SAINT JEROME DOUALA

SAINT JEROME POLYTECHNIQUE

MECANIQUE APPLIQUEE 2
CODE: EC-TC-P121
CM : 24 heures – TD : 12 heures –TPE : 4 heures

Saint Jérôme Polytechnique 2 (SJP 2)

Par DAWOUA KAOUTOING MAXIME

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 1

 Octobre 2016

Contenu:

Cours: Champs de vitesse - notion de torseur. Cinématique du solide: glissement,

roulement, pivotement. Théorèmes généraux de la mécanique: théorème de la
résultante cinétique, énergie cinétique - énergie mécanique. Mouvement de rotation du
solide.

TD: illustration du cours par les exercices – exercices en relation avec le cours
magistral.

Plan du cours

CHAPITRE 1: RAPPELS MATHEMATIQUES ET TORSEURS

CHAPITRE 2: CINEMATIQUE DU SOLIDE ET DES SOLIDES EN CONTACT
CHAPITRE 3: CENTRE D’INERTIE ET MOMENTS D’INERTIE
CHAPITRE 4: DYNAMIQUE DES SYSTEMES MATERIELS: THEOREMES
GENERAUX

REFERENCES:

1.- Mécanique, fondements et applications avec 300 exercices et problèmes résolus.

José Philippe Pérez. Dunod. Masson, 1997.
2.- Méthodes et idées: Mécanique, Thermodynamique, Optique, Mécanique des fluides.
Exercices corrigés avec rappels de Cours. Jean Delour et Arnaud Saint-Sauveur.
J’intègre. Prépas Scientifiques. Dunod, 1998.
3.- Mécanique: 44 exercices corrigés de mécanique du solide. Entraînement aux
concours et examens. Laurent Desnoël. J’intègre. Dunod, 1988.
4.- Les grands Classiques de Physique-Chimie. Louis Capéren et André Turpin. Nouvelle
édition. Bréal, 1985.
5.- Best of Physique. Les meilleurs sujets de concours. Arnaud Schmittbuhl. J’intègre.
Dunod. Paris. 2000.
6.- Les grands classiques de Physique. Exercices corrigés et commentés. J. Bergua et
P. Goulley. Bréal, 1996.

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 2

 Introduction à la mécanique appliquée 2 : mécanique du solide.

Nous avons vu en première année que la mécanique du point étudie la cinétique et la

dynamique du point matériel. Ce point matériel représente en général le centre de
masse d’un système de points. Dans certains problèmes, les effets de rotation du
solide sont importants et doivent être prise en compte. D’où l’intérêt d’étudier le
solide dans sa globalité. Le solide étant un ensemble de points matériels dont les
distances entre points demeurent invariables (cas des solides parfaits ou
indéformables).
La mécanique du solide est la partie de la mécanique qui s’intéresse aux objets que l’on
peut réduire en un point matériel, et plus particulièrement au comportement des
corps non ponctuels lorsque ceux-ci sont soumis à des actions, par exemple, les forces
extérieures. Pour aborder avec succès la mécanique du solide, il est nécessaire de
bien maitriser les notions de la mécanique du point. La mécanique du solide étant une
généralisation des phénomènes étudiés lors de la première approche.
Notons que la mécanique du solide se subdivise en deux parties :
- La mécanique du solide parfait ou indéformable,
- La mécanique du solide déformable
Nous aborderons uniquement le cas des solides indéformables.
Le premier chapitre sera consacré aux rappels d’outils mathématiques et des
torseurs. Nous donnerons à titre de rappel des informations sur l’espace vectoriel et
l’espace affine, les concepts vecteurs qui permettent de travailler sur trois réels, le
concept de torseur qui permet d’opérer sur deux vecteurs : sa résultante et son
moment en un point. Nous montrerons dans chapitre qu’il existe trois types de
torseurs : le glisseur, le torseur–couple et le torseur quelconque. Nous terminerons ce
chapitre par quelques opérations sur les torseurs.
Le deuxième chapitre sera basé sur la cinématique du solide indéformable et des
solides en contact, discipline dont l’objectif est la description des mouvements des
points d’un solide. Après les généralités, nous donnerons les informations sur les
vecteurs cinématiques : champ de vitesse et champ d’accélération. Nous terminerons
le chapitre par l’étude de quelques mouvements particuliers quelques exercices
d’applications.
Le chapitre trois sera consacré à l’étude de la cinétique du solide indéformable. Ce
chapitre introduit, en plus de la cinétique, la notion d’inertie d’un solide. Nous
donnerons des informations sur la masse d’un solide et la détermination de son centre
d’inertie.
Nous énoncerons au chapitre quatre les théorèmes importants et une démarche pour
le calcul du centre d’inertie dans les solides homogènes. Nous montrerons en fin une
démarche pour le calcul des de ces effets de rotation, le système matériel conduit à
l’étude d’une partie importante de la mécanique appelé mécanique du solide.

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CHAPITRE 1 : RAPPELS MATHEMATIQUES ET TORSEURS

Les torseurs sont des objets mathématiques utiles pour une présentation
condensée de certains résultats de la mécanique.

1.- Rappels mathématiques

Dans cette étude E représente l’espace vectoriel (e.v) réel à trois dimensions
attaché à l’espace affine  (e.a) (espace des points) et ei i 1,2,3 une base orthonormé
directe de E :
ei e j = ij , ei  e j =  ijk ek ,  ei k =  ik , 123 =1
Tout vecteur u de E de composantes ui se décompose de façon unique dans la
3
base ei  : u =  ui ei = ui ei
i 1

1.1.- Applications antisymétriques de E

1.1.1.- Définition
Une application g de E  E est dite antisymétrique si l’on a pour tout couple ( u ,
v )  E : u g( v ) = - v g( u )
1.1.2.- Propriétés
a.- Linéarité
Les applications antisymétriques sont linéaires : g( 1 u1 +  2 u2 ) = 1 g( u1 )+  2 g( u2
)
Preuve : par définition de l’antisymétrie, on a  v  E
- v (g 1 u1 +  2 u2 ) = 1 u1 g( v )+  2 u2 g( v ) = - v [ 1 g( u1 )+  2 g( u2 )]
b.- Matrice L associée g
Etant linéaire, l’application antisymétrique g peut être représentée par une
matrice 3x3 antisymétrique ( Lij ) dans la base ei  . Les éléments de la matrice L sont
donnés par :
Lij = ei .g( e j ) = - L ji
En effet l’application :
g : u  g( u ) = L. u entraîne pour les vecteurs de base e j :

g( e j ) = L. e j =  ek L.e j  k
(Soit en multipliant scalairement par ei =
k

= ei .g( e j ) = (L. e j )i =  L e 
l
il j l = Lij

c.- La matrice L est duale à un 3 vecteurs

Lij =- L ji
Soit :
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 L11  L22  L33  0
 L  S   L
 12
 Lij = -  ijk Sk
3 21

 L23  S1   L32
 L31  S2   L13
0 S3 S2 

Donc : L =  S3 0 S1 
S 0 
 2 S1
On dit que la matrice L est duale au 3 vecteurs S
d.- Relation entre S et g
Elle est donnée par : (g ei ) = S  ei =g S ( ei ), ou inversement
1
S =  ei  g( ei )
2 i
S est appelé alors vecteur de l’application antisymétrique g.
Preuve :
i.-  u  E on a :
 u1   S2u3  S3u2 
   
g( u ) = L. u = L.  u2  =  S3u1  S1u3  , qui n’est autre que S  u
u   S u  S u 
 3  1 2 2 1 
ii.- multiplions vectoriellement l’équation :g( ei ) = S  ei
ei ( S  ei ) = ei  g( ei ), S -( ei . S ) ei = ei  g( ei )
Ensuite sommons toutes les composantes i, nous obtenons : (3-1) S = 2 S =
 ei  g( ei )
i

1.3.- Champs antisymétriques et équiprojectifs

1.3.1.- Notion de champ vectoriel
On appelle champ vectoriel une application vectorielle H qui a tout point P de
l’e.a  fait correspondre un vecteur de l’e.v E :
H :  E
P  H (P)
Exemples : le champ de vitesses, le champ d’accélération, le champ de force,….
1.3.2.- Champs antisymétriques
Un champ vectoriel H est dit antisymétrique si et seulement si (ssi) il existe un
point A   et une application linéaire antisymétrique  tel que l’on ait :
H (P) - H (A) = g( AP ),  P  
Remarque : si on note R le vecteur de l’application H alors on a aussi :
H (P) - H (A) = R  AP
1.3.3.- Champs équiprojectifs
Un champ vectoriel H est équiprojectif ssi l’on a :
PQ [ H (P) - H (Q)] =0,  P, Q  
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Exemple : le champ de vitesse d’un solide en mouvement dans 
1.3.4.- Proposition
Tout champ antisymétrique est équiprojectif et réciproquement.
Preuve :
i.- H antisymétrique  H équiprojectif
En effet H antisymétrique  H (Q) - H (P) = g(g( PQ )
Multiplions scalairement par PQ , nous obtenons
PQ [ H (Q)- H (P)] = PQ g( PQ ) = PQ ( R  PQ )=0
ii.- H équiprojectif  H antisymétrique
On a : PQ [ H (Q) - H (P)] = 0
Reécrivons cette équation :
   
( AQ - AP )  H (Q)  H ( A)  H ( P)  H ( A)  =0
 
 - AP  H (Q)  H ( A)  = AQ  H ( P)  H ( A)   - AP g( AQ )= AQ g( AP )

2.- Torseurs
2.1.- Définition
On appelle torseur T, l’ensemble d’un champ antisymétrique M et de son
vecteur R . On le note : T = [ R , M ]
M est appelé moment du torseur T et R son vecteur ou résultante du torseur T. M
et R sont aussi appelés éléments de réduction (ou encore coordonnées) de T. Les
coordonnées de T, ou éléments de réduction en un point P   s’écrivent : T(P) = [ R , M
(P)]
En général la connaissance de R et la valeur du champ M en un point A
détermine le torseur en tout point P  E: M (P) = M (A) + R  AP
Remarque : souvent on confond le torseur T et son moment M puisqu’ils ont même
vecteur R

2.2.- Propriétés essentielles des torseurs

2.2.1.- L’ensemble des torseurs est un ev à 6 dimensions
a.- Somme de deux torseurs
C’est un torseur T donné par : T = T1+T2 = [ R 1+ R 2, M 1 + M 2]
Cas particulier : T = [ R , M ] peut être écrit comme : T = [ R , 0 ] + [ 0 , M ]
b.- Multiplication par un scalaire   R
Si T est un torseur,  T= [  R ,  M ] est aussi un torseur.

c.- Torseur nul

T=0  R = 0 et M (P)= 0  P  E
 R = 0 et  un point A   tel que M (A)= 0

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Conclusion : l’ensemble des torseurs est un ev de dim 6 puisque un élément de cet
espace est à 6 composantes indépendantes : T = [Rx,Ry,Rz; Mx, My, Mz]
b.- Egalité de deux torseurs
Deux torseurs: T1 et T2 sont égaux, si leurs éléments de réduction sont égaux
en tout point P  E.
R 1 = R 2 et P M 1(P) = M 2(P)  P  R 1 = R 2 et  A tel que M 1(A) = M 2(A).
c.- Produit de deux torseurs : comoment de deux torseurs
Soient deux torseurs T1 et T2 de coordonnées au point P  E:
T1 = [ R 1, M 1(P)], T2 = [ R 2, M 2(P)]
Le comoment de T1 et T2 noté (T1, T2) est défini par le scalaire
 (P)= (T1(P),T2(P)) = R 1. M 2(P) + R 2. M 1(P)
Ce produit est en fait une constante ne dépendant pas du point P, c'est-à-dire :
 (P) =cte  P
On a : M 1(P) = M 1(A) + R 1  AB et M 2(P) = M 2(A) + R 2  AB
En multipliant respectivement par R 2 et R 1 on obtient :
 (B) =  (A) + R 1( R 2  AB ) + R 2( R 1  AB )=  (A)
d.- Dérivée d’un torseur
Considérons une famille continue de torseurs Tt dépendant d’un paramètre t 
R (le temps). Les coordonnées de Tt au point P s’écrivent : Tt(P)= [ R t, M t(P)]
dTt  dR dM t 
La dérivée de Tt définie par =  t ,  est aussi un torseur : c’est le
dt  dt dt 
torseur dérivé.
e.- Invariants d’un torseur
Etant donné un torseur T de coordonnées au point P T(P)= [ R , M (P)] alors on
peut associer deux quantités :
i.- invariant scalaire  défini par
 (P) = R . M (P) =  (Q) = cte spatiale
Cette quantité permet de classer les différents types torseurs selon les
valeurs  = 0 et   0
ii.- invariant vectoriel I  défini par
 ( P)
I (P)= 2 R = I (Q)
R
2.3.- Axe d’un torseur
2.3.1.- Définition
L’axe  d’un torseur T= [ R , M ], R  0 est l’ensemble des points P tel que M (P)

est colinéaire à R :  (T) = P / R  M ( P)  0 
2.3.2.- Equation de  (T)
Si O est un point donné de , origine de R, alors l’équation de l’axe  (T)
s’écrit :
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 7
 R  M (O)
OP = 2
+  R;   R
R
2
En effet on a : 0 = R   M (O)  R  OP  = R  M (O) + ( R . OP ). R - R . OP
R  M (O) R.OP
OP = 2
+ 2
R
R R
2
Montrons finalement que R . OP =  R . Pour le voir, il suffit de décomposer OP de
la façon suivante : OP = OH + HP = OH + HP
2
R . OH = 0 c'est-à-dire que H   passant par O et  à R . Donc : R . OP =  R .

3- Glisseurs et couples
Ce sont des torseurs particuliers ayant une valeur, nulle pour l’invariant scalaire
 (G) =  (C) = 0
3.1- Torseurs associé à un vecteur lié
3.1.1.- Définition
Soit (A,  ) un vecteur lié et H le champ antisymétrique associé à ce vecteur :
H A(P)=   AP . Le champ H A(P) ainsi défini est le moment d’un torseur de vecteur
 : c’est le torseur associé au vecteur lié (A,  ), on le note : TA = [  , H A]
3.1.2.- Propriétés
i.- H A(A)= 0   (TA)=0
ii.- Plus généralement
H A(P)= 0   l’axe du vecteur lié qui est une droite passant par A et engendrée par

3.2.- Glisseurs
3.2.1.- Définition
Un torseur est un glisseur ssi il existe un vecteur lié dont il soit le torseur
associé.
3.2.2.- Propriété
a.- Support de GA
Soit GA = [ R , M A] un glisseur de vecteur R  0 et de moment M A(P)= R  AP .
On appelle support de GA l’ensemble des points P   ayant un moment nul.
 
Support GA = P / M A ( P)  0 droite passant par A et engendré par R = (A, R )
b.- Conditions pour qu’un torseur soit un glisseur
- Pour qu’un torseur soit un glisseur, il faut et il suffit qu’il existe un point en lequel
son moment soit nul,
- Si un torseur de vecteur R , a un moment nul en A  , ce torseur est le glisseur
associé au vecteur lié (A, R ),

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 8

- Etant donné un point P  ,  et G 2 vecteurs perpendiculaires alors, il existe un
glisseur et un seul ayant  pour vecteur et G pour un moment au point P : GP = [  , G
 0]

Remarques
* Dans tous les cas de b.- l’invariant scalaire  = 0
* Le sous ensemble des glisseurs non nuls, dont le support passe par un point A donné,
et du glisseur nul est un sous espace vectoriel à 3 dim de l’ev des torseurs
Une base de ce sous ev est donnée par les trois glisseurs associés aux 3
vecteurs liés (0, ei ) avec ei des vecteurs indépendants.

3.3.- Couples C
Un torseur est un couple ssi il possède l’une ou l’autre des propriétés
équivalentes suivantes :
a.- son vecteur R est nul
b.- son moment M est constant
Remarque : le sous ensemble des couples est un sous espace vectoriel à 3 dim de l’ev
des torseurs. Une base est donnée par 3 couples dont les moments (en tout point)
sont 3 vecteurs indépendants.

3.4.- Décomposition d’un torseur

3.4.1.- Cas général
Considérons un torseur T de coordonnées en un point P  : T(A)= [ R , M (A)].
On peut alors écrire : T(A)= [ R , 0 ] +[ 0 , M (A)]
= GA + C
où GA est un glisseur dont le support  passe par A et est parallèle R et où C est le
couple ayant pour moment C = M (A)
Cette décomposition qui est unique montre que l’ev des torseurs est la somme
directe du ss ev des couples et du ss ev des glisseurs de support (A, R ).
3.4.2.- Cas où GA est parallèle à C
Dans cette décomposition : T(A)= GA + C = [ R , 0 ] +[ 0 , M (A)]
Les vecteurs R et M (A) sont parallèles. L’ensemble des points A n’est autre que l’axe
du torseur T.

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 9

4.- Classification des torseurs
De l’étude précédente résulte la classification suivante des torseurs en
fonction de l’invariant scalaire 
4.1.- Cas  (T)= R . M = 0
i.- R = M = 0  T est un torseur nul
ii.- R = 0 , M  0  T = C est un couple
iii.- R  0 , M (A)= 0  T = GA est un glisseur
iv.- R  0 , M (A)= G  0 mais R G = 0  T est un glisseur
4.2.- Cas  (T)  0
T n’est ni un couple ni un glisseur. Cependant, on a
T(A)= GA + C ,  A   et où GA et C sont tous deux différents de zéro.

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 10

 CHAPITRE 2: CINEMATIQUE DU SOLIDE ET DES SOLIDES EN CONTACT

1.- Propriétés cinématiques du solide

1.1.- Définition d’un solide
Du point de vue mathématique, un solide est un domaine (S) de l’espace affine
euclidien  tel que la distance entre les points P et Q de (S) est constante
PQ = cte  P, Q  (S)  
1.2.- Référentiels
En général nous avons les notions suivantes
a.- repère d’espace d’origine O et de base ( i , j , k ),
b.- repère de temps ou horloge d’origine  et de base t
c.- référentiels d’espace –temps qui est un repère d’espace muni d’une horloge
NB : nous supposons dans ce cours que tous les référentiels sont munis de la même
horloge, donc le même temps. Par conséquent nous allons confondre la notion de
référentiel et de repère.
Pour étudier la cinématique d’un solide (S) en mouvement dans  nous utilisons 3
types de repère :
i.- repère absolu R : c’est le repère du laboratoire. Il est noté : R(O, i , j , k )
ii.- repère lié au solide : R(Os, is , js , k s ) avec ( is , js , k s ) une base orthonormée directe
de E engendrant les orientations de (S) lors de son mouvement dans R.
iii.- repères intermédiaires Ri, i=1,2,3,…… Ces repères Ri(Oi, ii , ji , ki ) jouent un rôle
secondaire. Cependant ils sont très utiles dans l’étude des mouvements complexes des
solides dans R.
1.3.- Champ de vitesse d’un solide
Soit (S) un solide en mouvement dans  et P = P(t) un point quelconque (qqc) de
(S) (fig.1) :

Figure 1

1.3.1.- Définition :

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 11

 On appelle Vt  S / R  , champ des vitesses de S/R à l’instant t le champ qui pour
tout P(t)  (S) associe le vecteur vitesse de ce point matériel, cad :
dOP
Vt  S / R  : P  (S)  V ( P  S / R) =
dt R
1.3.2.- Propriétés de Vt  S / R 
a.- Vt  S / R  est un champ antisymétrique. En effet : Soient P(t) et Q(t) 2 points de
(S) en mouvement par rapport à R, cad : P(t )Q(t ) = cte
Vt  P  S / R   0 et Vt Q  S / R   0
En dérivant par rapport au temps t dans R, on trouve :
2 PQ [ Vt  Q  S / R  - Vt  P  S / R  ]=0
Ce qui montre que Vt  S / R  est un champ équiprojectif donc antisymétrique
b.- Torseur vitesse (ou torseur cinématique)
Vt  S / R  étant un champ antisymétrique   P, Q  (S) alors il existe à tout
instant t un vecteur t  S / R  tel que l’on ait : V  Q  S / R  - V  P  S / R  = t  S / R   PQ
Donc le couple : Tv( S / R ) = [   S / R  , V  S / R  ], est le torseur vitesse de vecteur
  S / R  : vitesse instantanée de rotation du solide S/R et de moment V  S / R  .
c.- Axe du torseur Tv
Si le vecteur   S / R  n’est pas nul, cad Tv n’est pas un couple, l’axe de Tv est
donné par l’ensemble des points P   , axe de Tv tel que :   S / R  =  V  P  S / R  .
Par ailleurs de la propriété d’antisymétrique :
V  Q  S / R  = V  P  S / R  +  V  P  S / R   PQ , P  
On voit que le mouvement d’un Q  (S) est décomposé en un mouvement du
point P et un mouvement de rotation instantané de Q autour de l’axe instantané de
rotation (P, V  P  S / R  ) ; donc l’axe du torseur Tv est aussi l’axe de rotation
instantané de S/R.
Remarque :
Des invariants scalaire et vectoriel sont respectivement donnés par :

 (Tv) =   S / R  . V  S / R  et I (Tv) =  S / R

2

d.- Expression de   S / R 
De la propriété d’antisymétrique : V  M  S / R  - V  P  S / R  =   Rs / R   PM
d PM
Nous déduisons la relation suivante : =   Rs / R   PM , P, M  (S)
dt R

Plus généralement nous avons pour tout vecteur u (t)  (S)

du
=   Rs / R   u (t). En particulier pour les vecteurs de base de Rs :
dt R
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 12
dis
=   Rs / R   is (t)
dt R

djs
=   Rs / R   js (t)
dt R

dks
=   Rs / R   k s (t)
dt R

dis dj dk
Soit donc : 2   Rs / R  = is  + js  s + k s  s
dt R dt R dt R

1.4.- Champ des accélérations

De la relation d’antisymétrique
V  M  S / R  = V  P  S / R  +   S / R   PM . Nous obtenons par dérivation :
 d  S / R  
  M  S / R =   P  S / R +    PM +   S / R   (   S / R   PM )
 dt R
Le champ des accélérations  t  S / R  n’est pas un champ antisymétrique.

2.- Mouvements d’un solide (S)

On distingue en général différents types de mouvements d’un solide (S)/R :
i.- mouvement de translation
ii.- mouvement de rotation
iii.- une composée d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation
2.1.- Définition
Soit un solide (S) en mouvement dans  repéré par R et considérons 2 pts A et
B  (S). Au cours du mouvement de (S), ces 2 pts dessinent 2 trajectoires dans 
(fig.2)

Figure 2

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 13

 AB
Ecrivons AB comme AB = AB u (t), où u (t) = est un vecteur unitaire
AB
engendrant les orientations de la droite (P,Q) au cours du temps. Dérivons ce vecteur
d AB du 
V ( B  S / R)  V ( A  S / R)
par rapport au temps t : = AB = 
dt R dt R (S / R)  AB
différentes situations sont possibles :
i.- si u (t) = cte  t alors : V ( A  S / R) = V ( B  S / R) . On dit que (S) effectue un
mouvement de translation
ii.- si u (t)  cte et  A  (S) tel que V ( A  S / R) = 0  t alors (S) effectue un
mouvement de rotation autour du pt A : V ( B  S / R) =   S / R   AB
iii.- si u (t)  cte et il n’existe aucun point de (S) fixe dans R alors le mouvement de
(S) est la composée d’une translation et d’une rotation.

2.2.- Rotation autour d’un axe fixe

2.2.1.- Définition
Le mouvement d’un solide dans l’espace affine  est un mouvement de rotation
autour d’un axe fixe ssi  2 pts matériels distincts de (S) qui soient fixe dans 

Si A et B sont les 2 pts matériels fixes dans , il en résulte alors que tous les
pts sur la droite (A,B) restent fixes : c’est l’axe de rotation de S/R. Faisons le choix
(A,B)=Oz comme axe de rotation de S/R, alors on a :
V (M  S / R) = V (O / R) +   S / R   OM = V ( H / R) +   S / R   HM
Sachant que HM = HM er et S / R =  ez , on obtient V (M  S / R) = HM  ez , les
points matériels M s’effectuent un mouvement de rotation circulaire autour de Oz et
de rayon HM = r
2.2.2.- Propriétés
i.- le torseur vitesse est un glisseur d’axe Oz : TV = Go = [  ez , 0 ]

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 14

ii.- l’accélération s’obtient par dérivation :   M  S / R  = r  e - r  2 er =  t +  n
iii.- Si  = cte, cad :  t = 0 , le mouvement est de rotation uniforme

2.3.- Mouvement hélicoïdal simple

2.3.1.- Définition
Un mouvement hélicoïdal simple est une combinaison d’un mouvement de
translation rectiligne et d’un mouvement de rotation autour d’un axe parallèle à la
direction de translation (fig.3)

Figure 3
Considérons une translation // à Oz qui est aussi l’axe de rotation du solide de
S/R.
Soit (a), la particule du solide dans la position A dans  est sur Oz. Si nous
posons :
OA (t) = h(t) k , alors : V ( A  S / R) = h k
Pour une particule m de (S) qui se trouve en M à l’instant t, on :
V (M  S / R) = V ( A  S / R) + RS / R  AM = h k +  k  AM
2.3.2.- Propriétés :
a.- Invariants scalaire et vectoriel du torseur vitesse
 (Tv)=   S / R  . V  M  RS / R  =   S / R  . V  A  RS / R  = h (t)+  (t)
h
I (Tv)=  k = h k = V  A  RS / R 
2
L’invariant vectoriel est la vitesse de translation du solide le long de Oz : on
l’appelle vitesse de glissement à l’instant t.
b.- Classification des mouvements
De l’invariant scalaire  , nous avons :
- cas  (Tv)=0. On distingue deux cas :
* soit  =0 ( RS / R = 0 ) donc le mouvement est un mouvement de translation rectiligne
// à Oz, TV est un couple.
* soit h =0 ( I (Tv)= 0 ), le mouvement est alors un mouvement de rotation autour de
l’axe Oz : TV est un glisseur d’axe Oz

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 15

- cas  (Tv)  0
Dans ce cas le mouvement est une combinaison d’une translation ou //Oz et
d’une rotation autour de Oz : c’est le mouvement helicoïdal. Le torseur TV n’est un
couple, ni un glisseur. Cependant il peut être décomposé en un couple C=[ 0 , I ] et un
glisseur G0[  k , 0 ] parallèle. L’axe du torseur (O, k )=Oz est l’axe du torseur qui est
aussi l’axe de rotation. Notons finalement que si  =cte, le mouvement est hélicoïdal
uniforme.

3.3.- Torseur vitesse dans un mouvement composé

Soient R2=Rs le repère lié à un solide (S) en mvt dans R0, R1 un repère
intermédiaire en mvt lui aussi / R0 et M un point du solide S, donc fixe dans R 2. Les
coordonnées du torseur vitesse du point M de S/R0 s’écrivent : T20(M)=[ R2 / R0 ,
V  M  R2 / R0  ] où T20(M)=TV( M  R2 / R0 )
De même, les coordonnées des torseurs vitesses du point M  R2 / R1 et celui du
point coïncident M  R1 / R0 sont respectivement données par
T21(M) = TV( M  R2 / R1 ) = [ R2 / R1 , V (M  R2 / R1 )]
T20(M) = TV( M  R2 / R0 ) = [ R1 / R0 , V (M  R1 / R0 )]
Il en résulte alors d’après les relations de composition de vitesses (cours de
Mécanique 1)
R2 / R0 = R2 / R1 + R1 / R0 , V (M  R2 / R0 ) = V (M R2 / R1 )+ V (M  R1 / R0 )
et de la propriété d’addition des torseurs on a la relation suivante : T20 = T21 + T10
Cette relation peut être généralisée au cas de plus d’un repère intermédiaire
Conséquences :
i.- le torseur vitesse inverse Tij(M) est –Tji(M) puis que : Tij + Tji = 0
ii.- la loi de décomposition des vitesses d’un solide (S) dans un repère est valable
aussi au niveau des torseurs.

4.- Rotation d’un solide autour d’un point

Un solide (S) est en rotation autour d’un point fixe O de R si un point Os de Rs
repère lié à S, coïncide avec le point O à tout instant.
4.1.- Angles d’Euler
Le passage du repère absolu R : (O, i , j , k ) au repère relatif Rs : (Os, is , js , k s )
lié au solide peut être décomposé en 4 étapes :
- une translation de R qui fait coïncider O avec Os, on obtient le repère T(Os, i , j , k )
- une succession de 3 rotations élémentaires qui feront coïncider T avec Rs
i.- la première rotation d’angle  se fait autour de k : c’est la précession. Elle fait
passer de :
T(Os, i , j , k ) R R1(Os, u , v , k )
Représentation de R dans le plan :  =( i , u )=( j , u )
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 16
ii.- la deuxième rotation d’angle  , se fait autour de u : c’est la nutation. Elle fait
passer :
R1(Os, u , v , k ) R R2(Os, u , w , k )
Représentation de R dans le plan :  =( v , w )=( k , k s )

iii.- la troisième rotation d’angle  , se fait autour de k s : c’est la rotation propre. Elle
fait passer :
R2(Os, u , w , k ) R Rs : (Os, is , js , k s )
Représentation de R dans le plan :  = ( u , is ) =( w , js )

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 17

 Les angles d’Euler
5.- Cinématique des solides en contact
5.1.- Définitions

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 18

 Deux solides (S) et (S’) en mvt dans R sont dits en contact si à tout instant t, il
existe au moins un point P’s  (S) et un point Ps  (S’) qui soient en contact (fig 4)
 S (Ps) : le plan tangent à S au point Ps
 S’ (Ps’) : le plan tangent à S’ au point Ps’
 (P) : le plan tangent à S et à S’ au point de contact P
 (P) est normal à n

Remarque :
Au point de contact de (S) avec (S’), on distingue à tout instant des mvts de (S) et
(S’) trois notions de pts. Ce sont :
i.- PS(t)  (S), V ( PS  S/R)   S (Ps), V ( PS  S/S’)  0
ii.- PS’(t)  (S’), V ( PS’  S’/R)   S’ (Ps’), V ( PS’  S’/S’) = 0
iii.- P*(t)  ; le point géométrique où le contact (S) et (S’) se fait : c’est un pt fictif
qui varie avec les mvts de (S) et (S’). On a : V (P*(t)/R)   (P*), V (P*/S’)  0
5.2.- Vitesse de glissement
5.2.1.- Définition
On appelle vitesse de glissement du pt P du solide (S) sur le solide (S’) à
l’instant t, le vecteur V (P, S/S’) noté aussi V g(P) par :
V g(P) = V (P  RS/RS’)
5.2.2.- Propriétés
a.- autre écriture de V g(P)
V g(P) = V (P  RS/R) - V (P  RS’/R)
où R est un repère de l’espace affine 
b.- V (P, S/S’) = V (P, S’/S)
c.- si n est la normale au plan tangent  (P), alors on a : V g(P). n = 0  V g(P)   (P)
iv.- Si A est un point fixe  RS, alors par la propriété d’antisymétrie
V g(P) = V (A  RS/RS’) + RS / RS '  AP ; P  S

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 19

5.2.3.- Exemple
(S)= cerceau de centre A et de rayon a : S / R =  k
(S’)= le plan horizontal fixe : RS’ = R. Alors on a :

V g(P) = V (A  RS/RS’) + RS / R  AP ; P  S

= x i + a  ( k  - j )= ( x + a  ) i
Remarque
* V (P  S/R) = V g(P)
* V (P  S’/R) =0
* V (P*/R) = x i

5.2.4.- si V g(P) = 0  t càd V (P  S/R) = V (P  S’/R) alors on dit que (S) roule sans
glisser sur (S’). En général cette condition réduit le nombre de variables (de degrés
de liberté). Dans le cas de l’exemple précédent, cette condition s’écrit : x+a  = cte

5.3.- Roulement et pivotement

Soient (S) et (S’) deux solides délimités par deux surfaces en contact ponctuel
au point P. Les plans tangents  S et  S’ en PS et PS’ se confondent (fig.4) et ont pour
normale n .

En décomposant le vecteur rotation  S/S’=  S/R -  S’/R. Suivant la normale n et

la tangente au plan  (t) nous obtenons :  S/S’=  t +  n, où  t est dit vecteur de
rotation de roulement et  n est appelé vecteur de rotation de pivotement.

6.- Mouvement plan

6.1.- Définitions
6.1.2.- Définition 1
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 20
 Un mouvement d’un solide S/R est dit plan si  un plan  S (S) qui reste
globalement en coïncidence avec un plan  fixe dans R
Exemple : (S)= cylindre de génératrice Cx qui roule sans glisser sur le plan horizontal
xoy.

Fig.5 : coupe dans le plan x=O : C = (x,y,z) est le centre de la section droite

 
 = (yoz) plan fixe dans R  O, i , j , k  k
 S =  C, er , e  plan globalement coincident avec  mais V (  S/  )  0
La position de  S par rapport à  est en général donné par 3 paramètres. Ici
par le vecteur plan OC et par l’angle  = i , OC 
6.1.2.- Définition 2
Un mouvement d’un solide S/R est un mouvement plan si  un vecteur n telque
le mvt de S/R soit constamment tangent à un mouvement de rotation uniforme d’axe
 engendré par n où a un mouvement de translation uniforme de vecteur vitesse 
n
Les deux définitions sont équivalentes. Dans l’exemple ci-dessus n = k

6.2.- Centre instantané de rotation CIR

Considérons un mouvement plan S/R et soient  un plan  n fixe dans R et  S
le plan constamment lié à la section de (S) par  . Supposons aussi que  S/R=   S/  
0.
6.2.1.- Définition
A tout instant t, les mouvements inverses  S/  et  /  S ont chacun un axe
instantané de rotation qui sont confondus à l’instant t et qui coupent  et  S en deux
points confondus I(t) et Is(t) appélés respectivement CIR de  S/  et CIR de  /  S.
6.2.2.- Base et roulante
L’ensemble des points I(t)   est appelé base du mouvement  S/  alors que
l’ensemble des points Is(t)   S est appelé la roulante.
6.2.3.- Propriétés du CIR
a.- V (I   S/  ) = 0
b.- La roulante roule sans glisser sur la base en I(t) CIR de  S/ 
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 21
Preuve : V (I   S/  ) = V (I   S/R) - V (I   /R) = 0 car I1 = I si I est un CIR
= V (I   S/R) car V (I   /R) = 0
d’où : V (I   S/R) = 0 et d’où : V g(I) = V (I   S/  ) = 0
6.3.- Détermination pratique du CIR
Soit   S/R=  n le vecteur rotation instantané de  S/R et soit Os un point fixe
arbitraire lié à  S. Exemple : Os origine du repère RS. On a :
V (I   S/  ) = V (Os/R) +  n  OS I
Multiplions vectoriellement par n nous obtenons : OS I = n  V (Os/R)/ 
Ainsi la connaissance du mouvement de  S/  , donc de V (Os/R) et  fournit
analytiquement IS.
Exemple : reprenons la fig.5 et cherchons le point CIR du mouvement de (S)/
y
Os =C, V (C/R)= y j , n = i  CI S = i  j =( y /  ) k

Par ailleurs sachant que le roulement en I est sans glissement càd
y + a  = 0  CI S =-a k
v.-   M  S alors la vitesse s’écrit : V (M   S/R)=   S/R=  IM
On déduit alors que pour M  I, le vecteur IM est normal au plan engendré par (
V (M/R),   S/R).

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 22

 CHAPITRE 3: CINETIQUE DU SOLIDE

La cinétique du solide ou cinématique des masses, est l’étude des mouvements

des masses du solide.
1.- Eléments d’inertie d’un système matériel
Les éléments d’inertie d’un système matériel sont le centre d’inertie G et la
matrice d’inertie I. Ces deux éléments jouent un rôle fondamental dans la formulation
des théorèmes généraux
1.1- Centre d’inertie
1.1.1.- Référentiels : On appelle centre d’inertie G (ou centre de masse c.m.) d’un
système matériel (  ) en mouvement dans un référentiel R(O, i , j , k ), le barycentre
des différents points P  (  ) affectés de leurs masses. Ainsi le centre G est donné
dans R par :
N N
i.- (  )=un système de N points matériels Mi : m OG (t)=  mi OM i (t),m=  mi la masse
i 1 i 1

totale
ii.- (  )=un solide (S) : m OG (t)= 
M S
dm OM i (t), m= 
M S
dm la masse totale

1.1.2.- Remarque : Le passage du discret au continu se fait comme suit :

N
mi = m(Mi)  dm(M),  ………  
i1 PS

Nous allons fixer notre attention sur le solide. Les relations qu’on va obtenir
ont leurs analogues pour le cas discret.
1.1.3.- Propriétés :
a.- distribution de masse d’un solide (S)
Il y a trois types de distributions
- linéique : dm(p) =  (P)dm
- surfacique : dm(p) =  (P)dm
- volumique : dm(p) =  (P)dm
b.- Dans le repère barycentrique RG=Rb=R(G, i , j , k ), le repère ayant pour origine G la
même base que R, l’équation du centre de masse s’écrit : 
M S
dm GM = 0

c.- si OG1 et OG2 sont respectivement les centres de masse des solides S1 et S2 en
mouvement dans R de masse m1 et m2 alors le centre de masse du système (S 1  S2)
est :
OG (t) =[m1 OG1 (t)+m2 OG2 (t)]/(m1+m2)
Cette propriété qui découle de la définition se généralise pour le cas de plusieurs
solides.
d.- Exemple de calcul du centre de masse de : (S1  S2)
S1 = ½ boule B(C,a) d’axe Oz
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 23
S2 = cône pleine d’axe Oz de hauteur h de base C(C,a)

i.- calcul de OG1 : on a x2+y2+(z-h)2  a2+h2, z  h

3
m1 OG1 =   OMdv , m1= (4/6)   a , OG = (0,0, h+3a/8)
S1
1

ii.- Calcul OG2 : tg  = a/h = r/z avec, x2+y2  r2 et z  h

2
h
a 2  a2h
m2 =      z dz =  , OG2 = (0,0,3h/4)
0 h z
 a3
iii.- centre de masse de (S1  S2), m=m1+m2=  (h+a)
3
3a 2 3h2
 a  ah  
3 3
3a 3h  2 2
m OG =(0,0, zG), avec zG =   ah    =
8 4
 a (h  a)  3 
2
8 4  h  a
Remarquons que : OG1 , OG2 et OG  l’axe Oz axe de symétrique de (S1  S2)
1.1.4.- Symétries matérielle
i.- Définition
On dit qu’un solide (S) possède un élément de symétrie matérielle (point, droite
et plan) si la distribution de masse en M est égale à celle en M’ symétrique de M par
rapport à cet élément de symétrie.
ii.- Exemples
- La boule B (O,a) admet O comme point de symétrie matériel

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 24

- la ½ boule d’axe Oz, le cône d’axe Oz admettent tous deux Oz comme axe de
symétrie : c’est un axe de symétrie de révolution.

iii.- Cas général

point symétrie axe de symétrie plan de
symétrie

iv.- Propriétés
- Si un solide admet un point A comme point de symétrie matérielle alors G coïncide
avec A. Exemple B(A,a).
- Si (S) admet un axe de symétrie matérielle  alors G  
Exemple : la ½ boule, le cône fig 1
- Si (S) admet un plan de symétrie matérielle  alors G  
Exemple : la ½ boule C  le cône fig 1

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 25

1.2.- Opérateurs d’inertie
1.2.1.- Définition
Soient C un point de  et u un vecteur de E ev associé à  l’opérateur d’inertie
en C du solide (S) est l’opérateur (C,S) défini par : u  (C,S) u = 
M S
CM  ( u 

OM )dm

N.B : Si S =  jSj  (C,  jSj) =  J (C, S )

j
j

1.2.2.- Propriétés
a.- L’application u  (O,S) u dm est linéaire
(O,S)( 1 u1 +  2 u2 ) = 1 (O,S) u1 +  2 (O,S) u2
b.- (O,S) est l’opérateur symétrique
v (O,S) u =  v  [( OM  ( u  OM ))dm =
S
 u  OM  .( v  OM )dm = u (O,S) v
S

1.2.3.- Matrice d’inertie

Etant symétrie et linéaire, l’opérateur (O,S) peut être représente par une
matrice 3x3 symétrique I(O,S) dans une base orthonormée ei  .
Dans la base cartésienne ( ex , ey , ez ), les éléments de matrice de I(O,S) sont
donnés par
Iij(O,S) = ei (O,S) e j = Iji(O,S)
Ou encore :
Ixx(O,S) = e x(O,S) e x, Iyy(O,S) = e y(O,S) e y, Izz(O,S)= e z(O,S) e z,
Ixy(O,S) = e x(O,S) e y = Iyx(O,S)
Ixz(O,S) = e x(O,S) e z = Izx(O,S)
Iyz(O,S) = e y(O,S) e z = Iyz(O,S)
Les éléments diagonaux de cette matrice sont appelés moments d’inertie par
rapport aux axes Ox , Oy et Oz respectivement. Les autres éléments sont appelés
produits d’inertie.
* expression des moments d’inertie
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 26
Fig.3

 e    ye  zey  dm
2
Ixx(O,S) = x  OM .( ex  OM )dm = z
S S


Ixx(O,S) =  y  z 2 2
 dm = A
S

De même on démontre que :

 
Iyy(O,S) =  x2  z 2 dm = B et Izz(O,S) = x
2

 y 2 dm = C
S S

Remarque : le moment d’inertie d’un point matériel de masse m/ à un axe  est I 

=md2 où d= HM , H est la projection orthogonale du point P sur  (fig.3)

* Produits d’inertie
Ixy(O,S) =  e
S
x 
 OM .( ey  OM )dm =   ye
S
z  zey   zex  xez  dm = -  xy dm = -F
S

C’est le produit d’inertie / aux axes Ox et Oy . De même manière, on a :

Ixz(O,S) =-  xz dm = -E, Iyz(O,S) =-  yz dm = -D
S S

v.- Moment d’inertie par rapport à un axe 

Le moment d’inertie / à une droite  passant par O et engendrée par le vecteur
unitaire u est donnée par la forme quadratique :

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 27

I  = u (O,S) u
qui s’écrit dans la base cartésienne ( ex , ey , ez ) où u (  ,  ,  ) avec  2+  2+  2=1
 A F E    
I  = (  ,  ,  )   F B  D     = A  2+B  2+C  2-2   D-2   E-2   F
 E D C    
  

C.- Axes principaux d’inertie

La matrice d’inertie I(O,S) étant réelle et symétrique est donc diagonalisable.
Soit ui  la base orthonormée où la matrice d’inertie I(O,S) prend la forme diagonale
J(O,S) :
 1 0 0 
-1 
J(O,S) = P I(O,S)P =  0 2 0 

0 0  
 3

Où les i sont les valeurs propres associées aux vecteurs propres ui et où P est la
matrice de passage de la base ei  à la nouvelle base ui  dite aussi base principale
d’inertie. La matrice J(O,S) est appelée matrice principale d’inertie. Les axes (O, ui )
sont les axes principaux d’inertie alors que les valeurs propres i sont les moments
d’inertie principaux correspondants.
Remarques :
i.- les valeurs propres sont solutions de l’équation caractéristique : det [I(O,S)-  I]
=0
En général on a 3 valeurs de  possibles :  1,  2,  3
ii.- si deux moments principaux d’inertie sont égaux, par exemple :  1 =  2, l’opérateur
J(O,S) est dit de révolution :

 0 0 

J(O,S) =  0  0 

0 0  
 3

Tout axe (O, u ) avec u = 1 u1 +  2 u2 est aussi un axe principal d’inertie de moment  .
iii.- Si les 3 moments d’inertie sont égaux  1=  2=  3=  , alors l’opérateur J(O,S) est
dit sphérique et tout axe (O, u ) avec u = i ui est aussi axe principal d’inertie de
moment  .

2.- Théorèmes associés au calcul de I(O,S)

2.1.- Théorème 1 de Koenig
2.1.1.- Enoncé :
L’opérateur d’inertie en un point O a d’un solide (S) est égal à la somme de
l’opérateur d’inertie en G du solide et l’opérateur d’inertie en O du centre d’inertie G
affecté de la masse totale de S :
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 28
I(O,S)= I(G,S)+ I(O,G{m(S)}
b.- Preuve : Soient G le centre de masse de (S) et m sa masse totale. Remplaçons OM
par OG + GM dans la définition de J(O,S) :
(O,S) u =  OG  GM   [ u  ( OG + GP )]dm
S

=  OG  [ u  ( OG + GP )]dm+  OG  [ u  GP ]dm+  GP  ( u  OG )dm+  GP  [ u  ( GP

S S S S

)]dm
= m OG ( u  OG ) + 0 + 0 + J(G,S) u = (O,G{m}) u + (G,S) u
N.B. : Dans la base ( ex , ey , ez ), J(O,G{m}) s’écrit comme (*)

2.2.- Théorème de Huygens

2.2.1.- Enoncé :
Le moment d’inertie d’un solide / à une droite  est égale au moment d’inertie
du solide / à la droite  G passant par G et // à  augmenté du moment d’inertie
qu’aurait toute la masse de (S) si elle était concentrée en G : I  (O,S) = I G (G,S) +md2
2
où d2 = GH avec H la projection  de G sur 
I  = u (O,S) u
Le théorème 1 de Koenig conduit à : I  = u (G,S) u + I  + u (O,G{m}) u
Soit encore en utilisant la notation  G = (G, u ) // à  passant par G
I  = IG +m u .[ OG  ( u  OG )] = IG +m u .[ OG  ( u  OG )]

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 29

 Pour calculer ( u  OG )2, on considère la base ( u , v , w ) orthonormé directe
ensuite on décompose OG = x u +y v +z w . On trouve : ( u  OG )2, = (y w - z v )2
=(x2+y2)=d2

2.3.- Règles de calcul de I(O,S)

La détermination de la matrice d’inertie I(O,S) est en général longue puisqu’elle
entraîne le calcul de (3+3) intégrales. On donne ici quelques règles facilitant le calcul
de I(O,S).
a.- Méthode de symétrie
i.- Si la droite (A, w ) est une droite de symétrie matérielle de S alors w est un
vecteur propre de I(C,S),  C  à la droite (A, w )  les produits d’inertie : D=E=0
càd :
 A F 0 
 
I(C,S) =   F B 0   C  à la droite (A, w )
 0 
 0 C u ,v ,w

Remarque : si de plus la droite (A, w ) est une d droite de symétrie matérielle de

révolution, alors les moments d’inertie A=B
Exemple : le cône de révolution /(O, k ). Fig. (4.1)
ii.- Si le plan  = (A, w )

S alors w est un vecteur propre de I(C,S)  C  à la droite (A, u , v ) est un plan de

symétrie matérielle pour S alors w = u  v est un vecteur propre de (C,S)    
D=E=0
iii.- Si le repère R = (A, u , v , w ) est tel que deux de ses axes soient droites de
symétrie matérielle pour S, alors il est principal d’inertie.
Preuve : soient (A, u ) et (A, v ) droites de symétrie matérielles

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 30

 u et v sont des v.p de (A,S) donc F=E=0 et D=E=0
Soit alors (A,S) est diagonale et donc w et v.p de (A,S).
iv.- Si le repère (A, u , v , w ) est tel que deux de ses plans soient plans de symétrie
matérielle pour (S), alors le repère (C, u , v , w ) est principal d’inertie  C  à
l’intersection des 2 plans.
Preuve : soient (A, u , v ) et (A, u , w ) 2 plans de symétrie matérielle de (S)  (C, w ) et
(C, v ) sont des v.p de (C,S), C  à l’intersection (A, u )  les produits d’inertie
E=D=0 et F=D=0 donc u est v.p de (C,S).

b.- Méthodes des moments d’inertie / à un plan et / à un point

i.- Définitions
*.- Le moment d’inertie par rapport à un plan  par exemple xoy est défini :
Ixoy =  z 2 dm
S

 OM dm = x 
2
*.- Le moment d’inertie par rapport à un point O : IO = 2
 y2  z 2
S S

dm
ii.- relation avec les moments d’inertie / aux axes : on a :

*.- Ixx =Ixoy + Ixoz =  y 2  z 2 dm etc… 
S

*.- IO =Ixoy + Iyoz + Izox = ½ (Ixx + Iyy + Izz)

Remarque : le théorème de Huyghens est valable aussi pour le cas des plans d’inertie
càd :
I (O) = I (G) + md2
où  (G) est le plan //  (O) et contenant G. d est la distance de G au plan  (O).
Preuve :

  n.OM 
2
I (O) = dm, n la normale à 
S

  n.OG  n.OG  dm = m  n.OG 

2 2
= + I (G)
S

2.4.- Exemples classiques

a.- La tige rectiligne homogène
Soit T une tige de longueur 2l voir fig.3.6

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 31

La matrice d’inertie en O est :
 I xx 0 0
I(O,T) =  0 0 0   C  à la droite (A, w )
0 
 0 I zz i , j ,k 
Avec
2l 3
  ml 2
*.- Ixx = x  y dm =   y dy =
2 2
=2

S S
3 3

x  ml 2
*.- Izz = 2
 y 2 dm =
S
3

b.- Le disque plan homogène D(O,R)  (xoy)

 A F 0 
 B 0 
I(O,D) =   F  C  à la droite (A, w )
 0 
 0 C  i , j , k 
N.B. : *.- D=F=O car le disque  au plan z=0
*.- Oy est un axe de symétrie matérielle  Oy est un axe principale d’inertie 
Ixy=Iyx = 0.
Il reste à calculer A, B et C. Pour cela remarquons que Oy est axe de symétrie
révolution  A=B

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 32

A= x 
 02 dm =  0 
 y 2 dm = D
2 2

D D

D’autre part, on a : A+B = C càd

2 R4
  mR2
C= x2  y 2 dm =   r 2 ds dm = =
D D 4 2
Donc :
1 0 0
  mR
2
I(O,D) =  0 1 0 
 0 0 2 4
 
c.- Cône homogène plein fig.4.8

A 0 0
I(G,D) =  0 A 0 
 0 0 C
  i , j ,k 
N.B :
i.- Gz axe de symétrie de révolution matérielle  axe principal d’inertie  (A=B)
ii.- (xGz) plan de symétrie matériel  Gy est principal d’inertie
iii.- (yGz) plan de symétrie matériel  Gx est principal d’inertie
3  1  3
On trouve A = m  R 2  h  , C = mR2
20  4  10

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 33

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 34
CHAPITRE 4: DYNAMIQUE DES SYSTEMES MATERIELS: THEOREMES
GENERAUX

4.1- Torseur cinétique Tc(  /R)

Appelons  un système de points matériels en mouvement dans  dont les
points sont repérés par R(O, i , j , k ). Le torseur cinétique de  /R noté Tc(  /R) est le
torseur ayant pour éléments de réduction l’impulsion totale de  /R : P (  /R) et le
moment cinétique totale L (  /R): Tc(  /R) = [ P (  /R), L (  /R)]

4.1.1.- Le vecteur quantité de mouvement de (  /R)

a.- Définition
Le vecteur quantité de mouvement (dit aussi impulsion) d’un système  de
points matériels en mouvement /R est défini par :
N
i.-  =: système discret de N points matériels : P (  /R) = m
i 1
i V (Mi   /R)

ii.-  = un solide (S) : P (S/R)= 

M S
dm V (M  S/R)

b.- Propriétés
i.- Si  est formé de plusieurs éléments  j :  =Uj  j alors : P (Uj  j/R)=  j P (  j/R)
ii.- Si m est la masse totale de  et G son cm alors on a : P (  /R) = m V (G/R)
 dOM   dOG   dGM 
En effet : P (  /R) =  dm   =  dm   +  dm  
 dt  R  dt R  dt  R
 dOM  d
P (  /R) =  dm   = V (G/R)  dm +  dm GM =m V (G/R) + 0 = m V (G/R)
 dt  R dt
iii.- dans le repère barycentrique : RG = Rb, l’impulsion totale est nulle : P (  /R) = 0
4.1.2.- Le vecteur L (  /R)
a.- Définition : le vecteur moment cinétique en un point C d’un système  en
mouvement dans R est défini par :

 V (Mi  /R)
N
*  = système discret : L (C,  /R) = m
i 1
i CM i

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 35

*  = un solide (S) : L (C, S/R) =  dm CM  V (M S/R)
S

Remarque :
1.- L (  /R) dépend du point où on le calcule alors que P (  /R) ne dépend que du
repère.
2..- Souvent on prend C confondu avec O origine du repère absolu, ou confondu avec G
origine du repère Rb.
b.- Propriétés :
i.- si  =Uj  j alors : L (C, Uj  j/R)=  j L (C,  j/R)
ii.- L (O,  /R) est un champ antisymétrique càd : L (O,  /R) = L (A,  /R) + OA  P ( 
/R)
Conclusion : Tc(  /R) = [ P (  /R), L (  /R)] est un torseur : c’est le torseur moment
cinétique ou torseur cinétique.
iii.- Si  est un solide alors on a :  C  
L (C, S/R) =I(A,S/R) S / R + m CG  V (A S/R)+ m CA  ( S / R  AG )
où A est un point qqc de (S), V (A  S/R) sa vitesse dans R, S / R le vecteur de rotation
instantanée de S/R, G le cm de S, m sa masse et I(A,S/R) sa matrice d’inertie au
point A.
Preuve : par définition
L (C, S/R) =  dm CM  V (M  S/R) =  dm CM  ( V (A  S/R)+ S / R  AM )
S S

= m CG  V (A S/R)+  dm ( CA + AM )  ( S / R  AM )
S

= m CG  V (A  S/R)+  dm CA  ( S / R  AM ) +  dm AM )  ( S / R  AM )
S S

= m CG  V (A S/R)+ m AG  ( CA  S / R ) + I(A,S/R) S / R

= I(A,S/R) S / R + m CG  V (A  S/R)+ m CA  ( S / R  AG )
iv.- Cas particuliers utiles
* Si C=A  Rs, on a : L (A, S/R) = I(A,S/R) S / R + m AG  V (A S/R)
* Si C= A  Rs, un point fixe dans R (origine du repère par exemple)
L (A, S/R) = I(A,S/R) S / R
* Si C=G on a : L (G, S/R) = I(A,S/R) S / R - m AG  ( S / R  AG )
* Si C=A=G alors on a : L (G, S/R) = I(G,S/R) S / R
Remarque : il faut noter que la quantité m AG  ( S / R  AG ) est l’image de S / R par
l’opérateur (A,G{m}
(A,G{m}):   m AG  ( S / R  AG ) = (A,G{m}) S / R
c.- Théorème 2 de Koenig
L (O, S/R) = L (G, S/R) + m OG  V (G/R)
qui n’est autre que la propriété d’antisymétrie de L . Notons aussi que :
L (G, S/R) = L (G, S/Rb) = I(G,S/Rb) S / R
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 36
4.1.3.- Exemple
Soit un solide S=S1US2 composé de 2 éléments : une tige T=S1 de masse m1 et
de cm G1 et de longueur l, solidaire à un disque D(c,a) de masse m 2 et de cm G2 et de
rayon a (fig.4.1) :

T={(O,c), OC = l}, T / R = D / R =  k
L’ensemble S=S1US2 = TUD tourne autour de l’axe Oz du repère absolu. Trouver
le torseur Tc(O,S/R) en O.
Réponse : d’abord il faut noter que
Tc(O,S/R) = Tc(O, S1US2/R) = Tc(O, S1/R) + Tc(O, S2/R)
a.- Calcul de Tc(O, S1/R)
i.- P (S1/R) = m1 V (G1/R) = m1 S1 / R  OG1 = m1[  k  is ] = m1  js
l l
2 2
ii.- L (O,S1/R) Koenig 2 L (G1,S1/R) + OG1  m1 V (G1/R)

 
0 0 0 
 A F 0   0    0 
     m1l 2   m l2
* L (G1,S1/R) = I(G1,S1/Rb) S1 / R =   F B 0   0  = 0 0  0  = 1  k
 12  12
 0       
 0 C   2
 0 0
m1l 

 12 
* OG1  m1 V (G1/R) = 1  is  js = 1  k
m l2 m l2
4 4
2
ml 1 l
Donc : L (O,S1/R) = 1  k et Tc(O,S1/R) = m1l  [ js , k ]
3 2 4
b.- Calcul de Tc(O, S2/R)
i.- P (S2/R) = m2 V (G2/R) = m2 S2 / R  OG2 = m2  k  OC = m2  k  is = m2l  js
ii.- L (O,S2/R) Koenig 2 L (G2,S2/R) + OG2  m2 V (G2/R)
1 
2 0 0
  0 
m2 a 2    m a2
0 0  = 2  k
1
* L (G2,S2/R) = L (C,D/R) = I(C,D/Rb) S2 / R = 0
2  2  2
   
 0 0 1

  Rs
* OC  m2 l  js = m2l2  k

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 37

 a2 2 a2 2
Donc : L (O,S2/R) = m2( + l )  k et Tc(O,S 2 /R) = m 2l  [l j s , ( +l )k ]
2 2
c.- Calcul de Tc(S/R)
m1 m1l 2 2 m2 a
2
P (S/R) =( m
+ 2 )l  j s et L (O,S1/R) = ( m
+ 2 l + )l  k
2 3 2

4.2.- Torseur dynamique TD

4.2.1.- Définition
Soit un système de points matériels  de masse totale m et de centre d’inertie
G en mouvement dans l’espace affine  repéré par R(O, i , j , k ). On appelle torseur
dynamique de  /R le torseur TD dont les éléments de réduction en un point C qqc sont
la résultante dynamique S (  /R) et le moment dynamique D (  /R) donnés par :
a.-  = système de N points matériels de masse mi
  (Mi/R)
N N
S (  /R) =  mi  (Mi/R), D (  /R) =
i 1
m
i 1
i CM i

b.-  = un solide (S)

S (  /R) =  dm  (M/R), D (  /R) =
S
 dm CM   (M/R)
S

5.2.2.- Propriétés de TD(  /R)

a.- S (  /R) = m  (M/R)
b.- relation avec TC(  /R)
Elle est donnée par :
 dP( / R)   dL(C,  / R) 
- S (  /R) =   , D (  /R) =   + m V (C/R)  V (G/R)
 dt R  dt R
Preuve : rappelons que le moment cinétique L (C,  /R) est par définition:
L (C,  /R) =  dm CM  V (M  S/R)
S

Dérivons par dans R, nous obtenons

 dL(C,  / R) 
  =  dm {- V (C/R)  V (M  S/R)+ CM   (M S/R)}
 dt R S
= -m V (C/R)  V (G/R)+ D (  /R)

Remarques :
i.- la relation b.ii.- donne la formule du moment dynamique en un point C mobile. Son
utilisation dans des problèmes est systématique.
ii.- les relations a.- et b.- font intervenir V (G/R) et  (G/R). C’est pour cela que dans
beaucoup de problèmes on commence par calculer les centres de masse de  .

c.- Conséquences
i.- Théorème 3 de Koenig

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 38

  dL(G,  / R) 
Si on pose C=G dans l’équation b.ii.- on obtient : D (G,  /R) =  
 dt R
Le théorème 3 de Koenig pour le moment dynamique s’énonce alors comme suit :
D (I,  /R) = D (G,  /R) +m IG   (G/R)
où I est un point qqc de . Par ailleurs sachant que
L (G,  /R) = L (G,  /Rb) on peut écrire le théorème 3 sous la forme :
D (I,  /R) = D (G,  /Rb) +m  (G/R)  IG

ii.- Si C est un point fixe dans R alors l’équation b.ii.- se réduit alors a :
 dL(C,  / R) 
D (C,  /R) =  
 dt R
 dT (C,  / R) 
Dans le cas où , V (G/R) = 0 nous avons : TD (C,  /R) =  C 
 dt R
5.2.3.- Exemple :
Dans l’exemple du paragraphe 4.1.3.- nous avons calculé les éléments de
réduction en O origine de R du torseur TC (S/R) :
m m l2 m a2
P (S/R) =( 1 +m2)l  js et L (O,S1/R) = ( 1 +m2l2+ 2 )l  k
2 3 2
Les éléments de réduction en O du torseur dynamique TD (C,  /R) sont obtenus
en utilisant a.- et c.ii.- du paragraphe 5.2.2.-
 dP(S / R) 
 = ( +m2)l  js + RS / R  P(S / R)
m1
i.- - S (S/R) = 
 dt R 2

+m2)l[  js +  k  js ] = (
m1 m1
=( 2
+m2)l[  js -  is ]
2
2 2
 dL(O, S / R)  m1l 2 2 m2 a
2
ii.- D (O,  /R) =   = ( m
+ 2 l + )l  k
 dt R 3 2
4.3.- Energie cinétique Ec
4.3.1.- Définition
L’énergie cinétique, à l’instant t, d’un système  de points matériels dans son
mouvement/R s’écrit :
N
1
a.-  = système de N points matériels de masse mi : Ec(  /R) =  mi V 2 (Mi/R)>0
i 1 2

1
b.-  = un solide (S) : Ec (  /R) =  dm V 2 (M/R)>0
S
2
5.3.2.- Propriétés de Ec(  /R)
N
a.- Ec(Ui  i/R)=  Ec( / R)
i 1
i

b.- Relation avec le torseur cinétique

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 39

 Dans le cas d’un solide  =(S), l’énergie cinétique Ec(S/R) peut se mettre sous la
forme : 2Ec(  /R) = m V (G/R). V (A  S/R)+ RS / R . L (A,S/R)
où A est un point qqc de (S). L’équation ci-dessus peut-être exprimée comme le
comoment des torseurs vitesse et cinétique : 2Ec(S/R) = (Tc(S/R).TV(S/R))
Preuve : En partant de la définition de Ec(S/R) et en utilisant la relation
d’antisymétrie de V (S/R), on trouve :
2Ec(S/R)=  dm V (M/R).[ V (A  S/R)+ RS / R  AM ]
S

= P (S/R) V (A  S/R)+ RS / R  dm [ AM  V (M/R)]

S

c.- Conséquences de b.-

1t
i.- Si A  Rs est fixe dans R, alors : Ec(S/R)= RS / R . L (A,S/R)
2
Soit encore en utilisant les relations du paragraphe 5.1.2
1 1
Ec(S/R)= t RS / R . L (A,S/R) = t RS / R I(A,S/R) RS / R
2 2
ii.- Théorème 4 de Koenig pour Ec(S/R)
Substituons A par G le cm de (S) dans l’équation b.- de 4.3.2. nous obtenons :
1
Ec(S/R)=Ec(S/Rb) + m V 2 (G/R)
2
1
Ec(S/Rb) = t RS / R I(G,S/Rb) RS / R
2
5.3.3.- Exemples
a.- Exemple 1
Reprenons l’exemple du solide S=TUD en mouvement dans R du paragraphe
5.1.3.- et calculons son énergie cinétique Ec(S/R).

On a :
Ec(TUD/R)=Ec(T/R) + Ec(D/R)
 A 0 0  0 
  
1
Avec : Ec(T/R) Koenig 4 Ec(T/Rb) + m1 V (G1/R) =
2
2 1
2

 1
0,0,  0 B 0   0  + m1
2
 0 0 C   
 Rs  
2
 l 
 
2
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 40
 1 1 1 1 1
= C  2 + m1l2  2= m1l2  2 + m1l2  2 = m1l2  2
2 8 24 8 6
 A 0 0  0  2
  1  l 
1
ii.- Ec(D/R) Koenig 4 Ec(D/Rb) + m1 V (G2/R)=
2

1
  
0,0,  0 B 0   0  + m2  
2 2  0 0 C    2 2
 Rs  
1 2 1 2 2  a2 l 2  2
= C  + m2l  =m2    
2 2  4 2
Donc
1  a2 l 2  1  l2 a2 
Ec(TUD/R)=Ec(T/R) + Ec(D/R)= m1l2  2 + m2     2 =  m1  m2  m2l 2   2
6  4 2 2 3 2 
b.- Exemple 2
Considérons le système S=TUD constitué d’une tige T et d’un disque articulé au
centre C du disque D(c,a). Fig.5.2

 T/R =  k et  D/R =  k
 et  sont 2 degrés de liberté indépendantes
1 1
OC = OG 2= l is , OG 1 = l is  V (G1/R) = l  js , V (G2/R) = l  js
2 2
Calculons Tc(O,S/R), TD(O,S/R) et Ec(S/R)
i.- Tc(O,S/R) = Tc(O,T/R) + Tc(O,D/R)
* Tc(O,T/R) = [ P (T/R), L (O, T/R)]
1
- P (T/R)= m1l  js
2
- L (O, T/R) Koenig 4 L (G1, T/R) + m1 OG 1  V (G1/R) = m1l2  k + m1
1 1 l l 1
k=
12 2 2 2 3
2
m1l  k
* Tc(O,D/R) = [ P (D/R), L (O, D/R)]
- P (D/R)= m2l  js

- L (O, D/R) Koenig 4 L (G2, T/R) + m2 OG 2  V (G2/R) = m2l2  k + m2l is 

1
js
2
m a 2

=  2   m2l 2 2  k
 2 
ii.- TD (O,S/R) = TD(O,T/R) + TD (O,D/R)
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 41
* TD(O,T/R) = [ S (T/R), D (O, T/R)]
1 l
- S (T/R)= m1 [  js -  2 is ]
2 2
 dL(O, T / R)  1 2
- D (O, T/R) =   (O fixe dans R)= m1l  k
 dt R 3
* TD(O,D/R) = [ S (D/R), D (O, D/R)]
- S (D/R)= m2l[  js -  2 is ]
 dL(O, D / R)   m2 a 2 
- D (O, D/R) =   (O fixe dans R : (O/R) = )= 
V 0   m2l 2  k
 dt R  2 

iii.- Ec(S/R) = Ec(T/R) + Ec(D/R)

1 1
* Ec(S/R) Koenig 4 Ec(T/Rb) + m1 V 2 (G1/R) = m1l2  2
2 6
1 1 1
* Ec(D/R) Koenig 4 Ec(D/Rb) + m2 V 2 (G2/R) =  D/RI(C,D/R)  D/R + m2l2  2
2 2 2
2
1 m2 a 1
=  2 + m2l2  2
2 2 2
1 1 m a2
Ec(S/R) = Ec(T/R) + Ec(D/R) = m1l2  2 + m2l2  2 + 2  2
6 2 2

4.4.- Torseur force TF(  /R)

4.4.1.- Notion de force
Tout effort exercé sur un point matériel M   s’appelle force. Cette dernière
est représentée par un vecteur f (M). Pour  ={Mi} un système discret de points
matériels, l’effort total ou force totale F (  /R) exercée sur  dans R est la somme
des forces élémentaires f (Mi).= f i. : F (  /R) =  fi . Cependant pour  un système
i

continu, le solide par exemple on parlera plutôt de densité massique de force : f

(M)=d F (P)/dm. La force totale s’exerçant sur S dans R est la résultante F (S/R)
donnée par : F (S/R)=  f ( P)dm
PS

Remarque : on distingue deux types de forces :

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 42

i.- forces extérieures : ce sont des forces exercées sur  par le milieu extérieur
ii.- forces intérieures : ce sont des forces d’interaction entre les éléments de même
système  .
4.3.2.- Torseur force
a.- Définition
On appelle TF(  /R) torseur force s’exerçant sur le système  en mouvement
dans R, le torseur ayant pour éléments réduction en O :
i.-  = système de N points matériels de masse mi : TF(O,  /R) = [ F (  /R), M (O, 
/R)], où M (O,  /R)] est le moment résultant des forces agissant sur  donné par :

 OM 
N
M (O,  /R)] = i fi
i 1

ii.-  = un solide (S) : TF(O,S/R) = [ F (S/R), M (O,S/R)] où M (O,S/R)] est le moment

résultant des forces agissant sur  donné par : M (O,  /R)] =  OM  f (M )dm =
S

 OM  dF
S

b.- Exemple : torseur poids : TP(S/R)

Soit (S) un solide de masse m de cm G soumis à l’effet de la pesanteur de
densité massique de force g . Le torseur poids correspondant s’écrit O :
TP(O,S/R) = [ P (S/R), M (O,S/R)] :

Où : P (S/R) =  g (M )dm = m g , si
S
g =cte

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 43

  
M (O,S/R)] =  (OM  g )dm =   dmOM   g = OG  p
S S 
c.- Torseurs des forces extérieures TFext(  /R) et intérieures TFint(  /R)
Soit Pi un point matériel de  en mouvement dans R. La force f (Pi)= fi qui agit
sur ce point est en fait la somme de 2 termes :
 
fi = f (  -{Pi}  Pi) =  f Pj   Pi =  fij
j i j i

Les torseurs forces TFext(  /R) et TFint(  /R) associés aux forces extérieures
et intérieures
fiext(  /R) et fiint(  /R) ont respectivement pour coordonnées en O
TFext(  /R) = [ F ext(  /R)= fiext(  /R), M ext(O,  /R)=  OPi  fi ext ]
i
int
TF (  /R) = [ F int int
(  /R)= fi (  /R), M int
(O,  /R)=  OP 
i, j
i fij ]

Ces formules peuvent être généralisées au cas du solide.

4.4.- Principe fondamental de la dynamique

Le principe fondamental de la dynamique d’un système matériel  en
mouvement dans  exprime la relation entre les éléments cinétique Tc et dynamique
TD de  /R d’une part et le torseur des forces extérieures TFext(  /R) qui s’exercent
sur  .
4.4.1.- Enoncé du principe
Dans tout espace temps galiléen R et pour tout système matériel  en
mouvement dans R, le torseur dynamique est égal au torseur des forces extérieures
c'est-à-dire: TD(  /R)=TFext(  /R)
Remarque : deux référentiels R et R’ espace temps sont dit galiléens si :
V (R’/R)= cte et  R’/R = 0
Exemple : cas du point matériel et la loi de Newton
Dans un espace temps galiléen R, le torseur dynamique d’un point matériel M de
masse m est donné par le glisseur : TD(M/R) = [m  (M/R), m OM   (M/R)]
Le torseur des forces extérieures agissant sur M est le glisseur
TFext(M/R) = [ F ext(M/R), OM  F ext]
Le principe fondamental est donc équivalent vectoriel de :
Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 44
F ext = m  (M/R) : connue sous le nom de loi de Newton.

4.4.2.- Théorèmes associés au principe fondamental

Partant de l’énonce du principe fondamental de la dynamique exprimant l’égalité
TD(  /R) = TFext(  /R), nous obtenons les conséquences suivantes :

a.- Théorème de la résultante dynamique

La résultante générale F ext(  /R) des forces extérieures agissant sur tout
système matériel  en mouvement dans R est égale à la résultante dynamique de 
dans R
F ext(  /R)= m  (G/R)
b.- Théorème de la résultante dynamique
Si O est un point fixe dans R, la dérivée du moment cinétique en O de tout
système matériel  en mouvement dans R est égale au moment en O du torseur des
 dL(O,  / R)  ext
efforts extérieurs :   = M (O,  /R)
 dt R
Remarques : i.- le théorème b.- dépend du point O où on calcule L et M ext. Si au lieu
de O, on calcule L et M ext en un point O’ qqc de  alors le théorème b.- se généralise
comme suit :
 dL(O ', / R) 
  mV (O '/ R)V (G / R) = M ext(O’,  /R)
 dt R


D (O’,  /R)
 dL(G, / Rb ) 
ii.- Si O’=G, on trouve la relation fort utile :   = M ext(G,  /Rb)
 dt Rb
qui exprime le théorème du moment cinétique d’un système matériel  en mouvement
autour de G cm de  .

iii.- Théorème du moment cinétique / à un axe fixe (O, u ), fixe dans R

Partons du théorème b.- calculé en O origine de R et multiplions scalairement
par u :
 dL(O,  / R)  d
u  =  
uL(O,  / R) = u M ext(O,  /R) 
d
 
uL(O,  / R) = u M ext(O,  /R)
 dt R dt dt
R R

5.4.3.- Théorème de l’action –réaction

a.- Enonce :

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 45

 1 et  2 étant deux systèmes matériels sans partie commune, le torseur des forces
exercées par  1 sur  2 et le torseur forces exercées par  2 sur  1 sont opposés.

Preuve :
Soit un système matériel 
 =  1U  2 composé de 2 éléments  1 et  2 sa partie matérielle commune et les
torseurs forces suivants
i.- TF(  1   2/R) = TF12 : torseur des forces exercées par  1 sur  2 dans R
ii.- TF(  2   1/R) = TF21 : torseur des forces exercées par  2 sur  1 dans R
iii.- TF1(  1/R) et TF2(  2/R) sont les torseurs forces extérieures exercées sur  1 et
sur  2 respectivement par le milieu extérieur à  .
Donc le torseur des forces extérieures exercées sur  1 (resp sur  2 ) est :
TF(  1/R) = TF1 + TF21
TF(  2/R) = TF2 + TF12
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à  1,  2 et à  =  1+  2
s’écrit alors :
TD(  1/R) = TF1 + TF21
TD(  2/R) = TF2 + TF12
TD(  1U  2) = TF1 + TF2
En comparant , on tire que
TF(  1   2/R) = - TF(  2   1/R)
b.- Conséquences
i.- lorsque  1 = {M1} et  2 = {M2} sont réduits à un point matériel on obtient le
résultat évident : F12 + F21 = 0
ii.- En généralisant cette propriété pour tout les points de  1 et  2, on déduit que le
torseur des forces intérieures est nul :
TFint(  /R) =0
Ces résultats se généralisent au cas d’une distribution continue de matière
5.4.4.- Cas des référentiels non galiléens
a.- Proposition
Le torseur dynamique de tout système matériel  dans son mouvement / à un
référentiel non galiléen R’ est égal à la somme du torseur des forces extérieures

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 46

TFext(  /R) et de 2 torseurs (TD)e et appelés (TD)C :torseurs d’inertie d’entraînement
et de Coriolis respectivement : TD(  /R’) = TFext(  /R) + (TD(  /R))e + (TD(  /R))C
Preuve : Soit  un système matériel en mouvement / à 2 référentiels R et R’ non
galiléen (fig4….), càd :  R’/R  0 et  R’/R  0

 (Mi   /R) =  (Mi/R’) +  e(Mi) +  c(Mi)

 dR '/ R 
 e(Mi) =  (O’/R) +  R’/R  (  R’/R  O ' M i )+    O ' M i ,  c(Mi) = 2  R’/R  V (Mi/R’)
 dt R
Soient les torseurs suivants
  (Mi/R)]
N
TD(A   /R) = [m  (G   /R), D (A,  /R ) = m
i 1
i AM i

  (Mi/R’)]
N
TD(A   /R’) = [m  (G   /R’), D (A,  /R’) = m
i 1
i AM i

  e(Mi/R)]
N N
TD(A   /R)e = [-  mi  e(Mi/R), D e(A,  /R ) = -  mi AM i
i 1 i 1

  e(Mi/R)]
N N
TD(A   /R)c = [-  mi  c(Mi/R), D c(A,  /R ) = -  mi AM i
i 1 i 1

D’après le principe fondamental de la dynamique :

TD(  /R) = (TD(  /R’)) - (TD(  /R))e - (TD(  /R))e = TFext(  /R)
Il s’ensuit alors : TD(  /R’) = TFext(  /R) + (TD(  /R))e + (TD(  /R))C
b.- Remarques
i.- si  R’/R = 0
N
- ( S e)= m
i 1
i  (O’/R) =  (O’/R)

- ( S c)= 0
ii.- Théorèmes de la résultante dynamique et du moment cinétique
S (  /R’) =  (G/R’) = F ext + S e + S C
D (A,  /R’) = M ext(A,  /R’) + D e(A,  /R’) + D C(A,  /R’) : A point quelconque de R’
Si A est fixe dans R’ : D (A,  /R’)= M ext(A,  /R’)+ D e(A,  /R’)+ D C(A,  /R’)=
 dL( A,  / R ') 
  .
 dt R '

Par DAWOUA KAOUTOING Maxime 47