Master 1 Informatique Et Mathématiques Complexité Et Calculabilité - Feuille D'exercices N 1

Université de Limoges Année universitaire 2015-2016
Faculté des Sciences et Techniques
Master 1 Informatique et Mathématiques

Complexité et calculabilité - Feuille d’exercices no 1
Langages et dénombrabilité
Exercice 1. Soit A = {a, b, . . .} un alphabet. On note · l’opérateur de concaténation des mots. Si E1
et E2 sont deux ensembles de mots, on note E1 · E2 , l’ensemble des mots de la forme m1 · m2 , avec
mi ∈ Ei , (pour i ∈ {1, 2}). Si n ∈ N>0 , on note an = a · a · · · · a (n occurrences de a). Par convention,
N
a0 est le mot vide, noté ε. On note a∗ l’ensemble des mots de la forme an , pour n ∈ , de sorte qu’il
est facile de vérifier que a∗ = {a}∗ . De façon plus générale, si m est un mot, mn = m · m · · · · · m est
le mot composé de la concaténation de n copies de m.
1. Montrer que a∗ · b∗ 6= (ab)∗ .
2. Montrer que {a, b}∗ 6= (ab)∗ .
3. Montrer que a∗ · b∗ $ {a, b}∗ .
Exercice 2. Soit M un sous-ensemble de N. Montrer que M est dénombrable.
Exercice 3. Soit f une surjection de N vers un ensemble A. Montrer qu’il existe une injection de A
dans N. En déduire que si A est infini, il existe une bijection entre A et N.
Exercice 4. Soit A un alphabet. L’ensemble A∗ est-il dénombrable ? L’ensemble des langages fondés
sur A est-il dénombrable ?
Exercice 5.
1. On souhaite montrer que l’ensemble B des suites binaires infinies n’est pas dénombrable. Si l’on
suppose que B est dénombrable, comment peut-on, par un procédé diagonal, construire une suite
binaire qui n’appartient pas à B et engendrer ainsi une contradiction ?
2. En déduire que l’ensemble des parties d’un ensemble infini dénombrable n’est pas dénombrable.
Machines de Turing
Exercice 6. UneP machine de Turing binaire est une machine de Turing sur l’alphabet {0, 1}. Soit
n ∈ N>0 et n = ki=1 bi 2i (avec bk 6= 0) sa décomposition en base 2. On représente n sur la bande de
la machine par la suite des bits b0 , b1 , · · · , bk , écrits de gauche à droite.
Par exemple 11 = 1 + 2 + 8 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 sera noté 1101.
1. Construire une machine de Turing binaire réalisant la multiplication par 2 d’un entier non nul.
Comment traiter le cas de zéro ?
2. Construire une machine calculant le reste et le quotient de la division d’un entier n par 2. On peut
supposer n > 1.
Exercice 7. Écrire une machine de Turing binaire à une bande permettant de dupliquer le mot d’entrée.
La copie sera séparée du mot d’entrée un espace.
Exercice 8. [Examen 2012] Soit A = {a, b} un alphabet et L = {an · bn | n ∈ N} le langage des mots
formés d’un nombre n de “a” suivis d’un nombre n de “b”. Donner la table de transitions d’une machine
de Turing à une bande qui termine dans un état acceptant si le mot d’entrée est dans L et dans un état
rejetant sinon (on dit que cette machine décide le langage L). La tête sera initialement positionnée sur
le symbole le plus à gauche du mot si le mot est non vide et sur le symbole si le mot est vide (cas
n = 0). Indications: si n > 0, an bn = a(an−1 bn−1 )b. On s’autorise à modifier le mot d’entrée.
Machines à registres
N
Exercice 9. Soit m ∈ , construire une machine à registres contenant m dans R1 au début de l’exécution
et retournant 0 quelque soit la valeur de m.
Exercice 10. Supposons que m > n soient deux entiers positifs. Construire une machine à registres
calculant m − n.
N
Exercice 11. Soient m et n ∈ . Construire une machine à registres contenant m dans R1 et n dans
R2 au début de l’exécution et qui contient n dans R1 et m dans R2 à la fin de l’exécution.
Exercice 12. Proposer une machine à registres permettant de calculer le reste et le quotient de la division
d’un entier n par 2.
Exercice 13. Décrire une machine à registres permettant de calculer le produit de deux entiers naturels.

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1. Montrer que a∗ · b∗ 6= (ab)∗ .

2. Montrer que {a, b}∗ 6= (ab)∗ .

3. Montrer que a∗ · b∗ $ {a, b}∗ .

Exercice 2. Soit M un sous-ensemble de N. Montrer que M est dénombrable.

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