Recherche Ciment et Béton 138 (2020) 106256

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Modélisation de l'impression 3D du béton basée sur la dynamique des fluides numérique

Raphaël Comminalune,⁎, Wilson Ricardo Leal da Silvab, Thomas Juul Andersenb, Henrik Stangc,
Jon Spangenbergune
une Département de génie mécanique, Université technique du Danemark, Kgs. Lyngby, Danemark
b Institut technologique danois, Taastrup, Danemark
c Département de génie civil, Université technique de
Danemark, kg. Lyngby, Danemark

INFORMATIONS SUR L'ARTICLE ABSTRAIT

Mots clés: Cet article présente un modèle numérique de dynamique des fluides de l'impression 3D de béton. La simulation numérique
Impression 3D béton est utilisée pour prédire la forme de la section transversale des segments imprimés en 3D grâce à des simulations
Dynamique des fluides numérique « d'impression virtuelle ». Une étude paramétrique expérimentale de la géométrie de la couche est également menée pour
Géométrie de la couche
une large gamme de vitesses d'impression de traitement et de hauteurs de buses. Le comportement constitutif du mortier à
Etude paramétrique
base de ciment utilisé dans les expériences est caractérisé par des tests rhéologiques rotationnels et oscillatoires, et il est
Rhéologie
modélisé avec une loi de comportement de Bingham. De plus, deux formulations de la loi de comportement sont utilisées
dans les simulations : le modèle fluide newtonien généralisé, et le fluide élasto-visco-plastique. Dans l'ensemble, les résultats
numériques concordent bien avec les expériences, validant l'approche de modélisation informatique de la dynamique des
fluides proposée. Pour terminer,

1. Introduction Cependant, les applications 3DCP existantes sont accompagnées d'un grand nombre de
tentatives d'essais et d'erreurs et de conceptions conservatrices (en particulier en ce qui
L'impression 3D du béton (3DCP) est une technologie de fabrication concerne les éléments structurels), et cela est en partie dû au manque d'outils de
numérique émergente qui a le potentiel de révolutionner l'industrie de la simulation fiables pour prédire le résultat du processus. . En effet, la recherche sur le
construction [1] en fournissant des éléments de construction de haute qualité 3DCP n'a pas progressé assez rapidement pour suivre le rythme de l'intérêt du secteur
d'une manière évolutive, économique et rapide, tout en réduisant l'utilisation de la construction pour le déploiement du 3DCP - cet intérêt est le résultat des
d'une main-d'œuvre physiquement exigeante [2-4]. La technique 3DCP la plus promesses du 3DCP de réduire les coûts de main-d'œuvre et d'augmenter la
courante consiste à extruder du béton à travers une buse [5] et déposer productivité. Par conséquent, il existe un besoin évident de mettre en œuvre des outils
sélectivement le matériau pour créer les couches d'une géométrie découpée de simulation numérique capables de prédire la défaillance et la conformité
numériquement (par exemple à partir d'un modèle CAO). La buse d'extrusion est géométrique.
généralement contrôlée à l'aide d'une imprimante à portique [6] ou un bras La modélisation numérique s'est récemment avérée être un outil important pour
robotisé [7]. L'extrusion sélective automatisée des matériaux évite le besoin de essayer d'améliorer la compréhension et le contrôle d'une variété de procédés de
coffrage et permet de nouveaux concepts architecturaux. fabrication additive (AM), tels que la fusion sélective au laser (SLM) ou l'extrusion de
La technologie 3DCP a été utilisée dans une variété de projets allant de la matériaux AM, c'est-à-dire la modélisation par dépôt par fusion (FDM). En SLM, la
préfabrication d'éléments en béton (soit des meubles en béton autonomes soit modélisation thermo-fluide et les simulations de la méthode des éléments finis à
des éléments modulaires qui composent une tour ou un pont) ainsi que la l'échelle de la poudre (FEM) ont été utilisées pour analyser les porosités induites par les
fabrication sur site de maisons entières (plus précisément, les murs qui trous de serrure dans le titane et étudier la dénudation des couches de poudre
composent la maison). Des exemples modernes incluent le Building on Demand métallique, respectivement [9,dix]. Comme pour le FDM, les modèles de dynamique des
(BOD) au Danemark, le pont cyclable aux Pays-Bas [8], et des bâtiments imprimés fluides computationnelle (CFD) ont identifié les paramètres critiques qui dictent la forme
en 3D au Moyen-Orient, en Italie et aux États-Unis, pour n'en citer que quelques- des brins thermoplastiques imprimés [11-13] et ont été utilisés pour trouver la meilleure
uns. stratégie de dépôt de matériau dans les coins [14]. Les modèles FDM se sont également
Les projets mentionnés ci-dessus ne sont que quelques exemples qui indiquent avérés efficaces dans l'optimisation des mésostructures (impressions multicouches) en
clairement le nombre croissant d'applications 3DCP, et que 3DCP passe progressivement termes de minimisation de la porosité et de la rugosité de surface [15].
de la production de prototypes à la construction à grande échelle. Dans le domaine de la transformation du béton, les simulations numériques ont

⁎ Auteur correspondant.
Adresse e-mail: rcom@mek.dtu.dk (R.Comminal).

https://doi.org/10.1016/j.cemconres.2020.106256
Reçu le 24 décembre 2019 ; Reçu sous forme révisée le 25 août 2020 ; Accepté le 3 octobre 2020
0008-8846/ © 2020 Elsevier Ltd. Tous droits réservés.
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été utilisé pour étudier divers phénomènes d'écoulement [16-18], comme pendant les mesures [38,39]. L'appareil de mesure était un agitateur à palettes à 6
pendant le pompage [19], couler à travers l'armature [20–22], ségrégation pales, d'une longueur de 16 mm et d'un diamètre équivalent de 22 mm. La
d'agrégats liée au flux [23–26], et l'écoulement du béton fibré [27,28]. Des coupelle avait un diamètre de 28,92 mm, fournissant ainsi un espace équivalent
modèles structurels FEM ont également été développés pour prédire les échecs de 3,46 mm, correspondant à environ 7 fois le diamètre de la taille maximale des
d'impression dus au flambement élastique et à l'effondrement plastique [29,30]. particules d'agrégat.
Cependant, des études limitées ont été publiées sur les simulations 3DCP qui
prédisent la géométrie des couches individuelles. Plus précisément, un modèle de
2.2.1. Courbe de débit
particules FEM utilisant un modèle de matériau approximatif de Bingham a été
La courbe d'écoulement du mortier a été obtenue à partir des essais de rhéométrie
utilisé pour simuler l'impression de quelques couches de béton fabriquées de
rotationnelle, avec un taux de cisaillement contrôlé (CSR) en rampe descendante. Avant
manière additive en 2D et 3D [31,32]. Dans un autre travail, un modèle CFD a été
les tests CSR, les échantillons ont été pré-cisaillés pendant 30 s à un taux de cisaillement
exploité pour étudier l'effet des lois de constitution (c'est-à-dire le modèle
constant de 10 s-1 pour reproduire les déformations de cisaillement subies lors du
newtonien, loi de puissance, Bingham et Herschel-Bulkley) sur la géométrie de la
pompage. Ensuite, le taux de cisaillement a été augmenté de 10 s-1 à 60 s-1
section transversale d'une seule couche [33].
avec une accélération à taux de cisaillement constant de 0,5 s-2. La phase de pré-
La physique sous-jacente impliquée dans les différentes étapes de production
cisaillement supprime la structuration réversible précoce du mortier et
du 3DCP est discutée en détail dans le récent article de revue de Mechtcherine et
homogénéise l'échantillon. Ensuite, la réponse constitutive a été mesurée lors du
al. [34]. A chaque étape, la rhéologie du béton apparaît comme le facteur
test RSE de décélération avec un profil en escalier. Un premier intervalle de
déterminant de la réussite du 3DCP. Un ensemble d'exigences qui doivent être
mesure à partir de 60 s-1 à 10 s-1 composé de 21 points de mesure distribués
remplies par la limite d'élasticité et le module d'élasticité ont été dérivés des
linéairement avec un décrément de 2,5 s-1 et un temps de mesure de 5 s par
critères analytiques de résistance et de stabilité au flambement dans [35]. Dans
point. Par la suite, un deuxième intervalle de mesure comprenait 10 points de
ces analyses, on suppose que le poids des matériaux est la charge principale
mesure avec une distribution logarithmique entre 7,5 s-1 et 0,2 s-1 pour obtenir
appliquée sur les couches déposées. De plus, deux régimes d'écoulement idéaux
plus de points de données dans le régime de faible taux de cisaillement. Dans cet
ont été décrits dans [34,35] : pour un béton très rigide, et un matériau très fluide.
intervalle, le temps de mesure a également été augmenté de manière
Dans le premier cas, la masse du matériau rigide reste non cisaillée pendant
logarithmique de 5 à 40 s, pour s'assurer que l'échantillon a été soumis à une
l'extrusion, et la couche déposée a la même section transversale que la buse,
contrainte substantielle pour chaque point de mesure.
formant une « brique infinie ». Dans ce dernier cas, la couche de béton fluide est
Les mesures rhéologiques ont été réalisées sur deux lots de mortier. Pour chaque
mise en forme par des déformations induites par gravité, de la même manière
lot, les tests CSR ont été répétés à 15 min d'intervalle de temps. Dans le premier lot, le
que dans l'essai d'affaissement [36].
mortier a conservé une réponse rhéologique stable pendant 45 min, et une
Dans cette étude, nous utilisons un modèle CFD pour réaliser une étude
augmentation substantielle de la limite d'élasticité a été observée après 1 h. Alors que
paramétrique de l'influence de la vitesse d'impression et de la hauteur de buse
dans le second, l'augmentation de la limite d'élasticité est apparue à 45 min. Les
sur la géométrie d'une couche imprimée sur une surface plane. Nous montrerons
mesures avant l'augmentation de la limite d'élasticité sont tracées dans
également que lorsqu'un matériau rigide est extrudé orthogonalement à la
Fig. 1, ce qui met en évidence que les mesures RSE donnent des résultats reproductibles.
direction d'impression et avec une faible hauteur de buse, le changement de
Dans chaque test CSR, les données dans l'intervalle de taux de cisaillement entre 1 s-1 et
direction du flux produit une accumulation de pression en dessous de la buse
60 s-1 a été ajusté par régression linéaire en utilisant la minimisation des moindres carrés.
d'extrusion qui est la charge dominante sur le poids. . L'approche de modélisation
CFD est validée par des expériences réalisées sur une plate-forme 3DCP avec un
La régression linéaire comporte un coefficient de détermination
mélange de mortier à base de ciment spécialement conçu. Ce modèle CFD diffère
R2 > 0,998 pour toutes les courbes d'écoulement, renforçant ainsi notre choix d'utiliser le
des précédents modèles d'extrusion de matériau thermoplastique AM par sa loi
modèle de Bingham pour décrire le comportement constitutif des mortiers. En d'autres
de comportement. Plus précisément, le comportement constitutif du mortier frais
termes, le mortier ne coule que lorsque la contrainte de cisaillement appliquée ex-
est modélisé avec une loi de comportement de Bingham, où deux formulations
cède une certaine limite d'élasticité, σY. Pour des contraintes de cisaillement supérieures à la
sont utilisées dans les simulations : un modèle fluide newtonien généralisé
limite d'élasticité, le matériau s'écoule avec un taux de cisaillement proportionnel à l'excès de
inélastique et un modèle fluide élasto-visco-plastique. Les paramètres
contrainte supérieure à la limite d'élasticité, pour laquelle le coefficient ou la proportionnalité
rhéologiques du mortier à base de ciment utilisé dans les expériences sont
est la viscosité plastique, ηP. La limite d'élasticité et la viscosité plastique du modèle de
mesurés à l'aide d'essais de rhéométrie rotative et oscillatoire. Cette étude
Bingham correspondent à l'intersection verticale (contrainte de cisaillement à zéro
prolonge les résultats préliminaires récemment publiés dans [37].

2. Méthodes expérimentales

2.1. Matériaux

La conception du mélange du mortier à base de ciment utilisé dans les

expériences 3DCP comprend un système de liant avec CEM I 52,5 R - SR 5 (EA)
(ciment blanc) et un filler calcaire avec du sable fin (granulométrie max. :
0,5 mm). La masse totale de liant est constituée de 54 % de ciment et de 46 % de filler
calcaire. Le rapport eau/liant a été fixé à 0,39. De plus, un adjuvant retardateur (0,5% en
poids de ciment) a été utilisé dans la conception du mélange pour maintenir un long
temps ouvert. De plus, un adjuvant réducteur d'eau de gamme élevée (0,1 % en poids de
liant) et un agent modifiant la viscosité (0,1 % en poids de ciment) ont été utilisés. Le
mélange a été conçu pour avoir un temps de prise de plusieurs heures afin de laisser
suffisamment de temps pour imprimer et nettoyer la configuration 3DCP avant la
solidification.

2.2. Caractérisation rhéologique

La rhéologie du mortier a été caractérisée à l'aide d'un rhéomètre Anton Paar MCR
502. Des tests de rotation et d'oscillation ont été effectués dans une géométrie annulaire Fig. 1. Courbe d'écoulement caractéristique du mortier frais mesurée par des tests RSE en rampe
descendante.
à palettes dans une coupelle pour réduire le risque de glissement de la paroi

2
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Tableau 1
Régression linéaire des données rhéologiques des tests CSR.

Lot 1 Lot 2 Moyenne Écart-type

15 minutes 30 minutes 45 minutes 15 minutes 30 minutes

Cédez le stress, σO [Pennsylvanie] 621 627 619 624 652 629 12.1
Viscosité plastique, ηP [Pa∙s] 7.72 7.46 7.31 8.11 6,93 7,51 0,39
Coefficient de détermination, R2
0.9989 0.9993 0.9996 0.9994 0.9983 – –

taux de cisaillement) et la pente de la droite ajustée à la courbe, respectivement. Les remplisseur et de l'eau. De plus, un vibrateur pneumatique était fixé au
résultats de la régression linéaire et les valeurs moyennes correspondantes de cinq tests trémie (dans la pompe) pour faciliter le pompage du béton, car l'agitation diminue la
CSR sont fournis dansTableau 1. La moyenne des régressions linéaires donne un viscosité effective du matériau (en réduisant le frottement interne des particules). Pour
contrainte de rendement σY = 630 Pa et une viscosité plastique ηP = 7,5 Pa∙s, avec plus de détails sur la configuration de l'impression, veuillez consulter [42].
un coefficient de variation (c'est-à-dire le rapport de l'écart type sur le L'étude expérimentale a consisté à imprimer 12 segments de 50 cm,
moyenne) de 1,9% et 5,2%, respectivement. avec différentes hauteurs de buse, HN, et vitesse d'impression V (c'est-à-dire la vitesse de
déplacement de la buse). Un schéma de la configuration 3DCP est représenté dans
2.2.2. Comportement élastique 4. Une buse d'extrusion circulaire d'un diamètreD = 25 mm a été utilisé. Avec cette
Le comportement élastique du mortier a été testé par rhéométrie oscillatoire. configuration, les couches sont normalement imprimées avec une hauteur de buse
Un balayage d'amplitude a été effectué avec des amplitudes de déformation de la moitié du diamètre de la buse (c'est-à-dire HN = RÉ/2) et un rapport vitesse
croissantes de 0,001 % à 100 %, à une fréquence de 1 Hz. Deux échantillons ont d'impression sur flux volumétrique d'extrusion, V/U, autour d'un. Aux fins de notre
été préparés et testés 15 min après la préparation. Les résultats des tests étude paramétrique, la hauteur de la buse variait de 7,5 mm à
oscillatoires sont rapportés dans2. Le comportement constitutif du matériau 17,5 mm, avec des vitesses d'impression allant de 20 mm/s à 50 mm/s. le
inflexible correspond à la région viscoélastique linéaire (LVE) du graphique où différentes combinaisons de HN et V pour les 12 segments sont répertoriés dans
l'amplitude de déformation est inférieure à la déformation critique des Tableau 2.

déformations irréversibles [40,41]. La contrainte critique délimitant la région LVE Les conditions d'impression normales correspondent aux boîtiers ID 6 et 7
a été évaluée à ~0,025 %. Dans la région LVE, le module de stockageG' est (Tableau 2). Hauteurs de couche inférieures (HN < RÉ/2) combinés à des vitesses
d'environ un ordre de grandeur au-dessus du module de perte G", ce qui d'impression plus lentes sont normalement évités car ils augmentent la pression
confirme que les déformations élastiques dominent le comportement constitutif appliqué par le matériau extrudé au-dessus des couches précédemment imprimées,
du matériau inflexible. La valeur plateau du module de stockage dans la région augmentant le risque de déformations excessives du substrat et d'effondrement. Au
LVE,G' = 200 kPa, est utilisé comme module de cisaillement élastique linéaire du d'autre part, des hauteurs de buses plus importantes (HN > RÉ/2) combinés à des vitesses
matériau non flexible. d'impression plus rapides ont tendance à produire des couches avec une sec-
(lors de l'utilisation de buses rondes), ce qui compromet la qualité géométrique et
2.3. Impression 3D béton la stabilité des impressions multicouches [43].
Un parcours d'outil de robot a été conçu pour imprimer les 12 segments dans un

Les installations du High-Tech Concrete Lab de l'Institut technologique danois seul parcours et en utilisant un seul lot de mortier. Le framework 3DCP de la conception

ont servi de base aux expériences de validation. La configuration 3DCP est à la production repose sur un algorithme personnalisé développé dans Rhino/

montrée dans3. Il comprend un robot industriel 6 axes (Fanuc R-2000iC/165F), Grasshopper qui traduit les conceptions de parcours d'outil en fichiers G-code. Cet

une pompe à vis excentrée (NETZSCH avec débit jusqu'à 2,0 dm3/min) équipé d'un algorithme génère les coordonnées des points et les vecteurs d'orientation associés ainsi

5.0 dm3 trémie, un tuyau en caoutchouc en fil d'acier de 3,0 m de long (Ø32 mm) que les vitesses de déplacement des buses, c'est-à-dire les informations requises pour

et des buses sur mesure produites par la fabrication de filaments fusionnés avec que les effecteurs finaux suivent une trajectoire spécifiée. Les fichiers générés sont

du plastique ABS. ensuite envoyés au robot à l'aide de RoboDK®, qui calcule le parcours d'outil par

Avant tout test d'impression, la trémie de la pompe, le tuyau et la buse cinématique inverse.

d'extrusion ont été apprêtés/lubrifiés avec une pâte fine composée de calcaire Pour réaliser les tirages prévus, nous avons préparé un 45 dm3 lot de mortier dans
un mélangeur intensif Eirich de type R08W (capacité de lot 75 L/120 kg) en suivant le
protocole résumé dans Tableau 3. Après mélange, le matériau a été transporté vers la
plate-forme 3DCP dans un conteneur recouvert d'une feuille de plastique pour minimiser
l'évaporation de l'eau. Ensuite, le matériau a été introduit manuellement dans la trémie
de la pompe pendant le processus d'impression. Avant l'impression réelle, le débit de la
pompe avait été ajusté pour fournir
un flux volumétrique d'extrusion nominal Unom = 40 mm/s. Pour cela, nous avons
collecté la masse de matière s'écoulant à travers la buse à trois dif-
débits courants pendant 1 min; cette masse a ensuite été convertie en une valeur
volumétrique basée sur la densité du mortier. Le débit a été maintenu constant
pendant tout le test d'impression. Néanmoins, l'examen des sections
transversales des couches a révélé que le flux volumétrique délivré était plutôt
instable lors de l'impression. De telles variations sont très probablement
associées à des facteurs tels que l'allongement et la contraction longitudinales du
tuyau pendant le processus d'impression et la résistance à l'écoulement causée
par la surface de construction. Notez que pendant l'étalonnage, la buse était
éloignée de la surface de construction.
Deux jours après l'impression, lorsque les couches ont été durcies, chacun des 12
segments a été tranché avec 4 coupes transversales pour examiner sa forme
transversale. L'ensemble de la couche imprimée ainsi que les segments tranchés sont
affichés dans5. Toutes les coupes transversales ont été numérisées et analysées avec un
Figure 2. Test rhéométrique oscillatoire avec un balayage d'amplitude à 1 Hz. script de traitement d'image personnalisé qui est illustré dans

3
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Figure 3. Plateforme 3DCP : (a) robot industriel 6 axes, (b) buse d'extrusion sur mesure, (c) trémie, pompe et tuyau.

Figure 4. Schémas de la configuration 3DCP. (a) Vue latérale : hauteur de la buseH, diamètre
N RÉ, flux volumétrique d'extrusion Toi, et vitesse d'impression V. (b) Vue de face : milieu
hauteur de couche HL et largeur de couche WL.

Figure 6 et brièvement décrit comme suit. Les contours des sections transversales Cependant, l'égalité (1) n'était pas remplie lors de l'insertion de la valeur nominale
sont d'abord détectés en appliquant une combinaison de filtrage spatial et de valeur Unom du flux volumétrique dans l'équation. Ainsi, le flux volumétrique
seuillage d'image. Ensuite, les contours identifiés sont lissés et la rugosité de d'extrusion réelU a été recalculé à partir de l'Eq. (1) en utilisant le
surface est supprimée en prenant son enveloppe convexe. Ensuite, les contours aire moyenne des 4 coupes transversales pour chacun des 12 segments. Les
numérisés sont automatiquement tournés et recentrés. Pour terminer, valeurs déduites du flux volumétrique d'extrusion réelU sont répertoriés dans
la hauteur de couche, HL (défini comme la hauteur au milieu de la croix Tableau 2. La différence relative entre le flux volumétrique d'extrusion réel et
section), la largeur de couche, WL (définie comme la largeur maximale) et la nominal variait selon les segments entre -33% et +15% de la valeur nominale.
section transversale, UNE, sont extraits des profils de contour. Par
grâce à la conservation du volume, le débit volumétrique d'extrusion Un film du 3DCP de la couche entière construit pour cette étude est fourni
doit être égal au débit volumétrique d'impression, d'où : comme matériel complémentaire.

1 ré2U = AV.
4 (1)

Par conséquent, la section transversale UNE dépend de la vitesse rapport

SR = V/U (rapport de vitesse d'impression V flux volumétrique sur extrusion U).

4
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Tableau 2
Paramètres de traitement pris en compte dans l'étude paramétrique et surfaces transversales mesurées des empreintes.

Identifiant du dossier Hauteur de la buse, H N Vitesse de déplacement de la buse, Section transversale mesurée UNE [mm2] Rapport de vitesse, Extrusion volumétrique réelle
[mm] V [mm/s] SR = V/U flux, U [mm/s]
La Coupe transversale La Coupe transversale La Coupe transversale La Coupe transversale

couper 1 couper 2 couper 3 couper 4

1 7.5 20 869,5 913,5 828.3 946,8 0,55 36,3

2 30 596,7 636,4 643,5 615.2 0,79 38,2
3 40 424,9 417.1 435,3 443,6 1.14 35,1
4 50 398,3 404,3 396,3 388,6 1.23 40,5
5 12,5 20 769,9 745,5 764.1 744,9 0,65 30,8
6 30 563.0 556,6 544,4 510.0 0,89 33,6
7 40 423,7 375,7 390,7 384,8 1,27 31,6
8 50 341.2 315.2 342.2 315,6 1,50 33,4
9 17,5 20 818,7 814.8 832.6 828.3 0,60 33,6
dix 30 442,9 430,9 456,9 424,6 1.12 26,7
11 40 564,3 587,0 553.1 566,3 0,87 46,1
12 50 360,3 360,1 363,9 366,0 1,36 36,9

Tableau 3 matériaux incompressibles (résultant de la conservation de la masse), tandis que l'Eq.

Procédure de mélange. (3) décrit la conservation de la quantité de mouvement (similaire à la deuxième loi

Pas Temps de mélange [s]

de Newton). Deux modèles constitutifs ont été considérés pour calculer le tenseur
des contraintes constitutives : un modèle fluide newtonien généralisé (GNF)
Mélanger du sable sec et 30% d'eau 60 inélastique et un modèle fluide élasto-visco-plastique (EVP), qui sont décrits
Mettre le malaxeur en pause et ajouter le filler ciment et calcaire –
comme suit.
Mélanger tout le matériau et ajouter 60 % d'eau 120
Mettre le mélangeur en pause et ramasser le matériau attaché à la lame et à la casserole –
des murs.
3.1.1. Modèle fluide newtonien généralisé
Ajouter les adjuvants et 10% d'eau –
Le modèle GNF est une modification du modèle de fluide newtonien qui considère
Continuer à mélanger 240
l'élasticité et l'amincissement par cisaillement à travers la viscosité apparente du
matériau. Avec le modèle GNF, le tenseur des contraintes constitutives est
3. Modèles numériques modélisé comme :

= 2 application ( )RÉ, (4)

3.1. Équations directrices
où = où ré est +
le vous
tenseur
T),de vitesse de déformation, défini comme :
L'écoulement du béton/mortier frais est modélisé par le Navier-Stokes
équations pour fluides incompressibles : 1 ( vous
ré
2 (5)
u= (2)
et application ( ) est la fonction de viscosité apparente qui dépend de l'amplitude du
toi +0 2IIRÉ , de vitesse de déformation :
m=tenseur
vousu = p+ + g
t (3)
(6)
où vous est le vecteur vitesse domaine, p le champ de pression, σ les con-
tenseur d'effort stitutif, g le vecteur d'accélération de la gravité, ρ les fluide où IIré est le deuxième invariant principal du tenseur de vitesse de déformation RÉ, défini
densité, et t la variable temporelle. Éq.(2) est l'équation de continuité de comme:

Figure 5. Couche entière imprimée (a) et tranchée

segments pour (b) HN = 7,5 mm, boîtier ID 1-4,
(c) HN = 12,5 mm, boîtier ID 5–8, et (d) H
= 17,5 mm, boîtier ID 9-12. Le tiret bleuN e
les lignes indiquent les transitions entre les
différentes vitesses d'impression. (Pour
l'interprétation des références à la couleur dans
cette légende de la figure, le lecteur est renvoyé
à la version Web de cet article.)

5
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Fig. 7. Représentation schématique du modèle de comportement élasto-visco-plastique avec un

amortisseur (contrainte visqueuse), un ressort (contrainte élastique) et un élément de glissement
sec (limite d'élasticité).

La contrainte constitutive totale du fluide EVP est répartie entre un

composant visqueux, ,V et un composant élastique, , qui est
E limité par
la limite d'élasticité :

= V + E. (9)

PRÉ.
V =La2composante de contrainte visqueuse est donnée par : (dix)

La réponse aux contraintes élastiques du matériau non flexible σE(noté avec

l'exposant *) est modélisé avec la loi de Hooke (isotrope linéaire elas-
ticité):

E = 2g (11)

où ε est le tenseur des petites déformations et g est le module de cisaillement élastique. Comme
le matériau est incompressible, σE* est un tenseur déviatorique et ne contribue
Figure 6. Script de traitement d'images.
pas à la pression hydrostatique p. Le petit tenseur de déformation peut être
calculé de manière incrémentale en intégrant le tenseur de vitesse de déformation, RÉ, sur de
3 3
IID = tr(ré2) = réjeréji, petits intervalles de temps Δt = t − t0 :
je =1 j=1 (7)

et réje est la notation pour le ij-composants du tenseur RÉ.

(t) = (t0) + tRÉ. (12)
La fonction de viscosité apparente d'un fluide de Bingham idéal est Alternativement, une forme incrémentale du tenseur de contrainte élastique
application ( ) = O/ + P, qui devient infini dans la limite des faibles taux de cisaillement : limite est dérivée en différenciant l'Eq. (11), Donc:
( ) = + . Pour contourner la singularité numérique due à
0 application
E+
viscosité apparente infinie du matériau au repos, la fonction de viscosité (vous E) ( E W + WT E) = 2gré
t (13)
est régularisé par une fonction de viscosité bi-visqueuse comme suit :
quoi= 1 ( vous
avant W est le tenseur de tourbillon, c'est-à-dire :
m hache
si < c
() = Oui ,
application
+ P si c vousT).
(8) 2 (14)

quand ré c n'est-ce pas le taux de cisaillement critique de régularisation, et = + Le premier terme du membre de gauche de l'équation. (13) est le tiers temporel des
max O/ c P est
teuomxmm
hct ff aiu de la fonction de viscosité régularisée. F
valeur ou alors
rivative de contrainte élastique à un endroit fixe dans l'espace. La seconde et le tenseur des

taux de cisaillement ci-dessus c, la fonction de viscosité régularisée est identique à termes qui tiennent compte de l'advection et de la rotation de l'élastique nécessaire au

celle du fluide de Bingham idéal. Le matériau est considéré comme non cédé contraintes lors de son déplacement avec le matériau. Ces termes supplémentaires sont [44].

quand < c, et le matériau non cédé se voit attribuer la valeur de coupure maximale maintien de l'objectivité matérielle du modèle de comportement

ηmax de la fonction de viscosité. La visc-

L'osité doit être suffisamment élevée (donc un petit c) de telle sorte que la matière Le critère d'élasticité de von Mises est utilisé pour prédire quand le matériau
non cédée ne subisse pas d'écoulement notable au cours de la simulation rendements. La contrainte équivalente de von MisesσvM est défini comme:

temps. En revanche, des valeurs trop faibles dec peut entraîner une divergence du
solveur numérique. Dans le présent travail, un cisaillement critique de régularisation vM = 2 II, E
3 (15)
taux c = 0,01 s-1 a été choisi, ce qui a donné la viscosité de coupure maximale
ηmax ≈ 63 kPa.s. Ce choix a permis d'obtenir un bon compromis entre robustesse où II σE* est le deuxième invariant principal du tenseur des contraintes élastiques,
et correction du modèle. défini de la même manière que IIRÉ; voir Éq. (7). Le matériau cède lorsqu'il σvM
atteint la limite d'élasticité :
3.1.2. Modèle fluide élasto-visco-plastique
vM .
Oui ( 16)
Le modèle de fluide EVP décrit un comportement d'écoulement similaire à celui du
modèle de Bingham, caractérisé par une limite d'élasticité et une viscosité plastique. Enfin, la composante de contrainte élastique du matériau cédé, σE,
Cependant, le fluide EVP non flexible a une réponse visco-élastique, contrairement au utilisé dans l'éq. (9) est mis à l'échelle comme suit pour que les critères de rendement soient remplis :

comportement purement visqueux du modèle GNF. Le modèle de fluide EVP peut être
schématiquement représenté par la combinaison d'un amortisseur, d'un ressort et d'un Oui
E = min 1, E.
élément de glissement sec illustré dans7. vM (17)

6
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répertorié dans Tableau 2, correspondant à notre étude paramétrique, pour

chacun des modèles constitutifs (GNF et EVP).
Le domaine de simulation a été maillé avec une grille rectiligne structurée. La
région entre la surface de construction et la buse d'extrusion qui est occupée par
le béton imprimé a été maillée avec une résolution fine de
1 mm3, sauf dans le cas de la plus petite hauteur de buse (HN = 7,5 mm) où un pas
de grille vertical de 0,75 mm a été utilisé. De plus, une plus grossière
un espacement de grille vertical de 2,5 mm (avec une transition progressive) a été
utilisé pour mailler la région supérieure du domaine de calcul où la buse
d'extrusion se déplace mais où aucun béton n'est extrudé. Au total, les maillages
comptaient environ 700 000 mailles. La taille du pas de temps des simulations est
automatiquement ajustée par le solveur, en fonction de critères de stabilité
numérique et de convergence.
Les équations régissant l'écoulement présentées dans Article 3.1 sont
discrétisés dans les mailles par la méthode des volumes finis. Les variables
discrètes de pression et de vitesse sont résolues par un schéma itératif semi-
implicite découplé.FLUX-3D® utilise une méthode de frontière immergée pour
représenter des objets solides dans le domaine de calcul, ce qui facilite la
simulation du mouvement des buses. Dans cette approche, le maillage de la grille
n'a pas à se conformer à la frontière des objets solides, et le blocage partiel des
Fig. 8. Géométrie et grille de calcul du modèle CFD. mailles recouvertes par des objets solides est pris en compte dans la
discrétisation des équations [45]. De plus, l'écoulement à ciel ouvert du béton est
3.2. Cadre de simulation modélisé avec la méthode Volume-of-Fluid [46], qui suit dynamiquement la
position de la surface libre avec un algorithme géométrique semi-lagrangien.
L'écoulement de mortier frais régi par les équations. (2) et (3) a été simulé à Cette méthode permet de simuler uniquement l'écoulement du mortier, en
l'aide du logiciel FLUX-3D® (Version 12.0 ; 2019 ; Flow Science Inc.). négligeant l'écoulement de l'air environnant.
Les formulations GNF et EVP du Bingham intégrées au les modèles constitutifs sont la
logiciel. Le modèle CFD comprend une surface de buse d'extrusion, une Toutes les simulations numériques ont été exécutées à l'aide de 20 cœurs sur
construction plane, ainsi qu'un enveloppe de construction de un cluster de calcul haute performance situé à l'Université technique du
350 mm × 80 mm × 50 mm dans lequel le béton est imprimé (8). La buse Danemark. Le calcul a été parallélisé par partitionnement de maillage.
d'extrusion est un tube cylindrique avec un diamètre intérieurD =
25 mm et une épaisseur de paroi de 2,0 mm, de manière similaire aux 4. Résultats et discussion
expériences. La buse d'extrusion se voit attribuer un mouvement prescrit dans le
domaine de simulation. Les simulations d'impression virtuelle fournissent des valeurs numériques de
Dans les simulations actuelles, la hauteur de buse HN est maintenu constant la pression, de la vitesse et de la contrainte constitutive dans le béton, ainsi
et le parcours d'outil est une ligne droite de 300 mm, parcourue avec un qu'une représentation visuelle de la surface des couches imprimées. Par exemple,
vitesse d'impression constante V. Étant donné que la géométrie et le parcours d'outil 9 illustre la géométrie de couche simulée avec des paramètres d'impression
sont tous deux symétriques, le temps de calcul peut être réduit en simulant seulement la communs (cas ID 6). La forme en coupe transversale des empreintes virtuelles a
moitié du domaine et en appliquant une condition aux limites de symétrie dans le plan été obtenue en découpant les géométries de couches simulées le long de leurs
longitudinal. Une limite d'entrée avec un flux volumétrique d'extrusion constantU de plans médians (voir9).
béton est imposé à la surface supérieure de la buse d'extrusion. En l'absence de La forme en coupe des couches imprimées en 3D peut servir de base solide
connaissance du comportement de glissement du mortier à l'intérieur de la buse, une pour valider les simulations numériques. La comparaison entre les formes
condition aux limites de non glissement est appliquée par défaut à toutes les surfaces transversales pour les empreintes virtuelles et physiques des 12 segments est
solides (c'est-à-dire la paroi de la buse et la surface de construction). Ce choix d'utiliser montrée dans10. Une comparaison quantitative de la hauteur de couche (au
une condition aux limites de non-glissement par rapport à d'autres conditions aux milieu de la section transversale) et de la largeur de couche est fournie
limites est justifié par le fait que la rugosité de surface en couches de la buse a
approximativement la même grandeur que la granulométrie du sable (voir la discussion
dans [17], page 20). Toutes les autres limites du domaine de calcul sont des conditions
aux limites continues, où le matériau est libre de sortir.Tableau 4 résume tous les
paramètres utilisés dans les modèles CFD. Plusieurs simulations d'« impression virtuelle
» ont été exécutées pour couvrir les 12 cas

Tableau 4
Valeurs numériques des paramètres de simulation.

Paramètres Symboles Valeurs numériques

Densité ρ 2100 kg/m3

Stress de rendement σOui 630 Pa
Viscosité plastique ηP 7,5 Pa∙s
Taux de cisaillement critique de régularisation (GMF c 0,01 s-1
maquette)

Module de cisaillement élastique (modèle EVP) g 200 kPa

Diamètre de la buse ré 25 mm
Hauteur de la buse H 7,5, 12,5 et 17,5 mm
Vitesse d'impression VN 20, 30, 40 et 50 mm/s Voir
9. Exemple de géométrie de couche simulée avec des paramètres d'impression
Flux volumétrique d'extrusion U valeurs dans Tableau 2
communs (cas ID 6).

7
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10. Comparaison des formes transversales à partir des simulations et des expériences.

dans 11. résultats, bien que, dans quelques cas, le modèle EVP soit plus représentatif des
En général, les résultats numériques et expérimentaux concordent qualitativement expériences réelles - comme noté dans Figues. 10 et 11. Le temps de calcul moyen
bien, validant ainsi l'approche de modélisation CFD. Les résultats concordent le mieux était d'environ 18 h pour les simulations avec le modèle GNF, et de 2 jours avec le
dans les cas correspondant aux paramètres d'impression typiques (c'est-à-dire les cas ID modèle EVP. Notez, cependant, que le temps de calcul pourrait être réduit, jusqu'à
6 et 7). Les graphiques en11 présenter les variantes du un tiers, en utilisant une taille de grille plus grossière, au prix d'une résolution
hauteur de couche HL et largeur de couche WL en fonction du rapport de vitesse V/U, inférieure (mais toujours acceptable).
pour chaque hauteur de buse HN. Les modèles GNF et EVP donnent des résultats similaires Pour HN = 12,5 mm et 17,5 mm, la hauteur de couche dans le modèle EVP

8
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11. Comparaison de la hauteur de couche HL et largeur de couche WL à partir des simulations et des expériences.

tend à égaler la hauteur de la buse, alors que dans les expériences, la hauteur de la La différence de hauteur est probablement due à une erreur de hauteur de buse
couche dépasse légèrement la hauteur de la buse. La différence entre la hauteur de (variation ou inexactitudes) dans les expériences, qui pourrait provenir de défauts
couche et la hauteur de buse est d'environ 1 mm dans les expériences pour de planéité ou d'imprécisions dans la surface de construction. Néanmoins, une
HN = 12,5 mm, et jusqu'à 3 mm pour HN = 17,5 mm. De plus, les différences de erreur de positionnement de 1,0 mm à 3,0 mm est plutôt acceptable, puisque la
hauteurs de couche entre les simulations et les expériences sont en plate-forme 3DCP est conçue pour construire des composants à grande échelle
tour responsable de petits écarts dans les largeurs de couche. La couche avec des dimensions de l'ordre du mètre.

9
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12. Pression d'extrusion moyenne à l'orifice de la buse. (Notez les différentes échelles entre les graphiques GNF et EVP.)

Pour les tirages avec HN = 7,5 mm, la hauteur de couche dépasse également la le rendement se produit dans le modèle GNF lorsque la contrainte γc est un paramètre
c. Alors que le cisaillement critique

hauteur de buse, et cette différence augmente à mesure que le rapport de vitesse V/U est de matériau lié au module d'élasticité et à la limite d'élasticité [35], le taux de cisaillement
réduit. Ceci est observé à la fois dans les simulations et les expériences. Dans ces critique c est un paramètre purement numérique
cas, cependant, l'excès de hauteur de couche est dû au manque d'espace pour dans le seul but de régulariser le modèle constitutif de Bingham
loger tout le matériau extrudé sous la buse, ce qui provoque un effet de (c'est-à-dire pour éviter une viscosité infinie à taux de cisaillement nul). De plus,
gonflement (c'est-à-dire une augmentation de la hauteur de couche induite par la les modèles constitutifs GNF et EVP ont des réponses différentes à une charge
pression d'extrusion). De plus, certaines fluctuations dans la forme de la section purement compressive. Le matériau inflexible est rigide dans le modèle GNF,
transversale ont été observées dans les expériences (voir5), peut-être dû au alors que le modèle EVP permet des déformations élastiques. Ainsi, la pression
flambage des filaments, alors que les simulations tendent à montrer une couche d'extrusion calculée est significativement plus faible pour le modèle EVP que pour
uniforme. le modèle GNF (notez l'échelle différente dans les graphiques présentés dans
Dans toutes les simulations, la pression d'extrusion a été estimée comme la 12). Il est actuellement difficile de savoir lequel des modèles GNF et EVP donne les
pression moyenne à l'intérieur de l'orifice de la buse. La pression d'extrusion pour prédictions les plus précises de la pression de l'extrudat (ce sujet devrait être
les différents cas sont rapportés en fonction de la hauteur de la buse HN et le étudié à l'avenir). Néanmoins, dans les deux modèles, le
rapport de vitesse V/U, dans 12. La pression d'extrusion correspond à la pression d'extrusion dépasse largement la pression hydrostatique gHN (=
la charge de compression requise pour déformer et étaler la masse centrale non cédée 155 Pa, 258 Pa et 360 Pa, pour HN = 7,5 mm, 12,5 mm et 17,5 mm,
du matériau extrudé sur la surface de construction. 13 montre l'amplitude de la vitesse respectivement), sauf dans les cas ID 10 et 12 pour le matériau EVP
de déformation dans les plans transversaux et longitudinaux de la buse pour le cas ID 7. (hauteur de buse plus élevée HN = 17,5 mm et le rapport de vitesse V/U > 1). Ces
L'amplitude de la vitesse de déformation dépend de la hauteur de couche et du rapport résultats montrent que la pression d'extrusion est la charge dominante sur
de vitesse, avec des vitesses de déformation maximales variant entre 5 s-1 à 10 s-1. le poids du béton.
Cependant, la distribution de la vitesse de déformation reste similaire à celle montrée La pression d'extrusion pousse le matériau à s'écouler latéralement.
dans 13 dans toutes les simulations présentées dans cet article. De plus, le choix du Cependant, le matériau extrudé ne s'étale pas indéfiniment sur le substrat malgré
modèle constitutif GNF ou EVP a montré une influence négligeable sur les grandeurs de que la contrainte de compression dépasse la limite d'élasticité, car la pression
vitesse de déformation. d'extrusion n'est appliquée sur la couche que pendant une courte période de
D'autre part, le modèle constitutif affecte significativement la pression temps.t~D/V, lorsque la tête d'impression se déplace. Après le passage de la tête
d'extrusion calculée. En effet, les modèles GNF et EVP ont des mécanismes de d'impression, la pression chute en dessous de la limite d'élasticité et le matériau
rendement fondamentalement différents. Pour le modèle EVP, les critères est inflexible. De plus, la quantité d'écoulement latéral déterminant la forme de la
produits Eq.(16) combinés par les équations. (15) et (11) est section transversale de la couche est le résultat du rapport de vitesse
équivalent à / 3 > c, où = 2tr( 2) est l'amplitude du tenseur de petite déformation et d'impression sur extrusion et de la hauteur de buse.
γc = σO/g est la contrainte de cisaillement critique. En revanche, Le flux latéral du matériau est le plus visible avec un déplacement lent de la buse

13. Ampleur de la vitesse de déformation du flux d'extrusion dans la simulation GNF du cas ID 7 : (a) section transversale et (b) section longitudinale à travers l'axe de la buse.

dix
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14. Vues en perspective de simulations d'impression virtuelle à l'aide du modèle EVP : (a) petite hauteur de buse et vitesse de déplacement lente de la buse (Case ID 2) et (b) grande buse
hauteur et vitesse de déplacement rapide de la buse (ID de cas 12).

vitesses et petite hauteur de buse; voir14 (a) pour HN = 7,5 mm et V Deux paramètres de traitement ont été considérés dans l'étude paramétrique : le
= 30 mm/s (cas ID 2). Dans ce cas, la section transversale de la couche rapport de la vitesse de déplacement de la buse sur le flux volumétrique d'extrusion et la
la géométrie est proche d'un rectangle avec un grand rapport hauteur/largeur et des bords hauteur de la buse. De plus, on a supposé que le mortier s'écoulait avec une condition
arrondis. En revanche, les simulations avec une grande hauteur de couche et une vitesse de aux limites sans glissement à l'intérieur de la buse d'extrusion et sur la surface de
déplacement rapide de la buse produisent des géométries de couche avec des cercles aplatis. construction. Les investigations sur l'influence du comportement de la glissade de
des sections transversales. Cette situation est illustrée dans14 (b) avec HN = mortier à la paroi de la tuyère sont laissées pour de futures études.
17,5 mm et V = 50 mm/s (cas ID 12). Ces formes de déposé La géométrie en coupe des empreintes virtuelles s'accorde qualitativement
couche sont différents des deux régimes d'extrusion idéaux (extrusion de « avec les empreintes physiques, validant ainsi l'approche de modélisation CFD. En
briques infinies » et flux d'étalement gravitaire) décrits dans [35]. Notez que le particulier, le modèle fluide élasto-visco-plastique du mortier de ciment donne
mécanisme observé dans la présente étude, c'est-à-dire où la forme du matériau des prédictions plus représentatives des sections transversales. Cependant, le
est déformée par la contrainte de compression (c'est-à-dire la pression calcul des contraintes élastiques dans le modèle élasto-visco-plastique rend les
d'extrusion) pour des hauteurs de buse inférieures au diamètre de la buse, a simulations numériques 2,5 fois plus longues que pour le modèle fluide
également été discuté dans [18,34]. newtonien généralisé. Dans les deux modèles, la forme de la couche déposée
Enfin, la comparaison entre les résultats expérimentaux et numériques de varie entre une géométrie cylindrique et un profil presque rectangulaire, en
l'étude paramétrique montre que l'approche CFD proposée peut modéliser avec fonction de la quantité de matière étalée latéralement qui est contrainte par le
succès l'extrusion et le dépôt de matériaux en 3DCP. Cependant, d'autres études rapport de vitesse d'impression sur extrusion et la hauteur de la buse. Bien que
numériques sont nécessaires pour affiner les modèles CFD, par exemple en non étudiée dans cette étude,
testant différentes conditions aux limites de glissement. La présente étude se
concentre sur la prédiction de la géométrie d'une seule couche, imprimée sur une
surface de construction plane. Néanmoins, le modèle CFD peut facilement être De plus, le modèle CFD montre que la réponse du matériau à la vitesse
étendu pour simuler des impressions multicouches. Un exemple d'une telle d'extrusion imposée crée une pression d'extrusion bien supérieure à la limite
simulation, utilisant le modèle GNF, est montré dans15. Cette simulation d'élasticité du matériau. Une telle pression n'est appliquée que pendant une
d'impression à trois couches avait un incrément de hauteur de buse de 12,5 mm courte période de temps sur le substrat lorsque la buse se déplace pendant
par couche et un rapport de vitesseV/U = 1.25. Le temps de calcul était de 1 jour et l'impression. Cependant, la pression d'extrusion résultante (qui n'a pas été
6 h. Dans15, les régions de béton cédé sont colorées en noir. De plus, les documentée auparavant) devrait jouer un rôle dans la stabilité structurelle des
simulations d'impression peuvent inclure différentes géométries de buses (par impressions multicouches.
exemple des buses rectangulaires) et des parcours d'outils plus complexes (par Le modèle CFD peut être facilement étendu pour simuler des impressions
exemple des arcs curvilignes). multicouches avec des parcours d'outils plus complexes - notez, cependant, que simuler
l'impression d'un élément entier serait actuellement irréalisable en raison du coût de
calcul prohibitif. D'autre part, les simulations CFD d'une seule couche ou d'un nombre
5. Conclusions limité de couches – de la même manière que celles présentées dans cet article –
fournissent des informations utiles sur le flux de dépôt. Ces informations pourraient être
La géométrie de la section transversale des segments formant chaque couche peut utilisées pour optimiser la stratégie d'impression et améliorer les pratiques de
être prédite grâce à des simulations "d'impression virtuelle" basées sur la CFD. conception en 3DCP vers une meilleure conformité géométrique et la robustesse du
processus.
Des données supplémentaires à cet article peuvent être trouvées en ligne à
l'adresse https://doi.org/10.1016/j.cemconres.2020.106256.

Déclaration de contribution de la paternité CRedit

Raphaël Comminal : Conceptualisation, Méthodologie, Analyse formelle,

Investigation, Curation des données, Rédaction - brouillon original, Rédaction -
révision et édition, Visualisation. Wilson Ricardo Leal da Silva :
Conceptualisation, Méthodologie, Investigation, Curation de données, Rédaction
- brouillon original, rédaction - révision et édition, visualisation. Thomas Juul
Andersen : Gestion de projet, Acquisition de financement. Henrik Stang :
15. Exemple de simulation d'impression multicouche utilisant le modèle GNF (les régions Gestion de projet. Jon Spangenberg : Conceptualisation, Rédaction - brouillon
cédées sont représentées en noir et les régions non cédées en gris clair).
original, Rédaction - révision & édition, Supervision.

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autoplaçants, ACI Mater. J. (2009) 375-380,https://doi.org/10.14359/56658.
Les auteurs tiennent à remercier le soutien de l'Innovation Fund Denmark
[24] J. Spangenberg, N. Roussel, JH Hattel, H. Stang, J. Skocek, M. Geiker, Flow induced particule
(Subvention n° 8055-00030B : Next Generation of 3D-printed Concrete Structures), migration in fresh concrete : cadre théorique, simulations numériques et résultats
ainsi que le soutien de COWIfonden. expérimentaux sur les fluides modèles, Cement Concrete Rés (2012) 633-641,
https://doi.org/10.1016/j.cemconres.2012.01.007.
JS a également été partiellement soutenu par le Conseil danois pour la recherche
[25] J. Spangenberg, N. Roussel, JH Hattel, E. Sarmiento, G. Zirgulis, M. Geiker, Modèles de
indépendante (DFF)|Technologie et sciences de la production (FTP) (contrat n° migration des agrégats induite par la gravité lors de la coulée de bétons fluides, Cement
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