Calcul de Determinant
Calcul de Determinant
Calcul de Determinant
Calculs de déterminants
Partie I
Soit ∆n le déterminant de la matrice carrée d’ordre n formée de la manière suivante: les éléments
de la diagonale principale sont égaux à a, ceux au dessus de la cette diagonale valent b et enfin
ceux en dessous de la diagonale valent c.
a b b
a b
Ainsi : ∆1 = a , ∆2 = et ∆3 = c a b
c a
c c a
1. Calculer ∆2 et ∆3
2. (a) Calculer ∆n dans les cas a = c et a = b
(b) Calculer ∆n dans le cas où b = c
3. On suppose b 6= c et n > 3.
(a) Établir que
∆n = (2a − b − c)∆n−1 − (a − b)(a − c)∆n−2
Indication : On pourra par exemple opérer avec les deux dernières colonnes puis faire la même manipulation
sur les lignes.
Partie II
Dans cette partie a1 , · · · , an désignent n réels. On désire calculer le déterminant Dn de la matrice carrée d’ordre n
formée de la manière suivante : Les coefficients diagonaux sont les a1 , · · · , an , les coefficients au dessus de la diagonale
sont égaux à b tandis que ceux en dessous de la diagonale valent c.
a1 b b
a1 b
Ainsi D1 = a1 , D2 = et D3 = c a2 b
c a2
c c a3
4. Dans un premier temps, nous supposons b 6= c . On pose Dn (x), le déterminant de la matrice obtenue en ajoutant
x à tous les coefficients de la matrice définissant Dn .
···
a1 + x b + x b + x
..
..
c + x a2 + x . .
Ainsi Dn (x) = .
.. . .. . ..
b + x
c+x ··· c + x a n + x
(a) Montrer que Dn : x 7−→ Dn (x) est une fonction affine, c’est-à-dire qu’il existe α, β ∈ R tel que pour tout
∀x ∈ R, Dn (x) = αx + β.
(b) Calculer α et β en évaluant Dn (x) pour des valeurs judicieuses de x .
(c) En déduire l’expression de Dn
5. On désire calculer Dn dans le cas où b = c
(a) On fixe le paramètre c et on fait varier le paramètre b dans R. Établir que Dn apparaît alors comme une
fonction continue de la variable b variant dans R.
(b) En déduire la valeur de Dn dans le cas où b = c.
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Problème de mathématiques: MPSI Correction
Calculs de déterminants
Partie I
1. ∆1 = a, ∆2 = a2 − bc et ∆3 = a3 + b2 c + bc2 − 3abc
2. (a) Dans le cas a = c. Avec les opérations Ln ← Ln − Ln−1 , · · · , L2 ← L2 − L1
a b ··· b b
a b · · · b
0 a − b 0 ··· 0
.
a a . . . ..
.. .. ..
∆n = . . = 0 0 . .
.
.. .. . . . b .
. .. ..
. a−b
a a · · · a .
. 0
0 0 ··· 0 a − b
n−1
donc ∆n est le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure, soit ∆n = a (a − b)
n−1
Dans le cas a = b, en transposant et on obtient ∆n = a (a − c)
(b) L’opération C1 ←− C1 + · · · + Cn donne
a + (n − 1)b b · · · ··· b 1 b ··· ··· b
a + (n − 1)b a b ..
1 ..
. a b .
∆n = a + (n − 1)b b . . .
.. .. = (a + (n − 1)b)
.. .. ..
. . 1 b . . .
.. .. . . .
. .. ..
. .
. . a b . . a b
a + (n − 1)b b · · · b a 1 b ··· b a
Puis les opérations L2 ← L2 − L1 , · · · Ln ← Ln − L1 donnent
1
b ··· ··· b
0 a − b 0 ··· 0
. .. .. ..
∆n = (a + (n − 1)b) ..
n−1
0 . . . = (a + (n − 1)b) (a − b)
..
. a−b
0 0
0 · · · ··· 0 a − b
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Problème de mathématiques: MPSI Correction
Calculs de déterminants
d’où
c(a − b)n − b(a − c)n
∆n =
c−b
Partie II
4. (a) En retranchant la première colonne à toutes les autres colonnes, on fait disparaître les x des colonnes
C2 , · · · , Cn , On obtient
a1 + x b − a1 · · · · · · b − a1
c + x a − c b − c ··· b − c
2
. .. .. ..
. . .
Dn (x) = . 0 .
. . .. ..
. . . . b−c
. .
c+x 0 ··· 0 an − c
On utilise la linéarité par rapport à la première colonne, on obtient donc
1 b − a1 ··· · · · b − a1 a1 b − a1 · · · ··· b − a1
1 a − c b − c ··· b − c c a − c b − c ··· b − c
2 2
. .. .. .. . .. .. ..
.
Dn (x) = x . 0 . . . + .. 0 . . .
. .. . ..
.. .. .. ..
. .
. . b−c . . b−c
. . . .
1 0 ··· 0 an − c c 0 ··· 0 an − c
| {z } | {z }
=α =β
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Problème de mathématiques: MPSI Correction
Calculs de déterminants
n
Y n
Y
c (ai − b) − b (ai − c)
i=1 i=1
(b) Pour b 6= c, on a Dn = Dn (0) = β = , donc
c−b
n
Y n
Y
c (ai − b) − b (ai − c)
i=1 i=1
Dn = lim
b→c c−b
Yn n
Y
n
(ai − b) − (ai − c)
Y i=1 i=1
= lim (ai − b) − b
b→c
i=1
b−c
n
Y n
Y
n n
(ai − b) − (ai − c) n Y
n
Y Y i=1 i=1
X
Mais lim (ai − b) = (ai − c) et lim =− (ai − c).
b→c
i=1 i=1
b→c b−c i=1 j=1
j6=i
Finalement, quand b = c :
n
Y n Y
X n
Dn = (ai − c) + c (ai − c)
i=1 i=1 j=1
j6=i
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