MEDJADBA Hocine 2011
MEDJADBA Hocine 2011
MEDJADBA Hocine 2011
THÈSE
Hocine MEDJADBA
Membres du jury
Directeur de thèse : M. Joseph Joël FONTAINE Professeur, INSA de Strasbourg
Directeur de thèse : M. Lotfy Mokhtar SIMOHAMED Professeur, EMP, Alger
Rapporteur externe : M. Abdalhamid KELLOU Professeur, USTHB, Alger
Rapporteur externe : M. Werner SCHRÖDER Professeur, Uni. des Sciences Appliquées, Offenbourg
Examinateur : M. Abdalaziz OULDALI Professeur, EMP, Alger
Examinateur : M. Sylvain LECLER Maître de conférences, Uni. de Strasbourg
Ce travail de thèse a été réalisé dans le cadre d’une cotutelle entre L’École Militaire
Polytechnique (EMP, Algérie) et l’Université de Strasbourg (France). Le travail
théorique et de simulation a été fait au niveau du Laboratoire des Systèmes
Electroniques et Optroniques (LSEO) de l’EMP, alors que le travail expérimental a
été réalisé au Laboratoire des Systèmes Photoniques (LSP) de l’Université de
Strasbourg (UdS, France).
Ce travail de thèse n’aurait pu être mené à bien sans l’investissement de mon école
qui a placé en moi toute sa confiance depuis ma formation d’ingénieur.
Je suis reconnaissant à M. Patrick MEYRUEIS qui dès le début m’a fait confiance en
acceptant de répondre à la sollicitation de mon laboratoire à l’EMP pour concrétiser
ce sujet de thèse et qui m’a fait l’honneur de m’accueillir au sein du LSP. J’adresse
également ma reconnaissance à M. Ayoub CHAKARI qui fut mon directeur de thèse
au cours des deux premières années.
Je tiens à exprimer mes plus vifs remerciements aux Professeurs Lotfy Mokhtar
SIMOHAMED, initiateur de cette thématique au niveau de l’EMP, et Joël
FONTAINE, mes deux directeurs de thèse. Je vous remercie, M. FONTAINE pour
m’avoir accordé votre confiance et accepter de m’encadrer après le départ en retraite
de M. CHAKARI.
Je remercie sincèrement mon co-encadreur, le Dr. Sylvain LECLER. C’est grâce à lui,
à son soutien et à sa persévérance que toutes les réalisations expérimentales ont pu
être menées dans le cadre de contraintes de temps définies par la durée de mes
séjours au sein du LSP. Il y a consacré un temps et une énergie proche du
dévouement.
Je tiens à remercier les différents membres du jury, pour avoir participé à l’examen
de cette thèse, les Professeurs Abdelhamid KELLOU et Werner SCHRÖDER, qui ont
accepté de remplir le rôle de rapporteurs ainsi que le Professeur Abdelaziz OULDALI
et le Docteur Sylvain LECLER qui ont accepté sans hésiter de faire partie de ce jury.
Je remercie également mes amis pour leur soutien indéfectible lors de cette période :
les futurs docteurs Zahir MESSAOUDI, Hichem CHETTAT, Ahmed DALLIL et
Mohamed LAZOUL, Saïd SAADOUDI, Abdelmalek FERMAS.
Cela va de soi, je remercie évidemment mes parents, mes soeurs et mes frères
irremplaçable et inconditionnel soutien ainsi que ma femme. Mes dernières pensées
vont à mes deux enfants en qui je porte l’espoir d’une Algérie meilleure.
Chapitre 1. Introduction 1
I
Table des matières
II
Table des matières
III
Table des matières
IV
Table des matières
V
Figure 1.1 Unité de mesure inertielle à base de gyroscopes optiques (b) gyrolaser
(image de schofields flying club), (c) gyroscope à fibre optique (image de Northrop
Grumman). .................................................................................................................. 2
Figure 1.2 Micro-gyroscope vibrant utilisant le micro-usinage [K. Najafi, Michigan]. ......... 15
Figure 2.1 Schéma de l’interféromètre de Sagnac, 1913. ............................................ 15
Figure 2.2 Interféromètre de Sagnac avec un chemin optique fermé défini par des
miroirs. ...................................................................................................................... 16
Figure 2.3 Principe de l’effet Sagnac, en considérant par simplification, un chemin
circulaire : (a) à l’arrêt ; (b) en rotation avec une vitesse Ω . .................................... 17
Figure 2.4 Principe de l’effet Sagnac, en considérant par simplification, un chemin
circulaire : (a) à l’arrêt ; (b) en rotation .................................................................... 18
Figure 2.5 L’axe d’entrée est l’axe perpendiculaire au plan de l’interféromètre. ........ 24
Figure 2.6 Interféromètre de Sagnac utilisant une bobine de fibre optique multi-tours .
.......................................................................................................................... 25
Figure 2.7 Courbes de variation du déphasage de Sagnac en fonction de la vitesse
angulaire de rotation et de la surface totale de l’interféromètre à fibre. .................... 26
Figure 2.8 Réponse de l’interféromètre de Sagnac. .................................................... 27
Figure 2.9 Point de fonctionnement imposé dans la zone linéaire.............................. 28
Figure 2.10 Signal d’interférence pour une source à faible cohérence......................... 30
Figure 2.11 Trajets des deux ondes contrapropagatives, (a) trajet de l’onde (1) : cas
où la sortie correspond au port 2, (b) trajet de l’onde (2) : cas où la sortie correspond
au port 2, (c) Trajets des deus ondes contrapropagatives dans le cas où la sortie est
prise au port 1. .......................................................................................................... 35
Figure 2.12 Correction de la non-réciprocité due à la séparatrice par addition d’une
deuxième séparatrice.................................................................................................. 36
Figure 2.13 Filtrage monomode dans un gyroscope à fibre optique. .......................... 36
Figure 2.14 Modulation de mise au biais par utilisation d’un modulateur réciproque 38
Figure 2.15 Réponse de l’interféromètre pour une modulation sinusoïdale (cas où
Δφs = 0 ). .................................................................................................................. 41
VI
Liste des figures
Figure 2.16 Réponse de l’interféromètre pour une modulation sinusoïdale (cas où
Δφs ≠ 0 ), apparition des harmoniques impaires. ...................................................... 41
Figure 2.17 Principe du fonctionnement de la configuration en boucle fermée. ......... 45
Figure 2.18 Configuration tout-fibre du gyroscope utilisant une fibre monomode ..... 45
Figure 2.19 Configuration du gyroscope avec un modulateur électro-optique ............ 46
Figure 2.20 Schéma du bobinage quadripolaire ......................................................... 47
Figure 3.1 Configuration basique du gyroscope à fibre optique multimode considérée ..
.................................................................................................................................. 54
Figure 3.2 Schéma bloc du modèle du gyroscope. ...................................................... 55
Figure 3.3 Représentation schématique des modes contrapropagatifs dans une fibre. ...
.................................................................................................................................. 56
Figure 3.4 Représentation de la fonction de couplage pour différentes valeurs de la
profondeur de couplage, le couplage s’effectue du mode d’ordre n=40 vers les autres
modes. ....................................................................................................................... 58
Figure 3.5 Représentation de la matrice de couplage. ............................................... 59
Figure 3.6 Modèle montrant les différentes composantes générées par le couplage
entre deux modes arbitraires. .................................................................................... 59
Figure 3.7 Représentation schématique des coupleurs, (a) coupleur X, (b) coupleur Y.
.................................................................................................................................. 62
Figure 3.8 Illustration de la réponse du gyroscope pour différentes réalisation,
montrant la variation aléatoire de l’erreur de phase totale et du contraste. .............. 67
Figure 3.9 Contraste dans le cas où les composantes directes sont réciproques ......... 70
Figure 3.10 Contraste en fonction de la profondeur de couplage : cas où les
composantes directes sont réciproques ....................................................................... 71
Figure 3.11 Erreur de phase: cas où les composantes directes sont réciproques. ........ 72
Figure 3.12 Contraste des franges dans le cas où les composantes directes sont non-
réciproques................................................................................................................. 73
Figure 3.13 L’erreur de phase : cas où les composantes directes sont non-réciproques ..
.................................................................................................................................. 74
Figure 3.14 Fonction de coût dans le cas de composantes directes réciproques ......... 76
Figure 3.15 Fonction de coût: cas où des composantes directes non-réciproques ....... 76
Figure 4.1 Alimentation pour DEL, (a) Photographie, (b) vue de dessus. ................ 85
Figure 4.2 Spectre mesuré de la diode électroluminescente .......................................... 85
VII
Liste des figures
Figure 4.3 Test de la stabilité de la DEL. ................................................................. 86
Figure 4.4 Bobine de fibre enroulée sur un disque en aluminium. ............................. 87
Figure 4.5 Mesure réalisée sur la bobine via le réflectomètre ..................................... 87
Figure 4.6 Tube piézoélectrique utilisé comme modulateur. ...................................... 88
Figure 4.7 Schéma du circuit de l’amplificateur transimpédance différentiel ............. 90
Figure 4.8 Schéma explicatif du fonctionnement du coupleur micro-optique. ............ 91
Figure 4.9 Dispositif expérimental utilisé pour caractériser la symétrie des coupleurs...
.................................................................................................................................. 93
Figure 4.10 Distributions obtenues en sortie de la fibre multimode et du mélangeur de
modes ........................................................................................................................ 93
Figure 4.11 Distributions obtenues en sorties des deux coupleurs ............................. 94
Figure 4.12 (a) Schéma du montage de la première version du gyroscope ................. 97
Figure 4.12 (b) Photographie du premier prototype. ................................................. 97
Figure 4.13 (a) Schéma du banc de caractérisation de performances. ........................ 98
Figure 4.13 (b) Photographie du banc de caractérisation de performances. .............. 98
Figure 4.14 Bilan de puissance. ................................................................................. 99
Figure 4.15 Signal d’interférence à l’arrêt. ............................................................... 100
Figure 4.16 Signal d’interférence en rotation Ω = 10° / s . ........................................ 101
Figure 4.17 Réponse du gyroscope à différentes vitesses de rotation, (a) Ω = +3, + 5
et +10° / s , (b) Ω = ±10° / s . .................................................................................. 101
Figure 4.18 Caractéristique d’entrée-sortie du gyroscope......................................... 102
Figure 4.19 Vitesse minimale détectable en fonction de la constante de temps
d’intégration, (a) version avec coupleur micro-optique, (b) version avec coupleur
fusion/étirage. .......................................................................................................... 103
Figure 4.20 Stabilité du facteur d’échelle................................................................. 104
Figure 4.21 Biais à long terme, (a) version avec coupleur micro-optique, (b) version
avec coupleur par fusion étirage. ............................................................................. 104
Figure 4.22 Variance d’Allan, (a) version avec coupleur micro-optique, (b) version
avec coupleur fusion/étirage. ................................................................................... 105
Figure 4.23 Effet de la température sur le biais....................................................... 106
Figure 4.24 Relation entre la variation du biais et la dérivée de la température sans
isolation ................................................................................................................... 106
Figure 4.25 Schéma bloc du gyroscope réalisé ......................................................... 107
VIII
Liste des figures
Figure 4.26 Bobine de fibre quadripolaire, (a) principe du bobinage quadripolaire, (b)
bobine réalisée. ........................................................................................................ 108
Figure 4.27 Schéma bloc du circuit de traitement du signal. ................................... 109
Figure 4.28 Photographie du prototype final, boitier ouvert. .................................. 110
Figure 4.29 (a) Schéma du Banc de caractérisation des performances. .................... 111
Figure 4.29 (b) Photographie du banc de caractérisation de performances. ............ 111
Figure 4.30 Signal d’interférence à l’arrêt, (a) représentation temporelle, (b) spectre
du signal .................................................................................................................. 112
Figure 4.31 Signal en rotation, (a) représentation temporelle, (b) spectre du signal 113
Figure 4.32 Tension de sortie pour : (a) Ω = ∓5 ° / s , (b) Ω = +5, + 10 et +15 ° / s 113
Figure 4.33 Caractéristique d’entrée-sortie du gyroscope......................................... 114
Figure 4.34 Biais du gyroscope et température ambiante. ....................................... 115
Figure 4.35 La variance d’Allan en fonction du temps d’intégration. ...................... 116
Figure 4.36 Vitesse minimale détectable en fonction de la bande passante du lock-in...
................................................................................................................................ 117
Figure 4.37 Stabilité du facteur d’échelle................................................................. 117
Figure 4.38 Effet de la température sur le biais du gyroscope, biais à droite,
température à gauche .............................................................................................. 118
Figure 4.39 Effet d’un gradient de température appliquée directement sur la fibre .....
................................................................................................................................ 119
Figure 4.40 Test du gyroscope sous un fort champ magnétique de l’IRM. .............. 120
Figure A.1 Tracé de la variance d’Allan en échelle logarithmique. .......................... 127
Figure A.2 Représentation des principales caractéristiques d’un gyroscope ............. 130
Figure A.3. Influence du temps d’observation sur la dérive, (1) durée très courte, (2)
durée moyenne, (3) durée très longue. .................................................................... 131
Figure B.1 Structure d'une fibre optique. ................................................................ 132
Figure B.2 Chemin d’un rayon dans une fibre, (a) à saut d’indice, (b) à gradient
d’indice.. .................................................................................................................. 133
Figure B.3 Exemple de répartition transverse des modes LP. ................................. 136
Figure B.4 Profil de l’indice de réfraction pour différentes valeurs de α ................. 138
Figure B.5 Correspondance entre rayon et mode. .................................................... 140
Figure B.6 couplages de modes par un centre de diffusion ...................................... 144
IX
X
Symboles et notations
Ω Vitesse de rotation 17
R Rayon de l’interféromètre 17
t0 Instant où la lumière rentre dans l’interféromètre 17
c Célérité de la lumière 18
t− Temps de propagation de l’onde contrarotative 18
t+ Temps de propagation de l’onde corotative 18
Δt Différence de temps de propagation dans le vide 18
ΔL Différence de chemin optique 18
Δφs Déphasage de Sagnac 19
λ Longueur d’onde de la source dans le vide 19
S Surface de l’interféromètre 19
Δx Différence de position dans le repère du laboratoire (R) 20
Δt ' Différence de temps dans le repère (R’) en translation 20
Δx ' Différence de position dans le repère (R’) en translation 20
v Vitesse de translation du repère (R’) par rapport au repère (R) 20
n Indice de réfraction d’un milieu matériel 21
Vitesse réelle de la lumière entrainée par le mouvement du milieu
V 21
matériel en mouvement par rapport au repère du laboratoire
αF Coefficient d'entraînement de Fizeau 21
Vitesse de l’onde contrarotative par rapport au repère de
V− 21
laboratoire
V+ Vitesse de l’onde corotative par rapport au repère de laboratoire 21
Δ tm Différence de temps de propagation dans le milieu matériel 21
Ωe Vitesse d’entrée de l’interféromètre 24
Angle entre l’axe sensible de l’interféromètre est le vecteur de
θe 24
rotation instantané
Nt Nombre de spires dans la bobine de fibre 26
D Diamètre de la bobine de fibre 26
L Longueur totale de la fibre optique 26
XI
Symboles et notations
XII
Symboles et notations
XIII
Symboles et notations
XIV
Abréviations et acronymes
XV
Chapitre 1
Introduction
1.1. Contexte
Les gyroscopes sont des instruments utilisés dans un grand nombre d’applications
civiles et militaires, comme la navigation inertielle, le guidage et la stabilisation de
plateformes. Ils fournissent une mesure de la rotation, du repère de l’appareil par
rapport à un référentiel d’inertie [1].
Les premiers gyroscopes conçus étaient mécaniques [2]. En raison des pièces
mécaniques mobiles qui les composent, ces gyroscopes sont volumineux, coûteux et
nécessitent une maintenance importante.
Parmi les solutions développées pour les remplacer, les gyroscopes optiques qui ne
contiennent pas de pièces mobiles ont constitué une option très avantageuse. En effet,
ils offrent une plus grande durée de vie, nécessitent une plus faible maintenance, sont
plus compacts et plus légers et supportent mieux les chocs et les fortes accélérations.
Le fonctionnement des gyroscopes optiques est basé sur un effet mis en évidence en
1913, grâce à une expérience réalisée par George Sagnac [3]. Dans cette dernière, il
était possible de voir les conséquences d’une rotation sur des ondes optiques qui se
propageaient en sens inverse le long d’un même circuit fermé. L’expérience elle-même
et cet effet connu depuis sous le nom d’effet Sagnac, sont restés longtemps une
1
Chapitre 1 : Introduction
En 1976, l’utilisation d’une fibre optique comme milieu de propagation au lieu du gaz
He-Ne des premiers gyrolasers a été proposée par Vali et Shorthill [7-8]. Cette
nouvelle approche devait permettre la réalisation du premier gyromètre « état
solide », sans gaz, ni plasma, ni pièce mécanique mobile et de capitaliser les
avantages de la fibre en terme de légèreté, de souplesse et de faible encombrement. Le
résultat attendu étant un système plus compact, à consommation plus réduite et à
plus grande durée de vie. De plus, ce système appelé depuis gyrofibre, a bénéficié, en
termes de coûts et de performances, des progrès technologiques de l’industrie des
télécommunications optiques.
(a) (b)
Figure 1.1 Unité de mesure inertielle à base de gyroscopes optiques (a) gyrolaser (image de
schofields flying club), (b) gyroscope à fibre optique (image de Northrop Grumman).
2
Chapitre 1 : Introduction
De nos jours, avec plus de 10.000 appareils commercialisés chaque année, ce type de
gyroscopes représente un marché très important ce qui explique les efforts toujours
constants dans le développement et l’amélioration de leurs performances [9].
Dans ce contexte, les gyroscopes à fibre multimode apparaissent comme une option
attractive. L’intérêt de ce type de gyroscopes est d’être très bon marché et capable de
performances moyennes dans la gamme des gyroscopes optiques [25]. En effet,
l’approche multimode en plus de l’utilisation des composants à bas coût nécessite
moins de composants comparée à l’approche monomode.
3
Chapitre 1 : Introduction
sensible aux vitesses de rotation. Cette distinction introduite par Radix [26] n’existe
pas en anglais où le terme « gyroscope » est utilisé pour les deux types d’appareils.
Parmi tous les principes de fonctionnement possibles des gyroscopes, trois seulement
ont émergé du point de vue industriel. Il s'agit de la conservation du moment
cinétique et de l'effet Coriolis donnant lieu aux gyroscopes mécaniques et de l'effet
Sagnac donnant lieu aux gyroscopes optiques. On expose ici les différentes catégories
de gyroscopes, en se basant sur le classement par technologie de fabrication
4
Chapitre 1 : Introduction
Les gyroscopes optiques sont basés sur l’effet Sagnac. Cet effet se traduit par un
déphasage mesuré entre deux bras d’un interféromètre, lorsque celui-ci est en rotation
autour d’un axe perpendiculaire à son plan. Ce déphasage étant proportionnel à la
vitesse de rotation.
Plusieurs types de gyromètres basés sur l’effet Sagnac ont émergé du point de vue
technologique, il s’agit de gyrolasers, gyromètres à fibre optique.
Dans un gyrolaser, l’effet Sagnac se traduit par une différence de fréquence entre ces
deux ondes contrapropagatives dans une cavité en anneau Le gain de ce type de
fonctionnement réside dans l’utilisation de l’effet Fabry-Perot, permettant
d’augmenter la sensibilité de la mesure.
Les gyroscopes résonants sont des dispositifs sensibles en fréquence. L’effet Sagnac
modifie la fréquence de résonance de deux ondes contrapropagatives dans une cavité
fermée constituée d’un anneau de fibre [27-28]. Leur principal avantage est
l’utilisation d’une petite longueur de fibre, ce qui donne un facteur d’échelle élevé.
Cependant, ils nécessitent une source laser de grande cohérence dans le but
d’augmenter la sensibilité.
5
Chapitre 1 : Introduction
Tous les gyroscopes MEMS sont basés sur l'effet de Coriolis. En rotation, un élément
vibrant (résonateur vibrant) est soumis à l’effet Coriolis donnant naissance à une
vibration secondaire dont la direction est orthogonale à celle de la vibration primaire.
La détection de la vibration secondaire donne une mesure de la vitesse de rotation.
L’élément sensible peut être un piézoélectrique, une céramique ou un quartz.
6
Chapitre 1 : Introduction
Il existe une autre variante des gyroscopes MEMS appelée gyroscopes MOEMS
(Micro-Opto-Electro-Mechanical System) dont lequel le concept de base du gyroscope
interférométrique à fibre optique est intégré avec la technologie MEMS. Le chemin
optique en spirale est délimité par une série de miroirs MEMS placés sur un substrat
en silicium. Ces miroirs sont arrangés de manière à augmenter la longueur de chemin
optique, tout en respectant la configuration standard de l’interféromètre de Sagnac
[32].
La technologie des gyroscopes MEMS est connue comme étant une technologie
innovante réservée aux applications de faible précision et elle constitue un véritable
concurrent aux autres technologies.
Tous les appareils de mesures sont caractérisés par un certain nombre de paramètres
qui permettent d'évaluer leur qualité et leurs performances. Ils permettent aussi de
déterminer la précision que l'on peut attendre d'une mesure, les précautions à prendre
pour minimiser l'incertitude entachant une mesure ou la gamme de mesure pour
laquelle l'appareil est conçu.
7
Chapitre 1 : Introduction
Au début des années 90, la majorité des problèmes rencontrés dans les premières
versions avait été résolue comme on le verra dans le chapitre 2. À ce moment, le
gyroscope à fibre est passé au stade de la production industrielle, et les performances
obtenues (0.01 °/h) lui ont permis d’être utilisé dans les systèmes de navigation
avioniques [43-45]. Par la suite, tous les travaux de recherche se sont concentrés sur
les objectifs de réduction du coût [46], de la miniaturisation [47-48], et de l’utilisation
des techniques de traitement du signal [49-52]. Aujourd’hui, les développent menés
ont permis d’approcher la limite de performance théorique. Les principaux fabricants
sont Northrop-Grumman, Honeywell, KVH, Hitachi et Ixsea.
8
Chapitre 1 : Introduction
• Fabrication facile ;
• Dynamique élevée ;
• Grande fiabilité ;
9
Chapitre 1 : Introduction
Les applications des gyroscopes à fibre optique sont diverses. On peut citer :
On donne dans le tableau 1.2 les domaines d’utilisation ainsi que les différentes
applications possibles des gyroscopes à fibre optique en fonction de la gamme de
performances exigées pour chaque type d’application [17].
10
Chapitre 1 : Introduction
L’interférométrie Sagnac multimode a été traitée depuis une dizaine d’années par
plusieurs laboratoires, en particulier par le LSP [54]. Ce qui s’est traduit par plusieurs
prototypes de validation. Cependant, le choix des composants en particulier le type
de fibre et de coupleurs n’a jamais été justifié. En effet, il existe une multitude de
fibres multimodes caractérisées par des paramètres opto-géométriques différents. Nous
sommes partis du constat que les performances d’un tel dispositif sont très
étroitement liées au type de fibre à utiliser.
L’objectif du travail présenté dans cette thèse est de développer une nouvelle version
d’un gyroscope à fibre optique multimode basé sur un choix optimal des composants
et de la technique de traitement du signal. Le travail se divise principalement en
deux parties. La première partie est consacrée à la modélisation de l’interférométrie
Sagnac multimode, permettant l’étude des phénomènes de couplages de modes. Les
résultats de cette modélisation seront appliqués pour optimiser le choix des
composants et la conception d’un nouveau prototype. La deuxième partie est
consacrée à la réalisation expérimentale d’un nouveau prototype et à la
caractérisation de ses performances.
11
Chapitre 1 : Introduction
Plusieurs travaux théoriques ont été consacrés à l'étude du gyroscope à fibre optique
multimode. Le premier travail publié dans le domaine décrit le gyroscope à fibre
multimode fonctionnant avec une source de lumière dépolarisée en utilisant les
matrices de Jones généralisées [57]. Peu de temps après, une modélisation du
gyroscope à fibre multimode a été proposée dans [58]. Elle est basée sur la
classification des différentes ondes optiques générées par les couplages de modes.
Cette classification à permis l’analyse l'erreur de phase causée par les interférences
entre ces ondes optiques. Cependant, cette étude est effectuée pour un cas particulier
d’une fibre ayant un nombre illimité de modes, ce qui nécessite une étude détaillée.
Jusqu'à ce jour, aucun dispositif utilisant la fibre multimode n’a pas encore émergé de
point de vu industriel, ce qui montre que le domaine des gyroscopes à fibre optique
multimode reste un domaine de recherche et d’investigation.
12
Chapitre 1 : Introduction
Ce mémoire est divisé en quatre chapitres. Les deux premiers chapitres présentent les
fondamentaux des gyroscopes à fibre optique nécessaires à la bonne compréhension du
manuscrit. Les deux autres chapitres comprennent les travaux réalisés au cours de la
thèse.
13
Chapitre 2
Le gyroscope interférométrique à fibre optique
2.1. Introduction
14
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
15
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
avec une vitesse de rotation pouvant atteindre 600 tours par minute [70]. Harress
croyait que sans milieu optique, la rotation de l’interféromètre n'aurait pas eu comme
conséquence le décalage de franges d'interférence. Vu que ces travaux n’ont pas été
diffusés, l’effet demeurait inconnu.
Depuis cette période, l’effet Sagnac est resté une curiosité scientifique sans réelle
application pratique et ce n’est que suite à l’invention du laser en 1960 que de
nouveaux développements ont conduit à la mise au point du premier gyrolaser en
1963 [4], puis au premier gyroscope à fibre optique en 1976 [8].
Interférence
Miroir
Source
Séparatrice
Figure 2.2 Interféromètre de Sagnac avec un chemin optique fermé défini par des miroirs
16
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
Les méthodes de calcul de l’effet Sagnac sont nombreuses et les articles traitants de
cet effet dans le cas optique ne manquent pas. Nous présentons ici une description de
l'effet Sagnac que l’on rencontre dans la plupart des ouvrages et qui possède le double
avantage d'être relativement simple tout en donnant quantitativement le bon
résultat. Toutefois, le raisonnement présenté ci-dessous ne doit pas être généralisé,
car il peut conduire à des résultats erronés comme on le verra plus loin.
M M M’
(a) (b)
Figure 2.3 Principe de l’effet Sagnac, en considérant par simplification, un chemin circulaire :
(a) à l’arrêt ; (b) en rotation avec une vitesse Ω .
Pour expliquer simplement cet effet, on considère deux ondes se propageant en sens
inverse dans un interféromètre circulaire de rayon R (figure 2.4). Ce dernier pouvant
être animé d'un mouvement de rotation autour de son axe central à une vitesse
angulaire Ω par rapport au référentiel du laboratoire (supposé Galiléen). Nous
supposons, pour le moment, que le milieu de propagation est le vide. Ici la lumière est
supposée se propager dans l’éther non-relativiste, c'est-à-dire à vitesse constante dans
le repère du laboratoire. La lumière rentre dans l’interféromètre à un instant t0 par le
17
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
point M et après avoir parcouru la boucle, les deux ondes reviennent au même point
M, devenu M’ et interférèrent.
M M M’
M’’
O
Ω
O
R R
(a) (b)
Figure 2.4 Principe de l’effet Sagnac, en considérant par simplification, un chemin circulaire :
(a) à l’arrêt ; (b) en rotation Ω
La vitesse des ondes dans les deux sens est c et les temps de propagation sont définis
dans le repère du laboratoire. Le point M étant lié à l’interféromètre il tourne
pendant que les ondes se propagent.
L’onde (1) revient au point M qui c’est déplacé en M’ après une durée t − , donc :
2πR
ct − = 2πR − RΩt − d’où t− = (2.1)
c + RΩ
De même, l'onde (2) revient au point M qui s’est déplacé en M’’ après une durée t +
vérifiant :
2πR
ct + = 2πR + RΩt + d’où t+ = (2.2)
c − RΩ
4πR 2Ω
Δt = t + − t − = (2.3)
c 2 (1 − R 2Ω2 / c 2 )
4πR 2Ω
ΔL = cΔt = (2.4)
c (1 − R 2Ω2 / c 2 )
18
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
4πR 2
ΔL = Ω (2.5)
c
2πΔL 8 π 2R 2 8πS
Δφs = = Ω= Ω (2.6)
λ λc λc
Sagnac ne croyait pas à la théorie de la relativité. D’après lui si cette théorie était
vraie, en faisant le raisonnement dans le repère tournant lié à l’interféromètre, la
source lumineuse est liée à ce repère, la vitesse de l'onde doit donc être c dans les
deux sens définis dans ce repère tournant et par conséquent la figure d’interférence
doit être inchangée lors de la mise en rotation. Son expérience ayant montré un
défilement des franges dû à la rotation, il pensait avoir démontré l’existence de l’éther
et invalidité la théorie de la relativité.
Il se trompait, car il faisait abstraction du fait que l’écoulement du temps n’est pas le
même dans les deux référentiels. Il est donc important de constater que la
19
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
composition classique des vitesses ne s'applique pas dans cette expérience. Seule une
transformation relativiste permet de passer du repère d’inertie au repère tournant.
Pour cela, nous somme amené à utiliser la transformation de Lorentz qui donne une
relation entre la différence des temps de propagation Δt et les différences de
positions Δx calculées dans le repère (R) du laboratoire et celles Δt ' et Δx ' du
repère (R’) en translation uniforme dans la direction x par rapport à (R) donnés par
[72]:
Δx
Δt − v
c² Δx − v Δt
Δt ′ = Δx ' = (2.7)
v² v²
1− 2 1− 2
c c
En faisant l’hypothèse que l’on peut assimiler la rotation de notre gyroscope à une
translation uniforme de vitesse v = ΩR , voilà à quoi ressemble la propagation dans le
repère (R’) en mouvement:
2πR
x’
M’- M M’+
Dans le repère (R’) lié au gyroscope ramené à une translation uniforme de vitesse
v = RΩ , Δt ' = 0 comme le pensait Sagnac et Δx ' = 4πR , ce qui donne en
appliquant la transformée de Lorentz :
RΩ 4πR
Δt = (2.8)
c ² 1 − R 2Ω2 / c 2
8 π 2R 2Ω
Δφs = (2.9)
λc 1 − R 2Ω2 / c 2
( c est ici une constante) qui est bien équivalent au résultat de l’équation (2.6) à des
termes en R 2Ω2 / c 2 près. Dans la limite RΩ c , on retrouve la même expression du
20
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
déphasage Sagnac. L’expérience imaginée par Sagnac dans le vide ne permettait donc
pas de distinguer théorie relativiste et non relativiste.
2 πR 2πR
t− = −
et t+ = +
(2.13)
V + RΩ V − RΩ
4πR 2Ω
Δtm = n 2 (1 − αF ) (2.14)
c 2 ⎡⎣⎢1 − (1 − αF2 ) R 2Ω2 / c 2 ⎤⎦⎥
21
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
Δtm = n 2 (1 − αF ) Δt (2.15)
Δ tm = Δ t (2.16)
V − RΩ
V− = Pour l’onde (1) (2.17)
RΩV
1− 2
c
V + RΩ
V+ = Pour l’onde (2) (2.18)
RΩV
1+ 2
c
22
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
L’effet Sagnac est extrêmement faible. Pour avoir une idée sur son ordre de grandeur,
considérons, à titre d’exemple, une vitesse de rotation Ω = 1° / s . Soit un
interféromètre de Sagnac formé d’un circuit de rayon R = 5 cm et d’une source
alors :
8 π 2R 2
Δφs = Ω = 7, 74 × 10−4 rad (2.21)
λc
Ce qui est très faible comme déphasage avec une détection quasi impossible. Sachant
que des applications de gyroscopes tels que la navigation nécessitent une sensibilité de
l’ordre de 10−3 Ω , des techniques permettant de surmonter cet inconvénient sont
nécessaires. L’augmentation de l’aire de l’interféromètre S en utilisant une bobine de
fibre optique comme milieu de propagation améliore considérablement l’effet Sagnac
et rend possible son exploitation pratique.
JG
8πS JG 8πS JG G
Δφs = Ω= Ω.e (2.22)
λc λc
23
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
8πS G 8πS
Δφs = Ωe e = Ω cos θe (2.23)
λc λc
G Axe d’entrée JG
Axe d’entrée e
Plan de Ω
l’interféromètre
θe
Ω mesurée G
e
24
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
Fronts de phase
Séparateur
Lentille
Source Bobine de fibre
constituée de
N t tours
Figure 2.6 Interféromètre de Sagnac utilisant une bobine de fibre optique multitours
8πN t S 8N t π 2R 2
Δφs = Ω= Ω (2.24)
λc λc
avec S = πR 2 est la surface d’une spire et R est son rayon. Si la fibre est de
longueur totale L = 2πN t R , le déphasage Sagnac peut aussi être exprimé comme
suit :
4πRL 2πLD
Δφs = Ω= Ω (2.25)
λc λc
25
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
L’augmentation de la longueur fournie par la fibre est essentielle pour la mesure des
faibles vitesses de rotation. Le déphasage Sagnac, fonction de la vitesse de rotation
Ω , est reporté sur la figure 2.7 pour différentes valeurs de la surface totale NS .
L’analyse du graphe montre l’intérêt d’augmenter cette surface pour la mesure de
faibles vitesses de rotation.
N t S = 100 m 2
100
N t S = 10 m2
Le déphasage de Sagnac (rad)
10−4 N t S = 0.01m2
1pm
−6
10
10−8 1fm
I0
I (Δφs ) = (1 + cos Δφs ) (2.26)
2
26
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
L’intensité de l’onde résultante est fonction du déphasage Δφs qui est proportionnel à
la vitesse de rotation Ω . Le tracé de l’intensité I (Δφs ) est représenté sur la Figure
2.8. L’interféromètre de Sagnac étant un interféromètre parfaitement équilibré, sa
réponse est caractérisée par une frange centrale centrée autour d’un point de
fonctionnement qui correspond à l’état de repos de l’interféromètre (Δφs = 0) . Une
telle réponse présente quelques inconvénients à savoir un fonctionnement non linéaire,
une faible sensibilité aux petites vitesses de rotations et une ambigüité sur la mesure
du sens de la rotation. Les caractéristiques de la réponse seront développées en détail
dans les sections suivantes.
−2π −π 0 π 2π Δφs
Suivant la grandeur de sortie considérée, le facteur d’échelle peut être défini par
rapport au déphasage Δφs , dans ce cas il s’agit du facteur d’échelle optique qui est
donné par :
d (Δφs ) 4πRL
kopt = = (2.27)
dΩ λc
27
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
πRL ⎛ 4πRL ⎞⎟
k0 = −2I 0 cos ⎜⎜ Ω⎟⎟ (2.29)
λc ⎝ λc ⎠
πRL
k 0 = −2I 0 (2.30)
λc
I (Δφs )
Point de fonctionnement
imposé
−2π −π π /2 π 2π Δφs
Nous allons voir par la suite la solution adoptée pour imposer un point de
fonctionnement à π / 2 grâce à une technique de mise au biais par modulation.
28
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
λc
Ωπ = (2.31)
4πRL
En pratique, les sources présentent une certaine largeur de bande autour d’une
longueur d’onde moyenne λ . En tenant compte de la cohérence (temporelle ici) de la
source. L’expression du signal d’interférence s’écrit :
I0 ⎡ ⎛ ΔL ⎞⎟⎤
I = ⎢1 + γc (ΔL ) cos ⎜⎜2π ⎟⎥ (2.32)
2 ⎢⎣ ⎝ λ ⎠⎟⎥⎦
2πΔL
Δφs = (2.33)
λ
29
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
I (Δφs ) =
I0 ⎢1 + γc ⎜⎜ λ Δφs ⎟⎟ cos (Δφs )⎥ (2.34)
2 ⎢
⎣
⎜⎝ 2π ⎠⎟⎟ ⎥
⎦
I max − I min
C (Δφs ) = = γc (Δφs ) (2.35)
I max + I min
2πLc 4πRL
Δφs = = Ωmax (2.36)
λ λc
D’où
cLc
Ωmax = (2.37)
2RL
30
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
Dans la pratique, la fibre optique présente des pertes qui varient selon la longueur
d’onde de travail λ . Ces pertes notées αa sont exprimées en dB/km. Si Pe est la
puissance émise par la source, la puissance détectée après un parcours d’une longueur
de fibre L est donnée par:
αa L
−
P0 = Pe 10 10
(2.38)
8.7
Lmax (km ) = (2.39)
αa
Dans le tableau 2.1, on donne la longueur maximale de fibre pour les différentes
fenêtres couramment utilisées et pour plusieurs valeurs de l’atténuation αa (les
valeurs de αa dans le tableau ne tiennent pas compte du bobinage). En pratique,
d’autres considérations entrent en jeu et les longueurs utilisées sont généralement de
quelques centaines de mètres.
Nous présentons dans ce qui suit les différents bruits qui influencent les performances
d’un gyroscope à fibre optique. Il existe principalement trois types de bruits à savoir
31
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
cλ 2h ν B
(Ωmin )BDP = (2.40)
4πRL ηP0
Nous voyons que la capacité de mesure d’un gyroscope est fortement affectée par les
dimensions de l'enroulement de fibre. Notons que P0 est une fonction de la longueur
de fibre et de l’atténuation. Pour les fibres à faible perte, la longueur optimale est de
plusieurs kilomètres. Cependant dans la pratique, la longueur typique est de 1 km
avec un diamètre d'enroulement de 10 cm.
32
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
cλ 1 4KTB
(Ωmin )BT = (2.41)
4πRL sP0 Rc
cλ λ 2B
(Ωmin )BI = (2.42)
4πRL 2cΔλ
cλ 2h ν B λ 2B 4KTB
Ωmin = + + (2.44)
4πRL ηP0 2cΔλ Rcs 2P02
33
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
d’autres sources de bruit intrinsèque à la fibre telles que l’effet Kerr qu’on détaillera
plus loin. D’autres améliorations peuvent être envisagées en utilisant une source de
faible cohérence (augmentation de Δλ ), un photodétecteur de grande sensibilité et en
augmentant la résistance de charge. Cette dernière est cependant limitée par le
produit gain-bande passante du circuit amplificateur.
Dans cette partie, nous discuterons les problèmes qui empêchent d’avoir un dispositif
sensible avec une configuration basique utilisant une source, un détecteur, une bobine
de fibre et une séparatrice telle que celle représentée en figure 2.14. Nous
commencerons par les problèmes de réciprocité puis les modifications à apporter pour
surmonter ces problèmes. Dans une seconde partie, nous présenterons comment la
technique de mise au biais permet une mesure avec une grande sensibilité. Enfin,
nous verrons comment que les effets parasites peuvent être des sources d’erreurs dans
la mesure de la vitesse et nous présenterons les solutions utilisées pour réduire ces
effets.
2.4.1. Réciprocité
Dans un interféromètre de Sagnac, tout effet produisant un déphasage entre les deux
ondes contrapropagatives est considéré comme un effet non réciproque [37]. Ainsi,
l’effet Sagnac lui-même se trouve un effet intrinsèquement non réciproque.
Le principe de réciprocité vise à annuler tous les autres effets non réciproques afin
que les deux ondes contrapropagatives interfèrent avec exactement la même
amplitude et la même phase et que seul l’effet Sagnac soit celui qui produit un
déphasage à exploiter pour la mesure de la rotation.
Vali et Shorthill ont montré que la configuration dite de base n’est pas
intrinsèquement réciproque [7-8]. Nous décrivons dans ce qui suit les différents
facteurs liés aux problèmes de la réciprocité de cette configuration basique et les
solutions adoptées pour les surmonter.
34
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
En absence de rotation, le déphasage entre les deux ondes détectées au port 2 est :
Onde (2)
Port 2 (c)
Port 1 Onde (1)
Sortie
Fibr
Onde (2)
Figure 2.11 Trajets des deux ondes contrapropagatives, (a) trajet de l’onde (1) : cas où la
sortie correspond au port 2, (b) trajet de l’onde (2) : cas où la sortie correspond au port 2, (c)
Trajets des deus ondes contrapropagatives dans le cas où la sortie est prise au port 1
35
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
S1 S2
Entrée
Fibre
Sortie
Onde 1
Onde 2
Figure 2.12 Correction de la non réciprocité due à la séparatrice par addition d’une deuxième
séparatrice
Dans le cas d’une fibre monomode, la propagation doit se faire sur un chemin optique
unique [76]. À l’entrée de l’interféromètre, la fibre monomode ne laisse passer qu’un
mode de propagation unique, mais en sortie il y a deux faisceaux divergeant dans
l’espace libre dans lequel existe un continuum de modes. Par conséquent, un léger
désalignement ne modifie pas fortement le couplage en entrée, mais a par contre un
effet important sur les fronts de phase des ondes de sortie produisant une forte
variation du déphasage mesuré. Une solution simple à ce problème consiste à insérer
un filtre monomode au port commun d'entrée-sortie de l'interféromètre (figure 2.13)
[37].
Filtre
Source spatial
Fibre
Détecteur
Spatialement, une courte longueur de fibre monomode (de l'ordre du mètre) suffit
pour réaliser un filtre parfait. Dans ce cas, les alignements sont seulement nécessaires
pour l'optimisation de la puissance transmise et donc pour maximiser le rapport
signal sur bruit.
36
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
L’effet de la non réciprocité de polarisation a été observé même dans les toutes
premières investigations expérimentales [83]. Les fibres monomodes sont sensées de
présenter une symétrie cylindrique et peuvent guider deux modes de polarisation
dégénérés. Dans le cas réel, les fibres ont une certaine asymétrie aléatoire ayant pour
résultat une biréfringence aléatoire levant la dégénérescence. En conséquence, l'état de
polarisation de l’onde guidée change. De plus, les courbures, torsions et toutes les
éventuelles contraintes sur la fibre créent une biréfringence additionnelle. Par
conséquent, si les états de polarisation des deux ondes contrapropagatives ne sont pas
identiques après le passage à travers la boucle de fibre la figure d’interférences est
alors modifiée, ce qui peut être interprété comme un déphasage et donc assimilé à
tord comme dû à une vitesse de rotation.
37
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
I0 ⎡
I (Δφs ) = 1 + cos (Δφs + φb )⎤⎦ (2.46)
2 ⎣
Le déphasage de mise au biais doit être stable, ou au moins connu avec une précision
très élevée, pour ne pas masquer le déphasage Sagnac. Comme la puissance détectée
est devenue proportionnelle aux petites vitesses de rotation, des variations de la
puissance détectée due aux bruits peuvent être confondues avec la rotation.
Pour éliminer ce problème, la meilleure façon est de faire une modulation avec un
biais variable φb (t ) en introduisant un modulateur réciproque de phase à l’une des
extrémités de la bobine de fibre comme le montre la figure 2.14 [37].
Modulateur
Fibre
Figure 2.14 Modulation de mise au biais par utilisation d’un modulateur réciproque
Le modulateur joue le rôle d'une ligne à retard. Les deux ondes qui interfèrent
portent la même modulation de phase mais décalée dans le temps. L'une subissant la
modulation en entrée, alors que l'autre l’a subie en sortie. Le retard est égal au temps
de transit τR à travers la bobine.
Ceci a comme conséquence une modulation de la différence de phase entre les ondes
qui interfèrent. Le déphasage total entre les deux ondes est donné par :
38
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
⎡ ⎛ τ ⎞⎤
Δφt = Δφs + 2φ0 sin (π fm τ ) cos ⎢2π fm ⎜⎜t − R ⎟⎟⎥ (2.49)
⎢⎣ ⎝ 2 ⎠⎥⎦
où φeff = 2φ0 sin (π fm τR ) est l’indice effectif de modulation. Ce dernier est maximal
pour une fréquence de modulation fm donnée par :
1
fm = (1 + 2k ) = (1 + 2k )fp (2.51)
2τ R
nL
avec fp appelée fréquence propre de la bobine de fibre, k un entier et τR = est le
c
temps de transit qui sont reliés par:
1 c
fp = = (2.52)
2τR 2nL
39
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
2.4.2.2. Démodulation
⎡
I0 ⎛ ∞ ⎞
I (t ) = ⎢1 + ⎜⎜J 0 (φeff ) + 2∑ J 2n (φeff ) cos (2n (2π fmt ))⎟⎟ cos Δφs
⎢
2
⎣
⎜⎝ n =1 ⎠⎟
(2.55)
∞ ⎤
− 2∑ J 2n +1 (φeff ) sin ((2n + 1) (2π fmt )) sin Δφs ⎥
n =0
⎥⎦
Cette expression montre que le signal détecté contient, en plus de la composante
continue, tous les harmoniques du signal de modulation. L'amplitude des harmoniques
paires dépend de cos Δφs alors que les harmoniques impaires dépendent de sin Δφs .
Fréquence Amplitude
40
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
I (Δφs ) I (t ) S (f )
Réponse de
Signal modulé
l’interféromètre
Signal de φm (t )
modulation
φeff
Figure 2.15 Réponse de l’interféromètre pour une modulation sinusoïdale (cas où Δφs = 0 ).
I (Δφs ) I (t ) S (f )
Signal modulé
Δφs
t
Figure 2.16 Réponse de l’interféromètre pour une modulation sinusoïdale (cas où Δφs ≠ 0 ),
apparition des harmoniques impaires.
41
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
dJ 1 (φeff )
=0 soit φeff = 1.84 (2.57)
d φeff
cλ 1 + J 0 (φeff ) 2h υB λ 2B 4KTB
Ωmin = + + (2.58)
4πRL J 1 (φeff ) ηP0 2cΔλ Rcs 2P02
1 + J 0 (φeff )
Pour le cas particulier où φeff = 1.84 rad , le facteur = 2.26 > 1 .
J 1 (φeff )
42
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
⎛ H ⎞⎟
⎜ ⎟⎟
Δφs = − arcsin ⎜⎜ 1
(2.59)
⎜⎝ I 0J 1 (φeff )⎠⎟⎟
Dans les deux cas, nous remarquons que la mesure dépend aussi de l’intensité de la
source I 0 et de l’indice de modulation φeff . Les fluctuations de ces deux paramètres
peuvent introduire une source potentielle d’erreur. Nous allons voir comment
exploiter les autres harmoniques afin de surmonter ces problèmes.
H1 J 1 (φeff )
=− tan Δφs (2.60)
H2 J 2 (φeff )
⎛ H J (φ )⎞⎟
⎜ 1 2 eff ⎟
Δφs = − arctan ⎜⎜ ⎟ (2.61)
⎜⎝ H 2J 1 (φeff )⎠⎟⎟
Ici en plus du calcul numérique qui est indispensable, cette technique nécessite encore
un deuxième démodulateur synchrone et un multiplicateur de fréquence afin de
générer le signal de référence de fréquence 2 fm à partir du signal de modulation.
43
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
H2 J 2 (φeff )
= (2.62)
H4 J 4 (φeff )
2n
J n (x ) = J n −1 (x ) + J n +1 (x ) (2.63)
x
4H 2
tan Δφs = H 1 + H 3
φe
(2.64)
6H 3 1
= H2 + H4
φe tan Δφs
La résolution des deux équations précédente nous donne une expression du déphasage
Sagnac indépendante de l’indice de modulation φe et de l’intensité I 0 [88] :
3H 3 (H 1 + H 3 )
Δφs = arctan (2.65)
2H 2 (H 2 + H 4 )
44
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
Le schéma de principe d’un gyroscope tout-fibre est illustré à la figure 2.18. Il est
composé d’éléments fabriqués avec la même fibre et la lumière est continûment guidée
de la source au détecteur. La fibre peut être à maintien de polarisation afin de
minimiser le bruit de polarisation et améliorer les performances.
L’intérêt d’utiliser des composants fibrés est d’éviter les problèmes de désalignements
et d’avoir une configuration plus compacte. Un contrôleur de polarisation est inséré
dans l’enroulement de fibre dans le but de faire coïncider l’axe de polarisation de la
fibre avec l’état de polarisation injecté. Le modulateur de phase est réalisé en
enroulant la fibre sur un tube céramique piézo-électrique. Cette configuration est
utilisée pour les applications de faible à moyennes performances. Dans une autre
configuration, un modulateur de phase à effet électro-optique peut être utilisé comme
le montre la figure 2.19. En raison de sa large bande passante, il est mieux adapté
pour la modulation numérique.
Contrôleur de Ω
polarisation
Source Isolateur Polariseur
Coupleur Coupleur
Bobine de
PZT
fibre PM
modulator
Photodétecteur
45
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
Contrôleur de Ω
polarisation
Source Isolateur
Coupleur
Plusieurs effets parasites peuvent être des sources d’erreurs dans le gyroscope,
comparables ou plus importants que le déphasage Sagnac. Nous discuterons dans
cette partie les sources d’erreurs et les méthodes d’élimination. Parmi les effets
parasites, il y a ceux qui sont dus à l’environnement appelés aussi effets des
transitoires, produisant des fluctuations dans les paramètres de la fibre tels que les
variations de la température, les vibrations mécaniques et acoustiques et ceux qui
introduisent des décalages tels que l’effet de rétrodiffusion de Rayleigh, l'effet Faraday
magnéto-optique et l'effet Kerr optique.
L
1 ⎛ dn ⎞
ΩT = n ⎜⎜ + αE n ⎟⎟⎟ ∫ T (z , t )(L − 2z )dz (2.66)
2RL ⎝dT ⎠
0
46
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
R2
R1
47
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
a été résolu en polissant les extrémités en oblique pour éviter que les réflexions
reviennent dans la direction incidente. De plus, si la source est relativement
incohérente, il est possible de réduire le contraste du Michelson parasite sans affecter
l’interféromètre de Sagnac.
λc αRLc pTcB
ΩR = (2.68)
4πRL 2n
δλc G JJG
ΩH = Vd Hdz (2.69)
4πRL
δ est un coefficient qui dépend de l’état de polarisation de l’onde dans la fibre. Il est
JG
nul pour une polarisation linéaire et égal à ± 1 pour une polarisation circulaire, H est
48
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
⎛ I 2 (t ) − 2 I (t ) 2 ⎞⎟
⎜ 0 ⎟⎟
ΩK ∝ (1 − 2ρ ) ⎜⎜
0
⎟ (2.70)
⎜⎜⎝ I 0 (t ) ⎠⎟
2.5. Conclusion
Nous avons vu dans ce chapitre que l’utilisation de la fibre optique pour réaliser un
gyromètre permet d’améliorer sensiblement le déphasage Sagnac. Pour mesurer ce
déphasage avec précision, on doit prendre en considération :
49
Chapitre 2 : Le gyroscope interférométrique à fibre optique
50
Chapitre 3
Modélisation et optimisation du choix des composants
3.1. Introduction
Le but de ce chapitre est de présenter le modèle que nous avons développé pour
décrire le fonctionnement du gyroscope à fibre optique multimode en tenant compte,
en particulier, du phénomène des couplages de modes. Le modèle proposé permet
d’étudier les performances de l’appareil en fonction des paramètres des composants.
Au début du chapitre, nous décrivons le modèle que nous avons proposé pour étudier
les performances du gyroscope en nous basant sur la modélisation de l’interféromètre
de Sagnac multimode. Nous donnons par la suite les résultats de l’analyse des
performances. La dernière partie du chapitre est consacrée à l’optimisation du choix
de composants pour la réalisation de notre gyroscope. Cette optimisation s’appuie sur
le modèle proposé.
Les problèmes spécifiques posés par l’intégration d’une fibre optique multimode et des
composants multimodes dans un gyroscope sont liés à la présence des couplages entre
les modes (ou groupes de modes). Ces couplages sont très sensibles aux conditions
d’injections ainsi qu’aux effets combinés des perturbations intrinsèques et
51
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
extrinsèques dans une fibre. Parmi les problèmes, l’obtention d’un fonctionnement
réciproque. Le fonctionnement réciproque d’un gyroscope à fibre optique multimode
nécessite la même distribution modale dans les deux sens de propagation. En
pratique, ces conditions sont très difficiles voir impossibles à réaliser, compte tenu du
caractère multimode de la fibre et de la diversité des facteurs qui influent sur la
réciprocité et la distribution des modes. Donc, nous proposons dans ce travail un
modèle qui permet de traiter l’interférométrie Sagnac multimode en tenant compte
des effets du couplage de modes.
Nous présentons dans ce chapitre le modèle que nous avons développé pour étudier
les performances du gyroscope à fibre optique multimode. Le modèle permet
également d’optimiser le choix des composants afin de concevoir une nouvelle
réalisation.
Nous ne traiterons pas le problème général des équations de propagation dans une
fibre multimode. Nous considérerons simplement que les différents modes constituent
autant de chemins optiques possibles pour une onde injectée à l’entrée de la fibre.
Étant donné que les modes de chaque groupe de modes se propagent avec la même
constante de propagation, on utilisera dans la suite de façon identique l’appellation
mode ou groupe de modes (Annexe B).
52
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
M
I0
Is = I 0 +
M
∑ cos φ
m =1
m ≈ I0 (3.2)
On remarque que l’effet de moyennage sur l’ensemble des modes permet d’avoir un
biais stable et indépendant de l’erreur de phase associée à chaque mode. Cette
stabilité du biais augmente avec l’augmentation du nombre total de modes. Donc, il
semble apparaître que l’utilisation d’une fibre fortement multimode est avantageuse.
Ce modèle reste basique, en effet il ne tient pas compte de la présence des couplages
de modes dans la fibre, qui peuvent avoir un effet néfaste sur les performances du
dispositif. La source de ces couplages peut être intrinsèque à la fibre (défaut de
fabrication, microdéformations, impureté (Annexe B), etc.) ou extrinsèque
(température, vibrations, pression, etc.). Les couplages peuvent être réduits, mais ils
restent inévitables.
Nous présentons dans ce qui suit un modèle plus détaillé en tenant compte des
couplages de modes. Le but escompté de cette modélisation, dans un premier temps,
est l’étude de l’effet des couplages de modes sur les performances du gyroscope. Dans
un second temps, il s’agit d’utiliser les résultats de la modélisation pour optimiser le
choix des composants pour une nouvelle conception.
Sous l’effet du couplage de modes, nous pouvons dire qu’à l’extrémité de la fibre,
chaque mode est une combinaison de tous les modes de propagation. Il opère un
moyennage statistique qui fait que chaque mode en sortie diffère des autres modes
par l’état de sa phase et de sa position angulaire sur la section de sortie de la fibre.
Donc, nous nous intéressons seulement aux modes à l’entrée et la sortie des
composants constituant le gyroscope.
53
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
CW
(3)
(1)
Entrée Bobine de fibre
Sortie 1 Coupleur multimode
Sortie 2
(2) (4)
CCW
La lumière émise par la source entre dans l’interféromètre à travers le port (1) du
coupleur, puis elle est divisée en deux ondes qui sortent par les ports (3) et (4). Après
avoir parcouru la bobine de fibre en sens inverse, les deux ondes sont combinées pour
former le mélange interférométrique, qui sort par les ports (1) et (2) du coupleur.
Ainsi, suivant le port utilisé, deux sorties de l’interféromètre peuvent être considérées
à savoir les ports (1) ou (2). Comme le port (1) est réciproque, seule la sortie (1) sera
utilisée et par conséquent le photodétecteur sera placé au niveau du port (1). Il s’agit
dans la suite de déterminer l’intensité totale observée par le photodétecteur.
54
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Distribution spatiale du
mode (D ) Matrice G
Photodétecteur
La bobine de fibre est représentée par un système linéaire ayant 2 × M ports. Les
ports représentent les modes aux deux extrémités. En tenant compte du couplage de
modes, la fibre est décrite par deux matrices de transfert, F + et F − de dimension
M × M chacune. Ces deux matrices caractérisent la propagation de 1 vers 2 et vice
versa comme l’illustre la figure 3.3. Les termes généraux de ces deux matrices sont:
⎛ + Δφs ⎟⎞
j ⎜⎜⎜φmn + ⎟
+ + ⎝ 2 ⎠⎟
Fmn =C e
mn
⎛ − Δφs ⎞⎟
(3.3)
j ⎜⎜⎜φmn − ⎟
− − ⎝ 2 ⎠⎟
Fmn =C e
mn
+ −
avec C mn et C mn sont les coefficients de couplage du mode m vers le mode n dans les
+ −
deux sens moyennés sur toute la longueur de fibre, φmn et φmn sont les phases
aléatoires associées aux composantes produites par les couplages lors de la
propagation le long de la fibre.
55
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Selon leur évolution temporelle, les couplages entre modes peuvent être statiques ou
dynamiques. Un cas typique de couplages statiques est celui provoqué par les
imperfections intrinsèques de la fibre. Ces imperfections résultent des défauts de
fabrication, comme une distribution inhomogène des impuretés le long de la fibre, des
défauts géométriques, des microdéformations et microcourbures, etc. Les couplages
dynamiques sont principalement provoqués par des perturbations externes telles que
des variations de la température, des vibrations mécaniques et des variations de
pression.
On note que les couplages dynamiques peuvent être réduits par isolation de la fibre,
mais les couplages statiques restent inévitables. Dans notre modèle, nous
considérerons que les couplages varient lentement dans le temps, ce qui est le cas en
pratique.
Figure 3.3 Représentation schématique des modes contrapropagatifs dans une fibre
Pour exprimer les coefficients de couplages entre les modes, nous avons modélisé la
distribution de puissance couplée d’un mode donné vers les autres modes. Pour cela,
nous avons utilisé une représentation gaussienne pour décrire la distribution de
puissance sur l’ensemble des modes après couplage. Ce choix est appuyé par des
expériences de l’analyse modale qui ont montré que le couplage est fort entre les
modes voisins et diminue entre les modes lointains. Par exemple, le mode
fondamental est très faiblement couplé aux modes rayonnés (environ 50 fois moins
que ses plus proches voisins) [95].
56
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Le concept de modes voisins utilisé ici est relatif à un mode donné. En effet, les
modes voisins par rapport à un mode donné sont tous les modes qui ont des
constantes de propagation proches de celle du mode considéré. Les modes voisins du
mode d’ordre n sont tous les modes qui ont un ordre m proche de n .
En basant sur [96-97], nous pouvons modéliser la puissance couplée d’un mode
d’ordre n aux autres modes m (m = 1,..., M ) par une fonction gaussienne qu’on note
la fonction de couplage :
(m −n )2
−
f (m, n ) = e 2σ2
(3.4)
avec σ paramètre qui est choisi de telle façon qu’après couplage du mode n vers les
autres modes, 99% de la puissance est confinée dans N c modes (N c ≤ M ) . Ceci
permet d’écrire :
Nc
3σ = (3.5)
2
Nc
τ= (3.6)
M
Étant donné qu’on ignore a priori l’importance des couplages dans une fibre
multimode quelconque, en faisant varier la profondeur de couplage nous pouvons
tenir compte de tous les cas possibles, même ceux qui concernent les couplages
introduits par la réalisation du bobinage pour le gyroscope.
18(m −n )2
−
f (m, n ) = e τ 2M 2
(3.7)
57
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
On suppose que la fibre est sans perte et on néglige le couplage entre les modes
guidés et les modes rayonnés. Dans ce cas, la totalité de la puissance reste confinée
dans le cœur de la fibre.
f (m, n ) + b (m, n )
C mn = M
(3.8)
∑ ( f (m, n ) + b (m, n ))
2
m =1
Le terme b (m, n ) est ajouté pour décrire les fluctuations aléatoires des coefficients de
couplages.
n=40, τ=0.1
1
n=40, τ=0.2
n=40, τ=0.5
n=40, τ=0.7
0.8
Fonction de couplage
0.6
0.4
0.2
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ordre du mode (m)
58
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
3.2.2.3. Classification
des composantes engendrées par le couplage
− −
−
(C mm , φmm ) +
+
(C mm +
, φmm )
E
m
−
Emm Mode m Emm Em+
+
−
Enm Enm
− − + +
(C mn , φmn ) (Cmn , φmn )
Couplage croisé + +
−
(C nm −
, φnm ) (C nm , φnm )
+
−
Emn Emn
Mode n
En− −
Enn +
Enn En+
− − + +
(C , φ )
nn nn (C , φ )
nn nn
Figure 3.6 Modèle montrant les différentes composantes générées par le couplage entre deux
modes arbitraires
59
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
(
+
couples Emm −
, Emm ) ( +
et Enm −
, Enm). Les autres combinaisons d’interférences qui
60
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Em = X m E 0 (3.9)
⎡X 1 0 " 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢0 % % # ⎥
⎢ ⎥
X=⎢ ⎥ (3.10)
⎢ # % % 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢0 " 0 X ⎥
⎢⎣ M⎥
⎦
∑X
m =1
2
m =1 (3.11)
• Excitation gaussienne.
On suppose que dans le cas d’un faisceau gaussien de large ouverture numérique (cas
d’une source incohérente, par exemple une DEL), tous les modes sont excités
uniformément.
61
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Comme indiqué précédemment, le coupleur est utilisé pour produire les deux ondes
contrapropagatives et les recombiner après propagation le long de la boucle de fibre.
En général, deux types de coupleurs peuvent être utilisés dans les gyroscopes à fibre
optique, à savoir les coupleurs bidirectionnels X ou Y (figure 3.7). Un coupleur
bidirectionnel X est schématisé sur la figure 3.7(a) avec 4 ports nommés : ports
d’entrée P1 et P2, et ports de sortie P3 et P4.
P1 P3 P3
P1
(b)
P2 (a) P4
P4
Figure 3.7 Représentation schématique des coupleurs : (a) coupleur X, (b) coupleur Y.
Comme tout coupleur optique, le coupleur à fibre multimode est décrit par les
coefficients de couplage entre ports donnés par :
θ
kij = kij e ij (3.12)
où kij représente la fraction du champ électrique qui est couplée du port i vers le
port j et θij est le déphasage des champs des deux ports qui satisfait la condition
θij = θji .
62
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Pour tenir compte de l’effet du coupleur sur la distribution modale, nous proposons
de modéliser le couplage du port i au port j par un produit entre le coefficient de
couplage kij et une matrice de transfert modale notée T ij . Cette matrice décrit la
modification de la distribution modale d’entrée causée par le coupleur. La matrice T ij
est de dimension M × M et elle est réelle, positive et pour simplification nous la
considérons diagonale (même forme que la matrice d’excitation X). Ses éléments Tmij
(m = 1, ..., M) peuvent être calculés en prenant le rapport entre le champ électrique
de l'entrée et celui de sortie du m ème mode. Ces éléments doivent respecter le principe
de conservation de puissance, c'est-à-dire :
M 2
∑ (T )
m =1
ij
m =1 (3.13)
⎛ ⎛ +
j ⎜⎜⎜φmn
Δφ ⎞
+θ13 +θ41 + s ⎟⎟⎟
⎛ −
j ⎜⎜⎜φmn +θ14 +θ31 − s ⎟⎟⎟ ⎞
Δφ ⎞
⎜⎜ 41 13 + ⎝ 2 ⎠ 31 14 − ⎝ 2 ⎠⎟ ⎟⎟ X n Dm (r, ϕ) (3.15)
Gmn = ⎜ k13 k 41 Tm Tn C mne + k14 k 31 Tm Tn C mne
⎜⎝ ⎟⎠
63
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
• +
amn = k13 k 41 Tm41Tn13C mn X n Dm ;
• −
bmn = k14 k31 Tm31Tn14C mn X n Dm .
M ⎛M ⎛ +
j ⎜⎜⎜φmn
Δφ ⎞
+θ13 +θ41 + s ⎟⎟⎟
⎛ −
j ⎜⎜⎜φmn +θ14 +θ31 − s ⎟⎟⎟ ⎞
Δφ ⎞
⎜ 2 ⎠⎟
ET = E 0 ∑ ∑ ⎜amne ⎜ ⎝ 2 ⎠
+ bmne ⎝ ⎟⎟ (3.17)
m =1 n =1 ⎜
⎝ ⎠⎟
⎛
M ⎛ +
j ⎜⎜⎜φmn
Δφ ⎞
+θ13 +θ41 + s ⎟⎟⎟
⎛ −
j ⎜⎜⎜φmn +θ14 +θ31 − s ⎟⎟⎟ ⎞
Δφ ⎞
⎜ 2 ⎠⎟
E m = E 0 ∑ ⎜amne
⎜ ⎝ 2 ⎠
+ bmne ⎝ ⎟⎟ (3.18)
n =1 ⎜
⎝ ⎠⎟
L’expression (3.18) montre bien que le champ en sortie d’un mode quelconque est une
combinaison des différents modes dans les deux sens. Nous allons calculer dans la
suite l’intensité totale en sortie et étudier les performances du gyroscope.
Nous supposons que tous les modes ont la même polarisation en sortie et que le
mélange interférométrique est parfait. Lorsque l’interféromètre est excité avec une
lumière monochromatique, l'intensité de sortie peut être calculée en utilisant
l’expression suivante:
64
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
M M M M
I s = E 02 ∑ ∑ ∑ ∑ {aima jn sin (φim
+
− φjn+ ) Premier terme
i =1 j =1 m =1 n =1
où Amn est le coefficient de recouvrement spatial des distributions modales calculé sur
la surface ΔS du photodétecteur. Il est donné par:
Nous constatons que l’expression de l'intensité totale donnée en (3.20) est composée
de trois termes :
Lorsque l’interféromètre est excité avec une lumière faiblement cohérente, l'intensité
de sortie peut être calculée en utilisant l'expression suivante :
I s = E 02tr ( GG † ) (3.22)
65
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Étant donné que le gyroscope opère sur la frange centrale ( 0 < Δφs < 2π ) et en
utilisant l’équation (3.22), l’intensité totale devient :
M M
I s = ∑ ∑ I mn
+
m =1 n =1
(−
+ I mn + −
+ 2 I mn I mn cos (Δφs + φmn
+ −
− φmn ) ) (3.23)
+ −
avec I mn = E 02amn
2
Amn et I mn = E 02bmn
2
Amn . La longueur de cohérence nécessaire pour
l’élimination des interférences intermodales dépend de la longueur de fibre et du
temps de propagation des différents modes. Nous allons voir par la suite comment
déterminer la largeur de bande de la source qui garantira une élimination parfaite du
bruit intermodal.
C (M ) est le contraste de la frange centrale évaluer pour Δφs = 0 , il est donné par:
M M
2∑ ∑ I mn
+ −
I mn cos (φmn
+ −
− φmn )
C (M ) = m =1 n =1
M M (3.26)
∑ ∑ (I
m =1 n =1
+
mn +I −
mn )
φe (M ) est l'erreur de phase totale due aux couplages de modes qui s’exprime comme
suit:
⎛ M M ⎞⎟
⎜⎜ ∑ ∑ I mn I mn sin (φmn
+ − + −
− φmn ) ⎟⎟
⎜⎜ m =1 n =1 ⎟⎟
φe (M ) = arctan ⎜⎜ M M ⎟⎟ (3.27)
⎜⎜ − ⎟
⎜⎝ ∑ ∑ mn mn
I I cos (φmn − φmn )⎟⎟
+ − +
m =1 n =1 ⎠⎟
En utilisant l’expression (3.23), nous avons tracé sur la figure 3.8 l’intensité de sortie
+ −
en fonction du déphasage Sagnac. Étant donné que les phases φmn et φmn sont
aléatoires, nous avons tracé l’intensité pour différentes réalisations. Le tracé illustre
clairement l’apparition d’une erreur de phase aléatoire assimilable au déphasage
66
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
1.5
Intensité (u. a)
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
Déphasage de Sagnac (rad) Déphasage de Sagnac (rad)
Réalisation (3) Réalisation (4)
2.5 2.5
Simulation M = 30 Simulation M = 30 modes
Réponse idéale modes Réponse idéale τ = 0,2
2 τ = 0,2 2 Contraste = 0,09
Contraste = 0,15
1.5
φe φe
Intensité (u. a)
1.5
Intensité (u. a)
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
Déphasage de Sagnac (rad) Déphasage de Sagnac (rad)
Réalisation (5) Réalisation (6)
2.5 2.5
M = 30 modes Simulation M = 30 modes
Simulation
Réponse idéale τ = 0,2 Réponse idéale τ = 0,2
2 2
Contraste = 0,07 Contraste = 0,06
1.5 φe 1.5 φe
Intensité (u. a)
Intensité (u. a)
1 1
0.5 0.5
0 0
−0.5 −0.5
−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3
Déphasage de Sagnac (rad) Déphasage de Sagnac (rad)
Figure 3.8 Illustration de la réponse du gyroscope pour différentes réalisations, montrant la
variation aléatoire de l’erreur de phase totale et du contraste
67
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
I s = I moy ⎡⎢1 + C (M ) cos (φeff cos (2π fmt ) + Δφs + φe (M ))⎤⎥ (3.28)
⎣ ⎦
À partir des équations (3.30) et (3.31), nous pouvons voir que les performances du
gyroscope à fibre multimode, à savoir l’erreur du biais et la sensibilité sont fonction
du contraste et de l'erreur de phase. Tous les deux sont fortement influencés par le
nombre total de modes M et par les couplages de modes. Donc, il suffit d’étudier
l'influence du nombre total de modes et du couplage de modes sur le contraste et
l’erreur de phase.
Nous tenons à souligner que le modèle que nous proposons ici est un cas particulier de
modes ayant la même polarisation linéaire en sortie de l’interféromètre. Toutefois, en
raison de la variation aléatoire de la biréfringence le long de la fibre, les deux ondes
contrapropagatives de chaque mode subissent des changements différents
d’orientations de la polarisation. Ces changements de rotation de la polarisation sont
68
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Comme le montre les équations (3.30) et (3.31), le contraste et l'erreur de phase sont
+ −
des fonctions aléatoires dues la présence des termes de phases aléatoires φmn et φmn .
+ −
Nous considérons dans tous nos calculs que φmn et φmn sont uniformément répartis
dans l’intervalle [ 0 − 2π ] .
Dans toutes les simulations, nous avons considéré une source de lumière avec E 0 = 1 ,
un coupleur 3 dB ( kij = 1/ 2 ) et un photodétecteur avec une grande surface active
( Amn = 1 ).
Étant donné que les champs électriques des composantes dites directes ( m = n ) ne
+ −
subissent pas de couplage, leurs phases associées φmn et φmn sont causées par des
perturbations externes non symétriques et non par le couplage de modes. Selon leur
réciprocité, nous pouvons distinguer deux cas : les composantes directes réciproques
ou non réciproques.
69
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
3.3.1.1. Le contraste
Nous rapportons dans la figure 3.9 la valeur estimée du contraste obtenue par le
calcul de Monte-Carlo en fonction du nombre total des modes et du paramètre de la
profondeur de couplage.
2
τ=0
1.8
τ=0.05
1.6 τ=0.1
1.4 τ=0.2
τ=0.5
1.2
Contraste
τ=1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nombre total de modes (M)
Figure 3.9 Contraste dans le cas où les composantes directes sont réciproques
Nous pouvons voir qu’en présence de couplage de mode, l'utilisation d’une fibre
fortement multimode conduit à un faible contraste. Cette faible valeur du contraste
dégrade la sensibilité du dispositif. Toutefois, en absence de couplage de modes
( τ = 0 ) le contraste est maximal et il est indépendant du nombre total des modes.
Dans ce cas, nous pouvons dire que la sensibilité du gyroscope à fibre multimode est
maximale et elle peut être assimilée à celle du gyroscope à fibre monomode ( M = 1 ).
70
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
1
M=10
0.9 M=20
M=30
0.8 M=50
0.7 M=100
0.6
Contraste
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Profendeur de couplage (τ)
Le tracé de l'écart-type de l'erreur de phase est rapporté dans la figure 3.11. L’analyse
de ce dernier indique que l’erreur de phase augmente avec l’augmentation de la
profondeur de couplage. Ce résultat est évident parce que l’origine de cette erreur est
le couplage de modes. Cependant, en raison du processus de moyennage modal,
l'erreur de phase diminue avec l’augmentation du nombre total de modes.
Contrairement à la dégradation du contraste, l’utilisation d’une fibre fortement
71
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0 20 40 60 80 100
Nombre total de modes (M)
Figure 3.11 Erreur de phase: cas où les composantes directes sont réciproques.
La présence du pic de l'erreur de phase sur les différentes courbes est due au fait que
le nombre total de modes est insuffisant pour établir le moyennage. La valeur du pic
de l’erreur de phase ainsi que le nombre de modes correspondant dépendent de la
profondeur de couplage. En effet, plus le couplage est important plus la valeur du pic
de l’erreur de phase est importante.
D’après ces courbes, l’erreur de phase est nulle dans deux cas à savoir :
Ce dernier cas est toujours vérifié quelque soit le type de fibre multimode utilisée
(quelque soit M). Ceci démontre qu’en absence de couplage de modes, les deux types
de fonctionnement (monomode et multimode sont similaires.
+ −
Dans ce cas, nous considérons que φmn ≠ φmn ≠ 0 pour m = n en supposons que ces
phases aléatoires non réciproques proviennent des perturbations externes. C’est le cas
le plus réaliste.
72
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
3.3.2.1. Le contraste
τ=0
1
τ=0.05
τ=0.1
0.8 τ=0.2
τ=0.5
τ=1
Contraste
0.6
0.4
0.2
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nombre totale de modes (M)
Figure 3.12 Contraste dans le cas où les composantes directes sont non réciproquées
73
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
0.1
τ=0
τ=0.05
0.08 τ=0.1
τ=0.2
τ=0.5
Erreur de phase (rad)
τ=1
0.06
0.04
0.02
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nombre total de modes (M)
Figure 3.13 L’erreur de phase : cas où les composantes directes sont non-réciproques.
74
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
À partir de ces résultats, nous pouvons dire qu’il existe une valeur optimale du
nombre total de modes qui satisferait le compromis entre un contraste élevé
(meilleure sensibilité) et une erreur de phase faible (bonne stabilité du biais). La
détermination de cette valeur optimale nous permettra de choisir la meilleure fibre
multimode pour une conception optimale d’un gyroscope à fibre multimode.
Pour sélectionner le choix optimal de la fibre, nous allons déterminer tout d’abord la
valeur optimale du nombre total de modes M . Pour cela, nous avons considéré
comme fonction d'optimisation la fonction de coût suivante :
φe (M ) 1/C (M )
fc (φe ,C ) = + (3.32)
max (φe (M )) max (1/C (M ))
La valeur optimale du nombre total de modes notée Moptimal est donnée par la valeur
de M qui minimise la fonction de coût fc (φe ,C ) comme suit :
Les figures 3.14 et 3.15 illustrent le tracé des fonctions de coût obtenues en
considérant la réciprocité et la non-réciprocité des composantes directes,
respectivement. Dans les deux cas, nous remarquons que le nombre optimal de modes
dépend du couplage et sa valeur ne dépasse pas 40 modes. Donc, l'utilisation d'une
fibre ayant un nombre élevé de modes ( M > 40 ) ne présente pas d’intérêt pour les
gyroscopes à fibre multimode.
En situation réelle, les composantes directes sont non réciproquées. Dans ce cas, pour
atteindre le compromis entre la stabilité et la sensibilité du biais, le nombre total de
modes doit être choisi dans la gamme de 20 à 40 modes comme le montre la figure
3.15.
75
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
τ=0
τ=0.05
2
τ=0.1
τ=0.2
τ=0.5
Fonction de coût
1.5
τ=1
0.5
0
0 20 40 60 80 100
Nombre total de modes (M)
1.6
τ=0
1.4 τ=0.05
τ=0.1
1.2 τ=0.2
τ=0.5
Fonction de coût
1
τ=1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 20 40 60 80 100
Nombre total de modes (M)
Le choix d'une fibre à saut d'indice au lieu d'une fibre à gradient d'indice est plus
adapté pour un fonctionnement optimal. En effet, dans une fibre à gradient d’indice,
l'élimination des interférences intermodales est plus difficile à cause d’une dispersion
intermodale réduite. Par contre, les modes d’une fibre à saut d’indice sont facilement
décorrélés après un parcours d’une faible longueur de fibre lorsqu’ils sont excités avec
une lumière très faiblement cohérente.
76
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Afin de coupler le maximum de puissance dans la fibre, il est utile d'utiliser une fibre
multimode avec une grande ouverture numérique. Pour plus de réduction des effets
transitoires, il est nécessaire aussi d’utiliser une bobine avec un bobinage symétrique,
tel que le bobinage quadripolaire.
Nous rapportons dans le tableau 3.1 une comparaison entre trois types de fibres
multimodes à saut d'indice à savoir la SI 50/125, la SI 65,5/125 et la SI 100/140.
Nous pouvons voir clairement que pour la fibre à saut d’indice SI 50/125 son nombre
total de groupes de modes M = 28 ∈ ⎡⎢20 − 40⎤⎥ , fait d’elle le choix optimal pour la
⎣ ⎦
conception d’un gyroscope à fibre multimode. En plus, cette fibre répond au standard
des télécommunications optiques.
• Type coupleur X ou Y;
77
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
On souhaite que l’erreur de phase soit être nulle (φe = 0) au repos (φs = 0) , ce qui
s’écrit :
M M
∑∑
m =1 n =1
+ −
I mn I mn sin (φmn
+ −
− φmn )= 0 (3.34)
• +
φmn +
= −φnm ;
− −
• φmn = −φnm .
∑ ∑(
m =1 n >m
+ −
I mn + −
I nm − I nm )
I mn sin (φmn
+ −
− φmn )= 0 (3.35)
+ − + −
I mn I nm − I nm I mn = 0 (3.36)
+ −
En utilisant les expressions de I mn et I mn , la condition devient :
• Tmij = 1 ∀m = 1,..., M
Dans les deux cas, les solutions montrent que le coupleur doit être symétrique, c'est-
à-dire qu’en plus du rapport de division égal, le coupleur doit conserver en sortie des
distributions identiques à celles du port d’entrée.
78
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Nous avons vu que le bruit modal résultant d'interférences intermodales peut être
éliminé en utilisant une source de faible cohérence. La longueur de cohérence de la
source notée Ls nécessaire pour l’élimination de ces interférences intermodales doit
être inférieure à la longueur de cohérence dans la fibre multimode notée Lf ( Ls < Lf ).
79
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
Cette dernière est définie comme étant la plus petite différence de chemin optique
entre les différents modes de la fibre.
Pour une fibre de longueur totale L , la longueur de cohérence dans la fibre peut être
calculée en utilisant (B.29) comme suit:
ON 2 ⎛⎜ α − 2 ⎞⎟ 1 ⎡ 2α ⎤
Lf = L ⎜ ⎟ ⎢2 α+2 − 1⎥ (3.38)
2n12 ⎜⎝ α + 2 ⎠⎟ ⎢ ⎥
2α
M α +2 ⎣ ⎦
où n1 est l'indice de réfraction du cœur de la fibre, ON est l’ouverture numérique et
α est le profil d’indice. Dans le cas d'une fibre à saut d'indice (α = ∞) , la longueur
de cohérence dans la fibre devient :
3LON 2
Lf = (3.39)
2n12M 2
En utilisant l'expression de la longueur de cohérence temporelle de la source
Ls = λ 2 Δλ , nous pouvons déterminer la largeur de bande minimale Δλmin nécessaire
2λ 2M 2n12
Δλ > Δλmin = (3.40)
3LON 2
D’après (3.40) la largeur de bande minimale Δλmin est étroitement liée aux
paramètres opto-géométriques de la fibre. On donne dans le tableau 3.3 Δλmin pour
les trois types de fibres multimodes, avec une longueur L= 1000 m.
80
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
NE Ω 1 2hc 3 1
= (3.41)
B 4πRL ηPmoy C (M )
81
Chapitre 3 : Modélisation et optimisation du choix de composants
3.5. Conclusion
Il découle de cette étude qu’un choix optimisé du type de fibre est nécessaire pour
l’obtention de meilleures performances. Ce choix est fait par le biais de la
détermination du nombre de modes optimal qui satisfait un compromis entre
sensibilité et stabilité. Nous avons montré qu’un tel compromis est satisfait lorsque le
nombre optimal de modes est compris dans l’intervalle 20 à 40 modes. Une
comparaison de plusieurs types de fibres montre que la fibre multimode à saut
d’indice 50/125 ayant 28 modes est des meilleurs choix pour la réalisation de notre
gyroscope. De plus, nous avons également optimisé le choix des autres composants :
la source très faiblement cohérente, le photodétecteur et les coupleurs.
82
Chapitre 4
Réalisation et caractérisation du gyroscope
4.1. Introduction
83
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Afin de surmonter les insuffisances du premier prototype, nous avons réalisé, dans
une deuxième étape, un deuxième prototype, le prototype final plus performant.
Dans toutes les expériences décrites ici, nous présentons dans un premier temps la
description du montage expérimental, puis les différents tests menés, les résultats de
la caractérisation et les performances obtenus. En fin du chapitre, nous décrivons le
test qui nous a permis de tester l’immunité de notre gyroscope au champ magnétique,
ce qui ouvre des perspectives d’utilisation intéressantes dans le domaine de
l’instrumentation médicale.
4.2.1.1. La source
La source utilisée dans ce premier prototype est une diode électroluminescente (DEL)
fibrée. Elle répond à la nécessité d’utiliser une source très faiblement cohérente. Elle a
été choisie dans une des fenêtres télécoms pour bénéficier d’un faible coût financier.
La fenêtre choisie est celle ayant la plus faible longueur d’onde, l’effet Sagnac étant
inversement proportionnel à celle-ci. Les principales caractéristiques de cette DEL
sont :
84
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Figure 4.1 Alimentation pour DEL, (a) photographie, (b) vue de dessus.
0.8
intensité normalisée
0.6
0.4
0.2
0
750 800 850 900
Longueur d’onde (nm)
Figure 4.2 Spectre mesuré de la diode électroluminescente
85
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
60
Pmoy=50 µW, 0,23µW
50
40
puissance (μW)
30
20
10
0
0 2 4 6 8 10
Temps (Heure)
La fibre choisie pour la réalisation de la bobine du gyroscope est une fibre multimode
standard des télécommunications à saut d’indice. Les caractéristiques techniques de
cette fibre sont les suivantes :
• Matériau cœur/gaine : silice/silice ;
• Longueur d’onde de travail : 780 nm à 890 nm ;
• Diamètre du cœur : 50 ±3 μm ;
• Diamètre de la gaine : 125 ±2 μm ;
• Ouverture numérique : ON=0,22 ;
• Atténuation: 5 dB/km à 850 nm (fibre non bobinée) ;
• Indice de réfraction du cœur : n1 = 1, 497 .
86
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Le nombre total de modes de cette fibre est M=28 modes et il est bien dans la plage
20 à 40 modes démontrée dans l’étude théorique.
87
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Le modulateur de phase, utilisé pour la détection synchrone, est constitué d’un tube
de matériau piézoélectrique sur lequel sont enroulés plusieurs tours de fibre optique.
Lorsqu’une tension est appliquée au PZT, celui-ci se dilate, il se développe une force
qui provoque l’étirement de la fibre, engendre une modulation du chemin optique et
par conséquent une modulation de phase de l’onde qui parcourt la fibre. Pour réaliser
la modulation, la tension utilisée est sinusoïdale. Le déphasage provoqué par une
tension V appliquée au PZT est donné par [98]:
N pVC ⎡⎢ n3 ⎛ ⎞⎤
⎜(p + p ) a − p ⎟⎟⎥
Δφ = 4π 2 n + (1 + υ ) ⎜ 12 ⎟⎥ (4.1)
λ ⎢⎢ ⎜⎜ 11
⎠⎟⎦⎥
12
2 ⎝ 2Rp
⎣
Les caractéristiques du PZT que nous avons utilisé (figure 4.6) sont les suivantes :
88
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
V
ΔRp = d31 Rp (4.2)
e
utilisant une tension de modulation inferieure à 5 Volt. En remplaçant par les valeurs
numériques υ = 0,17 , p11 = 0,121 , p12 = 0,270 et n = 1, 497 , C = d31 = 200 pm/V,
λ = 850 nm dans l’expression (4.2) on obtient :
Δφ = 1,29.10−2 N pV (4.3)
140
Np = (4.4)
V
Pour une tension V= 5Volt, nous obtenons un nombre de tours N p = 28 tours.
4.2.1.4. Le photodétecteur
La conception du circuit de détection est très importante, car le signal en sortie est
de faible contraste. Il existe deux modes de fonctionnement pour une photodiode, le
mode photoconductif (polarisé) et le mode photovoltaïque (non polarisé). Pour
éliminer le bruit dû au courant d’obscurité de la photodiode et augmenter la
89
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
sensibilité du gyroscope, nous avons opté pour le mode photovoltaïque qui est
caractérisé par un courant d’obscurité nul.
Cf
Rf
Ip -
R
+
Cf
R
-
VS=2RIP
Rf R
+
- R
Nous avons utilisé un amplificateur opérationnel à faible bruit (OP27) qui présente
un produit gain-bande passante GPB=8 MHz, une capacité de jonction Cj=10 pF et
une capacité d’entrée CA=2,5 pF. La valeur de la capacité CF qui minimise le bruit de
l’amplificateur se calcule en utilisant :
C j + CA
CF = = 0, 42 pF (4.5)
2 2GPBRF
90
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Les deux types de coupleurs utilisés sont basés sur deux principes de fabrications
différents. Le premier type est un coupleur fabriqué en technologie dite micro-optique
et le deuxième est réalisé par la technique dite fusion/étirage. Cette dernière, permet
de réaliser des coupleurs à bas coûts et de moyennes performances. On détaillera dans
la suite le principe de fabrication et on donnera les caractéristiques des coupleurs.
Le coupleur est de type Y. Il possède une fibre multimode d’entrée et deux fibres de
sortie. La lumière est collimatée par des microlentilles GRIN (lentille à gradient
d’indice). La séparation de la lumière est assurée par un micro-miroir diélectrique qui
réfléchit 50% de la lumière vers la fibre de sortie 1 et transmet 50% de la lumière vers
la fibre de sortie 2, comme le montre la figure 4.8.
Collimateur Mono-
double à fibre collimateur à
multimode fibre multimode
Fibre d’entrée
Vers la fibre Vers la fibre de
de sortie 1 sortie 2
Miroir diélectrique
semi réfléchissant
91
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Pour vérifier leur symétrie, nous avons utilisé un dispositif expérimental dont le
principe consiste à exciter un nombre limité de modes à l’entrée du coupleur, puis de
comparer les distributions modales obtenues en sorties. L’excitation d’un nombre
limité de modes à l’entrée est obtenue en réalisant l’injection avec un angle donné par
rapport à l’axe de la fibre. Théoriquement, en l’absence de couplage de modes une
telle injection donne en sortie de la fibre des anneaux de lumière.
Le dispositif expérimental utilisé est représenté sur la figure 4.9. L’entrée du coupleur
est excitée avec une lumière laser, un laser He-Ne ( λ = 633 nm ). Ce dernier est placé
92
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
sur une table rotative motorisée permettant de choisir l’angle d’injection désiré.
L’observation du faisceau en sortie du coupleur est effectuée en champ lointain avec
une caméra CCD (un analyseur de faisceau).
Caméra
Laser He-Ne CCD
Affichage
Coupleur
sous test
Table rotative
Figure 4.9 Dispositif expérimental utilisé pour caractériser la symétrie des coupleurs
93
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Concernant les deux coupleurs, l’excitation est effectuée avec un angle d’incidence
α = 7 ° . D’après le résultat de la figure 4.11, nous remarquons que les distributions
obtenues sur les deux sorties du coupleur micro-optique (en forme d’anneaux) sont
identiques à celle de l’entrée. En effet, les mêmes modes sont excités sur les deux
sorties, ce qui démontre la symétrie du coupleur micro-optique. Par contre, les
distributions obtenues pour le coupleur fusion/étirage sont modifiées par rapport à
celle de l’entrée. À première vue, les deux distributions en sorties semblent être
identiques, mais les modes excités sur les deux sorties ne sont pas forcément les
mêmes.
94
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
bobine. Le rayon moyen de la bobine peut être calculé comme suit [37] :
4πRL
kopt = = 2, 667 s (4.8)
λc
λc π
Ωmax = = = 0, 5889 rad / s = 33, 741° / s (4.9)
8RL 2kopt
Donc, le gyroscope peut mesurer sans ambigüité des vitesses dans la plage
⎡−33, 741° / s, +33, 741 ° / s⎤
⎢⎣ ⎥⎦
95
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
λc 2h ν B 1 + J 0 (φeff )
Ωmin = (4.10)
4πRLC (M ) ηPmoy J 1 (φeff )
1 + J 0 (φeff )
avec = 2,26 pour φeff = 1, 84 rad.
J 1 (φeff )
Sachant que la source délivre une puissance totale P=50 μW et que l’atténuation
totale due à la fibre et aux coupleurs est de 22 dB (rapport de couplage inclut), la
puissance moyenne reçue est Pmoy=320 nW. Si on suppose que le contraste
C(M)=0,02, la vitesse minimale détectable est de :
NE Ω °/h
= 11, 80 (4.11)
B Hz
Le premier prototype réalisé est représenté sur la figure 4.12. Dans cette première
version, nous avons utilisé du côté de la source le coupleur par fusion/étirage et du
côté de la bobine le coupleur en technologie micro-optique. Le bobinage de la fibre est
unipolaire (simple). Le modulateur est piloté par une tension sinusoïdale d’amplitude
3,7 Volt et de fréquence 6,7 kHz. Cette fréquence est obtenue en maximisant
l’amplitude du signal d’interférence détecté.
96
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Coupleur Coupleur
Source (DEL) fusion/étirage micro-optique
Modulateur
PZT
Bobine de fibre
Photodétecteur Générateur de multimode
signal
Sortie
Alimentation Amplificateur de Démodulateur
à courant transimpédance synchrone
constant
Coupleurs
Photodétecteur
Platine de
rotation
• Une platine de rotation motorisée sur laquelle est placé notre gyroscope ;
• Une alimentation stabilisée qui délivre +8 et -8 Volt et qui sert à alimenter
les circuits électroniques ;
• Un démodulateur synchrone qui permet de fournir une mesure de la vitesse
de rotation en démodulant le signal reçu du photodétecteur ;
97
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Traitement et affichage
Gyroscope
Alimentation stabilisée Commande de
la rotation
Platine de rotation
98
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Nous présentons dans ce qui suit en détail les résultats des tests et de caractérisation
des performances. Les tests réalisés sont :
Nous allons présenter en détail les résultats des tests et de la caractérisation des
performances de la version utilisant un coupleur micro-optique. Concernant la version
utilisant un coupleur par fusion et étirage, nous donnerons seulement la mesure du
biais et l’effet de température. Nous donnerons à la fin du chapitre une comparaison
entre les performances des différentes versions réalisées.
2,1 µW
50 nW
99
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
NE Ω °/h
= 29, 86 (4.12)
B Hz
2fm
0 1
Amplitude normalisée
-100 0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Temps (ms)
0.6
Signal de modulation
5
Tension (Volt)
0.4
4fm
0 0.2
-5 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 20 40 60 80 100
Temps (ms) Fréquence (kHz)
100
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Amplitude normalisée
2fm
Première harmonique 0.8
-100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Temps (ms) 0.6
Signal de modulation 3fm
5
Tension (Volt)
0.4
0 0.2
4fm
-5 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 20 40 60 80 100
Temps (ms) Fréquence (kHz)
Dans ce test, nous avons visualisé le signal démodulé à la sortie du lock-in pour
différentes vitesses de rotation. La réponse du gyroscope pour une vitesse de rotation
de Ω = 10 ° / s appliquée dans les deux sens est montrée sur la figure 4.17(a). Un
2
Tension (Volt)
2
0 °/s
0
-2 -2
-4 -4
-10 °/s
-6 -6
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
Temps (sec) Temps (s)
101
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Vitesse de rotation (°/sec)
102
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
D’après le résultat obtenu en figure 4.19, le bruit dominant est le bruit électronique.
L’effet du bruit de grenaille est négligeable même si la source est en marche, cela est
dû à l’amplificateur transimpedance qui l’atténue à l’entrée du système. La vitesse
minimale détectable décroit avec l’augmentation de la constante de temps. Ceci est
logique, car l’augmentation de la constante de temps signifie un plus grand lissage du
bruit ce qui engendre sa réduction.
(a) (b)
3000 12000
LED en marche LED en marche
2000 8000
1500 6000
1000 4000
500 2000
0 -3 -2 -1 0 1 2
0 -3 -2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Constante de temps (s) Constante de temps (sec)
103
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
(a) (b)
30000 60000
Stabitité du facateur d'échelle (ppm)
20000 40000
15000 30000
10000 20000
5000 10000
0 0
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Vitesse de rotation (°/s) Vitesse de rotation (°/s)
La figure 4.21 montre le biais du gyroscope mesuré au repos sur une durée de 14
heures et échantillonné à une fréquence de 3 Hz. Nous avons mesuré simultanément
la température ambiante du laboratoire. Nous pouvons voir que le biais ne présente
pas de dérive à long terme (> 2 heures). La dérive dominante est la dérive à court
terme (1 heure) comme le montre le biais après filtrage. Cette dérive est de 350 °/s
pour la version avec coupleur micro-optique et 1600 °/s pour la version avec coupleur
fusion étirage. On peut remarquer également qu'il n'ya pas de corrélation entre la
dérive du biais et les variations de température, ce qui démontre l’insensible du
gyroscope à la température lentement variable dans le temps.
2000 24 4000
1500 23
Biais filtré
1000 22 2000 24
Température (°C)
Température (°C)
Biais filtré
Biais (°/h)
500 21
Biais (°/h)
0 20 0 22
-500 19
-1000 18 -2000 20
-1500 17
-2000 16 -4000 18
0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14
Temps (h) Temps (h)
Figure 4.21 Biais à long terme, (a) version avec coupleur micro-optique, (b) version avec
coupleur par fusion étirage
104
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Les variances d’Allan calculées à partir des enregistrements des biais des deux
versions sont représentées sur la figure 4.22. La stabilité du biais représentée par le
minimum de la variance d’Allan est de 17 °/s pour la version avec le coupleur micro-
optique et de 55 °/s pour la version avec le coupleur fusion/étirage. Concernant, la
marche aléatoire angulaire elle est de respectivement 1, 5° / h et 2, 5° / h . Cela
signifie que l’incertitude sur la position angulaire après une intégration de la vitesse
sur une durée de 1 heure est de 1,5° et 2,5° respectivement.
(a) (b)
1000
100
90
80
70 500
Variance d'Allan (°/h)
50
10 0 1 2 3 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10 10 10
Temps d'intégration (sec) Temps d'intégration (sec)
Figure 4.22 Variance d’Allan, (a) version avec coupleur micro-optique, (b) version avec
coupleur fusion étirage
Étant donné que les gyroscopes à fibre optique sont sensibles au gradient de
température, nous avons fait subir au gyroscope un gradient de température en
appliquant un flux d’air chaud directement sur la bobine de fibre. Dans la pratique,
de tel gradient ne peuvent se produire à cause de l’isolation thermique. Le résultat du
test est représenté sur la figure 4.23 qui montre qu’un gradient élevé de température
influe sur le biais. On rappelle que le bobinage utilisé dans cette version est unipolaire
(non symétrique), ce qui rend l’effet de température non réciproque.
105
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
2500 46
2000 44
1500 42
Température (°C)
1000 40
0 36
−500 34
−1000 32
−1500 30
−2000 28
0 20 40 60 80 100
Temps (s)
Figure 4.23 Effet de la température sur le biais
4000 2
3000 1.5
2000 1
dT/dt (°C/sec)
1000 0.5
Biais (°/h)
0 0
−1000 −0.5
−2000 −1
−3000 −1.5
−4000 −2
0 20 40 60 80
Temps (s)
Figure 4.24 Relation entre la variation du biais et la dérivée de la température sans isolation
106
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Module optique
Source Coupleur Coupleur
(SLD) fusion/étirage micro-optique
Bobine de fibre
multimode
Modulateur
Photodétecteur PZT
La nouvelle source est une diode laser superluminescente (SLD en anglais) qui émet à
850 nm. Elle possède une largeur spectrale à mi-hauteur de 50 nm et délivre une
puissance de 600 μW en sortie d’une fibre monomode (SI 9/125). Cette fibre
monomode nous évite d’utiliser un isolateur pour protéger la source contre la
107
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
La bobine de fibre est réalisée en utilisant une nouvelle fibre dont les caractéristiques
sont les suivantes :
Cette fibre possède le même nombre de groupes de modes que la fibre utilisée dans la
première version (M=28 modes). Sa longueur totale mesurée par OTDR est L=1010,7
m. La bobine est enroulée sur un support en plastique. C’est un bobinage
quadripolaire ayant 12 couches de fibres. Son rayon moyen est R=5,087 cm (figure
4.26). Ce type de bobinage permet une distribution des perturbations symétriques par
rapport aux deux extrémités du bobinage.
(a)
(b)
Figure 4.26 Bobine de fibre quadripolaire, (a) principe du bobinage, (b) bobine réalisée
108
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Amplificateur
Amplificateur lock-in
Déphaseur
Amplificateur de
transimpedance
109
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Sachant que l’atténuation totale dans le circuit optique du gyroscope est de l’ordre de
26 dB, la puissance reçue Pmoy est de 1,5 μW. Les performances théoriques de ce
prototype final sont résumées dans le tableau 4.1.
Caractéristique Valeur
Contraste 0,02
Facteur d’échelle optique 2,5337 s
Vitesse maximale sans ambigüité ±35, 52 ° / s
Vitesse minimale 5, 74 ° / h/ Hz
110
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Traitement et
affichage
Gyroscope
Alimentation stabilisée Commande de
la rotation
Platine de rotation
Oscilloscope
DAQ
U2500A
111
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Afin de pouvoir comparer les performances du prototype final avec ceux du premier
prototype, nous avons procédé aux mêmes tests.
0.2
1.2
0
Amplitude normalisée
2.5 0.4
0
0.2
-2.5
-5 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 20 40 60 80 100
Temps (ms) Fréquence (kHz)
Figure 4.30 Signal d’interférence à l’arrêt, (a) représentation temporelle, (b) spectre du signal
112
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Amplitude normalisée
-0.2 Première
harmonique
1
-0.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Temps (ms) 0.8
2fm
Signal de modulation 0.6
5
Tension (Volt)
2.5 0.4
0
0.2
-2.5
-5 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 20 40 60 80 100
Temps (ms) Fréquence (kHz)
Figure 4.31 Signal en rotation, (a) représentation temporelle, (b) spectre du signal
figure 4.32(b) est obtenu pour des vitesses de rotation +5 , +10 et +15 ° / s . Ces
(a) (b)
3 5
2 4
15 °/s
1 3
Tension (Volt)
Tension (Volt)
10 °/s
0 2
5 °/s
-1 1
-2 0
-3 -1
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
Temps (s) Temps (s)
113
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
6
Théorie
Mesure
4
2
Tension (Volt)
−2
−4
−6
−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50
+10°/s. Pour les vitesses dépassant la valeur de ±35,5 °/s, le gyroscope fournira une
mesure non significative, due à la périodicité de sa réponse.
114
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
1000 25.0
800 24.8
600 24.6
400 24.4
Température (°C)
Biais (°/h)
200 24.2
0 24
-200 23.8
-400 23.6
-600 23.4
-800 23.2
-1000 23.0
0 2 4 6 8 10
Temps (h)
115
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
(courbe de pente 0) qui est de 5,24 °/h pour un temps d’intégration de 2 s. Elle
représente la valeur minimale possible du biais de notre gyroscope. La marche
aléatoire angulaire déduite du tracé de la variance d’Allan est 0, 087 ° / h . Les
1
10
0
10 0 1
10 10
Temps d’intégration (s)
116
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
700
SLD en marche
SLD éteinte
500
400
300
200
100
0 −2 −1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Bande passante (Hz)
1400
Stabilité du facteur d’échelle (ppm)
1200
1000
800
600
400
200
0
−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40
Vitesse de rotation (°/s)
117
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Comme nous l’avons vu dans le chapitre 1, les gyroscopes à fibre optique sont
sensibles au gradient de température (effet Shupe) [97]. En effet, lorsque la
distribution de la température varie de façon asymétrique par rapport au centre de la
bobine (cas d’un bobinage unipolaire), les deux ondes contrapropagatives subissent
des phases différentes, ce qui se traduit en sortie du gyroscope par des erreurs.
Dans la première version, nous avons utilisé un bobinage unipolaire (simple) et le test
de cette version a été effectué sans aucune isolation thermique. Concernant le
prototype final, nous avons mesuré l’effet de la température sur notre gyroscope en
considérons deux cas : avec et sans isolation thermique. Le deuxième test est effectué
pour comparer la sensibilité du gyroscope avec le bobinage quadripolaire au bobinage
unipolaire du premier prototype.
Le résultat avec isolation thermique est représenté sur la figure 4.38. Il montre
clairement que le gyroscope est relativement insensible aux variations de température.
1000
800 90
600 80
Température
400 externe 70
Température (°C)
200 60
Biais (°/h)
0 50
−200 40
−400 30
−600 20
−800 10
−1000 0
0 10 20 30 40
Temps (sec)
Figure 4.38 Effet de la température sur le biais du gyroscope, biais à droite, température à
gauche.
118
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Concernant le test sans isolation thermique, le courant d'air chaud est appliqué
directement sur la bobine de fibre. Le capteur de température est placé le plus près
possible de la surface extérieure.
Le résultat obtenu est donné en figure 4.39. Nous remarquons une oscillation du biais
dont l’amplitude reste constante. La fréquence de l’oscillation dépend du gradient de
température. Pour un gradient élevé (changement rapide de température), la
fréquence est élevée et elle diminue avec la diminution du gradient. Ce phénomène est
principalement causé par la différence de température entre les différentes couches
symétriques de la bobine. Cette différence est provoquée par le retard dû à la
propagation de la chaleur de l’extérieur vers l’intérieur de la bobine comme indiqué
dans [99]. Par rapport au résultat obtenu avec le bobinage unipolaire, il y a réduction
d’un facteur 10 de l’amplitude de la fluctuation. Ce facteur est lié au nombre de
couches du bobinage quadripolaire [88].
1000 100
800 90
Température
600 de la bobine 80
de fibre
400 70
Température (°C)
200 60
Biais (°/h)
0 50
200 40
400 30
600 20
−800 10
−1 000 0
0 50 100 150 200
Temps (sec)
Figure 4.39 Effet d’un gradient de température appliquée directement sur la fibre (bobinage
quadripolaire)
119
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Comme nous l’avons vu dans le chapitre 2, par effet Faraday un champ magnétique
peut produire une variation en sortie du gyroscope assimilable à l’effet d’une
rotation. Dans le cas des gyroscopes à fibre monomode, l’expérience a montré qu’un
champ de 10 Gauss provoque une erreur de 1 °/h [100].
Pour cela, nous avons placé la bobine de fibre sur le chariot mobile pouvant se
déplacer à l’intérieur de l’aimant torique. Toute la partie électronique et les
instruments de mesure sont positionnés à l’extérieur de la chambre d’IRM.
120
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Deux types de mesures ont été effectués : mesure sous un champ statique et mesure
sous un champ variable. La mesure sous un champ statique est réalisée pour une
position fixe du chariot et pour différentes orientations de la bobine, tandis que la
mesure sous champ variable est réalisée à l’aide de la translation du chariot. En effet,
la distribution du champ dans l’espace n’est pas constante (à 1 mètre du centre de
l’aimant, le champ décroit jusqu’à 10 Gauss).
En effet, nous avons observé que le gyroscope est totalement insensible au champ
magnétique appliqué pour les deux mesures effectuées (champ statique et variable).
Ceci peut être interprété par le fait que dans une fibre multimode, le signal optique
est complètement dépolarisé et l’état de polarisation des différents modes est
initialement aléatoire et il demeure toujours aléatoire en sortie, sous l’effet du champ
magnétique.
Les performances obtenues des deux prototypes comparées aux performances requises
pour les gyroscopes de catégorie vitesse (voir chapitre1) sont résumées dans le tableau
4.2.
La comparaison montre que les deux prototypes satisfont largement aux exigences des
gyroscopes de catégorie vitesse et peuvent par conséquent être utilisés dans les
applications de moyennes performances. L’utilisation du coupleur micro-optique
améliore les performances d’un facteur 5 par rapport à l’utilisation du coupleur
fusion/étirage. Néanmoins, l'utilisation de ce dernier a l’avantage de réduire le coût
de la réalisation. Notre prototype final présente des performances comparables aux
121
Chapitre 4 : Réalisation et caractérisation du gyroscope
Tableau 4.2 Comparaison des performances des prototypes et de celles requises pour des
applications de moyennes performances.
Premier prototype Performances
Prototype final
Version 1 Version 2 requises
4.5. Conclusion
122
Conclusion et perspectives
Le travail réalisé au cours de cette thèse s’inscrit dans la volonté du Laboratoire des
Systèmes Photoniques de l’UdS et le Laboratoire de Systèmes Electroniques et
Optroniques de l’EMP de développer un gyroscope à fibre optique multimode de
nouvelle génération. L’objectif poursuivit tout au long de cette étude a été la
réalisation d’un gyroscope à fibre optique à bas coût satisfaisant aux spécifications
imposées pour les applications de moyennes performances.
Pour étudier les performances du gyroscope à fibre multimode, nous avons dans un
premier temps proposé un modèle pour décrire l’effet de ces couplages de modes sur le
fonctionnement du gyroscope. Sous l’effet des couplages de modes, nous avons
démontré que les performances à savoir la sensibilité et l’erreur du biais sont
fortement influencées par le nombre total de modes de la fibre. En effet, l’utilisation
d’une fibre fortement multimode, ayant un nombre élevé de modes, conduit à une
meilleure stabilité du biais. Par contre, l’utilisation d’une telle fibre dégrade le
contraste et par conséquent elle réduit la sensibilité du gyroscope, ce qui présente une
limitation pour les gyroscopes à fibre multimode pour la mesure des faibles vitesses de
rotation.
En nous basant sur le modèle proposé, nous avons ensuite optimisé le choix des
composants. Étant donné qu’il existe une multitude de fibres optiques multimodes
caractérisées par des paramètres opto-géométriques différents, nous avons montré que
la fibre dont le nombre total de modes appartient à l’intervalle 20-40 modes est le
choix optimum. Nous avons démontré également que l’utilisation d’un coupleur qui
123
Conclusion et perspectives
À partir du choix optimisé des composants, nous avons conçu et réalisé un prototype
de gyroscope fonctionnel en utilisant une fibre optique multimode standard à saut
d’indice 50/125, un premier coupleur en technologie par fusion/étirage et un
deuxième coupleur en technologie micro-optique. La source est une SLD qui émet à
850 nm et le détecteur est photodiode PIN en silicium. Les performances obtenues ont
satisfait largement les exigences des applications de moyennes performances et sont
également comparables à ceux de quelques gyroscopes monomodes.
Bien que ce travail nous ait permis de réaliser une bonne partie de nos objectifs, les
perspectives d’évolution du dispositif se situent à présent essentiellement dans le
domaine du développement pré-industriel. Il donne lieu aux perspectives suivantes :
• Réduction des couplages par un choix approprié de fibres telles que les fibres
réalisées par la technique dite PCVD de haute performance ;
• Identification expérimentale de l’origine de l’insensibilité du gyroscope au
champ magnétique (moyennage modale, bobinage quadripolaire ou
dépolarisation de la lumière par passage dans la fibre multimode) ;
• Réduction de façon passive la sensibilité aux vibrations mécaniques du
dispositif en protégeant le circuit optique à l’aide d’une résine. Dans ce cas
tout le circuit optique sera immergé dans la résine ;
• Miniaturisation du dispositif : pour la partie électronique, il s’agit d’intégrer le
maximum de fonctions dans un seul circuit intégré en utilisant la technologie
ASIC. Concernant la partie optique, une piste à exploiter qui consiste à
l’intégration de fonctions optiques en particulier le modulateur électro-optique;
• Implémentation de la configuration utilisant un seul coupleur de type X.
124
Annexe A
Les gyroscopes comme tous capteurs sont caractérisés par un modèle de mesure qui
permet de relier la valeur indiquée par l’appareil à la valeur de la grandeur mesurée.
La grandeur mesurée est une vitesse de rotation, appelée grandeur d’entrée, elle est
notée Ω . La valeur indiquée par l’appareil appelée grandeur de sortie est notée s(t ) .
Le modèle de mesure général peut se mettre sous la forme suivante :
s (t ) = k Ω (t ) + b (A.1)
A.2. Le biais
Le biais d’un gyroscope représente la valeur indiquée par l’appareil pour une valeur
nulle de la vitesse de rotation. Il est toujours défini par trois composantes : une
composante déterministe constante, appelée décalage provenant de l’appareil qui
correspond à b0 , une composante dépendant de façon déterministe de l’environnement
125
Annexe A
La variance d’Allan est définie en fonction de la moyenne sur toutes les mesures de la
différence entre deux intervalles consécutifs [40]:
1 2
σ 2 (τ ) =
2
(Ω j +1 − Ω j ) (A.4)
ou encore :
j =N −1
1 2
σ 2 (τ ) = ∑
2 (N − 1) j =1
(Ωj +1 − Ωj ) (A.5)
126
Annexe A
Outre le fait qu’elle existe mathématiquement pour tous les types de bruit, la
variance d’Allan est un outil utile en métrologie, car en échelle logarithmique elle est
linéaire par partie. La pente de chaque partie est caractéristique d’un type de bruit
permettant de déterminer le bruit dominant comme le montre la figure A.1.
10
-1
τ
1
log(σ(τ))
-1/2
τ
0,1 +1/2
τ
0
τ
0,01
0,01 0,1 1 10 100 1000
Temps d'intégration (τ)
La stabilité du biais est une mesure décrivant les variations à long terme du biais
causées par le bruit de flicker, qui est généralement observé aux faibles fréquences.
Donc, son effet n’apparait que lorsqu’on observe le signal de sortie du gyroscope sur
une durée de temps relativement grande. La stabilité du biais représente la valeur
minimale de la variance d’Allan et il est exprimé en °/h. Le temps d’intégration τ
peut être interprété comme le meilleur temps d’observation (intégration) qui donne le
127
Annexe A
La marche aléatoire angulaire (en anglais ARW pour Angle Random Walk)
représente une mesure de l’erreur angulaire que l’on effectue si on intègre dans le
temps le bruit blanc gaussien en sortie du gyroscope et elle est exprimée en ° / h
[40]. Si on considère σΩ est l’écart-type du bruit blanc relatif à la vitesse de rotation,
l’écart-type du bruit de l’angle obtenu par intégration entre 0 et t de la vitesse de
rotation est :
σθ (t ) = σΩ t (A.6)
ARW = σθ (t = 1) (A.7)
En utilisant le tracé de la variance d’Allan, l’angle de marche aléatoire est évalué sur
la pente −1/2 pour τ = 1 . Quand σ (τ ) s’exprime en °/h et τ en seconde, ARW
1
ARW (° / h ) = σ (τ = 1) (A.8)
60
1
ARW (° / h ) =
60
( 2
DSP (°/h ) /Hz ) (A.9)
128
Annexe A
Le facteur d’échelle est un paramètre qui relie la grandeur d’entrée à celle de sortie.
Autrement dit, il transforme une grandeur physique en une autre. Dans le cas d’un
gyroscope optique, il transforme généralement la vitesse de rotation °/h en tension
électrique (Volt). Le facteur d’échelle k0 est de nature déterministe et il peut être
déterminé en laboratoire. Il est exprimé généralement en mV/(°/h) et est donné par :
ds
k0 = (A.10)
dΩ
La valeur du facteur d'échelle peut fluctuer au cours du temps en fonction des
différents paramètres propres à l’environnement (pression, température, vibrations,
etc.), mais aussi en fonction de l’historique de l’appareil (nombre et durée des
utilisations, chocs, etc.). Les contributions modélisables de ces fluctuations peuvent
être incorporées dans le terme k (t ) . Si l’appareil présente une non-linéarité, le facteur
d’échelle sera fonction de l’entrée. Cette non-linéarité est décrite par le terme kNL (Ω) .
Lorsqu’on réalise une mesure dans les conditions d’étalonnage à l’instant t 0 , la valeur
i est donnée par :
estimée de Ω à partir de s notée Ω
i= s
Ω (A.11)
k0
A.4. La dynamique
129
Annexe A
A.6. La résolution
Sortie du
gyroscope
Biais
Résolution
0
Vitesse
maximale
0 Vitesse
Erreur du facteur
d’entrée
d’échelle
Dynamique
130
Annexe A
A.7. La dérive
On parle dans quelques cas de la dérive du biais d’un gyroscope qui décrit l’erreur de
la vitesse angulaire. Selon le temps d’observation, nous pouvons distinguer deux types
de dérive : une dérive à court terme et une dérive à long terme comme le montre la
figure A.3. Ces deux paramètres sont évalués respectivement par la marche aléatoire
d’angle et la stabilité du biais.
2
Dérive
Figure A.3 Influence du temps d’observation sur la dérive, (1) durée très courte, (2) durée
moyenne, (3) durée très longue
131
Annexe B
La structure d’une fibre optique standard est représentée sur la figure B.1. Elle est
constituée d’un cœur d’indice de réfraction n1 entouré d’une gaine d’indice n2 < n1 .
L’ensemble est généralement recouvert d’une gaine en polymère, pour une meilleure
protection. La plupart des fibres optiques ont un axe de symétrie cylindrique Oz
appelé axe de propagation.
Oz
Gaine protectrice
Gaine optique
Cœur
L’étude de la propagation dans les fibres optiques fait apparaître la notion de modes
de propagation, dont le nombre dépend des paramètres opto-géométriques de la fibre.
Selon le diamètre du cœur, l’ouverture numérique et la longueur d’onde utilisée, les
fibres optiques peuvent être classées en deux catégories, à savoir:
• Fibres multimodes : elles ont la caractéristique de transporter plusieurs modes
(plusieurs trajets lumineux possibles).
132
Annexe B
r r r r
n2 n2
Cœur
n (r ) n (r )
n1
n1 (r )
Gaine optique Gaine optique
(a (b)
Figure B.2 Chemin d’un rayon dans une fibre, (a) à saut d’indice, (b) à gradient d’indice
JG JG
⎧⎪E ⎫⎪ ⎧ ⎫
⎪⎪ ⎪⎪ n 2 ∂ ⎪⎪⎪E ⎪⎪⎪
Δ ⎨ JG⎬ − 2 2 ⎨ JG ⎬ = 0 (B.1)
⎪⎪H ⎪⎪ c ∂t ⎪⎪H ⎪⎪
⎩⎪ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎪⎭
Du fait de la symétrie de révolution des fibres, il est plus aisé d’exprimer l’équation
d’onde dans le système de coordonnées cylindriques (r , ϕ, z ) . Ainsi, on recherche des
133
Annexe B
JG
⎧⎪ E (r, ϕ, z , t ) = eG (r, φ)e j (ωt −βz )
⎪⎪
⎨ JG G (B.2)
⎪⎪H (r , ϕ, z , t ) = h (r , φ)e j (ωt −βz )
⎪⎩
∂2 ψ (r , ϕ) 1 ∂ψ (r, ϕ) 1 ∂2 ψ (r, ϕ)
2
+ + 2 2
+ (n 2k0 − β 2 ) ψ (r , ϕ) = 0 (B.3)
∂r r ∂r r ∂ϕ
ψ (r , ϕ) = f (r ) g (ϕ) (B.4)
∂2 f (r ) 1 ∂f (r ) ⎛⎜ 2 2 l 2 ⎞⎟
+ + ⎜n k 0 − β + 2 ⎟⎟ f (r ) = 0 (B.5)
∂r 2 r ∂r ⎜⎝ r ⎠
Cette équation ne peut être résolue analytiquement que dans un nombre limité de
cas, à savoir les cas pour lesquels l’indice de réfraction n est homogène dans le cœur
et la gaine.
Par la suite, et en pratique, on considérera des fibres a gradient d'indice ayant des
profils dits en puissance α . Ces profils renferment les profils les plus utilisés: profils à
saut d’indice ( α = +∞) , profils à gradient paraboliques (α = 2) et profils
triangulaires ( α = 1 ). Pour ce type de profil, les solutions peuvent être analysées par
la méthode dite WKB.
134
Annexe B
Les modes sont une solution de l’équation de propagation. Ils sont caractérisés par
leur constante de propagation longitudinale β et la distribution d'amplitude de
G G
champ électromagnétique e (r , ϕ) et h (r , ϕ) . Un mode est une répartition transversale
d'énergie invariante par translation axiale.
• Les modes guidés: ils sont caractérisés par une constante de propagation
vérifiant la relation k02n12 < β 2 < k02n22 et par un champ électromagnétique
confiné dans le cœur de la fibre (champ nul à l'infini).
L’ensemble des modes guidés et rayonnés forment une base orthogonale sur laquelle
tout champ peut être décomposé. Il en résulte que la puissance totale transportée est
la somme des puissances transportées par chaque mode.
Dans le cas général, les équations sont vectorielles et les solutions modales peuvent
avoir des composantes, ou non, longitudinales. Ainsi, on peut avoir trois types de
modes:
135
Annexe B
Les modes LP sont définis par des nombres de modes azimutal et radial u et v .
Physiquement, u et v représentent le nombre de maximum d’intensité qui apparaît
dans les directions radiale et azimutale. L’indice u est relié au nombre azimutal l
par :
⎧
⎪1 mode TE, TM
⎪
⎪
⎪
u = ⎪⎨l + 1 mode EH (B.6)
⎪
⎪
⎪
⎪l − 1 mode HE
⎪
⎩
136
Annexe B
Tableau B.1 Correspondance entre désignation traditionnelle et désignation des modes LP.
LP01 HE11 × 2 2
LP0v HE1v × 2 2
Nous allons présenter les solutions modales données par l’approximation dite méthode
WKB. Le but de cette méthode n'est pas de déterminer les distributions des champs
des modes ni leurs amplitudes, mais plutôt de déterminer les constantes de
propagation β , donc de dénombrer les modes de propagation et de dégager leurs
propriétés globales.
Considérons une fibre optique à gradient d’indice caractérisée par un profil d’indice
(figure B.4) donné part :
⎧
⎪ ⎛ r ⎞⎟
α
⎪ ⎜
⎪n1 1 − 2Δ ⎜ ⎟ si 0 < r <a
n (r ) = ⎪⎨ ⎝a ⎠ (B.7)
⎪
⎪n
⎪ si r >a
⎪
⎩ 2
où r est la distance de l’axe de la fibre au point considéré, n1 est l’indice sur l’axe du
cœur, n2 est l’indice de la gaine, α est le paramètre du profil d’indice ( α = ∞ pour
une fibre à saut d’indice), a rayon du cœur, et Δ est la différence relative d’indices,
qui s’exprime comme suit :
n12 − n22
Δ= (B.8)
2n12
137
Annexe B
n (r )
n1 α =∞
α =2
α =1
n2
−a a r
2πa 2πa
V = n12 − n22 = ON (B.10)
λ0 λ0
Comme nous l’avons vu, dans le cas de faible guidage (Δ 1) les modes LP sont
dégénérés et ils sont groupés en « groupe de modes ». Les modes d’un groupe se
propagent avec la même constante de propagation. A partir de l’analyse WKB, la
constante de propagation modale peut être approximativement dérivée par
l’expression suivante :
2α
⎛ m ⎞α+2
βm = n1k 0 1 − 2Δ ⎜⎜ ⎟⎟ (B.11)
⎝M ⎠
avec M nombre total de groupes de modes guidés dans la fibre. Il est donné par :
αΔ 2α πaON 2α V
M = n1k 0a = = (B.12)
α+2 α + 2 λ0 α+2 2
138
Annexe B
m = 2u + v + 1 (B.13)
Soit N t ≈ M 2 , que l’on peut aussi relier à la fréquence normalisée d’une fibre optique
V par :
α V2
Nt = (B.15)
α +2 2
a
• Fibre à saut d’indice : M (Rc ) = M 0 1 −
RΔ
(α + 2)a
• Fibre à gradient à gradient d’indice: M (Rc ) = M 0 1 −
αRΔ
À chaque mode qui se propage avec une constante de propagation βm est associé un
indice de réfraction effectif neff qui dépend de la longueur d’onde et correspond à
l’indice « vu » par le mode:
m βm
neff = (B.16)
k0
139
Annexe B
Si le mode est guidé, neff a une valeur comprise entre le plus petit et le plus grand des
indices des couches qui constituent le profil d'indice du guide. Par exemple dans le cas
d'une fibre à saut d’indice, n2 < neff < n1 .
Dans l’approche géométrique, chaque mode est assimilé à des rayons qui font un
angle θm avec l’axe de la fibre comme le montre la figure B.5. Dans ce cas, la
constante de propagation βm représente le module de la projection du vecteur d’onde
JG
k0 sur l’axe de la fibre est donnée par :
G
βm = k m = n1k0 cos θm (B.17)
Sachant que l’angle de propagation θm est relié à l’angle d’injection θim (angle
d’excitation) par :
⎛θ ⎞
βm = n1k 0 cos ⎜⎜ im ⎟⎟⎟ (B.19)
⎜⎝ n1 ⎠⎟
θim G
km z
G θm
k0
L’expression (B.19) montre que chaque groupe de modes est caractérisé par son
propre angle d’injection. Pour exciter un groupe de mode donné, il suffit d’injecter la
lumière selon la direction propre à ce groupe de modes.
140
Annexe B
D’où :
m θ
= m (B.22)
M 2Δ
Dans le cas d’une fibre à gradient d’indice, le concept de l’onde plane ne s’applique
pas, mais on peut considérer que l’onde est un ensemble de rayons dont l’angle de
propagation est donnée par :
βm
cos θ (r ) = (B.23)
n (r ) k 0
α +2
m ⎡⎛ r ⎞α θm2 ⎤ 2α
⎢ ⎜
= ⎜ ⎟ +⎟ ⎥ (B.24)
M ⎢⎣⎝a ⎠ 2Δ ⎥⎦
Dans une fibre multimode, chaque groupe de modes se propage avec sa propre vitesse.
Le temps de groupe τm associé à chaque groupe de modes d’ordre m est donné par :
L d βm Lλ 2 d βm
τm = =− (2.25)
c dk 0 2πc d λ0
141
Annexe B
Ce temps représente le temps que met un groupe de modes pour parcourir une
longueur L de fibre. Dans le cas de faible guidage (Δ 1) et pour un milieu non
⎛dn ⎞
dispersif ⎜⎜ = 0⎟⎟⎟ le développement limité de βm au voisinage de zéro donne [72]:
⎝d λ ⎠
⎡ 2α 4α ⎤
⎢ ⎛ α − 2 ⎞⎟ ⎛ m ⎞α +2 Δ2 ⎛ 3α − 2 ⎞⎟ ⎛ m ⎞α+2 3 ⎥
βm = n1k 0 ⎢1 + Δ ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ α + 2 ⎠⎟ ⎜⎝ M ⎠⎟
+ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + o (Δ )⎥ (B.26)
⎢ 2 ⎝⎜ α + 2 ⎠⎟ ⎝⎜ M ⎟⎠ ⎥
⎣ ⎦
⎡ 2α ⎤
Ln1 ⎢ ⎛ α − 2 ⎞⎟ ⎛ m ⎞α+2 ⎥
τm = ⎢1 + Δ ⎜⎝⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎥ (B.27)
c ⎢ α + 2 ⎠⎟ ⎝⎜ M ⎠ ⎥
⎣ ⎦
⎡ 2α 2α ⎤
n1L ⎜⎛ α − 2 ⎞⎟ ⎢⎛ j ⎞⎟α+2 ⎛ i ⎞⎟α+2 ⎥
Δτij = Δ ⎜⎜ ⎟⎜ − ⎜⎜ ⎟ ⎥ (B.28)
c ⎝ α + 2 ⎠⎟ ⎢⎢⎜⎝ M ⎠⎟ ⎝M ⎠ ⎥
⎣ ⎦
Comme τm est une fonction monotone, la valeur minimale de Δτij est donnée par la
différence des temps de propagation du mode fondamental ( i = 1 ) et le mode qui suit
( j = 2) :
n1L ⎜⎛ α − 2 ⎞⎟ 1 ⎡ 2α ⎤
(Δτlk )min = Δτ12 = Δ ⎜⎜ ⎟ ⎢ − 1⎥ (B.29)
c ⎝ α + 2 ⎠⎟ 2α
α +2
⎢⎣ α + 2 ⎥⎦
M
⎡ 2α 4α ⎤
N 1L ⎢ ⎛ α − 2 + 2D ⎞⎟ ⎛ m ⎞α+2 Δ2 ⎛ 3α − 2 ⎞⎟ ⎛ m ⎞α+2 ⎥
⎢1 + Δ ⎜⎝⎜⎜ ⎟⎟ ⎝⎜⎜ ⎟⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ ⎥ + o (Δ )
3
τm = + ⎜ (B.30)
c ⎢ α +2 ⎠ M 2 ⎝ α+2 ⎠ M ⎥
⎣ ⎦
dn1
avec N 1 = n1 − λ0 et D est le paramètre de dispersion chromatique donné par :
d λ0
n1 λ0d Δ
D= (B.31)
N 1 Δd λ0
142
Annexe B
⎡ 2α 2α ⎤
N 1L ⎛⎜ α − 2 + 2D ⎞⎟ ⎢⎛ j ⎞⎟α+2 ⎛ i ⎞⎟α+2 ⎥
Δτij = Δ ⎜⎜ ⎟⎜ − ⎜⎜ ⎟ ⎥ (B.32)
c ⎝ α + 2 ⎠⎟ ⎢⎢⎜⎝ M ⎠⎟ ⎝M ⎠ ⎥
⎣ ⎦
L’écart de constantes de propagation entre deux modes adjacents est noté Δβm et
vaut:
α−2
dβ 2 αΔ ⎛ m ⎞⎟α+2
Δβm = βm − βm −1 ≈ m = ⎜ (B.33)
dm a α + 2 ⎜⎝ M ⎠⎟
Cette étude des fibres montre que le caractère multimode d’une fibre est relié à ces
paramètres opto-géométriques et nous donne un moyen simplifié de calculer le
nombre de groupes de modes et leurs constantes de propagation. Ce qui nous sera
utile par la suite.
La figure B.7 montre un exemple illustratif d’un couplage de modes créé par un
centre de diffusion dû aux impuretés dans la fibre. Lorsque un mode arrive sur un
centre de diffusion, il est absorbé et réémis à la même longueur d’onde, mais dans des
directions différentes de la direction d’arrivée. Le mode initial est alors transformé en
143
Annexe B
d’autres modes. Étant donné que certaines directions ne répondent plus aux
conditions de réflexion totale, certains modes sont alors perdus (couplage avec les
modes rayonnés).
mode
mode émis perdus modes diffusés
Cœur
Centre de diffusion Gaine optique
144
Annexe B
En plus de l’atténuation intrinsèque de la fibre qui est une propriété du matériau, les
fibres multimodes présentent une atténuation supplémentaire causée par les couplages
de modes dite atténuation modale. Elle s’exprime par la relation suivante [73]:
⎛ 2α ⎞
⎜⎜ ⎛ m − 1⎞α+2 ⎟⎟
γ (m ) = γ 0 + γ 0J ρ ⎜κ ⎜⎜ ⎟ ⎟ (B.34)
⎜⎜ ⎝ M ⎠⎟ ⎟⎟⎟
⎝ ⎠
avec γ 0 atténuation des modes d’ordre inférieur qui traduit l’atténuation intrinsèque
de la fibre, J ρ est définie comme étant la fonction de Bessel modifiée d’ordre ρ et κ
une constante de poids.
On considère ici une excitation axiale des fibres multimodes avec un spot gaussien.
Dans le cas où l’ouverture numérique du faisceau est plus petite que l’ouverture
numérique de la fibre, le nombre de groupe de modes excités par le faisceau gaussien
de rayon w est donné par [109]:
α +2
⎡⎛ w ⎞2 1 ⎛ λ ⎞⎟ ⎤⎥
2 2α
Mexité ⎢⎜ ⎟
= M 0 ⎜ ⎟ + 2 2 ⎜ ⎟⎟ ⎜ (B.35)
⎢⎝ a ⎠ 2π n1 Δ ⎝ w ⎠ ⎥⎦
⎣
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Liste des publications
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Résumé
L’objectif du travail présenté dans cette thèse est de développer un gyroscope à fibre
optique multimode de nouvelle génération basé sur un choix optimal de ces
composants et de la technique de traitement du signal. Le travail se divise
principalement en deux parties. La première partie est consacrée à la modélisation de
l’interférométrie Sagnac à fibre multimode, permettant l’étude de l’effet du
phénomène des couplages de modes sur les performances. Les résultats de cette
modélisation ont été appliqués pour optimiser le choix des composants pour la
conception d’un nouveau prototype. La deuxième partie est consacrée à la réalisation
expérimentale du prototype et à la caractérisation de ses performances.
Mots clés
Gyroscope; fibre optique; effet Sagnac; interféromètre à fibre multimode.
Abstract
The aim of the work presented in this thesis is to develop a new version of a
multimode fiber optic gyroscope based on the optimal choice of the optical
components and the signal processing. The work is mainly divided to two parts. The
first part is devoted to the modeling of multimode Sagnac interferometer and allows
the study of the effect of the modes coupling on the gyroscope performances. The
modeling results are used to optimize the choice of the gyroscope components. The
second part is dedicated to the experimental setup of the new prototype of the
gyroscope and for the performances characterization.
Keywords
Gyroscope; fiber optic; Sagnac effect; multimode fiber interferometer.