainte seule. Déterminé à partir de σpm
σpm = Pm/Ap
'εp : accroissement d'allongement accompagnant la
décompression du béton. Déterminé à partir de 'σp
78
'σp : la surtension des aciers de précontrainte qui accompagne

la décompression du béton, on a réglementairement :
'σp = 5 σbpm
σbpm : contrainte dans le béton au niveau de l'armature moyenne

de précontrainte sous l'effet de G+G’
Pm e
σbpm = + (Pm ep + Mo ) (e algébrique)
B I
''εp= allongement choisi de l'acier de précontrainte ≤ 1%
79
• Méthode de résolution :
Le problème est résolu par itérations à partir d'un diagramme
de déformations choisi à priori, par exemple celui passant par
les pivots A et B:
B
b = 3.5‰ = bu
s = 10‰ = su
On calcule Nures et on le compare à Nu
Si Nures<Nu on pivote autour de A
A
Si Mures<Mu on pivote autour de B
on cherche un diagramme tel que Nures>Nu et Mures> Mu
80
Exercice 14
vérifier la résistance aux ELU de la section médiane de la poutre
suivante
I=0,04m4
v’=0,35m
v=0,65m
81
Béton B35
Armatures passives 2Ø14 FeE 500
Armatures actives 4x10 torons à 7 fils de diamètre 12,5mm
Po= 3192kN ; e=-0,53m
Mg=0,550 MNm
Mg’=0,309 MNm
Mq=0,781 MNm
Précontrainte par post tension
82
Effort tranchant
• On doit vérifier la contrainte de cisaillement aux ELS

• On doit vérifier la section des armatures transversales
(passives ou actives) et la contrainte dans la bielle de béton
aux ELU
Tréd . S(y)
τréd(y) = I . b (y)
n
Tred = effort tranchant dans la section considérée

I = moment d’inertie de la section par rapport à son centre de
gravité G
S(y) = moment statique par rapport à Gz de la partie de la
section située au-dessus de l’ordonnée y
bn(y) = largeur nette de la section au niveau y
83
Effort tranchant
bn = bo – mKØ
bn
avec m = nombre de gaines / lit
K = 0 en pré-tension bo
K = 0.5 si gaines injectées au coulis de ciment

K = 1 dans les autres cas
y

84
Effort tranchant
• Justification à l’ELS
Dans le cas où on a des armatures transversales actives :
Ft = effort de précontrainte développé par un cours d’armatures actives
transversales
α’ = angle d’inclinaison des armatures actives transversales
s’t = espacement de ces armatures
Ft S't
'
85
Effort tranchant
t cosα’
σx = σ
F
bn s’t . tgα’
Ft
σt = sinα’
bn s’t
Ft
τ =
réd -
τ
bn s’t . cosα’
σ = contrainte normale de la section due aux actions extérieures et la
précontrainte longitudinale.
σx = contrainte normale longitudinale de la section au niveau de calcul
σt = contrainte verticale, évaluée avec la largeur nette bn
τ = contrainte de cisaillement au niveau de calcul, évaluée avec la largeur
nette bn
86
Effort tranchant
• La contrainte de cisaillement doit satisfaire la condition

suivante:
τ ≤ min ( 1 ;  2 )
2 2
avec : 1 = σx σt + 0.4 ftj (ftj + 3 (σx + σt))
2 ftj 2
 2 = σx σt + 2 f (0.6fcj - σx - σt)) (ftj + 3 (σx + σt))
cj
• Si σx < 0 (traction), on applique la première formule avec

σx=0
• Si poutre sans étriers actifs : σt = 0
87
Effort tranchant
• Justification aux ELU

Condition à vérifier
ftj At fe sin(α+ u) Ftu sin(α'+ u)
τu - ≤ b s
β β
+ b s’
 n t s sin βu n t sin βu
βu : angle d'inclinaison des bielles de béton par rapport à la fibre
moyenne
2τu
tg2βu = σ - σ
xu tu
l'angle βu est borné inférieurement à 30° (βu≥30°)

En cas de reprise de bétonnage, on prendra βu=45° dans les
formules précédentes et on ne retranchera pas la valeur ftj/3 au
cisaillement 88
Effort tranchant
• Armatures transversales de peau

la section d'armatures de peau est : A = 2 cm²/m ce qui
correspond à 3Ø10 ou 2Ø12 par mètre linéaire de la poutre.
• Pourcentage minimum d'armatures
Pour éviter une rupture fragile due à l'effort tranchant on
disposera un minimum d'armatures transversales de façon à
satisfaire la condition suivante :
At fe Ftu
sinα + sinα' ≥ 0.4 MPa
bn st s bn s’t
• Espacement des armatures
Pour les armatures actives : s't ≤ 0.8h
Pour les armatures passives : st ≤ min(0.8h ; 3bo ; 1m)
avec bo = épaisseur brute minimale de l'âme.
89
Effort tranchant
• Vérification de la bielle de béton

La contrainte de compression dans la bielle de béton doit être
telle que :
At fe tu 2
σb = ( sinα s’t sinα' ≤ 3 fbu
F 1
st s sin²β
+ )
b
n u
90
Effort tranchant
Exercice 15
Vérifier la résistance à l’effort tranchant de la poutre suivante à une distance
h/2 de l’appui
Tg(x=h/2)=0,259MN
Tg’(x=h/2)=0,200MN
Tq(x=h/2)=1,332MN
Fc28=30MPa
P1=8,14MN ; P2=6,75MN
Inclinaison du cable 7,69° ; e=0
Inertie = 0,43m4
Cadres FeE 500 ;
gaine de 5cm injectée avec un
coulis de ciment
91
Poutres hyperstatiques
• Effets hyperstatiques de la précontrainte
eo
A C B
Il faut d’abord déterminer les réactions d’appuis,

Il y a une réaction d’appuis due à chaque charge : G, Q, P
La réaction d’appuis due à la précontrainte est appelée réaction
hyperstatique de précontrainte
92
• Pour calculer la réaction on remplace un appuis par une

réaction et un déplacement nul. Exemple :
eo
A B
f
Mpℓ² Peoℓ²
f1 = - =-
8EI 8EI
A 3 B
Rcpℓ
Rcp f2 = 48EI
Donc RCp = 6Peo/ℓ

93
Donc RAp = RBp = - RCp/2 = - 3Peo/ℓ

Ces réactions créent des moments fléchissants dans la
travée AC : Mh(x) = RAp.x = - 3Peo x/ℓ
( Mh ) - 3Peo/2
A C B
Donc
ℓ 3Peo 3x
pour 0 ≤ x ≤ 2 : Mp(x ) = Peo - ℓ x = Peo(1 - ℓ )
94
Le moment total (Mp) dû à la précontrainte comprend :

- une composante isostatique : P.e
- une composante hyperstatique : Mh dite moment hyperstatique
de précontrainte.
𝑀ℎ
𝑀𝑃 = 𝑃. 𝑒 + 𝑀ℎ = 𝑃 𝑒 +
𝑃
L'excentricité effective ou ligne de précontrainte est alors :
𝑀ℎ
𝑒′ =𝑒+
𝑃
95
Rappels de RdM :
A B C
𝐶
𝑀ℎ𝐵 = − 𝑞(𝑥). 𝑙𝑖(𝑥). 𝑑𝑥
𝐴
𝑥(𝑙2 − 𝑥 2 )
𝑙𝑖(𝑥) = −
4𝑙²
𝑑²𝑒
𝑞(𝑥) = 𝑃
𝑑𝑥²
96
Exercice 16
Soit la poutre suivante: 12m 12m
A B C
Ouvrage de classe II précontraint par post tension
Section en i ; Fc28=30MPa
B=0,4m² ; I=0,5m4 ; v=0,6m ; v’=0,6m
Environnement peu agressif
En considérant les combinaisons rares seulement, proposez un
tracé du cable de précontrainte et une précontrainte à l’origine
97
Moments dus aux charges extérieures :

Charge Ma Mo Mb
G 0 0,300 MNm -0,560 MNm
G’ 0 0,210 MNm -0,320 MNm
Q 0 0,430 MNm -0,810 MNm
O est le point en travée où le moment est maximal
98
Les pertes de précontrainte
La tension à l’origine est la tension mesurée du coté du vérin

actif.
Les pertes de précontrainte sont l’écart de tension entre le vérin
actif et le point considéré de l’armature à un instant donné
Les pertes de précontrainte sont variables selon la position et le
temps
z
99
1/ Cas de la précontrainte par post-tension

 Les pertes instantanées sont la somme des:
- Pertes par frottement
- Pertes à l’ancrage
- Pertes par déformation instantanée du béton
• Les pertes par frottement:

La tension diminue à mesure qu’on s’éloigne du vérin actif
En partie droite:
-υx
σ = σpo e
100
• Effets produits par la courbure des cables:

Considérons un tronçon de cable courbe, de rayon de
courbure « r » et étudions l’équilibre d’une longueur
élémentaire « ds » de ce cable.
r d
d
r ds = r.d
P2
Rb
P1
P+dP P
2 1
ds ds
(P varie à cause du frottement)
d
101
Projection des forces sur la bissectrice de l’angle α:
Si dα petit:
En négligeant les termes de second ordre:

Et donc
La réaction radiale du béton par unité de longueur est :
102
La courbure d’une parabole est donnée par :

e étant l’équation du profil de cable
Donc:
L’équilibre suivant la tangente au cable donne
Soit f le coefficient de frottement gaine/cable alors:
Par unité de longueur

103
Donc:
dP sont les pertes de précontrainte causées par le frottement du
cable contre la gaine dans le cas de la post tension.
104
υ = f. αd : coefficient de perte au mètre linéaire

αd = 0,75 degré par mètre
x = distance du vérin actif à la section considérée
-f α
En partie courbe: σ = σpo e
f : coefficient de frottement du câble sur sa gaine
α : angle de relevage du câble
La tension tenant compte des frottements est donc:
σP(x) = σPo e -f.α(x) - υx

105
La perte de précontrainte est donc:
• Les pertes à l’ancrage:

Lors de l’enlèvement du vérin il se produit un léger recul des
cables avant d’étre bloqués par le mécanisme d’ancrage.
Il en résulte une perte de tension dans la partie du cable
proche de l’emplacement du vérin actif.
On note Lg la longueur du cable qui subit une perte de
tension.
106
p
avant blocage de l’ancrage
po A
dx
po I B  (x)
p
A’ M
I’
après blocage de l’ancrage
o x Lg lAM x
107
• Les pertes par déformation instantanée du béton:

A cause de la non simultanéité de la mise en tension des cables
Les cables mis en tension en premier perdent de la tension
quand les autres cables sont mis en tension.
On peut reduire cette perte de tension en réajustant la tension
dans les cables qui ont perdu de la tension
108
 Les pertes différées sont la somme des:

- Pertes par retrait du béton
- Pertes par fluage du béton
- Pertes par relaxation de l’acier
• Les pertes par retrait du béton :

εr et r(to) tels que vus précédemment
• Les pertes par fluage du béton :
109
εfl tel que vu précédemment

Ou pour simplifier:
σb la contrainte minimale dans le béton au niveau du cable
moyen
σM la contrainte maximale dans le béton au niveau du cable
moyen
• Les pertes par relaxation de l’acier :

Telles que vues précédemment
110
2/ Cas de la précontrainte par pré-tension

Les pertes de précontrainte par pré-tension sont due:
- Pertes à la mise en tension des armatures
- Pertes entre la mise en tension des armatures et la mise en
précontrainte
- Pertes à la mise en précontrainte
• Les pertes à la mise en tension des armatures:

Elles sont dues au frottement des armatures sur les
extrémités du coffrage et sur les déviateurs, et à la rentrée
d’ancrage sur le banc
111
• Les pertes entre la mise en tension des armatures et la mise

en précontrainte:
Elles sont dues au retrait du béton, à la relaxation des aciers,
et à la déformation différentielle de l’acier et du béton si le
béton est traité thermiquement.
• Les pertes à la mise en précontrainte de l’élément:

Elles résultent de la déformation instantanée du béton due à
l’action des armatures lors de leur relâchement.
112
• Les pertes différées sont dues:

- Au fluage du béton
- Au retrait du béton
- A la relaxation de l’acier
113
Exercice 17
Soit une poutre précontrainte par post tension avec cable
parabolique, ee=0m ; em=-0,6m
L=25m , B=0,5m²
Po=1300kN ; sigmao=1640MPa
Coefficients de frottement : f=0,18 , phi=0,002
Le vérin hydraulique a un glissement maximal g=10mm
La poutre contient 16 cables qui seront mis en tension après 28
jours en deux étapes 10 cables puis 6 cables
Calculer les pertes de précontrainte instantanées
114
Exercice 18
Mg=846kNm ; Q=10kN/m ; G’=0
L=25m ; v=0,365 ; v’=0,635 ; i=0,0389
σpi=1235mpa
Précontrainte par post tension
P0=3192kN ; Mg=846kNm ;
Ap=4*603*10^-6m²
4 gaines avec 12 cables Ø8, fils tréfilés par gaine; e=-0,53m
Fils non laminés à tres basse relaxation
ρ1000=2 ; fpeg=1400MPa ; fprg=1657MPa
Les cables seront mis en tension à 14j
εr=2*10^-4 ; fc28=35MPa ; Fc14=32MPa
Calculer les pertes de précontrainte différées à mi travée
115
Vérification en Classe III
Exercice 19
Soit la poutre suivante de classe III
Section rectangulaire h=1m , b=0,5m
L=10m
G’=1kN/m , Q=5kN/m ψ1=0.5 ψ2=0
Précontrainte par pré-tension avec cable droit, e=-0,35m
Po=700kN , torons à 7fils avec fprg=1600MPa
Béton B30
La poutre contient 4 armatures passives de diamètre 10mm
HA500 avec un enrobage de 3cm
Vérifier la poutre aux ELS
116
Position de l’axe neutre
117
Définitions
Fuseau de passage : ensemble des excentricités solutions quand

on fixe Po
Section sur-critique :
Section sous-critique :
117

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Année scolaire 2022-2023

Enseigné par M. Jarachi

Définition: Le béton précontraint est une association de béton

• On a le béton précontraint par pré-tension dans lequel les

Quelle est l’utilité du béton précontraint ?

Il permet d’utiliser des aciers à grande résistance >> 500 MPa

Il permet de réaliser des poutres plus économiques que le

Quelle est l’utilité du béton précontraint ?

Il permet d’utiliser des aciers à grande résistance > 500 MPa

Il permet de réaliser des poutres plus économiques que le

Cela revient à déterminer la hauteur et la largeur de la section

Cours et travaux dirigés : 40h contrôle en Semaine 11

Sens positif des sollicitations

Soit une structure soumise à des charges diverses (G, Q, N, V,

Une combinaison de charge accidentelle à l’état limite ultime:

Une combinaison de charge à l’état limite de service:

Les coefficients de pondération des charges prennent les

La poutre est soumise à des charges permanentes et des

Donner les différentes combinaisons de charges à considérer

La poutre est soumise à des charges permanentes et des

Section rectangulaire h=0.28m ; b=0.15m

Le BPEL 91 (Béton précontraint aux états limites) est un

L’état limite ultime qui correspond à la rupture de l’ouvrage

L’état limite de service qui correspond compromet l’utilisation

A chaque ouvrage en béton précontraint correspond une classe

Les classes d’ouvrages en béton précontraint:

On retrouve les charges usuelles:

• P1 est la valeur caractéristique maximale.

Une combinaison de charge rare à l’état limite de service:

Une combinaison de charge fréquente à l’état limite de

Une combinaison de charge quasi permanentes à l’état limite

Une combinaison de charge fondamentale à l’état limite ultime:

Une combinaison de charge accidentelle à l’état limite de ultime:

La poutre en béton précontraint est soumise à G, Q, et la

Donner les combinaisons les plus défavorables

Contraintes maximales dans le béton aux ELS

La section d’enrobage évoquée dans le tableau est

La résistance en compression du béton à j jours:

La résistance à la traction du béton à j jours:

Le module d’Young du béton à j jours: 1/3

• Le béton à l’état limite ultime:

Le raccourcissement du béton est limité à 0,2% en

Les armatures adhérentes sont les armatures présentes dans

ρh : hygrométrie ambiante exprimée en %

• Le fluage du béton est donné par:

Avec εi et σb la contrainte constante sur le béton

2/ Comportement des aciers de précontrainte:

Les valeurs à prendre en compte dans les calculs sont les

σp0 est la tension du coté du vérin

En post-tension et barres laminées :

• A l’état limite ultime :

Cas des fils trempés et revenus ou des barres:

vaut: 0,43 pour les aciers à très basse relaxation

ρ1000 : valeur de relaxation de l’acier après 1000 heures soumis

• Le comportement des armatures passives est celui vu dans le

• Détermination des sollicitations dues aux cables dans une

Considérons une section:

On suppose que α est petit et que les pertes de précontrainte

En partie descendante du cable: