2018-Corrige BTS GR B 2018

A. P. M. E. P.
[ BTS Métropole–Antilles–Guyane groupement B \

14 mai 2018 Éléments de correction
Exercice 1
A. Résolution d’une équation différentielle
(E ) : y ′ − 0, 2y = 3t
1. Sur [0 ; +∞[ l’équation différentielle (E0 ) :
y ′ − 0, 2y = 0.
A pour solution générale : y = ke0,2t où k est une constante réelle quelconque

2. La fonction g , définie sur [0 ; 3] par g (t ) = −15t −75, est solution de l’équation différentielle (E),
si g ′ (t ) − 0, 2g (t ) = 3t
g (t ) = −15t − 75, donc g ′ (t ) = −15 et
g ′ (t ) − 0, 2g (t ) = −15 − 0, 2 × (−15t ) − 0, 2 × (−75) = −15 + 3t + 15 = 3t
, cqfd
3. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) est :
{t 7→ −15t − 75 + ke0,2t , t ≥ 0, k constante réelle } .
4. La fonction f est solution de (E), donc f (t ) = −15t − 75 + ke0,2t , t ∈ R+
f vérifie la condition initiale f (0) = 0, donc −15 × 0 − 75 + ke 0,2×0 = 0, d’où k = 75 et
f (t ) = −15t − 75 + 75e 0,2t = −15t + 75 e0,2t − 1 .
¡ ¢
B. Étude de fonction et application

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 3] par
f (t ) = 75 e0,2t − 1 − 15t .
¡ ¢
On désigne par C la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal.
1
1. a. f ′ (t ) = 15e 5 t − 15
1 1
Sur [0 ; 3], l’inéquation f ′ (t ) > 0 ⇐⇒ 15e 5 t > 15 ⇐⇒ e 5 t > 1, c’est-à-dire t > 0, ainsi
f ′ (t ) est positive sur [0 ; 3].
b. f ′ (t ) > 0, la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 3].
2. On rappelle que f (t ) correspond à la distance parcourue par le wagon, en km, à l’instant t , en
minute.
Au bout d’une minute.le wagon va prcourir f (1) km, soit 1,605 km environ
3. a. La vitesse du wagon, en kilomètre par minute, à l’instant t , correspond à f ′ (t ).
En 2 minutes la vitesse du wagon s’élève f ′ (2) soit 7, 38 km par min .
b. En 2 min, la vitesse du wagon est de 7, 38 km·min−1 soit 7, 38 × 60 km par heure , c’est-à-

dire 442, 67 km·h−1 , l’objectif des ingénieurs qui est de 400 kmh −1 est largement atteint.
Éléments de correction du BTS A. P. M. E. P.
4. Une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 2 est :
y = f ′ (2)(t − 2) + f (2) = f ′ (2)t − 2f ′ (2) + f (2)
f (2) = 75(e0,4 − 1) − 30, f ′ (2) = 15(e0,4 − 1) − 2f ′ (2) + f (2) = −30(e0,4 − 1) + 75(e0,4 − 1) − 30 =

f (2) = 45e0,4 + 30 − 75 − 30
Donc la tangente en 2 a pour équation : y = e0,4 − 1 t + 45e0,4 − 75
¡ ¢
C. Calcul intégral
Afin d’aménager les futures gares dédiées à ce train à très haute vitesse, les architectes ont dessiné
la pièce suivante, représentée dans un repère orthonormé avec pour unitégraphique 1 mètre sur les
deux axes.
R Q
2
−3 −2 −1
O 1 2 3
P
On désire calculer de façon précise l’aire A de la surface hachurée sur le dessin. Pour cela on dispose
des données suivantes :
— la pièce est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
— le bord supérieur correspond à la droite d’équation y = 2, 25 ;
— le bord inférieur droit correspond à la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 3] par :
27x
g (x) = .
2x 2 + 18
1. L’aire A1 du rectangle OPQR, en unité d’aire (u. a.) est A1 = 2, 25 × 3 = 6, 75
2. Une primitive de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 3] est G : x → 27

¡ 2
4 ln x + 9
¢
L’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe représentative de la fonction g ,
l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 3 est A2 = G(3) − G(0) .
27 27
G(3) = 4 ln 18 et G(0) = 4 ln 9
27 27
A2 = 4 (ln 18 − ln 9) = 4 ln 2 ≈ 4, 679
3. L’aire A , en unité d’aire, vaut 2(A1 − A2 ) ≈ 6, 75 − 4, 679 ≈ 4, 143u.a. .
Exercice 2
Dans cet exercice, on s’intéresse à l’obsolescence programmée de certains modèles de smartphone.
L’obsolescence programmée consiste à limiter volontairement la durée de vie d’un produit afin d’aug-
menter le taux de remplacement et accroître les profits.
A. Probabilités conditionnelles
Groupe B 2 14 mai 2018

Une association de consommateurs a observé deux types d’obsolescence programmée sur une po-
pulation de 200 smartphones.
La première est l’obsolescence technique, lorsqu’un composant tombe en panne et ne peut être rem-
placé. Cela concerne 3 % des smartphones étudiés.
La seconde est l’obsolescence logicielle, quand un produit est trop vieux pour être mis à jour et de-
vient inutilisable ou incompatible. Cela concerne 8 % des smartphones étudiés.
De plus, parmi les smartphones touchés par l’obsolescence logicielle, on compte 12,5 % de smart-
phones également touchés par l’obsolescence technique.
1. D’après l’énoncé, on obtient le tableau d’effectifs suivant :
Smartphones touchés par non touchés par Total

l’obsolescence logicielle l’obsolescence logicielle
touchés par 12,5%× 16=2 4 3%× 200=6
l’obsolescence technique
non touchés par 14 180 194
l’obsolescence technique
Total 8%× 200 =16 184 200
2. On prélève au hasard un smartphone parmi les 200 étudiés.

On note T l’évènement : « le smartphone prélevé est touché par l’obsolescence technique »et L
l’évènement : « le smartphone prélevé est touché par l’obsolescence logicielle ».
D’après les informations figurant dans l’énoncé, on a immédiatement : P (T ) = 0, 03, P (L) = 0, 08
et P L (T ) = 0, 125.
2
3. a. P (T ∩ L) = = 0, 01 .
200
b. P (T ∪ L) = P (T ) + P (L) − P (T ∩ L) = 0, 1 .
P (T ∩ L) 0, 01 1
c. P T (L) = = = .
P (T ) 0, 03 3
B. Loi binomiale
1. Le prélèvement d’un smartphone est une épreuve de Bernoulli, avec :
— succès :le smartphone non réparable et P(succès )=0,045

— echec : le smartphone est réparable
Cette même épreuve est répétée 50 fpis de ma nière indépendante, car les prélèvements sont
assimilés à des tirages avec remise, on est donc en présence d’un schéma de Bernoulli, la
variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres
n = 50 et p = 0, 045 .
2. Tous les smartphones sont réparables signifie que X = 0, et P (X = 0) = 0, 1 .

3. a. L’exécution de l’algorithme donne les résultats suivants :
i 0 1 2 3
P (X = i ) 0,100 0,236 0,272 0,205
S 0,100 0,336 0,608 0,813
b. Á la fin de l’algorithme S ≈ 0, 813 . S = P (X 6 3)

4. L’espérance de la variable aléatoire X est E (X ) = 50 × 0, 045 = 2, 25 . Ce résultat indique que

pour tout lot de 50 smartphone, on aura, en moyenne, 2,25 smartphone non réparables .
C. Test d’hypothèse
D’après un sondage issu de la presse écrite, 55 % des français pensent que la marque B pratique l’ob-
solescence programmée.
L’hypothèse nulle H0 est : « p = 0, 55 », le résultat du sondage est validé
L’hypothèse alternative H1 est : « p 6= 0, 55 », le résultat du sondage n’est pas valide
Le seuil de signification du test est fixé à 5 %.
1. h = 0, 07
2. La règle de décision du test . Dans un échantillon de 180 personnes, si la fréquence des per-
sonnes déclarant que la marque B pratique l’obsolescence programmée est dans l’intervalle
[0,48 ; 0.62], H0 est acceptée avec un niveau de confiance de 95%, sinon H0 est réjetée et H1 est
acceptée avec un risque de 5%.
3. On sait que, sur un échantillon aléatoire de 180 personnes interrogées, 76, soit 42% , pensent
que la marque B pratique l’obsolescence programmée. On peut conclure que l’hypothèse
H0 est rejetée et dire, avec un risque de 5%, que le résultat du sondage n’est pas validé .

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A. P. M. E. P.

[ BTS Métropole–Antilles–Guyane groupement B \

1. Sur [0 ; +∞[ l’équation différentielle (E0 ) :

A pour solution générale : y = ke0,2t où k est une constante réelle quelconque

g ′ (t ) − 0, 2g (t ) = −15 − 0, 2 × (−15t ) − 0, 2 × (−75) = −15 + 3t + 15 = 3t

B. Étude de fonction et application

On désigne par C la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal.

b. En 2 min, la vitesse du wagon est de 7, 38 km·min−1 soit 7, 38 × 60 km par heure , c’est-à-

4. Une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 2 est :

y = f ′ (2)(t − 2) + f (2) = f ′ (2)t − 2f ′ (2) + f (2)

f (2) = 75(e0,4 − 1) − 30, f ′ (2) = 15(e0,4 − 1) − 2f ′ (2) + f (2) = −30(e0,4 − 1) + 75(e0,4 − 1) − 30 =

1. L’aire A1 du rectangle OPQR, en unité d’aire (u. a.) est A1 = 2, 25 × 3 = 6, 75

2. Une primitive de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 3] est G : x → 27

3. L’aire A , en unité d’aire, vaut 2(A1 − A2 ) ≈ 6, 75 − 4, 679 ≈ 4, 143u.a. .

Groupe B 2 14 mai 2018

1. D’après l’énoncé, on obtient le tableau d’effectifs suivant :

Smartphones touchés par non touchés par Total

2. On prélève au hasard un smartphone parmi les 200 étudiés.

1. Le prélèvement d’un smartphone est une épreuve de Bernoulli, avec :

— succès :le smartphone non réparable et P(succès )=0,045

2. Tous les smartphones sont réparables signifie que X = 0, et P (X = 0) = 0, 1 .

b. Á la fin de l’algorithme S ≈ 0, 813 . S = P (X 6 3)

Groupe B 3 14 mai 2018

4. L’espérance de la variable aléatoire X est E (X ) = 50 × 0, 045 = 2, 25 . Ce résultat indique que

Groupe B 4 14 mai 2018

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