SH07 Voutes Nubien Cocco Dauphin Ganour

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)
Faculté de l’Environnement Naturel, Architectural et Construit (ENAC)

Section de Génie Civil (SGC)
Laboratoire d’informatique et de mécanique appliquées à la construction (IMAC)
Projet de semestre
Voûtes nubiennes
Au Burkina Faso
Raphaël Dauphin, Christelle Cocco, Karim Ganour Semestre d’hiver 2006-2007

Christelle Cocco Raphaël Dauphin Karim Ganour
Tables des matières

Tables des matières .................................................................................................................... 1
1 Introduction ........................................................................................................................ 3
2 Objectifs du travail ............................................................................................................. 3
3 Diagnostic de l’état existant ............................................................................................... 4
3.1 Matériaux utilisés ....................................................................................................... 4
3.2 Technique de construction ......................................................................................... 4
3.3 Formes utilisées.......................................................................................................... 7
3.4 Règles & limitations constructives............................................................................. 7
4 Etudes des matériaux.......................................................................................................... 9
4.1 Terre crue ................................................................................................................... 9
4.1.1 Définition : ......................................................................................................... 9
4.1.2 Composition : ..................................................................................................... 9
4.1.3 Caractéristiques physiques : ............................................................................... 9
4.1.4 Avantages :......................................................................................................... 9
4.2 Adobe ....................................................................................................................... 10
4.2.1 Définition ......................................................................................................... 10
4.2.2 Fabrication........................................................................................................ 10
4.2.3 Constitution de la terre adaptée à la fabrication d’adobes : ............................. 10
4.2.4 Préparation de la terre : .................................................................................... 10
4.2.5 Stabilisation :.................................................................................................... 10
4.2.6 Avantages ......................................................................................................... 11
4.2.7 Inconvénients : ................................................................................................. 11
4.3 Mortier...................................................................................................................... 11
4.4 Latérite ..................................................................................................................... 11
4.4.1 Définition ......................................................................................................... 11
4.4.2 Composition ..................................................................................................... 11
4.4.3 Propriétés :........................................................................................................ 11
5 Analyse statique pendant la construction ......................................................................... 12
5.1 Hypothèses d’une modélisation simplifiée : ............................................................ 12
5.2 Principe de calcul : ................................................................................................... 12
5.2.1 Analytiquement : .............................................................................................. 13
5.2.2 Modélisation avec Excel : ................................................................................ 14
5.2.3 Conclusions ...................................................................................................... 15
5.3 Prise en compte de l’inclinaison des rangs de briques ............................................. 15
6 Analyse statique à l’état final ........................................................................................... 18
6.1 Définition de la forme idéale.................................................................................... 18
6.2 Statique fondamentale de la chaînette...................................................................... 19
6.2.1 Approche mathématique .................................................................................. 19
6.2.2 Approche physique........................................................................................... 20
6.2.3 Approche graphique ......................................................................................... 21
6.3 Tracé appliqué en pratique ....................................................................................... 21
6.4 Modélisation numérique........................................................................................... 25
6.4.1 Hypothèses ....................................................................................................... 26
6.4.2 Cas de charge du poids propre ......................................................................... 27
6.4.3 Cas de charge d’une surcharge latérale : dimensions traditionnelles............... 30
6.4.4 Cas de charge d’une surcharge latérale : dimensions différentes..................... 34
Projet de semestre 1 EPFL - IMAC

Hiver 2007
6.5 Vérification d'une section......................................................................................... 35

6.5.1 Marche à suivre ................................................................................................ 35
6.5.2 Exemple numérique.......................................................................................... 37
6.6 Vérification du mur .................................................................................................. 38
7 Possibilités d’essais .......................................................................................................... 40
7.1 Réalisation d’un modèle à l’échelle 1:1 ................................................................... 40
7.2 Réalisation de la maquette........................................................................................ 41
8 Conclusions : comment poursuivre le projet ? ................................................................. 42
9 Annexes............................................................................................................................ 44
9.1 Définition de la géologie du Burkina Faso............................................................... 44
9.2 Calcul de stabilité durant la construction ................................................................. 46
9.3 Analyse statique à l’état final ................................................................................... 47
9.3.1 Tableaux des principaux résultats .................................................................... 47
9.3.2 Graphiques des résultats principaux................................................................. 49
9.4 Exemple de calcul d’une section.............................................................................. 50
10 Références .................................................................................................................... 51

Hiver 2007
1 Introduction
« La voûte nubienne » est une association qui a pour but de développer un mode de
construction, au Burkina Faso et dans les zones alentours, adapté aux besoins des populations
et aux moyens dont ils disposent, puis de le faire connaître aux maçons et aux populations.
Le nom de cette association vient des voûtes nubiennes qui furent construites en 1300
av. J.-C., uniquement avec de la terre. Cette technique a ensuite été reprise par l’architecte
Egyptien, Hassan Fathy, qui a ainsi réutilisé (et revalorisé) les matériaux du Nil, c’est-à-dire
de la terre crue comme matériau de construction.
Dans la même idée, qui est d’utiliser les matériaux locaux, l’association « la voûte
nubienne » a développé des voûtes de forme « légèrement » différente que celles d’Egypte,
s’approchant de la chaînette, qui permettent de faire toute la construction uniquement en terre
crue ou en moellons de latérite. Ainsi, la population s’évite l’utilisation du bois, qui devient
de plus en plus rare dans la zone sub-saharienne, car il n’est utilisé dans aucune des phases de
construction d’un habitat coiffé de ces voûtes. Cela est donc un avantage pour
l’environnement.
Un autre avantage de cette technique est qu’elle évite la tendance qui est de remplacer
les anciens toits de bois mélangés à de la terre par des tôles ondulées (moins sûres et moins
confortables) qui sont des produits importés. Il en résulte que l’argent ne sort plus de
l’économie locale.
De plus, la technique est élaborée pour que la population, surtout les
habitants/cultivateurs des zones rurales, puisse apprendre le mode de construction, permettant
ainsi la formation de maçons. La main-d’œuvre est aussi valorisée par la part du coût d’une
construction qui lui est attribuée.
En fait, mis à part l’étanchéité en plastique qu’il faut acheter, le matériau, les outils et
les maçons sont sur place. Le programme est donc intégré à l’économie et à la société locale
et il participe à l’autonomie des populations.
Ce travail est réalisé en collaboration avec Urs Wyss, ingénieur diplômé de l'EPFL. Il
est actuellement sur place au Burkina Faso et il est à la base de ce projet de semestre puisqu'il
en a fait lui-même la proposition.
2 Objectifs du travail
L'absence de connaissances dans la conception et le dimensionnement des voûtes est
actuellement un frein à leur essor. Ce projet a donc pour but de combler quelques lacunes
techniques. Notamment, un des objectifs majeurs de ce travail est de fournir des règles de
dimensionnement pour de nouvelles constructions et des règles de vérification pour des
constructions existantes.
Plus particulièrement, les buts fixés par Urs Wyss sont l'établissement d'un manuel de
calcul écrit et de règles de calcul, l'établissement d'abaques simples d'utilisation ainsi que la
réalisation d'un logiciel de calcul simple et fiable.

Hiver 2007
3 Diagnostic de l’état existant

3.1 Matériaux utilisés
Le concept de construction des voûtes nubiennes est exclusivement basé sur
l’utilisation de terre crue, disponible au Sahel en quantité suffisante. Le but principal est de ne
pas utiliser de bois, ni pour le coffrage, ni pour l’étayage, car il en manque de plus en plus. La
construction de toit en terre permet entre autre d’éviter l’utilisation de produits d’importation
tels que des tôles pour les toits, et ainsi de maintenir cet argent dans le circuit local. Le fait de
n’utiliser que de la terre, que ce soit pour la fabrication des murs ou celle du toit, s’inscrit
donc bien dans un contexte écologique et économique.
L'étanchéité est assurée par une bâche en plastique qu’il est nécessaire d’acheter dans
les marchés. Selon les moyens des clients, d’autres matériaux peuvent être utilisés, tel que
enduits et chapes en mortier de ciment.
La terre crue est utilisée sous forme de briques (adobes) qui sont liées ensemble par du
mortier, également composé de terre crue. Cela implique qu’il faut de l’eau, autant pour la
fabrication des adobes, que pour la préparation du mortier. Les années de sécheresse en font
un composant à disponibilité aléatoire, impliquant la coordination des constructions avec les
apports en eau dans les régions où l’apport se fait par périodes bien distinctes.
D’autres briques peuvent aussi être utilisées :
• Les blocs de terre comprimés (BTC), si des unités semi-mécanisées existent. Mais
elles sont en général évitées, car sans aucune mécanisation, elles deviennent un
produit aux caractéristiques aléatoires.
• Les blocs latéritiques qui sont directement découpés dans le sol en forme de
briques.
3.2 Technique de construction

Clé de voûte
Surcharge
latérale
Voûte
Pied de voûte
(point de naissance)
Murs porteurs
Figure 1 : schéma d'une voûte avec une toiture-terrasse
Il existe à ce jour une centaine de voûtes nubiennes construites, ce qui démontre la

fiabilité et la durabilité de la technique utilisée, bien que toutes les dimensions maximales
fixées soient entièrement empiriques.

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Les voûtes nubiennes reposent sur des fondations qui sont réalisées en pierres
sauvages soigneusement empilées et liées par un mortier traditionnel. Elles dépassent de 20cm
le pied du mur externe, afin de garantir que la résultante des forces à laquelle sont soumis les
pieds droits reste dans le tiers central de l’ouvrage. La profondeur est adaptée à la nature du
sol avec un minimum de 50cm. En outre, s’il existe un danger d’écoulement d’eau de
ruissellement le long de la fondation, elle est élevée au dessus du terrain naturel.
Les murs porteurs ont une largeur de 60cm. Il n’est pas fait de différence entre mur
porteur externe et interne. Ces derniers pourraient être d’épaisseur réduite étant donné qu’ils
supportent deux voûtes accolées dont les poussées au vide se compensent. Mais cela n’est pas
fait dans le but de réduire le nombre de règles au minimum et en même temps de les appliquer
de façon générale.
Les murs sont composés, dans leur largeur, par une brique en panneresse et d’une en
boutisse (Figure 2) liées au mortier de terre. Le croisement des briques est alterné sur toute la
hauteur du mur. Les murs porteurs sont érigés jusqu'à la hauteur du point de naissance de la
voûte et atteignent pour 8 à 11 rangs de briques une hauteur de 1,5m à 2,3m. Une limite de 11
rangs de briques est conseillée afin de garantir la stabilité de la structure.
Boutisse
Panneresse
Figure 2 : définition d'une disposition en panneresse et en boutisse
Les murs pignons, d’une largeur de 40cm, sont légèrement inclinés vers l’intérieur à
raison de 1 à 2%. Ils sont montés avec des briques posées en boutisse. Les murs pignons
servent aussi d’appuis lors de la réalisation de la voûte.
Les ouvertures et alcôves nécessitent la réalisation de linteaux en forme d’arcs. Afin
de simplifier au maximum la technique, les arcs ont une forme circulaire et sont effectués
avec des briques de voûtes sur un coffrage en briques maçonnées à sec ou sur une barrique en
acier.
La voûte est construite sans coffrage, mais à l’aide d’un guide mobile. Elle suit, dans
la partie inférieure, le tracé d’un demi-cercle, puis se termine légèrement en ogive au sommet.
Le tracé est obtenu à l’aide d’un câble conducteur situé sur l’axe du plein cintre à la hauteur
du point de naissance de la voûte (Figure 3). Le câble est tendu sur toute la longueur de
l’ouvrage d’un mur pignon à son opposé. Sur ce câble glisse un anneau d’acier sur lequel une
cordelette est attachée, dont la longueur correspond à une demi-portée de voûte. Le
mouvement de la corde tendue autour du câble décrit alors un cercle générateur de la forme de
la voûte à sa base.

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Figure 3 : Guide mobile : câble, anneaux et ficelles, Petit Balé ; Wyss 2005
La transformation en ogive pour la partie supérieure de la voûte permet de se

rapprocher de la forme de la chaînette inversée. Dans le but, à nouveau, de simplifier sa
construction, la règle simple de décaler d’un doigt chaque brique a été introduite. A partir de
70°, chaque brique de voûte sera posée avec un doigt de plus que la précédente. De cette
manière, la brique à 70° se positionne à une distance égale au rayon plus un doigt du centre de
la voûte. Nous verrons plus loin que plusieurs règles similaires existent selon les régions.
Celles que nous utiliserons dans le dimensionnement sont équivalentes.
Il a été remarqué que certains maçons expérimentés se rapprochent de très près de la
forme de la chaînette inversée et se tiennent de moins en moins au guide mobile en quittant le
plein cintre à partir de 25°. Les angles sont mesurés depuis l’horizontale.
Les briques de voûte sont confectionnées par le maçon, elles sont composées d’une
terre de très bonne qualité et parfois armées avec de la paille. Leur format le plus standard est
de 24x12x4 cm.
Figure 4 : à gauche, Datomo, Réalisation VN; à droite Ouagadougou, Briquetiers VN.

Photos : Sillou et Wyss ’05
La voûte est construite par pose des briques sur un mortier de terre, similaire à celui
employé pour les briques. Les rangs de briques sont inclinés d’environ 50° par rapport à
l’horizontale, reposent sur les murs porteurs et s’appuient sur les murs pignons.

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< 70°
Figure 5 : construction d'une voûte avec inclinaison des rangs de briques [5]
Cette inclinaison, qui est plus faible que celle utilisée par d’autres constructeurs
(normalement 70°), permet de diminuer le risque de glissement des couches. La pose des
briques est alternée entre la partie supérieure, dont le dévers impose un temps d’attente dû au
séchage du mortier entre les briques, et le flanc de la construction. La voûte se ferme
successivement par des rangs inclinés et avance d’un mur pignon à l’autre.
Une fois la construction de la voûte achevée, elle est mise en charge en remontant les
murs porteurs de 8 à 10 rangs de grosses briques et par remplissage du rein de la voûte par des
adobes maçonnés ou de la terre très compactée. Cette charge sera appelée dans la suite de ce
rapport la surcharge latérale.
3.3 Formes utilisées

La forme s’approche de la chaînette inversée qui est la forme mathématique parfaite
pour que la structure soit soumise à la compression sans aucun effort de traction
(incompatible avec la terre). L’avantage de cette forme et de ce type de construction est son
caractère modulaire et esthétique.
La forme adoptée par l’association de la voûte nubienne est un plein cintre légèrement
ogival en son sommet. L’emprise au sol de la voûte est rectangulaire avec généralement une
portée maximale de 3,20m (description du tracé de la voûte au paragraphe 6.3).
3.4 Règles & limitations constructives

L’association française Craterre a identifié les principes de conception limitatifs
suivants : d’une part la résistance des briques et d’autre part, dans une plus grande mesure, la
reprise des efforts horizontaux. Il n’est pas encore identifié à ce stade s’il existe des limites à
l’état constructif, liées à la méthode de construction sans cintres.
Les dimensions typiques attribuées aux voûtes par l’association voûtes nubiennes sont
basées sur l’expérience acquise au Niger par le CSB (construction sans bois).
Technique E [cm] P [m] HPN [m] H [m] Sécurité [-]

VN 60 3,20 2,30 3,90 HCSB / HVN
CSB 60 4,25 2,30 4,40 1,13
CSB 60 3,20 2,90 4,50 1,15
Tableau 1 : marges de sécurité de la technique VN par rapport à la CSB (Principes de structure et règles
de base, PCSB, Niger 2002 (Source: AVN, Development Workshop (DW))

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P [m] 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
E [cm] HPN [m]
40 2.00 1,65 1,40 1,20 1,10 1,00 0,85 0,60 Non
60 3,50 3,25 3,00 2,75 2,40 2,20 2,00 1,70 Non
80 5,00 4,80 4,50 4,00 3,65 3,45 3,10 2,80 2,40
Tableau 2 : interaction entre l'épaisseur E, la portée P, et la hauteur HPN (Principes de structure et règles
de base, PCSB, Niger 2002 (Source DW))
A la vue de ces tableaux, on voit qu’il serait possible de construire des voûtes
beaucoup plus grandes et ainsi de réduire les limitations qui sont faites au Burkina Faso.

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4 Etudes des matériaux

Les matériaux utilisés dans la construction de voûtes, à savoir principalement la terre
crue, vont dépendre des sols burkinabés. On trouvera en annexe de ce rapport une brève
définition de la géologie du Burkina Faso.
4.1 Terre crue

4.1.1 Définition :
Terre utilisée avec le moins de transformations possibles en tant que matériau de construction.
4.1.2 Composition :
Matériau minéral granulaire : composé de matière solide, liquide et gazeuse.
• Fraction solide : cailloux, graviers, sables, silts, argiles et oxydes métalliques
• Fraction liquide : eau et corps organiques et minéraux dissous dans cette eau
• Fraction gazeuse : azote, oxygène, gaz carbonique…
Matériau composite : dont l’ossature est composée des grains (fraction solide) et la matrice
constituée de la pâte formée par les argiles et l’eau.
4.1.3 Caractéristiques physiques :

4.1.3.1 Masse volumique
• Liée à la quantité de matière gazeuse présente dans la terre.
• Pour une terre foisonnée : 1200 kg/m3 à 1600 kg/m3
• Pour une terre mise en œuvre par compaction : 2000 kg/m3
4.1.3.2 Résistance mécanique

• Fonctionne uniquement en compression.
• Pour une terre mise en œuvre monolithique : 20 kg/cm2 (2MPa)
• Pour les éléments de maçonnerie (adobe) : 5 kg/cm2 à 50 kg/cm2 (0,5 à 5 MPa)
• Module de Young : 7000 à 70'000 kg/cm2 (7 à 70 MPa)
• Résistance à la traction considérée nulle.
4.1.3.3 Aspects thermiques

La terre n’est pas un matériau isolant, mais possède une excellente inertie thermique, qui est
la capacité de régulation des différences de températures intérieures.
Pour une terre à 1500 kg/m3 :
• Conductivité : 0,75 W/m*°C
• Chaleur spécifique : 900 J/kg*°C
• Capacité thermique : 1350 kJ/m3*°C
4.1.4 Avantages :
• Prix avantageux
• Matériau récupérable qui n’engendre pas de déchets
• Sites d’extraction disponibles presque partout
• Permet l’autonomie à tous

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4.2 Adobe
4.2.1 Définition
Brique de terre crue, séchée au soleil, et utilisée comme matériau de construction.
Mélange d’une terre argileuse et sableuse, d’eau et éventuellement d’un liant en petite
quantité.
4.2.2 Fabrication
Les briques sont coulées dans un cadre ouvert (en bois au Burkina Faso) : un rectangle
dont les dimensions standards au Burkina Faso sont 10 × 20 × 40 cm pour les murs et 4 × 12
× 24 cm pour les voûtes, mais toutes les tailles sont possibles. Après que le mélange ait été
versé dans le moule, on peut le compacter légèrement à la main, puis on le retire. Après
quelques heures, les briques sont tournées sur leur tranche pour finir le séchage. La durée
totale dure 2 à 3 semaines (ou selon les conditions climatiques) pour éviter le retrait pendant
la construction. Il est conseillé de placer les briques à l’ombre lors du séchage et dans une
atmosphère assez sèche pour éviter les fissures. (Éventuellement introduction de morceaux de
bois pour renforcer les briques ou améliorer l’isolation du bâtiment.)
4.2.3 Constitution de la terre adaptée à la fabrication d’adobes :

Les sols propices à la fabrication de briques sont constitués de :
• Sable : 55 à 75 %
• Limon : 10 à 28 %
• Argile : 15 à 18%
• Matières organiques inférieures à 3%
Conséquences du non-respect des proportions :

• Trop d’argile : fissuration dans les briques lors du séchage et donc pertes de
résistance à l’érosion.
• Trop de sable : manque de cohésion de l’ensemble et donc désagrégation des
briques.
• Trop de matières organiques : mauvaise durabilité en présence d’eau et instabilité
du matériau dans le temps.
4.2.4 Préparation de la terre :

• Tamisage
• Hydratation préalable (appelée aussi pourrissage) : cette action sature d’eau les
particules argileuses et permet de détruire les morceaux compacts de terre.
• Laisser reposer le sol détrempé pendant 24h
• Formation de tas avec cratère que l’on remplit avec 1/3 de volume d’eau
• Malaxage afin d’obtenir un mélange plastique et homogène
• Stabilisation éventuelle avec fibres végétales (paille, morceaux de bois...) ou avec
du ciment, de la chaux, du bitume.
• Vérification de la consistance.
• Moulage et compactage des briques
4.2.5 Stabilisation :
Plusieurs méthodes sont proposées pour stabiliser les briques. Comme il n’est pas
question d’utiliser des adjuvants dans le cadre des constructions à travers l’association des

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voûtes nubiennes, nous ne les présenterons pas ici. Les deux catégories principales sont la
stabilisation avec ou sans apport.
4.2.5.1 Stabilisation sans apports :

Le but est de réduire la porosité par compactage. La compacité de la terre dépend de la
granularité, ainsi que de la nature du compactage. Il existe deux formes de compactage : le
compactage dynamique et le compactage statique.
L’énergie de compactage et la teneur en eau du matériau sont également des facteurs
déterminants. Il est possible d’atteindre un optimum de compacité.
4.2.6 Avantages
• Possibilité de réaliser des voûtes
• Rapidité d’exécution des murs et des crépissages
• Habitabilité dès la fin de la construction
• Réalisation d’ouvertures
4.2.7 Inconvénients :
• Il faut une bonne réalisation de l’enduit de finition, car les briques craignent
l’érosion
• Nécessité d’une grande surface pour faire sécher les briques
• Nécessité d’un climat sec pour la préparation des briques
• Briques un peu fragiles à manipuler avec des risques de cassures
4.3 Mortier
Il est généralement fait avec la même composition que les adobes, mais il ne doit
contenir ni gravier, ni paille. On essaie d’utiliser une faible quantité de mortier afin de limiter
au maximum le retrait.
4.4 Latérite
4.4.1 Définition
La latérite est une roche que l’on trouve sous les climats tropicaux chauds et humides
enrichie en fer et en aluminium, suite à une longue phase de désagrégation chimique de la
roche mère 1 .
4.4.2 Composition
Il n'existe pas de composition unique. Une latérite peut se former à partir de n’importe
quelle roche, mais seulement si le climat est aride sur une période prolongée.
4.4.3 Propriétés :
Dans les pays africains désertiques, le sol est très desséché par le soleil et il se forme
une croûte relativement dure qui peut directement être découpée dans le sol.
1
Wikipédia

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5 Analyse statique pendant la construction

5.1 Hypothèses d’une modélisation simplifiée :
Pour un premier calcul, on fait l’hypothèse que les rangs de briques de la voûte ne sont
pas inclinés. On ne s’intéresse ici qu’à la partie inférieure de la voûte qui est en forme d’arc
de cercle. On modélise donc la voûte comme un demi-cylindre non incliné dans le sens
longitudinal. On fait aussi l’hypothèse que l’on a un matériau homogène et continu, car même
s’il est constitué de briques et de mortier, tous deux sont composés de terre crue.
Pour vérifier la stabilité, on prend comme critère que la résultante des forces, c’est-à-
dire le poids propre de la voûte déjà construite dans ce cas, doit rester dans l’épaisseur de la
voûte. Normalement, il serait préférable qu’elle reste dans le tiers central, mais comme l’on
s’occupe de la stabilité pendant la construction, on admet que la résultante peut aller jusqu’à
la limite de l’intrados.
Figure 6 : Limite de stabilité par rapport à la résultante verticale (source : http://www.earth-

auroville.com/)
5.2 Principe de calcul :

La résultante du poids propre est une force verticale qui passe par le centre de gravité
de la partie de voûte construite. Il nous suffit donc de déterminer la position du centre de
gravité pour chaque pas d’avancement de la voûte en hauteur et de vérifier que la verticale qui
passe par ce point reste entre l’intrados et l’extrados.

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5.2.1 Analytiquement :
Figure 7 : portion d'arc de cercle, avec intrados et extrados
Vu que l’on analyse un arc de cercle, on sait, par symétrie, que le centre de gravité se
trouve sur la bissectrice de l’angle de l’arc (α). On prend donc comme position angulaire du
centre de gravité :
α
β=
2
Pour trouver la position radiale du centre de gravité, on cherche à égaliser A1 et A2. Avec
α ⋅ π ⋅ (r − r1 )2 α α ⋅ π ⋅ (r2 − r )2 α
= ⋅ (r − r1 ) et A2 = = ⋅ (r2 − r ) ,
2 2
A1 =
2π 2 2π 2
on trouve alors :
r1 + r2
r=
2
En transformant cela en équations cartésiennes, et avec l’équation du cercle, on a :
Pour l’intrados de l’arc de cercle : x = r1 ⋅ cos(α ) et y = r1 ⋅ sin(α )

Pour l’extrados de l’arc de cercle : x = r2 ⋅ cos(α ) et y = r2 ⋅ sin (α )
Pour l’arc de position du centre de gravité : x = r ⋅ cos(β ) et y = r ⋅ sin(β )
Avec :
l : la largeur d’une brique
r : le rayon de l’arc à égale distance de l’intrados et de l’extrados
r1 = r − l 2
r2 = r + l 2

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Pour trouver l’angle limite, il suffit maintenant de trouver l’angle pour lequel la cordonnée x
de la position du centre de gravité soit égal r1, c’est-à-dire que le support de la résultante soit
sur la limite de l’intrados. C’est le cas pour :
⎛r ⎞
β = arccos⎜ 1 ⎟
⎝r⎠
Si l’on considère un cas de voûte de 3 m de portée et de taille de briques de 4 × 12 × 24 cm,
on obtient les valeurs suivantes :
r = 1,5 m
l = 12 cm
On trouve ainsi que β = 16,3 ° et α = 35,5 °.
Pour la même taille de brique, mais avec une portée de 3,2 m, qui est la portée
maximale utilisée au Burkina Faso, on a donc r = 1,6m et on trouve que β = 15,7 ° et α = 31,5
°.
5.2.2 Modélisation avec Excel :
3
cercle en coordonnées
polaires
2.5
position du centre de gravité
2
intrados
1.5
extrados
1
support de la résultante pour
un angle de construction de
70°
0.5 support de la résultante pour
un angle de construction de
28,6°
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Figure 8 : limite au-deçà de laquelle la voûte est stable
On considère à nouveau une voûte de 3 m de portée, et une largeur de brique de 12

cm. En modélisant élément par élément, selon l’angle, et en utilisant les mêmes équations
qu’analytiquement, on trouve que la résultante du poids propre passe par la limite de
l’intrados de la voûte pour un angle β compris entre 0,25 et 0,3 rad, soit entre 14,3° et 17,2° et
donc α est compris entre 0,5 et 0,6 rad, soit entre 28,6 ° et 34,4 °. Avec une portée de 3,2 m,
on trouve la même fourchette d’angles β entre 14,3° et 17,2° et donc α entre 28,6 ° et 24,4 °.
Les résultats sont en annexe Erreur ! Source du renvoi introuvable..

Hiver 2007
Comme l’on a utilisé les mêmes formules, on trouve logiquement la même fourchette
de résultats que dans la démarche analytique. En fait, la modélisation Excel est surtout utile
pour avoir une représentation graphique du problème.
On peut aussi remarquer, en augmentant la portée de la voûte par étape, que la
fourchette d’angles varie lentement. Ce n’est qu’à partir de 3,9 m que la résultante sort de
l’épaisseur de la voûte pour un angle β de 14,3°, soit α de 28,6°.
5.2.3 Conclusions
On voit que la voûte devrait s’écrouler pour un angle de construction supérieur à
31,5°, qui est inférieur à ce qui est pratiqué au Burkina Faso. Cette modélisation est
insuffisante, car elle ne considère pas l’inclinaison longitudinale des rangs de briques, qui est
un facteur augmentant fortement la stabilité.
Ici, nous n’avons pas non plus considéré les forces de cohésion de l’argile agissant
dans la terre crue, ni les propriétés mécaniques de la terre; nous n’avons considéré que la
stabilité d’ensemble. Il faut aussi remarquer que nous avons utilisé une théorie, au sujet de la
position de la résultante par rapport à l’intrados pour que l’équilibre soit garanti en phase de
construction, qui est référée à un empilement de briques différent que celui étudié ici.
On remarque aussi que, sous ces hypothèses, l’angle garantissant l’équilibre varie avec
la portée, c'est-à-dire que plus la portée est grande, plus l’angle à partir duquel l’équilibre
n’est plus assuré est faible. On peut donc penser que, même si cette variation n’est pas rapide
et que les hypothèses ne sont pas idéales, la phase de construction est certainement un élément
limitant la portée, étant donné que l'on utilise ni cintres ni étayages.
5.3 Prise en compte de l’inclinaison des rangs de briques

Pour commencer, nous avons essayé de faire une modélisation brique par brique ou
élément par élément, ce qui ne fait pas de différence si l’on garde l’hypothèse d’un matériau
homogène et continu. En analysant physiquement le problème, ceci nous amène à un système
avec plus d’inconnues que d’équations.
Si l’on prend un petit élément, ou une brique, cela nous donne :
N2
y
f x
N1
G z
Figure 9 : forces agissant sur un élément, dans un système local de coordonnées
β α
Figure 10 : à gauche, profil en long d'une voûte ; à droite, profil en travers

Hiver 2007
Vu la forme semi elliptique (de l’arrête de la voûte) de cette phase de construction, il

faut prendre en compte deux angles : α et β. Si l’on reporte toutes les forces le long de
l’abscisse curviligne de la voûte, on trouve qu’il faut, pour avoir l’équilibre (Figure 11), que :
∑F y = −G ′′ + N 2 + f = 0
N2
N1 y
f
x
G
Figure 11 : projection de l'élément dans le plan xy
Avec G’, la composante du poids reportée sur l’axe de l’arc, donc G ′ = G cos α , et G’’,
la composante du poids reportée sur la pente de l’inclinaison des briques, on a donc :
G ′′ = G ′ sin β = G cos α sin β
Et comme nous ne connaissons que la valeur du vecteur du poids propre, il ne nous est
pas possible de continuer le calcul. Il serait possible d’estimer la valeur du frottement f selon
la cohésion et les propriétés de la terre, mais il y aurait à nouveau un grand nombre
d’hypothèses qui nous éloignent de la réalité. De plus, cette méthode de calcul ne nous permet
pas de prendre en compte les instabilités globales, ni les divers modes de rupture possibles.
L’avantage de cette technique serait de trouver la stabilité selon les deux angles α et β
Ensuite, nous avons essayé une modélisation par éléments finis. Pour ce faire, nous
avons d’abord pensé utiliser le logiciel ESA PT. Ainsi, on a commencé par dessiner une étape
de construction de la voûte sur AutoCAD pour pouvoir ensuite l’insérer dans le programme
ESA PT.
Il s’agit ici de l’étape de construction où une partie de la voûte est fermée et
l’extrémité est inclinée longitudinalement de 50° par rapport à l’horizontale. Cependant, nous
nous sommes rendu compte que ce logiciel n’est pas le plus adapté pour ce type de problèmes,
car la version disponible ne permet pas la modélisation de structures en coque.
Lors de la phase de construction que nous avons dessinée sur AutoCAD (Figure 12),
un des modes de rupture à étudier serait un glissement, comme ceux que l’on rencontre dans
les terrains, mais il faudrait connaître la surface de rupture la plus probable, ou qui représente
au mieux le phénomène. Même en connaissant la forme de la surface de rupture, il faudrait
encore trouver l’endroit où elle se formerait.

Hiver 2007
Figure 12 : à gauche, surface de rupture circulaire ; à droite, surface de rupture quelconque
D’autres types de ruptures ou d’instabilités peuvent se produire lors d’autres phases de

construction. Par exemple, il peut y avoir une instabilité lorsque l’arc n’est pas fermé (phase
qui correspondrait à celle étudiée plus haut sans l’hypothèse des rangs de briques inclinés,
Figure 13).
Figure 13 : effondrement dû à la résultante sortant de l'épaisseur de la voûte
Il faudrait donc étudier tous ces divers cas d’instabilités et de ruptures pendant les
différentes phases de construction, car on ne sait pas a priori à quelle phase de construction et
selon quel mode intervient l’instabilité. Instinctivement, on peut penser que la phase de
construction la moins stable est celle où l’arc n’est pas encore fermé, mais la meilleure façon
pour pouvoir déterminer la phase la plus critique, ainsi que le mode de rupture, serait de
s’enquérir des expériences malheureuses faites lors des constructions au Burkina Faso (ou
tout autre pays constructeurs de voûtes) ou alors de faire des essais.
Si on assimile ces modes de ruptures à ceux se produisant dans un sol, il pourrait alors
être intéressant d’utiliser un logiciel tel que Z-Soil. Pour pouvoir prendre en compte le fait
qu’il s’agisse d’une structure et non d’un sol, ainsi que le matériau est homogène et continu,
le logiciel Ansys serait certainement un bon programme, car il permet le calcul par éléments
finis de coques.

Hiver 2007
6 Analyse statique à l’état final

6.1 Définition de la forme idéale
La forme idéale d’une structure dépend bien évidemment du chargement que l’on y
applique. En fait, une forme n'est idéale au sens strict que pour un seul cas de charge donné.
Cependant, tout autre cas de charge ne doit pas signifier la ruine. Une bonne structure est une
structure qui résiste à tous les cas de charges imaginés.
Dans le cas d’une voûte, il faut distinguer plusieurs types de cas de charges. En tant
que toiture, une voûte ne sera soumise généralement qu’à son poids propre. En tant
qu’ouverture de porte, la voûte doit transmettre les charges issues des éléments supérieurs
(Figure 14).
Figure 14: Bâtiment mixte
Une chaînette est une courbe qui, sous son seul poids propre, assure en tout point la
seule et unique présence de l’effort normal. Ni effort tranchant, ni effort de flexion ne sont
engendrés. C’est d’ailleurs pour cette raison que l’on appelle cette courbe « chaînette ». Sous
son poids propre, une chaînette ne peut transmettre ses efforts que par ses maillons qui n’ont
la capacité de transmettre ni effort tranchant, ni flexion. C’est-à-dire qu’ils transmettent
l’effort par traction uniquement. Le but de la voûte est semblable puisqu’on cherche à
transmettre les efforts uniquement par compression. Ainsi la forme de la courbe est la même,
au signe près. On appellera cette forme idéale une chaînette inversée.
La parabole est une courbe dont les propriétés sont similaires à la chaînette, à la
différence près que le cas de charges est un cas de charge uniformément réparti. Mais comme
la chaînette, elle assure en tout point la seule et unique présence de l’effort normal.
Si le tracé diffère de la forme idéale, des efforts de flexion et de l’effort tranchant vont
apparaître. Le matériau va alors être mobilisé en plus par du cisaillement et de la flexion.
Celle-ci va engendrer de la traction dans le matériau, ce qui n’est pas souhaitable, puisque
nous avons vu que la résistance à la traction des matériaux utilisés est négligeable. Pour se
prémunir de cela, il faut que la résultante des forces passe par le tiers central (Figure 15). Si
tel n'est pas le cas, la part en traction ne pourra plus contribuer à la reprise des efforts, ce qui
va augmenter le taux de compression dans la partie comprimée. La section va se fissurer
jusqu'à ce que finalement la résultante passe par le tiers central. La section comprimée peut
être réduite considérablement. Il faut alors vérifier que la compression soit inférieure au taux
de contrainte admissible du matériau. En résumé, il faut, dans la mesure du possible, essayer
de maintenir la résultante au plus proche du centre de gravité de la voûte.

Hiver 2007
Figure 15 : illustration du tiers central
Lors du diagnostic de l’état existant, nous avons vu que les possibilités de formes de
voûtes étaient assez limitées. Des conditions très restrictives ont été établies, notamment sur la
portée. Le but de ce chapitre est d’amener des éléments de réponse permettant aux
constructeurs un choix élargi quant aux dimensions des voûtes. Pour ce faire, l’analyse se
déroule en plusieurs étapes.
1) Dans un premier temps, nous avons analysé l’équation de la chaînette afin
de déterminer les paramètres dont elle dépend, dans le but de maîtriser
rapidement l’élaboration de formes de voûtes de dimensions et de
caractéristiques quelconques à l’aide d’outils informatiques.
2) Dans un deuxième temps, nous avons comparé nos formes idéales de voûtes
avec la forme de voûtes construites au Burkina Faso afin d’établir s’il existe
une corrélation entre la théorie et la pratique et voir si les règles déjà
maîtrisées peuvent être appliquées pour des voûtes de dimensions
supérieures
6.2 Statique fondamentale de la chaînette

6.2.1 Approche mathématique
Les mathématiques nous fournissent l’équation suivante de la chaînette :
x
y ( x) = a ⋅ cosh( )
a
Avec « a » comme unique paramètre de la courbe.

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0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Figure 16 : chaînette avec comme paramètre a=2
On remarque que la pente est d’autant plus forte quand on monte sur l’axe des
ordonnées. Ceci est physiquement explicable puisqu’un maillon a toujours davantage de poids
à supporter que son maillon inférieur, et toujours moins que son maillon supérieur, d’où une
pente plus raide. Etant donnée que « a » est l’unique paramètre, c’est de lui que va dépendre
la forme de la courbe. Il doit donc contenir certainement les caractéristiques physiques de la
voûte. Mais à priori, le lien entre le paramètre mathématique qu’est « a » et les paramètres
physiques que sont, par exemple, les matériaux utilisés ou leur résistance n’est pas évident.
C’est pourquoi, comme dans tout problème structurel, il faut repartir avec les équilibres de
base que l’on connaît.
6.2.2 Approche physique

Prenons un élément infinitésimal d’épaisseur constante. Afin de répondre à l’exigence
de compression unique, on ne pose que des efforts normaux (Figure 17).
ds N
γ
N+dN
Figure 17 : équilibre des forces sur un élément infinitésimal
Par équilibre selon les deux axes, on voit que :
Axe horizontal : H + dH = H ⇒ dH = 0 ⇒ H = cste

Axe vertical : V + dV = V + γ ⋅ ds ⋅ t ⇒ dV = γ ⋅ ds ⋅ t
La résolution complète de l’équation ne va pas être développée ici car seul compte le résultat
dans le cadre de ce projet. On ne donc :
H t ⋅γ
y ( x) = ⋅ cosh ⋅x
t ⋅γ H

Hiver 2007
Cette équation est en fait celle de la chaînette, similaire à celle fournie par les mathématiques.
H
La constante « a » devient alors . Il vient donc que cette équation est valable pour une
t ⋅γ
voûte d’épaisseur constante ! Cette restriction limite le champ d’application de cette équation.
L’effort normal de compression peut se calculer en tout point comme ceci :

N= H 2 + ( ∑ Vi ) 2
où ∑V est le poids de la demi voûte entre son sommet et le point considéré. Pour avoir
i
l’effort normal maximal, se trouvant en pied de voûte, l’équation devient :

N max = H 2 + VTot
2
6.2.3 Approche graphique

Il est utile de représenter graphiquement le comportement statique d’une voûte afin de
comprendre exactement la façon dont les efforts sont transmis. Prenons une demi voûte que
l’on discrétise semblablement à une voûte en briques traditionnelle (Figure 18).
Figure 18 : illsutration d'un arc funiculaire à poussées compensées
Sur une coupe en clé de voûte, on impose un effort horizontal unique. La symétrie
interdit la présence d’effort tranchant (à cause de la condition d’action-réaction). L’unique cas
de charge étant le poids propre de la voûte, le vecteur force va être dévié par le vecteur gravité
du premier élément, au droit du centre de gravité de celui-ci. Le nouveau vecteur force va lui-
même être dévié davantage au droit du deuxième élément, et ainsi de suite, jusqu’au pied de
la voûte. La trajectoire de la force suit le tracé ayant comme propriété d’être soumis
uniquement au poids propre et travaillant uniquement en compression. Si on tend les éléments
vers des éléments infinitésimaux, on retrouve la courbe de la chaînette. Cette méthode
graphique porte le nom d’arc funiculaire à poussée compensée. Elle comporte l’avantage
d’être utilisable pour tout cas de charge, en modifiant simplement la valeur de l’intensité des
vecteurs forces verticaux. Certes, le tracé ne portera plus le nom de chaînette, mais conservera
la propriété de ne travailler qu’en compression.
6.3 Tracé appliqué en pratique

Avant de vouloir optimiser la forme des voûtes ou de vouloir en connaître les limites
statiques, il est nécessaire de connaître la forme qui est utilisée effectivement en pratique. Il
Hiver 2007
est cependant important de prendre conscience du fait qu’il n’existe pas une seule forme
utilisée en pratique. Celle-ci diffère selon les régions, selon les cultures, selon les héritages
ancestraux ou encore selon l’expérience de chacun des maçons. Dans tous les cas, la forme
doit rester simple et le procédé de construction doit être facilement compréhensible pour tout
maçon. Rappelons qu’ils ne possèdent pas d’instruments suffisamment précis pour disposer
d’une courbe parfaite. Le but et de s’en approcher le plus possible à l’aide de procédés
simples.
Dans ce rapport, nous allons nous baser sur une forme que l’on a trouvée dans
plusieurs publications. C’est également la forme utilisée par Urs Wyss au cours de ses projets.
Le procédé est le suivant :
• Tracer un demi-cercle de diamètre 3.2 m
• Ajouter à la clé entre 5 et 10 cm.
• Relier ce nouvel point de clé au demi-cercle par une parabole. Le point
d'intersection se trouve entre 60° et 75° à partir de l'horizontale de base.
La construction du demi-cercle est simple. En ce qui concerne la construction de la

parabole de raccordement, d’équation y( x) = ax 2 + bx + c il est nécessaire de disposer de trois
conditions aux limites pour déterminer les trois constantes a, b et c. Ce sont les suivantes :
• En x = 0 : y (0) = r + d
où d et le « supplément de hauteur à la clé »
• En x = 0 : y ' (0) = 0
• En x = xint : y( xint ) = y cercle ( xint )

où xint est l’abscisse du point où la parabole rejoint le cercle. Celui-ci se situe à l’endroit où
le cercle possède une pente entre 60° et 75°
Avec ces conditions, nous obtenons schématiquement le type de courbe suivant, où

l’on remarque que la pente au point d’intersection n’est pas continue. Pour ajouter cette
condition, il faudrait une quatrième condition, ce qui conduirait à une courbe du troisième
degré.
Figure 19 : schéma de la marche à suivre d'une construction de tracé

Hiver 2007
Le calcul exact fournit les courbes représentées à la Figure 20. Afin de comparer ce
tracé avec un tracé existant, nous avons mesuré à la règle, sur un plan qui nous était fournit
(mosquée en voûte nubienne), ses coordonnées.
1.8
1.6
1.4
1.2
hauteur [m]
intersection à 60°
1 intersection à 75°
tracé réel
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2
demi-portée [m]
Figure 20 : tracés construits selon marche à suivre et tracé réel (supplément en clé de 0.12m)
Afin de comparer deux tracés avec les mêmes caractéristiques, on a adopté pour le
calcul une demi-portée de 1.62m, une hauteur de 1.74m, ce qui correspond à un supplément
de clé de 0.12m, et qui diffère quelque peu des valeurs entre 0.05m et 0.1m généralement
appliquée. Cette différence provient certainement de la précision des mesures sur le plan. Elle
est cependant suffisamment faible pour que l’on puisse admettre ce tracé comme étant
représentatif de ce qui se fait dans la réalité.
On remarque que le changement de pente se situe entre les deux limites que l’on a
fixées via les valeurs de 60° et 75°. Il est davantage marqué pour un point d’intersection plus
haut. Cette transition parait également plus « douce » dans le cas réel. Ce lissage doit sans
doute se faire au moment de la réalisation de la voûte.
Malgré la différence au niveau de la transition des courbes, le calcul du tracé tel que
celui utilisé pour construire ces courbes parait suffisamment proche de la réalité pour pouvoir
l’adopter en tant que « tracé appliqué en pratique » dans la suite des calculs.
On peut encore se pencher sur l’influence du supplément de hauteur en clé de voûte
sur le point de transition du tracé. Nous avons construit les mêmes courbes avec une hauteur
supplémentaire minimale de 0.05m. Le résultat est le suivant (Figure 21) :

Hiver 2007
1.5
hauteur [m]
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2
demi-portée [m]
Figure 21 : tracé calculé avec un supplément de 0.05m en clé
On constate que la transition est nettement moins brusque, d’autant plus si elle se situe
à une pente plus forte par rapport à l’horizontale. Une rapide analyse permet de calculer
l’écart de pente au point d’intersection en fonction de l’angle auquel ce point se situe (angle
pris par rapport à l’horizontale) et en fonction du supplément de clé. Les résultats sont
représentés à la Figure 22 :
écart de pente
0.5
0.45
Différence de pente au point d'intersection [rad]
0.4
0.35
0.3
Intersection à 60°
0.25
Intersection à 75°
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
supplément de clé [m]
Figure 22 : écart de pente entre le cercle et la parabole au point d'intersection

Hiver 2007
On peut constater que la différence de pente entre les deux courbes augmente avec le
supplément de clé, quelque soit l’angle auquel ce raccord est effectué. Cette différence sera
d’autant plus marquée si l’angle augmente. A ce stade de l’étude, on peut donc dire qu’il est
avantageux de prévoir le changement de courbe le plus bas possible, avec un supplément de
clé minimal. Cependant, il n’est pas dit que ce type de tracé soit celui qui corresponde au
mieux au tracé optimal, c’est-à-dire le tracé qui correspond au cheminement des forces. En
effet, les règles citées ci-dessus aboutissent à une courbe davantage proche du cercle. Or
l’expérience a montré qu’il faut s’en écarter pour épouser au mieux la chaînette inversée. On
aboutit donc à ce paradoxe : les règles de construction d’un tracé qui se rapproche au mieux
de la chaînette inversée conduit à une différence de pente importante au niveau du point
d’intersection.
On peut encore comparer ces tracés avec celui de la chaînette inversée :
1.5
hauteur [m]
1 intersection à 75°
chainette inversée
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2
demi-portée [m]
Figure 23 : comparaison avec la chaînette inversée
La différence de tracé résulte du fait que la chaînette inversée est la courbe idéale sous
le cas de charge de son poids propre uniquement, au contraire des courbes réelles qui tiennent
compte d’une surcharge latérale, résultant souvent de la conception d’une toiture-terrasse. On
peut néanmoins noter la similitude des deux tracés au sommet de la voûte, là où les surcharges
latérales n’ont encore que peu d’influence.
6.4 Modélisation numérique

L’étude de tracé de voûtes exige une modélisation informatique si l’on veut être
capable de faire varier les paramètres à volonté. Une étude à l’aide du logiciel Excel nous a
semblé adéquate dans un premier temps, mais son utilisation devient vite limitée. C’est
pourquoi nous avons par la suite modélisé la voûte en plusieurs éléments poutres dans le
logiciel Cubus.
Dans ce qui suit, nous avons analysé la courbe de la chaînette sous différents cas de
charge et essayé de voir la limite jusqu’à laquelle l’effort normal peut déroger à la trajectoire

Hiver 2007
parfaite. Nous avons ensuite effectué la même démarche pour une courbe traditionnelle de ce
qui se construit généralement au Burkina Faso.
6.4.1 Hypothèses
Rotule ou encastrement ?
La question se pose de savoir s’il faut admettre une rotule ou un encastrement en pied
de voûte. Comme souvent en pratique, une réponse simple n’existe pas. Cela dépend de la
façon dont le pied de voûte est construit. Certaines illustrations (Figure 24 et Figure 25)
laissent supposer qu’une rotation est possible mais d’autres photos laissent plutôt penser qu’il
s’agit d’un encastrement. Les Figure 24 et Figure 25 permettent de constater cette difficulté.
La Figure 24 laisserait supposer qu’on se rapproche d’un encastrement de par l’aspect massif
du pied de voûte, tandis que la Figure 25 laisserait plutôt penser qu’il s’agit d’une rotule de
par la finesse de la voûte et de la présence des colonnes.
Figure 24 : schéma d'un type de voûte
Figure 25 : photographie d'une voûte
Quoiqu’il en soit, la vraie réponse se situera toujours entre les deux. Il s’agit donc de
déterminer ce qu’on pourrait appeler le taux d’encastrement. Dans un premier temps, nous
n’allons pas en discuter. Cependant, nous allons analyser les voûtes selon les deux hypothèses
afin d’analyser l’influence d’un encastrement ou d’une rotule.
Pour déterminer le taux d'encastrement nous pourrions mesurer sur le terrain les
déformations de la voûte après applications de différents cas de charge (notamment le

Hiver 2007
remblayage). Il faudrait ensuite comparer les résultats avec ceux fournit par la modélisation
numérique faite selon les deux types d'appuis.
Figure 26 : à gauche, voûte avec rotules ; à droite, voûte avec encastrements
Matériau :
L’incertitude liée à la terre crue rend difficile le choix des propriétés mécaniques. En
se basant cependant sur les recherches effectuées au point 4.1.3, nous avons adopté les valeurs
suivantes :
• Module d’élasticité : E = 2000 MPa
• Masse volumique : γ = 2000 kg/m3
La masse volumique est valable tant pour la voûte en elle-même que pour la surcharge
latérale. Le matériau est pour l'instant considéré comme isotrope et élastique.
Géométrie :
Pour tous les cas, nous avons commencé par rentrer les dimensions d’une voûte
classique, à savoir :
• Portée : l=3.2 m
• Hauteur : h=1.6 m
• Epaisseur : e = 15 cm
Puis pour le tracé utilisé dans la pratique, pour commencer nous avons adopté les
caractéristiques suivantes :
• Changement de courbe : 60° par rapport à l'horizontale

• Supplément de hauteur : 5 cm
Cœfficients et facteurs de sécurité :

Comme cette étude ne se situe pas encore au niveau d'un dimensionnement, toutes les
valeurs entrées dans le calcul sont des valeurs caractéristiques afin d'approcher la réalité au
plus près.
6.4.2 Cas de charge du poids propre

6.4.2.1 Modélisation avec Cubus
Comme nous l’avons mentionné précédemment, nous avons modélisé plusieurs tracés
différents (tracé idéal, tracé en pratique). Chaque fois nous avons discrétisé la voûte en une
trentaine d’éléments de poutres, avec comme coordonnées des points calculés sur Excel.

Hiver 2007
Chaînette inversée :
Dans un premier temps, nous avons analysé le tracé de la chaînette inversée, à savoir
le tracé idéal sous le cas de charge du poids propre. Les résultats graphiques se trouvent en
annexe. Le tableau ci-dessous récapitule les résultats principaux :
Cas articulé Cas encastré

Effort normal en pied [kN/m’] -10.00 -10.00
Effort tranchant max [kN/m’] 0.39 0.39
Moment de flexion max [kNm/m’] 0.03 0.04
Excentricité [m] 0 0
Déplacement en clé de voûte [mm] 0 0
Réaction d’appui en X [kN/m’] 3.63 3.63
Réaction d’appui en Y [kN/m’] 9.32 9.32
Réaction d’appui en θ [kNm/m’] - 0.03
Tableau 3 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ;
angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)
Commentaires :
Suivant la définition de la chaînette, seul l’effort normal devrait être présent, ce qui
n’est pas le cas apparemment puisque l’on note une part d’effort tranchant et de flexion.
Cependant, ces valeurs sont faibles vis-à-vis de l’effort normal. Ces efforts superflus sont dus
à la modélisation de la voûte avec des poutres d’une certaine longueur, induisant ainsi une
imprécision conduisant à l’apparition de ces efforts. Plus la modélisation admettra des
éléments poutres petits, meilleure sera la précision.
Cet exemple montre que la forme de la chaînette inversée pour supporter le poids
propre est bel et bien la meilleure, que l’appui soit encastré ou articulé.
Tracé en pratique :
Moment de flexion max [kNm/m’] -0.7 0.68
Excentricité en clé [m] 0.17 0.07
Excentricité en pied [m] - 0.08
Déplacement en clé de voûte [mm] -0.43 -0.23
Tableau 4 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ;
angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)
Commentaires :
La forme n’étant plus optimale pour le cas de charge considéré, il est normal de
trouver des efforts autres que celui de l’effort normal. L’effort tranchant a une importance
relativement grande, notamment en pied de voûte. Cela parait logique puisque la voûte y est
perpendiculaire, contrairement à la chaînette qui prend naissance avec une inclinaison. Il faut
donc attacher une importance particulière en pied de voûte, que l’appui soit articulé ou
encastré. On remarque également la présence d’efforts de flexion. Si cet effort est grand, il
engendrera de la traction (sur la fibre intérieure dans la zone de la clé et sur la fibre extérieure
sur les côtés de la voûte). Ceci est à éviter absolument, puisque nous avons vu que la terre

Hiver 2007
crue travaille uniquement en compression. On constate d’autre part que le fait d’encastrer le
pied de voûte diminue l’excentricité maximum. En effet, les diagrammes montrent que
l’encastrement permet de répartir cette excentricité alors que l’articulation a tendance à la
localiser.
Dans notre calcul, rappelons que l'épaisseur de la voûte est de 15 cm. Pour que la force
passe par le tiers central, il faut que l'excentricité soit inférieure à un sixième de l'épaisseur
(distance entre le centre de gravité et la limite du tiers central), c'est-à-dire 2.5 cm. Cela n'est
ni le cas dans l'exemple articulé ni dans l'exemple encastré. Dans le cas articulé, la résultante
sort même largement de la matière, ce qui conduirait à une instabilité de la voûte. Dans le cas
encastré, la résultante est à la limite de sortir. Comme nous l'avons mentionné plus haut, le
comportement réel de l'appui se situe entre les deux cas. Il en résulte que la résultante passe
en dehors de la matière. Selon nos hypothèses, cette voûte est instable. Or, ce tracé est
fréquemment utilisé dans la construction et il a apparemment fait ses preuves de manière
convaincante. Il y a donc un décalage entre la réalité et notre analyse. Nous avons imaginé
plusieurs raisons à cela :
• Ce tracé n'est pas utilisé dans une voûte soumise uniquement à son poids propre,
comme le montrent différentes illustrations ainsi que les plans de la mosquée.
• L'hypothèse d'une résistance nulle à la traction est trop pessimiste. Le matériau
permet de reprendre quand même une part de traction.
• Le tracé modélisé ne correspond pas exactement au tracé construit en réalité.
• Les hypothèses sur les caractéristiques du matériau sont peut-être fausses
(notamment celle du poids volumique).
6.4.2.2 Modélisation avec Excel

Il est toujours utile de posséder un second outil de calcul pour pouvoir comparer les
résultats. Nous avons utilisé Excel pour satisfaire cet objectif. Le but est d'effectuer une
descente de charge selon un arc funiculaire à poussée compensée en discrétisant la voûte en
plusieurs éléments (mode d'emploi de la feuille en annexe).
L’utilisation de l’équation mathématique de la chaînette permet de dessiner
rapidement les courbes, à condition de rentrer le paramètre « a ». Celui-ci dépendra d’une part
de la masse volumique du matériau utilisé et de l’épaisseur de la voûte, et d’autre part de la
poussée horizontale. Celle-ci n’est pas connue à priori. L’approche doit donc être effectuée
dans l’autre sens. En se fixant une portée et une hauteur maximale de voûte, on parvient à
déterminer le paramètre « a ». En effet, pour une portée et une hauteur maximale de voûte
données, il n’existe qu’une chaînette possible, et donc un unique paramètre « a ». Cette
recherche est rendue aisée grâce à l’utilisation d’Excel. Il vient finalement comme
relation permettant de déterminer la poussée théorique dans la voûte :
H = a ⋅t ⋅γ
Une fois la feuille programmée, nous avons vérifié cette méthode de discrétisation
avec une courbe dont on connaît la forme exacte : la chaînette.

Hiver 2007
Portée 3m / Hauteur 1.7m
1.8
1.6
1.4
1.2
1 chainette théorique
Hauteur
Discrét 16 élém
0.8
Discrét. 32 élém
0.6 Discrét. 64 élém
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-0.2
Portée
Figure 27 : comparaison entre courbe théorique et courbes selon discrétisation, pour une portée et une
hauteur données
Nous avons commencé par discrétisé la voûte en 16 éléments. Les résultats fournissent
une courbe proche mais pas superposée. En essayant avec 32 éléments, puis 64 éléments, on
remarque rapidement que la précision s’améliore. Sans augmenter la discrétisation, on peut
conclure que les deux courbes sont exactement superposées si on tend le nombre d’éléments à
l’infini. Dans un premier temps et pour la suite des calculs, on adoptera une discrétisation en
16 éléments. Notons qu’il serait envisageable d’établir un critère de précision au-deçà duquel
on admet que les deux courbes sont identiques.
6.4.3 Cas de charge d’une surcharge latérale : dimensions traditionnelles
Figure 28 : voûte surchargée sur les côtés [3]
6.4.3.1 Modélisation avec Cubus

Le principe de modélisation est le même que précédemment, seul le cas de charge
change. Il faut ajouter des charges équivalentes au matériau que l’on ajoute sur la voûte pour
en faire une terrasse. Pour ce faire, on modélise une charge linéaire par élément de voûte
d’intensité égale à γ ⋅ hmoy , où hmoy est la hauteur de la colonne de remblai sur un élément de
poutre formant la voûte. A titre d’illustration, voici à quoi ressemble un cas de charge :

Hiver 2007
Figure 29 : cas de charge d'une surcharge latérale. (Le facteur d'amplification de l'échelle des charges
trompe le fait que la toiture est plate en réalité.)
Chaînette inversée :
Les constatations faites précédemment sont semblablement les mêmes, à savoir que
l'encastrement est favorable. Cependant on constate que pour un cas de charge différent de
celui du poids propre, la chaînette n'est pas appropriée. Les efforts de flexion et tranchants
engendrés sont importants, ce qui conduit à une part importante de traction dans la voûte. De
plus, l'excentricité est telle que la résultante sort de la matière, ce qui conduit à une instabilité.
On remarque également que le calcul donne un déplacement de la clé de voûte vers le
haut, ce qui paraît contraire à l'intuition.
Tracé en pratique :
La première des constatations se situe au niveau de l'excentricité de l'effort normal par
rapport au centre de gravité. Elle est relativement faible (7cm au maximum) ! Hormis le cas
de charge du poids propre sur la chaînette inversée, jamais un résultat n'a été aussi bon. La
forme adoptée dans le cas d'un remblayage latérale de la voûte est donc bien adaptée. On le
constate sur la Figure 30 que nous avons inclus ici à titre d'exemple. Il est très intéressant
d’observer le cheminement des efforts au travers de la voûte. Des règles de construction aussi
simple pour un résultat aussi bon n'incitent pas à changer le mode de construction pour ce
type de voûte.
Figure 30 : excentricité d'une voûte encastrée soumise à son poids propre et à une surcharge latérale
(portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ; angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)

Hiver 2007
On constate également sur la base de la même Figure 30 que l'endroit où on retrouve

une excentricité maximum se situe aux environs du changement de courbe (passage du cercle
à la parabole). Cela revient à dire que le comportement est encore meilleur si cette zone est
réalisée avec soins par les constructeurs, notamment en adoucissant cette cassure. En effet, la
modélisation n'adoucit pas la cassure.
On peut tout de même essayer de se prémunir d'une éventuelle instabilité en
augmentant la dimension du tiers central (et donc en augmentant l'épaisseur de la voûte).
Celle-ci a été prise précédemment à 15cm. Nous avons regardé l'influence d'un changement
d'épaisseur. Les efforts engendrés sont tous différents, ce qui est logique puisque le poids
propre de la voûte varie selon que l'épaisseur augmente ou diminue (Tableau 12 en annexe).
Épaisseur 10 cm Epaisseur 15 cm Epaisseur 20 cm

Excentricité mm 70.2 75.2 79.1
Excentricité / 0.702 0.501 0.396
épaiss.
Tableau 5 : comparaison des résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une
surcharge latérale pour des épaisseurs différentes (portée 3.2m ; angle de transition 60° ; hauteur
supplémentaire à la clé 0.05m)
Cependant, il est intéressant de constater que l'excentricité par rapport à l'épaisseur

diminue quand on l'augmente. Sans pouvoir tirer de règles absolues, il faut retenir que
l'épaisseur de la voûte peut être un paramètre important.
Maintenant que nous avons vu que le tracé réalisé en pratique répond de manière
satisfaisante aux exigences statiques de la voûte, nous pouvons continuer l'étude sur cette
base. Nous pouvons commencer par regarder l'influence de l'angle à partir duquel on change
de courbe ainsi que l'influence du supplément de hauteur que l'on ajoute à la clé de voûte.
Influence de la hauteur supplémentaire :

Dans un premier temps, nous avons regardé l'influence d'un supplément de hauteur.
Voici les résultats pour une voûte dont le changement de courbe se situe toujours à 60°, mais
dont l'augmentation de hauteur est cette fois de 10cm (Tableau 13).
On peut constater que l'augmentation de hauteur est défavorable au niveau de
l'excentricité. Ce constat rejoint celui du chapitre 6.3 dans lequel nous avions constaté que la
transition entre les deux courbes était davantage brusque lorsque nous augmentions la hauteur
supplémentaire. L'effort reste tout de même dans la matière, mais pas dans le tiers central. Des
contraintes de traction vont donc apparaître.
D'autre part, dans ce cas, la présence d'un encastrement n'est pas forcément un
avantage, puisqu'on remarque qu'en clé de voûte l'excentricité y est supérieure.
Influence de l'angle de transition de courbe :

Dans un deuxième temps, nous avons observé l'influence d'un changement de courbe à
75° (Tableau 14).
Là aussi, le constat est le même qu'au chapitre 6.3, à savoir que l'augmentation de
l'angle auquel se fait la transition de courbe est défavorable. Cependant, la différence avec une
transition à 60° n'est pas significative.
Le problème est en faite toujours le même. Au droit de la zone critique, le tracé passe
trop bas par rapport au chemin des efforts. De par son excentricité, l'effort normal va avoir
tendance à comprimer fortement les fibres du bord supérieur, ce qui pourrait conduire à un
"claquement" de la voûte vers l'intérieur.
Hiver 2007
Figure 31 : effet d'une trop grande excentricité sur la voûte
En conclusion, dans ce cas de charge, les premiers résultats nous amènent à penser
qu'il faut dans la mesure du possible garder l'angle de transition proche de 60°, et un
supplément de hauteur à la clé proche de 5 cm.
6.4.3.2 Modélisation avec Excel

Comme nous l’avons souligné précédemment, l’équation de la chaînette n’est valable
que sous le cas de charge du poids propre. On ne peut donc pas traiter de voûtes dont les côtés
sont remblayés (Figure 28). Cette condition est trop restrictive dans le cadre de ce projet, car
ce type de voûte est très utilisé au Burkina Faso afin de permettre l’aménagement d’un
deuxième étage.
C’est pourquoi nous avons programmé une feuille de calcul Excel se basant sur le
principe de l’arc funiculaire à poussée compensée. Le principe est le suivant : on discrétise
une voûte en plusieurs éléments, dont les coordonnées du centre de gravité sont connues. En
partant ensuite du sommet de la voûte, on calcule les coordonnées de chacun des points où le
vecteur force horizontal rencontre le vecteur force vertical, jusqu’à arriver au pied de la voûte.
12 3
1
2
Figure 32 : Discrétisation d'une voûte et arc funiculaire correspondant
On voit schématiquement que le vecteur poids augmente, ce qui correspond à une

charge toujours plus grande sur la voûte.
Une fois encore, nous avons voulu comparer les résultats fournis par cette méthode
avec Cubus. Le cas de charge étant différent cette fois-ci, nous l’avons modélisé par une
surcharge répartie selon un trapèze. Contrairement au cas de charge du poids propre pour
lequel les résultats étaient identiques, il y a une grande différence entre les résultats. Ceci peut
s’expliquer comme ceci :

Hiver 2007
• modélisation des surcharges.

• détermination des surcharges selon la courbe de la chaînette inversée et non de la
courbe idéale dans le cas d'une surcharge.
En conclusion, l’utilisation d’Excel n’est pas recommandée. Si dans le cas d’une

chaînette isostatique les résultats étaient convaincants, pour tout autre situation ils deviennent
loin de la réalité. De plus, la programmation de la feuille se fait sur la base d’un calcul
isostatique. Une voûte encastrée ne peut donc pas être modélisée, ce qui réduit drastiquement
le champ de l’étude. C’est pourquoi nous nous sommes contentés par la suite de l’utilisation
de CUBUS.
6.4.4 Cas de charge d’une surcharge latérale : dimensions différentes

Les premiers calculs ont montré que le tracé était adapté au type de construction, à
savoir des voûtes remblayées d'une portée de 3.20 m et d'une hauteur aux environs de 1.70 m.
Dans cette section, nous allons essayé de modéliser des voûtes de dimensions différentes afin
d'augmenter les possibilités d'utilisation de telles structures.
Construire des voûtes de plus grande portée selon les règles locales de conception
habituelles conduirait à des hauteurs plus grandes également, puisque la hauteur est fonction
de la portée. Cela conduirait à des hauteurs certainement trop importantes et donc des
volumes vides inutiles. En fait, l'idéal serait de pouvoir concevoir des portées plus grandes
sans devoir modifier la hauteur. Cette idée comporte le désavantage de rendre les règles de
conception inapplicables, des règles pourtant simples et bien assimilées par les constructeurs
locaux.
Dans un premier temps, nous allons donc tout de même étudier des voûtes de
dimensions différentes avec les règles traditionnelles. Dans tous les résultats qui suivent, nous
avons gardé les hypothèses d'une hauteur supplémentaire de 5 cm et une transition de courbe
à 60°. Par contre, nous avons fait varié l'épaisseur.
Précédemment, les résultats qui nous ont principalement intéressés, au-delà des efforts
intérieurs et des réactions d'appuis, sont les excentricités de l'effort normal par rapport au
tracé de la voûte. Il semble que ce paramètre soit déterminant dans la construction d'une
voûte. Les résultats suivants ne résument donc que les excentricités. Nous avons modélisé
trois voûtes de portées différentes, d'épaisseurs différentes (10, 15 et 20 cm), et avec des
appuis articulés :
Epaisseur 100 mm 150 mm 200 mm

Portée M/N M/N M/N
3m 69 73.5 76.9
3.2 m 70.2 75.2 79.1
4m 85.3 91.4 96.3
5m 97.9 104.7 110.3
Tableau 6 : excentricité maximale selon la portée et l'épaisseur de la voûte, dans un cas articulé

Hiver 2007
3m 0.690 0.490 0.385

3.2 m 0.702 0.501 0.396
4m 0.853 0.609 0.482
5m 0.979 0.698 0.552
Tableau 7 : excentricités rapportées à l'épaisseur
1.2
Excentricité Max/épaisseur
1
10 cm
0.8
15 cm
0.6 20 cm
limite matière
0.4
tiers central
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6
Portée m
Figure 33 : excentricité maximale en fonction de la portée et de l'épaisseur
On constate que pour une même épaisseur, l'augmentation de la portée est défavorable.
Par contre, pour une même portée, l'augmentation de l'épaisseur est favorable. Elle permet de
ramener la résultante des forces près du tiers central. Ces résultats correspondent aux
conclusions faites au Niger (chapitre3.4, Tableau 2 ). On remarquera également par exemple
que la résultante n'est jamais dans la matière pour une portée de 5m. On constate que la
résultante ne passe jamais par le tiers central pour tous les cas. Une analyse supplémentaire
sera donc nécessaire ultérieurement.
6.5 Vérification d'une section

6.5.1 Marche à suivre
Cette partie est consacrée à la vérification d'une section afin de voir si elle résiste aux
sollicitations qui lui sont imposées. Jusqu'ici, l'étude s'est basée sur une analyse plutôt
qualitative, en regardant le cheminement des forces, le but étant qu'il se rapproche le plus
possible au tracé de la voûte. Nous allons passer maintenant à une analyse davantage
quantitative. Avant cela, rappelons les hypothèses principales :
• Le matériau a un comportement élastique.

• Le matériau a une résistance à la traction nulle.
• La résistance à la compression vaut f ck .
• On travaille en mètre linéaire. On ne prend donc pas en compte les effets de bord.
Les étapes de la vérification sont les suivantes :

Hiver 2007
Etape 1 : A l'aide d'un logiciel de calcul (CUBUS p.ex.), on détermine les efforts dans la
voûte. On calcule l'excentricité par M/N. Trois cas se présentent alors :
1) Si l'excentricité est supérieure à la demi-épaisseur, l'effort sort de la voûte,

et on la considère comme instable.
2) Si l'excentricité est inférieure à un sixième de l'épaisseur, l'effort est dans le

tiers central. On calcule alors la contrainte maximale dans la section avec
N M
σ= ± ⋅y
A I
Il faut alors vérifier que sigma σ < f ck .
3) Si l'excentricité est inférieure à la demi-épaisseur, mais supérieure au

sixième de l'épaisseur, la force est hors du tiers central. La section va donc
se fissurer du côté du bord tendu. On passe alors à l'étape 2.
Etape 2 : La section fissurée ne participe plus à la reprise des efforts. On ne va alors

considérer que la partie comprimée comme nouvelle section. Le moment de
flexion va diminuer puisque le centre de gravité se rapproche de la résultante
des forces.
Diagramme des contraintes
Résultante hors du tiers central. La

partie tendue va alors se fissurer.
La section tendue va alors réduire

e la section, ce qui va augmenter les
contraintes de compression.
La résultante passe dans le tiers

central, au prix d'une augmentation
des contraintes de compression. Si
ça n'avait pas été le cas, on aurait
déduit à nouveau la partie tendue.
Ainsi jusqu'à ce que la résultante
e finisse par passer dans le tiers
Fissuré central.
Figure 34 : principe de réduction de la section participative
Une fois que la force rentre dans le tiers central, on calcule la contrainte
correspondante, puis on vérifie :

Hiver 2007
σ < f ck
Ces calculs peuvent se faire aisément en programmant une feuille Excel.
Etape 3 : Il reste à vérifier la voûte à l'effort tranchant. La contrainte de cisaillement est

calculée comme :
V
τ=
A
Connaissant alors l'effort normal et la contrainte de cisaillement, on peut

vérifier le cisaillement d'après un critère de Mohr-Coulomb par exemple. Cette
dernière vérification nécessite la connaissance de l'angle de frottement et de la
cohésion.
Etape 4 : On vérifie également la section en pied qui est soumise à un effort normal
maximal.
Remarque : Pour l’instant, étant donné que nous n’avons pas de réponse claire par rapport
aux conditions d’appuis, un calcul tant en considérant des appuis articulés
qu’encastrés devrait être réalisé.
6.5.2 Exemple numérique

Soit la volonté de construire une voûte de manière traditionnelle d'une portée de 4 m.
Nous allons choisir comme paramètres :
• Un angle de transition à 60° depuis l'horizontale.
• Une hauteur supplémentaire de 0.05 m.
• Une épaisseur de voûte de 4/3.2 * 0.15, selon la constatation faite précédemment.
• On choisit un cas encastré comme conditions d'appuis.
Une feuille Excel permet de trouver les coordonnées du tracé.

Un programme d'éléments finis permet de calculer les efforts intérieurs. On choisit comme
section déterminante la section où l'excentricité est maximum :
Figure 35 : excentricité d'une voûte encastrée soumise à son poids propre et à une surcharge latérale
(portée 4m ; épaisseur 0.2m ; angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)

Hiver 2007
Tableau 8 : résultats fournis par CUBUS sous forme numérique
L'effort normal N maximum vaut N = -14.33 kN.

L'excentricité est de 0.66 m.
On introduit ensuite simplement les efforts dans une autre feuille Excel (voir annexe).
6.6 Vérification du mur

Les efforts arrivant en pied de voûte doivent ensuite être transmis aux fondations par
l’intermédiaire d’un mur porteur (Figure 36).
Figure 36 : transmission des efforts de compression aux murs porteurs
Pour ce qui est de l’effort normal, les dimensions du mur sont telles que ce critère ne
doit pas être déterminant. Cependant, on peut estimer la valeur de la réaction verticale en
calculant le poids de la voûte et de sa surcharge. On peut approximer ce poids par la
différence entre un rectangle et un demi-cercle. Le résultat va donner la réaction verticale,
mais l’angle entre cette réaction et l’effort normal est suffisamment faible pour admettre que
ces valeurs sont très proches.
Figure 37 : calcul estimatif du poids d'une voûte par mètre linéaire

Hiver 2007
R2 π
A = 2 ⋅ R2 − π ⋅ = R 2 ⋅ (2 − )
2 2
A ⋅1⋅ γ
⇒ N ≅V =
2
La contrainte découle alors directement de cette valeur, contrainte qu’il suffit de
comparer à la contrainte admissible dans le matériau utilisé.
En ce qui concerne la réaction horizontale que doit reprendre le mur, une formule aussi
simple pour déterminer son intensité n’est pas possible. On peut cependant essayer de trouver
une relation empirique entre l’effort vertical et l’effort horizontal en fonction des conditions
d’appuis et de la portée.
Cas articulé (ép. 15cm) Cas encastré (ép. 15cm)

Portée 3 m 0.27 0.31
Portée 4 m 0.26 0.30
Portée 5 m 0.26 0.29
Tableau 9: rapport V/H (pente de la résultante)
On remarque que l’effort horizontal à reprendre est à peu près de 30 % de l'effort

vertical. Là aussi, il faudrait multiplier les cas pour valider cette relation. On constate
cependant que ce rapport ne varie que très peu, quelque soit la portée et quelque soit les
conditions d'appuis. Aux vues de ces résultats on peut admettre que la résultante des forces a
une inclinaison telle que la tangente de l'angle soit égale à 30.
Une fois que l’on a une estimation de cet effort, on peut calculer la direction de la
résultante ainsi que son intensité. Ne connaissant pas suffisamment les propriétés des murs en
maçonnerie tels qu’ils sont construits, on va faire l’hypothèse de ne compter que sur le poids
propre du mur pour amener la résultante dans la fondation (analogie avec un barrage poids par
exemple). Si on considère que la résultante s’applique au milieu du mur (c’est faux, en
général c’est davantage à l’intérieur du mur qu’au milieu, donc cette hypothèse est
conservatrice), et que pour être stable l’effort doit rester dans le tiers central du mur, on a
comme critère de stabilité :

Hiver 2007
1/ 6 ⋅ B
≤ tan α
H
H
où tan α est le rapport
entre l’effort horizontal
H et vertical V.
1/6B
B
Figure 38 : résultante des forces dans le tiers central
Si l'on considère la pente de la résultante déterminée précédemment (pente = 30) avec

une hauteur d'approximativement 2 mètres, il vient que l'épaisseur du mur porteur doit être au
minimum de 3.6 mètres (!) pour conserver la force dans le tiers central. Ce résultat n'est bien
entendu pas réaliste (ni réalisable d'ailleurs). Une analyse plus fine du mur porteur doit être
effectuée. On peut, dans un premier temps, procéder de façon similaire à la vérification en
section de la voûte, avec la réduction de la section participante. Ainsi, l'extrados est davantage
sollicité en compression. De ce fait, la résistance en compression des murs porteurs peut
devenir déterminante avec l'augmentation de la portée. En effet, plus la portée est grande, plus
l'intensité de la résultante des forces va être grande.
7 Possibilités d’essais
7.1 Réalisation d’un modèle à l’échelle 1:1
L’idée, qui aurait été la solution la plus intéressante pour comprendre correctement le
fonctionnement de la voûte nubienne, était de construire une voûte en terre crue à l’échelle
1 :1 avec la même méthode de construction qu’au Burkina Faso, sur un ou deux mètres. Pour
ce faire, il aurait tout d’abord fallu connaître la composition de la terre crue utilisée sur place.
On a donc commencé par faire des recherches sur les types de sols de la région (9.1)
puisqu’ils utilisent la terre disponible à même le sol sans transformation. Cependant, ceci n’a
pas été suffisant pour connaître la composition exacte des terres utilisées, l’idéal aurait été
d’obtenir un échantillon du Burkina Faso pour ensuite l’analyser et ainsi la déterminer.
Pour la construction proprement dite de la voûte, de relativement grandes surfaces
auraient été nécessaires. En effet, nous avons calculé que pour bâtir une voûte de 2 mètres de
long et 3 mètres de portée avec des briques de 20×10×4 cm et en faisant comme première
approximation que la voûte a une forme d’un demi cylindre, il nous aurait fallu fabriquer 236
briques. Et comme il est nécessaire de faire sécher les briques de terre crue avant de les
utiliser, la surface minimale pour les faire sécher aurait été de 20 cm × 10 cm × 236 briques =
4,7 m2. Mais comme les briques doivent être espacées un minimum pour sécher, il aurait
même fallu plus de 14 m2, en considérant que l’on laisse 10 cm d’espace de chaque côté entre
les briques. A cela s’ajoute la place pour le montage de la voûte, soit au minimum 2 m × 3 m
Hiver 2007
= 6 m2. Le problème du séchage de la voûte peut être résolu en séchant les briques dans une
étuve, ce qui nous a été proposé par le laboratoire de mécanique des sols, mais un trop grand
nombre d’étuves auraient été nécessaires.
La quantité de terre nécessaire pour la fabrication de la voûte aurait été de 1,9 m3. Et il
aurait encore fallu de la terre pour le mortier. Sans compter la terre et la surface
supplémentaire qu’aurait demandée la construction des murs porteurs et des murs pignons. La
nécessitée des murs porteurs n’est pas réel, car leur analyse est plus simple. Mais il serait bien
de les construire pour recréer les conditions d’appuis de la façon le plus réaliste possible.
Quant à la pose des briques, elle aurait nécessité un maçon expérimenté, voire même
une personne spécialisée, car comme il est mentionné dans le rapport d’Urs Wyss, les maçons
« standard » suivent une formation pour construire les voûtes nubiennes. Mais ceci ne devrait
tout de même pas poser une barrière infranchissable. Cependant, le temps nécessaire pour la
réalisation de l’expérience est difficile à estimer. N’ayant pas d’échantillon, nous avons
procédé à des recherches pour déterminer, le type de sol qui serait le plus représentatif. Il est
nécessaire d’avoir une bonne représentation de la réalité si l’on veut que les résultats soient
utilisables à des fins de dimensionnement. Une expérience d’une construction de voûte a été
menée par l’association « Acroterre ». Alors que deux maçons expérimentés construisent 0.2
m linéaire par heure, il a fallu beaucoup plus de temps à l’association qui ne possédait pas
d’expérience de construction de voûtes nubiennes. Grâce à cet essai, on peut se rendre compte
du temps considérable qu’il faudrait pour la construction en laboratoire d’une voûte de 2 m,
sans compter la recherche des matériaux et la confection des briques.
Faute de temps, de moyens et de pratique, nous nous sommes orientés vers la
conception d’une maquette.
7.2 Réalisation de la maquette

Pour fabriquer la maquette, nous avons choisi d’utiliser du polystyrène expansé. Pour
le côté pratique, nous avons décidé de prendre une échelle de 1 :10, ainsi les biques de
24×12×4 cm deviennent des parallélépipèdes rectangles de polystyrène de 24×12×5 mm (la
différence d’épaisseur entre la taille réelle de la brique et la maquette étant dû à l’épaisseur
disponible des feuilles de polystyrène). La portée est de 3,2 m. Pour joindre les briques, nous
avons simplement utilisé de la colle blanche.
La maquette donne une bonne image visuelle de la disposition des briques, mais nous
laisse quelques interrogations sur la mise en place des briques qui n’est pas aussi simple que
l’on pourrait croire.
Figure 39 : réalisation de la maquette

Hiver 2007
8 Conclusions : comment poursuivre le projet ?

Sur la base de cette étude, nous proposons quelques lignes directrices à adopter en cas
de reprise de ce projet ultérieurement. En effet, dans ce travail nous n’avons pu que
« dégrossir » le sujet, et mettre en évidence les problèmes rencontrés.
Premièrement, nous avons pu constater qu’il était difficile d’aborder le sujet sans
jamais avoir de contact direct avec une voûte. En effet, un modèle aurait permis
d’appréhender davantage le comportement statique d’une voûte. Si l’on désirait pousser le
projet à un niveau d’analyse encore supérieur, l’étude et le suivi d’une voûte en construction
directement sur le terrain permettraient d'en cerner concrètement le comportement.
D’autre part, les caractéristiques mécaniques des matériaux restent une grande
inconnue. C’est pourquoi la possibilité de se procurer un échantillon de matériau représentatif
du celui utilisé dans la pratique aurait permis d’effectuer nos propres essais et ainsi de
déterminer ses caractéristiques. Cependant, il ne faut pas perdre de vue que les matériaux
issus du sol sont d’une grande diversité et que l’obtention de valeurs uniques est irréaliste.
D’un point de vue numérique, on a vu qu’il était possible d’effectuer une première
vérification simplifiée d’une section de voûte en fonction de ses caractéristiques mécaniques
et géométriques, à l'état final. Pour ce faire, il faut d’abord déterminer le tracé en fonction de
la portée voulue (Excel), calculer les efforts intérieurs en fonction du matériau et des
conditions d’appuis (CUBUS) et ensuite vérifier la section sous ces efforts (Excel). Le
principe est relativement simple, mais pour un cas de voûte donné, les paramètres à définir
deviennent rapidement nombreux (portée, épaisseur, angle de transition, hauteur
supplémentaire, résistance à la compression, cohésion, angle de frottement, module
d’élasticité, conditions d’appuis). C’est pourquoi l’élaboration d’abaques incluant tous ces
paramètres permettrait de simplifier le choix des paramètres en fonction de la portée. Mais
cela nécessiterait le traitement de nombreux cas différents et donc un investissement en temps
important.
Nous avons également constaté que l'utilisation de logiciel d'éléments finis plus
élaborés (Ansys) pourraient contribuer à une compréhension meilleure du comportement de la
voûte, tant en phase de construction qu'en phase de service. Mais là encore, toute utilisation
de tels logiciels n'a pas grand intérêt tant que les données que l'on y entre ne sont
qu'approximatives (caractéristiques des matériaux, interfaces entre les briques, etc…).
D’autre part, le matériel informatique évoqué ci-dessus n’est certainement pas
disponible facilement dans le contexte burkinabé. Des solutions doivent donc être trouvées.
En ce qui concerne le tracé, il est facile de reproduire la forme à la main, puisqu’il ne s’agit
rien d’autre qu’un arc de cercle couplé à un arc de parabole. Cette manière de faire est
certainement déjà utilisée.
Quant à Cubus, les informations qu’il fournit qui nous sont nécessaires ne sont
finalement que l’excentricité maximale, ainsi que les efforts en pied de voûte. A nouveau,
l’élaboration d’abaques nous semble adéquate. Pour ce faire, une multitude de cas doivent être
modélisés puis calculés.
En conclusion, trop de paramètres concernant le matériau utilisé sont inconnus pour

pouvoir approcher la réalité avec justesse. Les méthodes numériques permettent uniquement
de se faire une idée sur quelques principes et l'influence de quelques paramètres sur la
stabilité et la résistance d'une voûte. Par contre, si les propriétés mécaniques du matériau
utilisé étaient connues, le recours à l'informatique pourrait s'avérer redoutable. En effet,
l'élaboration d'une théorie analytique est périlleuse, et ne garantirait pas des résultats
satisfaisants.

Hiver 2007
L'un des objectifs initial de ce projet était d'établir des abaques de dimensionnement
pour l'élaboration de voûtes différentes de celles traditionnellement construites. Ce rapport ne
le remplit pas pleinement, puisqu'un constructeur local ne pourra pas s'appuyer sur les
résultats de ce projet. Néanmoins, il ressort que l'augmentation des portées traditionnelles
n'est pas hors de question, bien au contraire. Certaines pistes mènent à penser qu'avec les
méthodes traditionnelles de construction actuelles, une voûte de dimensions supérieures est
tout à fait envisageable, moyennant une étude plus poussée. Donc si ce rapport ne fournit pas
tous les résultats escomptés, il ouvre en revanche quelques portes à explorer.

Hiver 2007
9 Annexes
9.1 Définition de la géologie du Burkina Faso
Le sous-sol burkinabé est en majorité granitique, lequel par des cycles de
métamorphose et d’altération amène à des argiles. La couverture latéritique est une couche en
partie argileuse pouvant atteindre 30 à 40 m de profondeur. On distingue huit grands groupes
de sol :
Selon le livre «Géologie du Burkina Faso», il est établi une division en famille selon
les matériaux constitutifs (Figure 40) :
1. Sols minéraux bruts ou lithosols sur roches diverses et cuirasses.
2. Sols peu évolués d’érosion sur matériau gravillonnaire et d’apports alluviaux, qui
occupent environ le quart du pays : sol ferrigineux tropicaux.
3. Vertisols sur alluvions ou matériau argileux : Sols noir ou bruns avec au moins
30% d’argile (montmorillonite, illite…)
4. Sols bruns eutrophes tropicaux sur matériau argileux.
5. Sols ferrugineux tropicaux peu lessivés et lessivés sur matériaux sableux, sablo-
argileux et argilo-sableux, qu’on trouve dans plus du tiers du pays.
6. Sols ferralitiques moyennement désaturés sur matériaux sablo-argileux.
7. Sols hydromorphes minéraux à pseudogley sur matériaux à texture variée.
8. Sols sodiques à structure dégradée : les sols sodiques sont aussi appelés sol salés
ou sol halomorphe caractérisés par une teneur élevée en sels solubles.
Figure 40 : répartition géographique des 8 familles de sol.

Hiver 2007
Il y est précisé la composition de 9 sols différents. Il ne faut pas oublier que Craterre a
défini une constitution optimale pour la fabrication des briques (4.2.3). Il a été donné, par la
même source, une courbe granulométrique idéale pour la composition du sol, qui permet un
compactage optimal (Figure 41) :
Figure 41 : courbes granulométriques (Construire en terre, fig. 250)
En outre, il faut relever que le type exact des constituants n’est pas forcément
nécessaire. Il s’agit bien ici de pouvoir fabriquer des briques ayant les même propriétés
mécanique que in situ, afin d’obtenir des résultats représentatif de la réalité.
Il a été donné une méthode empirique pour la vérification de la qualité de la terre
utilisée dans la fabrication des briques. Elle consiste à rouler un boudin de terre qui ne doit
pas coller à la main. On l’aplatit avec précaution entre les doigts afin d’obtenir un long ruban,
dont la longueur à laquelle il se casse indiquera à propos de la qualité de la terre :
• s’il se rompt entre 5 et 15cm la terre est correcte pour l’adobe,
• s’il se rompt avant 5cm, il faut ajouter de l’argile
• s’il se rompt après 15cm, il faut ajouter du sable.

Hiver 2007
9.2 Calcul de stabilité durant la construction

Hiver 2007
9.3 Analyse statique à l’état final

9.3.1 Tableaux des principaux résultats
Excentricité max [m] 0.13 0.09
Excentricité en pied [m] 0.04
Déplacement en clé de voûte [mm] +0.30 +0.11
Tableau 10 : résultats principaux d'une voûte "chaînette" soumise à son poids propre et à une surcharge
latérale (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ; angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)

Effort normal en pied [kN/m’] 20.89 21.03
Excentricité en max [m] 0.07 0.04
Excentricité en pied [m] 0.05
Déplacement en clé de voûte [mm] 0.55 0.26
Réaction d’appui en θ [kNm/m’] 0.98
Tableau 11 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une surcharge latérale
(portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ; angle de transition 60° ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)
Cas encastré Articulé (15cm/20cm) Encastré (15cm/20cm)

Effort normal en pied [kN/m’] 20.89 23.56 21.03 23.72
Effort tranchant max [kN/m’] 2.58 3.03 3.33 3.93
Moment de flexion max [kNm/m’] 1.24 1.47 0.98 1.18
Excentricité en clé [m] 0.07 0.07 0.04 0.05
Excentricité en pied [m] 0.05 0.01
Déplacement en clé de voûte [mm] 0.55 0.33 0.26 0.19
Réaction d’appui en X [kN/m’] 5.44 6.25 6.20 7.16
Réaction d’appui en Y [kN/m’] 20.25 22.81 20.25 22.81
Réaction d’appui en θ [kNm/m’] 0.98 1.18
Tableau 12 : comparaison des résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une
surcharge latérale pour des épaisseurs différentes (portée 3.2m ; angle de transition 60° ; hauteur
supplémentaire à la clé 0.05m)

Hiver 2007

Tableau 13 : résultats principaux d'une voûte soumise à son poids propre et à une surcharge latérale pour
des hauteurs supplémentaires différentes (portée 3.2m ; angle de transition 60° ; épaisseur 0.15m)

angles de transition différents (portée 3.2m ; épaisseur 0.15m ; hauteur supplémentaire à la clé 0.05m)

Effort normal en pied [kN/m’] -87.55
Effort tranchant max [kN/m’] 6.13
Moment de flexion max [kNm/m’] 2.21
Excentricité en clé [m] 0.07
Excentricité en pied [m] -
Déplacement en clé de voûte [mm] -0.27
Réaction d’appui en X [kN/m’] 14.73
Réaction d’appui en Y [kN/m’] 86.31
Réaction d’appui en θ [kNm/m’] -
une portée plus grande (portée 5m ; angle de transition 60° ; épaisseur 0.15m)

Hiver 2007
9.3.2 Quelques graphiques des résultats principaux

Cas a) Chaînette inversée sous son poids propre
Cas b) Tracé pratique sous son poids propre
Cas c) Tracé pratique sous son poids propre et surcharges latérales (cas articulé)
Cas d) Tracé pratique sous son poids propre et surcharges latérales (cas encastré)
Cas e) Tracé pratique sous son poids propre et surcharges latérales (articulé, épaisseur
20 cm)
Cas f) Tracé pratique sous son poids propre et surcharges latérales (encastré,
épaisseur 20 cm)

Hiver 2007
9.4 Exemple de calcul d’une section

Hiver 2007
10 Références
Publications :
[1] Wyss Urs, Projet de dissémination des techniques de construction de toitures

économiques et non consommatrices de bois au Burkina Faso,
[2] Granier Thomas, des toits de terre au Sahel
[3] Woodless construction, Using unstabilised earth bricks and vault and
dome roofing in West Africa
[4] La voûte nubienne, règles de construction,
[5] Granier Thomas, Kaye A., Ravier J., Sillou D., The nubian vault
[6] Géologie du Burkina Faso, Vladimir Sattran – Urbain Wenmenga,
Publication : Czech Geological Survey, cote GEO 7729, CDU 55(662) SAT
[7] Construire en terre, le CRAterre, P Doat, A. Hays, Edition alternative
collection AnArchitecture.
[8] Bâtir, Manuel de la construction, R. Vittone, PPUR, première édition 1996,
réimpression 2003
Sites internet:
[9] http://www.earth-auroville.com/
[10] www.wikipédia.com
[11] http://fr.wikipedia.org/wiki/Adobe_%28brique%29
[12] http://www.init-environnement.com/?page=enduit
[13] http://www.futura-sciences.com/comprendre/g/definition-
laterite_1530.php
[14] http://fr.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%A9rite
[15] http://insolit.free.fr/detlaterite.html
[16] http://www.ird.fr/fr/actualites/fiches/1998/fiche62.htm
[17] http://fr.wikipedia.org/wiki/Vertisol
[18] http://horizon.documentation.ird.fr/exl-
doc/pleins_textes/pleins_textes_5/b_fdi_02-03/01402.pdf
[19] http://www.fao.org/ag/agl/aglw/aquastat/countries/burkina_faso/indexfr
a.stm
[20] http://www.abn.ne/webfr/ident/bfident.html
[21] http://www.afdb.org/pls/portal/docs/PAGE/ADB_ADMIN_PG/DOCU
MENTS/OPERATIONSINFORMATION/DORI%20T%C3%89RA%20EIE%
20R%C3%89SUM%C3%89%20EXECUTIF%20%20.PDF

Hiver 2007

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Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)

Faculté de l’Environnement Naturel, Architectural et Construit (ENAC)

Raphaël Dauphin, Christelle Cocco, Karim Ganour Semestre d’hiver 2006-2007

Tables des matières

Projet de semestre 1 EPFL - IMAC

6.5 Vérification d'une section......................................................................................... 35

Projet de semestre 2 EPFL - IMAC

Projet de semestre 3 EPFL - IMAC

3 Diagnostic de l’état existant

3.2 Technique de construction

Figure 1 : schéma d'une voûte avec une toiture-terrasse

Il existe à ce jour une centaine de voûtes nubiennes construites, ce qui démontre la

Projet de semestre 4 EPFL - IMAC

Figure 2 : définition d'une disposition en panneresse et en boutisse

Projet de semestre 5 EPFL - IMAC

La transformation en ogive pour la partie supérieure de la voûte permet de se

Figure 4 : à gauche, Datomo, Réalisation VN; à droite Ouagadougou, Briquetiers VN.

Projet de semestre 6 EPFL - IMAC

3.3 Formes utilisées

3.4 Règles & limitations constructives

Technique E [cm] P [m] HPN [m] H [m] Sécurité [-]

Projet de semestre 7 EPFL - IMAC

Projet de semestre 8 EPFL - IMAC

4 Etudes des matériaux

4.1 Terre crue

4.1.3 Caractéristiques physiques :

4.1.3.2 Résistance mécanique

4.1.3.3 Aspects thermiques

Projet de semestre 9 EPFL - IMAC

4.2.3 Constitution de la terre adaptée à la fabrication d’adobes :

Conséquences du non-respect des proportions :

4.2.4 Préparation de la terre :

Projet de semestre 10 EPFL - IMAC

4.2.5.1 Stabilisation sans apports :

Projet de semestre 11 EPFL - IMAC

5 Analyse statique pendant la construction

Figure 6 : Limite de stabilité par rapport à la résultante verticale (source : http://www.earth-

5.2 Principe de calcul :

Projet de semestre 12 EPFL - IMAC

Figure 7 : portion d'arc de cercle, avec intrados et extrados

En transformant cela en équations cartésiennes, et avec l’équation du cercle, on a :

Pour l’intrados de l’arc de cercle : x = r1 ⋅ cos(α ) et y = r1 ⋅ sin(α )

Projet de semestre 13 EPFL - IMAC

On trouve ainsi que β = 16,3 ° et α = 35,5 °.

5.2.2 Modélisation avec Excel :

Figure 8 : limite au-deçà de laquelle la voûte est stable

On considère à nouveau une voûte de 3 m de portée, et une largeur de brique de 12

Projet de semestre 14 EPFL - IMAC

5.3 Prise en compte de l’inclinaison des rangs de briques

Figure 10 : à gauche, profil en long d'une voûte ; à droite, profil en travers

Projet de semestre 15 EPFL - IMAC

Vu la forme semi elliptique (de l’arrête de la voûte) de cette phase de construction, il

Figure 11 : projection de l'élément dans le plan xy

G ′′ = G ′ sin β = G cos α sin β

Projet de semestre 16 EPFL - IMAC

Figure 12 : à gauche, surface de rupture circulaire ; à droite, surface de rupture quelconque

D’autres types de ruptures ou d’instabilités peuvent se produire lors d’autres phases de

Figure 13 : effondrement dû à la résultante sortant de l'épaisseur de la voûte

Projet de semestre 17 EPFL - IMAC