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    1

    NOMBRES COMPLEXES
    (Partie 2)
    I. Module d’un nombre complexe

    Définition : Soit un nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏.


    On appelle module de z, le nombre réel positif, noté |𝑧|, égal à √𝑎! + 𝑏 ! .

    M est un point d'affixe z.


    Alors le module de z est égal à la
    distance OM.

    ! |!|
    Propriétés : a) |𝑧𝑧′| = |𝑧| |𝑧′| b) ! ! ! = ! c) |𝑧 ! | = |𝑧|!
    ! |! |

    Méthode : Calculer le module d’un nombre complexe


    Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4
    Vidéo https://youtu.be/i85d2fKv34w
    #$%
    Calculer : a) |3 − 2𝑖| /////|
    b) |−3𝚤 c) 0√2 + 𝑖0 d) " " "
    &√()%*

    a) |3 − 2𝑖| = 13! + (−2)! = √13 /////| = |−3𝑖| = |−3||𝑖| = 3 × 1 = 3


    b) |−3𝚤
    !
    c) 0√2 + 𝑖0 = 6√2 + 1! = √3
    #$% |#$%| |#$%| $
    d) " " "= " = " = 2 =1
    &√()%* +&√()%* + ,√()%, √3

    II. Argument d’un nombre complexe

    Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle.


    On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle 7𝑢 999999⃗>.
    9⃗ ; 𝑂𝑀

    Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr



    2

    Remarques :
    - Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme
    arg(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. On note : arg(𝑧) [2𝜋]
    9⃗ ; 999999⃗
    - 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle 7𝑢 𝑂𝑀> n'est pas défini.

    Exemple :
    Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4

    Soit 𝑧 = 3 + 3𝑖.
    Alors |𝑧| = |3 + 3𝑖| = √3! + 3! = 3√2 et
    𝜋
    arg(𝑧) = [2𝜋]
    4

    Méthode : Déterminer géométriquement un argument


    Vidéo https://youtu.be/NX3pzPL2gwc
    1) Déterminer un argument de chaque affixe
    des points A, B et C.
    2) Placer les points D et E d’affixes respectives 𝑧# et 𝑧$
    telles que :
    2𝜋
    |𝑧# | = 2 et arg(𝑧# ) = − [2𝜋].
    3
    3𝜋
    |𝑧$ | = 3 et arg(𝑧$ ) = [2𝜋].
    4

    𝜋 𝜋
    1) arg(𝑧% ) = 4 [2𝜋] arg(𝑧& ) = − 3 [2𝜋] arg(𝑧' ) = 𝜋[2𝜋]

    Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr



    3

    2) Le point D appartient au cercle de rayon 2 car


    |𝑧# | = 2.
    Le point E appartient au cercle de rayon 3 car
    |𝑧$ | = 3.

    III. Forme trigonométrique d’un nombre complexe

    Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul


    l'écriture 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) avec 𝜃 = arg(𝑧).

    Méthode : Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique


    Vidéo https://youtu.be/kmb3-hNiBq8
    ( (
    Écrire le nombre complexe 𝑧 = 3 Pcos ! + 𝑖 sin ! Q sous sa forme algébrique.

    Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr



    4
    𝜋 𝜋
    𝑧 = 3 Pcos + 𝑖 sin Q
    2 2
    = 3(0 + 𝑖 × 1)
    = 3𝑖

    Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique


    Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4
    Vidéo https://youtu.be/RqRQ2m-9Uhw
    Écrire le nombre complexe 𝑧 = √3 + 𝑖 sous sa
    forme trigonométrique.

    - On commence par calculer le module de z :


    !
    |𝑧| = 67√3> + 1! = √3 + 1 = 2
    !
    - En calculant , on peut identifier plus facilement
    |!|
    la partie réelle de z et sa partie imaginaire :
    𝑧 √3 + 𝑖 √3 1
    = = + 𝑖
    |𝑧| 2 2 2

    √$ 1
    On cherche donc un argument 𝜃 de z tel que : cos 𝜃 = et sin 𝜃 = .
    ( (
    ( *3 ( 1
    Comme cos P ) Q = 2 et sin P ) Q = 2, on a :

    𝑧 𝑧 𝜋 𝜋
    = = cos P Q + 𝑖 sin P Q
    |𝑧| 2 6 6

    Donc :
    𝜋 𝜋 𝜋
    𝑧 = 2 Pcos P Q + 𝑖 sin P QQ 𝑎𝑣𝑒𝑐 arg(𝑧) = [2𝜋]
    6 6 6

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    Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

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