Chapitre 6 : Formes quadratiques et extrema de fonctions à plusieurs variables

VI.1. Présentation et définitions

Soit 𝑓: ℝ → ℝ une fonction et soit 𝑥 ∗ 𝜖ℝ tel que

𝑓(𝑥 ∗ ) = 𝑀𝑖𝑛 𝑓(𝑥) (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 max)

𝑥 ∗ s’appelle le minimum (respectivement maximum) global de f.

𝑥 ∗ n’existe pas toujours et il n’y a pas d’outil mathématique général pour rechercher
les extrema globaux.

Définition : Un point 𝑎𝜖ℝ est minimum (respectivement maximum) local de f

s’il existe un voisinage V de a tel que si 𝑥𝜖𝑉

𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑎)

(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 ≤)

On a donc un extrema local si 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) est de signe constant au voisinage

de a.

VI.2. Utilisation de la formule de Taylor au premier ordre

Soit 𝑓: ℝ → ℝ Si f est différentiable, on appelle gradient de f au point a le

vecteur ligne.

Soit 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑎) = (𝑎), … , (𝑎) = (𝑓 (𝑎), … , 𝑓 (𝑎))

VI.2.1 : Développement de Taylor au premier ordre

Si f est continûment différentiable (dérivées partielles continue), alors :

 ∀𝑥𝜖ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝜀(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)

avec lim 𝜀(𝑥 − 𝑎) = 0

→

Théorème : Si f est continûment différentiable alors :

Si a est un extrema local de f, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑎) = 0⃗. La réciproque est fausse. Si le

gradient n’est pas nul 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑎) ≠ 0⃗ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

VI.2.2 : Définition

Si a est tel que 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑎) = 0⃗, on dit que a est un point stationnaire de f. Il
existe des méthode itératives pour trouver les points stationnaires mais pas de
méthode analytique.

Exemple : 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 8𝑥 + 𝑦 − 12𝑥𝑦𝑧 + 10𝑧 − 6𝑧

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (24𝑥 − 12𝑦𝑧, 3𝑦 − 12𝑥𝑧, −12𝑥𝑦 + 30𝑧 − 6)

Le système d’équation suivant nous permet de trouver les points stationnaires :

24𝑥 − 12𝑦𝑧 = 0
3𝑦 − 12𝑥𝑧 = 0
−12𝑥𝑦 + 30𝑧 − 6 = 0

1
𝑆𝑖 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 =
5

→ (0,0,1/√5) (0,0, −1/√5)

2
 VI.3. Utilisation de la formule de Taylor au 2ème Ordre

VI.3.1 : Définition

Si f est continûment différentiable deux fois, on appelle matrice hessienne de

f en un point a et l’on note 𝑓 (𝑎 ) 𝑜𝑢 𝐻𝑓(𝑎) la matrice suivante :

𝜕 𝑓 𝜕 𝑓
(𝑎) … (𝑎)
⎛ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ⎞
𝑓 (𝑎 ) = ⎜ ⎟
𝜕 𝑓 𝜕 𝑓
(𝑎) … (𝑎)
⎝𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ⎠

𝜕 𝑓 𝜕 𝑓
𝑓 (𝑎 ) 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒, = 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

VI.3.2 : Développement de Taylor au second ordre

Si f est continument différentiable 2fois alors, ∀𝑎 𝑥𝜖ℝ , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) +

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑎). (𝑥 − 𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑅(𝑥 − 𝑎) ∗ (𝑥 − 𝑎)

lim 𝑅(𝑥 − 𝑎) = 0
→

𝑅 est une matrice carrée d’ordre n.

Théorème 1 : (conditions nécessaires)

Si a est un point stationnaire de f et si f est deux fois continûment

différentiables, alors :

Si la forme quadratique 𝑓 (𝑎) est définie positive, alors a est un minimum

local de la fonction f.

3
 Si 𝑓 (𝑎) est définie négative, alors a est un minimum local de f

Si 𝑓 (𝑎) est indéfinie, a est un point col

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent.

Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 8𝑥 + 𝑦 − 12𝑥𝑦𝑧 + 10𝑧 − 6𝑧

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (24𝑥 − 12𝑦𝑧, 3𝑦 − 12𝑥𝑧, −12𝑥𝑦 + 30𝑧 − 6)

𝜕 𝑓 𝜕 𝑓 𝜕 𝑓
⎛𝜕𝑥𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑧 ⎞
⎜𝜕 𝑓 𝜕 𝑓 𝜕 𝑓⎟
𝑓 =⎜
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑧⎟
⎜ ⎟
𝜕 𝑓 𝜕 𝑓 𝜕 𝑓
⎝ 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝜕𝑧𝜕𝑧 ⎠

48𝑥 −12𝑧 −12𝑦

= −12𝑧 −𝑦 −12𝑥
−12𝑦 −12𝑥 60𝑧

On aurait 𝑎 = (0,0,1/√5) 𝑎 = (0,0, −1/√5)

Pour 𝑎 = (0,0,1/√5) 𝑎 = 0,0, − 𝑓′′(𝑎) =

√

0 −12/√5 0
12/√5 0 0
0 0 60/√5

En calculant les déterminants des mineurs principaux, on obtient :

0, + , −60 ∗ → 𝑎 est un point col

∗√

4
 Exemple : f(x, y, z) = x + y + z − xy − x − 2z

gradf = (2x − y − 1, 2y − x, 2z − 2)

→ 2x − y − 1 = 0

2y − x = 0

2z − 2 = 0 → z = 1

2y = x

4y − y − 1 = 0 → y = 1/3

x = 2/3

L’unique point stationnaire est (2/3, 1/3, 1)

2 −1 0
𝑓 (𝑎) = −1 2 0 ∀𝑎
0 0 2

Les déterminants des mineurs principaux sont 2, 3,6. Ils sont tous >0, la
matrice 𝑓 (𝑎) est définie positive alors le point 2/3, 1/3, 1) est un mineur local.

Théorème 2 : (conditions suffisantes)

Si f est continue de ℝ → ℝ et si f est continûment différentiable deux fois.

Si a est un point stationnaire de f .

 Si a est un minimum local, alors𝑓 (𝑎) est semi définie positive

 Si a est un maximum local, alors𝑓 (𝑎) est semi définie négative

5
 Théorème 3 :

Si a est un point stationnaire et f continûment différentiable deux fois, alors

siles mineurs principaux de la matrice hessienne sont positifs strictement, alors a est
minimum local. S’ils sont alternés strictement, (−1) det(𝑀), alors a est un
minimum local.

Réciproquement, si a est minimum, les mineurs principaux de la matrice

hessienne sont tous positifs ou nuls : Si a est maximum, on a pour tout
𝑖 (−1) det(𝑀 ) ≥ 0

VI.4. Concavité

VI.4.1 : Définition

On dit qu’un domaine 𝐷∁ℝ est converse si :∀ 𝑎, 𝑏 𝜖𝐷, ∀𝜆𝜖[0,1] 𝜆𝑎 +

(1 − 𝜆)𝑏𝜖𝐷

Une fonction 𝑓: ℝ → ℝ est convexe si et seulement si

∀ 𝑎, 𝑏 𝜖ℝ , ∀𝜆𝜖[0,1] 𝑓[𝜆𝑎 + (1 − 𝜆)𝑏] ≤ 𝜆𝑓(𝑎) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑏)

Les fonctions linéaires, les formes quadratiques peuvent être convexes.

VI.4.2 : Théorème 1

Si f est continûment différentiable, les conditions 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 ci-dessous sont

équivalentes. Si f est deux fois continûment différentiables, les conditions (a) (b) et
(c) sont équivalentes.

(a) f est convexe de domaine de définition n dit qu’un domaine 𝐷𝑓

(b) ∀𝑎, 𝑏 𝜖 𝐷𝑓 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) ≥ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑎). (𝑏 − 𝑎)

6
 (c) ∀𝑎, 𝑏 𝜖 𝐷𝑓 𝑓 (𝑎) 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒

Toutes les formes quadratiques définies positives sont convexes

Exemple : 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑥𝑦 − 𝑥 − 2𝑧

2 −1 0
𝑓 (𝑎) = −1 2 0 ≫ 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒, 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑒
0 0 2

VI.4.3 : Théorème2

Si f est convexe, alors tout minimum local est un minimum global.

Si de plus, f est différentiable, si a est point stationnaire, alors a est le maximum

global de f. Les formes quadratiques de formes positives n’ont qu’un seul minimum
global/ou local

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑥𝑦 − 𝑥 − 2𝑧 → (2/3, 1/3, 1) est un minimum

local.

VI.4.4 : Propriétés

Si f et g sont convexes, f+g l’est aussi. Si 𝑓: ℝ → ℝ est convexe

et si g: ℝ → ℝ est convexe croissante, alors g°f est convexe.

VI.5. Extrema des fonctions sous contraintes

Soient 𝑓 𝑒𝑡 𝑔, 𝑗 = 1, … , 𝑝 des fonctions de ℝ → ℝ avec 𝑝 < 𝑛

Continûment différentiables au voisinage d’un point a. On s’intéresse au problème

de maximum ou minimum la valeur de 𝑓(𝑥) lorsque ∀𝑗𝜖1, … , 𝑝 𝑔 (𝑥) = 0 ≫
𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠

7
 VI.5.1 : Théorème

Si u est extremum local de f sous les contraintes 𝑔 (𝑥) = 0 𝑠𝑖 𝑙𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔 sont des
vecteurs linéairement indépendants, alors il existe p réels 𝜆 , … , 𝜆 tel que :
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑎) + 𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔 (𝑎) + ⋯ + 𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔 (𝑎) = 0⃗ 𝜆 , … , 𝜆 sont appelés les
multiplicateurs de Lagrange

VI.5.2 : Définition

Si a est extremum local de f sous les contraintes 𝑔 (𝑎) = 0⃗, on appelle Lagrangien
de f au point a la fonction : 𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝜆 𝑔 (𝑥) + ⋯ + 𝜆 𝑔 (𝑥)

𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝜆 𝑔 (𝑥)

Conclusion : On remarque que a est un point stationnaire sous les contraintes

𝑔 (𝑎) = 0 𝑠𝑖 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐿(𝑎) = 0⃗.

Exemple : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 ; 𝑥 + 𝑦 = 8

On cherche un point 𝑎 = (𝑥, 𝑦) tel qu’il existe 𝜆 et que si on forme le Lagrangien on

a:

𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 𝜆(𝑥 + 𝑦 − 8
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐿 = 0

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐿 = (𝑦 − 2𝜆𝑥, 𝑥 − 2𝜆𝑦)

𝜕𝐿 𝜕𝐿
𝜕𝑥 𝜕𝑥

8
 𝑦 − 2𝜆𝑥 = 0
𝑦 − 2𝜆𝑥 ∗ 𝑥 →
→Le système devient 𝑥 − 2𝜆𝑦 = 0
𝑥 − 2𝜆𝑦 ∗ 𝑦 𝑥 =𝑦

2𝑥 = 8 𝑥 =4→𝑥∓2

On a donc différents points (2,2); (2, −2); (−2,2); (−2, −2)

Pour le point (2,2) → 𝜆 = 1/2

(2, −2) → 𝜆 = −1/2

(−2,2) → 𝜆 = −1/2

(−2, −2) → 𝜆 = 1/2

On note 𝐽 (𝑎) la matrice jacobienne des contraintes p*n

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔 (𝑎)
𝐽 (𝑎) = ⋮
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔 (𝑎)

VI.5.3 : Théorème

Soient 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 , 𝑗 = 1, … , 𝑝 < 𝑛 des fonctions continûment différentiables deux fois

au voisinage d’un point a stationnaire sous les contraintes 𝑔 (𝑥) = 0.

Si pour tout 𝑥 ≠ 𝑎 tel que 𝐽 (𝑎). (𝑥 − 𝑎) = 0, l’on a (𝑥 − 𝑎)𝐿 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) <

0 alors a est un maximum local de f sous les contraintes 𝑔 (𝑥) = 0

Si sous les mêmes conditions pour 𝑥 (𝑥 − 𝑎)𝐿 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) > 0 alors a est un
minimum local de f sous les contraintes.

9
Enfin, si pour certains 𝑥 vérifiant les conditions ci- dessous cette quantité est positive
et pour d’autres négatives, a n’est pas un extremum sous les contraintes 𝑔 (𝑥) = 0

VI.5.4 : Définition

On appelle respectivement matrice hessienne bordée en a du Lagrangien et mineurs

bordés principaux la matrice et les déterminants :

𝐿 (𝑎) 𝐽 (𝑎)
𝑀(𝑎) =
𝐽 (𝑎) 0

𝐿′′ … 𝐿′′ (𝑔′ )𝑥 … (𝑔′ )𝑥

⎛ ⋮ ⋮ ⎞
𝐿′′ … 𝐿′′ (𝑔′ )𝑥 … (𝑔′ )𝑥 ⎟
𝑖 = 𝑝 + 1, … , 𝑛 det(𝑀 ) = ⎜
⎜ (𝑔′ )𝑥
⎜ (𝑔′ )𝑥 0 … 0 ⎟ ⎟
⋮ ⋮
⎝(𝑔′ )𝑥 (𝑔′ )𝑥 0 … 0 ⎠

Exemple : On reprend l’exemple précédent. On s’intéresse ici à deux points

(2,2) → 𝜆 = 1/2

(2, −2) → 𝜆 = −1/2

Pour le point (2,2)

L(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − ( )

𝑔𝑟𝑎𝑑𝐿 = (𝑦 − 𝑥, 𝑥 − 𝑦)

−1 1
𝐿′′ =
1 −1
La contrainte ici c’est 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔 − (𝑥 − 𝑎) = 0

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔 = (2𝑥, 2𝑦)

10
 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑔(𝑎) = (4,4)

𝑥
→ (𝑥, 𝑦) 𝐿 𝑦 = −𝑥 − 𝑦 + 2𝑥𝑦 = −(𝑥 − 𝑦)

−1 1 4
La matrice s’écrit : 1 −1 4 Le nombre des contraintes ici est P=1
4 4 0

On calcule le déterminant. Il faut que (−1) det(𝑀 ) < 0 pour avoir une forme
définie négative. Il faut que le déterminant soit positif

−1 1 4 −1 1 4 −1 1 4
1 −1 4 = 𝐿 − 𝐿 2 −2 0 = 8 1 −1 0
4 4 0 4 4 0 1 1 0

1 −1
8∗4 = 8 ∗ 4 ∗ 2 = 64
1 1

Cette matrice est définie négative sous la contrainte de 4𝑥 + 4𝑦 = 0

Pour (2, −2), le déterminant est négatif. =-64<0

On a bien montré que le point est un minimum local.

VI.5.5 : Théorème

Sous les mêmes hypothèses que dans le théorème précédent, si de plus le rang de la
matrice jacobienne 𝐽 (𝑎) est p, les variables étant au besoin numérotées de façon à
ce que les p premières colonnes de la matrice soient linéairement indépendantes,
alors si a est un minimum de f sous les contraintes𝑔 (𝑥) = 0, on doit avoir :

(−1) 𝑑𝑒𝑡(𝑀 ) ≥ 0 ∀𝑖𝜖𝑝 + 1, … , 𝑛.

11
Réciproquement si (−1) 𝑑𝑒𝑡(𝑀 ) > 0 ∀𝑖𝜖𝑝 + 1, … , 𝑛. a est un maximum de f
sous les contraintes itératives.

VI.5. Méthodes itératives

Le principe de telles méthodes est de construire à partir d’un point 𝑥 une suite de
points 𝑥 − 𝑛 qui doit en principe converger vers un extremum local, ou au moins
vers un point stationnaire d’une fonction f.

En dimension 1, on utilise la méthode de Newton. En dimension n, la méthode de la

plus forte pente. La convexité (respectivement concavité) des fonctions permet de
s’assurer que l’on a un extremum global. Nous n’allons pas étudier ces méthodes ici.

Exemple1 : Une entreprise fabrique deux produits et pour cela utilise les ressources
de deux ateliers différents. On a des contraintes qui s’expriment en capacité de
production de l’atelier. Chacun des ateliers a une capacité de 12 unités. Pour
fabriquer un produit de type1, on a besoin d’une unité de l’atelier 1 et de 2unités de
l’atelier 2. Pour le bien de type 2, c’est l’inverse.

Soit 𝑥 = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 1

𝑥 = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 2

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