Complexe Série Numéro 2

Complexe N° 2, 2023/2024 mohamedjlaiel@gmail.
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Dans tous les exercices, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O, u , v ( )
Exercice 1. Corrigé en vidéo
  
Soit    − ,  .
 2 2
1) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes l’ équation :
2ei z ² − (1 + iei ) z + ei + i = 0 . On notera z’ et z’’ tel que z’ imaginaire
2) Ecrire z’’ sous forme exponentielle.
  
3) Déterminer l’ensemble des points M’’ d’affixe z’’ lorsque  décrit  − , 
 2 2
Exercice 2. 2. Corrigé en vidéo
  
1) Résoudre l’équation E : z 2 − (2i + 2 cos )z + 2iei + 1 = 0 .   − ,  .
 2 2
2) Soient les points A, B, M’et M’’ d’affixes respectives z A = i , z B = 1+ 2i
z ' = e i et z' ' = e i ( − ) + 2i .
  
Soit  l’ensemble des points M’’ lorsque  varie dans − , 
 2 2
Montrer que B   . En déduire l’ensemble 
3) Montrer que z"−i = z '−i . Quelle est la nature du triangle AM’M’’
4) Déterminer en fonction de  le module et un argument de z'−i .
5) Déterminer en fonction de  une mesure de l’angle AM ", AM ' ( )
6) En déduire  pour que AM’M’’ soit un triangle équilatéral
( ) (
1) Soit l’équation ( E ) : z 3 − 2 3 + i z 2 + 4 1 + i 3 z − 8i = 0 )
On note z 0 , z1 , z 2 les solutions de (E). Posons S = z 0 + z1 + z 2 et p = z 0 z1 z 2
(
a) Montrer que S = 2 3 + i et P = 8i . )
b) Montrer que (E) admet une solution imaginaire z0 que l’on précisera.
c) En déduire, sous forme exponentielle, les solutions z1 et z 2
2) Soit l’équation E : z 3 − 2e i ( ) ( )
3 + i z 2 + 4e i 2 1 + i 3 z − 8ie i 3 = 0 .   R
a) Montrer que ze i ( − ) solution de E si et seulement si z solution de E
( )
b) Résoudre alors l’équation E ': z 3 + 2 3 + i z 2 + 4 1 + i 3 z + 8i = 0 ( )
A tout point M d’affixe z non nul, on associe le point M’ d’affixe z ' = f ( z ) tel
2
que z ' = 2 − . Soit N le symétrique de M par rapport à O, u
z
( )
On donne les points A d’affixe a = 1 + i et B d’affixe b = 2
1) Montrer que ON. BM ' = 2 et que les vecteurs ON et BM ' sont
colinéaires
2) Déterminer l’image du cercle trigonométrique  par f
3) Donner une construction géométrique du point M’ tel que M  
(
4) Dans cette question, M  et u , OM   2 .  ]0,  ] . )
a) Ecrire z’ sous forme exponentielle
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b) Déterminer la valeur de  pour que O, A et M’ soient alignés

( )
5) On considère les équations (E ) : ( z − 1) = iz 3 et (E ') : z'3 = 8i
3
a) Montrer que ( z’ solution de (E’) si et seulement si z solution de (E)

b) Montrer que si z 0 solution de (E) alors 1 − z0 − z0 = 0 .
  
6) On pose z0 = re i avec    − ,  .
 2 2
1
a) Montrer que r =
2 cos
b) En déduire les valeurs possibles de 
Exercice 5.
Soit A le point d’affixe 1. f l’application de P dans P qui à tout point M
d’affixe z on associe le point M’ d’affixe z’ tel que z' = 2z − z ²
1) Déterminer l’ensemble (E) des points invariants par f
2) M est maintenant sur le cercle trigonométrique.
a) Vérifier que AM = MM’ et montrer que OM et AM ' sont
colinéaires.
b) En déduire que les points A et M ' sont symétriques par rapport à la
tangente en M au cercle trigonométrique
c) Donner une construction géométrique de M’ connaissant M
   
3) Soit B le point d’affixe zB = 1 + iei .    0,  
  2 
a) Déterminer l’ensemble des points B
b) Résoudre l’équation 2z − z ² − 1 = e i 2
4) Dans cette question, on prendra  =  . Soit Q(x, y ) un point du cercle 
de centre O passant par B. Soit F et G les points tel que QBFG carré de
sens direct.
a) Montrer que : z F = zG .
b) Montrer que zG = (1 + x + y ) + i(1 − x + y ) .
c) En déduire zG en fonction de y
5) Soit r un réel strictement positif. On désigne par  et ' les cercles de même
centre A et de rayon respectivement r et r ²
a) Montrer que f (  )   ' .
b) Résoudre l’équation E : 2 z − z ² = 1 + r ²ei 2 .
c) En déduire que f (  ) =  ' .
d) Donner les solutions de E sous forme exponentielle lorsque r = 1
6) Soit  un réel différent de  + 2k . k  Z
 2z − z²    
a) Montrer que :  = e i  si et seulement si  z = −1 − i tan  
 z² − 4    2 
b) Résoudre alors l’équation dans C : 2 (2 z − z ² )3 = (− 1 + i )(z ² − 4)3
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b) Déterminer la valeur de  pour que O, A et M’ soient alignés

a) Montrer que ( z’ solution de (E’) si et seulement si z solution de (E)

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