Le document contient 4 exercices sur des sujets d'analyse numérique, notamment la méthode d'Euler, la méthode du point fixe, et la méthode de Newton-Raphson pour résoudre des équations différentielles et équations non linéaires.
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Université de Science & Technologie d’Oran Année: 2019/2020
Master 1: génie chimique Analyse Numérique
Exercice Nº1: Soit l'équation différentielle 𝑦 ′ (𝑡) = −𝑦(𝑡) + 𝑡 + 1 et la condition initiale de 𝑦(0) = 1. On a donc 𝑡ₒ = 0 et 𝑦ₒ = 1, et On prend un pas de temps ℎ = 0,1. De plus, on a: 𝑓(𝑡, 𝑦) = −𝑦 + 𝑡 + 1 Utiliser la méthode d'Euler pour obtenir les approximations de 𝑦(0,1); 𝑦(0,2); 𝑦(0,3) , notées 𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃. Trouver la solution analytique de cette équation différentielle. Dans un tableau, mets les résultats des dix premières itération (numériques et analytiques) et l'erreur de chaque iteration. 𝑦ᵢ ;solutions numériques , 𝑦(𝑡ᵢ); solutions analytiques Tracer les graphes des solutions numériques et analytiques en fonction de 𝑡ᵢ . Comparer les résultats.
Exercice Nº2: On considère la function 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 − 4𝑥 2 1. Montrer qu'il existe un zero 𝛼 pour la function 𝑓 dans et[4,5] qu’il est unique. 𝑥 1 2. Montrer que la méthode du point fixe 𝑥 = 𝑒 2 ne converge pas vers 2 𝛼. 3. Déterminer une méthode de point fixe qui converge vers 𝛼 . Justifier. 4. Cette équation admet aussi une racine 𝑥 = 0 et 𝑥 = 1. Montrer que la 𝑥 1 méthode du point fixe 𝑥 = 𝑒 2 converge vers cette racine si 𝑥ₒ est 2 choisi dans l’intervalle [0,1]. On donne les valeurs suivantes: 𝑒 0.5 = 1.6487, 𝑒 1 = 2.7813, 𝑒 2 = 7.3891, 𝑒 4 = 54.5982, 𝑒 5 = 148.4132 . Exercice Nº3: ( Une recherche: la méthode d'Euler améliorée) Voici l'équation différentielle avec le condition de Cauchy, 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑡 + 2 { 𝑡 ∈ [0,1] 𝑠𝑜𝑖𝑡 ℎ = 0.1 𝑦(0) = 2 Après vos recherches et votre compréhension. Appliquer l'algorithme de la méthode d'Euler améliorée pour calculer les dix premières iterations. Mets les résultats dans un tableau.
Exercice Nº4: On veut donner une approximation de la solution de l’équation suivante ln(𝑥) + 𝑥 = 0 Montrer qu’il n'y a qu’une solution 𝑥ₒ ∈ 𝑅⁺ puis appliquer la méthode de 1 3 Newton-Raphson sur l'intervalle [ , ] pour les cinq premières 2 4 itérations.
