2 Apic
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2 APIC
mathématiques
Semestre 1
COURS et EXERCICES
1
Collège NOUIRATE Prof : ZAKARIAE ABBADI
Table des matières
I Activités numériques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II Activités géométriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2
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3 Associativité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Inverse d'un nombre rationnel non nul : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III Quotient de deux nombres rationnels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
IV Exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
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4 Quotient de deux puissances de même base : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Quotient de deux puissances de même exposant : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
V Notation scientifique d'un nombre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VI Exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4
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Test diagnostique
I Activités numériques :
Exercice 1
Calculer puis simplifier si c'est possible :
3 4 3 3
- + - +
21 21 5 7
7 3 2 5
- − - ×
12 12 7 8
7
5 7 2
- − - 5
2 8 4
Exercice 2
Calculer :
- (−1) + (−7) - (−2) × (−2, 5)
- 3 + (−10) - −4 × 5
- 7, 5 − 10 - (−10) ÷ (−5)
- −3 − 9 - 11 ÷ (−2)
Exercice 3
1 Calculer les puissances suivantes : 20230 ; (−5)3 ; (−7)4
2 Ecrire sous forme d'une seule puissance :
2 7 2 2 5 7 109
3 ×3 ; (−7) × 5 ; (10 ) ;
103
Exercice 4
1 Développer réduire les expressions suivantes :
- 2(x + 7) - 5(2x − 9) - (x − 8)(x + 5)
5
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Exercice 5
Soit x un nombre décimal relatif .
Résoudre les équations suivantes :
- x +8 = 9 - 3x − 21 = 3
II Activités géométriques :
Exercice 1
[AB ] un segment et (∆) sa médiatrice .
1 Faire la figure .
2 Soit M ∈ (∆) , compléter la propriété suivante :
- Si M ∈ (∆) alors ..............
- Si M A = MB alors .....................
Exercice 2
Soit = 70◦
AOB un angle du plan et [OC ) sa bissectrice .
1 Faire la figure .
2 Calculer la mesure de l'angle AOC
.
Exercice 3
1 Recopier et compléter la phrase suivante :
- A 0 est le ....... de A par rapport au point O singifie que O est ........ du segment [A A 0 ].
6
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Nombres décimaux relatifs et
01 Présentation des nombres rationnels
d Pré-requis d d Prolongements d
d Contenu de cours d
v Les nombres décimaux relatifs ;
7
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I Les nombres décimaux relatifs :
1. Définition :
Définition
Les nombres : −5 ; 27 ; +3, 05 ; −11 ; 0 ; ... sont appelés des nombres décimaux relatifs .
2. Règle de calculs :
Règle 1
Dans une expression numérique contentant uniquement des additions et des sous-
tractions , on effectue le calcul de gauche vers la droite
Exemple
• Calculons : A = 10 + 5 − 6
On a :
A = 10 + 5 − 6
= 15 − 6
= 9
Règle 2
Exemple
• Calculons : B = 10 + 5 − 6
On a :
B = 10 ÷ 5 × 6
B = 2×6
B = 12
8
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3. Calculs sans parenthèses :
Règle 3
Dans une expression sans parenthèses , on effectue d'abord les multiplications et les
divisions puis les additions et les soustractions.
Exemple
• Calculons : C = 50 + 5 × 6
On a :
C = 50 + 5 × 6
C = 50 + 30
C = 80
• Calculons : D = 13 + 5 × 6 − 18 ÷ 2
On a :
D = 13 + 5 × 6 − 18 ÷ 2
D = 13 + 30 − 9
D = 43 − 9
D = 34
Pour calculer une expression avec des parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre
parenthèses. On commence par les parenthèses les plus intérieures.
Exemple
• Calculons : E = (6, 5 + 3) × 2 − 3, 5
On a :
E = (6, 5 + 3) × 2 − 3, 5
E = 9, 5 × 2 − 3, 5
E = 19 − 3, 5
E = 15, 5
9
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Exercice d'application
1 Calculer les expressions suivantes :
• A = 13, 5 − 5 + 6, 2 • E = 2, 5 × 3 + 3, 3 ÷ 3
• B = 2, 5 × 8 ÷ 2
• F = (2 + 6) × (4, 7 − 2) + 3
• C = 280 ÷ 100 + 10
• D = 17 + 45 ÷ 5 − 5 • G = 2 × [5 − (2, 5 + 7) × 5]
Règle 5
Exemple
On a : On a :
A = −4 + (−10) B = +14 + 10)
A = −(4 + 10) B = +(14 + 10)
A = −14 B = 24
Règle 6
10
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Exemple
On a : On a :
C = −4 + 10 D = 3 + (−15)
C = +(10 − 4) D = −(15 − 3)
C = +6 D = −12
Règle 6
Exemple
On a : On a :
E = −4 − 10 F = −3 − (−15)
E = −4 + (−10) F = −3 + 15
E = −(4 + 10) F = +(15 − 3)
E = −14 F = +12
Règle 7
• Le produit de deux nombres relatifs de mêmes signes est un nombre relatif positif .
• Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif
négatif .
11
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Exemple
On a : On a :
G = −7 × (−10) H = −3 × 5
G = 70 H = −15
Règle 8
Exemple
On a : On a :
I = −100 ÷ (−10) J = −25 ÷ 5
I = 10 J = −5
Exercice d'application
• A = 3 − 13 • D = (−280) ÷ 100
12
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Définition
a et b deux nombres entiers relatifs tels que b est non nul :
a
Tout nombre qui s'écrit sous la forme est appelé nombre rationnel .
b
• Le nombre a est appelé le numérateur .
• Le nombre b est appelé le dénominateur .
Exemple
1 −3 6 −7
• Les nombres suivants : ; ; et sont des nombres rationnels .
2 7 −13 −3
Remarque
Exemple
5 32 255
• 5= ;3, 2 = et 2, 55 =
1 10 100
8 −13
• Les nombres et ne sont pas des nombres rationnels . Car ,
3 17
8 −13
= 2, 6666... et = −0, 7647
3 17
13
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Exemple
1 −3
• et sont des rationnels positifs.
2 −7
−7 9
• et sont des rationnels négatifs.
2 −13
Règle 11
Exemple
7 −7 7
• = =−
−3 3 3
−7 7
• =
−2 2
Exercice d'application
1 Déterminer les nombres décimaux relatifs parmi les nombres rationnels suivants :
3 7 −3 3, 2
; ; ;
4 5 2 5, 4
14
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Exemple
−21 −7 × 3 −7 −26 −26 ÷ (−13) 2
• = = • = =
15 5×3 3 −39 −39 ÷ (−13) 3
Remarque
a ÷k a a ÷k
Passer de à ça veut dire rendre irréductible le rationnel
b ÷k b b ÷k
Exercice d'application
1 Compléter les égalités suivantes :
−35 −5 25 ...
• = • =
49 ... 100 4
Exemple
7 5
• Rendre au même dénominateur les deux rationnels suivants : et
4 12
On remarque que 12 est multiple de 4 donc le dénominateur commun est 12 .
On a :
7 7 × 3 28
= =
4 4 × 3 12
et
5 5×1 5
= =
12 12 × 1 12
15
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Exemple
1 5
• Rendre au même dénominateur les deux rationnels suivants : et
3 4
1 5
On remarque que 4 n'est pas multiple de 3 donc le dénominateur commun de et
3 4
est 4 × 3 = 12
On a :
1 1×4 3 5 5 × 3 15
= = et = =
3 3 × 4 12 4 4 × 3 12
Exemple
5 7
• Rendre au même dénominateur les deux rationnels suivants : et
4 6
5 5 × 3 20
= =
4 4 × 3 12
et
7 7 × 2 14
= =
6 6 × 2 12
Exercice d'application
1 Ecrire les nombres rationnels suivants avec le même dénominateur :
−4 1 −7 −1 7 −5
et ; et ; et
5 4 6 24 6 8
16
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Exemple
2 12
• Comparons : et
3 18
On a : 2 × 18 = 36 et 3 × 12 = 36 donc 2 × 18 = 3 × 12
D'où ;
2 12
=
3 18
5 12
• Comparons : et
4 9
On a : 5 × 9 = 45 et 4 × 12 = 48 donc 5 × 9 6= 4 × 12
D'où ;
5 12
6=
4 9
Exercice d'application
1 Trouver le nombre décimal x dans les deux cas suivants :
x 3
• =
2 2
1 −3
• =
x 12
III Exercices :
Exercice
Calculer :
• −5, 5 + (−7) • (−11) + (−2)
Exercice
Calculer :
• −5, 5 − (−7) • (−11) − (−2)
17
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Exercice
Calculer :
• A = (−2, 5) + (−11, 5) + (−1) • B = (−3, 5 − 1) + (−11, 5 − 7)
Exercice
Calculer les produits suivants :
• −5, 5 × (−7) • (−11) × (−20)
Exercice
Calculer :
• −10 ÷ 5 • (−35) ÷ (−35)
• (−100) × (−20) • −7 ÷ 2
Exercice
Calculer :
• A = −73 × 1, 3 + 5 ÷ 2
• B = 11 − 12 × (−3) + 16 ÷ (−4)
• C = −3 × (0, 6 − 24 ÷ (−4))
• D = 8 + (4 − 3 + 9 ÷ (−3)) × 5
Exercice
Recopier et compléter chaque colonne en mettant une croix dans les cases qui convient :
16 7 127 −223 742
7, 25
4 −8 6 25 7
Entier
Décimal
Rationnel
Exercice
Recopier et compléter les égalités suivantes :
7 28 25 ... 2 ... −18
• = • = • = =
12 ... 18 −180 ... 15 27
18
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Exercice
Donner les signes des nombres rationnels suivants :
−7 −25 2
• • • −
12 −8 3
Exercice
Simplifier les nombres rationnels suivants :
2×3×4×5 11 × 15 × 17 × 7
• •
3×4×5×7 17 × 11 × 8 × 15
18 × 5 × 6 18 × 15
• •
3×2×2×3 30 × 2
Exercice
Ecris les nombres suivants avec un dénominateur entier positif :
4 −7 2 1 −5
• • • − • •
−5 −8 −3 −2, 5 −1, 22
Exercice
Rendre au même dénominateur dans chaque cas :
−4 1 −12 −4
• et • et
5 10 25 5
−3 5 −5 2
• et • et
8 2 7 5
2 −1 −9
• et • et 7
3 4 10
Exercice
1 En utilisant les produits en croix , montrer si les nombres suivants sont égaux .
36 312
• et
21 182
−96 232
• et
76 −85
2 Trouver la valeur de x :
x 3
• =
2 8
−x 2
• =
7 −5
19
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Nombres rationnels :
02 somme et différence
d Pré-requis d d Prolongements d
d Contenu de cours d
v Somme de deux nombres rationnels ;
v Propriétés de calculs ;
20
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I Somme :
Activité
3 7 13 9
1 Calculer : + et +
4 4 5 5
3 7 1 2
2 Calculer : + et +
4 2 5 3
Exemple
−3 5
• Calculons : +
13 13
On a :
−3 5 −3 + 5
+ =
13 13 13
2
=
13
Pour calculer la somme de deux nombres rationnels n'ayant pas même dénominateur :
• On rend leurs dénominateurs commun et
• On applique la règle précédente .
21
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Exemple
3 −5
• Calculons : +
8 2
On a :
3 −5 3 −5 × 4
+ = +
8 2 8 2×4
3 −20
= +
8 8
3 + (−5)
=
8
−2
=
8
−1
=
4
Exercice d'application
Calculer :
−3 5 −2 5
• + • +
7 7 3 4
−13 −10 −6
• + • +1
9 9 5
II Propriétés de calculs :
Propriété
a −a a a −a
Si un nombre rationnel alors est l'oposés de et on a : + =0
b b b b b
Exemple
−2 2 2 −2
• est l'opposé de et on a : + =0
3 3 3 3
1 −1 −1 1
• est l'opposé de et on a : + =0
5 5 5 5
22
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2. Commutativité :
On a :
−2 4 −2 × 5 4 × 3
+ = +
3 5 3×5 5×3
−10 12
= +
15 10
2
=
10
Et on a :
4 −2 4 × 3 −2 × 5
+ = +
5 3 5×3 3×5
12 −10
= +
10 15
2
=
10
On remarque que :
−2 4 4 −2
+ = +
3 5 5 3
On dit l'addition des nombres rationnels est commutative .
Propriété
a c a c c a
Si et deux nombres rationnels alors + = +
b d b d d b
Exemple
1 −7 −7 1 −5 −3 −3 −5
• + = + • + = +
2 6 6 2 6 7 7 6
3. élément neutre :
a
Soit un nombre rationnel , on a :
b
a 0 a
0+ = +
b b b
0+a
=
b
a
=
b
On dit que 0 est un élément neutre pour l'addition des nombres rationnels .
23
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Propriété
a
Si un nombre rationnel alors :
b
a a a a
• +0 = • 0+ =
b b b b
Exemple
5 5
• 0+ =
6 6
−3 −3
• +0 =
2 2
4. Associativité :
Activité
µ ¶
5 1 −5
1 Calculer : + +
2 6 12
µ ¶
5 1 −5
2 Calculer : + +
2 6 12
Propriété
a c e
Soient , et trois nombres rationnels :
b d f
a c e ³a c ´ e a c e
µ ¶
+ + = + + = + +
b d f b d f b d f
Exemple
1 −2 −5
• Calculons : A= + +
3 9 3
24
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5. Suppression des parenthéses :
Propriété
• Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe + , on supprime le signe + et les
parenthèses en canservant les signes intérieurs
• Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe − , on supprime le signe − et les
parenthèses en changeant tous les signes intérieurs
Exemple
On a :
µ ¶
3 −5 4
A = + +
2 6 3
3 −5 4
= + +
2 6 3
On a :
µ ¶
−2 3 1
B = − −
5 2 4
−2 3 1
= − +
5 2 4
Exercice d'application
1 Calculer :
5 3 −5
• A= + +
6 4 6
1 5 3
• B= + +
2 7 4
25
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III Différence :
Activité
11 7 13 6
1 Calculer : − et −
5 5 7 7
3 1 5 1
2 Calculer : − et −
2 4 3 5
Exemple
−3 6
• Calculons −
4 4
On a :
−3 6 −3 − 6
− =
4 4 4
−9
=
4
Pour calculer la différence de deux nombres rationnels n'ayant pas même dénominateur :
• On rend leurs dénominateurs commun et
• On applique la règle précédente
26
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Exemple
5 1
• Calculons : −
7 3
On a :
5 1 5×3 1×7
− = −
7 3 7×3 3×7
35 7
= −
21 21
35 − 7
=
21
28
=
21
Remarqure
Pour calculer la différence de deux nombres rationnels , on remplaçe cette différence par
une somme .
Autrement dit : a c a ³ c´
− = + −
b d b d
Exercice d'application
Calculer :
1 2 1 1
• − • −
7 7 8 3
−9 10 2
• − • 1, 2 −
13 13 5
−5 7 7
• − • −0, 02 −
3 4 10
IV Exercices :
Exercice
Calculer les sommes suivantes :
5 2 −9 −3
• + • +
13 13 4 4
−2 4 −13 4
• + • +
7 7 5 5
27
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Exercice
Calculer les différences suivantes :
7 2 1 −10
• − • −
13 13 4 4
−2 7 −7 −9
• − • −
3 3 5 5
Exercice
Calculer puis simplifier :
−5 −1 2 5
• + • +
6 12 −9 −6
2 −4 1
• + • −3 +
15 5 3
−8 6 −3
• + • + 7, 2
3 −4 10
−1 1 −4
• + • + (−0, 5)
5 7 7
Exercice
Calculer puis simplifier :
10 −15 7, 2
• − • −3
15 20 5
5 −4 16 27
• − − • −
6 9 30 45
4 1
• −5 − • −7 −
11 7
Exercice
Exercice
28
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Nombres rationnels :
03 produit et quotient
d Pré-requis d d Prolongements d
d Contenu de cours d
v Produit de deux nombres rationnels ;
v Propriétés de calculs ;
29
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I Produit de deux nombres rationnels :
Activité
5 10 12 2
Calculer : × et ×
6 3 5 3
Définition
a c a c
Si et deux nombres rationnels alors ×
b d b d
Cas particulier
c c a ×c
Si un nombre rationnel et a un nombre décimaux ralatifs alors a× =
d d d
Exemple
−3 5 −3 × 5 −15
• × = =
2 7 2×7 14
−1 −7 × (−1) 7
• −7 × = =
2 2 2
Remarque
Exercice d'application
Calculer les produits suivants :
−3 −7 −3
• × • × 7, 2
2 2 4
6 −3 24 −25
• × • ×
13 5 45 7
II Propriétés de calculs :
1. Commutativité :
30
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Activité
3 −7
1 Calculer : ×
2 5
−7 3
2 Calculer : ×
5 2
Propriété
a c a c c a
Si et deux nombres rationnels alors × = ×
b d b d d b
On dit que la multiplication des nombres rationnels est commutative .
Exemple
7 −9 −9 7
• × = ×
3 4 4 3
2 2
• × (−10) = −10 ×
3 3
2. Elément neutre :
Propriété
a
Soit un nombre rationnel :
b
a a a
1× = ×1 =
b b b
On dit que 1 est un élément neutre pour la multiplucation des nombres rationnels .
Exemple
5 5
• 1× =
6 6
−3 −3
• ×1 =
7 7
31
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Remarque
a
Soit un nombre rationnel , on a :
b
a a
• 0× = ×0 = 0
b b
a a a
• −1 × = × (−1) = −
b b b
Exemple
7 5
• −1 × =−
6 6
−3
• ×0 = 0
7
3. Associativité :
Activité
µ ¶
2 −1 5
1 Calculer : × ×
3 4 7
µ ¶
2 −1 5
2 Calculer : × ×
3 4 7
3 Que remarque-t-on ?
Propriété
a c e
Soient , et des nombres rationnels , on a :
b d f
a c e ³a c ´ e a c e
µ ¶
× × = × × = × ×
b d f b d f b d f
Exemple
2 −5 −3
Calculons : A= × ×
3 7 2
32
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4. Inverse d'un nombre rationnel non nul :
Activité
1
1 Vérifier que : 3 × =1
3
e s t l 'i nverse de 3
ue 3
On dit q −1 =
1
rit : 3 3
et on éc
2 3
2 Vérifier que : × =1
3 2
3 st l'inverse
de
n d i t que 2 eµ ¶ −1 3
O 2 =
2 t on écri t : 3
2
e
3
Propriété
Exemple
33
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III Quotient de deux nombres rationnels :
Activité
3
7 2 7
Calculer : ÷ et 1
5 3 2
Propriété
a
a c a c a d b a d
Si et deux nombres rationnels non nuls alors × = × ou c = ×
b d b d b c d
b c
Exemple
−5 −7
• Calculons : ÷
2 3
On a :
−5 −7 −5 3 −15 15
÷ = × = =
2 3 2 −7 −14 14
Cas particulier
a c
• b
=a×
b
c
a
b a 1
• = ×
c b c
Exercice d'application
Calculer :
−14 15
• ÷
3 −4
5 −11
• ÷
7 6
9 −11
• ÷
5 −6
36
• −7 ÷
4
−12
• ÷ (−9)
5
24
• 2, 6 ÷
−7
34
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IV Exercices :
Exercice
Calculer les produit suivants :
−5 3 −8
• × • × (−4)
8 −2 9
13 −3 −4
• × • 2, 5 ×
7 10 7
Exercice
Compléter le tableau suivant :
Nombre rationnel son opposé l'inverse de l'opposé
5
−3
2
7
3
Exercice
Calculer les quotients suivants :
8 4 2
• ÷ • ÷7
−5 −3 −5
−10 5 −2
• ÷ • −7 ÷
−9 −3 −3
Exercice
Calculer les quotients suivants :
−7 5
• 10 • 2
−2
−21
7
−8 1
• −7 • 1
−6 2
Exercice
Calculer :
−2 5 −3 10 −15
• A= × × • C= × × 2, 7
3 7 2 27 7
2 14 −3 2 −1
• B= × × • D = 0, 5 × ×
7 4 5 10 2
35
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Devoir maison n ◦ 1
Exercice 1
1 Calculer :
• 2−4 • 3 × (−6) • −8 ÷ 4 • −6 − 4 + (−8)
Exercice 2
1 Compléter le tableau suivant :
−11 21 −7
Nombre rationnel −
3 23 −2
Son oppsé
Son inverse
Exercice 3
1 Calculer puis simplifier si possible
−2 −15 9 5
• + • −
9 9 4 6
1 27 −2 2
• − • +
7 7 16 8
36
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Exercice 4
−7
1 Donner l'inverse des nombres rationnels suivants : 3 et
9
2 calculer :
3 −5 5 −10
• × • ÷
2 7 2 13
−8
−4 3
• −19 × •
3 5
37
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Devoir surveillé n ◦ 1
niveau : 2 apic Durée : 1 heure
Exercice 1 3 points
1 Calculer :........................................................................................................................... 0, 25 × 4p t s
• −3 + (−7) • −2, 5 × 10
• −9 − (−3) • (−15) × (−3)
Exercice 2 5 points
1 Compléter le tableau suivant :...................................................................................... 0.25 × 4p t s
Exercice 3 7 points
1 Calculer et simplifier si possible :
−2 4
• C= + ........................................................................................................................ 1, 25p t s
3 3
5 13
• D = − ........................................................................................................................ 1, 25p t s
7 7
1 −5
• E= − ........................................................................................................................ 1, 25p t s
4 3
1 3
• F = − ........................................................................................................................... 1, 25p t s
8 2
38
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Exercice 4 5 points
−7
1 Donner l'inverse des nombres suivants : −7 et ........................................................... 1p t s
5
2 Calculer :
5 −3
• × ........................................................................................................................... 1p t s
−2 8
−1
• 0, 5 × ........................................................................................................................... 1p t s
4
−2
3
• −7
.......................................................................................................................................... 1p t s
5
−6
• 13
........................................................................................................................................... 1p t s
4
39
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Nombres rationnels :
04 Les quatres opérations
d Pré-requis d d Prolongements d
v Addition et soustraction des v Tous les chapitres de ce niveau ;
nombres rationnels ;
v Produit et quotient des nombres ra-
tionnels ;
d Contenu de cours d
v Développement et factorisation ;
40
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I Développement et factorisation :
1. Développement :
Définition
Développement c'est transformer un produit à une somme ou une différence .
Autrement dit : Si a , b et k des nombres rationnels alors
k × (a + b) = k × a + k × b ou k × (a − b) = k × a − k × b
Exemple
µ ¶
3 1 2 3 1 3 2
• On a : × + = × + ×
2 5 7 2 5 2 7
µ ¶
−7 2 3 −7 2 −7 3
• On a : × − = × − ×
2 5 8 2 5 2 8
2. Factorisation :
Définition
Factorisation c'est transformer une somme ou une différence à un produit .
Autrement dit : Si a , b et k des nombres rationnels alors
k × a + k × b = k × (a + b) ou k × a − k × b = k × (a − b)
Exemple
µ ¶
3 1 3 2 3 1 2
• On a : × + × = × +
2 5 2 7 2 5 7
µ ¶
−7 2 −7 3 −7 2 3
• On a : × − × = × −
2 5 2 8 2 5 8
41
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Règle 1
Exemple
µ ¶ µ ¶ µ ¶
3 4 3 4
• − + = − + −
2 7 2 7
µ ¶
−3 3
• − 5+ = (−5) +
5 5
Exemple
µ ¶ µ ¶
3 4 3 4
• − − = − −
2 7 2 7
µ ¶
−3 3
• − 5− = (−5) −
5 5
Dans une expression numérique sans parenthèse contenant uniquement des additions et
des soustractions , on effectue le calcul de gauche vers droite.
42
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Exemple
3 1 5
• Calculons : A= + −
2 4 8
On a :
3 1 5
A = + −
2 4 8
6 1 5
= + −
4 4 8
7 5
= −
4 8
14 5
= −
8 8
9
=
8
Règle 3
Dans une expression numérique sans parenthèse contenant uniquement des mul-
tiplications et des divisions , on effectue le calcul de gauche vers droite.
Exemple
3 −1 7
• Calculons : B= × ÷
7 5 9
On a :
3 −1 7
B = × ÷
7 5 9
3 × (−1) 7
= ÷
7×5 9
−3 5
= ÷
35 8
−3 8
= ×
35 5
−24
=
175
Règle 4
Dans une expression numérique sans parenthèse contenant les quatres opérations
(+, −, ×, ÷) , on commence par la multiplication et division avant l'addition et la sous-
traction .
43
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Exemple
1 2 2
• Calculons : C = 5− ×7+ ÷
4 5 9
On a :
1 2 2
C = 5− ×7+ ÷
5 5 9
7 2 9
= 5− + ×
5 5 2
7 18
= 5− +
5 10
25 7 18
= − +
5 5 10
18 9
= +
5 5
27
=
5
Règle 5
Pour calculer une expression avec des parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre
parenthèses. On commence par les parenthèses les plus intérieures.
Exemple
µ ¶
5 1 1
• Calculons : D = +2× −
4 4 8
On a :
µ ¶
5 1 1
D = +2× −
4 4 8
µ ¶
5 2 1
= +2× −
4 8 8
5 1
= +2×
4 8
5 1
= +
4 4
6
=
4
3
=
2
44
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V Somme de plusieurs nombres rationnels :
Règle 6
Exemple
3 −2 −3 1
• Calculons : A= + + +
4 7 4 14
On a :
3 −2 −3 1
A = + + +
4 7 4 14
3 −3 1 −2
= + + +
4 4 14 7
1 −4
= +
14 14
−3
=
14
2 5 −13
• B= + +
3 6 6
On a :
2 5 −13
B = + +
3 µ6 6 ¶
2 5 −13
= + +
3 6 6
2 −7
= +
3 6
4 −7
= +
6 6
−3
=
6
−1
=
3
45
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VI Produit de plusieurs nombres rationnels :
Règle 6
Exemple
−5 7 −4
• Calculons : C= × ×
4 3 9
On a :
−5 7 −4
C = × ×
4 3 9
−5 −4 7
= × ×
4 9 3
−5 × (−4) 7
= ×
4×9 3
5 7
= ×
9 3
35
=
27
5 −2 −1
• Calculons D= × ×
3 7 4
On a :
5 −2 −1
D = × ×
3 µ7 4 ¶
5 −2 −1
= × ×
3 7 4
5 2
= ×
3 28
5×2
=
3 × 28
10
=
84
5
=
42
Remarque
46
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VII Exercices :
Exercice
Développer puis calculer :
µ ¶ µ ¶
−8 −9 1 1 3 5
• A= × + • C= × −
3 2 4 2 4 2
µ ¶ µ ¶
4 11 −4 1 2 5
• B = × −5 + • D= × + −
5 3 3 4 3 12
Exercice
Factoriser puis calculer :
15 225 15 −300
• A= × + ×
9 50 9 50
5 3 5 −4
• B= × + ×
7 10 7 3
Exercice
Calculer et simplifier si possible :
5 7 3 5 1 7 1
• E= − × • G= − ÷ −
6 6 14 6 9 4 2
3 2 9 1 1 7
• F= − × − • H = 5+ ×2−
2 3 4 2 2 3
Exercice
Calculer puis simplifier si possible :
µ ¶ µ ¶ µ ¶
3 1 2 4 1 2
• A = ÷ 4− • C = 2+− − × −
6 12 3 27 3 9
µ ¶ µ ¶ ·µ ¶ µ ¶¸
5 1 7 1 −7 3 10 5 1
• B= − ÷ − • D= × + − −
6 9 4 8 12 2 4 8 3
Exercice
Calculer :
−2 + 34 7
3 − 10
• I= • K=
8 2 + 35
1
4 − 16 13
7 −2
• J= 1
• L=
4 + 16 3
5
47
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05 Symétrie axiale
d Pré-requis d d Prolongements d
d Contenu de cours d
v La médiatrice d'un segment ;
48
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I La médiatrice d’un segment :
Activité
Définition
La médiatrice d'un segment est une droite qui passe par son milieu et perpendiculaire à
son support .
Interprétation
A M B
(∆)
(∆) la médiatrice d'un segment [AB ] signifie que (∆) passant par M et (∆) ⊥ (AB )
Propriété directe
Tout point appartient à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce
segment .
Interprétation
M
M
A B A B
49
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Propriété Réciproque
Interprétation
M
M
A B A B
Activité
Considérons une droite (D) et A un point à l'extérieur de droite (D) .
(D)
A
le s ym étrique
A s'ap
0 pelle à la droit
e
o in t rap p o r t
"le p t A par
du p o i n
(D )"
2 Soit M ∈ (D) , quel est le symétrique d'un point M par rapport à la droite (D) .
50
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Solution :
1 la figure :
A
(D)
M
A
0
"le point A 0 est appelé le symétrique du point A par
rapport à la droite (D)"
2 Le symétrique d'un point M par rapport au point à la droite (D) est l ui − mme .
Définition
Soient (D) une droite et A un point extérieur à la droite (D) .
On dit que le point A 0 est le symétrique du point A par rapport à la droite (D) si la
droite (D) est la médiatrice du segment [A A 0 ] .
Remarques
Exercice d'application
ABC un triangle rectangle en A tels que :
• AC = 5cm et AB = 4cm
1 Construire la figure .
2 Montrer que le point E est le symétrique du point B par rapport à l'axe (AC ) .
51
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III Le symétrique d’un segment par rapport à une droite :
Activité
Soient (D) une droite et [AB ] un segment de longueur 5cm ( voir la figure )
B
(D)
1 Construire les points A0 et B 0 les symétriques respectifs des points A et B par rapport
à la droite (D) .
2 A l'aide d'une règle graduée , calculer A0B 0 puis comparer : AB et A0B 0 .
3 Que remarque -t-on ?
Solution :
La figure :
B
(D)
A
B0
A0
1 Voir la figure :
2 à l'aide d'une règle , on a : A 0 B 0 = 5cm , or AB = cm . d'où : AB = A 0 B 0
3 On remarque que le symétrique d'un segment [AB ] par rapport à la droite (D) est le
segment [A 0 B 0 ] et de même longueur .
52
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Propriété
Soient
( une droite et [AB ] un segment .
(D)
0
A est le symétrique de A par rapport à la droite (D)
Si 0 alors
B est le symétrique de B par rapport à la droite (D)
le symétrique d'un segment [AB ] par rapport à (D) est le segment [A 0 B 0 ] et AB = A 0 B 0
Exercice d'application
EFG est un triangle tels que : E F = 3cm et F G = 5cm
1 Construire F 0 le symétrique de F par rapport à (EG) .
2 Quel est le symétrique du segment [F G] par rapport à (EG) ?
3 Quel est le symétrique du segment [EG] par rapport à (EG) ?
4 Calculer E F 0 et GF 0 .
Activité
Soient (D) une droite et (AB ) une autre droite du plan (voir la figure )
B
(D)
Solution :
La figure :
53
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B
(D)
B0
A0
1 Voir la figure .
2 Voir la figure .
3 On remarque que la symétrique de la droite (AB ) par rapport à (D) est la droite (A 0 B 0 )
Propriété
Exemple
54
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Solution :
(D)
A A0
B B0
1 Voir la figure :
2 Les droites (AB ) et (A 0 B 0 ) sont parallèles .
Activité
Soient (D) une droite et [AB ) une demi-droite du plan . (Voir la figure)
(D)
55
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Solution :
(D)
B0
A0
1 Voir la figure
2 On remarque que la symétrique de la demi-droite [AB ) par rapport à la droite (D) est
la demi-droite [A 0 B 0 )
Propriété
Exercice d'application
Soit ABC un triangle quelquence .
1 Construire A0 symétrique de A par rapport à la droite (BC ) .
2 Quelle est la symétrique de la demi-droite [C A) par rapport à la droite (BC ) .
3 Quelle est la symétrique de la demi-droite [B A) par rapport à la droite (BC ) .
56
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(D)
A
Solution :
(D)
A
A0
B
C B0
C0
1 Voir la figure .
2 On remaque que les points A0 , B 0 et C 0 sont alignés .
Propriété
Soient (D) une droite et A , B et C des points alignés qui n'apprtient pas à la droite (D) .
Si les points A 0 , B 0 et C 0 les symétriques respectifs des points A , B et C par rapport à la
droite (D) alors les points A 0 , B 0 et C 0 sont alignés .
On dit que la symétrie axiale conserve l'alignement des points .
Application
ABC D est un parallélogramme de centre I .
I 0 et C 0 sont les symétriques respectifs de I et C par rapport à (AB ) .
57
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VII Le symétrique d’un angle par rapport à une droite :
Activité
Soient (D) une droite et B
AC un angle du plan (Voir la figure) .
(D)
A
Solution :
La figure :
(D)
A
B A0
C0
B0
1 Voir la figure .
2 Voir la figure .
3 Le symétrique de l'angle C
AB par rapport à la droite (D) est l'angle Cà
0 A0B 0 .
4 C 0 A0B 0
AB = Cà
58
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propriété
Application
EFG EG = 50◦ .
est un triangle isocèle en E tel que : F
1 Construire E 0 est le symétrique du point E par rapport à la droite (F G) .
2 Calculer la mesure de F
E 0G .
Activité
On considère la figure ci-dessous (C ) un cercle de centre O et de rayan r et (D) une droite
qui ne coupe pas le cercle (C ) . Soit A un point du cercle (C ) .
A (D)
(C )
1 Construire les points A0 et O 0 les symétriques respectifs des points A et O par rapport
à la droite (D)
2 Construire le cercle (C 0 ) de centre O 0 et de rayan r 0 = O 0 A 0 .
3 à l'aide d'une règle graduée , comparer r et r 0 .
4 Que remarque-t-on ?
Solution :
La figure :
59
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A (D)
(C )
O
A0
(C 0 )
O0
1 Voir la figure .
2 Voir la figure .
3 On a : r = r 0
4 On remarque que le symétrique d'un cercle (C ) par rapport à une droite (D) est un
cercle (C 0 ) de même rayon .
Propriété
le symetrique d'un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon .
Application
(C ) un cercle de centre O et de rayon 2cm et (D) une droite ne coupe pas le cercle (C ) .
1 Tracer le cercle (C 0 ) le symétrique du cercle (C ) par rapport à la droite (D) .
2 Quel est le rayon du cercle (C 0 ) ? Justifier .
1. Rectangle :
propriété
60
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Exemple
2. Losange :
propriété
Exemple
propriété
Un carré est a la fois un losange et un rectangle , il a donc quatres axes de symétrie : ses
diagonales et les médiatrices .
Exemple
61
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X Exercices :
Exercice
A B
(d)
Exercice
On considére la figure ci-contre :
C
Prouver que le triangle AIC est rectangle en I .
A I B
Exercice
[AB ] un segement et (d ) est sa médiatrice et C est un point de (d ) .
1 Quel est le symétrique de A par rapport à la droite (d ) ?
2 Quel est le symétrique de B par rapport à la droite (d ) ?
3 Quel est le symétrique de C par rapport à la droite (d ) ?
Exercice
On considére la figure suivante :
B
A
(d)
Exercice
ABC est un triangle .
1 Construire A0 le symétrique du point A par rapport à la droite (BC ) .
2 Construire B 0 le symétrique du point (B ) par rapport à la droite (AC ) .
62
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3 Construire C 0 le symétrique du point C par rapport à la droite (AB ) .
Exercice
Exercice
ABC est un triangle isocèle en A :
S le symétrique de A par rapport à la droite (BC ) .
1 Tracer la figure .
2 Montrer que : SB = SC .
3 En déduire que la nature du triangle SBC .
Exercice
On considére la figure ci-contre :
1 Construire B 0 le symétrique du point (B ) par rapport à la C
droite (AC ) .
m
0 4c
2 Quelle est la longueur du segment [AB ] ? 45°
A 3cm
3 Quelle est la mesure de l'angle C
AB ? B
4 Que représente la demi-droite [AC ) pour l'angle B
AB 0 ?
Exercice
Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 4cm
B A = 120◦ .
4 En déduire que C
Exercice
F G = 40◦
E F G est un triangle tel que : E F = 3cm ; F G = 4cm et E .
I et J les milieux respectifs des segments [GF ] et [GE ] .
63
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1 Tracer la figure .
2 Construire A , B et C les symétriques respectifs de E , F et G par rapport à la droite
(I J ) .
Exercice
ABC D est un rectangle de centre O tel que AB = 7cm et AD = 3cm .
1 Construire la figure .
2 Construire M le symétrique de O par rapport à la droite (AB ) .
3 Construire N le symétrique de O par rapport à la droite (C D) .
4 Montrer que les points M ,O et N sont alignés ?
5 Montrer que O est le milieu du segment [M N ] .
6 En deduire que le quadrilatère AMC N est un parallèlogramme .
Exercice
AC
B un angle tel que AC
B = 55◦ et (∆) une axe de symétrie .(Voir la figure ci-dessous )
C
55◦
(∆)
2 Quel est le symétrique du point C par rapport à la droite (∆) ? Justifier la réponse
3 Quel est le symétrique de l'angle AC
B par rapport à la droite (∆) ? Justifier la réponse
4 Déterminer la mesure de l'angle A 0C B 0
à .
64
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06 Nombres rationnels : les puissances
d Pré-requis d d Prolongements d
d Contenu de cours d
v Puissance d'un nombre rationnel ;
v Puissances de 10 ;
65
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I Puissance d’un nombre rationnel :
1 Recopier et compléter :
• 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 7...
• −3 × (−3) × (−3) × (−3) = (−3)...
• 57 = ... × ... × ... × ... × ... × ... × ...
• (−2)3 = ... × ... × ...
Définition
Soient x un nombre rationnel et n un entier naturel :
• Si n >1 alors x n = |x × x ×{z..... × x}
n facteurs
• Si n =1 alors x1 = x
• Si n =0 et x 6= 0 alors x0 = 1
Vocabulaire
66
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Exemple
−3 4 −3 −3 −3 −3
µ ¶
• = × × ×
2 2 2 2 2
µ ¶1
5 5
• =
2 2
µ ¶0
−7
• =1
3
Propriété
Exemple
Exercice d'application
1 Ecrire sous forme d'une puissance :
5 5
• ×
3 3
−4 −4 −4 −4 −4
• × × × ×
7 7 7 7 7
2 Calculer :
¶3 µ ¶3
• (−4)2
µ
−7 0 1
• • 2 +
2 2
67
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2. Puissance d'exposant négatif :
Exemple
1 1
• On sait que est l'inverse de 2 et on écrit : 2−1 = .
2 2
1 1
• On sait que est l'inverse de 2 et on écrit : (−3)−1 = .
−3 −3
µ ¶−1
2 5 5 2
• On sait que est l'inverse de et on écrit : =
5 2 2 5
Propriété
Remarque
a ³ a ´−1 b
Si x= alors =
b b a
Exemple
1 1
• On sait que est l'inverse de 32 et on écrit : 3−2 = .
32 32
1 1
• On sait que est l'inverse de (−7)4 et on écrit : (−7)−4 = .
(−7)4 (−7)4
Propriété
Remarque
µ ¶n
a ³ a ´−n b
Si x= alors =
b b a
68
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Exercice d'application
µ ¶−2 µ ¶−3
1 −3
Calculer : (−2)−4 ; ;
5 2
Activité
n 1 2 3 4 5 6 7 8
(−3)n .... .... .... .... .... .... .... ....
5n .... .... .... .... .... .... .... ....
Propriété
Une puissance x n est négative si sa base x est négative et son exposant est impair et elle
positive dans les autres cas .
Exercice d'application
Déterminer le signe de chaque puissance :
µ ¶18 µ ¶7 µ ¶9
5 −3 −7 −5
(−9) ; ; ;
2 3 −2
Activité
1 Recopier et compléter :
• 10000 = ... × ... × .... × ..... = .....
• 1000000 = ... × ... × .... × ..... × ... × .... = .....
1 1
• 10−2 = = = .....
... 100
1 1
• 10−3 = = = .....
... 1000
69
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Propriété
• 10−n = 0, 00...0 1
| {z }
n zéros
Exercice d'application
Donner l'écriture décimale des nombres suivants :
• 1010 • 0, 03 × 10−3
Exemples
µ ¶−9 µ ¶−10 µ ¶−9+(−10) µ ¶−19
• (−2)5 × (−2)2 = (−3)5+2 = (−3)7 2 2 2 2
• × = =
µ ¶4 µ ¶−7 µ ¶−3 5 5 5 5
−2 −2 −2
• × = • 59 × 510 × 51 = 520
3 3 3
70
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Exemples
µ ¶23 µ ¶23
1 23 1
• ×2 = ×2 = 123 = 1
2 2
• (5 × x)2 = 52 × x 2 = 25 × x 2 = 25x 2
Exemples
Exemples
1, 58
¡ 3 ¢8 µ ¶13 (−5)n
• = 1, 58−6 = 1, 52 • 5
=
3 • (−5)n−3 =
1, 56 ¡ 3 ¢−5
5 (−5)3
5
71
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5. Quotient de deux puissances de même exposant :
Propriété
Exemples
µ ¶13 µ ¶−6
513 5 11−6 11
• 13 = • =
3 3 10−6 10
Exercice d'application
Ecrire sous forme une seule puissnace :
• a = (23 )5 • c = (−x)3 × (−x)4 • e = (7−5 )6 × (−5)−30
( 53 )−3
7 2 −20 • d= [(−7)5 ]3
• b = (3 ) × 3 ( 53 )−2 • f =
315
Règle
Donner l'écriture scientifique d'un nombre signifie écrire ce nombre sous la forme
a × 10n où n un entier relatif et la partie entière du nombre décimal a est formée d'un
seul chiffre non nul .
Exemple
Exercice d'application
Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :
• 23600000 • −321 × 106
72
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VI Exercices :
Exercice
µ ¶3 µ ¶−2
1 −2
1 Calculer : ; ; 20220 ; (−3)−4
2 3
µ ¶33
−8
2 Donner le signe des puissances suivantes : et (−10)16
9
73
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Devoir maison n ◦ 2
Exercice 1
1 Calculer les puissances suivantes :
µ ¶3 µ ¶−2
−4 2
; ; (−7)−3
5 3
Exercice 2
1 Calculer :
3 3 3 µ ¶−1
3 2 7
• F= − ÷ • H= − ×
5 5 2 4 7 6
2 −5
3+ 4
µ ¶
−2 3 • I=
• G= × +2 5 7
7 5 2−6
74
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Exercice 3
ABC = 60◦
un triangle tels que : AB = 4cm ; BC = 6cm et ABC
Soit M le milieu du segmnent [BC ] .
1 Construire la figure .
2 Quel est le symétrique de A par rapport à la droite (AM) ?
3 Construire les points E et F les symétriques respectifs des points B et C par rapport
à la droite (AM) .
4 Calculer AE .
5 Quel est le symétrique de l'angle ABC
par rapport à la droite (AM) ?
6 Montrer que les points E , M et F sont alingés .
7 Construire le cercle (C 0 ) le symétrique du cercle (C ) de centre B et de rayon 4cm par
rapport à la droite (AM) .
75
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Devoir surveillé n ◦ 2
niveau : 2 apic Durée : 1 heures
Exercice 1 6 points
1 Calculer les puissances suivantes :............................................................................... 3 × 0, 5p t s
µ ¶2
0 −7
(−6) ; ; (−10)−3
2
Exercice 2 6 points
1 Calculer puis simplifier si possible :
−7 4 −5 1 −9 2
a F= + + + + + ...........................................................................................1, 5p t s
2 5 3 2 5 3
3 2
b G = 3 − × 7 − ÷ (−2)...................................................................................................... 1, 5p t s
5 3
µ ¶µ ¶
16 4 −9 2
c H= − + ........................................................................................................ 1, 5p t s
5 3 2 8
5
6
− 12
d I= 7
.......................................................................................................................... 1, 5p t s
4
− 18
76
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Exercice 3 8 points
ABC est un triangle tels que : AC
B = 45◦ et AB = 4, 5cm
77
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07 Triangle et parallèles
d Pré-requis d d Prolongements d
v Propoprtionnalité ;
d Contenu de cours d
v Droites des milieux ;
v Droite parallèles ;
78
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I Droite des milieux :
Activité
ABC est un triangle quelconque .
Soit M le milieu du côté [AB ] et N le milieu du côté [AC ] .
1 Construire la figure .
2 à l'aide d'une équerre confirmer que les deux droites (M N ) et (BC ) sont parallèles .
Propriété
Dans un triangle la droite qui passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle
au troisième côté .
Exemple
M
N
C
N
le milieu du segment [AB]
Si
alors (M N )//(BC ) .
M
le milieu du segment[AC]
Remarque
Exercice d'application 1
E F G un triangle tel que : E F = 6cm ; EG = 5cm et F G = 7cm .
Les points M et N milieux respectifs des cotés [E F ] et [EG] .
1 Tracer la figure .
2 Montrer que : (M N ) est parallèle à (F G) .
79
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Exercice d'application 2
ABC est un triangle quelconque .
Soient D le symétrique du point A par rapport au point B et E le symétrique du point A
par rapport au point C .
1 Tracer la figure .
2 Montrer que : (BC )//(DE ) .
Activité
ABC est un triangle quelcoque .
Soient M et N les milieux respectifs des côtés [AB ] et [AC ] .
1 Construire la figure .
2 à l'aide d'une règle graduée , mesurer correctement les côtés [M N ] et [BC ] .
3 En déduire une relation entre MN et BC .
Propriété
Dans un triangle la longueur d'un segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à
la moitié de la longueur du troisième côté .
Exemple
M
N
C
M
le milieu du segment [AB ]
1
Si alors M N = BC ou BC = 2M N .
2
N le milieu du segment[AC ]
80
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Remarque
Exercice d'application
On donne la figure suivante tel que : BC = 6 .
A
J
I
BC
1 Montrer que IJ = .
2
2 Calculer : IJ .
propriété
Dans un triangle la droite parallèle à un côté et passant par le milieu d'un autre côté
coupe le troisième côté en son milieu .
Exemple
M
N
C
M
le milieu du segment [AB ] et N ∈ [AC ]
Si
alors N le milieu du segment [AC ] .
(M N )//(BC )
81
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Remarque
Cette propriété sert à prouver qu'un point est milieu d'un segment .
Exercice d'application
Soit ABC D un parallélogramme de centre O .
La droite droite (d ) passant par O et parallèle à (AD) coupe (AB ) en I .
1 Montrer que I est milieu de [AB ] .
Activité
On considére la figure suivante :
A
M N
B C
Propriété
Dans
un triangle ABC .
M ∈ [AB ] et N ∈ [AC ]
AM AN N M
Si alors = =
(M N )//(BC )
AB AC BC
82
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Remarque
Exercice d'application 1
On considére la figure suivante :
C
M N
A B
On donne : (M N )//(AB ) ; C B = 9 ; C N = 3 ; MC = 4
1 Calculer : AC
Exercice d'application 2
D MR est un triangle, E un point du segment [D M] et F un point du segment [DR] tel que :
DF = 1, 8cm ; MR = 8, 7cm ; E F = 2, 9cm ; D M = 6, 3cm et (E F )//(MR)
1 Calculer DE et DR .
V Exercices :
Exercice
On considére la figure suivante :
B
A
M
C
83
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Exercice
On considére la figure ci-dessous :
On donne BC = 6, 5
C
M N
A B
BC
1 Montrer que :M N =
2
2 Calculer : MN
Exercice
EFG un triangle tel que : E F = 6cm ; EG = 5cm et F G = 7cm .
Les points M et N milieux respectifs des côtéés [E F ] et [EG] .
1 Tracer la figure .
2 Montrer que : (M N ) est parallèle à (F G) .
3 Montrer que : F G = 2M N
4 Calculer la longueur MN .
Exercice
FU S un triangle tel que : FU = 9cm ; SU = 7cm et F S = 5cm .
Les points I et J milieux respectifs des côtés [FU ] et [F S] .
1 Tracer la figure .
2 Montrer que : (I J ) est parallèle à (SU ) .
3 Calculer la longueur IJ .
Exercice
ABC un triangle tel que : BC = 6 .
F le milieu du segment [AB ] et E le milieu du segment [AC ] .
1 Montrer que (E F )//(BC ) .
2 Calculer la distance MN .
3 Soit D un point segment [BC ] . La droite (M N ) coupe le segment [AD] en S .
84
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a Montrer que le point S est le milieu du segment [AD] .
A
E F
S
C B
D
Exercice
On considère la figure ci-dessous telle que :
• I est le milieu du segment [AD] .
• (I K )//(DC )
A B
I E
J
D C
Exercice
On considère la figure ci-dessous telles que :
• T est le milieu du segment [M N ] .
• S est le milieu du segment [MO] .
• M N = 9 ; MT = 3, 6 ; MS = 1, 8 et NO = 9, 5
S
N
1 Calculer : MO
2 Calculer : T S
85
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08 Droites remarquables dans un triangle
d Pré-requis d d Prolongements d
v Vecteurs et translation ;
v Cercle , rayon et diamétre ;
v Triangle et paralléles ;
d Contenu de cours d
v Les médiatrices d'un triangle et cercle cir-
conscrit à un triangle ;
v La bissectrice d'un triangle et centre du cercle
inscrit dans un triangle ;
v La hauteur d'un triangle et orthocentre d'un tri-
angle ;
v Les médianes d'un triangle ;
86
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I La médiatrice d’un segment :
Activité
Définition
La médiatrice d'un segment est une droite qui passe par son milieu et perpendiculaire à
son support .
Interprétation
A B
(∆)
(∆) la médiatrice d'un segment [AB ] signifie que (∆) passant par M et (∆) ⊥ (AB )
Propriété directe
Tout point appartient à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce
segment .
Interprétation
M M
A B A B
87
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Propriété directe
Interprétation
M
M
A B A B
Interprétation
A B
(D)
88
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2. Cercle circonscrit à un triangle :
Activité
EFG un triangle tel que : E F = 3cm ; F G = 5cm ; F H = 2, 5cm
1 Construire le triangle E F G .
2 Construire les médiatrices du triangle E F G .
3 Construire le cercle qui passe par les trois sommets E , F et G .
Définition
Les médiatrices d'un triangle sont concourantes en un seul point appelé centre cir-
conscrit à ce triangle .
Interprétation
(L)
A C
(k)
(D)
Remarque
89
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Exercice d'application
ABC un triangle tel que BC = 5, 6cm ; = 30◦
ABC et AC
B = 50◦
Définition
La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet
angle en deux angles adjacents de même mesure .
Interprétation
B
A
BOC
La demi-droite [O A) est la bissectrice de l'angle BOC
et on a : BO
A = CO
A =
2
Propriété directe
Tout point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est équidistant des cotés de cet
angle .
Interprétation
B
B
A A
O
O
C C
90
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Propriété reciproque
si un point est équidistant des cotés d'un angle alors il appartient à sa bissectrice .
Interprétation
B
B A
A
O
O C
C
Interprétation
C O B
91
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2. Centre du cercle inscrit dans un triangle :
Activité
Soit ABC un triangle tel que : BC = 7cm ; AB = 5cm et AC = 9cm
Propriété
Les bissectrices d'un triangle sont concourantes en un seul point appelé centre du cercle
inscrit à ce triangle .
Interprétation
A B
Remarque
Pour obtenir le centre du cercle inscrit dans un triangle , il suffit de construire seulement
deux de ses bissectrices
92
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Exercice d'application
NOM un triangle tel que OM
N = 48◦ et ON
M = 74◦
Interprétation
A H B
Remarque
La hauteur d'un triangle se trouve à l'extérieur lorsque l'un de ses angle est obtus .
Interprétation
A B H
93
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2. Orthocentre d'un triangle :
Activité
EFG F G = 76◦
un triangle tel que : E F = 3cm ; F G = 5, 4cm ; E
1 Construire le triangle E F G .
2 Construire les hauteurs du triangle E F G .
3 Placer H le point d'intersection des hauteurs du triangle E F G .
Propriété
Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un seul point appelé orthocentre du
triangle .
Interprétation
C
F
G
H
A E B
Remarque
Pour obtenir l'orthocentre d'un triangle , il suffit de construire seulement deux de ses
hauteurs .
94
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Exercice d'application
ABC un triangle tel que AB = 4, 2cm ; BC = 4cm et = 50◦
ABC
Définition
La médiane d'un triangle est la droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté
opposé à ce sommet .
Interprétation
G
A E
Propriété
Les médianes d'un triangle sont concourantes en un seul point appelé centre de gravité
de ce triangle .
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Interprétation
C B
H
G
A E
Exercice d'application
AT E un triangle tel que AT = 50◦
AE = 3, 5cm ; E et AE
T = 50◦
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VII Exercices :
Exercice
EFG est un triangle tel que : E F = 3cm ; EG = 5cm et F G = 2, 5cm
1 Construire le triangle E F G .
2 Construire les médiatrices du triangle E F G .
3 Construire le cercle qui passe par les trois sommets E ; F et G .
Exercice
ABC est un triangle tel que = 30 ; AC
ABC B = 50 et BC = 5, 6cm
1 Construire le triangle ABC .
Exercice
EFG est un triangle tel que : E F = 3cm ; EG = 3, 8cm et F G = 6, 2cm .
1 Construire le triangle E F G .
2 Construire les hauteurs du triangle E F G .
Exercice
ME N est un triangle isocèle en M ,tel que ME
N = 30.
Exercice
S AC est un triangle tel que : = 50 ; AC
ASC S = 60
1 Construire le triangle S AC .
2 Calculer la mesure de l'angle S
AC .
97
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Exercice
AE F est un triangle isocèle de sommet A .
O le centre circonscrit et H son orthocentre.
1 Tracer la figure .
2 Montrer A , O et H sont alignés.
Exercice
NOM est un triangle tel que : OM
N = 48 et ON
M = 74
Exercice
EFG est un triangle tel que : E F = 6cm ; E
F G = 56 et F
EG = 20
Exercice
ABC est un triangle tel que : AB = 4, 1cm ; AC = 3, 8cm et BC = 5cm .
1 Construire les bissectrices du triangle ABC .
Exercice
EFG est un triangle tel que : E F = 5cm ; E
F G = 34 et F
EG = 36
Exercice
EFG est triangle quelconque .
M et N sont deux points tels que : M ∈ [E F ] et N ∈ [EG].
Exercice
CHA est un triangle quelconque :
98
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1 Construire le cercle inscrit au triangle C H A de centre le point I .
2 On pose IC
H = 30 et I
HC = 35
Calculer H
AC .
Exercice
M AT est un triangle tel que : M A = 6cm ; T A = 5cm et T M = 8cm
1 Construire les médianes du triangle M AT .
Exercice
ET E est un triangle tel que : AE = 3, 5cm ; E
AT = 50 et AE
T = 60
Exercice
EFGH est un parallélogramme de centre I .
Construire le centre gravité du triangle E F G .
Exercice
I JK L est un parallélogramme .
1 Construire les points M et N Centres de gravité respectifs aux triangles I JK et IKL .
2 Montrer que J M = LN .
Exercice
S ATest un triangle quelconque soit E le centre de gravité du triangle S AT et F son sy-
métrique par rapport au point M milieu du côté [ST ].
1 Montrer que le quadrilatère E SF T est un parallélogramme .
2 Montrer que le point E est le milieu de [AF ].
99
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Devoir maison n ◦ 3
Exercice 1
ABC un triangle tel que BC = 5cm et I et J sont les milieux respectifs des segments [AB ] et
[AC ] .
1 Faire la figure .
BC
2 Montrer que : IJ = .
2
Exercice 2
A
B 4, 8 C
Exercice 3
Soit M N P un triangle rectangle en M , et E et F sont les milieux respectifs des segments
[N P ] et [MP ] .
1 Faire la figure .
2 Que représente la droite (MP ) au triangle MNP ?
4 Sachant que M
N P = 50◦ ; MP
N = 40◦ .
a Construire I le centre du cercle inscrit au triangle MNP .
b Calculer la mesure de l'angle : M
IN .
100
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101
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