UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MO TRÉAL

ANALYSE ET ÉVALUATION DE LA MÉTHODE DE TARIFICATIO A

POSTERIORI AVEC LES DON ÉES DE PA EL

MÉMOIRE

PRÉSENTÉ

COMME EXIGENCE PARTIELLE

DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES

PAR

CARLOS FELIPPE ROSTA D KOETZ

JUIN 2018
 UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL
Service des bibliothèques

Avertissement

La diffusion de ce mémoire se fait dans le respect des droits de son auteur, qui a signé
le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles
supérieurs (SDU-522 - Rév.1 0-2015) . Cette autorisation stipule que «conformément à
l'article 11 du Règlement no 8 des études de cycles supérieurs, [l'auteur] concède à
l'Université du Québec à Montréal une licence non exclusive d'utilisation et de
publication de la totalité ou d'une partie importante de [son] travail de recherche pour
des fins pédagogiques et non commerciales . Plus précisément, [l'auteur] autorise
l'Université du Québec à Montréal à reproduire , diffuser, prêter, distribuer ou vendre des
copies de [son] travail de recherche à des fins non commerciales sur quelque support
que ce soit, y compris l'Internet. Cette licence et cette autorisation n'entraînent pas une
renonciation de [la] part [de l'auteur] à [ses] droits moraux ni à [ses] droits de propriété
intellectuelle. Sauf entente contraire , [l'auteur] conseNe la liberté de diffuser et de
commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire .»

f
 REMERCIEMENTS

Ce mémoire est la conclusion d 'une étape d 'ét udes de ma vie qui a duré à p eu
près trois ans et demi . Il a été possible grâce au soutien de plusieurs personnes à
qui je voudrais adresser mes sincères remerciements.

Tout d 'abord , je veux remercier mon épouse madame Marceline De Mello, qu1
m 'a donné to ut le support familial, et mon enfant Oliver De Mello Koetz, qui m 'a
donn é la motivation pour continuer et finaliser ce travail.

J e voudrais remercier monsieur J ean-Philipp e Boucher, directeur de recherche de

ce mémoire, pour son aide, temps et confiance qu 'il m 'a accordés. J e vaudrais aussi
remercier trois autres professeurs , qui m 'ont fait des récommanclations m 'invitant
à joindre à la communauté de l' niversité elu Québ ec à Montréal (UQAM), mes-
ieurs Luiz Ernesto Bot h , Écler Julio Kina tet J osé Antônio Lumertz. Finalement ,
je veux aussi remercier la directrice elu programme de français langue seconde de
l'UQAM , madame Agnès Baron et madame Rachel Sparks qui m 'ont soutenu clans
mon travail pour la mise en form e de la langue fr ançaise.

Enfin , j 'adresse mes plus sincères remerciements à mes parents Carlos Tacleu Koetz
et Angela Lizete Rostand Koetz, qui m 'ont accompagné, aidé, soutenu et encou-
ragé tout au long de la réalisation de ce mémoire.
 TABLE DES MATIÈRES

LISTE DES TABLEAUX Vl

LISTE DES FIGURES . lX

RÉS UMÉ . .. . x
I TRODUCTIO 1
CHAPITRE I
LES FO DEME TS DE LA TARIFICATIO ET LA BASE DE DO NNÉES 4
1.1 La prime pure . . 4
1.2 La segm entation 6
1.3 La base de données 8
CHAPITRE II
LA TARIFICATION AVEC LES DON NÉES TRANSVERSALES . 19
2.1 Les modèles linéaires généralisés . 19
2 .1.1 Les modèles linéaires 20
2.1.2 La théorie des GLMs 21
2.2 La tarification par expérience et le système Bonus-Malus (SBM) 25
2.2.1 Les limitations des modèles de classification et l'historique de
sinistre comme prédicteur 25
2.2.2 Historique des SBMs 26
2.2.3 L'obj ectif des SBMs 27
2.2.4 Les types de SBMs 28
2.2.5 Le SBM en détail . 29
2.3 La structure mathématique d 'un SBM standard 30
2.3.1 La structure d 'un SBM . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Le parcours des assurés d ans le système 31
2.3.3 Les règles de transition . . . . . . . . . . 32
 lV

2.3.4 Les probabilités et la matrice de transit ion 34

2.3 .5 Propriété stationnaire 35
2.3.6 Relativités . . . . . . . 37
2.3.7 Interaction entre un système « a priori » (GLM) et un système
« a prosteriori » (SBM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
CHAPITRE III
LES MODÈLES DE BASE ET DE CONTRÔLE 39
3. 1 Le modèle proposé . . . . . . . . . . . . . . 40
3. 1.1 Problèmes de l'utilisation de la t héorie SB M pour les données
de panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. 1. 2 Inclusion d 'une structure bonus-malus dans la tarification 42
3.2 Les paramètres du modèle . . . 44
3.2.1 La distribu t ion Poisson . 44
3.2.2 L'estimation du niveau d 'entrée l 1 de l'assuré selon le nombre
d 'années de permis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 L'estimation du niveau des ass urés avec expérience 47
3.2.4 La structure des relativités . . . . . . 50
3.3 La contrainte légale et le modèle de contrôle 51
3.3.1 Le modèle de contrôle . 52
3.4 L'estimation de chaque modèle 54
3.4. 1 Le parcours des assurés . 56
3.5 Applications numériques . 60
3.5.1 Le modèle de base 60
3.5.2 Le modèle de contrôle 65
CHAPITRE IV
ANALYSE DE LA CAPACITÉ PRÉDICTIVE ENTRE LES DEUX MO-
DÈLES . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4. 1 Outils de comparaison classiques 76
4. 1.1 Ajustement statistique . . 76
 v

4.1.2 Le coeffi cient de variation 0 • • • 0 • 77

4.1.3 Le niveau relatif moyen stationnaire 85
4.2 Le ratio sinistre / prime . . . 87
4.3 La compétition entre modèles 90
4.3 .1 Mise en contexte 90
4.3.2 Résultats généraux 92
4.3.3 Analyse approfondie de la comp étition 96
4.3.4 Résultats du marché 106
4.3.5 Décision 110
co CLUSION 113
RÉFÉRENCES 119
 LISTE DES TABLEAUX

Tableau Page

1.1 Distribution des primes entre les assureurs et le choix de compagnie

par l'assuré . . . . . . 8

1.2 Sommaire des variables 10

1.3 Distribution du nombre de polices d 'assurances et de l'exposition

des assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Sommaire des paramètres de distributions de la famille exponentielle 23

3.1 Historique de sinistres de l'assuré numéro 1 -modèle de base . . 57

3.2 Historique de sinistres de l'assuré numéro 1 - modèle de contrôle 59

3.3 Les f3s calculés pour le modèle de base . . 61

3.4 relativités calculées pour le modèle de base 62

3.5 Les j3s estimés pour le modèle de contrôle 66

3.6 Description du profil de l'assuré de base pour les deux modèles 66

3.7 Calcul de la prime de base de l'ass uré avec le profil de base pour
chaque modèle . . . . . . . . . . 68

3.8 Comparaison des j3 des modèles 69

3.9 relativités calculées pour le modèle de contrôle 71

4.1 Les coeffi cients de variation globaux des deux modèles . 78

4.2 Les coeffi cients de variation globaux des modèles . . . . 80

4.3 Les coeffi cients de variation globaux des modèles , sans le modèle
de classification a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4 Les coeffi cients de variation globaux des modèles avec et sans la
segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
 V ll

4.5 Les coeffi cients de variation du modèle de base par année . . 83

4.6 Les coeffi cients de variation du modèle de contrôle par année 84

4.7 Comparaison entre le NRMS des deux modèles . . . 86

4.8 Comparaison entre les RMS des nos modèles et les RMS calculés
par (Lemaire, 1995) .. 88

4.9 Sommaire de primes et sinistres avec le ratio sinistre / prime par

modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.10 Sommaire de la comp étition entre les deux modèles/ compagnies 93

4. 11 évaluation du déplacement des assurés 95

4. 12 évaluation relative du mou vement des assurés corrigé 95

4. 13 Distribution des assurés selon la valeur de la prime et par modèle

pour l'année 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.14 Distribution des sinistres selon la prime et le modèle pour la pre-

mière année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.15 Distribution de primes par bande de prime et par modèle pour la

première année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.16 Distribution des assurés par bande prime et par modèle pour l'an-
née 1 pour ceux qui ont changé d 'un modèle à l'autre . . . . . . . . 101

4. 17 Distribution des sinistres par bande de prime et par modèle pour

l'année 1 pour les assurés qui ont décidé de changer de compagnie. 102

4.18 Distribution des primes par bande de prime et par modèle pour
l'année 1 pour les assurés qui ont décidé de changer un modèle par
l'autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4. 19 Distribution des assurés par bande de prime et par modèle pour

l'année 1 pour les assurés qui ont décidé de rester dans la même
compagme. 104

4.20 Distribution des sinistres par bande de prime et par modèle pour
l'année 1 pour les assurés qui ont décidé de rester dans la même
compagme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
 V lll

4.21 Somme des primes selon la tranche de prime et le modèle pour

l'année 1 pour les assurés qui ont resté dans le même modèle. . . 105

4.22 La prime et le sinistres (somme et moyenne) par bande de prime 107

 LISTE DES FIG URES

Figure P age

1.1 Distribu t ion de l'âge des assurés 0 12

1. 2 Distribution de l'âge des véhicules 13

1.3 Distribution de la possession d 'une maison 14

1.4 Distribut ion du nombre de conducteurs dans la police d 'assurances 15

1.5 Distribu tion du statut mat rimonial des assurés 0 16

1. 6 Distribution d 'infractions mineures au dossier 17

1.7 Distribut ion du NAP dans portefeuille 0 0 0 0 18

301 Parcours de l'assuré numéro 1 selon son historique de sinistres et

la structure du modèle de base 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 58

302 Parcours de l'assuré numéro 1 dans le modèle de contrôle 59

303 Matrice de t ransit ion du modèle de base 0 0 0 0 0 0 0 0 0 63

304 Niveau d 'entrée estimé d es assurés pour le modèle de base 64

305 Graphique comparant les relativités des deux modèles 72

30 6 Matrice de transit ion du modèle de contrôle 0 0 0 73

307 Niveau d 'entrée estimé pour le modèle de cont rôle 74

308 Comparaison du niveau d 'ent rée estimé pour les deux modèles 74

40 1 Comparaison entre les coeffi cients de variation des deux modèles 84

402 L'équilibre actuariel du marché 109

 RÉS MÉ

La tarification d 'assurance Incendie, Accidents et Risqu es Divers (l ARD) est une

importante tâche des actuaires depuis très longtemps. Le calcul a touj ours été
divisée entre « a priori » et « a posteriori ». Récemment, les act uaires essayent
différentes façons d 'utiliser ces approches ensemble. Boucher et Inoussa (2014)
ont proposé une façon de les combiner grâce à un nouveau modèle qui estime
tous les paramètres en même temps en utilisant les données d 'un assureur de
la province de l'Ontario pour l'illustrer. En conséquence, leur modèle a dû être
modifié afin d'inclure une contrainte légale de cette région. Ce mémoire a pour
objectif, parmi d 'aut res , d 'analyser et d 'évaluer l'effi cacité de leur modèle. Pour ce
faire, nous avons passé en revue les fondements et nous avons utilisé la même base
de données qu 'ils ont utilisée. La reproduction du modèle a été mise en place avec
tous les détails de chaque composante du calcul. Ensuite, un modèle de contrôle
a été fait pour comprendre en détail la perte de l'effi cience à cause d 'une telle
imp osition légale. ous avons ut ilisé des outils d 'évaluation proposés par Lemaire
(1995) pour comparer le modèle principal avec d 'aut res modèles déjà connus. De
plus, nous avons utilisé un nouvel outil pour vérifier la différence de comportement
ent re les modèles dans un environnement de compétition de marché. Les résultats
obtenus vont clans la direction attendue depuis le début de cette recherche : la
nouvelle méthode est plus effi cace que les modèles traditionnels et l'inclusion de
la contrainte légale dans le modèle principal a rédui t sa performance.

Mot clés Tarification « a priori », tarification « a posteriori », assurance lARD ,

assurance auto , données t ransversalles, données horizontales , données de panel,
modèles linéaires généralisés, système de bonus-malus, Poisson, crédibilité, com-
pétition, assurances , act uariat.
 INTRODUCTIO

La tarification en assurance Incendie, Accidents et Risques Divers (l ARD) est

une des plus importantes tâches dans le t ravail d 'un actuaire, et ce, depuis très
longtemps. Deux méthodes ont touj ours été en conflit afin de devenir la principale
méthode de tarification en assurance : la tarification « a priori » et la tarification
« a posteriori ». Dans la première, l'act uaire utilise les caractéristiques du risque
de l'assuré afin d 'établir une prime d 'assurance, tandis que dans la deuxième, la
tarification « a posteriori », l'actuaire utilise l'expérience des réclamations passées
de l'assuré afin de fixer la prime d 'assurance . Avec l'évolution des deux types
de tarification, de nouveaux modèles de tarification sont apparus. D'ailleurs, des
structures qui mélangent les deux méthodes deviennent de plus en plus courantes.

Le modèle proposé par (Boucher et Inoussa, 2014) marque une évolution des
modèles courants dans le domaine de l'actuariat . Les auteurs proposent d 'ut iliser
une combinaison des deux méthodes : l'incorporation d 'un modèle « a posteriori »,
par exemple un système Bonus- Malus (noté SB M), dans un modèle de tarification
par classification « a priori », par exemple en utilisant un GLM - « Generalized
Linear Mod els », afin de réduire l'hétérogénéité résiduelle à l'intérieur de chaque
classe. Dans leur proposit ion, les paramètres des deux part ies sont touj ours estimés
ensemble, c'est-à-dire qu 'ils ne sont pas faits un à la fois. L'élément clé de cette
méthode est l'utilisation des données de panel au lieu des données t ransversales .

En pratique, ainsi que dans une b onne part ie de la littérature actuelle, la modéli-
sation de ce type de structure de tarification est différente de ce qui a été proposé
par les auteurs, soit l'estimation simultanée des paramètres des modèles « a priori
 2

» et « a poster-ior-i ». La plupart des assureurs font cette modélisation en deux

étapes . En premier lieu, ils estiment les paramètres de la classification « a pr-ior-i »
et ils choisissent le meilleur modèle selon la base de données disponible. En second
lieu, en utilisant le modèle de tarification « a poster·ior-i », ils complètent le modèle
par classification « a pr-ior-i » en estimant leurs paramètres. En tentant de corriger
la structure qui combine les deux modèles dans une seule, ils incluent un facte ur
d 'ajustement pour équilibrer l'équation de base de la tarification act uarielle, dans
laquelle la somme des primes doit être égale à la somme des sinistres. Le résultat
de cette approche n'est pas touj ours le modèle le plus optimal, car l'ajustement
est généralement faite avec l'estimation de la structure « a pr-ior-i », qui considère
la section « a poster-ior-i » comme un ajustement et qui ne la considère pas comme
une vraie composante du modèle.

Ainsi, ce mémoire a trois objectifs principaux :

1. Reproduire le modèle présenté par (Boucher et Inoussa, 2014) dans leur

article : « A Poster-ior-i Ratemaking With Panel Data » ;

2. Évaluer l'efficacité du modèle de (Boucher et Inoussa, 2014) selon des critères

sélectionnés. Nous proposons de le comparer à un modèle de contrôle pour
pouvoir quantifier les résultats des analyses. Ces analyses sont faites à l'aide
des outils act uariels et statistiques d 'évaluation des SBMs;

3. Évaluer la contrainte légale incluse dans le modèle de (Boucher et Inoussa,

2014). Cette contrainte fait référence aux types de sinistres responsables et
non responsables et elle est imposée par une loi de la province de l'Ontario.
Elle protège les assurés ayant un sinistre non responsable d 'avoir leurs primes
augmentées par la compagnie d 'assurance . Cette restriction a le potentiel
d 'influencer l'effi cacité du modèle, et nous proposons un nouveau moyen
d 'évaluer cette contrainte.
 3

Pour atteindre nos objectifs, nous passerons en revue les notions qui constituent
la base du modèle dans les chapitres 1 et 2. Dans le chapitre 3, nous analyserons
plus en détails l'article de (Boucher et Inoussa, 2014). Plus précisement, nous
examinerons le modèle proposé ainsi que les résultats obtenus suite à l'application
de ce modèle sur la base de données utilisée. Nous mènerons notre étude avec le
modèle de contrôle. ous estimons tous ses paramètres et sa structure optimale.
Ainsi, le chapitre 3 peut être vu comme la réplication du modèle de (Boucher et
Inoussa, 2014) , avec tous les détails que nous avons utilisé pour y contruire.

Dans le chapitre 4, nous appliquerons les outils actuariels et statistiques afin d 'éva-
luer l'effi cacité des deux modèles étudiés. Pour mieux comprendre comment l'ajout
de la contrainte légale affecte l'effi cacité du modèle de (Boucher et Inoussa, 2014) ,
nous introduisons un modèle de compétition afin d 'observer le comportement des
modèles quand ces deux cherchent à attirer les assurés à leur portefeuille. Ce
chapitre 4 réprésent notre contribution académique par rapport au article étudié.
 CHAPITRE I

LES FO DEMENTS DE LA TARIFICATIO ET LA BASE DE DOl NÉES

Dans ce chapitre, nous examinons tous les fondements de la tarification classique

en assurance lARD. Les deux principaux éléments sont la prime pure et la seg-
mentation. La prime pure repré ente l'espérance des sinistres , c'est-à-dire le coût
moyen de réclamation, tandis que la segmentation représente la personnalisation
de cette prime selon les caractéristiques reliées aux risques assurés. De plus , nous
explorons la base de données utilisée en analysant toutes les variables présentes
dans ce travail.

1.1 La prime pure

De nos jours, une des plus importantes tâches de l'act uaire est de bien tarifier le
risque que les compagnies d 'ass urance assument . En pas ant des plus simples aux
plus complexes, diverses techniques ont été développées afin de mieux estimer ces
risques. Le sinistre est défini par :

(1.1)
 5

Si nous supposons que N et R sont indépendantes et que les Ri sont des variables
aléatoires i.i.d. 1 , nous pouvons déterminer l'espérance du sinistre comme :
N
E [S] = E[I: Ri], (1.2)
i= l

E[S] = E [N]E[R]. (1.3)

Cette équation est connue comme l'équ ation de la prime pure et elle est la base
de la t héorie du risque 2 . Celle-ci s'exprime comme sui t :

Prime Pure = E[S] = E[JV]E[R], (1.4)

dans laquelle :
- E [S] est l'espérance des sinistres ,
- E[JV] est l'espérance du nombre de sinistres (fréquence) , et
- E[R] est l'espérance du coût d 'un sinistre (sévérité).
Dans la modélisation tradit ionnelle, nous pouvons choisir de modéliser la prime
pure (E[S]) ou chacune de ses composantes, soit E [JV] et soit E[R], pour ensuite les
combiner. Le modèle présenté assure la complète solidarité entre tous les ass urés
du portefeuille car il n 'y a pas de différence entre les primes payées par chacun
des ass urés. La solidarité pure est adéquate lorsque nous sommes en présence d 'un
groupe ayant des caractéristiques fortement homogènes ou d ans les ass urances
sociales.

Pour une compagnie d 'assurances, il n 'est pas avantageux d 'aj outer une totale so-
lidarité dans les modèles de tarification. L'assureur doit plutôt charger une prime
adéquate à chacun des assurés en fon ction du risque qu 'il représente. Étant donné

1. Indépendantes et ident iquement distribuées.

2. Voir (Klugman et al., 2008 ) ou (Newton L. Bowers et al., 1997) pour plus de détails.
 6

qu 'il n 'existe pas de modèle qui capte parfaitement les caractéristiques du risque
avec une quantité raisonnable de variables , l'ass ureur t ravaille avec des estima-
tions. Ainsi, nous ne pouvons pas éliminer complètement les différences entre la
prime calculée et les sinistres survenus. Comme nous segmentons notre por te-
feuille, dans l'esprit de créer des classes d'assurés les plus homogènes possible,
nous réduisons la crédibilité de to utes nos estimations car nous utilisons moins
de données pour chaque tranche de segmentation. Il faut décider quel serait le
niveau de crédibilité et de segmentation que nous voulons inclure dans nos cal-
culs. Concernant ce niveau , il existe une balance ent re la précision du modèle et
sa crédibili té . Beaucoup de jugement de l'analyste est nécessaire pour mettre en
place une structure de tarification d 'a surance qui soit raisonnable.

1. 2 La segmentation

L'équation suivante exprime de manière plus appropriée comment nous incluons

la segmentation dans la prime pure :

Prime PureiX = E[SI X] (1. 5)

E [SI X ] = E [NI X] E [RIX] (1. 6)

Le vecteur des caractéristiques X = (x 1 , . . . , xp) nous aide à segmenter le porte-

feuille par rapp ort à certaines caractérist iques du risque. Toutefois, nous n 'u ti-
lisons pas toutes les variables pour segmenter, sinon nous instaurerions un sur-
ajustement du modèle, ce qui n 'est pas préférable. Donc, malgré la segmentation
du portefeuille, il y a encore de l'hétérogénéité à l'intérieur des classes d 'assurés.
Certaines techniques ont été développées pour corriger cet effet résiduel.

La mut ualisation et la solidarité sont des fondemen ts de la tarification en actuariat .

Visant à réparer les conséquences du hasard , la mut ualisation fait le transfert des
primes ent re les assurés. Chaque police d 'assurances qui compose le portefeuille
 7

possède des caractéristiques différentes comp ortant certains risques. Afin d 'évi-
ter le déséquilibre ent re le montant que chaque assuré paye en prime et le risque
que chacun représente pour la compagnie, un ajustement doit être fait. En consé-
quence, il faut ajuster la prime selon les caractéristiques de chaque ass uré et le
risque qui l'accompagne.

La mut ualisation et la solidarité sont touj ours présentes entre les assurés même
dans un univers segmenté. Les act uaires sont capables de prévoir avec une certaine
précision la quantité et la valeur des pertes, mais ils ne sont pas capables de dire
quels individus subiront des sinistres . Malgré la segmentation, la mut ualisation et
la solidarité j ouent un rôle fondamental.

Afin d 'illustrer ceci, voici un exemple. No us avons un por tefeuille composé de

quat re ass urés i = 1, 2, 3, 4, et nous prévoyons E[S] = 1000 $CA. Supposons que
nous avons deux ass ureurs : l'assureur A ne tarifie pas par segmentation, il est dans
un environnement complètement mut ualiste et solidaire. La prime d'assurance
que l'assureur A va charger à chacun de ses quat re assurés est de Pi = ElSJ =
1000
4
$CA = 250 $CA. L'assureur B applique, dans son système de tarification, une
technique de segmentation . Ainsi, il charge à chacun de ses quatre assurés les
primes P 1 = 100 $CA, P 2 = 50 $CA, P3 = 500 $CA et P4 = 350 $CA (avec un
total de 1000 $CA).

Nous supp osons qu 'un potent iel assuré fait son choix uniquement en se basant sur
la valeur de la prime d 'assurance. Regardons les conséquences de la segmentation
pour chacun des assureurs A et B. L'assureur A attire vers son portefeuille les
assurés 3 et 4, tandis que 1 et 2 vont auprès de B. Ce dernier a fait le calcul suivant :
Pl = E[Si]· L'assureur A collecte 500 $CA en prime, alors qu 'il débourse 850 $CA
en sinistre. Il est évident qu 'il fait du déficit. De l'aut re côté, l'assureur B recueille
150 $CA en primes et déb ourse les mêmes 150 $CA en sinistres. Contrairement
 8

3
à l'assureur A, sa sit uation n 'est pas déficitaire. Le sommaire de ce mouvement
est disponible dans le Tableau 1.1.

Tableau 1.1 Distribu tion des primes ent re les assureurs et le choix de compagnie
par l'assuré

Assuré (i) Prime assureur A Prime assureur B Choix de l'assuré Déficit

1 250 $CA 100 $CA B O $CA
2 250 $CA 50 $CA B 0 $CA
3 250 $CA 500 $CA A 250 $CA
4 250 $CA 350 $CA A 100 $CA

Comme nous le remarquons, la segmentation est un élément important pour faire

face à la compétition et pour évite r l'ant isélection. Lorsque nous segmentons, la
prime d 'assurances devient plus personnalisée parce qu 'elle différencie les assurés .
La non segmentation , ou la mauvaise segmentation , et la comp étition causent l'an-
tisélection , car les personnes à risque élevé vont s'assurer auprès des compagnies
dans lesquelles l'écart ent re la prime chargée et le risque apporté est le plus grand.
La segmentation de la prime ajuste mieux le niveau de risque acquis par l'assu-
reur . Si deux a sureurs sont en compétition, la segmentation devient un facteur
de distinction du point de vue du consommateur . La compagnie qui adapte ses
primes par rappor t aux risques évite l'ant isélection.

1. 3 La base de données

Nous présenton dans cette section la base de données utilisée pour la tarification
actuarielle de ce t ravail. ous nous concent rons sur l'exploration des variables
de cette base pour avoir une meilleure vision de la composition de ces éléments .
Chaque observation dans la base de données représente l'information annuelle

3. Toutefois, il pourrait souffrir des effets négatifs de la failli te de l'assureur A.

 9

d 'une police d 'assurances liée à un assuré. Chaque police peut avoir jusqu'à six
ans d 'informations.

Dans les textes actuariels, on suppose que les polices d 'assurance sur plusieurs an-
nées d 'un même ass uré sont indépendantes. Nous elisons que la base de données est
en coupe transversale. Lorsque nous supposons une dépendance entre les contrats
d 'un même assuré, nous parlons de données de panel. Cette approche est utilisée
dans ce travail et cela a été un des éléments clés du modèle présenté par (Boucher
et Inoussa, 2014) dans leur article. Heureusement , la base de données que nous
possédons est la même que celle que (Boucher et Inoussa, 2014) ont utilisée. Cela
nous permet d'avoir plus de certitude quant à la reproduction de leurs résultats.

La base de données est composée de 167 859 observations réparties sur six ans d 'ex-
position. Nous y retrouvons 57 037 ass urés ayant des informations individuelles
pour chacune des années. Ces informations s'appelent les « caractéristiques du
risque ». Elles se regroupent en 11 variables binaires (le vecteur pour l'assuré i au
temps t Xi,j ,t = (x i) ,t, xi, 2 ,t, ... , xi,n ,t)) faisant référence à six caractéristiques du
risque, à savoir l'âge de l'assuré, l'âge du véhicule, la possession d 'une maison, le
nombre de conducteurs, le statut mat rimonial et les infractions mineures de l'as-
suré. Le Tableau 1.2 présente une descript ion détaillée de chac une des variables.

Cette base de données provient d 'une compagnie d 'ass urances canadienne et les
informations couvrent de la province de l'Ontario. En général, les bases de données
développées par des compagnies d 'assurances ont des centaines de variables. C'est
pourquoi une présélection est touj ours accomplie afin de garder les variables les
plus significatives statistiquement . Bien que cela soit intéressant , nous ne nous
occupons pas de la sélection de variables dans cette recherche. En conséquence,
nous supposons que ces variables binaires sont statistiquement significatives et
 10

Tableau 1.2 Sommaire des variables

Variable Valeur D escription

Xl = 1 = l'assuré est âgé ent re 16 et 25 ans.

X2= 1 = l'assuré est âgé entre 26 et 60 ans.

x3= 1 = le véhicule est neuf.
X4 = 1 = construction du véhicule : ent re 1 et 3 ans.
Xs - 1 - construction du véhicule : ent re 4 et 5 ans.
X6 = 1 = l'assuré a une maison.
X7 = 1 = il existe un seul conducteur .
Xs = 1 = il existe deux conducteurs.
Xg = 1 = l'assuré est célibataire.

x lO = 1 = l'assuré est divorcé.

Xu = 1 = il n'a pas reçu d 'infractions mineures.

que la présélection est déjà accomplie 4 .

La base de données présente une cont rainte : il n'y a pas de nouveaux arrivants
dans la matrice, c'est-à-dire qu 'il n 'existe pas d 'ass urés qui intègrent le portefeuille.
Par cont re, la sort ie des assurés est possible. Pour cette raison, nous avons une
réduction considérable d'ass urés et d 'exp osition durant la période d 'observation.
Nous disons alors que la base de données est dans un environnement semi-fermé
dans lequel l'entrée des ass urés n 'est pas possible mais leur départ l'est.

Étant donné que le nombre de polices d'assurances varie annuellement , nous avons

4. Il est imp ortant de noter que le but de ce travail n 'est pas d 'analyser quelles variables
sont les plus significatives dans un modèle quelconque, comme un GLM, mais plutôt d 'utiliser la
même base de données que (Boucher et Inoussa, 2014) ont utilisé afin d 'est imer les paramètres
des modèles que nous étudions dans ce travail.
 11

travaillé avec des informations relatives , ce qui est approprié lorsque nous tra-
vaillons avec des données dynamiques dans le temps. Nous présentons dans le
Tableau 1.3 le nombre de polices actives ainsi que l'exposition annuelle.

Tableau 1.3 Distribution du nombre de polices d 'assurances et de l'exposition

des assurés

Temps Année de début Comptage Exposition

de la couverture
1 2003 57 037 46 886
2 2004 42 627 38 655
3 2005 31 075 27 789
4 2006 22 055 19 396
5 2007 14 926 7 308
6 2008 139 67

Analysons brièvement les variables afin de mieux les comprendre avant de les uti-
liser dans un modèle. Pour chacun des assurés, le vecteur avec les caractéristiques
varie d'une année à l'autre. Alors, nous sommes intéressés à la distribution de
chaque caractéristique et à son impact sur les paramètres du modèle au fil des
années. Notons que l'année 2008 est une année d'exposition résiduelle de l'an-
née 2007. Par le fait même, elle n'est pas crédible et elle peut avoir beaucoup de
variabilité.

Tous les graphiques suivants présentent la distribution des caractéristiques du

risque. Nous commençons par la distribution de l'âge des assurés dans le graphique
1.1 , ce qui comprend les variables binaires x 0 , x 1 et x 2 .

Nous avons observé deux tendances par rapport au changement de l'âge des as-
surés dans le graphique 1.1. La première tendance est relative à la réduction de
 12

Figure 1. 1 Distribution de l'âge des assurés

100.0%
9.8"/o 12.0% 14.5% 17.5%
~0.0'.0
21.5% 23 .0%

80.ol~

iOJJ%

= 60.0%
·::0 6Jms .,.pl!u
:1
.D ;o.O>~
•t: 83 . 00;~ Oe lll i.60 i!lli
83 .1%
.E 81.9%
SO.:% De 16 i.l ; am
0 40.0"~ 7 6 . 9~..~
~6.3%

JO Ji%

20.0!~

1 0.~

ï.2% 4.9% l .6%

O.O>ô 2.4% L6% O.";;;o
2003 101)1 20o; 2005 200i 2Dœ
A.n

deux groupes d 'assurés : les jeunes et le bloc intermédiaire. La deuxième est l'aug-
mentation de la classe des assurés plus âgés.

En général, les jeunes assurés magasinent leurs assurances en fonction de la prime

payée. Ils cherchent le prix le plus abordable, ce qui crée une propension à sort ir du
portefeuille d 'assurances. Les assurés plus âgés n 'ont pas nécessairement ce critère
de sélection. Il existe une seule façon de changer de la classe moyenne vers la classe
âgée, qui est à travers le vieillissement naturel des assurés et la reclassification de
groupe d'âge.

La variable « âge du véhicule » est illustrée dans le graphique 1.2. Elle possède
une importante caract éristique : la valeur peut changer librement de catégorie
puisqu'elle n'est pas liée aux caractéristiques intrinsèques de l'assuré. Elle varie
selon le désir de l'assuré, car nous observons souvent un changement de véhicule
 13

Figure 1.2 Distribut ion de l'âge des véhicules

100.0%

90.0%

80.0% 42.5% 41.5% 44.2% 44.6%

48.8% 51JJ%
0.0%

o:; 60 .0'~
0 6..,.oupb•
·c
!:1
.,..
-'l 50.0% 7.7%, 19.4%
De4 ! S am
Cl 1 9.~% 19.4% De 1 a3 iUl5
.::~
Cl 40.0%
18.9% :Veo.Jf
20.8%

30.0% 191% 1 9.8~'

23.6% 19.4%
20.0% 21.5% 16.3%

10.0,. 2 0 .6~b 1 9 . 2c;.~ 16.5~i

13 .0% 10.9% 11.9%
o .o~•
20Ql 2001 20(15 2006 2007 2.008
An

chez les assurés. Ce phénomène est d'ailleurs bien illustré dans le graphique 1.2.
Sous toute réserve, nous remarquons une tendance du vieillissement des véhicules.
De toute façon , ces changements ne sont pas majeurs.

Le graphique 1.3 dévoile un changement majeur dans la caractéristique relative au

fait d'être propriétaire. Nous remarquons une tendance à la baisse pour cette ca-
ractéristique. En ce moment , il n 'est pas possible de tirer des conclusions logiques
sur cette baisse importante. D'habitude, la tendance attendue serait le contraire
puisque les probabilités de devenir propriétaire d'une maison augmente avec l'âge
des individus. En plus, comme l'âge des véhicules, cette variable change librement
de valeur car elle n 'est pas directement liée aux caractéristiques de l'assuré. Tou-
tefois, nous croyons que ce fait est relié aux assurés qui quittent la compagnie
parce qu 'un propriétaire devenant un locataire est moins probable.
 14

Figure 1.3 Distribution de la possession d'une maison

~~

90%

80%

70% 57%
69%
=
0
·o
60~· 78%
81% 84%
::>
89%
.,...
.Q
50% Nec
0 Oœ
~ 40%

30~ii

20% ~ 3%

3 1 °{~

10% 22~ê
19% 1 6~ .
11%
0%
2003 2001 1005 2006 2007 10CG
An

Le graphique 1.4 présente la distribution du nombre de conducteurs d'une police

d'assurance. Il y a un changement pour les trois catégories possibles du nombre
de conducteurs. Nous observons une réduction de presque la moitié de polices
d'assurance ayant un conducteur, soit de 62% à 37%, et une augmentation de
presque 50% du nombre de polices ayant deux conducteurs, soit de 31% à 47%.
Le nombre de polices ayant trois conducteurs ou plus a presque triplé, en passant
de 6% à 16%. Ces changements peuvent s'expliquer par l'ajout du conjoint ou de
la conjointe et/ ou de l'enfant au dossier de la police d'assurances.

La distribution du statut matrimonial des assurés est présentée dans le graphique

1.5. Il n'y a que trois variations possibles :de célibataire à marié, de marié à divorcé
et de divorcé à marié. Ainsi, nous voyons une tendance à la hausse du nombre
d'assurés mariés, soit de 69% à 78%. Le nombre de personnes divorcées est stable
 15

Figure 1.4 Distribution du nombre de conducteurs dans la police d'assurances

IOO.OO'ib
6.38% 8.08% 9.66% 10.95% 11.58%
90.00% 15.83%

SO.OO%
31.-li':o
34.3 9° o
36.22%
0.00'1. 3U 5' '. 19.72%

= OO.OO'ib
0
4 i.4S%
'0 T rai s ..:~ u plus
:>
·c... so.001•
.tl
D=
-~ Un
p 40.00%

30.00'1> 62.15%
57.54% 54.12% 50.90% 48.69%
2.0.00'1(,
36.69%

10.00',0

0.00%
20<E 10{)1 2005 1006 20(J7 200!
An

et le nombre d'assurés célibataires évolue en proportion inverse à l'augmentation

du nombre de mariés, soit en passant de 25% à 16%.

Le graphique 1.6 présente la distribution des assurés ayant un dossier comportant

des infractions mineures. Cette variable est liée directement à la personne assurée
et les possibilités de changement sont binaires. Comme il n'existe pas de possi-
bilité d'avoir de nouveaux arrivants, nous nous attendons à une croissance dans
le nombre d 'assurés ayant ce type de dossier. Par cont re, la sortie des assurés du
portefeuille est possible. Le chiffre de 11% en 2003 décroit à 1% en 2008. Cela
illustre la tendance des assurés ayant ce type de dossier à quit ter la compagnie.

Il existe diverses raisons pour lesquelles ces assurés décident de quitter la compa-
gnie. Toutefois, l'explication la plus probable est la surcharge ou la pénalit é sur
la prime d'assurances payée , ce qui peut les inciter à quitter le portefeuille pour
 16

Figure 1.5 Distribution du statut matrimonial des assurés

IOQOO%

90.00%

80.00%

70.00%
68.90% 7Ll 5% 72.98% 4.78% 75.26% 78.42%
·c=
60.00%
0
M Mle
:1
.,..
,l) 50.00% Dtw.·orce
d
Cêllb11tatre
i5 40.00%

30.00%
6.1 5° ~
5.&9% 5.7s:,o 5 . ~0~ 5.66%
20.00% 5 ::'6~-o

24.9.5% 22.96% 21.24%

10.00% 19.68% 19.08% 15.83%
0.00%
lOOl 201); 201); 20C6 2007 2000
An

trouver des prix plus abordables chez les compétiteurs.

Une autre variable fondamentale dans ce travail est le nombre d'années depuis
l'obtention du permis de conduire ( AP). Cette dernière est utilisée comme va-
riable clé pour évaluer le niveau d'entrée de chaque assuré dans les modèles.

Dans le graphique 1.7, nous constatons qu'il existe une concentration d 'environ
80% des assurés ayant entre 6 et 38 ans d'expérience de conduite. Le plus grand
NAP observé est de 74 ans. Pour la modélisation , nous avons un seuil au NAP = 6.
Plus précisément, au Canada, il est possible de consulter un historique de sinistre
pour les six dernières années. 11,6% des assurés ont 6 ans ou moins d'expérience
depuis l'obtention du permis de conduire et 88,4% ont 7 ans ou plus.
17
 18

Figure 1. 7 Distribution du NAP dans portefeuille

2,000

1,800

1,6()()

1,400

"' 1,200
1>1)

"'
~ 1,000
0
u
800

400

200

0
' · ~ ~0 , ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ 0~~ ~~ ~~~
!\ombre d'années de permis (N..IJ')
 CHAPITRE II

LA TARIFICATIO N AVEC LES DO NÉES TRANSVERS ALES

Dans ce chapit re nous présentons la base t echnique et les modèles qui font partie
du modèle principal, appelé modèle de base , et du modèle de cont rôle utilisés dans
ce t ravail. Cet te base technique est composée des modèles linéaires généralisés, de
la famille exponentielle linéaire et des systèmes de bonus-malus.

2.1 Les modèles linéaires généralisés

Les modèles linéaires généralisés, aussi appelés « Gen eralized Linear M odels »
(GLM), sont le résul tat d'un t ravail de généralisation de la t héorie des modèles
linéaires. Les GLMs ont été présentés pour la première fois dans les t ravaux de
( eider et Wedderburn , 1972) . Suite à leur appari tion et dû à l'augmentation
rapide de la puissance compu tationnelle, beaucoup de progrès ont été observés
dans divers champs d'études. L'actuariat en est un bon exemple.

En act uariat , les GL Ms sont utilisés pour résoudre les questions liées à la tarifica-
tion en ass urances, à l'évaluation des portefeuilles, à l'analyse du comp ortement
des ass urés et à l'évaluation des réserves. Nous les utilisons souvent pour estimer
la fréquence, la sévéri té et la prime pure. Pour chacun de ces éléments , certaines
spécificités du GLM sont ut ilisées.

En tarification , les GLMs permettent de répondre à certaines questions, par exemple,

 20

est-ce que le nombre de sinistres par année d 'un ass uré est relié à l'âge? Au sexe?
Au type de voiture ou à l'emplacement du stationnement? Ainsi, les GLMs font
la liaison entre les variables explicatives , ce que nous appelons les caractéristiques
du risque, et le nombre de sinistres par année d 'un ass uré, ce qui correspond à
ce que nous appelons variable réponse, à travers un modèle quelconque. 1 ous
les utilisons afin de différencier les assurés dans un modèle de classification « a
priori» . Toutefois , il faut se rappeler que même si les GLMs sont des modèles
performants, le jugement de l'analyste est primordial afin d 'évaluer les limites de
1'interprétation.

2 .1.1 Les modèles linéaires

Selon la théorie des modèles linéaires , le vecteur réponse des variables aléatoires
Y= (Y1 , Y2 , ... , Yn) "' N est lié aux variables explicatives de la façon suivante :

Y = X T{3 + E, (2.1)

où X est la mat rice des variables explicatives. Pour un assuré i, nous supposons
que Yi "' N(p,i, Œ 2 ) sont indépendants et identiquement distribués. {3 sont le
paramètres du modèle à estimer et le terme d 'erreur E est gaus ien. De plus ,
E[Yi] = I-Li = X[ {3 .

La dépendance linéaire entre la variable réponse, les variables explicatives, in-

cluant leurs paramètres , et la structure additive du terme d 'erreur sont des élé-
ments fondamentaux de la théorie des modèles linéaires classiques. L'estimation
2
des paramètres {3 et Œ peut se faire par maximum de vraisemblance ou de log-
vraisemblance :

(2 .2)

(2.3)
 21

Comme les présente (Boland , 2007) , les prédicteurs linéaires nous permett ent de
lier les variables explicatives aux variables réponses :

fh = ~1 Xi1 + ... + ~pXip = f}i (2.4)

et le résidu généré par ce prédicteur est

(2 .5)

Selon (Boland , 2007) , le désavantage de la t héorie linéaire est que i}i E ( -oo, + oo) ,
ce qui permet d 'avoir des valeurs négatives et positives sans aucune limite supé-
rieure ou inférieure. Pour bien modéliser les variables d 'intérêt en ass urances , il
faut avoir plus d 'options comme variables réponses. C'est ainsi que les GLMs sont
préférables aux modèles linéaires. En effet, le modèle linéaire classique est un cas
particulier de GLMs 1 .

2.1.2 La théorie des GLMs

La t héorie des GLMs dispose d 'outils très importants pour l'actuariat . L'essence
de la généralisation d 'un modèle linéaire est fait e à travers une fon ction g qui
décrit la relation entre la moyenne f.1 de la variable aléatoire Y et la combinaison
linéaire des variables explicatives /3 0 + x 1 /3 1 + · · · + xp/3p- Dans cette théorie, nous
faisons une liaison entre la moyenne f.1·i et les observations Yi comme sui t :
p

g( E (Yi)) = g(f.li ) = L /3jXij . (2 .6)

j =O

La structure de la moyènne n 'est plus uniquement linéaire car celle-ci est une
combinaison linéaire additive des variables explicatives à l'intérieur d 'une fon c-
tion. Grâce à cette distinction , les GLMs deviennent un outil très puissant. Selon

1. Pour plus de détails sur la théorie linéaire classique, voir (Fox , 2008) .
 22

(DeJong et Heller, 2008) , la différence la plus marquante entre le modèle linéaire

classique et les GLMs se situe dans la distribu tion de la variable réponse. Dans le
premier cas, la variable réponse suit une distribu tion Normale et la relation entre
la moyenne et les variables explicatives est direct e. Alors que, dans le deuxième
cas, la variable réponse est choisie dans la famille des distribu tions exponentielles
linéaires, et la relation entre la moyenne et les variables explicatives est une fonc-
tion. Cela signifie que la variable réponse peut être hétéroscédastique : la variance
flu ctue avec la moyenne.

Nous pouvons résumer certains att ribu ts des GLMs en trois t raits caractéristiques :
- la relation ent re la moyenne /-Li de la variable aléatoire Yi et les variables expli-
catives xil, . .. , x·ip est faite en fonction de g( p,.i) = (30 + x 1 (31 + · · · + xrf3r,
- la variance dépend de la moyenne : Var(Yi ) = ;!;V( p,i), où cjJ est le paramètre
de dispersion , wi est le poids et V (p,i) est la fonction de la variance qui indique
la relation ent re la moyenne et la variance, et
- la distribu tion de la variable réponse Y peut suivre n 'importe quelle distribu t ion
de la famille exponent ielle.
L'équation caractéristique de cette famille se t raduit de cette façon :

J(y) = c(y , 4J)exp {

y() -
:!,a(B) } , (2.7)

où () est le paramètre canonique et wi représente un poids que nous fi xons à

1. Touj ours en rapp ort à la famille exponentielle, E( Y ) = a' (B) et Var( Y ) =
cjJ a" (B) 2 , où a' et a" sont la première et la deuxième dérivées. Tous pouvons
sélectionner divers types de fonctions g pour mettre en rapp ort la moyenne et
les variables explicatives, mais chaque distribu tion a un lien plus nat urel, app elé

2. Toutes les démonstrations et dérivations des résultats sont présentées dans (DeJ ong et
Helier , 2008).
 23

forme canonique. Le tableau 2.1 présente les principales distribu t ions et leurs
caractéristiques.

Tableau 2.1 Sommaire des paramètres de distributions de la famille exponentielle

Distribu t ion Lien canonique (B) v (J-t ) cP a(B ) E (e)

B(n ,1r) - Binomiale ln ( 2..._
1- TL
) n1r( 1 - 1r) 1 n ln (l + e0 ) n7r
P (J-t) - Poisson ln (J-t) J-t 1 ee J-t
N (J-t , 0' 2) - Normale J-t 1 (J 2 l()2
2 J-t
1
Ç (J-t , v) - Gamma J-t2 l
1/
-ln( -e ) J-t
1-L

Les paramètres (3 sont sélectionnés de façon à maximiser la vraisemblance de la

reproduction de l'échantillon d 'observations y 1 , . .. , Yn · La fonction de probabilité
dépend de () et ifJ . Si tous les Yi sont indépendants , nous avons l'équation sui-
vante comme fon ction conj ointe de probabilité, qui représente la vraisemblance de
l'échantillon (Yl , . . . , Yn) :
n
f (y ;ei, c/J ) = IT f (yi ;ei,ifJ). (2 .8)
i= l

Puisque t ravailler avec une fonction multiplicative est complexe, nous utilisons le
logarit hme de l'équation (2.8) . Les valeurs de e et ifJ sont celles qui maximisent la
fonction de vraisemblance et de logvraisemblance :
n
(2 .9)
i= l

L'estimation par maximum de logvraisemblance possède certaines propriétés. Les

plus imp ortantes sont les suivantes : l'estimate ur ê est non-biaisé , signifiant que
E[ê] = e. De plus, l'estimateur est invariant et convergent , et il possède une
variance minimale parmi les estimateurs sans biais.
 24

2.1. 2. 1 La variable « Offset »

En assurances, il arrive souvent qu'un contrat cesse avant la fin prévue. La vente
de la voiture ou l'annulation unilatérale du contrat en sont des exemples. Alors,
lorsque nous appliquons le modèle GLM , il faut considérer ces éventualités. Il
existe ce que nous app elons une variable « Offset » pour considérer la fin du
contrat avant la date prévue. Elle prend en considération l'exposition au risque
de chaque observation dans la base de données.

Si nous considérons f-l comme la moyenne d 'une variable de comptage y, le nombre

de sinistres par année, nous avons :

g ( ~ ) = x'f3, (2 .10)

où n représente l'exposit ion.

Si nous considéron la fon ction g comme le logarithme, nous avo ns alors :

ln(~) = x'f3
ln f-l = ln n + x' f3
f-l = n exp(x'f3 ), (2 .11)

où ln n est le terme d '« Offset », cette variable peut être vue comme un au tre
régresseur avec f3 = 1.

2.1.2.2 La distribu t ion Poisson

Il faut à présent introduire la distribution Poisson dans les GLMs. Cette distri-
bution est utilisée pour prendre en considération une variable de comptage avec
y"' P (f.-l ) et g(f.-l) = x'f3 . Sa forme canonique est logarithmique :

g(f.-l) = ln f-l = x'f3, (2 .12)

 25

où P, = exp (x' /J) > O. La distribu t ion de P oisson est habit uellement utilisée comme
point de départ par un assureur p our modéliser le nombre de sinistres car il est as-
sez simple de la manipuler et elle possède des propriét és statistiques assez direc tes
d 'interpréter et d 'utiliser.

2.2 La tarification par expérience et le système Bonus- ialus (SBM)

Dans cette section, nous abordons différents aspects de la tarification par expé-
rience et du système de bonus-malus. Nous voyons d 'abord les limites du modèle
de classification « a priori ». Ensuite , nous survolons l'histoire du SBM pour
ensuite définir ses obj ectifs, ses types et son détail.

2.2.1 Les limitations des modèles de classification et l'historique de sinistre

comme prédicteur

Il est problématique de ne considérer que les systèmes de classifications « a priori

», car les classes ne sont pas encore complètement homogènes. Certains facteurs
sont relativement faciles à observer comme l'âge du conducteur , le type de voit ure,
le sexe du conducteur etc. Mais, selon (Boland , 2007) , d 'autres facteurs sont dif-
ficiles à quantifier, comme la connaissance des conditions routières, l'observation
des limites de vitesse , le bon jugement, la conduite sous l'influence de l'alcool ou
de la fatigue et l'agressivité ou le stress au volant.

Selon (Denui t et Charpentier, 2005) , lorsqu 'il y a la présence de facteurs et j ou

des variables non-observables dans le modèle de classification « a priori », il reste
touj ours une hétérogénéité résiduelle à l'intérieur de chacune des classes. Cette
hétérogénéité résiduelle est un des défauts des modèles de classification .

Selon (Denuit et Charpent ier, 2005) et (Boland , 2007) , le nombre de sinistres

réclamés par les assurés auprès de l'assureur est la variable la plus imp ortante
dans la prédiction du nombre de sinistres. Ces a ute urs ont mentionné que diverses
 26

études ont déjà démontré que le nombre de sinistres dans le passé est une va-
riable plus importante que d 'aut res telles que l'âge, le sexe ou l'usage du véhicule.
(Boland , 2007) a affirm é que, s'il fallait utiliser une seule variable pour tarifier,
nous devrions mettre en place un système de tarification par expérience basé sur
le nombre de sinistres observés.

De façon générale, les systèmes de tarification par expérience donnent des pénali-
tés , une augmenta tion de la prime, à la sui te d 'un e réclamation pour un sinistre et
des rabais pour ceux qui n'en font pas. Ainsi, la valeur de la prime d 'assurance est
révisée annuellement par rapport au nombre de sinistres déclarés. Ces systèm es
peuvent être utilisés seuls ou en complément avec d 'aut res systèmes de t arification
par classification , ce qui réduit l'hétérogénéité résiduelle à l'intérieur des classes .

2.2.2 Historique des SB Ms

La tarification par expérience est apparue afin de combler les lacunes de la tari-
fication « a priori ». L'u tilisation de la t arification par expérience n 'est pas une
nouveauté en act uariat. Son apparition est jumelée avec le développ ement de la
Théorie de la Crédibilité , pratiquement au même moment que la formation de la
« Casualty Actuarial S oci ety » (CAS) en 1914.

Les systèmes bonus-malus sont apparus un p eu plus tard , sui te aux demandes
faites par les assureurs aux actuaires de l'époque. Selon (Denui t et Charpent ier ,
2005), les premières études sont apparues en France au début des années 1960.
Fréchet (1959) , Delaporte (1959) et Thépaut (1 95 9) ont été les premiers à présenter
des travaux à ce suj et.

Selon (Denui t et al., 2007) et (Boland , 2007), une des principales raisons d 'adop-
ter les SB Ms , cont rairement à la Théorie de la Crédibili té , est son accessibilité :
le grand public comprend le fonctionnement des SB Ms. De ce t te façon , les dé-
 27

partements commerciaux des assureurs ont été très séduits par l'idée. Il est plus
complexe d 'expliquer le changement d 'une prime d 'ass urance d 'une année à l'autre
en utilisant les équations de la Théorie de la Crédibilité. Même si la partie ma-
thématique d 'un SBM est aussi complexe que la mathématique de la Théorie de
la Crédibilité, l'application des rabais ou surcharges sur la prime devient plus in-
tuitive , car les règles sont définies au préalable. Ainsi , les assurés sont en mesure
de mieux comprendre que les primes d 'assurance varient selon l'expérience des
sinistres d 'une année à l'autre.

2.2.3 L'objectif des SBMs

L'obj ectif principal d 'un SBM , comme celui des autres méthodes et des modèles
de tarification d 'assurance, est de déterminer la prime d 'assurance. Les SBMs
utilisent le nombre de sinistres passés de chaque assuré pour corriger la prime
d 'assurance déterminée par les modèles de tarification « a priori ». En ce sens,
selon (Denuit et Charpentier, 2005) , la fonction d 'un SBM est de répartir le coût
entre les bons et les mauvais conducteurs le plus équitablement possible.

Selon (Denuit et Charpentier, 2005) , les SBMs ont trois buts principaux :

- pénaliser ou récompenser les assurés selon ses niveaux d 'habilité et de respon-

sabilité au volant ;
- ajuster le montant de la prime d'assurance au fil des années pour mieux repré-
senter le risque que chaque assuré apporte au système ; et
- répondre aux demandes commerciales : avoir un processus d 'ajustement annuel
plus simple à comprendre. Lorsque les assurés déclarent des sinistres , ils ver-
ront une augmentation de leurs primes , tandis que ceux qui n 'ont pas fait de
réclamation obtiendront une réduction.

Selon (Denuit et al., 2007), tous ces objectifs devraient être conciliés avec un
 28

équilibre fin ancier du système à long terme . L'introduction ou l'adoption d 'un

SBM d ans un portefeuille déjà existant n'a aucun impact dans le montant de
prime total collecté annuellement par la compagnie d 'assurance. Si une différence
est observée , nous pouvons nous atte ndre à avoir des erreurs dans le processus
d 'inclusion du SBM.

2.2.4 Les types de SBMs

D 'après (Denuit et Charpentier , 2005) , les deux types de SBMs les plus courants
sont le système à classes (SBM traditionnel) et le système « à la fr ançaise », aussi
appelé par (Boland , 2007) « No Claim Discount System (NCD) ». Les principa les
différences entre le N CD et le SBM sont :

1. Dans les NCDs, les ass urés joignent le système en payant une prime élevée.

Au fil des années , ils reçoivent des rabais annuels s'ils ne font pas de récla-
m ation. Dans un SBM , le niveau d 'entrée dans le système est un des niveaux
au milieu de l'échelle. Ainsi , l'assuré paye plus s'il fait des réclamations.

2. Dans le SBM , on retrouve plu de classes que dan le CD.

3. Le SBM fon ctionne sous le format des relativités appliquées à une prime de
base , tandis que le NCD est basé sur la prime maximale, ou complète, s ur
laquelle des rabais prédéfini s sont appliqués.

Si nous détaillons cette dernière différence, nous retrouvons les équations simpli-
fi ées suivantes pour les SBM et pour les NCD.

PlSBJ\1 = rl X
p SBM
entree (2. 13)

Pj N CD = (1 - D j ) X
p SBM
compl et e> (2. 14)

où rl est la relativité du niveau l = {1 , 2, ... , s } elu SBM et Dj est le rabais total

de la classe j = {1 , 2, . .. , k} du NCD.
 29

Selon (Boland , 2007) , le CD est un bon modèle pour l'assurance auto une fois
qu 'il int roduit de façon systémat ique des rabais sur la prime. Ce système récom-
pense les bons conducteurs avec des rabais considérables et décourage les assurés
de réclamer de petits montants , ce qui réduit fort ement les coûts administratifs
des sinistres. Il faut noter, toutefois, que tous ces arguments sont aussi valables
pour les SBMs.

2.2.5 Le SBM en détail

Vu que nous utilisons le SBM et non le CD dans ce t ravail, nous approfondissons

uniquement la partie mathématique des SBMs. En plus, nous utilisons plusieurs
parties d 'un des deux modèles que nous avons sélectionnés comme exemple dans
les explications sur le fon ctionnement d 'un SBM. Ces modèles sont présentés en
détail dans le chapitre suivant.

Commençons avec l'équation suivante :

(2 .1 5)

dans laquelle ~SBM = Pi et Pe~~/!_ = Ài· Le l est le mveau d 'entrée dans le

syst ème, il peut être fixe ou variable dans certaines conditions . r 1 est la relativité
assignée aux assurés selon leur expérience de sinistres de l'année précédente. Le
niveau maximal s peut être fixe, par exemple s = 10, ou il peut être estimé
avec l'ensemble de facteurs et paramètres du modèle. Alors, si nous le considérons
comme fix é d 'avance, nous pouvons choisir l = (1 , 2, . . . , 10). Il est fond amental
qu 'il soit fini 3 . Après , l'assuré voit sa prime d 'assurance corrigée par la relativité
à chaque année selon sa propre expérience de sinistres.

La relativité est une composante clé dans le mécanisme de fonctionnement d 'un

3. Voir (Lemaire, 1995) pour une exception de SBM avec un nombre d 'états non fini s.
 30

SBM. Selon (Denuit et al., 2007) , la difficul té réside dans l'estimation des relati-
vités quand un système de tarification « a priori » est utilisé. De plus, les auteurs
mentionnent que la classification « a priori » et les corrections « a posteriori »
obtiennent des primes plus homogènes. Nous aurons toujours un jeu entre ce que
les systèmes de classification p euvent absorb er et l'hétérogénéité résiduelle que
le SBM peut corriger. Ainsi , en ajoutant plus de variables significatives dans le
système de classification « a priori », plus l'effet est faible du SBM et vice-versa.

Par ailleurs , (Pesonen, 1963) a utilisé la Théorie de la Crédibilité pour définir la

4
distribution aléatoire des paramètres du risque aux SBMs. Selon (Norberg , 1976) ,

après avoir défini le nombre de classes, le niveau d 'entrée et les règles de transition ,
les relativités optim ales peuvent être calculées en minimisant l'écart quadratique
moyen entre l'espérance du sinistre et la prime.

2.3 La structure mathématiqu e d 'un SBM standard

Dans un univers non segmenté où le SBM est le mécanisme principal de la tarifi-

cation , comme dan l'équation (2 .15) , le r 1 sera évalué et calculé. Nous proposons
donc PeS,t1r~~ = Pb~,~~ comme une valeur fixe pour to us les ass urés du portefeuille.
Ainsi, la prime de chaque assuré est déterminée exclusivement à partir de son
expérience de sinistre et des règles de tran ition dans le ystème.

2.3.1 La structure d 'un SBM

Comme les SBMs contiennent des grandes différences entre le nombre de para-
m ètres nécessaires pour trouver le meilleur modèle selon certains types de tests ,
nous allons proposer une structure de modèle très semblable à la structure du
modèle de contrôle présenté dans le chapitre 3. La structure est la suivante :

4. Cette approche est devenue la méthode classique de calcul des relativités par les actuaires .
 31

- 10 niveaux avec l = (1 , 2, . . . , 10) ;

- la structure de déplacement est du type -1 /-X, c'est-à-dire, l'assuré recule

d'un niveau s'il ne déclare pas de sinistre ou il avance de X classes à chaque
réclamation ;
- nous estimons la valeur de X à l'aide des données;
- toutes les probabilités sont basées sur la distribution de Poisson ; et
tous les assurés commencent à un certain niveau que nous estimons aussi à
l'aide des données .

2.3.2 Le parcours des assurés da ns le système

Dans la structure présentée ci-dessus, tous les assurés débutent au niveau l = l * de

l'échelle. Le parcours est modélisé par les variables aléatoires (L 1 , L 2 , ... ) dont les
valeurs varient entre l = (1 , ... , 10) étant donné le niveau occupé Lk par l'assuré
d ans l'intervalle de temps (k , k + 1). Comme l'intervalle de temps est une année ,
l'assuré peut uniquement changer de niveau au temps k + 1. Le changement de
niveau est mis en place dans l'intervalle de temps (k + 1, k + 2) , par rapport au
nombre de sinistres Nk déclarés à la compagnie d 'assurance dans l'intervalle de
temps (k, k + 1). De plus, nous définissons (pour l'exemple) L 0 = l6 .

Alors, la variable L k est definie de la manière suivante :

max[Lk- 1, 0] si Nk = 0
L k+l =
{ min [Lk + Nk x pen , s] si Nk 2': 1

= m ax [min [Lk - (1 - h) + Nk x pen , s], 0], (2.16)

 32

où, dans notre exemple, pen = + 3, s = 10 et

1 si Nk 2: 1
h=
{ 0 sinon .

Le parcours de chaque ass uré dép end uniquement de l'état act uel du nombre de
sinistres déclarés et de la règle de transition du SB M. Ce parcours est indépendant
des niveaux occupés dans le passé. Cette propriété de l'indépendance condition-
nelle fait partie des chaînes de Markov 5 . Les chaînes de Markov sont l'outil de
base pour construire l'échelle d'un SB M. Selon (D enui t et al., 2007) , si le nombre
de sinistres d 'une année à l'autre est indépendant, le parcours de l'assuré da ns
l'échelle du SB M est composé par une chaîne de Markov.

2.3. 3 Les règles de transition

Dans la sit uation illustrée , les règles de transition sont déjà définies: -1 /+ X. Nous
pouvons formaliser la règle de la façon suivante :

_ { 1 si l'assuré passe du niveau i au niveau j

tiJ(Nk) - (2 .17)
0 sinon.

Nous commençons to uj ours de l'état i = j. En format mat riciel nous avons

tu (Nk) t12(Nk) tls(Nk)

t21(Nk) t22(Nk) t2s(Nk)
T (Nk) =

tsl (Nk) t s2 ( Nk) tss (Nk)

Ainsi, T (Nk) est une matrice pour chaque Nk 2: 0 composée par des zéros et d es
uns. Chaque ligne a l'un (1) à l'endroit où il est permis de se déplace r pour chaqu

5. Pour plus d 'information à propos des propriétés des chaînes de Markov , voir (Ross, 2014) .
34
 35

Soit P1 1 12 (>,) la probabilité de se déplacer du niveau l 1 au niveau l2 pour un ass uré

avec une fr équence annuelle de sinistre À.

(2 .18)

avec l1 , l2 E (1 , 2, ... , s), PL 1 L2 (À) 2': 0 pour tous h et l2 et I:; PL L (À)

2 1 2 = 1. La
matrice avec toutes les probabilités est défini e comme :

Pu(>.) P12(>.) Pls(À)

P21(>.) P22(>.) P2s(À)
P(>.) =

Psl (À) Ps2 (>.) Pss (À)

Pour notre illustration de -1/+3, contenant PlJL 2 ( /\ ) rv Poisson(>.) , nous avons :

2
ex p ( - >.) 0 0 Àex p ( - À) 0 0 "2 exp( - À) 0 0 1 - 2::,
2
exp(->.) 0 0 0 Àexp(->.) 0 0 ", exp( -À) 0 1 - I:2
0 exp (- >. ) 0 0 0 Àex p ( - >.) 0 0 "2 i>(- À) 1 - L3
2eX
P (>.) = 0
0
0
0
exp( -À )
0
0
exp(->.)
0
0
0
0
>.exp ( - À)
0
0
>.exp(->. )
0
0 1- E·
1 - ,......5

!~l~Àl
0 0 0 0 exp(->.) 0 0 0 Àexp( ->. )
0 0 0 0 0 exp(->.) 0 0 0
0 0 0 0 0 0 exp(- ,\) 0 0 1 - e xp - >..
0 0 0 0 0 0 0 exp( ->.) 0 1 -exp -)..
u 0 0 0 0 0 0 0 exp(->.) 1 -exp -À

où L i égale à la somme des éléments des colonnes 1 à 9 dans la ligne z, z

1, 2, ... ) 6 :
).2
"'""'
L....-1 = "'""'
L....-2 = '"""
L..., 3
= 1- exp(->.) (1+>.+-)
2

'"""
L...- 4 = "'""'
L...- 5 = '"""
L..., 6 = 1- exp( - >.)(1 +À).

Pour les lignes i = 7, ... , 10, l'équation est directe et elle est présentée dans sa
propre matrice.

2.3.5 Propriété stationnaire

Le comportement à long terme de la plupart des SBMs est basé sur la propriété
d'ergodicité des chaînes de Markov. Une chaîne de Markov qui inclut une matrice
de transition P est ergodique s'il existe quelque n 0 2': 1 pour lequel toutes les com-
posantes de p no sont strictement positives. En d 'autres mots , nous disons qu 'une
 36

m atrice est ergodique si tous les états de la chaîne de Markov sont accessib les
à part ir de n 'imp or te quel état ini t ia l da ns un nombre fini d'étapes 6. Si nous
ut ilisons notre modèle illustratif avec À = 0.10, nous obtenons :
0.9048~7 0 u 0 .090484 0 0 0 .004524 0 0 0 .0001 55
0 .9048~7 0 0 0 0.090484 0 0 0 .004524 0 0 .000155
0 0.904837 0 0 0 0 .090484 0 0 0.004524 0 .000 155
0 0 0.904837 0 0 0 0 .090484 0 0 0 .004G79
0 0 0 .904837 0 0 0 0 .090484 0 0.004679
P (,\ = 0.1) 0 0 0 0.904837 0 0 0 0.090484 0 .004679
0 0 0 0 0 .904 8:!7 0 0 0 0 .095 163
0 0 0 0 0 0 .904837 0 0 0 .095 163
0 0 0 0 0 0 0 .90483 7 0 0.095 163
0 0 0 0 0 0 0 0.904 83 7 0 .095 163

et
0 . 673~08 0.070812 0 .078260 0.086,191 0.028256 0 .024146 0 .018860 0 .008828 0 .006577 0 .004'162

(
O.G7~~08 0.070812 0.0782GO 0.08G491 0.028250 0 .024140 0 .018860 0.008828 0.006577 0.004402 )
0.67330 0.070812 0 .0782GO 0.08G491 0 .02825G 0 .02414G 0.0188GO 0 .008828 O.OOG577 0 .0044G2
0 .67330 0.070812 0 .078260 0 .086491 0.02 256 0 .024146 0.01 8860 0 .0088 2 8 0 .0065 77 0.004462
P 70 ( /\\ -
-
0 · 1) -- 0 .673308
O.G73308
0 .070812
0 .070812
0 .078260
0 .078200
0.086491
0.086491
0.028256
0.028256
0 .024146
0 .024146
0.01 8860
0.018860
0 .008828
0 .008828
0 .0065 77
0 .0005 77
0.004462
0.004462
0 .673 ~0 8 0.070812 0.0782GO 0.086491 0 .028256 0 .02414G 0.018860 0 .00882 0 .0065 77 0 .004402
0.673308 0 .0 70812 0.078260 0 .086491 0 .028256 0 .024146 0.01 8860 0 .008828 0 .006577 0.004462
0.673308 0.070812 0 .078260 0 .086491 0.028256 0 .024146 0 .018860 0 .008828 0 .006577 0.004462
0 .67330 0 .070812 0 .078260 0 .0 86,191 0 .028256 0 .024146 0 .01 8860 0.00 8828 0 .0065 77 0 .00 4 46 2

Nous pouvons voir que toutes les lignes sont égales. E n plus,

(2. 19)

pour tous les ent iers k 2: 70 , avec une précision de six décimales. Cela veut dire
que, peu imp orte la distribu t ion init iale du portefeuille, nous aurons à long terme
la distribut ion suivante :
p k(À = 0. 1) = (o .6 n3o s 0 .070812 o .o7R260 o .0 86 49 1 o .0282.5 6 0.024146 o.0 18860 o.008828 o .006577 o.004462 ) .

Nous pouvo ns alors la formaliser a insi :

lim p (n)(>, ) = II (>- )

n-+'Xl

À long te rme, nous u tilisons annuellement la distribut ion stationnaire à deux fin s
d 'abord , nous l'employons pour pla nifier le paiement des sinistres et la collecte d es
primes . Ensui te, pour évaluer la prime de base, les relativités et l'équilibre fin ancier
du système.

6. Pour plus de détail voir (Ross, 2014).

 37

2.3.6 Relativités

La relativité rt s'applique aux assurés qui sont au niveau l. L' idée est de considérer
les rt comme un homologue à un facte ur de risque 8 d 'un ass uré choisi au hasard
dans le portefeuille. L'ajustement est généralement évalué par l'espérance au carré
de la différence entre 8 et rt. Ainsi, il faut minimiser E [( 8 - rt) 2 ] . La solution
générale est donnée par l'équation :

2:k Wk fo+oo ent(Àke)dFe(e)

(2.20)
Tt = I:k wk fo+= nt(>.ke)dFe(e)
Si le modèle n 'a pas de classification « a priori », l'équation devient :

(2.21)

et s'il existe une classification « a priori » avec la correction « a prosteriori »,

nous obtenons 7

(2.22)

Pour plus de détails sur le développement de ces équations, voir (Denuit et al. ,
2007) pages 184 à 215.

2.3.7 Interaction entre un système « a przorz » (GLM) et un système « a

prosteriori » (SBM)

La problématique ci-dessus provient de l'interaction entre les deux types de sys-

tèmes de tarification. Nous remarquons que les relativités liées aux différents ni-
veaux sont les mêmes, peu importe la classe du risque à laquelle l'assuré appar-
tient . Ainsi, ces échelles pénalisent deux fois les ass urés à haut risque : ils ont une

7. Pour plus de détails à propos de toutes les dérivations des équations, voir (Denuit et al.,
2007) , (Denuit et Charpentier, 2005) et (Nor berg, 1976) .
 38

prime plus élevée , basée sur leurs caract éri tiques. De plus, il y a une fort e proba-
bilité qu 'ils se déplacent vers les niveaux plus élevés , ce qui traduit une mauvaise
expérience de sinistre. Pour les ass urés à faible risque, la situation est l'inverse
et ils sont doublement avantagés . Quand nous estimons tous les paramètres du
système de classification a priori et du SBM ensemble, nous réduisons ce double
effet généré quand nous estimons les deux parties séparément.
 CHAPITRE III

LES MODÈLES DE BASE ET DE CONTRÔLE

Les données de panel, aussi appelées données longitudinales , sont constit uées de
l'observation d 'un même ass uré durant plusieurs périodes. Dans le cas de l'as-
surance, nous observons l'assuré sur plusieurs cont rats annuels. Une d épendance
ent re le nombre de réclamations des cont rats annuels d 'un même assuré peut donc
être supposée. ous sortons ainsi de l'environnement plus classique des données
t ransversales où les nombres de réclamations provenant de chacun des cont rats
d 'assurance d 'un seul assuré sont considérés indépendants . Malgré l'ajout d' une
dépendance entre le nombre de réclamations des cont rats d 'un même assuré, nous
supposons touj ours une indépendance entre les différents assurés. Plus formelle-
ment , nous avons ainsi des vecteurs de variables aléatoires représentant toutes les
réclamations d 'un assuré i au cours de Ti années : Ni = { Ni ,l , Ni ,2 , . .. , Ni,r.}.
otre intérêt est donc de modéliser la distribu tion jointe P r [Ni,l , .. . , Ni ,rJ Il faut
aussi comprendre que les assurés ne sont pas tous observés durant le même nombre
de cont rats : certains assurés restent dans la même compagnie plusieurs années ,
alors que d 'aut res quittent après seulement une année. Mais, pour simplifier la
notation, nous utiliserons T au lieu de ~.

De nombreuses méthodes ont été proposées pour modéliser les données de panel
de comptage. Nous pouvons nous référer à (Molenberghs et Verb eke, 2005) pour
 40

un cadre général , ou encore à (Boucher et Guillén , 2009) pour des applications

en actuariat. Toutefois, dans ce chapitre, à l'aide de la théorie vue au chapitre 2,
nous proposons d 'analyser en détails le modèle développé par (Boucher et Inoussa,
2014). Nous expliquerons ainsi l'idée de la méthode de tarification proposée.

3. 1 Le modèle proposé

Les techniques employées par les ac tuaires en tarification l ARD ont subi une
évolution considérable au fil des ans. Un des facteurs les plus importants ayant
grandement contribué à cette évolution est le développement des outils informa-
tiques. En utilisant ces out ils, les techniques actuarielles sont devenues beaucoup
plus puissantes et précises .

3.1.1 Problèmes de l'utilisation de la théorie SBM pour les données de panel

En utilisant des données longitudinales , (Boucher et Inoussa, 2014) ont démontré

que certains problèmes surviennent si on tente de calibrer un SBM de manière
standard , c'est-à-dire en calculant les paramètres de la distribu tion conj ointe pour
ensui te calculer les valeurs des relativités d 'un SB II. On aurait pu croire qu 'en
généralisant simplement les modèles de tarification de données transversales vus au
chapitre 2, l'utilisation d 'un SBM aurait pu être simple. Par exemple, en supposant
que la dépendance entre les contrats d 'un même assuré provient d 'un effet aléatoire
affectant tous les contrats, nous aurions ainsi la distribution jointe suivante :

J II
(
T Pr[Ni,L =

t= l
ni,tiBi , x i,d )
Dist. conditi on nell e
~ (~)
Dis t. effet a léato ire

où X i,T est un vecteur de toutes les caractéristiques du risque de l'ass uré i ,

du temps t = 1 à t = T. En supposant ainsi une distribution conditionnelle
 41

Poisson(Ài,tB) avec un effet aléatoire Gamma(a, a ), nous retrouvons une généra-

lisation de la distribu tion Binomiale Négative de ty pe 2. Quand nous aj outons
l'effet du temps pour considérer les données longit udinales, nous nous retrouvons
avec une Binomiale Négative Multivariée (MVNB)

Pr [Ni 1 =ni 1 , ... , Ni r =ni ri X i r] =

l , ' , ,

avec ni,• = ~~= 1 ni,t· E n estimant le paramètre a de la loi gamma, les techniques
classiques des SB Ms pourraient, semble-t-il, être utilisées. Toutefois, on peut voir
plus clairement l'erreur que cette approche générerait en analysant plus en détails
l'équation de la distribution jointe de probabilité du nombre annuel de réclama-
tions de tous les cont rats de 1'assuré i :

(3.3)

Nous pouvons voir clairement dans le développement de l'équation, que de t = 2

à t = T , une distribu tion prédictive est déjà supposée dans le modèle, c'est-
à-dire Pr ( Ni,t lni,l, . . . , n.i ,t- 1 X i,t} En conséquence, 1'espérance prédictive, définie
1

par E [Ni ,t lni,l , ... , ni.t- I , Xi,t], correspondant fin alement à une prime d 'assurance
utilisant les réclamations passées , est directement considérée et utilisée dans la
distribut ion conj ointe . Cela signifie qu 'une tarification a posteriori utilisant l'ex-
périence de sinistres est déjà supp osée dans la tarification avec les données lon-
git udinales et que les paramètres du modèles (donc les /3 de la classification a
priori ) sont estimés selon cette cont rainte.

ous voyons, de plus, que les SBMs et les relativités bonus-malus ne sont pas
utilisés , et il n 'est pas clair de savoir comment les inclure dans notre modèle
sans le modifier substantiellement . Comme notre obj ectif est d 'utiliser une prime
 42

d 'assurance prédictive incluant le SE M, il nous faut obligatoirement trouver une

manière afin que les relativités SE M soient considérées et mises à l'intérieur de la
structure de la distribu tion conj ointe (Ni,l , Ni,2 , . .. , Ni ,T) du modèl . En d 'autres
mots , il nous faut t rouver une manière d 'inclure dans la prime de l'assuré i au
temps t + 1, soit P i,t+l = Ài,t+ 1 r 1, directement dans la distribu tion avant d 'être
utilisée pour estimer les paramètres.

3. 1. 2 Inclusion d 'une structure bonus-m alus dans la tarifi cation

L'obj ectif principal de (Boucher et Inoussa, 2014) est de proposer une technique de
calcul qui effectue la tarification a priori et a posteriori simultanément. Jusqu 'à
présent , la technique présentée dans la littérature ac tuarielle propo e de la fa ire
en deux étap e . La première étape est de modéliser la partie de tarification par
classification (ou a priori ) et dans la deuxième étape de t ravaill r la partie de
tarification par expérience (ou a posteriori ) en considérant l'historique de sinistres.
Généralement dans cette dernière étape c est où est placé le facte ur cl 'ajustement
si nécessaire (off-balance fa ctor).

Pour inclure les pénali tés d 'un SE M dans un modèle de données de panel, nou
commençons par conditionner sur un niveau cl 'ent rée l 1 . Pour des fin s de simplifica-
tions, nous ignorons le X i,t (le vecteur des caractéristiques de l'as uré i au te mps
t ) pour présenter la distribu tion conj ointe avec l'inclusion d 'une telle structure
bonus-malu . L'équation peut s'exprimer par :
s
Pr (Ni.l, Ni,2, . .. , Ni,T) = L Pr (Ni,l , Ni,2, . . . , Ni,ri L (1) = h )P r( L (1) = h ),
lJ= l

(3. 4)

où L(t) est le niveau occupé par l'ass uré au temps t , l1• est le niveau bonus-malus
au temps t et est le nombre de niveaux du SE M, avec t = 1, ... , T . l1 est le
niveau d 'entrée de l'assuré. Connaissant la structure de pénalité du SE M, le niveau
 43

d 'entrée h dans le SBM et le nombre de réclamations de l'ass uré à son premier

contrat (t = 1), il devient possible de déterminer le niveau l2 P lus formellement ,
0

pour un ass uré n'ayant que 2 cont rats d 'assurance, nous avons :

Pr (Ni.l , Ni,2I L (l ) = h ) = Pr (Ni,I [L (l ) = l1) Pr (Ni,2INi, l = ni,1 , L (l ) = l1 )

= Pr (N.i,1IL (l ) = h)
s

x L )Pr (Ni,2[Ni,l = ni,l , L(l ) = h, L(2) = y)

y= l

x P r( L(2) = y [Ni ,l = ni,1 , L(l ) = l1))

= Pr (Ni,I [L (l ) = h)
s

xL Pr (Ni,21 L(2) = y) Pr( L (2) = y [Ni ,l = ni,1, L (l ) = l 1)

y=l

Dans le premier passage de ligne, nous conditionnons la probabilité sur Ni,l = ni,l o
Dans le deuxième, nous décomposons P r(Ni,2 [Ni,l = ni,1, L (l ) = h) en considé-
rant toutes les possibilités de niveaux en L(2) , c'est-à-dire to us les niveaux y = l2
en sachant h et ni,lo Finalement , une seule possibilité démeure, soit que la com-
binaison de l 1 et ni,l donne un seul niveau possible Ni,2o

Ainsi, en généralisant pour plusieurs périodes à partir d' un certain niveau de

bonus-malus que nous notons l 1 , il est possible de t rouver les autres niveaux de
bonus-malus si nous connaissons ni,1 , ni,2, 0 0 0, ni,To En d 'aut res mots, sach ant lt et
ni,t> nous pouvons déterminer lt+lo En conséquence, on remarque que Pr( L(2) =

y [ni, 1 , L(l ) = l1 ) = 0 pour tou tes les valeurs y à l'exception de y = l2 Ainsi, à 0

l'inverse, Pr(L(2) = l2[n i,1, L(l ) = l1) = 1.

Si nous poursuivons le développement mathématique ci-dessus, nous obtenons le

 44

résultat suivant :
T
Pr( Ni,l , Ni,2, ... , Ni.rJL( 1) = l1) = IJ Pr( Ni,t.IL(t) = lt) , (3.5)
t= l

avec L(t) le niveau occupé par l'assuré au temps t , avec t = 1, ... , T.

Comme la structure d 'un SBM est maintenant incluse dans la distribution jointe
du nombre de réclamations pour l'assuré i, il est aussi possible d 'inclure les re-
lativités SBM . En supposant une distribution Poisson , nous pouvons intégrer les
relativités rl directement dans le paramètre de moyenne :
(À r )ne- >-i,t1't
Pr( N; ,t = nJL(t) = l, X.;,t) = _;__t,'-t_;,l_ __ (3.6)
n!

Alors, en regroupant les équations, nous obtenons :

3.2 Les paramètres du modèle

Bien que nous avons esquissé de manière générale le modèle de tarification de

données de panel avec les SBMs, il convient de voir plus en détails certains éléments
de ce modèle. Dans cette section , nous détaillons les trois éléments ci-dessous que
(Boucher et Inoussa, 2014) ont étudié en détails dans leur article.

1. La distribution Poisson ;

2. L'estimation elu niveau d 'entrée l1 de l'assuré selon le nombre d 'années de

permis ( AP) ; et

3. La structure des relativités .

3.2.1 La distribution Poisson

Dan leur article , les auteurs ont se concentré en aj uster un modèle avec surdisper-
sion. Dans ce cas , ils ont sélectionné la distribution Binomiale Négative (de type
 45

2) et la distribution Poisson pour modéliser le nombre de réclamations. Même si la

Binomiale Négative est appropriée, nous avons sélectionné la distribution Poisson
comme base du t ravail. Cette distribution a été sélectionnée car il est simple de
travailler avec elle. Elle est toujours la première distribution à être utilisée pour
les données de comptage et elle possède quelques propriétés importantes qui sont
utilisées dans ce travail. otons , to utefois, qu 'une généralisation serait assez di-
recte pour utiliser une autre distribution de comptage, en modifiant l'équation
(3. 7) selon le besoin.

Tous nous retrouvons ainsi avec la distribution Poisson utilisant un lien loga-
rithmique pour lier le score des régresseurs et la moyenne. Plus précisément, en
incluant les r elativités des SBM telles qu 'exprimées dans l'équation (3.7) , nous
pouvons écrire :

(3.8)

ous avons ainsi inclus l'exposition au risque d it et la relativité r?t) assignée à

chacun des contrats selon l'expérience individuelle de chaque année.

3.2 .2 L'estimation du niveau d'entrée h de l'assuré selon le nombre d 'années

de p ermis

Pour construire le modèle, comme nous pouvons le voir avec l'équation (3.7) ,
nous avions cond itionné sur un niveau d 'entrée l1 . Pour compléter le modèle
et définir correctement Pr (Ni.l , Ni,2 , ... , Ni,r ), il nous faut donc la distribution
Pr (L (l ) = h) , ou, en d 'autres mots , trouver le niveau d 'entrée de chaque assuré.
Il pourrait être simple de supposer que le SBM que nous étudions implique un
niveau d 'entrée unique pour tous les ass urés étudiés dans la base de données.
Ce ne serait to utefois pas réaliste. Le premier contrat d 'un assuré dans la base
de données n 'est pas for cément le premier contrat d 'assurance de ce conducteur.
 46

Ainsi , plus généralement , un assuré ayant une grande expérience de conduite ne

peut pas automatiquement avoir le même niveau d 'entrée qu 'un nouvel assuré ou
qu 'un ass uré avec peu d 'exp érience. Il faut considérer cet élément dans le modèle.

Comme la majorité des ass urés ont déjà un historique de conduite, capturé par
la variable NAP indiquant le nombre d 'années depuis l'obtention du permis de
conduire, nous proposons de le prendre en considération pour bien classer ces as-
surés. De plus, notons qu 'au Canada il est possible de consulter un historique des
six dernières années pour tous les assurés. Par conséquent , un as uré changeant de
compagnie d 'assurance n 'est pas considéré comme un nouveau conducteur et l'as-
sureur a la possibilité de consulter les six dernières années du dossier de conduite.
La base de données utilisée pour notre analyse po sède cette information. Ainsi,
nous sommes en mesure de retourner jusqu 'à six ans avant la date d 'entrée dans la
base de données de la compagnie et d 'utiliser cette information. Deux situations
sont possibles :

1. Le premier cas, présente la situation d 'un assuré ayant 6 ans ou moins d 'ex-

périence de conduite, c'est-à-dire une valeur de NAP ::; 6. Il nous suffit

de supposer qu 'il existe un niveau d'entrée précis pour to us les nouveaux
conducteurs sans exp érience de conduite. En d 'autres termes , comme c'était
le cas pour les SBM classiques (voir les chapitres précédents) , notre structure
de tarification par SBMs a un ni veau précis d 'entrée pour to us les nouveaux
conducteurs. Il sera ainsi possible de déduire le niveau bo.nus-malus au temps
t = 1 de tous les assurés ayant 6 ans ou moins d'expérience de conduite. En
effet, à partir de ce niveau d 'entrée et avec l'historique des sinistres des 6
dernières années, nous déterminons exactement le niveau bonus-malus de ce
typ d 'assurés pour tous les contrats d 'ass urance observés dans la base de
données.
 47

2. L'aut re cas, plus complexe, t raite de to us les aut res assurés, soit les assurés
ayant un permis de conduire depuis plus de six ans, c'est-à-dire un NAP >
6. Un problème est que nous ne pouvons pas savoir à quel niveau bonus-
malus était un ass uré durant les années antérieures à l'historique. Pendant
cette période pour lequelle on ne possède aucune donnée accessible, il est
possible qu 'un tel assuré ait été un mauvais conducteur ayant fait plusieurs
réclamations, mais il est aussi possible qu 'il n'ait j amais eu de réclamations.
(Boucher et Inoussa, 201 4) ont proposé une solut ion pour déterminer le
niveau de classement probable de chaque ass uré jusqu 'au moment où l'his-
torique des sinistres est disponible, ce que nous identifions comme t = -6,
solu tion qu 'il convient d 'étudier en détails.

3.2 .3 L'estimation du niveau des ass urés avec expérience

La solu tion proposée par (Boucher et Inoussa, 2014) consiste à ut iliser la distri-
bution du niveau bonus-malus compte tenu du nombre d 'années d 'expérience de
l'assuré depuis l'obtention du permis de conduire ( AP ), soit 6 ans de moins que
la valeur NAP inscrite au premier contrat de l'assuré dans la base de données.
La distribution du niveau bonus-malus probable à être occupé par un assuré se
fait en utilisant la matrice de t ransition élevée à une puissance égale a u NAP de
l'assuré six ans avant de rejoindre la compagnie d 'assurance.

Plus précisément , la matrice de t ransition est la représentation de toutes les pro-

babilités de mouvement d 'un niveau à l'aut re au sein d 'un SBM. Lorsque nous
élevons cette mat rice à une puissance t , nous générons la probabilité de passer
d 'un niveau à l'autre après t années , en considérant to us les chemins possibles.
ous utilisons cette distribu tion pour évaluer la période sans aucune donnée du
conducteur expérimenté jusqu 'à six ans avant qu 'il ne rejoigne l'entreprise, car,
à partir de ce moment , nous utilisons l'historique des sinistres de l'assuré pour
 48

identifier son niveau d 'entrée.

La mat rice de transition est calculée en introd uisant une variante à la matrice
de transition générale expliquée dans la sous-section 2.3.4. Cette transformation
inclut le Ài,t qui représente la probabilité d 'avoir un sinistre de l'ass uré i au temps
tet les r 1, l = 1, ... , s qui sont les relativités à être estimées par le SBM. En effet,
les probabilités de transition sont calculées en utilisant :

Pn (Ài, trd P12(Ài,tri) Pl s ( Ài,t T1)

P21 (Ài ,tr2) P22( Ài,t.T2) P2.s (À i,t.T2)
Pt(À.i,t) = (3.9)

Psl (À i,trs) Ps2(Ài ,trs) Pss(Ài,tTs)

Nous remarquons que les probabilités sit uées sur une même rangée dépendent
toutes de la même valeur de relativité. Par contre, elles sont différentes d 'une
rangée à l'autre. Dans ce modèle, la probabilité qu 'un assuré, qui est au niveau
li, change à n 'imp orte quel autre niveau dépend de la relativité du niveau qu 'il
occupe (ri dans cet exemple). No us compr nans que les probabili tés d 'avoir des
sinistres sont reliées à la condition actuelle de l 'ass uré et que cette condition change
selon plusieurs facteurs, comme l'acquisition de plus d 'expérience de conduite à
travers le temps. Cette proposition est différente de la proposit ion classique en
act uariat dans laquelle il est supposé que la probabilité d 'une personne d 'avoir un
sinistre est reliée à un effet aléatoire 8 invariant à travers le temps. Cela ve ut dire
que cette personne est née et va mourir avec cet effet aléatoire. Les distributions
classiques , comme la Binomiale Négative (du type 2) et la MVNB , utilisent cette
dernière hypothèse dans leur constructions .

Avec la matrice ajustée (3.9) , nous sommes en mesure d 'obtenir la distribution de

 49

(3.10)

Nous introduisons p 1 (,\t) qui est le vecteur de probabilité au temps t = 1 et qui est
utilisé pour exprimer la condition d 'entrée dans le système. Il est rempli de zéros
à l'exception du niveau d 'entrée où la valeur est égale à un . Plus généralement,
nous pouvons le présenter pour un J( quelconque comme :
T
Pr [L(K , -\.t) = 1]
Pr [L(K , Ài,t ) = 2]
(3.11)

Pr[L(K, Ài,t) = s]

L'idéal serait d 'obtenir toutes les informations X i,t pour chacun des assurés i, pour
t = 1, .. . , N AP - 6. Toutefois, ce n 'est pas possible. Ainsi, nous ne savons pas
où l'assuré habitait , quel type de véhicule il conduisait ou combien de kilomètres
il a parcouru . Dans leur article, (Boucher et Inoussa, 2014) ont proposé une sim-
plification dans la construction de la matrice de transition (3.9) en calculant un
À moyen pour tous les assurés . C'est à dire , À.i,t = .>.. pour tous i = 1, . .. , n et
t= 1, ... , 7j_ .

(3.12)

Toutefois, nous devons sélectionner un niveau bonus-malus pour l1 et non une

distribu tion de L 1 . Les auteurs ont proposé une méthode qui utilise la moyenne
de la première relativité :
TNAP = PNA P()..)r . (3.13)

Le f AP représente l'espérance de la relativité de l'assuré ayant un certain NAP et

r es t le vecteur qui contient les relativités des s niveaux. Ensuite, pour déterminer
 50

le niveau probable d 'ent rée de l'assuré qui possède plus de 6 ans d 'exp érience de
conduite, nous appliquons la règle suivante :

(3.1 4)

Finalement, pour chaque valeur du NAP, nous sélectionnons le niveau j + 1 comme

le niveau de départ pour reconstruire l'expérience de l'assuré. Ce choix est plus
conservateur que le choix du niveau j . Ce modèle était proposé dans l'ar ticle et
nous l'avons ret enu dans notre t ravail. Cependant , d 'aut res méthodes de calcul et
de prises de décision auraient pu être choisies.

3.2.4 La structure des relativités

Au chapit re 2, nous avons vu que les SBM t radi tionnels donnaient la possibilité
de générer une valeur de r 1 pour chaque niveau du SB M. Dans le modèle que nous
proposons, cela signifierait de devoir estimer s paramètres supplémentaires. En
plus d 'êt re coûteux en paramètres, cet te approche fait apparaît re des situations
incohérentes où la relativité bonus-malus estimée pourrait être plus élevée pour
des niveau SBM plus bas, par exemple des i:i > rj pour un i < j. Cette évent ualité
est à éviter : aucun assureur n 'appliquerait un tel résultat , qui impliquerait une
augmentation de primes à certains assurés n 'ayant pas de réclamation et une
diminution de primes à certains ass urés ayant des réclamations.

Ainsi, une structure linéaire p our les relativités a été sélectionnée afin de lisser un
quelconque type d 'anomalie dans le cas de l'estimation statistique. De cet te façon ,
les valeurs des relativités par rapp or t aux niveaux dép endron t de paramètres c5

et T, et du niveau l. On aura donc des relativités touj ours croissantes et param é-

triques. La structure ici utilisée est la même que celle qui est proposée par (Gilde
 51

et Sundt , 1989).
1 si l = 1
(3 .15)
Tt = { 6 + T(l - 1) sinon.

Notons que t ou tes les relativités peuvent être vues comme des rapports entre le
niveau occupé par l'assuré et le niveau 1, qui possède le plus gros rabais ou la
relativité égale à un. Ces rapp orts sont des ajustements qui sont appliqués à la
prime d 'ass urance pour la calibrer en fon ction de l'historique de réclamations de
l'assuré.

3.3 La cont rainte légale et le modèle de cont rôle

Pour la tarification d'assurances dans la province de l'Ontario au Canada , il faut

distinguer deux types de sinistres : les sinistres responsables (R) et les sinistres
non responsables ( R). Selon la Commission des services fin anciers de l'Onta-
rio (FS CO , 201 7), c'est à t ravers l'application de la loi sur les ass urances et les
règles de détermination de la responsabilité que les compagnies d 'assurances déter-
minent la responsabilité d 'un accident. La responsabilité est attribuée à chaque
conducteur selon les circonstances de l'accident. L'assuré est considéré comme
responsable si son degré de responsabilité est égal ou supérieur à 25%.

Prenons l'exemple d 'un conducteur qui se fait emboutir à l'arrière de sa voiture.

Selon la manière habituelle d 'évaluer la responsabilité des conducteurs en Ontario ,
le conducteur ne serait pas considéré responsable. Toutefois, plusieurs scénarios
sont possibles : la voit ure ne roulait pas assez rapidement comparativement aux
aut res véhicules avec lesquels elle partageait la route , le conducteur a freiné t rop
brusquement , etc. Sans enlever la responsabilité à l'autre conducteur impliqué,
nous pouvons croire non seulement que le conducteur de la voit ure emb outie a
une part de responsabilité , mais aussi que son comportement routier (rouler len-
 52

tement, freiner brusquement , etc. ) pourrait se répéter et causer de nouvelles colli-

sions. Conséquemment, un accident considéré non responsable nous permettrait de
prédire d 'autres accidents non responsables ou même des accidents responsables .

Au niveau de la tarification , la province de l'Ontario interdit qu 'une augmentation

de prime soit associée à un sinistre non responsable. P ar contre, elle n 'oblige pas les
assureur de réduire la prime. (Boucher et Inoussa, 2014) ont utilisé cette contrainte
légale pour estimer leur modèle en accordant aux assurés ayant des sinistres non
responsables le maintien du niveau occupé. Rappelons que les SBMs classiques
s'expriment dans une form e -1 /+XX , où le -1 représente la baisse d 'un niveau
pour chaque année sans réclamation et le + XX représente le nombre de niveaux
de pénalité par réclamation. Ainsi , le modèle avec une contrainte légale s'exprime
maintenant selon une form e -1 / 0/+ XX , où l'ajout du 0 représente l'inclusion des
sinistres non responsables dans la structure du SBM du modèle de base. De plus,
pour intégrer cette information dans la section de classification du modèle, nous
avons défini deux jeux de paramètres : un premier pour caractériser les sinistres
responsables (~R) et un aut re pour caractériser les sinistres non responsables
(~NR ).

3.3.1 Le modèle de contrôle

Il est imp ortant de noter que la contrainte décrite ci-dessus est une imposition
légale clans la province de l'Ontario. No us croyons que les assurés ayant des si-
nistres non responsables sont , dans une certaine mesure, aussi dangereux que les
assurés ayant des sinistres responsables . Dans certains cas , nous avons des assurés
avec plusieurs sinistres non responsables dans leur dossier. Par exemple, un as-
suré n 'est pas responsable, mais il génère des conditions pour un environnement
favorable aux sinistres. Ainsi, nous pensons que les sinistres non responsables sont
aussi prédictifs que les sinistres responsables. Comme actuaire, il faut comprendre
 53

ce que cette contrainte implique dans l'estimation du modèle. Il est possible de

déduire que les paramètres du modèle sont affectés par la contrainte , autant pour
les régresseurs de la segmentat ion que les relativités bonus-malus.

Afin de pouvoir quantifier ces différences , il convient de comparer le modèle origi-

nal à un modèle que nous qualifions de modèle de contrôle, qui ne suppose pas de
contrainte légale. Ce modèle de contrôle ne distingue pas les sinistres responsables
des sinistres non responsables et il nous permettra de faire to utes les comparaisons
nécessaires pour qua ntifier les différences entre les deux. Ce fai ant , nous démon-
trerons l'imp ortance et l'impact de l'imposition de cette contrainte aux assureurs
par le gouvernement. Ainsi, le modèle de contrôle que nous avons proposé nous
permet de laisser les données nous indiquer ce qu 'il en est, sans aucune contrainte.

Notons qu 'une différence importante entre le modèle principal et le modèle de

contrôle est que le modèle de contrôle n'utilise qu 'un seul jeu de 12 paramètres
dans la part ie de classification pour décrire les sinistres contre deux jeux de 12
paramètres chacun pour le modèle de base (un jeu de 12 paramètres pour décrire
les sinistres responsables et un a utre jeu de 12 paramètres pour décrire les sinistres
non responsables ). Nous pensons qu 'en possédant un seul jeu de paramètres, le
modèle de contrôle sera moins pénalisé statistiquement en t ermes de nombre de
paramètres à estimer , mais il devra utiliser ce seul bloc de paramètres pour décrire
les deux types de réclamations. Nous avons deux possibilités : la première est que
les réclamations responsables et non responsables sont vraiment différentes et le
modèle de base peut donc mieux expliquer la distinction entre les sinistres avec
ses deux groupes de paramètres. L'autre possibilité est qu 'il n 'y a pas assez de
distinction ent re les deux types de sinistres dans la pratique, ce qui permet à un
seul ensemble d 'être plus que suffisant pour décrire les réclamations sans avoir de
redondance. ous le vérifierons plus tard d ans ce chapitre quand nous analyserons
les f3 de chacun des modèles .
 54

3.4 L'estimation de chaque modèle

Dans l'estimation de chaque modèle, nous avons testé toutes les possibilités de
pénalités + XX (de 1 à 10) . Au préalable, il faut toujours avoir un niveau d 'entrée
fixe pour tous les assurés. Pour chaque combinaison de pénalité + XX et de niveau
d 'entrée , nous avons obtenu un résultat de /3 (f3n et f3NR pour le modèle de base
et /3 pour le modèle de contrôle), T et 'Y (pour chaque structure de relativité de
chaque modèle) qui a maximisé la logvraisemblance. Ainsi, nous sélectionnons
l'ensemble avec la logvraisemblance maximale parmi toutes les possibilités testées
pour chacun des modèles. Également , un des résultats de cette sélection est la
structuration du niveau d'entrée estimé par chaque modèle pour les assurés avec
un NAP plus grand que 6. Les graphiques 3.4 et 3.7 présentent cette règle d 'entrée
pour le modèle de base et celui de contrôle. Ils sont montrés et expliqués un p eu
plus tard dans ce chapitre.

Par ailleurs, dan le processu d 'estimation , nou nous limitons à une échelle SBM
de 10 niveaux , au maximum + XX = 10, et le niveau initial d 'entrée est fix é de 1
à 10. En conséquence, nou aurions pu tester plu de niveaux, mais la rareté de
l'information sur les assurés ayant un plus grand nombre de réclamations limit e
l'obtention de résultats plus stables et plus précis. De plus, (Boucher et Inoussa,
2014) ont également fixé 10 niveaux et, comme l'un de nos objectifs était de
reproduire ce travail , nous supposons que le choix est adéquat.

Pour être capable d'estimer tous les paramètres des modèles, nous avons bâti des
équations qui nous permettent de maximiser la logvraisemblance et qui contiennent
tous les éléments spécifiques de chaque modèle. Nous commençons par l'équation
de la logvraisemblance elu modèle de base, qui contient la restriction légale sur les
 55

types de sinistres, qui s'exprime comme ceci :

~R ~NR
rn
'"""" ( ( Ai
\ R)nR
t e -(AR)
tt
) ( (A\ iNR)n
l NRe-(ÀNR)
'1 )
l(f3 , f3 , T , 6) = L ln R! + ln N R! , (3.16)
i= l
n . n .

où m est le nombre d 'observations. Les À~ et -\{[ R sont structurés exactement

comme dans l'équation 3.8 mais ils ne sont pas égaux. Ils possèdent une compo-
sante pour l'exposition de chaque assuré pour chaque année étudiée d.it , une autre
composante pour prendre en considération la position dans l'échelle qui est la
relativité respective de l'assuré ,.fit), mais ils sont séparés en responsables et non
responsables. Afin de bien définir chacun des Às , nous les présentons ci-dessous en
détail :

(3.17)

et

\ NR = dit exp (xt' f3~NR) rl(it) .

/\ ·it (3.18)

Les variables Tet 6 estimées dans l'équation (3.16) sont à l'intérieur de la structure
des relativités, r[it)' comme présenté dans l'équation (3.15).

L'équation du modèle de contrôle est similaire, mais sans la restriction légale. Il n 'y
a qu 'un seul ensemble de paramètres sinistres, puisqu 'il n'y a pas de distinction
entre les réclamations responsables et non responsables. Nous la présentons ci-
dessous :

(3.19)

Le Àit est structuré comme dans l'équation (3.8). Il possède la composante pour
l'exposition de chaque assuré , dit , et la composante de position dans l'échelle du
 56

SBM , r?'). Le À du modèle de contrôle est présenté ci-dessous :

(3.20)

Après avoir défini les équations, nous utilisons la maximisation de la logvraisem-

blance pour estimer les paramètres des modèles. Nous les avo ns listés ci-dessous :
- les (3s du modèle de classification; et
- le T et le ode l'équation des relativités de chaque modèle.
Chacun des modèles présente ses spécificités pour chacun des éléments énumérés
ci-dessus. Le modèle de base comporte le f3 R pour s'associer aux sinistres respon-
sables et le f3 NR pour être associé aux in istres non respon ables dans le système
de segmentation.

Le format -1 / 0/+XX du modèle de base a été pris en compte, et seulement la

pénalité + XX doit être estimée en fonction de la logvraisemblance maximale. ous
avons essayé toutes les combinaisons + XX de 1 à 10 et nous avons sélectionné
celle ave la logvrai emblance maxima le. Le modèle de contrôle n 'a qu 'un seul
ensemble de bêtas pour représenter les inistres , qu 'ils soient responsables ou non
responsable , dans le système d classification a priori. Pour estimer la pénalité
dans le form at -1 /+ XX du modèle de cont rôle, nous avon fait une pro cédure
similaire à celui du modèle de base. Les deux modèles utilisent la même équation
(l 'équation 3. 15) pour le calcul des relativités. Cependant , chac un d'eux possède
des paramètres T et oexclusifs pour cette équation. Ainsi, différents T et oont été
estimés pour haque modèle.

3.4.1 Le parcours des assurés

Pour illustrer plu concrètement le fon ctionnement des deux modèles , nous ob-
servons le parcours d 'un assuré selon son expérience de sinistres. Pour ce faire,
nous avo ns utilisé l'assuré numéro 1 d la base de données. Comme chacun des
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -

57

modèles a ses propres règles, nous pourrons voir ses déplacements dans l'échelle
bonus-malus.

3.4.1.1 Le modèle de base

Le tableau 3. 1 présente l'historique des sinistres de cet assuré dans la perspective

du modèle de base.

Tableau 3.1 Historique de sinistres de l'assuré numéro 1 - modèle de base

Sinistre Passé Présent

Temps -> t=-6 t=-5 t=-4 t=-3 t=-2 t = -1 t =+ 1 t=+2
Responsable 0 0 1 0 0 0 0 0
Non-responsable 1 0 2 0 0 0 0 0

Comme il a son permis de conduire depuis 36 ans (NAP= 36), nous en déduisons
que cet assuré avait 30 ans d'expérience de conduite il y a 6 ans, au moment où
nous sommes capable de vérifier son historique de sinistres. Nous lui assignons le
niveau 2 1 pour la construction de son historique de bonus-malus à t = -6 ou
lorsque l'assuré avait un NAP= 30.

Le tableau 3. 1 2 illustre l'historique des sinistres responsables et non responsables

des six années avant qu 'il soit un assuré de la compagnie. Nous y voyons aussi les
deux années où il a été assuré.

1. Voir la section 3.5.1 pour l'explication au suj et de l'assignation du niveau 2 dans ce cas-ci.

2. Nous tenons à souligner que l'année t = 0 n 'existe pas, ce n 'est qu 'un instant dans le temps
et non une année qui est dénombrable. Ainsi, l'assuré va de t = -1 à t = + 1 directement. P ar
analogie, nous avons utilisé avant le Christ et après le Christ, où il n 'y a pas d 'année 0, mais 1
avant le Christ et 1 après le Christ.
 58

Figure 3.1 Parcours de l'assuré numéro 1 selon son historique de sinistres et la

structure du modèle de base

1 EB 1
Resp: 0 Resp: 0 Resp: Resp: 0
Non-R: 1 Non-R: 0 INon-R: 2 Non-R: 0
Chang: 0 Chang: -1 Chang: 2 Chang: - 1

EE3 ag ffi ffi.

r r r r
Resp: 0 Resp: 0 Resp: 0 Resp: 0
Non-R: 0 Non-R: 0 INon-R: 0 IN on-R: 0
Chang: - 1 Chang: -1 Chang: - 1 Chang: - 1

Dans la figure 3.1 , les niveaux SBM de l'assuré sont présentés dans les carrés en
gras. La trajectoire (en rouge) représente l'expérience de l'assuré au fil des ans. Le
sommaire de cette expérience est présenté en dessous des flèches rouges . À l'année
t = -6, l'assuré n'a pas eu de sinistre responsable, mais il a subi un sinistre
non responsable. Cela signifie qu'il restera au même niveau bonus-malus pendant
l'année t = - 5 3 . L'année suivante, il n'a eu aucun sinistre responsable ou non
responsable, et une réduction de niveau lui est garantie. Pour l'année t = -4,
l'assuré a eu un sinistre responsable et deux sinistres non responsables. Dans ce
cas-ci, le sinistre responsable le pénalise, et la règle du changement de niveau est
déterminée par la multiplication du nombre de sinistres responsables par deux.
Ainsi, il passe du niveau 1 au niveau 3. À l'année t = -1 , nous voyons que, malgré

3. La structure SBM qui a maximisé la logvraisernblance c'est du format -1/ 0/ 2. Voir la

section 3.5.1 pour plus de détais sur le -l XX = 1- 2.
 59

l'absence de sinistre, l'assuré ne change pas de niveau, car il a atteint le plus bas
du système.

3.4.1.2 Le modèle de contrôle

Le tableau 3.2 présente l'historique de sinistres de cet assuré dans la structure du

modèle de contrôle.

Tableau 3.2 Historique de sinistres de l'assuré numéro 1 - modèle de contrôle

Passé Présent
Temps-> t=-6 t=-5 t=-4 t = -3 t = -2 t=-1 t= + l t= + 2
Nombre de sinistres 1 0 3 0 0 0 0 0

Comme dans le modèle de base, nous lui assignons le niveau 2 4 . Le tableau 3.2
illustre le même nombre d'années que le 3.1. Son parcours y est aussi.

Figure 3.2 Parcours de l'assuré numéro 1 dans le modèle de contrôle

'Dépar; (t-6),__ ·EB--·EB--..rn EB

.---. .----. .----.
1

rn- rn- rn 1E±l

~~~ ~~~

Dans la figure 3.2, l'assuré a subi un sinistre, ce qui provoque un changement de

4. Voir la section 3.5.2 pour l'explication de cette assignation.

 60

trois niveaux ou un changement = 3 5 . L'année suivante, il n'a eu a ucun sinistre et

une réduction de niveau lui est donc garanti (changement = -1) . Entre les années
t = -4 et t = -3, l'assuré a eu trois sinistres. Les trois sinistres le conduisent
à un changement maj eur de niveau. En appliquant la règle où le changement de
niveau est déterminé par la multiplication du nombre de sinistres par t rois, le
changement de niveau est égal à 9 (sinistres x 3 = 9) . Ainsi, il passe du niveau
4 au niveau 10 (le niveau maximal) . Quand l'assuré passe du temps t = -2 au
temps t = +2 , nous observons qu 'il n 'a eu aucun sinistre. Alors, il descend d 'un
niveau par année et arrive au niveau 5 à la fin de t = +2.

3.5 Applications numériques

En se référant à la base de données décrite au chapitre 1, à la théorie du chapitre

2 et aux modèles exposés au déb ut de ce chapitre, nous présentons à présent
les résultats de l'estimation du modèle de tarification par bonus-malus pour les
données de panel de comptage pour chacun des deux types de modèles.

3.5.1 Le modèle de base

Le modèle de base ayant la meilleure logvraisemblance a une structure de pénali-

sation de format -1 / 0/+2. Cela signifie que, parmi tous les modèles possibles de
forme -1 / 0/+XX, c'est ce modèle qui a généré le meilleur ajustement. Concrè-
tement : 1) un assuré aura une pénalité de deux niveaux par réclamation res-
ponsable , 2) il descendra d 'un niveau s'il n'a pas de réclamation dans l'année
(responsable ou non responsable), et 3) il restera au même niveau s'il a au moins
une réclamation non responsable (et aucune responsable). Dans le tableau 3.3,

5. Changement de niveau = sinistres x 3 = 3. La struct ure SBM qui a maximisé la log-

vraisemblance est du format -1 /+3. Voir la section 3.5.2 pour plus de détail s sur le + XX =
+ 3.
 61

nous présentons l'estimation des (3, les écarts-types des estimateurs, les intervalles
de confiance (aussi utilisés mésurer la signifiance statistique des estimateurs à tra-
vers le Test de Wald) et la logvraisemblance de ce modèle. Le jeu de paramètres
que nous avons estimé contient les (3s de la distribution Poisson, un vecteur pour
les sinistres responsables et un autre pour les sinistres non responsables .

Tableau 3.3 Les (3s calculés pour le modèle de base

/J, R esponsables Non r esponsables
Est . Écart-Type Lim. Bas 95 % Lim . H a ut 95% Est . Écart-Type Lim. B as 95% Lim. Haut 95%

/Ju -3.343 0.124 -3.582 -3 .099 -3 .352 0.109 -3.562 -3.138

,â, 0.066 0.106 -0.138 0.274 0.207 0.104 0.007 0.411
{J, -0 .00 1 0.064 -0 . 122 0 . 1 2~ 0.247 0.064 0.123 0.373
/33 0.193 0 059 0.079 0.309 0.237 0.052 0. 138 0.338
/J.• 0.260 0.057 0.151 0.372 0.105 0.050 0.009 0.203
/35 0.161 0.059 0.048 0. 276 0.057 0.052 -0.042 0.158

/36 0.184 0.047 0.094 0.276 0.029 0.042 -0.052 0.112

/J, -0.4 7ï 0.073 -0.617 -0.334 -0.331 0.068 -0.462 -0.198
/J. -0 .380 0.074 -0 .5 22 -0 .234 -0 .285 0.070 -0.418 -0 148
/Jg 0.125 0.057 0.01 5 0.237 0.098 0 051 0.001 0.198
Bw 0.381 0.087 0.21~ 0.552 0. 194 0.078 0 . 04 ~ 0.346
âll -0.157 0.075 -0.302 -0 .009 -0 .081 0.067 -0 .208 0.050
Logvra isembla n ce -20 ,960.48759

En utilisant le Teste de Wald (intervalle de confinace des estimateurs), nous ob-

servons que pour le côté des estimate urs des sinistres responsables l'âge de l'assuré
n 'a pas de relevan ce statistique, car dans l'intervalle de confiance des estimateurs
le zéro est à l'intérieur. Dans le côté des estimateurs des sinistres non responsables
la construction du véhicule entre 4 et 5 ans, la possession d 'une maison par l'as-
suré, le fait d 'être célibataires et la possession des infractions mineures n 'ont pas
aussi de relevance statistique.

Nous avons aussi obtenu f = 0.0836 et un J= 1.29026. Les estimations des

relativités bonus-malus ont été calculées grâce à l'équation (3.15) , et les valeurs
obtenues sont indiquées au tableau 3.4.
 62

Tableau 3.4 relativités calculées pour le modèle de base

Niveau l relativité r1

1 1.000
2 1.374
3 1.457
4 1.541
5 1.625
6 1.708
7 1.792
8 1.875
9 1.959
10 2.043

Par ailleurs, la figure 3.3 nous mont re le résul tat de l'estimation de la matrice de
transition en utilisant la structure du modèle de base. Comme la probabilité de
transition dépend des caractéristiques individuelles du risque et que nous n 'avons
pas construi t une matrice pour chaque assuré, nous avons utilisé un À moyen
pour chaque type de sinistres dans la distribu tion Poisson pour construire une
seule mat rice. Nous avons calculé les estimateurs des Às moyens pour les sinistres
responsables et non responsables en utilisant la fr équence totale de la base de
données. De cette faço n, nous avons estimé le ~R = 0.02873627 pour les sinistres
responsables , avec un intervalle de confiance à 95% de (0.027887395; 0.029585 143),
et le À NR = 0.03740854 pour les sinistres non responsables, avec un intervalle
de confiance à 95% de (0.036430; 0.038387). Nous avons utilisé la t héorie de la
moyenne d 'échant illon comme es timate ur comme présenté par (?) pages 448 à
453 pour construire les intervalles de confiance et nous voyons qu 'ils sont st atisti-
quement différentes.
 63

Figure 3 .3 Matrice de transition du modèle de base

(j) 2 3 4 5 6 8 9 10
(i)
1 0,971673 0 0,027922 0 0,00040 1 0 3,843E-06 0 2, 761E -08 1,594E- 10
2 0,9 1313 0,048 155 0 0,03795 0 0,000749 0 9,S58E-06 0 9,806E-08
3 0 0,908 102 0,050883 0 0.0~01 62 0 0, 0008 ~1 0 0,0000 11 1,2-IE-07
4 0 0 0,903094 0,05 359 0 0,042364 0 0,000938 0 0,0000 14
T= 5 0 0 0 0.898 11 5 0.056274 0 0,044 5551 0 0.00104 0,0000164
6 0 0 0 0 0,893 162 0,058936 0 0,0467353 0 0,00 1166
7 0 0 0 0 0 0,88823 7 0,0615769 0 0,048904 7 0,00 12809
8 0 0 0 0 0 0 0,88333 97 0,0641958 0 0,0524645
9 0 0 0 0 0 0 0 0,8784689 0,0667932 0,05473 8
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,873625 0, 126375

Une fois que la matrice de transition a été construite, nous pouvons déterminer
le niveau d'entrée des assurés qui ont plus de 6 ans de NAP. Nous utilisons la
méthode développée au point 3.2.2, la matrice de transition et le NAP pour classer
chaque assuré à son niveau probable d'ent rée. Le graphique 3.4 résume le résultat
du calcul du niveau d'entrée probable des assurés avec un NAP supérieur à six
dans le modèle de base.

Pour les assurés avec un NAP ~ 6, nous pouvons accéder à l'historique complet
des réclamations et reproduire avec exactit ude le parcours de l'assuré jusqu'à la
date de l'adhésion à la compagnie. Par exemple, lorsqu'un assuré potentiel appelle
la société pour souscrire à une assurance, nous pouvons accéder rapidement à son
historique de sinistres et déterminer le niveau exact auquel l'assuré entrerait.
Cependant, dans le cas où l'assuré a un NAP supérieur à 6, nous n 'avons aucun
moyen de déterminer son niveau d'entrée dans la compagnie avec précision. De
cet te façon, nous utilisons les résultats du graphique 3.4 pour déterminer le niveau
probable d'ent rée de l'assuré. Par exemple, si une personne assurée potentielle avec
NAP = 10 appelle la société pour souscrire à l'assurance, nous ne pouvons pas
savoir exactement quel est son niveau d'ent rée, puisqu 'elle a un NAP plus grand
que 6. De cette façon, nous obtenons NAP - 6 (10 - 6 = 4) et nous utilisons
 64

la fonction décrite dans le graphique 3.4 du modèle de base pour lui assigner
un niveau de départ. Nous pouvons donc déterminer le niveau probable d'entrée
6 ans avant que l'assuré rejoigne la compagnie et, à partir de ce point, utiliser
l'historique des sinistres disponible pour compléter le parcours et déterminer le
niveau d 'entrée de l'assuré dans la compagnie. Notez que cc niveau a été établi
sur la base d'une estimation et d'informations précises.

Figure 3.4 iveau d'entrée estimé des assurés pour le modèle de base

!0

0
6 9 LO ll 8 19 20
l\AP -6

Tout d'abord, nous constatons que le niveau d 'ent rée pour les personnes assurées
avec un NAP supérieur à 6 n'est pas linéaire. Deux éléments soutiennent cette
constatation. D'une part, la méthode choisie pour déterminer le niveau d'entrée
utilise une règle par rapport à la relativité moyenne selon le NAP-6 et les relativités
estimées pour le modèle.

De plus, nous vérifions que les deux premières années après NAP-6 sont considérés
comme similaires en termes de risque, puisqu 'elles sont classées au niveau 10. ous
avons observé une diminution du niveau d 'entrée du AP-6 de 2 à 6. Les niveaux
 65

6 et 7 sont également classés et nous voyons une réduction jusqu 'au NAP - 6 =
10. À partir de NAP- 6 supérieur à 10, le niveau d 'entrée assigné aux assurés est
le 2.

3.5.2 Le modèle de contrôle

Le modèle de contrôle ayant la meilleure logvraisemblance a une structure de

pénalisation de format -1 /+3. Tout comme pour le modèle de base, nous avons
ajusté plusieurs dizaines de modèles , et c'est le modèle avec une pénalité d e + 3
qui générait la meilleure logvraisemblance. Plus concrèt ement , cela signifie qu 'un
assuré aura une pénalité de trois niveaux par réclamation , peu imp orte s 'il est
responsable ou non de l'accident , et qu 'il descendra d 'un niveau s 'il n 'a pas de ré-
clamation dans l'année. Dans le tableau 3.5 nous avons indiqué l'estimation des /3s,
les écarts-types et la logvraisemblance de ce modèle. Nous déjà remarquons que la
seule variable qui n 'a pas de signifiance statistique c'est la possession d 'infractions
mineures.

Maintenant que nous avons estimé les /3 des deux modèles, nous pouvons compa-
rer comment le modèle de classification a priori pondère les caractéristiques de
l'assuré et de son véhicule. Pour procéder à cette comparaison, il fau t introduire le
profil de base . Cet assuré est celui où tous les Xi = 0 à l'exception de X 0 = 1. Cela
veut dire que le .\ ,t = exp(f3oXo + /3rXr + /32X2 + ... ) devient Ài,t = exp(f3oXo)
pour un cas générique. Généralement , cet assuré de base représente le profil avec
la plus grosse exposition parmi tous les profils de la base de données. Si nous
regardons le tableau 1.2, nous pouvons structurer ce profil en déterminant le com-
plément des informa tions qui y sont fournies. Ainsi, le tableau 3.6 présente les
caractéristiques de l'ass uré avec le profil de base. Il est à noter que ce profil de
base est le même pour les deux modèles , car ils utilisent tous deux la même base
de données et les mêmes X i .
 66

Tableau 3.5 Les (3s estimés pour le modèle de contrôle

si Estimations Écart-Type Lim. Bas 95% Lim. Haut 95%

So -2 .765 0.086 -2.929 -2. 597

(31 0.198 0.082 0.040 0.360

s2 0.117 0.049 0.023 0.212

s3 0.214 0.042 0.133 0.296

s4 0.170 0.040 0.093 0.248

Ss 0.101 0.042 0.021 0.182

s6 0.105 0.033 0.041 0.171

s7 -0.3 56 0.053 -0 .457 -0 .253

Ss -0 .306 0.053 -0 .408 -0 .201

f3o 0.096 0.041 0.018 0.176

s10 0.270 0.061 0.153 0.388

Su -0 .086 0.057 -0 .195 0.026

Logvraisemblance -17,934.16189

Tableau 3.6 Description du profil de l'assuré de base pour les deux modèle

D escription du profil
Âgé 61 ans ou plus .
Véhicule est âgé de 6 ans ou plus.
L'assuré n 'a pas de maison.
Il y a 3 conducteurs ou plus.
L'assuré est marié.
Il a reçu de infractions mineures.
 67

Nous commençons par incorp orer ces informations dans chacun des modèles et
d'extraire la prime de base de chacun . Les équ ations liées à ce calcul sont simi-
laires mais ne sont pas égales. Pour le modèle de base, la prime est calculée sous
forme agrégée puisqu 'elle comporte deux composantes : Prime = )..R + ).. NR =
exp (/3{!) + exp(f3(;1R). P our le modèle de contrôle, le calcul est direct : Prime
= exp(/30 ). Rapp elons qu 'à ce stade du travail , nous nous intéressons uniquement
à la comparaison entre les modèles de classification a priori et nous ne prenons
pas en compte les relativités des SB M de chacun. Le tableau 3.7 mont re les détails
du calcul.

Dans la comparaison du prix de base de chaque modèle, nous constatons :

- la prime de l'assuré de base du modèle de base est de 0.07034, et un intervalle

de confiance à 95% de cette prime est (0.05622 , 0.08844) ;
- la prime de l'assuré de base du modèle de cont rôle est de 0.06299 , et un intervalle
de confiance à 95% de cette prime est (0.05344, 0.07450) ;
- la prime de base du modèle de cont rôle est inférieure à celle du modèle de base,
mais elles ne sont pas statistiquement différentes (à 95%) ; et
- la prime de base du modèle de base est comp osée de près de 50% (0 ,0353) du
montant provenant de la structure des sinistres responsables et de 50% (0,0350)
de la structure des sinistres non responsables.

Cette comparaison mont re que, même si les pénalités sont plus sévères, le modèle
de cont rôle a une prime de base inférieure à celle du modèle de base, ce qui suscite
une plus grande attractivité de la part des assurés à faible risque.

Pour compléter l'analyse de la partie de classifications de chacun des modèles ,

nous évaluons comment les régresseur se comp ortent , en se rappelant qu 'il y
a plus de régresseurs que de variables. Il faut noter que le modèle de base est
composé de deux f3 (f3 R pour les sinistres responsables et f3N R pour les sinistres
 68

Tableau 3. 7 Calcul de la prime de base de l'assuré avec le profil de base pour

chaque modèle

Modèle Description Formule Valeur

Base {3/} [1] -3.34291
Écart-type du {3/} [2] 0.12440
Limite bas à 95% du {3/} [3] -3.58162
Limite haut à 95 % du {3/} [4] -3.09908
PrimeR [5] = exp( [l]) 0.03533
Limite bas à 95 % de la PrimeR [6] = exp([3]) 0.02783
Limite haut à 95 % de la PrimeR [7] = exp([4]) 0.04509
f3(! R [8] -3.35229
Écart-type du f3(!R [9] 0.10909
Limite bas à 95 % du f3(! R [lü] -3.56161
Limite haut à 95 % du {3(! R [11] -3 .13848
PrimeNR [1 2] = exp([8]) 0.03500
Limite bas à 95 % de la PrimeN R [1 3] = exp( [lü]) 0.02839
Limite haut à 95 % de la PrimeNR [1 4] = exp([ll]) 0.0433 5
PrimeTotal [1 5] = [5] + [1 2] 0.07034
Limite bas à 95% de la Prim eTotal [1 6] = [6] + [1 3] 0.05622
Limite haut à 95% de la Prim e Total [17] = [7] + [1 4] 0.08844
Contrôle f3o [1 8] -2.76482
Écart-type du {30 [1 9] 0.08565
Limite bas à 95 % du {30 [20] -2.92918
Limite haut à 95 % du {30 [21 ] -2.59694
Prime [22] = exp([18]) 0.06299
Limite bas à 95% de la prime [23] = exp([20]) 0.05344
Limite haut à 95% de la prime [24] = exp( [21]) 0.07450
 69

non responsables) . Il sera donc nécessaire d 'agréger les résul tats des f3 R et f3N R
pour les comparer aux f3 du modèle de cont rôle. Lorsque chacun des modèles est
utilisé en tarification , nous pouvons calculer le pourcentage de changement de
prime selon chaque caractéristique (ou variable X 1 , X 2 , ... , X 10 ) par rappor t à
l'assuré de base . Ainsi, le tableau 3.8 montre les f3 des deux modèles et l'effet de
chaque régresseur.

Tableau 3 .8 Comparaison des f3 des modèles

modèle de base modè le de co ntrOle
Var iab le X J Vale ur Description li," % chgmt (R) ~J;"k % chgmt (NR) % chgm t. (Total) a, % chgmt in pre m ium
Xl Si l'asslll'é est i\gl• emre 16 cl 25 nus. O.OGH2 7% 0.207 1 23r;{ 30\)( 0 . 1983 22%
X2 Si l'assure est. âgé emre 26 ct 60 nns. ·0 .000 1 0% 0.2 16ï 281{ 28'X 0. 1168 12Yc
.\ 3 Si Il' \'éhit;ulc CSL ucuf. 0. 1929 21 % 0.2370 2ï 'X 18% 0 .2139 2<1%
X-1 Si le \'éhiculc est âgé emre 1 ct 3 ami. 0.2600 301/o 0. 105 1 I I Ï{ 4 1%. 0. 1698 19%
XJ Si le ,-éhiculc est ii.gé emre 1 ct 5 aus. 0. 16 12 lï% 0.0569 67.. 23% 0 . 1007 11 %
X(i Si l'ass uré a tmc maisou. 0. 1 ~ 1 2 20% 0.029 1 3% 23X O. IOJG ll 'lt
Xï S' il y n ti l l seul couductcur. -0. \ïït -38% ·0.33 12 -28o/c. -607.. -0.35G2 -30Vo
X8 Sïl ,\' n df'mc •·ouductcurs. -o.:ng; -32% -0.28<17 -257.. -5GX ·0.3059 -2GYo
X9 Si l'assuré est céli baLairc. 0. 12 1(i 13Yo O.O!J85 IO'lt 2·1% U.O!.IGI 10%
XIO Si l'assuré csl dh·urcé. 0.:1812 W% 0. 1937 21'X GSYv 0.2G96 31%
Xli Sïl u'n p iL.'> <FinfrncLions mineures. -O. I J72 .[J% -0.0807 .gtX_ -22% -0.0 57 -8%

Dans la structure même du modèle de base , nous voyons déj à comment les deux
types de sinistres ajustent différemment la prime de base. L' âge de l'assuré est le
meilleur exemple. Dans le cas des réclamations responsables, l'âge de l'assuré ne
semble pas avoir d 'importance parce que les surcharges appliquées sont minimes
ou nulles. Cependant, en ce qui concerne les réclamations non responsables, l'âge
a un poids important dans l'ajustement de la prime de base, en appliquant des
surcharges de 23% ou 28% selon le group e d 'âge. Cette différence de traitement
dans le modèle de base apparait également quand on prend en compte l'âge du
véhicule, la possession d 'une propriété, l'état civil de l'assuré et les infractions
mmeures .

En comparant les facteurs de pourcentage agrégés du modèle de base avec les

facteurs respectifs du modèle de cont rôle, nous remarquons que le modèle de base
utilise des remises et des surcharges beaucoup plus larges par rapport à celles du
 -- - - - - --- - -- - -

70

modèle de contrôle, ce qui génère des primes extrêmes . P ar exemple, dans le modèle
de contrôle, l'escompte maximum est de 30% et la surcharge maximale s'élève à
31%, tandis que, dans le modèle de base, nous avons une réduction maximale de
66% et une surcharge maximale de 68%.

Nous nous sommes questionnés à propos du besoin d 'avoir un ou deux jeux de

paramètres dans la sous-section 3.3. 1. Cependant, comme notre but n 'est pas
d 'évaluer en détails la partie de classification a priori du modèle, nous ne signa-
lons que des observations à ce sujet . À nouveau , nous regardons les colonnes des
facte urs de chaque (3 du tableau 3.8. Si les chiffres du modèle de base sont proches
et sont similaires au chiffre du modèle de contrôle, nous pouvons dire qu 'un seul
jeu de paramètre est suffisant pour décrire la caracté ristique. De cette façon , nous
pouvons voir que quatre Xi pourraient être décrits par un seul jeu, soit : si le vé-
hicule est neuf, si le véhicule est âgé entre 4 et 5 ans, s'il existe deux conducteurs
et si l'ass uré est célibataire . Pour tous les autres cas, deux jeux de paramètres
semblent être nécessaires.

À noter que cette comparaison des surcharges ou rabais par variable est fait pour
connaît re l'impact réel de l'application concrète des modèles en tarification. L'ob-
jectif n 'est pas de mesurer la différence statistique entre les estimateurs. Cette
approche est plus axé pour ré oudre les problèmes de décision qui les actuaires
ont clans les compagnies d 'assurance pour choisir des variables et des modèles à
utiliser pour construire leurs tarifs .

Enfin , nous arrivons aux relativités du modèle de contrôle. Le tableau 3.9 présente
les résultats de l'estimation , en ut ilisant les estimés de b = 1.13735056 et f =
0.10002584.

Les relativités des niveaux 2 à 10 du modèle de contrôle sont 0.10 plus élevées
à chac un de ces niveaux . Du niveau 1 au niveau 2, cette distance est légèrement
 71

Tableau 3.9 relativités calculées pour le modèle de contrôle

Niveau l relativité rl

1 1.000
2 1.237
3 1.337
4 1.437
5 1.537
6 1.637
7 1.738
8 1.838
9 1.938
10 2.038

supérieure, elle atteint près de 24%. Si nous comparons les relativités des deux
modèles, le modèle de base a des relativités égales ou supérieures au modèle de
contrôle à tous les niveaux. Les niveaux extrêmes sont égaux ou extrêmement
proches. Cela se produit, car le modèle de base est moins sévère et doit donc
trouver des moyens de compenser ce manque de séverité de -1/ 0/+2 par rapport
à -1 /+3 du modèle de contrôle.

La figure 3.6 montre le résultat de l'estimation de la matrice de transition en

utilisant la structure du modèle de contrôle. Ainsi, comme pour le modèle de
base, nous avons calculé un lambda moyen comme estimateur du paramètre de la
distribution Poisson. La valeur de cet estimateur est À = 0.0661448105.

ous avons utilisé la méthode développée au point 3.2.2 , la matrice de transition

du modèle de contrôle et le AP pour classer le niveau d 'entrée probable de chaque
assuré. Le graphique 3. 7 montre le résultat.
 72

Figure 3.5 Graphique comparant les relativités des deux modèles

2.1 00

1.900

l.ïOO

-
~ 1.500

1.300

LI OO

0.900
2 d 6 9 10
Niveau

- -Modàle de base --.- Modèle de colltrôle

Nous pouvons voir des similarités dans le comportement de la fonction du niveau

d'ent rée des modèles. Par contre, lors de la comparaison des graphiques de niveau
d'ent rée du modèle de base et du modèle de contrôle dans le gra.phique 3.8, les
NAP - 6 de 4 à 14 sont différents. Alors que dans le modèle de base, la courbe
atteint le niveau 2 avec un NAP - 6 = 10, dans le modèle de contrôle, la courbe
atteint le niveau 2 uniquement dans NAP- 6 = 14. De plus, le modèle de contrôle
étant plus sévère en général, il est plus dur de déterminer les niveaux d'entrée entre
les NAP-6 de 4 à 14. P ar exemple, une personne avec NAP-6 = 8 sera classée avec
un niveau d'entrée 5 dans le modèle de base et 6 dans le modèle de contrôle. Ainsi,
le modèle de contrôle indiquera toujours un niveau égal ou supérieur au modèle de
base comme niveau d'entrée de l'assuré avec NAP supérieur à 6. Il en résulte que
le modèle de contrôle aura moins d'assurés aux niveaux inférieurs, dans le départ ,
que le modèle de base et , conséquemment , cela contribue à l'offre de meilleures
 73

Figure 3.6 Matrice de transition du modèle de contrôle

(j) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(i)
1 0.9359953 0 0 0.06 19 11 2 0 0 0.0020476 0 0 0.0000459
2 0.9214138 0 0 0 0.0754 141 0 0 0.0030862 0 0.0000859
3 0 0.9 1533 77 0 0 0 0.0809i28 0 0 0.00358 15 0.000 108
4 0 0 0.90930 16 0 0 0 0.086455 0 0 0.0042434
T c= 5 0 0 0 0.9033054 0 0 0 0.09 186 13 0 0.0048333
6 0 0 0 0 0.8973487 0 0 0 0.097 1925 0.0054588
7 0 0 0 0 0 0.89143 12 0 0 0 0.1085 688
8 0 0 0 0 0 0 0.8855528 0 0 0.11 44472
9 0 0 0 0 0 0 0 0.8797132 0 0.1 202868
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8739 12 0.126088

primes selon le type de risque que l'assuré apporte à la compagnie.

 74

Figure 3. 7 Niveau d'ent rée estimé pour le modèle de contrôle

10

1 4 5 6 9 10 Il 12 13 14 15 16 1ï 18 19 20
NAP-6

Figure 3.8 Comparaison du ruveau d'entrée estimé pour les deux modèles

10

'- --, -- - - . •fodeJe de contrôle

.... ', - - - l\·fodèle de base
" .... ' ',
' ',
" - -'' ---,
.... '
" ',
' ''
' ' ' ',
' \ ',',
' "----- -,
\
' '
\----- - -'--------------·

0
4 6 S 9 10 Il 13 14 15 16 17 lS 19 20
1\AP- 6
 CHAP ITRE IV

ANALYSE DE LA CAPACITÉ PRÉDICTIVE ENTRE LES DEUX MODÈLES

Dans ce chapit re du mémoire, nous comparons les modèles de base et de contrôle.

Dans le monde des assurances , comme nous le mentionnons au chapitre précédent ,
il existe une divergence d 'idées autour du suj et des accidents du type non respon-
sables . Même si les assurés ne sont pas légalement coupables de la cause de ces
accidents , certains ass ureurs croient qu 'ils ont une partie de responsabilité dans
ces événements, ne serait-ce qu 'un degré de participation à la cause de l'accident.

L'analyse proposée a comme but comprendre l'influence des accidents non res-
ponsables dans la tarification en assurance automobile. Les évaluations et les
comparaisons des deux modèles sont effectuées sous deux axes. Le premier axe
d 'analyse utilise certains outils statistiques, telles que la logvraisemblance et le
critère d 'information d 'Akaike , et certaines unités de mesure proposées par l'ou-
vrage de (Lemaire, 1995) sur les bonus-malus. Le deuxième angle d 'analyse est
basé sur l'équilibre actuariel entre primes et sinistres pour chac un des modèles, à
savoir ce qui se passerait si le modèle de contrôle et le modèle de base étaient en
compétition dans un marché fermé. Nous comparons des profils d 'assurés et nous
identifions le modèle qui surpasse l'autre dans la course à la clientèle. Nous sup-
posons un environnement fermé, c'est-à-dire qu 'il n'y a pas de clients provenant
de l'extérieur. Seuls les ass urés présents dans la base de données au moment de
 76

l'analyse sont considérés.

4.1 Outils de comparaison classiques

4.1.1 Ajustement statistique

La logvraisemblance est l'un des outils les plus utilisés pour évaluer l'ajustement
des modèles. (Boucher et Inoussa, 2014) l'ont d 'ailleurs utilisée comme instrument
de comparaison entre les modèles qu 'ils ont développés. Au chapitre précédent ,
nous y avons fait recours pour déterminer le type de paramétrisation offrant le
meilleur ajustement statistique pour chaque modèle. En effet, pour obtenir la
valeur des paramètres des modèles , nous avo ns essayé toutes les combinaisons
possibles des niveaux de pénalité par sinistre déclaré, et to us les niveaux d 'entrée
possibles . Le modèle choisi demeure celui qui possède la combinaison qui génère
la meilleure logvraisemblance .

Toutefois, cette statistique d 'ajustement n 'est pas compara ble d 'un modèle à
l'aut re. Le modèle de base modélise les deux types de sinistres séparément. Cela
veut elire que ce modèle calcule la logvraisemblance pour la omme des deux
modèles de probabilités , un pour chaque type de sinistre. Si nous utilisons une
no tation simplifiée, nous avons :

(4.1)

Le modèle de contrôle, par contre, modélise la probabilité des sinistres agrégées

de l'assuré sans aucun type de distinction. En notation simplifiée , nous donetons :

(4.2)

avec S = JVR + JVNR. Pour que les deux soient comparables , le modèle de contrôle
devrait modéliser la probabilité de toutes les combinaisons possibles qui donnent
 77

S, ce qu 'il ne fait pas. Il faut donc d 'autres outils pour évaluer et comparer ces
deux modèles. Ces outils sont présentés dans ce qui suit .

4.1.2 Le coefficient de variation

Lorsque la tarification en ass urance ne considère pas les caractéristiques de chaque

assuré, nous sommes dans un environnement parfaitement solid aire. Dans cette
situation , il n 'est pas possible de faire une distinction dans les primes d 'assurance,
ce qui signifie que la prime est la même pour tous les ass urés. Alors , il n'y a
aucune variabilité des primes d 'ass urances. À l'inverse, quand de nombreuses ca-
ractéristiques du risque sont considérées dans la tarification et que la prime est
proportionnelle au risque ass uré, le niveau de solidarité de la prime est réduit . La
segmentation de la prime, à l'aide des caractéristiques des assurés, génère ainsi
une variabilité de la prime d 'assurance chargée aux assurés.

Selon (Lemaire, 1995), la meilleure manière de capturer et d 'évaluer la solidarité,

et donc la variabilité de la prime, est d 'utiliser le coefficient de variation (CV)
des primes chargées. L'équation (4.3) est ainsi utilisée pour calculer le coefficient
de variation par année pour chacun des modèles, alors que l'équation (4.8) est
ut ilisée pour calculer le coefficient de variation globale. Le coefficient de variation
s'exprime ainsi :

t
V:t (J pri m e
C pTiTne = - - -t - ' (4.3)
p
avec
" 'nt pt
-pt = 0 i= l i
(4.4)
" ' nt Et·
0 ,=1 '
Les primes individuelles par année sont calculées comme suit :

(4.5)
(4.6)
 78

et
t
"""' nt
L..... 2=l
(Pt_
2
P')2
(Jpr ·i me (4.7)

où Pt représente la prime moyenne pour l'a nnée t, CJ~rime correspond à l'écart-type

des primes pour l'année t , P; représente la prime de l'assuré i pour l'année tetE;
est l'exposit ion de l'assuré i pour l'année t . ous obtenons ainsi :

(4.8)

avec
(4.9)

et
"""'6 """'nt (Pt _ Pt)2
L..... t=l L.....t= l 2
(4. 10)

où PT est la prime moye nne totale et CJ~·imc est l'écart-type total.

Le CV est une statistique connue, simple et facile à in terpréter parce que , entre
aut res, elle n'a pas d 'unité de mesure. Ces avantages facilitent son ut ilisation et
son implémentation. Si nous nous fions à (Lemaire , 1995), nou concluons que le
modèle le plus pénalisant est celui qui possède le CV le plus élevé.

Tableau 4.1 Les coeffi cients de variation globaux des deux modèle

modèle CV Global
Base 0,4509332
Contrôle 0,4687446

Le tableau 4.1 présente les coeffi cients de variation globaux des deux modèles à
l'étude . No us observons que le modèle de contrôle est plus sévère que le modèle
de base, car la valeur de son coefficient de variation global est plus élevée.
 79

(Lemaire, 1995) a calculé et classé le CV pour 30 différents SBMs de divers pays

dans le Tableau 5. 1 de son ouvrage , illustré dans le tableau 4.2. Nous avons placé
les nôtres dans ce tableau. Toutefois , avant de comparer les résul tats, il est im-
portant de mettre en évidence quelques éléments :

1. Les modèles utilisés dans (Lemaire, 1995) sont évidemment différents des

nôtres , (Lemaire, 1995) ayant utilisé la calibration classique des SBMs (voir
section 3.2.7).

2. P armi les différences entre les SBMs de (Lemaire, 1995) et les nôtres est le
fait que l'auteur a ut ilisé une prime de base unique pour tous les ass urés du
modèle, tandis que nous avons segmenté la prime de chaque ass uré selon ses
caractéristiques.

3. (Lemaire, 1995) ne s'est pas intéressé à t rouver la meilleure structure de

pénalité pour les SBMs de chaque pays , tandis que nous l'avons fait. ous
remarquons qu 'il est possible qu 'une structure de pénalité différente et op-
t imale ait pu être proposée par des analyses statistiques en fonction d 'une
base de données représentant l'historique de sini tre automobile d 'un pays.
Nous pouvons consulter la description précise des SBMs de chacun des pays
dans l'annexe B aux pages 133 à 152 de (Lemaire, 1995).

Comme nous pouvons voir dans le tableau 4.2 , nos modèles sont situés dans le
haut du classement. Cela signifie que nos modèles permettent d 'offrir des primes
fort ement différentes entre les assurés.

Il faut noter que dans les modèles que nous avons développés, une partie de la dif-
férentiation des primes provient des relativités bonus-malus , mais une autre partie
provient de la segmentation a priori. De cette façon, pour pouvoir comparer de
manière cohérente les résultats , nous avons calculé de nouveau le CV des modèles
en éliminant la segmentation a priori. Il faut cependant indiquer que nous n 'avons
pas estimé de nouveau tous les paramètres des modèles : nous avo ns utilisé toute
 80

Tableau 4.2 Les coefficients de variation globaux des modèles

Rang P ays (ou systèm e ) Le coefficie nt d e va riation
modèle d e co ntrôle 0 ,4687
2 Suisse (11011 \·ra 11 ) 0.-l:i%
3 modèle d e base 0 ,4509
Norv<'g<' (vic11x) 0.3900
5 Kenya 0.3835
6 Fin lall(l<' (110II\'Ca11 ) 0. 383~

7 Sruod<' 0,3769
8 Pays Bas 0,3523
.Japon (11011V<'a 11 ) 0.32 3
10 Taï\\'an 0.3162
Il ]\Ja laisic 0.3075
12 Dcuamark 0.30 17
13 S11isse (vi<·11 x) 0.2 700
1-1 FiulandP (vie11x) 0.2570
15 Allcmag1w (nou,·caux) o.253G
16 Houg Kong 0.2518
17 R oya tlnJ r - U ui (sam; protC'C't iou) 0 .2~1 9

18 Lu x<' mhourg (uot tvf'aH ) 0.2 1-17

19 Bclgiq11r (11011 vCa11 ) 0.2 12
20 France 0,20-I!J
21 Norvèg<' (nouvrau) 0.20-19
22 Portugal 0.1956
23 T baïla 11d r 0,1925
24 Espagne 0. 1533
25 Corée du S11d 0. 127 1
26 .la pou ( vi<•11x) 0. 1261
27 Royaur11r-Uui (prot égi·) 0.1 260
LuxPmhourg (vieux) 0.1075
29 ItaliP (11o11 vra u) 0 .093~

30 I3elgiqru• (v iPux) 0.0586

31 Brésil 0.030-1
32 ltali<' (v ir• ux) 0 . 110~ 6
 81

la structure déjà développée, mais nous avons enlevé l'impact des caractéristiques
du risque. Le tableau 4.3 nous présente les résultats de ce nouveau calcul.

Après la correction du CV, il est possible de voir dans le tableau 4.3 que les
coeffi cients de variation des modèles sont réduits . ous nous y attendions. Ce
qui est le plus important est la démonstration de la classification des modèles.
os modèles demeurent dans la partie supérieur du tableau. Cela signifie que les
modèles à l'étude sont capables de bien différencier la prime d 'assurance.

Dans le cas sans segmentation a priori, le nouveau SBM de la Suisse est le plus
sévère et il différencie le plus les primes. Or, si nous ajoutons la segmentation a
priori pour différentier davantage les primes de nos modèles, comme nous pouvons
le voir dans le tableau 4.2, le modèle de contrôle est plus sévère que celui de la
Suisse. Notons que le modèle de base , même avec l'ajout d 'une segmentation a
priori , n'est pas encore aussi sévère que celui de la Suisse. Selon cet outil , le modèle
de base différencie davantage la prime d 'assurance comparativement aux autres
pays , mais il est inférieur que le modèle de contrôle.

Dans le tableau 4.4, nous avons apparié les coefficients de variation de nos mo-
dèles avec l'inclusion d 'une segmentation a priori et sans celle-ci. Une différence
d 'environ 11 % des CVs est due à cette segmentation .

Le résultat le plus important de cette analyse est que les modèles proposés sont
encore classés dans la partie la plus haute des tableaux. Cela nous assure qu 'ils
distinguent davantage les primes d 'assurance. Dans le tableau 4.4, il est évident
que le modèle de contrôle performe mieux que le modèle de base. Toutes les
statistiques sont favorables et démontrent que le modèle de base est pénalisé par
l'inclusion de la contrainte légale. Commençons maintenant à évaluer le CV par
modèle. Dans le tableau 4.5, nous présentons les CVs du modèle de base.
 82

Tableau 4.3 Les coefficients de variation globaux des modèles , sans le modèle de
classification a priori
R a ng Pays (ou systè m e ) Le coe fficien t d e variation
Suiss<' (uo\1\'Pau ) IU oD5
2 modèle d e contr ôle 0 ,422 1
3 modèle d e base 0 ,4070
Nur vrg<' (v i<' IIX) 0.3900
5 l\c•nya 0.3835
6 Fi ulanri P (nouvea u) 0.383-1
7 Surd r 0.3769
8 Pays Bas 0,3523
D .J apo n (nou,·ra u) 0.3283
lO Taïwau 0.3162
11 ~da l ais i e 0.30 ï 5
L2 Qpuamark 0.301 7
13 Suisse (,·i•·nx) 11 .2700
1-1 Fin land<• (,·ipux) 0.25711
15 A ll <·magm· ( noii Vt'illl x) 0.2536
16 l loug l(nug 11,25 1
17 Roya n111 r-U ni (sa ns prorce tiou) 0.2-11 9
18 Luxr111bomg (nou,·ra u) 0.2 1-17
19 Belgiq ue (nouvea u) 0.2128
20 Fraun• 0.20-1 9
21 Norvège (uo uvca u) 0.20-1 9
22 Portugal 0.19oG
23 Th aïlaud <• 0. 1925
24 Espagn<' 0, 1533
25 Currl' du Suri 0.127 1
26 .la pon (\· ir11x) 0. 126 1
27 Royau111c-U ni (protege) 11.12GO
28 Lu xcluhourg (vü•u x) 0. 1075
29 lr a lif' (nonvra 11 ) 0.093-1
311 Bc lgiq11r (d !'ux) 0.0586
31 Brésil 0.0311-1
32 ltal ir (vieux) 0. 00-16
 83

Tableau 4.4 Les coefficients de variation globaux des modèles avec et sans la
segmentation

Le coefficient de variation CV (sans a priori) CV (sans a priori) Gain

modèle de contrôle 0,4221 0,4687 11 ,1%
modèle de base 0,4070 0,4509 10,8%

Tableau 4.5 Les coefficients de variation du modèle de base par année

année
Statistique 1 2 3 4 5 6
Prime moyenne 0,0687 0,0659 0,0633 0,061 5 0,0599 0,0605
L'écart-type 0,0325 0,0248 0,0236 0,0231 0,0504 0,0527
Coefficient de variation 0,4730 0,3768 0,3738 0,3759 0,8416 0,8705

Au préala ble, il faut noter que les deux dernières années d 'exposition sont forte-
ment réduites et cela génère des résultats hors des attentes. Dans le tableau 4.5,
nous pouvons observer que les statistiques CV diminuent durant les quatre pre-
mières années, années durant lesquelles les bases de données ont une exposition
crédible. Cette réduction illust re la tendance qu 'ont les primes de se rapprocher
et de réduire l'écart entre elles. Quand le temps passe, les assurés changent de
niveaux dans le système et la majorité migrent aux positions ayant des primes
moins chères. Cela garantit un rapprochement des valeurs des primes au fi l des
années.

Le tableau 4.6 nous présente les CVs du modèle de contrôle. Nous pouvons voir que
les CVs du modèle de contrôle se comportent de façon similaire à ceux qui ont été
observés dans le modèle de base. Dans les deux cas, nous constatons que les assurés
vont aux niveaux inférieurs du système au fi l du temps. Cette concentration dans
les niveaux plus bas du système réduit l'écart de la valeur des primes . Pour mieux
 84

Tableau 4.6 Les coefficients de variation du modèle de contrôle par année

année
Statistique 1 2 3 4 5 6
Prime moyenne 0,0688 0,0661 0,0628 0,0609 0,0591 0,0593
L'écart-type 0,0334 0,0264 0,0249 0,0245 0,0502 0,0516
Coefficient de variation 0,4856 0,3988 0,3970 0,4014 0,8489 0,8699

analyser toutes les informations à propos des coefficients de variation des modèles,
nous avons élaboré le graphique 4.1.

Figure 4.1 Comparaison entre les coefficients de variation des deux modèles

0 950

o_s;o

Q
.9 O.i 50
.~ - ....... - C\· - ~ l cdèle de comrO!e - - CV · Modè.lë d: hl se
~(lJ
-o 0 650
ê:
(lJ
(j
li3
(lJ
0 llO
0
u
O.JlO

0.3 l 0

Année

Si nous utilisons le CV comme outil de base pour choisir le meilleur modèle entre
les deux, nous pouvons nous baser sur ce que (Lemaire, 1995) nous indique : celui
qui a le CV le plus élevé est le modèle qui distingue davantage les primes, ce qui
le rend le meilleur modèle. Avec une meilleure différenciation, il est possible de
 85

proposer des primes plus adaptées au risque de chaque assuré, de garantir plus
de compétitivité des tarifs et d 'attirer de meill eurs assurés en terme de risques
pour le portefeuille. À long terme , cela augmenterait les chances de solvabilité de
la compagnie d 'assurance . Suite à cette constatation, le modèle de contrôle est
meilleur que le modèle de base.

4.1.3 Le niveau relatif moyen stationnaire

Selon les mots de (Lemaire, 1995), le niveau relatif moyen stationnaire (NRMS)
mesure la position du conducteur moyen, une fois que le SBM a atteint un état
stable, sans définir ce qui est un état stable. ous considérons alors que cet état
stable signifie que le portefeuille est assez grand , inclut des assurés de toute sorte
d 'expérience de condui te (diverses valeurs de NAPs), et que les ass urés sont distri-
bués dans tous les niveaux du modèle. Nous retrouvons cette stabilité dans notre
étude.

Une statistique NRMS plus élevée suggère une meilleure répartition des assurés
dans les niveaux du SBM . En fait , plus ce nombre est faible, plus la concentration
d 'assurés dans les classes à rabais est élevée. Plus ce nombre est élevé, meilleur est
le modèle, puisqu 'il est capable de mieux répartir les assurés entre les niveaux et
permet une plus grande variation des primes d 'assurance. (Lemaire , 1995) a ex-
pliqué que cette statistique est comparable à des SBMs qui ont différents types de
structures , différents nombres de niveaux et différentes structures de pénalisation.
Le NRMS est calculé selon l'équation suivante :
N RM S = Niveau Moyen Stationnaire - Niveau Minimal
(4. 11)
iveau Maximal - iveau Minimal

Le niveau moye n stationnaire (NMS) dépend uniquement de la matrice de tran-

sition du modèle et du nombre de niveaux.

NNIS =71'S (4 .1 2)
 86

où 1r est la ligne de la mat rice stationnaire IT, basée sur les matrices de transitions
T et T c, dans les fi gures 3.3 et 3.6. Ces deux matrice sont utilisées pour estimer
les vraies matrices de transition des deux modèles , car elles sont con truites d 'une
façon aussi approximative et avec les données de t- 6 jusqu'à t + 6, et elles sont
utilisées pour parcourir ce qui se passe avec les ass urés avant t - 6. Le vecteur-
colonne s est une séquence numérique de 1 à 10 : s = (1, 2, ... , 10).

Le NRMS est toujours compris entre 0 et 1. Si la valeur est pro che de zéro , il existe
une t rès grosse concentration de assurés dans les classes de primes moins chère.
À l'inverse, si la valeur est près de 1, il existe une concentration des ass urés proche
du niveau de prime le plus chèr du système. Une valeur de NRMS plus au centre
peut indiquer une meilleure distribution des assurés dans les niveaux du SBM.
(Lemaire, 1995) a remarqué que pour tous les systèmes, il existe une tendance :
il y a une réduction des prime au cours des années et une for te concent ration
des assurés se retrouve dans les classes les moins chères. Il explique que cette
sit uation génère des indices généraux à la baisse, c'est-à-dire, la classe moyenne
que les assurés occupaient est proche du niveau le plus bas du système.

Dans le tableau 4.7, nous présentons les NRMS du modèle de base et de contrôle.
La méthode n 'utilise que trois éléments pour faire son calcul : le ). , la mat rice
de t ransition et la structure du SBM. Aucune relation avec les données n 'est
nécessaire pour obtenir le résul tat.

Tableau 4. 7 Comparaison entre le RMS des deux modèles

modèle NRMS
Base 1,22%
Cont rôle 7,80%

Le tableau 4.7 précise que le modèle de contrôle distribue mieux les ass urés dans les
 87

niveaux du SB M et permet une plus grande diversification des primes d 'as urance,
ce qui est préférable. P lus précisément , cette différence majeure ent re les deux
modèles est due à la structure de pénalisation de chac un. Le modèle de base
distingue les deux types de sinistres et il bouge l'ass uré faut if seulement s'il est
responsable de l'accident . Si l'ass uré est considéré comme non responsable de
l'accident, il ne change pas de niveau. De cette façon, le modèle de base garde une
partie des assurés qui participent d 'accidents dans les niveaux plus bas du système,
tandis que le modèle de contrôle les envoie tous aux niveaux plus élevés du SB M.
Cela se reflète dans les matrices de transitions T et T c, qui sont une des variables
de la statistique NRMS. Ainsi, cette statistique démontre que le modèle de contrôle
est meilleur que le modèle de base par rapport à la distribu t ion des ass urés clans
les niveaux du système. À titre de comparaison , le tableau 4.8 présente l'insert ion
des statistiques RMS de nos modèles dans celles calculées par (Lemaire, 1995).

Nous vérifions à t ravers les résul tats elu tableau 4.8 que nos deux modèles ont des
statistiques TR MS insérées avec celles des modèles testés par (Lemaire, 1995).
Comme le calcul ne dépend que de t rois éléments , la façon dont ils interagissent
entre eux fait une différence significative . Le SB M le plus sévère est celui du
Kenya où le conducteur est envoyé au niveau le plus élevé elu système s'il fait une
réclamation.

4. 2 Le ratio sinistre 1 prime

Quand les actuaires font la tarification en assurance non-vie, leur premier obj ectif
est cl 'avoir un modèle qui puisse récolter le montant nécessaire pour payer les si-
nistres chaque année, ce que nous app elons un équilibre actuariel. Cette analyse se
fait selon un scénario libre de compétition . L' évaluation de ce rapport est appelée :
ratio sinistre 1 prime.
Plus en détail , nous avons calculé la prime pour chaque assuré par modèle et par
 88

Tableau 4.8 Comparaison entre les NRMS des nos modèles et les NRMS calculés
par (Lem aire, 1995)

Rang Pays (ou système) NRMS

1 Kenya 28 ,79%
2 Espagne 25,67%
3 Malaisie 21,17%
4 Finlande (nouveau) 16,04%
5 Suède 14,20%
6 P ays Bas 11 ,78%
7 Royaume-Uni (protégé) 11 ,37%
8 Taïwan 9,55%
9 Finlande (vieux) 8,46%
10 Hong Kong 8,35%
11 Thaïland e 8,03%
12 Modèle d e Contrôle 7 ,80%
13 Royaume-Uni (sans protection ) 7,07%
14 Portugal 6,75%
15 i\' orvège (v ieux) 6,61%
16 Suisse (nouveau) 6,47o/c
17 Allemagne (nouveaux) 5,85%
18 J a pon (nouveau) 4,63%
19 Belgiqu e (no uveau) 4,05%
20 Denamark 3,78%
21 Suisse (vieux) 2,90%
22 Fra nce 2,12%
23 :\'orvège (nouveau) 2,11 %
24 Brésil 1,85 %
25 Corée du Sud 1,37%
26 Luxembourg (nouveau) 1,36%
27 Italie (nouveau) 1,30%
28 Modèle d e Base 1 ,22%
29 Luxembourg (vieux) 1,01 %
30 J apon (vieux) 0,88%
31 Belgique (vieux) 0,74%
32 Italie (vieux) 0,01 %
 89

année . ous avons évalué ces primes et nous les avons comparées avec les sinistres.
Le Tableau 4.9 présente le sommaire de ces résultats et il inclu t le ratio sinistre 1
prime pour chaque cas.

Tableau 4.9 Sommaire de primes et sinistres avec le ratio sinistre 1 prime par
modèle
année
1 2 3 4 5 6 Global
Sinistres totaux ($) 1 752 1 263 830 556 224 2 4 627

Prime - Base ($) 1 616,2 1 276 ,7 881,2 595 ,7 220 ,1 1,8 4 591,9
r és ultat - Base ($) -135 ,8 13,7 51,2 39,7 -3,9 -0 ,2 -35 ,1
Ratio sinistre 1 prime - Base (%) 108,4% 98 ,9% 94 ,2% 93 ,3% 101 ,8% 108,3% 100,8%

Prime- contrôle ($) 1 616 ,8 1 279 ,3 875 ,0 589 ,3 216 ,6 1,8 4 578,8
résultat - contrôle ($) -1 35 ,2 16,3 45 ,0 33,3 -7,4 -0 ,2 -48 ,2
Ratio sinistre 1 prime - Contrôle (%) 108,4% 98 ,7% 94 ,9% 94 ,3% 103,4% 108,5% 101 ,1%

En observant les résultats du tableau 4.9, nous avons vérifié que les deux modèles
se sont comportés comme prévu . Il existe des variations positives et négatives
de ce rapport par année . Ces oscillations sont to uj ours attendues. Celles-ci sont
observées dans le marché d 'assurances. Ainsi, sans être en compétition, les modèles
sont capables d 'amasser suffisamment d 'argent pour payer les réclamations. Le
ratio sinistre 1 prime nous aide à comprendre qu 'avant d 'entrer en comp étition,
les modèles sont autonomes. Aut rement dit , chacun peut survivre fin ancièrement
s'il n 'y a pas de concurrence. Dans la section suivante, nous examinerons comment
les modèles de base et de contrôle se comportent lorsqu 'ils sont mis en compétition
pour attirer les assurés. Lequel des deux survit? Quel type d 'assuré est attiré par
chaque modèle? Comment se comportent les primes et les sinistres à travers le
temps entre les deux modèles?
 90

4.3 La compétition entre modèles

4.3. 1 Mise en contexte

Nous pensons qu 'il existe une autre manière d 'évaluer et de comparer l'efficacité
entre les deux modèles de tarification : à travers la simulation d'une compétit ion
de marché où chaque modèle représente une compagnie d 'assurances. ous croyons
que cet approche test aussi la capacité prédictive des modèles face à un environ-
nement non parfait, c'est-à-dire face à un environnement non contrôlé et absent
de compétiteurs. À notre connaissance, ce type d 'évaluation des tarifications n 'a
jamais été utilisée ni étudiée clans la littérature act uarielle.

Comme nous l'avons remarqué jusqu 'à présent , les deux modèles sont en mesure
de déterminer les primes d 'assurance suffisantes pour faire face au paiement des
sinistres . Chaque modèle se comporte différemment en raison de ses spécificités et
de ses contraintes . Dans un scénario de concurrence, ce qui est le plus important
pour une compagnie d'assurance est de pouvoir attirer les personnes qui offrent
moins de risques d 'accident , de réduire ou d 'éliminer l'antisélection et de contrac-
ter le montant le plus approprié de prime d 'ass urances par rapport au type de
risque. D'une part , dans un modèle avec moins de restrictions, comme dans le cas
elu modèle de contrôle, il est possible d 'avoir une prime d 'assurance plus personna-
lisée et plus adaptée au type de risqu e. D'autre part , lorsqu'il existe une restriction
légale, comme dans le cas elu modèle de base, la valeur de la prime d 'assurance
de chaque personne assurée est moins précise par rapport au risque. Une certaine
forme de compensation est nécessaire pour que le modèle puisse ramasser le mon-
tant nécessaire afin d 'honorer ses engagements. La façon dont le modèle de base
se comporte consiste à reéquilibrer les primes d 'assurances en fact urant un p eu
plus les ass urés moins risqués pour compenser la restriction liée à l'impossibilité
d 'augmenter les primes des assurés qui ont des réclamations non responsables.
 91

Jusqu 'à présent , le modèle de contrôle est plus sévère par rapport à la structure
des pénalisations que le modèle de base sur deux aspects :

1. Le modèle de cont rôle a la possibilité de pénaliser les ass urés qui ont des ac-
cidents non responsables. À l'inverse, le modèle de base, dû à une cont rainte
légale, ne peut pas utiliser les réclamations non responsables p our augmenter
la prime d 'ass urance;

2. Pour un accident responsable, le modèle de contrôle déplace l'ass uré de trois

niveaux ( + 3) sur l'échelle SBM , alors que le modèle de base ne suppose
qu 'un mouvement de deux niveaux ( + 2).

Deux autres éléments font varier la valeur des primes d 'assura nce : le profil de
l'assuré à travers la structure de tarification a priori et la relativité de chacun
des modèles . Les deux se complètent et t ravaillent ensemble pour déterminer la
meilleure prime d 'assurance pour un assuré. La valeur totale correspond approxi-
mativement à la même quant ité d 'argent récolté par le modèle de cont rôle. Comme
nous avons vu dans la section précédente, les deux modèles sont suffisamment ca-
pables d 'être en équilibre act uariel dans un scénario sans compétit ion.

Pour mettre en place le système de comp étition, nous avons émis une hypothèse
de base : les ass urés achètent toujours le produit d 'ass urance chez la compagnie
d'assurance qui offr e la prime la plus basse selon leurs caractéristiques du risque et
leur niveau bonus-malus. ous supposons a ussi que les couvertures d 'assurances ,
le marketing ou le niveau des services offerts par les deux compagnies , sont les
mêmes. Du moins, ils ne sont pas considérés par les assurés lor qu 'ils choisissent
leur compagnie. Chaque année, p our chaque assuré ayant un profil d 'assurances
précis et un historique de sinistre connu , nous étudierons le mouvement des assurés
en vérifiant quel modèle offre la prime la plus basse. Nous ne considérerons que
ces deux compagnies . Le marché est ainsi fermé, car il ne comprend que deux
 92

assureurs sans la possibili té qu' un autre ass ureur intègre ce marché.

4.3.2 Résultats généraux

Tous commençons not re analyse par les résul tats globaux de ce modèle de compé-
tition. Le tableau 4.10 présente la synt hèse de la comparaison des deux modèles.

En analysant les résul tats du tableau 4.10 , nous constatons que la société 1 n 'est
pas en mesure de payer la totalité des réclamations avec les primes d 'assurance
qu 'elle recueille auprès de ses assurés. À l'inverse , la société 2 est en mesure d 'hono-
rer ses engagements avec un certain profit. Ce fait se produit dans toutes les années
analysées. Le marché est défi citaire et cela est dû aux résultats de chaque compa-
gnie. Il appartient à l'ent reprise d 'adapter ses primes afin de retrouver l'équilibre
et d 'obtenir un profit . Dans une sit uation réelle, après un an avec un ratio sinistre
1 prime de 316%, la société 1 aurait deux options : soit modifier radicalement ses
tarifs et être supportée fin ancièrement par ses partenaires, soit déclarer la faillite
et quitter le marché. Dans le premier cas , le résul tat d 'une reprise fin ancière est in-
certain. La société peut se rétablir ou avoir encore un déficit à la deuxième année.
Dans le deuxième cas , comme le marché est fermé, les assurés qui se trouvaient
dans la société 1 migreraient à la société 2 sans avoir le choix. La compétition
disparue, cette société pourrait modifier ses tarifs sans avoir de contrainte. En
quelque sorte, la compagnie 2 évaluerait son éq uilibre fin ancier sur le long terme
et le marché passerait du déficit au profit.

Si par hasard la concurrence dure toutes les six années , nous voyons clairement
que la société 1 a été déficitaire avec un ratio sinistre 1 prime 322% et la société
2 a réalisé un gros bénéfice de 54% avec un ratio de sinistre 1 prime de 46%.
Le marché affichait un défi cit total de 9% (ratio sinistre 1 prime de 109%). Ce
déficit était mesuré en fon ction de la combinaison des activités des deux sociétés.
 93

Tableau 4 .10 Sommaire de la comp étition entre les deux modèles/ compagnies
Nombre d 'assurés Prime S inistre r és ultat Rapport
année modè le Nombre (% ) ($) ($) ($) Sinis tre/Prime (% ) Condition

111 121 131 141 151 161 171 151-161 111 161/ 151 191

ann ée 1 Base 12 586 22% 714 ,0 2 254 ,0 -1 540,0 316% Défic it

cont rôle 44 451 78% 2 287,9 1 183,0 1 104,9 52% Profit
marché 57 037 3 001 ,9 3 437,0 -435 ,1 114% Défi cit

a nn ée 2 Base 9 88 1 23% 604 ,4 1 739,0 -1 134 ,6 288% Déficit

contrô le 32 746 77% 1 772 ,9 799,0 973,9 45% Profit
marché 42 627 2 377,3 2 538,0 -160 ,7 107% Défi cit

année 3 Base 5 710 18% 335 ,9 1 124 ,0 -788,1 335% Défi cit
cont rôle 25 365 82% 1 298,1 558,0 740,1 43% Profit
marché 31 075 1 634.0 1 682 ,0 -48,0 103% Déficit

année 4 Base 3 725 17% 209.2 794 ,0 -584,8 380% Défi cit
contrôle 18 330 83% 903,7 368,0 535,7 41% Profi t
marché 22 055 1 112,9 1 162 .0 -49,1 104% Défi cit

an née 5 Base 2 288 15% 70,9 312 ,0 -24 1,1 440% Défi cit
contrôle 12 638 85% 339.7 133.0 206,7 39% Profit
marché 14 926 410.6 445,0 -34,4 108% Défi cit

a nn ée 6 Base 21 15% 0.7 3,0 -2 .3 408% Défi cit

cont rôle 11 8 85% 3. 1 0,0 3,1 0% Profit
marché 139 3,8 3,0 0,8 78% Profit
Total Base 1 935 ,2 6 226 ,0 -4 290 ,8 322% D é ficit
co ntrô le 6 605,4 3 041 ,0 3 564 ,4 46% Profit
marché 8 540,5 9 267,0 -726 ,5 109% D é ficit
 94

Nous concluon que, dans un contexte de concurrence, que si l'ent reprise 1 utilise
une cont rainte légale dans sa tarification , elle se place dans une sit uation de désa-
vantage concurrentiel, car, pour incorp orer cette contrainte , elle doit changer la
relation entre la valeur de la prime qu 'elle charge et le risque qu 'elle acqui t pour
chaque individu . Il en résul te des prix qui ne correspondent pas au vrai risque
assumé par l'ass ureur. Toutefois, une compagnie ne vais pas décider de inclure
une telle cont rainte dans son système de tarification sans une raison. ous éta-
blissons un parallèle ent re cette cont rainte légale et les primes qui pardonnent .
Ils travaillent de la même manière et, dans ce cas, l'ent reprise inclut ce dernier
dans son système de tarification pour pardonner et retenir les assurés qui ont des
réclamations.

Pour comprendre un peu plus comment la concurrence a entraîné une défaillance

elu marché, la faillite de l'ent reprise 1 et la survie de l'ent reprise 2, nous proposons
d 'analyser l'évolut ion elu déplacement des assurés dans le marché. Cela est fait en
vérifiant les chiffres absolus, le comptage du nombre d 'assurés pour chaque type
de mouvement, et les chiffres relatifs, les indices en pourcentage . Le tableau 4.11
présente les résultats.

Tout d 'abord, le modèle de cont rôle possède environ 78% des assurés au début
de la comp étition. Cela signifie généralement que la prime d 'assurance offerte par
le modèle de cont rôle à chaque assuré est plus avantageuse que celle du modèle
de base pour la première année analysée . Ensui te, il y a plus de tit ulaires de
polices d 'assurances de la compagnie 1 qui passent à la compagnie 2 que l'inverse
pendant toute la période. Dans notre modèle de compétit ion , la règle est claire,
l'assuré choisit l'entreprise avec.: la prime d 'assurance la plus basse. S'il y a un
changement plus significatif des assurés qui passent du modèle de base au modèle
de cont rôle, c'est parce que le prix du modèle de cont rôle est plus bas. Puis, le
taux de renouvellement des cont rats d 'assurance est plus grand dans le modèle de
 95

Tableau 4.11 évaluation du déplacement des ass urés

Formu le a nnée 1 ann ée 2 an n ée 3 année 4 année 5 année 6
No mbre tota l d 'assurés lti 57 037 -12 627 3 1 075 22 055 14 926 139
No111brc d'ass urés dans le IIIOdôlc d1• ba~c [2] 12 5 6 DB 1 5 710 3 725 2 288 21
Nombre d ·ass urés dan s le HIUd èlc de cu mr ôlc [3] 44 4.)1 32 746 2:i 36:ï 18 330 12 638 11 8
Déplac ement base po ur co nt rôle 1·11 1 833 2572 1 023 63 1
Dêplaf elll r nt co nt rôle po ur ba.'5c [5] 2 460 1 1D7 857 48 1
Sorti<' du S<'Pna rio t\ part ir du lnodè lc de base [6] 3 332 2 796 1 8 19 1 287 2271
Sort ie du scé na rio ù parti r du modèle d e co nt rôle [7[ Il 078 8 756 7 201 5 8~ 2 12 516
Rest<' dau s le mod èle de bas<' 181 7 ,12 1 4 5 13 2 868 1 807 16
RPstc da us le ut odè lr d e co ut rôle 191 30 Dl 3 22 793 17 307 12 007 11 7
T aux de cha_n gciiJ('Ht base pour cour rôlc [10[ 1·111 121 14.6% 26,0% 17,9% ! 6.9% 0,0%
Taux d e cha ugc me ut to ut rôle pour base 1111 151 1 131 5,5% 3,7% 3 ,4% 2,6% 0,0%
Taux de so rt ie à parti r du modèle de base 1121 ~ 161 1 121 26,5% 28,3% 31.9% 3·1.6% 99 ,3%
Ta ux de sortie à partir d u rn od èlc dC' contrôle [1 3] - 171 1 131 2~ , 9 % 26 ,7% 28.4% 31.9% 99 ,0%
Ta ux de rcuouvcllcm ent à part ir d u modèle de base 1141 181 1 121 59.0% 45,7% 5012% 48,5% 0,7%
Taux de rc nOII\'Cllcm c n t à partir d u mod1'lc de coll! rôle [1 5] 191 1 131 69 ,5% 69,6% 68,2% 65.5% 0,9%

contrôle que dans le modèle de base, car il offre des primes plus avantageuses à
ses ass urés à fin qu 'ils restent dans son portefeuille.

Étant donné que nous ne travaillons pas avec des données provenant d 'un réel
marché de compétition , mais plutôt avec des données d 'un réel assureur , nous
devons ajuster l'effet produit par le départ de certains assurés. Les lignes 6 et
7 du tableau 4.11 représentent ces personnes qui sortent de la base de données
utilisée. Comme cela ne fait pas partie des nos hypothèses, nous avons décidé de
corriger cet effet et d 'ajuster les indices en conséquence. De cette façon, nous avons
produit le tableau 4. 12, où nous présentons les résultats corrigés. Chaque année,
nous utilisons uniquement les données des assurés qui changent ou qui restent de
compagnie dans le scénario de compétition .

Tableau 4.12 évaluation relative du mouvement des assurés corrigé

Formu le a nnée 1 année 2 a nn ée 3 année 4 Moyenne

Ta ux d e changement basr po ur co nt rôle 11 61 IIOI 1 llOI + 11 41 19 ,8% 36.3% 26.3% 251% 27 ,1%
Ta ux Uc t hangenl{'ll t coutrôh• pou r base 11 71 II·II 1 I!OI + IJII 7.3% 5.0% 4.7% 3,8% 5,2%
Taux dr rcnom·cllelllcnt à pru t ir du modèle dr base 1LSI 1111 1 1111 + 11 51 80.2% 63.7% 73.7% 7<1.2% 73 .0%
Ta ux dr rc uo uvc llctn c nt à par t ir dn tn od<"'c de co nt rôle 1101 11 51 1 Il ti "" 11 51 92.7% 95.0% 95.3% 96.2% 94.8%
 96

Nous avons observé qu'en moyenne 27,1% des ass urés passent du modèle de base
au modèle de contrôle et que seulement 5,2% font l'inverse. Cela démontre à quel
point le modèle de contrôle est plus att rayant et à quel point il est plus apte
à retenir les t it ulaires de police. Selon nos estimations, 94,8% des t itulaires de
polices restent dans le modèle de contrôle chaque année alors que seulement 73 %,
demeurent dans le modèle de base. Cela confirme que le modèle de contrôle est plus
effi cace à fid éliser et à attirer les assurés que le modèle de base. En conséquence,
cela ass ure plus de clients dans le portefeuille, ce qui représente une plus grande
stabilité finan cière parce qu 'il y a un plus grand nombre de personnes assurées
qui paient une prime d 'assurance. Cela influence grandement la réduction de la
flu ctuation du ratio sinistre 1 primes , ainsi que la précision des sinistres prévus.

4.3.3 Analyse ap profondie de la comp étition

Évaluons plus en détail pourquoi le modèle de base est défi citaire et moins at-
t ractif dans ce scénario concurrentiel par rapport au modèle de contrôle. Tout
d 'abord , nous analysons le comportement des primes , des sinistres et du ratio
sinistre 1 prime selon certains critères. Nous utiliserons les résultats de nos ob-
servations p our étayer nos conclusions. Pour ce faire, nous évaluons la première
année en détails, car elle a le plus grand nombre d 'expo it ions et d 'informatio ns.
ous supposons que les années suivantes auront un comportement similaire. Dans
chaque tableau analysé, nous avons divisé les ass urés en dix sections. Les inter-
valles représentent un dixième de la prime d 'ass urance maximale qu 'un ass uré
peut se permettre tout en tenant compte des deux modèles. Ces intervalles repré-
sentent également des niveaux de risque, c'est-à-dire qu 'un ass uré classé dans la
première section est moins une menace qu'un assuré classé dans la dixième caté-
gorie. Les bandes intermédiaires sont divisées et organisées de manière croissante
par rapport au niveau de risque.
 97

La présentation de cette analyse est fait e par bandes incluant une ba nde totale.
E lle comprend la répart it ion des assurés, des primes, des réclam ations et du ratio
sinistre 1 prime. Elle est divisée en :
- Analyse générale : n ous allons vérifier les chiffres généraux.
- Ch angement de modèle : nous vérifierons les numéros des assurés qui ont décidé
de ch anger de modèle.
- Renouvellem ent : nous vérifierons le total d 'assurés qui ont décidé de rester d ans
la même compagnie.

4.3.3.1 An alyse générale

Dans ce qui suit , nous évaluons les chiffres généra ux de la première année de la
compétit ion par bande de prime et par modèle. Nous commençons par la distribu-
t ion des ass urés , ensuite nous approfondissons l'analyse des sinistres . E nfin , nous
comprenons la répart it ion des primes et le ratio sinistre 1 prime. Le tableau 4.13
mont re cette répart it ion .

Nous voyons que la répart it ion des assurés dans les trois premières bandes de
prime est impor tante afin que le modèle puisse générer assez d 'argent pour pou-
voir payer les sinistres. Les assurés moins risqués se concentrent d ans ces t rois
t ranches et c'est la pa rt ie du portefeuille qui est la plus volumineuse. Le modèle
de cont rôle concent re 85 % des assurés dans ces bandes , tandis que le modèle de
base y concent re 75% de ses assurés. Cela nous mont re que le modèle d e base
attire plus d 'assurés à hau t risque à son portefeuille que le modèle de cont rôle.

Le tableau 4. 14 présente la distribu tion des sinistres par bande de prime et par
modèle. L'information fondamentale que nous pouvons extraire de ce tableau est
que la compagnie 2 détient 78% des assurés , mais seulement 34% des réclam ations
 98

Tableau 4.13 Distribution des ass urés selon la valeur de la prime et par modèle
pour l'ann' e 1

Bande d e prime ($) iVbase % 2: Ncontrô le % 2: Total

0,0000 < P~ 0,0268 2 102 17% 17% 7 085 16% 16% 9 187
0,0268 < P ~ 0,0537 3 181 25% 42% 15 763 35% 51 % 18 944
0,0537 < P ~ 0,0805 5 281 42% 84% 17 891 40 10 92% 23 172
0,0805 < P ~ 0,1074 1 495 12% 96% 3 074 7% 99% 4 569
0,1074 < P ~ 0,1342 449 4% 99% 525 1% l OO% 974
0,1342 < P ~ 0,1611 69 1% lOO% 92 Oo/c l OO% 161
0,1611 < P ~ 0,1879 8 orc 100% 19 0% 100% 27
0,1879 < P ~ 0,2148 1 orc 100% 2 Oo/c lOO% 3
0,2148 < P ~ 0,2416 0 Oo/c 100% 0 Oo/c l OO% 0
0,2416 < P ~ 0,2685 0 Oo/c lOO% 0 0% l OO% 0
Total 12 58 6 44 451 57 037

Tableau 4 .14 Distribution des sinistres selon la prime et le modèle pour la pre-
mière année
mo d èle de base m od èle d e contrôle Total
B a nde d e prime ($) R es p. N on-resp. Total R es p . Non-resp . Total Glo b a l
0,0000 < P :'S 0,0268 Hl 77 96 52 4 56 152
0,0268 < P :'S 0,0537 28 416 444 59 4 63 507
0,0537 < P :'S 0,0805 104 807 911 235 10 245 1 156
0,0805 < P :'S 0,1074 241 311 552 439 37 476 1 028
0,1074 < P :'S 0,1 342 95 96 191 168 84 252 443
0,1342 < P :'S 0,1611 24 26 50 48 22 70 120
0,1611 < P :'S 0,1879 2 6 8 12 6 18 26
0,1879 < P :'S 0,2148 0 2 2 2 0 2 4
0,2148 < P :'S 0,2416 0 0 0 1 0 1 1
0,24 16 < P :'S 0,2685 0 0 0 0 0 0 0
Total 513 1 74 1 2 254 1 016 167 1 183 3 4 37
 99

totales 1 , tandis que la compagnie 1 ne compte que 22% des assurés et 66% du
total des sinistres. Nous en concluons que la compagnie représentant le modèle de
base a une for te propension à attirer les ass urés avec plus de risque d 'avoir des
accidents. De plus, même dans les t rois premières tranches de primes, le modèle
de base a plus de sinistres que le modèle de cont rôle. Il est clair qu'il existe une
t rès for te concentration de sinistres non responsables sous le modèle de base, ce
qui nous conduit à affirm er que ce type d 'accident a beaucoup d 'influence sur la
décision du choix de modèle par les ass urés. ous nommons cela de l'antiseléction.
Elle se produit lorsqu'un facteur de risque dans l'assurance est mal calibré et elle
permet l'existence d 'une ass urance dans un déséquilibre technique. Ce déséquilibre
consiste en une prime inférieure à la valeur du risque calculé act uariellement . Dans
le modèle de base, 77% des sinistres sont non responsables et seulement 23% sont
des réclamations responsables. Dans le modèle de contrôle, les statistiques sont
contraires , 85% des réclamations du type responsable et seulement 15% du type
non responsable. Sur le total des sinistres non responsables , 91% sont liés au mo-
dèle de base, alors que 9% proviennent du modèle de contrôle. De toute évidence,
l'absence de contrainte légale dans le modèle de cont rôle a évité l'antisélection
observée dans le modèle de base.

Le tableau 4. 15 montre la somme des primes d 'assurance, les moyennes et le ratio

sinistre / prime par bande de primes. Nous pouvons observer que le modèle de
base présente un défi cit dans toutes les tranches , alors que le modèle de contrôle
est rentable dans les trois premières bandes et il est déficitaire dans les autres.
Malgré cela, le modèle de contrôle demeure rentable. Nou remarquons que la
prime moyenne par tranche dans les deux modèles est semblable : le montant que
chaque modèle perçoit par assuré à chaque bande est similaire. Comme elles sont

1. Comme nous modélisons la fréquence des sinistres comme le coût total, nous considérons
la quantité totale des sinistres et le coût total des sinistres comme une seule chose.
 100

Tableau 4.15 Distribution de primes par bande de prime et par modèle pour la
première année
Prime ($ ) R atio Sinis t r e / Prime (%)
m o d è le de b ase m o d è le d e con t r ô le G r a nd total m o d è le m o d è le To t a l
B a nde de prime ($) S o mme Moye nne S o mme Moye nne S o mme Moye nne d e base de co n t r ô le Glo b a l
x 1000 x 1000 x 1000
0.0000 < P ::; 0.0268 28.8 13.7 93.8 13.2 122.6 13.3 333o/c 60% 124%
0.0268 < P ::; 0.0537 142.7 4-1. 9 7 15.8 45.4 858.5 45 ,3 311 % 9'Yt 59o/t·
0.0537 < P ::; 0.0805 34l.ï 64.7 1 121.5 62.7 l 463.2 63. 1 267% 22o/r 79%
0.0805 < P ::; 0. 1074 136.8 9 1. 5 278,4 911.6 415.2 90.9 403o/r 17 1% 248%
0. 10 74 < P ::; 0.13-12 52.6 117.2 6 1,5 117.2 114 . 1 117.2 363% 4lO'Yr 388%
0. 13-12 < P ::; 0.1611 9.8 142.2 13.2 l-13.3 23. 0 142.8 510% 53 1o/r 522%
0. 1611 < P ::; 0.1 879 1.4 171. 2 3,2 170.1 4.6 170.4 584 % 557~ 565o/r
0. 1879 < P ::; 0.2 1,18 0.2 206 .0 0.4 2113. 1 0.6 204 .1 97l o/t 492'K 653%
0.2 14 < P ::; 0.241 6 0.0 0.0 0.11
0.24 16 < P ::; 0.2685 0.0 0,0 0.0
T otal 714, 0 5 6 ,7 2 28 7 ,9 5 1 ,5 3 0 0 1 ,9 5 2 ,6 3 16 % 52 % 114 %

similaires , le ratio t rès élevé de sinistre 1 prime du modèle de base est dû a ux si-
nistres , qui sont nombreux. Nous confirmons ainsi l'importance des t rois premières
bandes pour la survie fin ancière des modèles, puisqu 'elles soutiennent le profi t du
modèle de cont rôle et permettent au marché d 'êt re légèrement déficitaire. ous
en concluons aussi que le modèle de base provoque l'antisélection et qu 'il assume
la plupart des sinistres non responsables. Ainsi, ce type de réclamations devrait
être pris en considération de la même manière que les réclamations responsables
afin d 'éviter un revers fin ancier du modèle dans un marché concurrentiel.

4.3 .3.2 Le changement de compagnie

ous évaluerons maintenant les chiffres des assurés qui ont décidé de changer de
compagnie à la fin de la première année. No u commençons par la di t ribu tion
des ass urés, puis nous approfondissons l'analyse des sinistres et, par la dernière,
nous voyons le ratio sinistre 1 prime. Le tableau 4. 16 présente la répartition des
assurés.
 101

Tableau 4.16 Distribution des assurés par bande prime et par modèle pour l'an-
née 1 pour ceux qui ont changé d 'un modèle à l'autre.

Bande de prime ($) Nbase % E Ncontrôle % E Total

0,0000 < P:S 0,0268 165 9% 9% 234 10% 10% 399
0,0268 < P:S 0,0537 468 26% 35% 411 17% 26% 879
0,0537 < P:S 0,0805 1 028 56o/c 91 % 1,159 47% 73% 2 187
0 ,0805 < P :S 0,1074 137 7% 98% 565 23o/c 96% 702
0 ,1074 < P:S 0,1342 26 1% 100% 84 3% lOO% 110
0 ,1342 < P:S 0,1611 9 0% lOO% 6 0% 100% 15
0 ,1611 < P:S 0,1879 0 0% lOO% 1 0% lOO% 1
0 ,1879 < P:S 0,2148 0 0% lOO% 0 0% 100% 0
0 ,2148 < P:S 0,2416 0 0% 100% 0 0% 100% 0
0,2416 < P:S 0,2685 0 0% 100% 0 0% lOO% 0
Total 1 833 2 460 4 293
 102

91% des personn es qui ont décidé de changer de la compagnie 1 pour la compagnie
2 sont dans les trois premières bandes. 73% font le chemin inverse. De cette faço n ,
il est clair que le modèle de base transfère plus d 'assurés jugés souhaitables, selon
le niveau de risque, qu 'il en reçoit. Cela soutient la te ndance qu 'ont les assurés
moins risqués d 'opter pour le modèle de contrôle.

Tableau 4.17 Distribution des sinistres par bande de prime et par modèle pour
l'année 1 pour les assurés qui ont décidé de changer de compagnie.
modèle d e base modèle d e contrôle Grand
Bande de prime (P) R es p. Non-Resp. Total Res p. Non-Resp. Total Total
0,0000 < P:S 0,0268 0 1 0 0 0 1
0,0268 < P :S 0,0537 0 0 0 0 0 0 0
0,0537 < P :S 0,0805 5 0 5 6 0 6 11
0,0805 < P :S 0,1074 17 3 20 27 1 28 48
0,1074 < P:S 0,1342 9 10 9 6 15 25
0,1342 < P :S 0,1611 2 4 6 3 2 5 11
0,1611 < P :S 0,1879 0 0 0 0 0 0 0
0,18 79 < P :S 0,2148 0 0 0 0 0 0 0
0,2148 < P :S 0,24 16 0 0 0 0 0 0 0
0,2416 < P :S 0,2685 0 0 0 0 0 0 0
Total 34 8 42 45 9 54 96

En ce qui concerne le résultat du tableau 4.17, nous constatons que les réclama-
tions influencent peu la décision de l'assuré par rapport au choix d 'une compagnie
ou d 'une autre. Au total, 4 293 assurés ont changé de société. De ce dernier, nous
ne pouvons observer que 96 sinistres, ce qui représente seulement 2,2% des cas.

Le ratio sinistre / prime des bandes les plus volumineuses est excellent , ainsi que le
ratio total. Conséquemment , il existe peu de liens entre la décision de changer de
compagnie et les réclamations. Nous confirmons que ce ne sont pas les réclamations
qui font échanger les assurés de compagnie, mais plutôt le meilleur prix offert.
 103

Tableau 4.18 Distribution des pnmes par bande de pnme et par modèle pour
l'année 1 pour les ass urés qui ont décidé de changer un modèle par l'autre.
Pr ime ($) R atio Sinistre / Prime (% )
modèle d e base modè le d e co nt r ô le Grand tota l modè le m od èle Total
Somme Moyenne Somme Moyenne Somme Moyenne d e base d e contrô le Globa l
B a nde d e prime ($) x 1000 x 1000 x 1000
0,0000 <PS 0.0268 2.3 13,9 3, 1 13.4 5.4 13,6 44o/r Oo/r 18%
0.026 <PS 0.0537 22.2 47.5 18.3 H. 6 ~0 . 6 46 ,1 0% 0% 0%
0,053 7 <PS 0,0805 65,9 64 , 1 ï7 ,7 67,1 143,6 65,7 8% 8o/r 8%
0,0805 <PS 0,1074 12.4 90 ,4 5 1.2 90 .5 63 ,5 90 ,5 16 1% 55% 76%
0, 1074 <PS 0,1342 3.0 115,0 9,7 114.9 12.6 114.9 335% 155% 19 %
0 , 1 3~ 2 <PS O,!Gil 1.3 141.3 0.9 1~~.1 2, 1 1 42 , ~ 472% 578% 515%
0,1611 <PS 0,1879 0,0 0,2 174,2 0.2 174,2 0% 0%
0,1879 <PS 0,214 0.0 0.0 0,0
0.2 148 <PS 0.24 16 0.0 0.0 0,0
0.241G <PS 0.2685 0,0 0,0 0,0
Total 107,0 58,4 161 ,1 65 ,5 268,1 62 ,4 39 % 34% 36 %

4.3.3.3 Des assurés qui sont restés dans la même compagnie

Dans cette partie, nous évaluons les chiffres des assurés qui ont décidé de rester
dans la même compagnie après la première année de la compétition. ous abor-
dons la distribution des assurés, des sinistres, des primes et du ratio sinistre /
pnme.

Il est possible de voir dans le tableau 4. 19 que 92% ont décidé de renouveler leur
police d 'assurances auprès du modèle de contrôle. Ces même personnes sont dans
les trois premières bandes de prime. Ce ratio est de 79% pour le modèle de base.
Dans ces bandes , nous avons la plus grande partie des ass urés de chaque modèle.
Cette différence de 13% est donc considérable. Le fait que le modèle de contrôle
retient plus d 'assurés est relié au fait d 'avoir généralement une prime plus basse
par profil dans ces sections. Cela est dû au fait que le modèle de contrôle offre de
primes plus ajustées au risque et cela retient les assurés qui sont moins risqués.

À travers les informations du tableau 4.20 , nous vérifions pourquoi le modèle de

 104

Tableau 4.19 Distribution des assuré par bande de prime et par modèle pour
l'année 1 pour les assurés qui ont décidé de rester dans la même compagnie.

Bande de prime ($) N base % I: Ncontrôle % I: Total

0,0000 < P :S 0,0268 702 9o/c 9% 2 654 9% 9% 3 356
0,0268 < P :S 0,0537 1 682 23% 32% 11 467 37% 46% 13 149
0,0537 < P :S 0,0805 3 505 47% 79 % 14 379 47% 92% 17 884
0,0805 < P :S 0,1074 1 129 15% 95 % 1 998 6% 99% 3 127
0,1074 < P :S 0,1342 354 5% 99 % 332 1% 100% 686
0,1342 < P :S 0,1611 44 1% lOO % 71 0% lOO% 11 5
0,1611 < P :S 0,1879 5 Oo/c lOOo/c 12 0% lOO% 17
0,1879 < P :S 0,2148 0 0% lOOo/c 0 0% 100% 0
0,2148 < P :S 0,2416 0 0% lOOo/c 0 0% lOO% 0
0,2416 < P :S 0,2685 0 Oo/c 100% 0 0% lOO% 0
Total 7 421 30 913 38 334

Tableau 4.20 Distribution des sini tre par bande de prime et par modèle pour
l'année 1 pour les ass urés qui ont décidé de rester dans la même compagnie.
modèle d e base modèle d e contrôle Grand
Bande de prime (P) R esp. Non-Resp . Total R es p. Non-Resp . Total Total
0,0000 < P :::; 0,0268 2 20 22 11 0 11 33
0,0268 < P:::; 0,053 7 7 283 290 17 2 19 309
0,0537 < P :::; 0,0805 54 690 744 157 3 160 904
0,0805 < P :::; 0,1074 176 255 43 1 347 20 367 798
0,1074 < P :::; 0,1342 66 84 150 121 55 176 326
0,1342 < P :::; 0,1611 11 15 26 36 13 49 75
0,1611 < PS 0,1879 1 2 3 6 4 10 13
0,1879 < P:::; 0,2148 0 0 0 0 1
0,2148 < P :::; 0,2416 0 0 0 0 0 0 0
0,2416 < P:::; 0,2685 0 0 0 0 0 0 0
Total 317 1 349 1 666 696 97 793 2 459
 105

cont rôle a un taux de renouvellement plus élevé. Les ra1sons les plus for tes sont
de deux ordres : il offre des primes plus avantageuses par rapport au modèle
de base pour les trois premières bandes de prime et il p énalise les sinistres non
responsables. Si nous revenons sur la deuxième raison , nous voyons que des 30 91 3
assurés qui sont restés dans le modèle de contrôle d 'une a nnée à l'a utre, seuls 793
avaient des sinistres (2, 6%) . Tandis que, sur les 7 421 ass urés elu modèle de base, 1
666 ont présenté des réclamations, ce qui représente 22 ,5% des réclamations. Ceci
nous montre à quel point le modèle de base at tire les ass urés suscept ibles de faire
des réclamations en raison de la structure de pénalisation de son SB M. De plus, le
modèle de base comporte 1 349 récla mations non responsables alors que le modèle
de cont rôle n 'en comp te que 97. Cela renforce l'antisélection causé par l'inclusion
de la cont rainte légale. De cette faço n, tous les assurés avec haute probabilité
d'avoir des sinistres non responsables migrent au p ortefeuille elu modèle de base .
Finalement , l'inclusion des sinistres non responsabables clans le modèle est aussi
un excellent prédicteur des fu t ures réclamations.

Tableau 4.21 Somme des primes selon la tranche de prime et le modèle pour
l'année 1 pour les assurés qui ont resté dans le même modèle.
Prime ($) Rat io Sinist re / Prime ( % )
modèle d e base modèle d e co nt r ô le Grand t ota l m o d èle m o d èle Total
So mme Moyenne Somme M oyenne So mme Moyenne d e base d e con t rô le Glo bal
B a nde d e prime ($ ) x 1000 x 1000 x 1000
0.0000 < P ~ 0,0268 10.0 1-1,2 35 ,n 13.5 45.9 13.7 220% 31'!\ 72'/(
0,0268 < p :'0 0,0537 78.0 46.4 536.8 46 . 614.7 47 3ï2o/r 4o/c 50o/c
0.0537 < P :'O 0,0 05 227.6 64.9 894.2 62 ,2 1 121 ,8 63 327'){ l o/t 8 1%
0.0805 < P ~ 0,107-1 103.5 91.7 180,8 911 .5 284.3 91 416% 203% 281 %
0,1074 < P ~ 0. 1342 4 1,5 11 7.3 39 ,0 11 7.4 80.5 117 36 1% 452% 405%
0.1342 < P :'O 0. 1611 6.2 142.0 lll.l 142.9 16.-1 143 4 16% 4 3% 457%
0. 161 1 < p :'0 0. 1879 o. 169 ,9 2.0 167.7 2.9 168 353% 49ïo/c 45,1%
0. 1879 < P ~ 0,2148 0.0 0.0 0,0
0.21-18 < P :'O 0.24 16 Il. Il ().1) 0.0
0.24 16 <PS 0.2685 0.0 0.0 0,0
Total 4 67 ,7 63 ,0 1 698,8 55 ,0 2 166 ,5 57 3 56 % 47 % 11 4%
 106

En analysant les informations du tableau 4.21 , nous remarquons que la prime

moyenne du modèle de contrôle est plus basse que celui du modèle de base. Le
modèle de contrôle n'a presque aucune réclamation dans les trois premières bandes
et il a de bonnes quantités de prime , ce qui garantit un résultat optimal. Cet
excellent résul tat dans ces trois t ranches détermine le profit général du modèle.
C'est l'inverse pour le modèle de base. Il y a beaucoup des réclamations par rapport
aux montants des primes, ce qui lui garantit des ratios sinistre / prime très élevés.
Quand nous avons fait l'analyse du RMS , dans le chapitre précédent , nous avons
observé que le modèle de base avait une statistique basse par rapport au modèle de
cont rôle et par rapport aux aut res SBM que nous avons comparés. Ceci indique
que, dans la construction du modèle, la structure optimale du modèle de base
concentrent les assurés dans les bandes inférieures de prime. Cela le désavantage
face à la compétition dès qu 'il charge davantage que le modèle de cont rôle pour
les bandes comprenant des assurés à faibles risques.

4.3.4 Résultat du marché

Dans cette ous-section , nous di cutons le ré ul tats obtenus dans le modèle de

concurrence pour la première année. Puis, nous les utiliserons pour pr' sen ter une
généralisation des résultats pour les années suivantes.

Nous commençons l'analyse de éléments elu tableau 4.22 par la valeur moye nne
des primes à chaque t ranche. Ensuite, nous analyserons la valeur moyenne totale.
D'abord , nous notons qu 'il n 'y a pa de valeur clans les deux dernières bandes
puisqu 'il n 'y a pas d 'exposition. Les valeurs moyennes sont croissante cl ans les
bandes de 1 à 8. La valeur moye nne des primes de la tranche 8 est environ 15
fois sup érieure à celle de la première bande. Ainsi, le marché répartit le niveau de
risque entre les bandes et celles-cisont distinctes entre elles. La prime moyenne du
marché se situe entre les tranches 2 et 3, ce qui est prévisible puisqu 'il y a une
 107

Tableau 4 .22 La prime et le sinistres (somme et moyenne) par bande de prime

Bande d e prime ($) B a nde N Prime Prime Moyenne Sinistre Sinistr e Moyen RatioS / P
($) ($) * 1000 ($) ($) * 1000 (%)
0,0000 < P$ 0,0268 9 187 122 ,6 13,3 152 16,5 124%
0,0268 < P$ O,OG37 2 18 944 858.5 45,3 507 26,8 59%
0,053 7 < P$ 0,0805 3 23 172 1463 ,2 63 ,1 1 156 49,9 79%
0,0805 < P$ 0,1074 4 4 569 41 5,2 90 ,9 1 028 225 ,0 248%
0,1074 < P$ 0,1342 5 974 114,1 117,2 443 454 ,8 388%
0,1342 < P$ 0,1611 6 161 23,0 142,8 120 745 ,3 522%
0,1611 < p $ 0,1879 7 27 4,6 170 ,4 26 963,0 565%
0,1879 < P$ 0,2 148 8 3 0,6 204,1 4 1 333,3 653%
0,2148 < P$ 0,24 16 9 0 0,0
0,2416 < P$ 0,2685 10 0 0,0 0
Tota l 57 037 3 002 52,6 3 437 60 ,3 114%

fort e concentration d 'assurés dans les trois premières tranches.

ous pro cédon ensuite à l'examen du comportement des réclamations. Comme

dans le cas des primes , le montant moyen de la réclamation augmente aussi. La
réclamation moyenne de la huitième tranche est à peu près 81 fois plus élevée
que la réclamation de la première tranche. Nous notons ici que la perte moyenne
et la prime moyenne n 'augmentent pas proportionnellement , ce qui nous montre
comment le marché et les modèles qui le composent équilibrent la collecte des
primes entre les bandes. C'est à dire que les assurés des groupes à plus faible
risque absorbent une partie du coût des assurés à risque plus élevé , puisque le
taux de croissance moyen des primes et des sinistres moyens ne sont pas égaux.
De plus, le montant moye n de la réclamation se situe entre les bandes 3 et 4.

Dans l'analyse des primes et des sinistres moyennes , il est possible de comprendre
pourquoi le marché a un résultat déficitaire. La réclamation moyenne est supé-
rieure à la prime moyenne, ce qui entraîne un manque de ressources p our couvrir
les coûts. De plus, en observant le ratio sinistre / prime du marché, nous remar-
quons que les bandes 2 et 3 présentent un résultat positif, mais qu 'elles ne sont
 108

pas en mesure de compenser le résul tat négatif présent dans les autres bandes.
ous no tons également que plus le niveau de risque est élevé , plus la perte est
importante.

Par conséquent , dans l'analyse du marché dans ce modèle de concurrence, nous

comprenons pourquoi le marché a présenté un résultat négatif. Le principal fact eur
est la restriction légale incluse dans le modèle de base qui cause l'antisélection des
assurés. Cela crée une accumulation de mauvais risques et un manque de ressources
qui se reflète finalement sur le marché en entier.

Il est possible de reformuler ce que nous avo ns observé dans ce modèle en une
explication plus form elle portant sur l'équilibre actuariel dans un environnement
de concurrence. L'équilibre actuariel est atteint lorsque la somme des primes est
égale (ou supérieure) aux sinistres. Comme nous l'avons vu , le marché de ce modèle
de concurrence est déficitaire, et nous avons pu identifier les causes de ce déficit.
Alors, que pouvons-nous conclure de toute cette analyse empirique? Comment
pouvons-nous systématiser les résultats?

Pour form aliser les résul tats observés, utilisons un scénario hypothètique repré-
senté par le graphique 4.2. Ce graphique montre ce qui suit :

1. L'axe des abscisses représente une échelle de risque hypothètique de 1 à 10,

où le niveau 1 représente la classe à risque le plus faible et le 10, la classe à

risque le plus élevé. Les classes de risque intermédiaires sont organisées dans
un ordre croissant. À chaque niveau , nous avons une quantité hypothètique
d 'expositions.

2. La ligne bleue représente la valeur de pnme hypothètique moyenne pour

un modèle avec la contrainte légale calculée isolément. En d 'autres termes ,
sans tenir compte de toute forme de concurrence. Cette ligne représente le
modèle de base. Le modèle hypothètique doit donc fact urer un peu plus cher
 109

dans les catégories à faible risque pour compenser le montant plus modeste
facturé aux catégories à risque élevé.

3. La ligne verte représente la valeur de prime hypothètique moyenne pour un

modèle sans aucune restriction légale, également calculée isolément. C'est-à-
dire, sans tenir compte de toute forme de concurrence. Cette ligne représente
le modèle de contrôle. Comme il est libre, ce modèle est en mesure de fac-
t urer la valeur actuariellement correcte de la prime par rapport au risque.
C'est-à-dire que le montant facturé représente la correcte valeur de prime
d'assurances sans aucune forme de compensation ou d'ajustement.

4. La ligne rouge représente le choix du consommateur par rapport à la valeur

de la prime et le niveau de risque occupé. Elle est légèrement décalée vers
le bas à des fins de visualisation.

Figure 4.2 L'équilibre actuariel du marché

120 110 ,000

~
.[
100 100 ,000 tJ
-o
tJ

]
"
v
Cl
80 80,000 .0
la
"' o.
~ .j']
::! 60 60,000 ~

"""...
.§
"'"'

"" 40 40,000 ""~

0
3
20 20 ,000 g
-~
0 0 Ul
4 6 8 9 JO
Bande de risque (le plus faible risque= 1 et le risque le plus éle,-é = 10)

Exposition - - Modèle de base - - Modèle de contrôle - - - - Prime sèlectionèe par les assures

Lorsque nous comparons les lignes bleues et vertes, nous faisons l'inclusions des
deux modèles dans un marché concurrentiel. Ainsi, le modèle illustré par la ligne
 110

bleue offre une prime hyp othètique moyenne plus favorable pour les assurés dans
les classes de risque 5 à 10, tandis que le modèle représenté par la ligne verte
présente une meilleure prime hypothètique moyenne pour les classes de risque 1 à
3. Les primes hypothètiques moyennes des deux modèles sont semblables pour la
classe 4. De cette façon, le premier modèle attirera davantage de personnes sus-
ceptibles de faire des réclamations, alors que le deuxième attirera plus d 'individus
moins susceptibles de faire des réclamations.

Le modèle illustré par la ligne verte concentre plus d 'assurés dans les bandes 1
à 3, car il offre un meilleur prix pour le consommateur. Cela assure un revenu
adéquat pour le risque que ces assurés représentent, il aura un résultat fin ancier
nul (équilibre) ou positif (profi t). Le modèle représenté par la ligne bleue concentre
plus d'assurés dans les tranches 5 à 10. En considérant que la prime prélevée
par ce modèle sur ces bandes est insuffisante par rapport au risque supporté par
l'assureur, il favorise l'ant isélection . Un résultat défi citaire est attendu puisqu 'il
ne mobilise pas suffisamment de fonds pour rembourser les sinistres à payer.

4.3.5 Décision

À la lumière de l'outil d 'évaluation présenté dans ce mémoire et des résultats

qu 'il a générés, nous voyons clairement que le modèle de contrôle est supérieur au
modèle de base sous plusieurs aspects :

- La structure du modèle de cont rôle est plus puissante pour pénaliser les assurés :
elle impose un changement de trois niveaux (+ XX = + 3) pour to us ty pes de
sinistres . En revanche, la structure du modèle de base varie de deux (+ xx = + 2)
pour des sinistres responsables et de zéro pour des sinistres non responsables.
Le modèle de base p énalise insuffisament en cas d 'accident . La p erformance de
la structure du modèle de cont rôle évi te l'antisélection .
- La prime de l'assuré de base du modèle de contrôle est inférieure à celle du
 111

modèle de base . De la même façon , le modèle de contrôle a généralement des

primes inférieures pour les ass urés à faible risque. Conséquemment , plus d 'as-
surés à faible risque choisissent la compagnie qui utilise le modèle de cont rôle.
- Le modèle de base ne reconnaît pas que les sinistres non responsables sont
prédictifs. Cette non reconnaissance est une des causes de sa faible performance.
- Le changement d 'une compagnie à l'autre n 'est pas relié aux sinistr s, mais à
la valeur de la prime offerte par le concurrent . Dans la majorité des cas, les
ass urés n'ont pas eu de sinistres.
- La prime chargée par le modèle de base n 'est pas la plus précise . À cause de la
contrainte légale, ce modèle a besoin d 'ajuster toutes ces primes. Cet ajustement
fait en sorte qu 'il ne performe pas bien dans un environnement concurrent iel.
- Le grand volume d 'exposition, avec la prime adéquate dans les t rois premières
bandes de primes , génère assez d 'argent et de profi t pour soutenir la bonne
performance du modèle de contrôle malgré le fait que les bandes de 4 à 10 ne
performent p as aussi bien. À l'inverse, le modèle de base n 'a eu aucun bon
résultat dans ces trois bandes de prime. Cela lui produit des résultats négatifs.
Tous avons vu dans le chapit re antérieur que les indices de RMS sont bas
pour les deux modèles , ce qui nous amène à conclure que les premières bandes
sont touj ours les plus importantes pour l'équilibre fin ancier de ces modèles.

Cet outil illustre sans aucun doute que la restriction légale imposée par la province
de l'Ontario, présente dans le modèle de base , compromet le pouvoir prédictif
de ce modèle. La restriction légale cache le fait que les réclamations du type
non responsables sont fond amentales pour la bonne structuration et l'es timation
du modèle. Elles sont autant prédictives que les réclamations responsables. De
plus, le fait de ne pas considérer ces types de réclamations provoque to uj ours
de l'antisélection , c'est-à-dire, ce modèle attire les assurés les plus risqués à son
portefeuille.
 112

Pour la question de l'évaluation de l'effi cacité du modèle de base, il est clair que
la restriction doit être toujours fait e par le régulateur d 'assurance de façon équi-
table pour tous les assureurs. C 'est en effet la seule manière de garder l'équilibre
technique du marché et de garantir qu 'il n 'y a pas un assureur en avantage ou
en désavantage. Cela démontre clairement que l'inclusion de la contrainte légale
réduit l'effi cacité du modèle de base.

Une t endan ce act uelle, dans le marché d 'assurances au Canada, est la police qui
pardonne un certain nombre de réclamations de l'assuré et qui n 'augmente pas
sa prime par la suite. Ces réclamations sont des deux types. Cette manoeuvre à
la mode n 'est rien d 'autre que la contrainte légale mise en place par l'assureur.
Ainsi, comme la contrainte légale, cette offre commerciale réduit l'effi cacité des
modèles et peut engendrer des résultats finan ciers négatifs .
 CONCLUSIO

L'actuariat évolue grâce à des modèles, des méthodes et des techniques reliés
au suj et de la tarification lARD . Au cours des dernières décennies, deux volets
majeurs ont conduit la majorité des méthodes : la tarification « a priori » et « a
posteriori ». La première ut ilise touj ours les informations disponibles au moment
du calcul des paramètres du modèle de chaque assuré, tandis que la deuxième se
base sur les informations fu t ures des sinistres de chacun des assurés. L'utilisation
des informations disponibles au moment du calcul sert à estimer la prime la plus
personnalisée possible, tandis que l'emploi des informations fu t ures sert à corriger
la prime d 'assurances déjà en place. La combinaison de ces deux volets en une
seule structure et l'est imation des paramètres du modèle en une seule étape sont
récentes dans la littérature. Cela commence à être exploré, étudié et ut ilisé par
les actuaires pour tarifier.

La façon habituelle, toutefois, est d 'estimer les paramètres et d 'optimiser chac un

des volets en séparément . Cette approche est devenue de plus en plus questionnée
par la communauté académique car estimer chacune des part ies de façon op timale
et les intégrer par la suite n 'est pas équivalent à estimer tout en même temps. Le
modèle proposé par (Boucher et Inoussa, 201 4) est une solution pour réparer cela.
Ils ont développ é une façon d 'estimer les paramètres et de sélectionner le meilleur
modèle au même temps à l'aide des données de panel. L' inclusion de ces données
dans l'élaboration de leur modèle a été la pièce clé de leur réussite. Comme leur
ap proche est récent, peu a été fait pour évaluer l'effi cacité et le comportement de
leur modèle. De plus, ils ont inclus une cont rainte légale qui ne s'applique que
 114

dans la province de l'Ontario. Cet te loi contraint les ass ureurs à ne pas augmenter
la prime d 'assuranc s suite à un accident non responsable.

Ce mémoire a eu t rois obj ectifs principaux : le premier a été de reproduire le

modèle présenté par (Boucher et Inoussa, 2014) dans leur article ( « A P oste-
riori R atemaking With P anel D ata »). Le deuxième a été d 'évaluer l'effi cacité de
leur modèle selon certains cri tères sélectionnés de (Lemaire, 1995) pour compa-
rer différents SB Ms. Le troisième a été d 'évaluer la contrainte légale incluse d ans
le modèle. Cette r striction influence la performance du modèle, et nous avons
proposé un nouveau moyen de l'évaluer. Afin de répondre a ux obj ectifs proposés
ci-dessus, nous avons pu explorer le modèle de (Boucher et Inoussa 2014) grâce
a ux out ils proposés da ns ce t ravail.

D 'abord , nous avons présenté da ns le premier cha pitre t outes les notions concer-
nant la prime pure et la segmentation , ainsi qu 'une analyse de la base de données
ut ilisée . Cette base est celle que les auteurs ont ut ilisée dans leur recherche. Ces
notions fondent la t héorie des modèles de tarification de ce mémoire. E nsuite , dan
le de uxième chapitre nous avons présenté la technique retenue pour modéliser la
classification a prior-i du modèle, soit les G LMs. P ar la sui te , nous avons appro-
foncli la notion de tarification par expérience, tarification a posteriori. Nous avons
introduit la technique des SBMs ut ilisée. P our fin aliser les fondements t héoriques,
nous avons exploré la base mathématique des SBMs, car une bonne part ie du
travail de (Boucher et Inoussa, 2014) est concentré sur ces techniques.

Dans le t roisième chapitre, nous avo ns détaillé les composantes du modèle de

(Boucher et Inoussa, 2014). En conclusion , les auteurs signalent que la t arifica-
tion d 'assurances en deux ét apes ne doit plus être ut ilisée quand nous disp o-
sons d'une base de données de panel. Afin de démont rer cela , ils ont prop osé
une méthode q ui consiste à avoir une distribut ion conjointe prédictive liée à une
 115

structure d 'espérance où les relativités du SBM du modèle sont déjà comprises.

Les relativités sont dépendantes de la distribution conjointe des sinistres observés
(Ni,l , Ni,2 , ... , Ni ,r). Ils ont nommé ce modèle «Mo dèle de Panel SBM ». Dans
ce mémoire, nous l'avons nommé « modèle de base ».

Lorsque nous avons exploré en détail chacune des parties de leur modèle, nous
avons dû faire des estimations des paramètres, telles que les j3s de la partie de
classifi cation « a priori », les relativités du SBM, la structure de pénalisation
et le niveau d'entrée des assurés selon le nombre d 'années de permis de conduire
(NAP) . Nous avons utilisé la logvraisemblance pour sélectionner le meilleur modèle
de base. À l'intérieur de la structure du modèle de base, il y a l'inclusion de la
contrainte légale. Cette contrainte imp ose qu 'un ass uré qui a subi des sinistres du
type non responsable ne peut voir sa prime augmenter, toutefois elle n 'indique
pas qu 'il faut avoir une réduction non plus. Ainsi, les auteurs ont fait une série
d 'ajustements pour l'intégrer dans leur modèle, et nous avons expliqué et reproduit
son fonctionnement. Pour être capable de mesurer l'effet de cette contrainte, nous
avons bâti un modèle de cont rôle sans aucun type de restriction. Pour le construire,
nous avons utilisé la même pro cédure que pour le modèle de base, à l'exception
de la contrainte.

Nous avons observé différents comportements des deux modèles . La structure op-
timale du modèle de base est du type -1 / 0/+ 2 et celui du modèle de cont rôle est
-1 / + 3. Ce dernier modèle est plus sévère et pénalise plus que le premier, car il
déplace l'assuré de trois niveaux par sinistre, alors que l'aut re, de deux niveaux
seulement si le sinistre est du type responsable. 1 ous avons aussi constaté que
pour compenser cette différence dans la structure de pénalisation , les relativités
du modèle de contrôle sont égales ou inférieures que celles du modèle de base :
rf :::; rf, pour l = (1, 2, ... , 10), où « b » pour le modèle de base et « c » pour le
modèle de cont rôle. Cette compensation ent re la structure de pénalisation et les
 116

valeurs des relativités est toujours mise en relief dans la littérature et est cohérent
avec ce que nous avons observé dans les deux modèles . Si la structure p énalisation
était moins sévère, la valeur des relativités devrait être plus élevée et vice-versa.

De plus , nous avons constaté que le modèle de contrôle est plus conservateur en ce
qui concerne l'assignation du niveau d 'entrée des assurés qui ont six ans ou plus
d 'expérience de conduite lorsqu'ils deviennent clients de la compagnie. De plus, la
prime de base du modèle de contrôle est moins chère que celui du modèle de base.
Cela est possible parce que la structure de pénalisation du modèle de contrôle
est plus sévère et ce modèle p eut offrir une prime de base plus attrayante qui
compense pour sa structure plus sévère. Quand un ass uré déclare un sinistre, sa
prime est ajustée à la hausse davantage dans le modèle de contrôle que dans l'autre
modèle. Nous avons aussi constaté que les facteurs de la section de classification
« a priori » du modèle de base ont de valeurs plus extrêmes. Cela veut dire que
les rabais et les surcharges que le modèle de base apporte aux primes d 'ass urances
sont plus importants que celles du modèle de contrôle.

Dans le quatrième chapit re, nous avons intro duit deux out ils act uariels-statistiques
qui nous ont guidé dans l'évaluation de l'effi cacité du modèle de base. Pour ce faire,
nous avons considéré les résultats de l'ouvrage de (Lemaire, 1995) comme base de
comparaison des résultats obtenus pour les modèles de base et de cont rôle. Le
premier outil, le coeffi cient de variation (CV) , nous a montré que le modèle de
contrôle différencie davantage la prime d 'assurance que le modèle de base . En
comparaison avec les modèles d 'autres pays , les deux modèles se sont montrés
plus performants que ceux des autres. Le deuxième outil , le niveau relatif moyen
stationnaire (NRMS) , nous a indiqué que le modèle de contrôle est capable de
mieux distribuer les assurés dans son échelle que le modèle de base. Ce dernier
modèle a mal performé même contre les SBMs des autres pays . Il était placé comme
un des modèles qui dis t ribue moins les assurés dans l'échelle, ce qui signifie qu 'il
 117

n 'est pas assez sévère pour bien distribuer les assurés. Les ré ultats des outils
actuariels-statistiques employés dans l'analyse ne sont pas surprenants, toutefois
ces résultats nous ont confirmé que le modèle de contrôle est plus effic ace que le
modèle de base. Nous en concluons que l'ajout de la contrainte légale a affecté
l'effi cacité du système.

Nous avons aussi présenté le rapport sinistre / prime pour chacun des modèles
dans le quatrième chapitre. Ce type de rapport sert à nous assurer que les primes
calculées par les modèles sont suffisantes pour payer tous les sinistres. Les résultats
sont comme attendus : les deux modèles sont en mesure d 'honorer leurs obliga-
t ions auprès ses assurés et ils sont bien ajustés par rapport aux données utilisés.
Cela veut dire qu 'ils sont en équilibre actuarielle. Pour compléter toutes les ana-
lyses, après nous être assurés que les deux modèles sont en équilibre t echnique,
quand isolés, nous avons proposé une nouvelle façon d 'évaluer la contrainte légale
à l'intérieur du modèle de base : une compétition de marché entre les modèles

pour voir lequel est plus profitable. L'hypothèse sous-jacent est que les assurés
vont s'assurer avec la compagnie qui offre la prime la plus baisse et que cela a été
le seul élément considéré dans leur choix .

Un des faits observées à nouveau , grâce à la compétition , est que le modèle de

contrôle pénalise plus que le modèle de base et il présente une prime de base moins
chère. Cela attire plus d 'assurés à faible risque à son portefeuille. Par ailleurs,
comme le modèle de base ne considère pas les sinistres non responsables comme
un facteur de risque, la majorité de sinistres de ce type sont reliées aux assurés de la
compagnie qu 'utilise le modèle de base . Cela permet au modèle de contrôle d 'éviter
l'antisélection. Nous avons aussi constaté qu e le choix de l'assuré de changer de
compagnie n'est pas liée aux sinistres , mais à la valeur de la prime. La majorité
des assurés qui ont changé de compagnie n 'ont eu pas de sini tres.
 118

De plus, la pnme calculée par le modèle de base est moins précise, car cette
prime utilise un ajustement pour compenser la non inclusion des sinistres non
responsables . Cette compétion démont re que le modèle de contrôle est plus effi cace
et plus puissant que le modèle de base, car il a fait du profi t pendant toute la
p ériode de compétition. Le modèle de base a eu un déficit dans la même période.
Le marché, composé de la combinaison des deux compagnies, a eu un déficit.

Après toutes les analyses empiriques, nous avons élaboré une proposition form elle
sur le comportement du marché et des assurés. Dans notre généralisation , les assu-
rés plus risqués choisissent la compagnie qui utilise le modèle de base et les assurés
les moins risqués séectionnent la compagnie qui utilise le modèle de contrôle. En
conséquence, le marché n'atteint pas son équilibre, car le total perçu en primes
demeure toujours inférieur au minimum nécessaire pour payer tous les sinistres
générés par les assurés. Ainsi, le marché est en déficit , même si une des compagnies
est profitable.

Finalement , après toutes les analyses et évaluations du mod ' le de base , nous
pouvons conclure que l'inclusion de la contrainte légale, provenant de la province
de l'Ontario, a affecté l'effi cacité et la performance de ce modèle face à un modèle
libre de cette contrainte. Tous les résultats l'indiquent. Pour les recherches futur es,
il est important d 'inclure d 'autres outils act uariels-statistiques pour l'évaluation
de l'effi cacité elu modèle de base par rapport à d 'autres aspects tels que la quantité
des niveaux , les contraintes des différentes juridictions et le modèle de classification
« a priori ». Des analyse plus approfondi es en utilisant la comp étition des modèles
peut nous amener à de nouvelles méthodes d 'évaluation et à de nouveaux modèles
de tarification. Nous pouvons aussi examiner d 'autres variations du modèle de
(Boucher et Inoussa, 2014) ou , encore, l'améliorer.
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