Chap1 Outilsmathématiques CM
Chap1 Outilsmathématiques CM
Chap1 Outilsmathématiques CM
023/024
Faculté des Sciences et Techniques PC1 et MM1 - Semestre 1
Département des Maths Physique UE 1
Cours d’Electrostatique
Chap.1 : Outils mathématiques pour l’électrostatique (6h)
Objectifs :
Renforcer, maîtriser, asseoir et découvrir les outils mathématiques de base permettant de
formaliser et de résoudre les problèmes en électrostatique en particulier et en physique de manière
plus générale.
Homogénéiser le niveau des étudiants de 1ère année de Maths Physique.
3) Champ vectoriel
Toute fonction F (r ) qui associe un vecteur à chaque point de l’espace de coordonnées r ( x, y, z ) .
Exemple : les champs électrique E et magnétique B .
NB : « la notion de Champ est un concept mathématique introduit pour expliquer les actions à
distance. ».
4) Produit scalaire
Considérons 2 vecteurs a (ax , a y , az ) et b(bx , by , bz ) définis en tout point de
l’espace cartésien et l’angle entre a et b . Le produit scalaire de a et b (noté a . b )
est un scalaire (nombre) :
a.b a b cos avec a ax2 a y2 az2
ax bx
Expression analytique du PS : a.b a y . by a xbx a y by a z bz
az bz
Propriété : a.b 0 a b
5) Produit vectoriel
Le produit vectoriel de a et b est un vecteur (noté a b ) au plan formé
par a et b . Les vecteurs a , b et a b forment dans cette succession un
trièdre direct (règle de la main droite ou du bonhomme d’Ampère) :
a y bz az by
ex ey ez
Expression analytique du PV : a b ax a y az ax bz az bx
bx by bz a b a b
x y y x
Propriété : a b 0 a // b {Exe a b }
Propriété : Vérifier que le double produit vectoriel : a b c (a.c)b (a.b)c a b c
Propriété : Vérifier que le produit mixte : (a b).c (b c).a (c a).b
Exercice : Dans un système de coordonnées cartésiennes, calculer le produit vectoriel ei e j
i, j ( x, y, z ) .
Où
f est appelée dérivée partielle de f par rapport à x = dérivée de f à xi en supposant
i
xi
toutes les autres (n-1) variables constantes.
Exemple : f ( x, y, z ) xy z 2 3zy f ( x, y) 2 xe xy 5
df ydx ( x 3z )dy (2 z 3 y)dz df (2e xy 2 xye xy )dx (2 x 2e xy )dy
7) Intégrale multiple
b
Intégrale simple : intégration sur une seule variable. I
a
f dx fdM intégrale curviligne.
Exemple :
OB
I1 dx OB OA AB distance du segment AB
OA
1
I2 cos(ax t )dx a sin(a t ) sin(a t )
b d
Intégrale double : intégration sur 2 variables. I f dxdy fdS
a c
intégrale de surface.
Exemple :
d b b d
J1 dxdy
c a
dx dy b a d c Surface d’un rectangle
a c
1 y
y 1
1
1
J 2 xdxdy
xdx
dy 1
2 y 2 dy 3 1
6 y
1
0 6
0 0 0 0 0
b d f
Intégrale triple : intégration sur 3 variables. I f dxdydz fd intégrale de volume.
a c e
Exemple :
c' b' a'
K dxdydz a ' a b ' b c ' c
c b a
Volume d’un
parallélépipède
Soit f une fonction continûment et infiniment dérivable dans un intervalle I de l’ensemble des réels. On
appelle développement limité de f à l’ordre n, au voisinage de zéro, l’expression de la formule de Taylor-
Young suivante :
n
xk k k
f x f 0 x n x où lim x 0 ; avec f , la dérivée d’ordre k de f.
x 0
k 0 k !
x2 xn
Exemple : ex 1 x ... x n x
2! n!
1 2 1 ... n 1 n
1 x x x n x
1 x x ...
2! n!
Remarque1 : le signe du flux dépend du choix de l’orientation du vecteur normal n(M ) (entrant ou
sortant) au point M.
Remarque2 : lorsque la surface est fermée, le vecteur normal n est par convention toujours dirigé vers
l’extérieur de la surface.
Objectif : écrire les éléments différentiels dM , dS , d dans les 3 systèmes de coordonnées les plus
utilisés en physique.
1) Coordonnées cartésiennes
3) Coordonnées sphériques
cartésienne e x , e y , e z
Exercice 3 : exprimer les coordonnées cartésiennes x, y, z du point M en fonction de ses
cordonnées cylindriques , , z , puis sphériques r , , .
NB : ce sont les systèmes de coordonnées les plus utilisés en physique. Le choix d’un système dépend des
conditions particulières du problème (symétrie, expressions des champs, etc.).
NB : les relations de passage d‘un système de coordonnées à un autre seront abordées plus en détail dans
le cours de mécanique du point.
2) L’opérateur Divergence : on appelle Divergence de A(M ) , la quantité scalaire, notée div A(M ) ,
définie comme suit :
Ax Ay Az
div A avec A Ax ex Ay ey Az ez
x y z
5) L’opérateur Nabla : l’opérateur nabla, noté , est l’opérateur différentiel défini en coordonnées
cartésiennes par :
ex ey ez
x y z
Remarque : nous pouvons réécrire tous les opérateurs en fonction de .
Exercice : Vérifier que : gradU U ; div A . A ; rot A A ; U .U .
U 1 U U
gradU e e ez (Indication : appliquer dU gradU .dM )
z
1 ( A ) 1 A Az (Indication : utiliser la forme différentielle du Th. d’Ostrogradski)
div A
z
1 Az ( A ) A Az 1 ( A ) A
rot A e e ez (Indication : utiliser la forme
z z
différentielle du Théorème de Stokes)
U 1 U 1 U
gradU er e e
r r r sin
1 (r 2 Ar ) 1 (sin A ) 1 A
div A
r 2
r r sin r sin
er e e
1
rot A 2
r
r sin
Ar rA r sinA
1 2 U 1 U 1 2U
U ( r ) (sin )
r 2 r r r 2 sin r 2 sin2 2
Soit M, un point appartenant à une surface (S) fermée contenant un volume (V)
et Q un point du volume. n(M ) est le vecteur unitaire normal à (S) sortant.
Soit E(M ) un champ vectoriel continu et dérivable, défini en tout point de
l’espace.
Une matrice est un tableau rectangulaire de n lignes et m colonnes contenant a11 a12 a13
des nombres réels ou complexes. L’exemple ci-contre est la matrice A de n=2
A
lignes et m=3 colonnes. a21 a22 a23
-1 1+iln2
C A B
-2 2
Les règles de multiplication de deux matrices :
2
o cij aik bkj
k 1
o Le nombre de colonne de A doit être égal au nombre de ligne de B.
o La matrice C a le nombre de ligne de A et le nombre de colonne de B.
-1
1 1
et B 0
i
Exercice : Calculer le produit matriciel suivant AxB : A
2 0 1
1
Notez bien : un cours spécifique sur les matrices sera enseigné en Algèbre linéaire.
Dans une opération géométrique de symétrie d’Inversion (exemple, un système physique présentant un
centre) par rapport à l’origine O d’un repère donné, un point M ( x, y, z ) se transforme en
M ( x, y, z) . Appliquée à une grandeur vectorielle, elle peut la transformer :
- en son opposé, on parle de symétrie impaire. Le vecteur est dit polaire ou Vrai Vecteur.
Exemple : le champ électrostatique, la densité de courant, le vecteur vitesse, le vecteur
position …
Un Pseudo vecteur est un vecteur dont le sens est défini à partir d’une convention d’orientation de l’espace.
En physique, cet espace sera orienté dans le sens trigonométrique.
NB : un Pseudo vecteur peut toujours se ramener au produit vectoriel de 2 vrais vecteurs, ou d’un
vrai vecteur et d’un pseudo vecteur. Alors que le produit vectoriel de deux pseudos vecteurs est un
vrai vecteur.
a) Translation et rotation
v v
v v
u ˜ u u ˜ u
Translation Rotation Translation Rotation
Il n’y a aucune différence dans la transformation d’un VV et d’un PV dans une opération de
translation ou de rotation.
i/ Définitions
Un plan de symétrie (ou symétrie paire) pour un système physique est avant tout un plan de
symétrie au sens géométrique (miroir plan). Il doit transformer une charge + en + ou – en –.
Un plan d’antisymétrie (ou symétrie impaire) pour un système physique est un plan de symétrie au
sens géométrique, mais qui doit transformer une charge + en –, ou – en +. Autrement dit, c’est
une symétrie paire multipliée par l’Inversion.
Exemple (dans la classe fille/garçon).
Exemple : plan d’antisymétrie entre 2 armatures chargées respectivement + et -.
Plan
Plan de symétrie
de symétrie Plan de symétrie
LeLetransform
transformééd’un
d'unvecteur
vecteur
par par un de
un plan Le transformé d’un pseudo vecteur par un plan de
symétrie estétie
son symétrique symétrie est son antisymétrique
plan de sym est son symétrique
Définition : Une opération d’antisymétrie par rapport à un plan est le produit d’une
symétrie paire par l’Inversion (-1).
Plan d’antisymétrie
Plan d'antisymétrie
Plan d’antisymétrie
Le transform
Le transforméé d'un
d’un pseudo
pseudo vecteur
vecteur par
par un
un plan
Le transformé d’un vecteur par un plan d’antisymétrie est son symétrique.
d’antisymétrie est son antisymétrique plan d' antisymétrie est son symétrique
NB : l’inversion est appliquée au vecteur résultat
du PS et non aux vecteurs intermédiaires.
Soit le système physique (S) (ensemble de charge ; fil parcouru par un courant, distribution de charge
continue…) produisant l’effet vectoriel ( E ) ou pseudo vectoriel ( B ).
Si l’on fait subir au système (S) (appelé cause) une transformation T / : T S = S
Alors les effets ( E ) subissent la même transformation : T E = E et T B = B
Définition
Les considérations des symétries dans un problème permettent généralement de faciliter l’étude et de
gagner du temps. En physique, l’identification de symétrie peut aider à réduire le nombre de variables
d’une grandeur physique donnée, notamment les E et B , ou aussi à déterminer leur direction. E
et B dépendent en général de 3 variables d’espace, mais la présence d’éléments de symétrie peut ramener
ce nombre à 2 ou 1.
a. Symétrie de translation
Le système est invariant par translation. Les effets ne dépendent pas de la variable associée à l’axe de
translation. Exple axe z.
Exemple : fil infini chargé ( =cte)
La distribution de charge est invariante dans toute translation parallèle à l’axe zz’.
Le système de coordonnées le plus adapté à cette symétrie est le système de
coordonnées cylindriques ( , , z ). La densité de charge est indépendante de
b. Symétrie de révolution
Un système physique invariant dans toute rotation d’angle par rapport à un axe zz’ présente une
symétrie de révolution (symétrie axiale). Le système de coordonnées le plus adapté à cette symétrie est le
système de coordonnées cylindriques ( , , z ). Les effets ne dépendent pas de (P.Curie).
E ( , , z ) E ( , z )
d. Symétrie sphérique
Le système physique est invariant dans toute rotation autour d’une infinité d’axe passant par le centre. Le
système présente la symétrie sphérique. Le système de coordonnées le plus adéquat est le système de
coordonnées sphériques ( r, , ). Les effets ne dépendent que de r . E (r , , ) E (r )
Conclusion : les éléments de symétrie d’un système physique renseignent sur les variables d’espace
dont peuvent dépendre les effets produits par le système physique.
En un point M au Plan d’Antisymétrie, M M le système est invariant par PA. D’après le Principe
de Curie, les effets doivent rester invariants par PA. Cela n’est vrai que si :
Fig. c : le champ E est à PA E E
Fig. d : le champ B est contenu dans le plan PA ( B B ).
Conclusion :
o en tout point M au Plan, un effet à caractère vectoriel est
contenu dans un PS, mais à un PA.
o en tout point M au Plan, un effet à caractère pseudo vectoriel
est contenu dans un PA, mais à un PS.
Pour déterminer la direction d’un vrai vecteur ( E , par exemple) en un point M, il suffit de trouver
un Plan d’Antisymétrie du système physique, et passant par M, ainsi E lui sera . Ou trouver au
moins 2 Plans de Symétrie qui passent par M, E sera l’intersection de ces plans.
Pour déterminer la direction d’un pseudo vecteur ( B , par exemple) en un point M, il suffit de
trouver un Plan de Symétrie du système physique, et passant par M, ainsi B lui sera . Ou
trouver au moins 2 Plans d’Antisymétrie qui passent par M, B sera l’intersection de ces 2 plans.
Le système physique est un fil infiniment long portant des charges positives. Autrement dit, à partir d’un
point M de l’espace, on ne peut pas distinguer les extrémités du fil (absence d’effets de bords).
Récapitulatif :
Les plans de symétrie et d’antisymétrie permettent de déterminer la direction des effets vectoriels ou
pseudo-vectoriels produits par un système physique donné en un point donné.
Par conséquent, pour déterminer le champ électrostatique créé par un système physique donné
(distribution de charges électriques, par exemple), on suivra les étapes suivantes :