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    Dérivation: Partie 1: Coefficient Directeur D'une Droite (Rappel)

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    Francel Kiaku

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    DÉRIVATION – Chapitre 1/2


    Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifiait « détourner un cours d’eau ».
    Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813)
    pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction.

    Partie 1 : Coefficient directeur d'une droite (Rappel)

    Le coefficient directeur de la droite (AB) est


    égal à :
    5−3 2
    =
    4−1 3

    Le coefficient directeur de la droite (CD) est


    égal à :
    −1 − 1 −2 1
    = =−
    6−2 4 2

    Partie 2 : Tangente à une courbe et nombre dérivé


    1) Tangente à une courbe

    Soit A est un point appartenant à la courbe représentative d’une fonction 𝑓.


    On construit un réseau de sécantes à la courbe passant toutes par le point A telle que le 2e
    point d’intersection soit de plus en plus proche de A.

    Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr



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    On constate que la position limite des sécantes passant par le point A est une droite
    « touchant » la courbe au point A.

    Définition : On appelle tangente à la courbe d’une fonction 𝑓 au point A, la droite limite d’un
    réseau de sécantes passant par A et dont le 2e point se rapproche de A.

    Remarque : Géométriquement, la droite tangente à la courbe en A « frôle » la courbe en A.

    2) Nombre dérivé

    Définition : On considère la fonction 𝑓.


    La tangente à la courbe au point A d’abscisse 𝑎 est la droite passant par A dont le coefficient
    directeur s’appelle le nombre dérivé de la fonction 𝑓 en 𝑎 et se note 𝑓 ’(𝑎).

    Propriété : L’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction 𝑓 en A est de la


    forme 𝑦 = 𝑓 ! (𝑎)𝑥 + 𝑝 où 𝑝 est un nombre réel.

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    Méthode : Déterminer graphiquement un nombre dérivé


    Vidéo https://youtu.be/7-z62dSkkTQ

    On a représenté la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 " + 2𝑥 − 3 et sa tangente au point


    d’abscisse 2.

    a) Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de 𝑓 au point


    A et en déduire le nombre dérivé en 2.
    b) Donner une équation de la tangente.
    c) En s’aidant de la calculatrice graphique, reproduire la courbe de la fonction 𝑓 et sa
    tangente en 2.

    Correction

    a) Le coefficient directeur de la tangente est égal à :


    6
    =6
    1
    Le nombre dérivé de 𝑓 en 2 est égal à 6.
    Ainsi, la tangente à la courbe représentative de 𝑓 au point A est la droite passant par A et de
    coefficient directeur 6.

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    b) Une équation de la tangente en 2 est de la forme 𝑦 = 6𝑥 + 𝑝.

    On a : 𝑓 (2) = 2" + 2 × 2 − 3 = 5.
    Le point A a pour coordonnées (2 ; 5).
    Or, le point A appartient à la tangente donc ses coordonnées (2 ; 5) vérifient l’équation de la
    tangente : 𝑦 = 6𝑥 + 𝑝.

    Donc 5 = 6 × 2 + 𝑝
    Et donc 𝑝 = 5 − 12 = −7

    Une équation de tangente à la courbe représentative de 𝑓 au point A d'abscisse 2 est :


    𝑦 = 6𝑥 − 7.

    c) À l’aide de la calculatrice, il est possible de tracer la tangente à une courbe en un point.

    Une fois la courbe tracée sur la calculatrice, saisir :

    Avec TI-83 : Touches « 2nde » + « PGRM » (Dessin) puis « 5: Tangente » et saisir l’abscisse du
    point de tangence, ici 2. Puis « ENTER ».
    Casio 35+ : Touches « SHIFT » + « F4 » (Skech) puis « Tang » et saisir l’abscisse du point de
    tangence, ici 2. Puis « EXE » + « EXE ».

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