Serie TD - Onde - N 1

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Ecole Supérieure des Sciences Appliquées d'Alger

Département de la Formation Préparatoire
Série d’exercices N°1

Cordes vibrantes
Exercice 1 :
Soit une corde de longueur , de masse est tendue avec une tension réglable de telle sorte
qu’il n’y ait pas d’onde réfléchie en . Cette corde est reliée à son extrémité d’abscisse
par un ressort de constante de raideur dont l’extrémité subit un déplacement
vertical sinusoïdal ( ) ( ). L’autre extrémité d’abscisse est reliée à un
amortisseur de coefficient de frottement visqueux . Des guides parfaitement glissants
n’autorisent que les mouvements transverses des points et . Soit ( ) le déplacement
transversal de particules en chaque point de la corde d’abscisse et à chaque instant . L’onde
se propageant de vers est progressive.
1. Trouver l’impédance en un point quelconque de la corde. Conclusion ?

2. Calculer la tension , la vitesse de phase et la longueur d’onde .
On donne : et .
3. Montrer que les extrémités et vibrent en phase.
Dr. MAYOUT Saliha 2ème année, Physique 4, 2020/2021

4. En déduire le schéma mécanique correspondant.
5. Etablir l’expression de déplacement (élongation) ( ) du point (préciser son
amplitude et sa phase ).
6. En déduire l’expression de déplacement ( ) d’un point quelconque de la corde. Dans
quel cas la phase est nulle ? Que vaut, dans ce cas, l’amplitude en chaque point de la
corde ?
Exercice 2 :
Une corde de longueur est constituée de deux segments disposés bout à bout. Elle est tendue
entre deux points fixes avec une tension (voir figure ( )). et représentent les masses
linéiques de chaque segment de la corde. On étudie les ondes transverses sinusoïdales de
pulsation .
1. Donner les expressions des déplacements de particules ( ) ( ), les vitesses de

propagation et respectivement dans les deux segments.
2. Après avoir écrit les conditions aux limites en et en et sachant qu’à la
jonction, en , est un nœud de vibration ;
a. Trouver les pulsations propres, notées respectivement et dans des deux
segments, en fonction de ( , ) et ( , ).
b. Donner les relations qui relient aux longueurs d’ondes, notées respectives et
.
3. Quelles relations existe-il-entre ( , ) et ( , ) si on a un ventre de vibration en .
Peut-on avoir un ventre en ce point si .
4. Monter que le système de la figure ( ) est équivalent au système représenté par la figure
( ). Calculer l’impédance .
5. Ecrire les conditions aux limites pour la figure ( ). En déduire l’équation aux pulsations
propres.
Exercice 3 :
Une corde, de longueur , de masse linéique est tendue à l’aide d’une masse . L’extrémité
est fixe. L’autre extrémité , la corde est terminée par une masse tenue par un
ressort de constate de raideur (voir figure ci-dessous). Soit la vitesse de propagation des
ondes transversales. A l’équilibre la corde est horizontale.

1. Oscillations libres :
a. Montrer, qu’en régime d’oscillation sinusoïdale, la corde peut être considérée

comme un milieu limité par deux impédances et que l’on déterminera.
b. Calculer les coefficients de réflexion en déplacement (en ) et (en
). Donner leurs modules ainsi que leurs arguments.
c. Calculer l’impédance en tout point de la corde.
d. En écrivant les conditions aux limites en et en , établir l’équation aux
pulsations propres.
e. Que devient cette équation dans le cas où la masse est faible.
f. Déterminer les trois premières pulsations propres dans le cas où .
2. Oscillations forcées :
On impose en une perturbation sinusoïdale : ( ) ( ). La tension de la

corde est la même que précédamment.
a. Déterminer l’expression ( ) du mouvement de la corde en tout point d’abscisse
, à l’instant .
b. Trouver l’amplitude ainsi que la position des ventres et des nœuds de vibration.
Pour quelles pulsations observe-t-on le phénomène de résonance d’amplitude ?
c. Pour une pulsation particulière √ , trouver la composante verticale de la
force exercée par la corde sur le vibreur en .
Exercice 4 :
Une corde de longueur infinie, de masse linéique , est tendue sous une tension . Au point
, on accroche une masse . Au repos, la corde est horizontale. On néglige le poids de la
corde et celui de la masse devant les autres forces.

On considère une onde incidente de déplacement ( ) de pulsation et d’amplitude
venant de la gauche et se propageant dans le sens des croissants. Elle donne naissance en
à une onde réfléchie ( ) et une onde transmise ( ). On notera par et les
coefficients de réflexion et de transmission en déplacement (en amplitude) au point .
1. Donner l’expression de ( ) pour la région des et ( ) pour la région des

, en fonction des données du problème.
2. Montrer que la force transversale qui s’exerce sur la masse s’écrit :
( ) [( ) ( ) ]
3. En tenant compte de la condition de continuité en et de l’équation du mouvement

de la masse , montrer que les coefficients de réflexion et de transmission s’écrivent :
√
Quelles sont les limites de ces deux coefficients lorsque et .

Commenter.
4. Montrer que le système précédent est équivalent à une corde semi-infinie occupant la
région des et fermée en par une impédance dont on calculera l’expression.
En déduire le coefficient de réflexion en . Retrouve-t-on le résultats de la question
précédente ?
5. Montrer que ( ) peut se mettre sous la forme : ( ) ( ) ( ), où ( ) est
une fonction que l’on explicitera.
6. Déterminer l’amplitude et la position des minima et des maxima de vibration. En déduire
le taux d’ondes stationnaire.
7. A quelle distance se trouve le premier maximum le plus proche de la terminaison .
Exercice 5 :
Deux cordes et de masses linéiques respectives et , tendues horizontalement suivant

l’axe avec la même tension , sont reliées en . La corde est semi-infinie

et la corde est fixée à son autre extrémité en . Une onde incidente sinusoïdale,
( ), de pulsation et d’amplitude arrive de et se propage dans la
direction des croissants (voir figure ci-dessous).
1. Donner les expressions des ondes ( ) et ( ) se propageant dans les cordes et ,

respectivement.
2. En tenant compte des conditions de continuités en et la condition en , trouver
les relations entre les amplitudes des ondes.
3. Trouver l’expression du coefficient de réflexion en amplitude en , en fonction de
et .
4. Quelle est la valeur du coefficient de réflexion si on a un nœud d’oscillation en ?
En déduire la valeur de la longueur de la corde , si l’onde qui s’y propage, avec une
vitesse , possède deux ventres.
5. Montrer, dans ce cas, que ( ) peut se mettre sous la forme ( ) ( ) ( )
.
( ) est une forme réelle que l’on déterminera et on précisera la valeur du déphasage .
Exercice 6 :
Deux cordes et semi-infinies, de masses linéiques et , tendues horizontalement avec

les tensions et , respectivement. Elles sont reliées en à un système mécanique
constitué par une masse , un ressort de constante de raideur et un amortisseur de
coefficient d’amortissement visqueux comme indiqué sur la figure ci-dessous.
( )
Du côté arrive une onde incidente de la forme ( )

1. Quelle est la nature de l’onde décrite par ( )? Expliquer.
2. Comment s’appellent les quantités et ? Quelle relation a-t-on entre ces quantités.
3. Que se passe-il au point .
4. Donner pour chaque corde, les expressions des vitesses de propagation ( ) et des
impédances caractéristiques ( ) en fonction de et .
5. Ecrire sans démonstrations, l’impédance du système mécanique ( ).
6. Donner, en notation complexe, les expressions des déplacements ( ) et ( ) des
ondes se propagent respectivement dans les cordes et .
7. Trouver une relation entre les amplitudes des ondes, compte tenu de la continuité du
déplacement en .
8. Déterminer l’équation du mouvement de la masse en .
9. A partir des résultats obtenus en et , déduire les coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude, en fonction de et .
10. Dans le cas où √ , que deviennent les expressions de ces coefficients?
11. On considère le cas où ;

a. Que deviennent les valeurs de et ? Commenter.
b. Trouver, en notation réelle, la nouvelle écriture du déplacement ( ). Préciser
la nature de l’onde résultante.
c. Déduire les positions des minima et des maxima d’amplitudes.

Serie TD - Onde - N 1

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Serie TD - Onde - N 1

Transféré par

Informations du document

Titre original

Copyright

Formats disponibles

Partager ce document

Partager ou intégrer le document

Options de partage

Avez-vous trouvé ce document utile ?

Ce contenu est-il inapproprié ?

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Serie TD - Onde - N 1

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Ecole Supérieure des Sciences Appliquées d'Alger

Série d’exercices N°1

1. Trouver l’impédance en un point quelconque de la corde. Conclusion ?

Dr. MAYOUT Saliha 2ème année, Physique 4, 2020/2021

1. Donner les expressions des déplacements de particules ( ) ( ), les vitesses de

Dr. MAYOUT Saliha 2ème année, Physique 4, 2020/2021

a. Montrer, qu’en régime d’oscillation sinusoïdale, la corde peut être considérée

On impose en une perturbation sinusoïdale : ( ) ( ). La tension de la

Dr. MAYOUT Saliha 2ème année, Physique 4, 2020/2021

1. Donner l’expression de ( ) pour la région des et ( ) pour la région des

3. En tenant compte de la condition de continuité en et de l’équation du mouvement

Quelles sont les limites de ces deux coefficients lorsque et .

Deux cordes et de masses linéiques respectives et , tendues horizontalement suivant

Dr. MAYOUT Saliha 2ème année, Physique 4, 2020/2021

1. Donner les expressions des ondes ( ) et ( ) se propageant dans les cordes et ,

Deux cordes et semi-infinies, de masses linéiques et , tendues horizontalement avec

Dr. MAYOUT Saliha 2ème année, Physique 4, 2020/2021

10. Dans le cas où √ , que deviennent les expressions de ces coefficients?

11. On considère le cas où ;

Dr. MAYOUT Saliha 2ème année, Physique 4, 2020/2021

Vous aimerez peut-être aussi