S.

1
EXERCICE 1 | |  20 min
Le pendule de torsion permet de déterminer quelques grandeurs physique relatives à la matière comme la constante de torsion des
matières solides déformables et le moment d’inertie des systèmes mécaniques oscillants .
On étudie de manière simplifiée comment déterminer la constante de torsion d’un fil métallique et quelques grandeurs
cinématiques et dynamiques en exploitant les diagrammes d’énergie d’un pendule de torsion .
Un pendule de torsion est constitué d’un fil métallique vertical de constante de torsion C et d’une tige homogène AB , son moment
d’inertie JΔ= 2,4.10-3 kg.m2 par rapport à l’axe vertical (Δ) confondu avec le fil et passant par G le centre d’inertie de la tige .
On fait tourner la tige AB horizontalement dans le sens positif autour de l’axe (Δ)de l’angle θm= 0,4 rad 1
par rapport à sa position d’équilibre , et on la libère sans vitesse initiale à l’instant t = 0 pris comme
(Δ)
origine des dates . On repère la position de la tige à tout instant à l’aide de son abscisse angulaire θ
fil de torsion
par rapport à la position d’équilibre ( Figure 1).
On étudie le mouvement du pendule dans un référentiel lié à la Terre considéré galiléen . ⊕
On considère la position d’équilibre comme référence de l’énergie potentielle de torsion et le plan B
horizontale passant par G comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur .
On néglige tous les frottements .
A G
Les deux courbes (a) et (b) de la figure 2 représentent les variations de l’énergie potentielle EP de
l’oscillateur et son énergie cinétique EC en fonction de θ .

0. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique dans le cas de la rotation autour d’un axe fixe, déterminer que l’équation
différentielle du mouvement du système étudié . Ec ; Ept (mJ) 2
1- Relier en justifiant votre réponse chaque courbe à l’énergie correspondante .
2- Déterminer la constante de torsion Cdu fil métallique .
.
3- Trouver la valeur absolue de la vitesse angulaire θ1 du pendule au passage par la
position d’abscisse angulaire θ1 = 0,2 rad .
4- Calculer le travail du moment du couple de torsion W(MC) lors du déplacement de
l’oscillateur de la position d’abscisse angulaire θ = 0 à la position
0,4
d’abscisse angulaire θ1 .
-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 (rad)
0,6

EXERCICE 2 | |  20 min
Un pendule de torsion est constitué d’un fil en acier vertical, de constante de torsion C, et d’une tige AB homogène de moment d’inertie JΔ
par rapport à un axe vertical (D) confondu avec le fil et passant par le centre d’inertie G de la tige.
1
On écarte la tige horizontalement, dans le sens positif, d’un
(Δ)
angle θm =0,8 rad par rapport à sa position d’équilibre et on la
lâche sans vitesse initiale à un instant t=0. fil de torsion

On repère la position de la tige à chaque instant par l’abscisse

⊕
angulaire θ par rapport à la position d’équilibre. (voir figure ci-contre)
B
On étudie le mouvement du pendule dans un référentiel
terrestre considéré galiléen.
On considère la position d’équilibre du pendule comme référence de l’énergie potentielle de A G
torsion et le plan horizontal passant par G comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur.
On néglige tout frottement.
2
La courbe de la figure ci-contre, représente les variations de l’énergie cinétique EC Ec (mJ)
du pendule en fonction de l’angle θ .
40
1- Écrire l’expression de l’énergie mécanique du pendule en fonction de
.
C, JΔ , θ et la vitesse angulaireθ 30
.
2- Déterminer la valeur de la constante de torsion C du fil en acier.
. 20
3. Sachant que la vitesse angulaire maximale est θmax=2,31rad.s-1
10
Trouver la valeur de JΔ .
0
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 θ(rad)
0,3

47
 S.1
EXERCICE 3 | |  20 min
Le fonctionnement d’un ensemble d’appareils de mesure comme le pendule de Cavendish et le galvanomètre , est basé sur la propriété de
torsion puisqu’ils contiennent des ressorts spiraux ou des fils métalliques rectilignes .
On considère un pendule de torsion composé d’un fil d’acier vertical de constante de torsion C et d’une tige homogène AB suspendu à
l’extrémité libre du fil par son centre G . (figure)
On note JΔ le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe de rotation (Δ) confondu avec le fil .
On fait tourner la tige AB autours de l’axe (Δ) dans le sens positif d’un angle θm de sa position d’équilibre , et on le libère sans vitesse initiale
à l’instant pris comme origine des dates et il effectue un mouvement circulaire sinusoïdal .
On considère la position d’équilibre comme référence de l’énergie potentielle de torsion ( EPt = 0 à θ = 0 ) , et le plan horizontal passant par
G comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur ( EPP = 0 ) . 1 2
On donne : le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe de rotation (Δ) :
Ept (mJ)
JΔ = 2,9.10-3 kg.m2 . (Δ) 9
La courbe de la figure 2 représente les variation de l’énergie potentielle de torsion fil de torsion 7,5
EPt en fonction du temps . En vous aidant de cette courbe ; 6
1- Déterminer l’énergie mécanique Em de ce pendule et la période propre .
⊕ 4,5
B
2- Déterminer la constante de torsion Cdu fil métallique . 3
. 1,5
2- Trouver la valeur absolue de la vitesse angulaire θ à l’instant t1 = 0,5 s .
. A G 0
3- Calculer le travail W du couple de torsion entre les instants to = 0 et t1 t(s3)
0 1 2

EXERCICE 4 | |  20 min
Cet exercice a pour objectif d’étudier le mouvement d’un pendule de torsion et de déterminer quelques
grandeurs liées à ce mouvement.
On dispose d’un pendule de torsion constitué d’un fil 1
métallique , de constante de torsion C et d’une tige MN P
homogène fixée en son centre d’inertie G à l’une des ()
extrémités du fil. L’autre extrémité du fil est fixée en un
point P d’un support (figure 1).
La tige peut effectuer un mouvement de rotation sans Fil
frottement autour de l’axe () confondu avec le fil métallique

métallique. Le moment d’inertie de la tige MN par rapport à M +

Position d’équilibre
cet axe est J   4.10 4 kg.m2 .
On étudie le mouvement du pendule dans un repère lié à un 
référentiel terrestre supposé galiléen. On repère la position de G
la tige MN à chaque instant t par son abscisse angulaire  par N
rapport à sa position d’équilibre stable(figure ).
On choisit la position d’équilibre stable comme référence de
l’énergie potentielle de torsion (E pt  0) et le plan horizontal
passant par G comme référence de l’énergie
potentielle de pesanteur (E pp  0) . 
2
(rad.s
1
)
On prendra   10 . 2


Le pendule effectue des oscillations  m


d’amplitude m  rad . L’étude
4
expérimentale a permis d’obtenir la courbe t(s)
de la figure 2 représentant les variations de la 0
 0,625 1,25

vitesse angulaire de l’oscillateur en fonction m
du temps. 2
En appliquant la relation fondamentale de
la dynamique dans le cas de la rotation,
établir l’équation différentielle du
mouvement du pendule.

48
 S.1
 2 
 La solution de cette équation différentielle s’écrit sous la forme : (t)  m .cos  t    où T0 est
la période propre du pendule.  T0 
a.Montrer que l’expression numérique de la vitesse angulaire , exprimée en rad.s1 , s’écrit :

 7 
(t)  4.sin 1, 6 t   .
 6 
b.Déterminer la valeur de la constante de torsion C du fil.
Trouver la valeur de l’énergie mécanique de l’oscillateur et en déduire la valeur de son énergie
potentielle à l’origine des dates t  0 .
EXERCICE 5 | |  35 min
Le pendule de torsion représenté sur la figure 1 est constitué d’un fil de torsion
de constante de torsion C0 et de longueur l , et d’une tige homogène AB . (D) 1
On fixe la tige AB par son milieu au fil de torsion en un point O
qui divise le fil en deux parties :
- Une partie OM de longueur z et de constante de torsion C1; M
- Une partie ON de longueur l-z et de constante de torsion C2. z
Lorsque le fil est tordu d’un angle q , la partie OM exerce sur
la tige un couple de torsion de moment M1=-C1q , et la partie ON A O B
exerce sur la tige un couple de torsion de moment M2=-C2q.
On exprime la constante de torsion C d’un fil de torsion ℓ-z
k
de longueur L par la relation C = avec k une constante qui
L
dépend du matériau constituant le fil de torsion et du diamètre de ce fil . N
JD représente le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe de rotation (D)
confondu avec le fil de torsion
Au début le fil de torsion est non tordu et la tige AB est horizontale .
On fait tourner la tige AB autours de l’axe (D) d’un angle qm de sa position d’équilibre stable et on
l’abandonne sans vitesse initiale , elle effectue alors des oscillations dans le plan horizontal .
On repère la position de la tige AB à une date t par l’abscisse angulaire q que fait la tige à cet instant
avec la droite horizontale confondue avec la position d’équilibre de la tige.
On néglige tous les frottements .
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique relative à la rotation , montrer que
C0 .l ²
l’équation différentielle du mouvement de ce pendule s’écrit : &&
q+ ×q = 0 .
J D .z.(l - z)
 Trouver l’expression littérale de la période propre T0 de l’oscillateur pour que la solution de
æ 2p.t ö &&
l’équation différentielle soit : q = qm .cos ç ÷. q (rad.s-2) 2
è T0 ø
La courbe de la figure 2 représente la variation de 16
l’accélération angulaire de la tige en fonction de π
l 8
l’abscisse angulaire q dans le cas où z = .
 Déterminer la valeur de T0 dans ce cas .
2 q (rad)
 On choisit le plan horizontal qui contient la tige AB
comme état de référence de l’énergie potentielle de
pesanteur et on choisit comme état de référence de
l’énergie potentielle de torsion la position d’équilibre
de la tige où q=0. l
a- Déterminer dans le cas où z = , l’expression
2
de l’énergie mécanique Em de l’oscillateur à un
instant t en fonction de JD , C0 , q et la vitesse angulaire q& de la tige AB.
b- Sachant que Em=4.10-3 J , Calculer C0 . On prend p²=10 .
49