M1 Régulation
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M1 Régulation
Sommaire
République Algérienne Démocratique et Populaire ................................................................................ 1
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique ............................................ 1
Faculté de Physique ........................................................................................................................ 1
Département énergétique ................................................................................................................ 1
CHAPITRE I .......................................................................................................................................... 5
INTRODUCTION.................................................................................................................................. 5
1- QUELQUES DEFINITIONS : ....................................................................................................... 5
2- STRUCTURE D’UN SYSTEME ASSERVI : ............................................................................... 6
3- REGULATION MANUEL DE NIVEAU : .................................................................................... 6
4- REGULATION AUTOMATIQUE DE NIVEAU : ....................................................................... 7
5-LES SIGNAUX DE COMMUNICATION- CABLAGE : .............................................................. 8
6- LA LOI DE COMMANDE :........................................................................................................ 11
7- LES ELEMENTS CONSTITUTIFS DE LA CHAINE DE REGULATION ............................... 12
8-EXERCICES :............................................................................................................................... 14
CHAPITRE II ...................................................................................................................................... 17
SYSTEMES LINEAIRES .................................................................................................................... 17
1 – DEFINITIONS : ......................................................................................................................... 17
2- CALCUL OPERATIONNEL : .................................................................................................... 17
3- QUELQUES PROPRIETES DES TRANSFORMEES DE LAPLACE ....................................... 18
4- APPLICATION DES TRANSFORMEES DE LAPLACE A LA RESOLUTION DES
EQUATIONS DIFFERENTIELLES :.............................................................................................. 19
5- DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES D’UNE FRACTION RATIONNELLE : ........ 20
6-EXERCICES :............................................................................................................................... 21
CHAPITRE III ..................................................................................................................................... 24
ALGEBRE DES SCHEMAS FONCTIONNELS................................................................................. 24
ET FONCTIONS DE TRANSFERT DES SYSTEMES ...................................................................... 24
1- INTRODUCTION : ..................................................................................................................... 24
2- TERMINOLOGIE DES SHEMAS FONCTIONNELS : ............................................................. 26
3- SYSTEMES EN ENTREES MULTIPLES. APPLICATION DU PRINCIPE DE
SUPERPOSITION : ......................................................................................................................... 28
4-EXERCICES :............................................................................................................................... 29
CHAPITRE IV ..................................................................................................................................... 32
SYSTEMES LINEAIRES .................................................................................................................... 32
1- SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE :................................................................... 32
3
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4
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CHAPITRE I
INTRODUCTION
1- QUELQUES DEFINITIONS :
La régulation permet de maintenir une grandeur physique à une valeur constante
quelques soient les perturbations extérieures. L'objectif global de la régulation
peut se résumer par ces trois mots clefs : Mesurer, Comparer et Corriger.
Nous somme donc amenés à effectuer des mesures pour obtenir certaines
connaissances avant d’entreprendre une action. Ces mesures seront obtenues par
l’intermédiaire d’appareillages spécifiques.
Qa
h
Qs
6
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Action Qa Réflexion
Observation
h
Qs
Pour automatiser cette boucle, il faut remplacer chaque maillon humain par un
appareil. Il faut également faire communiquer ces appareils les uns avec les
autres.
Actionneur LV
Régulateur
Vanne LC
Qa
LT
Capteur
Qs
7
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8
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h − hmin
𝑀=
hmax − hmin
3−2
𝑀= = 0.167
8−2
9
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Soit i=6.67mA.
Le régulateur lit cette intensité et détermine le pourcentage de l’étendue
d’intensité. La mesure de cette intensité (i=6.67mA) va lui permettre de
comprendre que la mesure M est égale à 16.7% de l’étendue d’échelle du
capteur.
Remarques :
10
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6- LA LOI DE COMMANDE :
Le rôle du régulateur lorsque la mesure s’écarte de la valeur de consigne, est de
déterminer la correction à apporter pour ramener la mesure à sa valeur de
consigne.
Le régulateur reçoit l’information sur la mesure M (%) et possède aussi
l’information sur la consigne C.
11
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a. Le corps d’épreuve :
Exemples :
La sonde qui se trouve plongée dans le milieu dont on mesure la
température et dont la résistance varie quand la température varie.
La membrane qui détecte une variation de pression par rapport à une
pression de référence (vide ou atmosphère).
12
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8-EXERCICES :
14
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Correction exercice 1
i−Imin 13−4
I = Imax −Imin = 20−4 = 0.563 Soit : I=56.3% Soit : M=56.3%
h−hmin h−2
𝑀= = h=(8-2)0.563+2=5.38m
hmax −hmin 8−2
Correction exercice 2
20−0
𝑀 = 80−0 = 0.25 Soit : M=25%
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CHAPITRE II
SYSTEMES LINEAIRES
1 – DEFINITIONS :
On appelle système linéaire, un système tel que si le signal d’entrée x 1(t) donne
y1(t) en sortie, et x2(t) donne y2(t), alors, le signal d’entrée est : c1 x1(t) + c2 x2(t)
donne c1 y1(t) + c2 y2(t) en sortie. Pour tout couple de constantes c1 et c2.
x1(t) y1(t)
x2(t) y2(t)
On dit qu’un terme est linéaire s’il est du premier degré dans les variables
dépendantes et leurs dérivées. Aussi, on dit qu’une équation différentielle est
linéaire si elle consiste en une somme de termes linéaires. Toutes les autres
équations différentielles sont dites non linéaires.
Lorsqu’une équation différentielle contient des termes qui sont des puissances
supérieures à la première, des produits, ou des fonctions transcendantes des
variables dépendantes, elle n’est pas linéaire. Des exemples de chacun de ces
3
termes sont donnés par : dy , x
dx et sin x
dt dt
ds(t )
s(t ) Ke(t ) Equation différentielle du 1er ordre
dt
2- CALCUL OPERATIONNEL :
17
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2.2- Transformée de Laplace : A toute fonction f(t) tel que f(t)=0 lorsque t<0, on
fait correspondre une fonction F(p) de variable complexe p = j appelée
transformée de Laplace de f(t) [2].
F(p) = L [f(t)],
f(t) = L-1 [F(p)]
F(p) : Transformée de Laplace
f(t) : Image de F(p)
pt
F ( p) e f (t )dt
0
Exemple 1 : Calculer la transformée de Laplace de f(t) :
f (t) = 1 pour t>0 et f (t) = 0 pour t<0
Exemple 2 : f (t) = Sin t.
t 0+ p ∞
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t ∞ p 0
d k y (t )
Les conditions initiales pour cette équation s’écrivent : y 0k cstes
dt k t 0
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( p z1 )( p z 2 )
Cette équation peut se mettre sous la forme F ( p) =
( p _ p 3 )( p p 2 )( p _ p 3 )
R'
(p z i ) mi
F ( p) i 0 avec m et n le nombre de racines.
R
ni
(p pi )
i 0
1 d ( ni k )
cik ( ni k )
( p pi ) ni F ( p) pi
(n i k )! dp
Avec Cik sont les Résidus de F(p) aux pôles Pi d’ordre ni (K=1,……ni).
p 2
Exemple : Décomposer en éléments simples la fonction F ( p)
( p 1) 2 ( p 3)
20
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6-EXERCICES :
Exercice n° 1 :
Exercice n° 2 :
d( e - 3t )
Déterminer la transformée de Laplace de la fonction : f (t) = en
dt
df
utilisant la propriété suivante : L [ ] = p F (p) – f ( 0 ) ou F (p) = L [f (t)]
dt
21
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Exercice n° 3 :
Déterminer la transformée inverse de Laplace de la fonction suivante : F (p) =
e- p
p2 1
f (t – T) = 0 pour t ≤ T
Exercice n° 4 :
Déterminer la transformée inverse de Laplace de la fonction : F (p) =
p
(p 1)( p 2 1)
Exercice n° 5 :
En appliquant les transformées de Laplace, résoudre l’équation différentielle
suivante :
d 2 y (t ) dy (t )
3 2 y (t ) = u (t) = échelon unité
dt 2 dt
Avec les conditions initiales y ( 0 ) = -1 et y’ ( 0 ) = 2
Exercice n° 6 :
Trouver la transformée inverse de Laplace de la fonction suivante :
p2 2 p 2
F ( p)
p2 3p 2
Exercice n° 7 :
Trouver la transformée inverse de Laplace de la fonction suivante :
p 2
F ( p)
( p 1) 2 ( p 3)
22
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CHAPITRE III
ALGEBRE DES SCHEMAS FONCTIONNELS
ET FONCTIONS DE TRANSFERT DES SYSTEMES
1- INTRODUCTION :
Une fonction de transfert T(P) est le rapport des signaux de sorties sur les
signaux d’entrées dans le domaine de LAPLACE [4].
S ( p)
T ( p)
E ( p)
E (p) Entrée S (p) Sortie
ou bien encore :
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Exemple 2 : Amortisseur
25
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Donc: S (p) = E (p) + R (p) G (p) S (p) = E (p) + S (p) H (p) G (p)
S (p) = E (p) G (p) + S (p) H (p) G (p) S (p) (1- H (p) G (p)) = E (p) G (p)
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S ( p) G ( p)
T ( p)
E ( p) 1 H ( p)G( p)
E(p) + S(p)
G(p)
+
S ( p) G ( p)
T ( p)
E ( p) 1 G ( p)
E(p) S(p)
G(p)
H(p)
S ( p) EG EH E (G H)
S ( p)
G ( p) H ( p) T ( p)
E ( p)
27
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28
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4-EXERCICES :
Exercice n° 1 :
On applique une impulsion à l’entrée d’un système asservi, et on observe pour le
signal de sortie la fonction e-2t. . Trouver la fonction de transfert du système.
Exercice n° 2 :
La sortie s1 (t) d’un système asservi est : 2 (1- e-2t ) pour une entrée e1 (t) = 2.
Trouvez la sortie de ce système pour une entrée e2 (t) = 2t.
Exercice n° 3 :
Trouvez la fonction de transfert équivalente pour le système asservi suivant :
E + S
G1 G2 G3
+
G4
G5
Exercice n° 4 :
Trouvez la fonction de transfert équivalente pour le système asservi sauvant :
E + S
G1 G2 G3
+ +
G4
G5
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Exercice n° 5 :
Trouvez les fonctions de transfert équivalentes pour les systèmes asservis
sauvant :
E + S
G1 G2 G3
S
E
G1 G2 G3
+
Exercice n° 6 :
Trouvez le signal de sortie S pour le système asservi suivant :
E2
E1 + + S
G1 G3
+
G4 G5
+
E3
Exercice n° 7 :
Trouvez le signal de sortie S pour le système asservi suivant :
E2
+
E1 + S
G1 G2 G3
H3
H2
H1
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1
Correction exercice 1 : T ( p)
p 2
4
Correction exercice 2 T ( p) 2
; Après décomposition : s(t ) 1 2t e 2t
p P 2
G1 G2 G4 G2 G3
Correction exercice 3 : T ( p)
1 G2 G5 G4 G3 G2 G1 G3 G5
G2 G1G3
Correction exercice 4 : T ( p)
1 G2 G3 G2 G1
G2
E1=E3=0 S 2 E 2
1 G1G2 G3G4
G1G2 G3
E1=E2=0 S 3 E 3
1 G1G2 G3G4
G3 G2 H 3
E1=0 S 2 E 2
1 G1 H 2 G2 H 3 H1G1G2 G3
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CHAPITRE IV
SYSTEMES LINEAIRES
0 t 0 a
b- Entrée échelon : e(t ) L [e(t)] = a/p
a t 0
t
0 t 0
c- Entrée échelon : e(t ) L
at t 0
t
2
[e(t)] = a/p
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2-1- Réponse au Pic de Dirac : Soit une équation différentiel du premier ordre
tel que :
t
ds(t ) 1 1
s(t ) e(t ) Avec : T ( p) et S ( p) T ( p) E ( p) s(t ) e
dt 1 p
s(t)
L e(t) = t 1
s (p)
1 p
t
2-2- Réponse à une entrée échelon :
ds(t )
Soit une équation différentiel du premier ordre tel que : s(t ) e(t )
dt
t
1 a
Avec : T ( p) et E ( p) L -1 s (p) = a(1 e )
1 p p
Permanent Transitoire
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lim s(t)= ∞
t ∞
s1(t) =a
S1(t) at
S1(t) s2(t)
Erreur de traînage :
=a
(t) = s (∞) – s (t)
e (t) s (t)
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2
S ( p) 1 Ks
Ou : T ( p) n
E ( p) 1 2 p2 2 p 2
2
p2 2
n
p 1 n n
n n
1
S ( p)
p(T 2 p 2 2 Tp 1)
35
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1 ( 2
1) nt
a- pour 1: s(t ) 1 e
2 2
1
s(t
)e(t
)
s(t) sur amorti
nt
b- pour =1 : s(t ) 1 e (1 n t ).
1 nt 2
c- 0 1 s(t ) 1 2
e sin( 1 n t )
1
avec arctg ( )
2
1
90% B
e(t)
t
Tm Ts
A 2
exp( ) est le dépassement, et p est la période.
B 1 2
n 1 2
Tm est le temps que met la réponse à un échelon pour être à 90% de la valeur
finale. Avec s( )=e(t).
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R n 1 2 ; R existe si 1-2 2 0
2
0.7
Le coefficient de surtension est égale à : 1
Q
2
2 1
4- EXERCICES :
Exercice 1:. Soit un système linéaire du 1er ordre défini à 8% de sont régime
définitif pour une entrée échelon. Le temps de réponse du système TR = 4s.
Déterminez le temps de réponse de ce système.
Exercice 2: Soit un système d’écrit par le schéma fonctionnel suivant :
E(p) + S(p)
k
G(p) G p
p p 2
+
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Correction exercice 2 :
k
2 2
G( p) p p 2 k n n k 1 1
T ( p)
1 G( p) k p 2
2p k p 2 2 2
2 2 k
1 n n n n
p p 2
1
Pour 0 1 1 k > 1 Régime d’amortissement sur critique.
k
1
Pour =1 =1 k = 1 Régime amorti critique.
k
1
Pour >1 >1 k 1 Régime sur amorti
k
A 4,5 3
Correction exercice 3 : 0,5 , Le temps de montée =0,25s, système
B 3
instable.
Correction exercice 4 : Amortissement critique =1. ωn = 1. K=0.5.
A
Pour =0.5 : Q=1.15, ωR n’existe pas car k complexe. 0,16
B
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CHAPITRE V
STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES.
1- DEFINITION:
Un système stable peut être définit comme un système qui reste au repos à
moins que l'on excite au moyen d'une source extérieure et qui revient au repos
dés que toute excitation cesse.
Un système stable peut être définit comme un système dont la réponse à
l'impulsion tend vers zéro quand t tend vers l'infini.
Re 0 système stable
Re = 0 système juste oscillant.
Re 0 système instable.
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E(p) S(p)
G(p)
H(p)
3-1-a- Critère de ROUTH: C’est un critère qui permet de savoir si les racines de
l’équation algébrique du genre : AmPm + Am-1Pm-1 + …. + A1P + A0P0 = 0 ont
leurs parties négatives sans avoir à les résoudre.
Conditions nécessaires et suffisantes :Le critère de ROUTH n’est applicable que
si tous les Ai de l’équation algébrique sont positifs.
Exemple : p5+2p3+2p2+p=0 (Nous pouvons appliquer le critère de ROUTH)
Construction de la table de ROUTH : Soit l’équation caractéristique: 1+T(p) =
AmPm + Am-1Pm-1 + …. + A1P + A0P0 = 0
On arrange les coefficients sur la ligne.
Am 1 Am 2 Am Am 3 Am 1 Am 4 Am Am 5
b1 ; b2
Am 1 Am 1
40
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b1 Am 3 Am 1b2 b1 Am 5 Am 1b3
c1 ; c2
b1 b1
4- EXERCICES:
K
Exercice n° 1 : Soit le système d’écrit par : T (p) =
(1 p)(2 p)(5 p)
Pour quelle valeur de K le système est stable. Vérifier la stabilité par les critères
de ROUTH et Hurwitz .
K
Exercice n° 2 :Soit le système d’écrit par : T (p) =
(3 p)(1 Ap )
Pour quelle valeur de K et de A le système est stable. Vérifier la stabilité par les
critères de ROUTH et Hurwitz .
41
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E + + S
T(p)
K
T (p) = Vérifier la stabilité par les critères de ROUTH.
(1 2 p)(1 p) 3
42
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CHAPITRE VI
LES DIAGRAMMES DE BODES ET NYQUIST
1- INTRODUCTION :
1
Soit un système du 1er ordre : T ( p) on pose p = j
1 p
1 j 1
T ( p) 2 2 2 2
j 2 2
1 1 1
1
2 2
Partie Réel.
1
2 2
Partie Imaginaire.
1
1
1
Le module de T(p) : T ( p) Re 2 Im 2
2 2
1 2 2 2
Im
La phase de T(p) : tg artg
Re
: Phase = Argument.
43
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2-ÉCHELLE SEMI-LOGARITHMIQUE :
Un repère semi-logarithmique est un repère dans lequel l'un des axes est gradué
selon une échelle linéaire, alors que l'autre axe, est gradué selon une échelle
logarithmique.
Une échelle logarithmique est un système de graduation sur une demi-droite,
particulièrement adapté pour rendre compte des ordres de grandeur dans les
applications. De plus elle permet de rendre accessible une large gamme de
valeurs.
44
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log(3) - log(2). Cela induit une sorte d'irrégularité récurrente dans les
graduations.
TdB = 20 log T ( j )
T( j ) k
T ( p) k Im
tg 0 TdB = 20 log T ( j )
Re
20 log k
45
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Exemple 2 :
quelque soit
2
= c TdB = 20 log Tc =0
0+ TdB = 20 log 0+ -∞
+∞ TdB = 20 log ∞ +∞
0+ c +∞
TdB -∞ 0 +∞
/2 /2 /2
46
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Exemple 3 :
1
Soit un système avec une fonction de transfert T ( p) on pose p = j
p
1
1 T( j )
T( j ) j 1
Im
arctg arctg
Re 0 2
quelque soit .
2
= c TdB = 20 log Tc = 0
0+ TdB = 20 log 1
(rd/s) 0+ c +∞
TdB +∞ 0 -∞
- /2 - /2 - /2
47
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= c TdB = 20 log Tc = 0
0+ TdB = 20 log n
Calcul de la pente :
Exemple 5 :
48
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1
TdB = 20 log Tc =0 TdB = 20 log 1 2 2
20 log pour 0
1
c
= c TdB = 20 log Tc = 0
1
0+ TdB = 20 log 1 2 2
0+ 0+ TdB= 0
et = arctg 0 =0
1
2 2
+∞ TdB = 20 log 1 20 log TdB +∞
et = arctg ∞ =
2
c c
(rd/s)
TdB 0 +∞
0 /2
1er point :
1
= c TdB = 20 log 1
2 2 20 log c
=0
Exemple 6 :
1
Soit un système avec une fonction de transfert T ( p) 1 j on pose p = j
1
2
1 T( j ) 12 2
T( j ) 1 j
arctg arctg
1
49
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= c TdB = 20 log Tc = 0
1
0+ TdB = 20 log 1 2 2 0+
0+ TdB= 0
Et = -arctg 0 =0
1
2
+∞ TdB = 20 log 1 2 20 log TdB -∞
Et = -arctg ∞ =-
2
(rd/s) c c
TdB 0 -∞
0 - /2
1
Fréquence de coupure : c
50
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(rd/s) c c
TdB 0 n∞
0 n /2
Exemple 8 :
2
Soit un système avec une fonction de transfert T ( p) 1 2p
2 1
2 T( j ) 12 2
2 2 T( j ) 12 4 2
T( j ) 1 j2
2 2 arctg 2 2
2 arctg 2 arctg 2 2
1
1
Fréquence de coupure : c
2
TdB 0 -∞
0 -2 /2 = -
Exemple 9 :
T( j ) T1 j T2 j
2p 2p
T ( p)
1 2p p2 1 p
2
2j 1
T( j ) 2
2j 2
1 j 1 j
51
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T1 2 T1dB 20 log 2
Im
n arctg
1- T1(p)=2j 1
Re 2
1
c1 rad / s
2
pente : 20dB par décade
2 1
T1 1
Im
2- T2(p)= 1 j 2
1 n arctg 2arct
Re
c1 1 rad / s
0.5 0.5 1 1
1 /2 /2 /2
2 0 0 -
/2 /2 - /2
a- Méthode analytique :
G et peuvent être calculés de la manière suivante :
1
G avec ArgT j
T j
180 ArgT j 1 avec T j 1 1
52
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b- Méthode graphique :
Un système est stable si : G 0 et 0 sur le diagramme de Bode.
G 0 par rapport à l’axe de
0 par rapport à l’axe -
Im (T(j )) = f ( Re (T(j ))
53
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1- Coordonnées polaire :
1
2
1 T( j ) 12 2
T( j ) 1 j
arctg arctg
1
(rd/s) 0 1 10
T 1 0.7 0.1 0
0 /4 -84 - /2
2- Coordonnées rectangulaire :
1 1
T ( p) 2
j 2
1 j 1 1
1
2
Re T j Partie Réel.
1
2
Im T j Partie Imaginaire
1
(rd/s) 0 1 10
Re 1 0.5 10-2 0
Im 0 -0.5 -10-1 0
54
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6- EXERCICES :
25
Soit le système décrit par : T ( p)
0.5 0.1 p 0.5 0.2 p 1 2.5 p
100
T ( p) T 20 log 100 T1db / des T2db / des T3db / des
1 0.2 p 1 0.4 p 1 2.5 p
T1 = (1+(2.5)2)-1/2
T1 1= - arctg 2.5
T2 = (1+(0.4)2)-1/2
T2 2= - arctg 0.4
T3 = (1+(0.2)2)-1/2
T3 3= - arctg 0.2
C3 = 1/0.2 = 5 rd/s
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T3 (dB/dec) 0 0 0 -20
0 - /2 - -3 /2
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REFERENCES :
[1] P.Gatt. TS2 CIRA Régulation - Chap I Rappels 2009-2010 page 1-18
http://perso.numericable.fr/cira/pdf/Cours/Regulation/1%29%20Boucles%20de
%20regulation.pdf
[2] Stéphane LE METEIL. BTS2 CIRA. Résume du cours sur la transformation
de LAPLACE. 2005
[3] Benoît Marx. Centre de Recherche en Automatique de Nancy. 2010.
http://www.cran.univ-
lorraine.fr/perso/benoit.marx/harmo_fourier_laplace_ENSG.pdf
[4] Mohammed-Karim FELLAH, Cours d'asservissements linéaires continus
[5] Eric Magarotto, Cours de Régulation. IUT Caen - Département Génie
Chimique et Procédés. Université de Caen. 2004.
[6] Bernard BAYLE, Systèmes et asservissements à temps continu Ecole
Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg année 2007–2008
[7] V.Boitier, Université Paul Sabatier Toulouse III, septembre 2005
[8] Edouard Laroche Asservissement des systèmes linéaires a temps continu
[9] J. J. Di Stefano, A.R. Stubberud, I. J. Williams, Systèmes asservies 1 cours
et exercices. SERIE SCHAUM.
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